Estruturas_concreto_armado

CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA

ESTRUTURAS DE

CONCRETO ARMADO

2012

ESTRUTURAS DE

CONCRETO ARMADO

Elaborado por:

Wendell Diniz Varela

Prof. Adjunto UFRJ/FAU/DE

Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE

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ÍNDICE

I. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ...... 4 I.1 Conceitos.................................................................................................................... 4 I.2 Concreto armado ........................................................................................................ 6

I.2.1 Características ........................................................................................................ 6 I.2.2 Vantagens e desvantagens do material concreto armado ....................................... 6 I.2.3 Método dos estados-limites.................................................................................... 7 I.2.4 Normas para dimensionamento e execução de estruturas de concreto armado ..... 7

II. PROPRIEDADES FÍSICAS DO CONCRETO E DO AÇO ............................................. 8 II.1 Concreto ..................................................................................................................... 8

II.1.1 Concreto fresco .................................................................................................. 8 II.1.2 Concreto endurecido ........................................................................................ 10

II.1.2.1 Resistência à compressão ............................................................................. 10 II.1.2.2 Resistência do concreto à tração (fct) ........................................................... 11 II.1.2.3 Diagramas tensão vs deformação (NBR 6118:2003, itens 8.2.8 e 8.2.10)... 12

II.2 Aço ........................................................................................................................... 15 III. SISTEMAS ESTRUTURAIS EM EDIFICAÇÕES .................................................... 19

III.1 O projeto estrutural................................................................................................... 19 III.1.1 Concepção ........................................................................................................ 19 III.1.2 Análise.............................................................................................................. 19 III.1.3 Síntese e otimização ......................................................................................... 21

III.2 Abrangência do curso............................................................................................... 21 IV. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO ...... 22

IV.1 Introdução................................................................................................................. 22 IV.2 Definições e nomenclatura ....................................................................................... 22 IV.3 Hipóteses básicas para o cálculo .............................................................................. 23 IV.4 Domínios de dimensionamento................................................................................ 23 IV.5 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão normal ....................... 26

V. PROJETO DE LAJES MACIÇAS EM CONCRETO ARMADO .................................. 28 V.1 Tipos de laje ............................................................................................................. 28 V.2 Roteiro para cálculo de lajes maciças em concreto armado..................................... 32 V.3 Dimensionamento e detalhamento de lajes maciças em concreto armado............... 32

V.3.1 Pré-dimensionamento das espessuras e dos vãos teóricos das lajes................. 32 V.3.1.1 Espessuras mínimas das lajes (h) ................................................................. 32 V.3.1.2 Vãos teóricos de lajes (l) .............................................................................. 32

V.3.2 Condições de vinculação dos bordos das lajes (condições de contorno) ......... 33 V.3.3 Cargas atuantes sobre lajes............................................................................... 41

V.3.3.1 Ações a considerar ....................................................................................... 41 V.3.3.2 Cargas permanentes...................................................................................... 41 V.3.3.3 Cargas acidentais.......................................................................................... 44 V.3.3.4 Carga total sobre a laje ................................................................................. 44

V.3.4 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva) ............ 45 V.3.4.1 Lajes sem bordos livres ................................................................................ 45 V.3.4.2 Lajes em balanço.......................................................................................... 45 V.3.4.3 Deslocamentos-limite impostos pela NBR 6118:2003 ................................ 46

V.3.5 Cálculo dos esforços em lajes .......................................................................... 47


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V.3.5.1 Determinação dos momentos máximos nas direções x e y em lajes sem bordos livres ................................................................................................................. 47 V.3.5.2 Determinação dos momentos máximos em lajes em balanço ...................... 47

V.3.6 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão ........................... 53 V.3.6.1 Áreas de aço mínimas e máximas para armaduras longitudinais................. 53 V.3.6.2 Armadura de distribuição ou secundária de flexão ...................................... 53

V.3.7 Determinação das armaduras de flexão............................................................ 53 V.3.7.1 Espaçamento entre as barras e diâmetro máximo das barras ....................... 53

V.3.8 Detalhamento das armaduras ........................................................................... 54 V.3.8.1 Comprimento das barras............................................................................... 54 V.3.8.2 Cálculo do número de barras........................................................................ 55 V.3.8.3 Numeração dos ferros nas lajes.................................................................... 55 V.3.8.4 Peso das barras ............................................................................................. 56

VI. PROJETO DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO................................................. 57 VI.1 Determinação do esquema estrutural da viga........................................................... 58 VI.2 Dimensões das vigas ................................................................................................ 59 VI.3 Vão efetivos.............................................................................................................. 59 VI.4 Cargas atuantes sobre as vigas ................................................................................. 59

VI.4.1 Peso próprio...................................................................................................... 59 VI.4.2 Alvenaria .......................................................................................................... 59 VI.4.3 Reação das lajes nas vigas................................................................................ 60

VI.5 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva) .................... 62 VI.6 Determinação dos esforços atuantes ........................................................................ 62

VI.6.1 Ligação Viga-pilar............................................................................................ 63 VI.6.2 Verificação do momento positivo em vigas contínuas..................................... 64

VI.7 Dimensionamento das armaduras............................................................................. 64 VI.7.1 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate ao esforço cortante.......... 64

VI.7.1.1 Cálculo da área de aço transversal mínima .............................................. 64 VI.7.1.2 Verificação do esmagamento do concreto ............................................... 65 VI.7.1.3 Área de aço necessária para combate ao cisalhamento (esforço cortante)65

VI.7.2 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão ........................... 65 VI.7.3 Determinação e detalhamento das armaduras na seção transversal. ................ 65

VI.7.3.1 Armadura transversal para combate ao cisalhamento (estribos) .............. 65 VI.7.3.2 Armadura longitudinal para combate a flexão em uma seção transversal67

VI.7.4 Determinação e detalhamento das armaduras ao longo da viga....................... 68 VI.7.4.1 Armadura positiva .................................................................................... 68 VI.7.4.2 Armadura negativa ................................................................................... 69

VII. PROJETO PRÁTICO DE CURSO.............................................................................. 71 VII.1 Apresentação: ....................................................................................................... 71

VII.1.1 Objetivo:........................................................................................................... 71 VII.1.2 Etapas: .............................................................................................................. 71

VII.2 Projeto de lajes ..................................................................................................... 73 VII.2.1 Cálculo dos vãos teóricos das lajes (ver item V.3.1.2 da apostila) .................. 73 VII.2.2 Pré-dimensionamento da espessura da laje (ver item V.3.1 da apostila) ......... 73 VII.2.3 Classificação dos vínculos das lajes (ver item V.3.2 da apostila).................... 74 VII.2.4 Cálculo das cargas atuantes nas lajes (ver item V.3.3 da apostila) .................. 76 VII.2.5 Cálculo das flechas (ver item V.3.4 da apostila).............................................. 77 VII.2.6 Cálculo dos momentos (ver item V.3.5 da apostila) ........................................ 79 VII.2.7 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão (ver item V.3.6 da apostila) 83


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VII.2.8 Determinação das armaduras positivas e negativas (ver item V.3.7 da apostila) 84 VII.2.9 Detalhamento das armaduras (ver item V.3.8 da apostila) .............................. 85

VII.3 Projeto de vigas .................................................................................................... 88 VII.3.1 Cálculo dos vãos efetivos das vigas e pré-dimensionamento das seções transversais ....................................................................................................................... 88 VII.3.2 Cálculo das cargas atuantes sobre a viga ......................................................... 88

VII.3.2.1 Peso-próprio (gp) ...................................................................................... 88 VII.3.2.2 Peso da alvenaria (ga) ............................................................................... 88 VII.3.2.3 Cálculo das reações das lajes nas vigas (ver item VI.4.3 da apostila) ..... 89

VII.3.3 Modelos estruturais .......................................................................................... 92 VII.3.4 Determinação dos esforços atuantes ................................................................ 93 VII.3.5 Ligação viga-pilar ............................................................................................ 96

VII.3.5.1 Verificação do momento positivo em vigas contínuas............................. 98 VII.3.5.2 Diagrama de momentos fletores modificado ........................................... 98

VII.3.6 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate da flexão (armadura longitudinal, positiva e negativa); .................................................................................... 99

VII.3.6.1 Cálculo da área de aço mínima ................................................................ 99 VII.3.6.2 Cálculo das áreas de aço positivas e negativas ........................................ 99

VII.3.7 Cálculo da área de aço para combate do cisalhamento (armadura transversal); 100

VII.3.7.1 Cálculo da área de aço transversal mínima ............................................ 100 VII.3.7.2 Verificação do esmagamento do concreto ............................................. 101 VII.3.7.3 Área de aço necessária para combate ao cisalhamento (esforço cortante) 101

VII.3.8 Determinação e detalhamento das armaduras na seção transversal. .............. 102 VII.3.8.1 Armadura transversal para combate ao cisalhamento (estribos) ............ 102 VII.3.8.2 Detalhamento dos estribos ..................................................................... 103 VII.3.8.3 Armadura positiva longitudinal para combate a flexão ......................... 105

VII.3.9 Determinação e detalhamento das armaduras ao longo da viga..................... 108 VII.3.9.1 Armadura positiva .................................................................................. 110 VII.3.9.2 Armadura negativa ................................................................................. 111

ANEXO A: Vão efetivo ......................................................................................................... 116 ANEXO B: Determinação do comprimento de ancoragem reto............................................ 117 ANEXO C: Determinação de esforços em vigas de dois vãos submetidas a cargas distribuídas................................................................................................................................................ 119 ANEXO D: TABELAS.......................................................................................................... 122


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I. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

I.1 Conceitos Da associação entre cimento, água e agregados pode resultar:

• Pasta: Cimento + água;

• Argamassa: Pasta + agregado miúdo;

• Concreto: Argamassa + agregado graúdo;

• Microconcreto: Tipo de concreto em que o agregado graúdo tem dimensões reduzidas;

• Concreto de alto desempenho: Concreto cuja resistência à compressão supera os 40MPa

Assim, o concreto é um material composto por água, cimento e agregados. Como o cimento é um material caro, o principal objetivo da utilização do agregado de maior dimensão (graúdo) é reduzir custos sem que haja prejuízo à qualidade do material. Sob o ponto de vista estrutural, o concreto sozinho não é adequado como elemento resistente. Sua resistência à compressão, fc, é muito maior que sua resistência à tração, fct. Como ordem de grandeza, pode-se afirmar que esta última é cerca de 10 vezes menor. Tração e compressão são usualmente encontradas em estruturas. Rotineiramente, podem atuar em uma mesma seção transversal. Por exemplo, em elementos estruturais fletidos (Figura I.1).

Figura I.1 – Solicitações em uma viga biapoiada. Fissuras no concreto e armação da viga.


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No trecho BC, as tensões atuantes na parte inferior da viga são positivas, isto é, as fibras inferiores são tracionadas. Nessas fibras, podem se formar fissuras (minúsculas trincas devidas à pequena deformabilidade e à baixa resistência à tração do concreto). Essas fissuras fazem com que o máximo momento fletor resistido pela viga seja muito baixo. Para aumentar a resistência do elemento é importante a associação do concreto a um material que tenha boa resistência à tração e seja mais deformável. O material mais utilizado é o aço, em formas de barras lisas ou corrugadas, que deve ser colocado nas regiões tracionadas da peça. À operação de dispor essas barras de aço ao longo de um elemento estrutural denomina-se armar e as barras dispostas são chamadas de armaduras. A armadura disposta paralelamente ao(s) eixo(s) da peça é chamada armadura longitudinal (em geral, devida à ação do momento fletor). A armadura disposta perpendicularmente ao eixo da peça é chamada armadura transversal (geralmente, devida à ação do esforço cortante). Por que se utiliza o aço?

1. Boa deformabilidade e resistência à tração. 2. Coeficiente de dilatação térmica muito próximo do concreto (αaço = 1,2 x 10-5 °C-1 e

αconcreto = 1,0 x 10-5 °C-1). Evita que se formem fissuras por deformação diferencial. 3. Material facilmente encontrado no mercado e de baixo custo.

Para que a estrutura de concreto funcione adequadamente, os dois materiais (concreto e aço) deverão trabalhar solidariamente. Isso é possível devido às forças de aderência existentes entre a superfície do aço e a do concreto. Dependendo do tipo de associação entre a argamassa / concreto e o aço, pode-se ter:

• Argamassa armada Argamassa simples com armadura de pequeno diâmetro, pouco espaçada, distribuída uniformemente em toda a superfície do elemento estrutural e composta, principalmente, de fios e telas de aço.

• Concreto com fibras: Obtido pela adição de fibras metálicas ou poliméricas durante o preparo do concreto, fazendo com que, depois de seco, o concreto esteja ligado pelas fibras que o atravessam em todas as direções. Utilizado em peças com pequenos esforços, como por exemplo, piso de concreto sobre o solo.

• Concreto armado: (França, 1855)

Obtido por meio da associação do concreto simples com a armadura convenientemente colocada (armadura passiva), de tal modo que ambos resistam solidariamente aos esforços solicitantes.

• Concreto protendido: (Alemanha, 1888)

Formado pela associação do concreto simples e armadura ativa (cabos de aço, em geral, nos quais são aplicados forças de protensão antes da atuação do carregamento na estrutura).


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I.2 Concreto armado I.2.1 Características No concreto armado, as barras de aço só funcionam quando, pela deformação do concreto que as envolve, começam a serem alongadas. Decorre, daí, a designação de armaduras passivas. As principais características das estruturas de concreto armado são:

1. Concreto e armadura funcionando em conjunto devido à aderência. 2. Ocorrência de regiões fissuradas no concreto.

O concreto, ao envolver o aço, protege-o satisfatoriamente, em condições normais, contra a oxidação e as altas temperaturas. I.2.2 Vantagens e desvantagens do material concreto armado A opção do emprego do concreto armado como material de construção tem vantagens e desvantagens.

Vantagens Desvantagens

Boa resistência à maioria das solicitações.

Resulta em elementos estruturais com maiores dimensões do que os construídos apenas com perfis metálicos. Isto implica elementos estruturais pesados, em virtude do elevado peso específico do concreto (γ = 25kN/m3), limitando seu uso em determinadas situações ou elevando muito seu custo.

Boa trabalhabilidade, adaptando-se a várias formas. Dá liberdade ao projetista na escolha da solução mais conveniente sob o ponto de vista estrutural.

Reformas e adaptações são, muitas vezes, de difícil execução.

Permite a obtenção de estruturas monolíticas (o que não ocorre com estruturas de aço e madeira). Há aderência entre o concreto já endurecido e o que é lançado posteriormente, facilitando a transmissão de esforços.

Técnicas de execução são razoavelmente dominadas em todo o país (emprego, função social!)

Material durável desde que bem executado

Boa resistência e durabilidade ao fogo desde que os cobrimentos e a qualidade do concreto estejam de acordo com as condições do meio em que está inserida a estrutura.

Bom condutor de calor e som (associação com outros materiais para sanar esses problemas).


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Execução de pré-moldados (maior rapidez e facilidade de execução).

É necessária a utilização de escoramentos (exceto em peças pré-moldadas), que precisam permanecer no local até que o concreto atinja resistência adequada.

Resistente a choques, vibrações, efeitos térmicos, atmosféricos e desgaste mecânico.

I.2.3 Método dos estados-limites Nas estruturas de concreto armado devem ser verificados no cálculo os estados-limites últimos e de serviço. Os estados-limite últimos (ELU) são aqueles relacionados ao colapso ou a qualquer outra forma de ruína estrutural que determine a paralisação do uso da estrutura, ou seja, estão relacionados à segurança estrutural (equilíbrio e resistência). Por outro lado, os estados-limite de serviço (ELS) são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, à aparência, ao conforto dos usuários e a boa utilização funcional da mesma (fissuração, deformações excessivas, vibrações excessivas), seja com relação aos usuários, às máquinas ou aos equipamentos utilizados. I.2.4 Normas para dimensionamento e execução de estruturas de concreto armado Com o objetivo de promover uma padronização que garanta a segurança adequada e a qualidade na confecção de projetos e na execução e no controle das obras, a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) regulamenta os procedimentos a serem empregados por meio de normas específicas. No caso do concreto armado:

1. NBR 6118 (2003) (conhecida como NB-1): Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento.

2. NBR 6120 (1980): Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações – Procedimento. 3. NBR 8681 (2003): Ações e Segurança nas Estruturas – Procedimento. 4. NBR 14931 (2003): Execução de Estruturas de Concreto – Procedimento


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II. PROPRIEDADES FÍSICAS DO CONCRETO E DO AÇO

II.1 Concreto O concreto, como visto anteriormente, é obtido a partir da mistura de água, cimento, agregado miúdo e agregado graúdo. Em algumas situações, pode-se ainda acrescentar produtos químicos ou outros componentes para lhe melhorar algumas propriedades. O objetivo de seu preparo é obter um material predominantemente sólido, com grande resistência e poucos espaços vazios. Isto é atingido com a adequada hidratação do cimento de modo que a pasta resultante envolva e adira satisfatoriamente aos sólidos presentes. As diversas características do produto final são funções do planejamento e de cuidados durante sua execução. O planejamento consiste em definir as propriedades desejadas do concreto, analisar e escolher os materiais existentes ou disponíveis e estabelecer uma metodologia para definir o traço (proporção entre os componentes), equipamentos para a mistura, transporte, adensamento e água. Em geral, a maior preocupação de projetistas, calculistas e engenheiros de obras é com a resistência à compressão do concreto endurecido, obtida a partir de ensaios com corpos de prova cilíndricos. Esta resistência é usada como controle de fabricação e admite-se que forneça todas as informações relativas à resistência e deformabilidade do concreto. II.1.1 Concreto fresco As principais propriedades do concreto fresco são:

1. Consistência: a. Maior ou menor capacidade que o concreto fresco tem de se deformar. b. Mede-se a consistência através do abaixamento de uma massa pré-determinada

colocado em um molde metálico tronco-cônico. A deformação vertical produzida é chamada abatimento ou slump (slump test, NBR 7223:1998 e Figura II.1). Quanto maior, menor a consistência do concreto.

Figura II.1 – Teste de slump.


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c. Varia com a quantidade de água empregada, granulometria dos agregados e presença de produtos químicos específicos.

d. Concretos com menor consistência devem ser empregados em elementos com alta taxa de armadura (dificuldade de adensamento) e em peças com eixo ou superfícies inclinadas (escadas e sapatas, por exemplo). Do contrário, é preferível o uso de concretos com maior consistência.

2. Trabalhabilidade: a. O conceito de trabalhabilidade está ligado basicamente à maneira de se efetuar

o adensamento do concreto. Um concreto fácil de ser lançado e adensado é considerado de boa trabalhabilidade (slump alto).

b. Varia com a granulometria dos materiais, incorporação de aditivos e, principalmente, com a relação água/cimento.

c. Prefere-se melhorar a trabalhabilidade de um concreto com aditivos, pois o aumento de água reduz sua resistência.

3. Homogeneidade: a. Quanto mais uniformemente ou regularmente os agregados graúdos se

apresentarem dispersos na massa de concreto (totalmente envolvidos pela pasta), melhor será a qualidade do concreto:

i. Baixa permeabilidade. ii. Boa proteção à armadura.

iii. Melhor acabamento sem necessidade de reparos posteriores (superfície “lisa” na retirada de formas).

b. Pode ser conseguida com boa mistura do concreto na fabricação, cuidadoso transporte, atenção no lançamento e um bom adensamento. Estes três últimos aspectos são tratados na NBR 14931:2003.

Na moldagem do concreto (lançamento nas formas), três etapas são de fundamental importância:

1. Adensamento: a. Consiste, em uma primeira etapa, na separação dos diversos compostos

para, depois, misturá-los adequadamente, evitando a formação de bolhas de ar, vazios (bicheiras) e separação dos materiais (segregação).

b. Feito a partir da aplicação de energia mecânica ao concreto. c. Há várias recomendações na NBR 14031:2003.

2. Pega: a. Período entre o início do endurecimento e o momento em que ele atinge

uma situação em que possa ser desformado, mesmo sem ter atingido sua resistência total.

b. Caracteriza-se o início da pega através da medida da penetração de uma haste, de peso e tamanho pré-definidos, no concreto. Quando esta medida supera um valor mínimo pré-estabelecido, considera-se que a pega iniciou.

3. Cura: a. Após o início da pega, a hidratação do concreto se desenvolve com grande

velocidade e, nesse período, a água existente na mistura tem a tendência de sair pelos poros do material e evaporar. Essa evaporação pode comprometer as reações de hidratação do cimento gerando uma redução de volume no concreto maior que o usual. Essa redução é parcialmente impedida pelas formas e armaduras gerando, desta forma, tensões de tração no concreto.


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b. O conjunto de medidas tomadas para evitar a evaporação precoce ou mesmo para fornecer água ao concreto até que as propriedades esperadas para esse concreto sejam atingidas é chamado cura.

c. A cura consiste em molhar constantemente as superfícies aparentes do concreto, ou mesmo molhar as formas de madeira, evitando a secagem da mesma.

d. Uma cura inadequada pode gerar fissuras na estrutura que levam à diminuição de sua resistência final.

e. A NBR 14931:2003 trata de vários de seus aspectos. II.1.2 Concreto endurecido No concreto endurecido, as características principais são as mecânicas, destacando-se a resistência à compressão e à tração. II.1.2.1 Resistência à compressão A resistência à compressão do concreto (fc) é determinada por ensaios de corpos de provas cilíndricos (15cm de diâmetro e 30cm de altura) submetidos à compressão centrada (Figura II.2). Esses ensaios também permitem a obtenção de outras características como o módulo de elasticidade do concreto.

Figura II.2 – Ensaio para determinação da resistência à compressão do concreto.

Vários fatores influenciam a resistência à compressão, mas os principais são: traço e a idade do concreto. A Figura II.3 apresenta a variação da relação da resistência do concreto com várias idades e sua resistência aos 28 dias. A resistência à compressão está associada à idade de 28 dias (NBR 6118:2003, item 8.2.4) e será estimada a partir do ensaio de uma determinada quantidade de corpos de prova (inferência estatística).


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0,59

0,78

0,9

1

1,081,12 1,14

1,18 1,2 1,22

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Tempo (dias)

f cj /

f c28

Figura II.3 – Variação da relação entre a resistência do concreto (cimento comum) com várias idades e

sua resistência aos 28 dias.

II.1.2.1.1 Resistência característica do concreto à compressão (fck)

Para avaliar a resistência de um concreto à compressão é necessário realizar um certo número de ensaios de corpos de prova. Os valores de resistência proporcionados pelos distintos corpos de provas são mais ou menos dispersos, variando de uma obra para outra e também com o rigor com que se confecciona. Qual será, então, a resistência representativa do mesmo? Adotou-se o conceito de resistência característica, que leva em conta a média aritmética dos valores encontrados em cada ensaio e também o desvio da série de valores. Assim, a NBR 6118:2003 (item 12.2) define que a resistência característica à compressão é aquele valor que apresenta um grau de confiança de 95%, ou seja, o valor para o qual 95% dos ensaios realizados gerem resistências superiores a ele e 5% abaixo. Na prática, o calculista especifica um valor de fck e usa-o nos cálculos. Cabe ao construtor fabricar (ou comprar) um concreto com essas características. A partir de fck, a NBR 6118:2003 (item 8.2.1) define classes para o concreto:

• C20 ou superior (fck = 20MPa ou superior): aplica-se a concreto com armadura passiva (concreto armado).

• C25 ou superior (fck = 25MPa ou superior): aplica-se a concreto com armadura ativa (concreto protendido).

• C15 a C20 (fck = 15MPa a fck = 20MPa): aplica-se apenas a fundações ou obras provisórias.

II.1.2.2 Resistência do concreto à tração (fct) O concreto resiste mal à tração, por essa razão não se conta com a ajuda dessa resistência.


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A resistência à tração, contudo, pode estar relacionada à capacidade resistente da peça a, por exemplo, fissuração e ao esforço cortante. Existem três tipos de ensaio (Figura II.4):

1. Flexo-tração (não é prático) (atinge 60% da resistência à tração pura). 2. Compressão diametral (conhecido como ensaio brasileiro – Eng. F. L. B. Lobo

Carneiro) (atinge 85% da resistência à tração pura) 3. Tração direta (difícil realização).

Figura II.4 – Ensaios para determinação da resistência à tração.

A NBR 6118:2003 (item 8.2.5) estabelece que a resistência à tração deve ser obtida através de ensaios. Na ausência desses, sugere:

⋅=

⋅=

⋅=

ctmsup,ctk

ctminf,ctk

/ckctm

f,f

f,f

f,f

31

70

30 32

(II.1)

onde fctm e fck devem ser utilizados em MPa Sendo MPa7≥ckjf , estas expressões também podem ser usadas para idades diferentes de 28 dias. O uso de fctk,inf ou fctk,sup é determinada pela norma em cada situação particular. II.1.2.3 Diagramas tensão vs deformação (NBR 6118:2003, itens 8.2.8 e 8.2.10) A Figura II.5 apresenta um típico diagrama tensão vs deformação do concreto obtido em um ensaio de compressão. Esse gráfico tem uma parte inicial retilínea e uma parte final parabólica. As principais características desse gráfico são discutidas a seguir.


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Figura II.5 – Diagrama tensão vs deformação do concreto sob compressão.

II.1.2.3.1 Módulos de elasticidade

Nesta figura, destacam-se as seguintes propriedades elásticas:

• Módulo tangente: seu valor é variável em cada ponto e é dado pela inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.

• Módulo de deformabilidade inicial (Eci): inclinação da reta tangente à curva na origem. É o módulo, quando necessário, que deve ser especificado em projeto e controlado na obra.

• Módulo secante (Ecs): seu valor é variável em cada ponto e é obtido pela inclinação da reta que une a origem com esse ponto. É empregado nas análises elásticas de projeto para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados-limite de serviço:

εσ

=csE (II.2)

Segundo a NBR 6118:2003 (item 8.2.8), o módulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522:1994. Quando não forem feitos ensaios, pode-se adotar:

• Módulo de deformabilidade inicial:

ckci fE ⋅= 5600 (II.3)

• Módulo secante:

cics E,E ⋅= 850 (II.4)


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Nas Eqs. (II.3) e (II.4), todas as grandezas devem ser expressas em MPa. Na avaliação do comportamento à tração, quando necessário, pode-se utilizar o módulo secante dado pela Eq. (II.4). II.1.2.3.2 Relação tensão vs deformação sugerida pela NBR 6118:2003 (item 8.2.10)

A Figura II.6 apresenta a curva sugerida (curva inferior) para análise no estado-limite último pela NBR6118:2003 (diagrama parábola-retângulo). Nessa curva, fcd é a resistência de cálculo do concreto (fck / 1,4). Até 0,5fcd, a relação entre tensões e deformações é linear e o módulo de elasticidade é dado pela Eq. (II.4). A tensão-limite é 0,85 fcd.

Figura II.6 – Diagrama tensão vs deformação do concreto sob compressão sugerido pela

NBR 6118:2003.

Para obtenção da equação da curva superior, basta substituir 0,85 fcd por fck na equação apresentada. A Figura II.7 apresenta a curva sugerida para tração considerando o concreto não-fissurado.


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Figura II.7 – Diagrama tensão vs deformação do concreto não-fissurado sob tração sugerido pela NBR

6118:2003.

II.2 Aço A norma NBR 7480:1996 define os tipos, as características e outros detalhes sobre as barras e fios de aço destinados a armaduras de concreto armado. Segundo esta norma, existem três tipos de aço para aplicação em estruturas de concreto armado: CA-25, CA-50 e CA-60. Os aços CA-25 e CA-50 são utilizados sob a forma de barras (Figura II.8) comercializadas com diâmetros nominais de 6,3mm, 8,0mm, 10mm, 12,5mm, 16mm, 20mm, 25mm, 32mm e 40mm. As barras possuem comprimento máximo de 12m. Para comprimentos superiores a esse, há necessidade de emenda.

Figura II.8 – Barras de aço.

O aço CA-60 é utilizado na fabricação de fios (Figura II.9) que são comercializados nos diâmetros de 3,4mm, 4,2mm, 5,0mm, 6,0mm, 7,0mm, 8,0mm e 9,5mm.


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Figura II.9 – Fios de aço.

Para massa específica desses aços, pode-se assumir o valor de 7850 kg/m3. A Figura II.10 apresenta o diagrama tensão vs deformação típico de um aço obtido em um ensaio de tração (NBR 6152:1992). As características mecânicas mais importantes obtidas a partir dessa curva e que, por conseqüência, definem um aço, são:

Figura II.10 – Diagrama tensão vs deformação do aço.

• Tensão característica de escoamento do aço à tração (fyk) (ponto a): é a máxima tensão

que a barra ou fio deve suportar, pois a partir dela o aço passa a sofrer deformações permanentes, ou seja, até esse valor de tensão, ao se interromper o ensaio de tração de uma amostra, esta voltará até seu tamanho inicial não apresentando nenhum tipo de deformação permanente. Os aços CA-25 e CA-50 têm patamar de escoamento bem definido e, assim, o valor da resistência é obtido claramente a partir do diagrama tensão vs deformação. O aço CA-60 não tem patamar definido e, assim, a resistência característica é aquela correspondente a uma deformação específica permanente de 0,2%.

• Limite de resistência (fstk): força máxima suportada pelo material na qual ele se rompe,

ou seja, é o ponto máximo de resistência da barra.


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• Alongamento na ruptura: é o aumento do comprimento do corpo de prova correspondente à ruptura.

Para efeito de dimensionamento em concreto armado, não se faz necessário utilizar o diagrama tensão vs deformação apresentado na Figura II.10. A NBR 6118:2003 permite o uso do diagrama tensão vs deformação simplificado que é indicado na Figura II.11.

Figura II.11 – Diagramas tensão vs deformação simplificados propostos pela NBR 6118:2003 para

dimensionamento de estruturas de concreto armado.

Nessa figura, têm-se as seguintes grandezas: Es – módulo de elasticidade do aço, admitido igual 210000MPa. fyk – tensão característica de escoamento do aço à tração. fyd – tensão de escoamento de cálculo do aço ( = fyk / 1,15). A Tabela II.1 destaca os valores dessas grandezas referentes aos aços que serão utilizados no dimensionamento de estruturas de concreto armado. Nessa tabela, εyd é a deformação específica de cálculo (= fyd / Es) e ξ é a relação entre a profundidade da linha neutra e a altura útil de uma seção de concreto (será visto mais adiante).

Tabela II.1 – Propriedades dos aços utilizados no dimensionamento de estruturas de concreto armado.

Aço fyk fyd εyd = fykEs

ξ = xd

CA-25 250 MPa 217 MPa 0,104 % 0,7709 CA-50 500 MPa 435 MPa 0,207 % 0,6283 CA-60 600 MPa 522 MPa 0,248 % 0,5900


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EXERCÍCIO PROPOSTO II.1: Para fck = 20MPa, 25MPa e 30MPa, montar uma tabela apresentando:

1. Resistência de cálculo à compressão (fcd). 2. Resistências à tração (fctm, fctk,sup e fctk,inf). 3. Módulos de deformabilidade inicial (Eci) e secante (Ecs) do concreto.

EXERCÍCIO PROPOSTO II.2: Para fck = 25MPa, traçar as curvas tensão vs deformação do concreto na compressão (NBR 6118:2003) considerando valores característicos e de cálculo. EXERCÍCIO PROPOSTO II.3: Traçar o diagrama tensão vs deformação simplificado proposto pela NBR 6118:2003 para o aço CA-50. Considerar valores de cálculo e característico.


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III. SISTEMAS ESTRUTURAIS EM EDIFICAÇÕES

III.1 O projeto estrutural O projeto estrutural de edificações em concreto armado compõe-se das seguintes etapas:

CONCEPÇÃO ANÁLISE SÍNTESE

OTIMIZAÇÃO Essas etapas são inter-relacionadas e consecutivas. A cada ciclo, o projeto sofrerá revisões e alterações conceituais de modo a reduzir os custos sem comprometer o desempenho estrutural. III.1.1 Concepção Em uma primeira etapa, é preciso conceber a estrutura (concepção). Nesta fase, são estabelecidos os elementos estruturais e, por conseqüência, o sistema estrutural que será analisado. Elementos estruturais são peças com uma ou duas dimensões preponderantes sobre as demais que compõem a estrutura. Nos edifícios de concreto armado, têm-se os elementos:

• Básicos: lajes, vigas e pilares. • Fundações: sapatas, blocos, estacas, tubulões entre outras. • Complementares: escadas, muros de arrimo, caixas d’água entre outras.

O modo como esses elementos são arranjados é denominado sistema estrutural. Os elementos e o sistema estrutural propostos deverão atender, simultaneamente, as restrições impostas pelos projetos arquitetônico e de instalações prediais. III.1.2 Análise De posse do sistema e dos elementos estruturais, passa-se à fase de análise. A interpretação e a análise do comportamento real de uma estrutura são, de modo geral, complexas e nem sempre possíveis. Por essa razão, na construção de modelos físicos e matemáticos voltados para análise de estruturas (não só de estruturas concreto armado!) é comum utilizar técnicas de discretização. A discretização consiste em desmembrar uma estrutura complexa, cujo comportamento global seria de difícil previsão, em elementos menores cujos comportamentos possam ser admitidos já conhecidos e de fácil estudo. Estruturas de concreto armado são usualmente discretizadas em lajes, vigas, pilares e fundações. Esses elementos estruturais são analisados separadamente seguindo ordem contrária à de execução da estrutura, ou seja:

1. Análise das lajes com determinação das reações nos bordos, isto é, sobre as vigas.


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2. Análise das vigas considerando as cargas impostas pelas lajes. Calculam-se as reações nos apoios das vigas, que, de modo geral, correspondem aos pilares.

3. Análise dos pilares levando-se em conta as cargas impostas pelas vigas. Determinação da carga total que será transferida para as fundações.

4. Análise das fundações. A Figura III.1 ilustra uma estrutura simples (garagem em concreto armado) e a discretização adotada para sua análise.

(a)

(b)

Figura III.1 – (a) Projeto de uma garagem em concreto armado; (b) Sistema e elementos estruturais gerados por discretização.


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É importante destacar que a execução da estrutura se dá em sentido contrário ao da análise, isto é: primeiro constroem-se as fundações, logo após os pilares, vigas e lajes. Por fim, cabe salientar que durante o processo de discretização, várias hipóteses são assumidas e, ao final da análise do sistema estrutural, deverão ser verificadas suas respectivas validades. Em particular, na análise de edificações de concreto armado, pode-se citar que:

• As vigas são apoios indeformáveis para as lajes. • As lajes são totalmente apoiadas ou engastadas nas vigas. • As ações sobre as vigas são uniformemente distribuídas. • Os pilares fazem o papel de apoios indeslocáveis na direção vertical para as vigas.

III.1.3 Síntese e otimização De posse de todas as dimensões dos elementos estruturais e do comportamento da estrutura como um todo, verifica-se se as hipóteses adotadas ao longo da análise foram adequadas, se o comportamento estrutural obtido foi o desejado e se ainda pode ser aprimorado. A esta fase é dado o nome de síntese e, em linhas gerais, consiste em uma análise crítica dos resultados obtidos na análise estrutural. Caso o comportamento estrutural obtido não tenha sido o desejado ou ainda se queira melhorá-lo (reduzindo as dimensões dos elementos estruturais, por exemplo), passa-se a fase de otimização. Nessa fase, obtém-se um novo sistema estrutural que deverá seguir todas as etapas estabelecidas inicialmente (novas concepção, análise, síntese e otimização). Nota-se, portanto, que a elaboração do projeto estrutural é um processo cíclico no qual se deseja obter estruturas as mais resistentes possíveis da forma mais econômica. III.2 Abrangência do curso Nesse curso, será enfocada apenas a análise de estruturas de concreto armado e, particularmente, as lajes e vigas. As demais etapas do projeto serão abordadas em disciplinas futuras.

Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE

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IV. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO

IV.1 Introdução O cálculo da armadura necessária para resistir a um momento fletor é um dos pontos mais importantes no dimensionamento das peças de concreto armado. O dimensionamento é feito no estado-limite de ruína, impondo que na seção mais solicitada sejam alcançadas as deformações específicas limites dos materiais, ou seja, o estado-limite último pode ocorrer tanto pela ruptura do concreto comprimido quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. IV.2 Definições e nomenclatura Antes de apresentar a teoria que possibilita o dimensionamento das peças de concreto armado, é conveniente repetir as principais definições e nomenclatura das grandezas envolvidas no cálculo: h – altura total da seção transversal de uma peça. d – altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até a fibra mais comprimida de concreto (Figura IV.1).

Figura IV.1 – Altura útil de uma laje.

A altura útil relaciona-se com a espessura da laje através da expressão:

h = d + cnom + φ2 (IV.1)

Pode-se adotar, em um pré-dimensionamento, para lajes maciças:

d = h – 3cm (IV.2) E para vigas o menor valor entre:

d = h – 5cm e d = h – 10%h (IV.3)


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Msd – momento fletor solicitante de cálculo: no dimensionamento, é obtido multiplicando-se o momento de serviço (calculado) pelo coeficiente de ponderação 1,4. Mrd – momento fletor resistente de cálculo: momento fletor que a peça deve resistir (calculado com fcd e fyd e sempre Msd ≤ Mrd). bw – largura da seção transversal: no caso de lajes, bw = 100cm = 1,0m. x – altura (profundidade) da linha neutra: distância da borda mais comprimida do concreto ao ponto que tem deformação e tensão nulas (distância da linha neutra ao ponto de maior encurtamento da seção transversal de uma peça fletida). IV.3 Hipóteses básicas para o cálculo As hipóteses para o cálculo no estado-limite último estão no item 17.1.2 da NBR 6118:2003 e são as seguintes:

1. Seções transversais permanecem planas: do início da deformação até o estado-limite último; as deformações são, em cada ponto, proporcionais a sua distância à linha neutra da seção.

2. Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a armadura; dessa forma, a deformação específica de uma barra da armadura, em tração ou compressão, é igual à deformação específica do concreto adjacente.

3. Tensões de tração no concreto podem ser desprezadas. 4. Caracterização da ruína da peça para qualquer tipo de flexão feita através das

deformações específicas de cálculo do concreto (εc) e do aço (εs). 5. Encurtamentos últimos (máximos) do concreto: no estado-limite último, o

encurtamento específico de ruptura do concreto vale: a. Nas seções não inteiramente comprimidas (flexão): εc = 3,5‰. b. Nas seções inteiramente comprimidas: εc = 2,0‰.

6. Alongamento último das armaduras: o alongamento máximo permitido ao longo da armadura tracionada é εs = 10‰.

7. Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo apresentado no capítulo II.

IV.4 Domínios de dimensionamento Conforme já apontado, a ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado-limite último é caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço, que atingem os valores últimos das deformações específicas desses materiais. Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de uma seção transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida a ações normais definem seis domínios de deformação esquematizados na Figura IV.2. Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de deformações específicas de cálculo εc e εs correspondem um esforço normal, se houver, e um momento fletor atuantes na seção.


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Figura IV.2 – Domínios de deformação no estado-limite último em uma seção transversal (Figura

17.1, NBR 6118:2003).

Domínio 1 O estado último é caracterizado pela deformação εsd = 10‰. A linha neutra é externa à seção transversal, a qual está inteiramente tracionada. Neste domínio estão incluídos os casos de tração axial e de tração excêntrica com pequena excentricidade. A seção resistente é composta pelas armaduras de aço, não havendo participação resistente do concreto que é admitido inteiramente fissurado. Domínio 2 O estado limite último é caracterizado pela deformação εsd = 10‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo comprimido. Neste domínio, estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. Na peça existe um banzo tracionado, mas o concreto da zona comprimida não atinge a ruptura, pois esta somente poderá ocorrer na posição limite no fim do domínio 2, quando, então, εcd = 3,5‰. Observando a Figura IV.2, percebe-se que no limite entre os domínios 2 e 3, a linha neutra se encontra a uma profundidade igual a:

3,5 ‰x2

= 10‰d − x2

∴ x2 = 0,259 . d


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Domínio 3 O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. Na situação última (limite entre o domínio 3 e 4), a deformação da armadura tracionada é pelo menos igual à deformação de início de escoamento. Assim, a ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto, pois os dois materiais são aproveitados inteiramente e, além disso, não há risco de ruína não avisada. As peças que chegam ao estado último no domínio 3 são ditas peças subarmadas (na verdade deveriam ser chamadas de peças normalmente armadas). Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. O domínio 3 é limitado pela condição:

3,5 ‰x3

= εyd

d − x3 ∴ x3 =

0,0035 εyd + 0,0035 d

que é variável com o tipo de aço empregado. Domínio 4 O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. No estado último, a deformação da armadura é inferior à deformação de início de escoamento. A ruptura da peça ocorre, portanto, de forma frágil, não avisada, pois o concreto se rompe sem que a armadura tracionada possa provocar uma fissuração que sirva de advertência. As peças que chegam ao estado limite último no domínio 4 são ditas superarmadas, devendo ser evitadas tanto quanto possível. No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com grande excentricidade. Existe predominância do efeito de compressão, embora a excentricidade não possa ser chamada de pequena, pois a peça ainda apresenta um banzo tracionado. O domínio 4 é limitado pela condição:

x4 = d sendo nula a deformação da chamada armadura de tração a qual, na situação limite, não é solicitada.


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Domínio 4a O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰. A linha neutra ainda corta a seção transversal, mas na região de cobrimento da armadura menos comprimida. No domínio 4a, as armaduras estão comprimidas, embora sejam usualmente desprezíveis as tensões na armadura menos comprimida. O domínio 4a é um simples domínio de transição conceitual, estando limitado por uma posição da linha neutra tangente à fibra extrema da seção, sendo, pois:

x4a = d Domínio 5 No domínio 5, estão incluídos os casos de flexo-compressão com pequena excentricidade e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção transversal a qual se encontra inteiramente comprimida. Admite-se que neste domínio seja variável a deformação última do concreto. Toma-se 2‰ na compressão uniforme e 3,5‰ na flexo-compressão com linha neutra tangente à seção. Os diagramas de deformação nos dois casos limites citados cruzam-se no ponto C, afastado de 37 h da borda mais comprimida da seção, como decorrência da hipótese de que o estado

último seja caracterizado por εcd = 2,0‰ na compressão uniforme e εcd = 3,5‰ na flexo-compressão. A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com encurtamento da armadura. Não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência. IV.5 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão normal Considerando equações de equilíbrio de uma dada seção de concreto armado e as hipóteses estabelecidas no item IV.3, chega-se às seguintes expressões para o cálculo da armadura longitudinal em lajes sob flexão normal:

kmd = 0,68 . kx − 0,272 . kx2 (IV.4)

kz = 1 − 0,4 . kx (IV.5)

As = Msd

kz . d . fs (IV.6)

Onde

kmd = Msd

bw . d 2 . fcd (IV.7)


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kx = xd (IV.8)

e As é área necessária de armadura longitudinal e fs é a tensão associada a essa armadura devida aos esforços atuantes. A partir dos parâmetros adimensionais gerados (kmd, kz e kx), obtém-se a Tabela D.1. ROTEIRO PARA CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS EM LAJES

1. Calcular através da Eq. (IV.7) o valor de kmd. 2. Com o valor de kmd, buscar na Tabela D.1 os valores de kx e kz, além da tensão

associada à armadura (fs) 3. Com kx, determinar o domínio de dimensionamento:

a. Se aço CA-25: i. kx > 0,771 Domínio 4 (deve ser evitado)

ii. 0,259 < kx < 0,771 Domínio 3 (ideal) iii. kx < 0,259 Domínio 2 (admissível)

b. Se aço CA-50:

i. kx > 0,628 Domínio 4 (deve ser evitado) ii. 0,259 < kx < 0,628 Domínio 3 (ideal)

iii. kx < 0,259 Domínio 2 (admissível)

c. Se aço CA-60: i. kx > 0,590 Domínio 4 (deve ser evitado)

ii. 0,259 < kx < 0,590 Domínio 3 (ideal) iii. kx < 0,259 Domínio 2 (admissível)

Com kz e fs e considerando a Eq. (IV.6), calcula-se a área de aço necessária.


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V. PROJETO DE LAJES MACIÇAS EM CONCRETO ARMADO

V.1 Tipos de laje Sob o ponto de vista estrutural, lajes são elementos estruturais de concreto, com superfície plana, em que a dimensão perpendicular à superfície, usualmente chamada espessura, é muito menor do que as demais (largura e comprimento). Esses elementos são submetidos, principalmente, a ações normais (perpendiculares) a seu plano e têm como função, em edifícios de concreto armado, transferir as cargas que atuam sobre os pavimentos para os elementos que as sustentam (vigas). Há vários tipos de concepções para as lajes de concreto armado: • Lajes maciças:

Figura V.1 – Ilustração de uma laje maciça em concreto armado apoiada nas bordas por vigas.

Figura V.2 – Edifício em construção com lajes maciças em concreto armado.

o São constituídas por peças maciças de concreto armado, sendo o tipo mais comum em edificações.

o Não tem grande capacidade portante (estrutural), devido à pequena relação rigidez / peso.

o Dimensões (vãos) variando entre 3m e 6m podendo-se chegar a 8m.


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o Há necessidade de se utilizar fôrmas, sendo uma opção anti-econômica caso não haja repetição de pavimentos.

o Necessita de uma grande quantidade de vigas, o que dificulta a execução das formas.

o Funcionam como elementos de contraventamento (diafragmas rígidos) e de enrijecimento (vigas).

o Permite uma grande versatilidade geométrica das peças constituintes da edificação, pois são moldadas in loco.

• Lajes pré-fabricadas (vide Figura V.3 e Figura V.4):

o Existem diversos tipos e são fabricadas seguindo um rígido controle de qualidade.

o Podem ser constituídas por vigotas treliçadas ou armadas, que funcionam como elementos resistentes, cujos vãos são preenchidos com blocos cerâmicos ou de cimento. Nesse caso, a solidarização do conjunto é feita com uma capa superior de concreto com espessura, geralmente, de 4cm.

o Outra possibilidade é a utilização de painéis pré-fabricados protendidos ou treliçados, apoiados diretamente sobre as vigas de concreto ou metálicas (estrutura mista), dispensando elemento de vedação.

o A maior vantagem desse tipo de laje é a rapidez de execução. o Podem possuir vãos que variam de 4m a 8m podendo atingir 15m.

• Lajes nervuradas (vide Figura V.5):

o São utilizadas quando se deseja vencer grandes vãos e/ou grandes sobrecargas. o O aumento do desempenho estrutural é obtido pela ausência de concreto entre

as nervuras, que possibilita um alívio de peso não comprometendo sua inércia. o Para a execução das nervuras, são empregadas formas reutilizáveis ou não,

confeccionadas normalmente em material plástico, polipropileno ou poliestireno expandido.

o Devido à grande concentração de tensões na região de encontro da laje nervurada com o pilar, deve-se criar uma região maciça para absorver os momentos decorrentes do efeito de punção (perfuração da laje pelo pilar).

Figura V.3 – Lajes pré-fabricadas.


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(a)

(b)

(c)

Figura V.4 – Ilustração de painéis para lajes pré-fabricadas:

(a) tipos π e alveolar; (b) tipos T e múltiplos T; e (c) tipo U invertido.

Figura V.5 – Lajes nervuradas.


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• Lajes cogumelo:

o São lajes apoiadas diretamente sobre os pilares por intermédio de capitéis, mostrados na Figura V.6, que têm a função de absorver os esforços de punção presentes na ligação laje-pilar.

o O dimensionamento é feito com base nos esforços de cisalhamento, que são preponderantes sobre os esforços de flexão.

Figura V.6 – Ilustração de lajes cogumelo com capitéis e com engrossamentos.

• Lajes lisas (vide Figura V.7):

Figura V.7 – Ilustração de laje lisa ou plana.

o São apoiadas diretamente nos pilares sem o uso de capitéis ou engrossamentos. o Ausência de recortes nas lajes permite a redução no tempo de execução das

formas, além da redução expressiva do desperdício de materiais. o Como não há capitéis ou engrossamentos, o dimensionamento deve ser muito

criterioso observando atentamente a possibilidade de puncionamento. Para combatê-lo, podem ser utilizados conectores ou chapas metálicas na junção entre a laje e o pilar.

Nesse curso será abordado apenas o dimensionamento das lajes maciças em concreto armado.


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V.2 Roteiro para cálculo de lajes maciças em concreto armado Como visto no item III desta apostila, pelo processo de discretização do pavimento de uma edificação, obtêm-se várias lajes que deverão ser dimensionadas isoladamente. Para o dimensionamento dessas lajes isoladas, sugere-se o seguinte roteiro:

1. Pré-dimensionamento das espessuras e dos vãos teóricos das lajes. 2. Determinação das condições mais adequadas de vinculação das lajes (apoios nos bordos

das lajes). 3. Cálculo das cargas atuantes. 4. Verificação das flechas. 5. Cálculo dos momentos fletores. 6. Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão; 7. Determinação das armaduras longitudinais; 7. Cálculo das reações das lajes nas vigas de apoio; 8. Verificação do efeito das forças cortantes; 9. Detalhamento das armaduras.

V.3 Dimensionamento e detalhamento de lajes maciças em concreto armado V.3.1 Pré-dimensionamento das espessuras e dos vãos teóricos das lajes ! DICA: Pode-se usar para pré-dimensionamento da espessura das lajes um valor entre

lx40 e

lx50 para lajes comuns e

lx12,5 para lajes em balanço, onde lx é o menor vão da

laje, respeitando-se as espessuras mínimas recomendadas na NBR 6118:2003. V.3.1.1 Espessuras mínimas das lajes (h) A NBR 6118:2003, item 13.2.4.1, estipula valores mínimos para a espessura das lajes que DEVEM ser respeitados:

• 5cm para lajes de cobertura não em balanço. • 7cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço. • 10cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN. • 12cm para lajes que suportem veículos de peso total maior ou igual a 30kN. • 15cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, l / 42 para lajes de piso biapoiadas e

l / 50, onde l é o menor vão da laje. • 16cm para lajes lisas e 14cm para lajes-cogumelo.

V.3.1.2 Vãos teóricos de lajes (l) Para determinação do vão teórico segundo a NBR 6118:2003 Anexo A.

Usualmente, adota-se um sistema de eixos nas lajes onde x é a direção do menor vão e y é a direção do maior vão (Figura V.8).


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Figura V.8 – Eixos e definição dos vãos lx

e ly.

! DICA: Pode-se considerar para o vão teórico, conservadoramente, lef = lo + t12 +

t22 , onde lo

é a distância entre faces internas de dois apoios consecutivos, e t1 e t2 são as larguras desses apoios. V.3.2 Condições de vinculação dos bordos das lajes (condições de contorno) Como visto no capítulo III, a complexidade da descrição do comportamento conjunto das lajes em uma estrutura força a adoção de algumas hipóteses simplificadoras de forma a viabilizar a análise individual de cada painel de laje. Uma dessas hipóteses está relacionada à forma como os bordos da laje se comportam. Na metodologia de análise aqui proposta, os bordos da laje poderão ter três tipos de comportamento distintos, isto é, poderão estar engastados, apoiados ou livres (Tabela V.1).

Tabela V.1 – Tipos de condições de contorno nos bordos de uma laje. Tipo de condição

de contorno Símbolo Restrição Esforços gerados

ENGASTE Deslocamentos e

rotações Forças e momentos

APOIO Deslocamentos Forças LIVRE Sem restrição Não gera esforços

No que vem a seguir, para as situações usualmente encontradas no projeto de lajes, serão apresentadas as condições de contorno sugeridas. 1. Primeira situação: Bordo da laje analisada não é comum a nenhuma outra laje.

Nessa situação, há duas possibilidades: • Se o bordo estiver sobre uma viga, então considera-se APOIADO. • Se não houver viga, trata-se de um bordo LIVRE.


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2. Segunda situação: Bordo da laje é comum a outras lajes e todas as lajes estão no mesmo nível. Nesta situação (Figuras V.9 e V.10), independente da espessura das lajes, considera-se o bordo ENGASTADO. 3. Terceira situação: Bordo da laje é comum a outras lajes e as lajes estão desniveladas. Nesta situação (Figuras V.11 a V.13), deve-se verificar o valor do rebaixamento (r). Se o rebaixamento for inferior à espessura da laje superior (h1) (Figura V.11), considera-se que o bordo está ENGASTADO, caso contrário o bordo será considerado APOIADO. 4. Quarta situação: Lajes com mudança de direção (lajes inclinadas). Neste caso, o bordo comum às duas lajes (Figura V.14) é assumido como ENGASTADO. 5. Quinta situação: Lajes parcialmente contínuas. Uma situação muito comum na prática é a ocorrência de um bordo parcialmente engastado ou apoiado, como apontado na Figura V.15. Neste caso, a análise da laje torna-se bastante complexa e, por simplificação, tende-se a assumir que o bordo ou está totalmente engastado ou totalmente apoiado. Para tanto, propõe-se o seguinte critério prático (Figuras V.16 e V.17):

Se l2 ≥ 23 . l1, então os bordos das lajes L1 e L2 estão ENGASTADOS.

Se l2 < 23 . l1, então o bordo da laje L1 está APOIADO e o da laje L2 está ENGASTADO.

6. Sexta situação: Laje adjacente à laje em balanço. Nesta situação, a laje em balanço (Figura V.18) será sempre considerada ENGASTADA no bordo continuamente ligado à outra laje. Por outro lado, a laje contígua tem o bordo APOIADO, dada a impossibilidade da laje em balanço restringir as rotações que surgem nesse bordo. Despreza-se, no entanto, o momento (meng) que seria imposto no bordo da laje L1 para simplificar os cálculos.


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Figura V.9 – Lajes em nível, de mesma espessura, e suas condições de contorno.

Figura V.10 – Lajes em nível, de espessuras distintas, e suas condições de contorno.


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Figura V.11 – Lajes em desnível.

Figura V.12 – Condições de contorno das lajes desniveladas para o caso em que r < h1.

Figura V.13 – Condições de contorno das lajes desniveladas para o caso em que r ≥ h1.

Figura V.14 – Laje inclinada (rampa).


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Figura V.15 – Lajes parcialmente contínuas e condição de contorno mista (engaste-apoio) para o

bordo da laje L1.

Figura V.16 – Condições de contorno em lajes parcialmente contínuas para l2 ≥ 23 . l1.

Figura V.17 – Condições de contorno em lajes parcialmente contínuas para l2 < 23 . l1.


38

Figura V.18 – Laje adjacente à laje em balanço.

EXERCÍCIO RESOLVIDO IV.1: Determine as condições de contorno nas lajes L1 a L10 apresentadas na planta de formas abaixo. Notar que a laje L1 está rebaixada de 25 cm em relação às demais.


39

Solução:

Laje L1: lx = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*20 = 520,0cm Laje L2: lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm ly = 500 + 0,5*15 + 0,5*20 = 517,5cm Laje L3: lx = 400 + 0,5*15 + 0,5*20 = 417,5cm ly = 500 + 0,5*15 + 0,5*20 = 517,5cm Laje L4: lx = 190 + 0,5*15 + 0,5*15 = 205,0cm ly = 400 + 0,5*15 + 0,5*20 = 417,5cm Laje L5: lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*20 = 217,5cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm Laje L6: lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm ly = 200 + 0,5*15 + 0,5*20 = 217,5cm Laje L7: lx = 185 + 0,5*15 + 0,5*15 = 200,0cm ly = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm Laje L8: lx = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm Laje L9: lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm Laje L10: lx = 400 + 0,5*15 + 0,5*20 = 417,5cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm


40

EXERCÍCIO PROPOSTO IV.1: Determine os vãos teóricos e as condições de contorno das lajes L1 a L4 apresentadas na planta de formas abaixo.

EXERCÍCIO PROPOSTO IV.2: Determine as condições de contorno nas lajes L1 a L8 apresentadas na planta de formas abaixo.


41

V.3.3 Cargas atuantes sobre lajes V.3.3.1 Ações a considerar No cálculo dos esforços solicitantes deverá ser considerada a influência das cargas permanentes e acidentais e de todas as ações que possam produzir esforços importantes. Neste curso, serão consideradas apenas cargas permanentes e acidentais. Não serão tratados efeitos indiretos tais como variação de temperatura, retração ou deformação lenta do concreto ou ainda cargas de ocorrência excepcional como as provocadas por choque (veículos ou aeronaves), vibração de equipamentos entre outras. V.3.3.2 Cargas permanentes As cargas permanentes das lajes são oriundas do peso próprio, da camada de regularização do piso, da argamassa de assentamento, dos revestimentos cerâmicos ou naturais, enchimentos e alvenarias (definidas no projeto de arquitetura). # Peso-Próprio O peso específico do concreto armado é definido como um carregamento volumétrico causado pela aceleração da gravidade. No caso de lajes (elementos bidimensionais), rebaixa-se em uma dimensão a ordem deste carregamento, obtendo-se uma carga distribuída pela área da estrutura, conforme demonstrado na Figura V.19.

Figura V.19 – Distribuição do peso-próprio em lajes.

Essa redução de ordem é feita com uso da dimensão não-predominante, ou seja, a espessura da laje. Deste modo, considerando o peso específico do concreto armado igual a 25 kN / m3, o peso próprio da laje é dado por:

gp = γc . h = 25 . h , em kN / m2 (V.1) # Revestimento É composto por diversas parcelas, tais como: camada de regularização, argamassa de assentamento, revestimentos cerâmicos ou naturais. Este carregamento depende do acabamento a ser utilizado na construção e é representado esquematicamente na Figura V.20.


42

Figura V.20 – Carregamento devido ao revestimento.

A NBR 6120:1980 apresenta os pesos específicos dos materiais de construção frequentemente empregados em revestimentos de pisos. A Tabela D.2 são apresentados alguns desses valores.

A carga devida ao revestimento é dada por:

gR = Σ γR . hR (V.2) onde hR

é a espessura do revestimento. ! DICA: Na ausência de um valor definido, pode-se, também, utilizar o valor prático gR

= 1,0 kN/m2

para revestimentos cerâmicos ou de madeira, e gR = 1,5 kN/m2

para revestimentos de granito ou mármore. ALVENARIA Este carregamento somente será considerado quando existirem paredes descarregando sobre as lajes. Dois métodos podem ser utilizados para a determinação do carregamento parcialmente distribuído sobre a laje: 1. Método rigoroso: Consiste em se empregar programas computacionais, baseados nas placas por elementos finitos, podendo-se definir carregamentos e condições de contorno complexas. A utilização deste método é recomendável nos casos em que se deve verificar o efeito localizado produzido por um carregamento parcial ou em casos que fogem ao usual. 2. Método simplificado: Devido à inexistência de tabelas que considerem a disposição das alvenarias sobre as lajes, deve-se introduzir este carregamento de maneira aproximada, de modo a produzir resultados qualitativamente confiáveis. Esta aproximação consiste em:

(i) Se 1 ≤ lylx

≤ 2 (Figura V.21) (laje armada em cruz), distribui-se uniformemente o

carregamento das alvenarias sobre a laje, ou seja:

gA = γA (eA . hA . cA)

lx . ly , em kN/m2 (V.3)


43

onde γA é o peso específico da alvenaria (NBR 6120, Tabela D.3); eA é a espessura da

alvenaria acabada, hA é a altura da parede (pé-direito), e cA é o comprimento total das paredes sobre a laje e lx

e ly são os vãos teóricos da laje.

Figura V.21 – Paredes sobre laje armada em cruz.

O comprimento da parede, se apoiada sobre as vigas da laje, deve ser tomado de eixo das vigas. Além disso, o comprimento deve ser medido segundo a linha média da parede.

(ii) Se lylx

> 2 (laje armada em uma só direção) e a parede é disposta segundo a menor

dimensão da laje: nesse caso, recomenda-se adotar uma faixa resistente de 1m de largura, segundo o maior vão da laje, conforme mostrado na Figura V.22.

Figura V.22 – Parede disposta sobre o menor vão de uma laje armada em uma só direção.

Nessa situação:

gA = γA . (eA . hA), em kN/m (V.4)

O carregamento devido à alvenaria, disposta longitudinalmente, em relação à faixa unitária, será representado como uma carga por unidade de comprimento em um modelo de viga equivalente (será explicado mais adiante).


44

(iii) Se lylx

> 2 (laje armada em uma só direção) e a parede é disposta segundo a maior

dimensão da laje: nesse caso, recomenda-se adotar uma faixa resistente de 1m de largura, segundo o menor vão da laje, conforme a Figura V.23. O carregamento devido à alvenaria será representado como uma carga concentrada no modelo de viga equivalente. Essa carga é dada por:

Gp = γA . (eA . hA), em kN (V.5)

Figura V.23 – Parede disposta sobre o maior vão de uma laje armada em uma só direção.

V.3.3.3 Cargas acidentais As cargas acidentais que atuam em uma laje são definidas em função do seu uso. Nesta categoria, estão incluídos pessoas, móveis, materiais diversos, veículos, utensílios domésticos, equipamentos etc (Figura V.24).

Figura V.24 – Cargas acidentais atuantes sobre laje.

Os valores das sobrecargas podem ser obtidos na NBR 6120:1980. Na Tabela D.4, são apresentados alguns desses valores. A NBR 6120:1980, item 2.2.1.5, sugere ainda que, ao longo de parapeitos e balcões, devem ser consideradas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão ou letreiro e uma carga vertical mínima de 2,0 kN/m. V.3.3.4 Carga total sobre a laje A carga total sobre a laje (gT) é dada pela soma das cargas permanentes e acidentais atuantes, ou seja:

gt = gP + gR

+ gA + q (V.6)


45

V.3.4 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva) V.3.4.1 Lajes sem bordos livres A flecha (deslocamento transversal máximo de uma barra reta ou placa) para lajes submetidas a carregamento uniforme e com diferentes condições de contorno (Tabela D.5) é calculada através de:

f = g . lx

4

Ecs . h3 . α

100 (V.7)

onde: f é a flecha na laje; g é o carregamento atuante; h é a espessura da laje; Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto, Eqs. (II.3) e (II.4); e α é um coeficiente, função da relação entre os vãos e das condições de contorno da laje, dado pelos valores apresentados na Tabela D.5. V.3.4.2 Lajes em balanço Para lajes em balanço, têm-se as seguintes expressões:

Tabela V.2 – Flechas em lajes em balanço.

Condição de contorno Flecha

f = 32 .

g . lx4

Ecs . h3

f = 4 . P . lx

3

Ecs . h3

f = 6 . M . lx

2

Ecs . h3


46

V.3.4.3 Deslocamentos-limite impostos pela NBR 6118:2003 Como definido no item 13.3 da NBR 6118:2003, “deslocamentos-limite são valores práticos utilizados para verificar o estado-limite de deformações excessivas da estrutura”. Os deslocamentos excessivos e a tendência à vibração dos elementos estruturais podem ser indesejáveis por diversos motivos, a saber:

• Aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. Limites para esses casos são apresentados na Tabela D.6 (Tabela 3.12 da NBR 6118:2003).

• Efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção; limites para esses casos são apresentados também na Tabela D.6.

• Efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da estrutura, estão ligados a ela (Tabela D.6).

• Efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas.

Observando a Tabela D.6, nota-se que, nas lajes maciças para edificações residenciais considerando a condição de aceitabilidade sensorial, os seguintes deslocamentos-limite deverão ser considerados:

1. Carga total: lx

250

2. Carga acidental: lx

350

3. Lajes em balanço: o vão é igual ao dobro do comprimento do balanço, daí lx

125 para

carga global e lx

175 para carga acidental.


47

V.3.5 Cálculo dos esforços em lajes V.3.5.1 Determinação dos momentos máximos nas direções x e y em lajes sem bordos livres Os momentos fletores máximos, sendo os positivos designados pela letra m e os negativos pela letra n, são determinados pelas Eqs. (V.8) e (V.9).

1. Momentos máximos positivos, por unidade de comprimento, nas direções x e y.

mx = µx .

g . lx2

100

my = µy . g . lx

2

100

(V.8)

2. Momentos máximos negativos, por unidade de comprimento, nas direções x e y.

nx = -µx´ .

g . lx2

100

ny = -µy´ . g . lx

2

100

(V.9)

onde lx é o menor vão teórico da laje; µx, µy, µx´ e µy´ são coeficientes fornecidos nas Tabelas D.7 a D.9. Com relação aos valores calculados, cabe destacar que:

• Os momentos são calculados para uma faixa unitária de laje e para lajes isoladas. Assim, tem como unidade (considerando a carga em kN/m2 e o vão em m) kNm/m.

• Os coeficientes indicados nas tabelas levam a valores extremos dos momentos e, portanto, não expressam a variação de esforços ao longo da placa.

• Os momentos positivos ocorrem ao longo dos vãos das lajes (Figura V.25). • Os momentos negativos ocorrem nas bordas engastadas das lajes. Caso não haja

bordas engastadas, não se consideram momentos negativos (Figura V.25). • No caso de momentos negativos em face comum a duas lajes, é usual considerar o

maior valor entre a média dos momentos e 80% do maior momento fletor (Figura V.26).

V.3.5.2 Determinação dos momentos máximos em lajes em balanço Nesta apostila, somente será considerado o caso da laje em balanço. Para essa situação, consideram-se os casos apresentados na Tabela V.3.


48

Figura V.25 – Momentos fletores em lajes sem bordos livres.

Figura V.26 – Regra para compatibilização, em um mesmo bordo da laje, dos momentos negativos.


49

Tabela V.3 – Momentos fletores para lajes em balanço. Condição de contorno / carregamento Momento negativo máximo

nx = - g . lx

2

2

nx = - P . lx

nx = - M


50

EXEMPLO RESOLVIDO IV.2: (a) Determinar o carregamento total (cargas permanentes e acidentais) a ser aplicado na laje L1 correspondente aos compartimentos indicados na planta de arquitetura da figura abaixo. (b) Verificar as flechas totais e acidentais de acordo com o critério de aceitabilidade sensorial descrito na NBR 6118:2003. Considerar f

ck = 25MPa.

(c) Calcular os momentos fletores atuantes.

Considerar alvenaria composta por tijolos furados, altura do pé-direito 2,70m, largura das vigas externas 22cm e internas 17 cm, e espessura da laje igual a 7cm (espessura mínima). Solução: 1. Carga permanente:

Peso próprio: gP = 25 . 0,07 = 1,75 kN/m2 Revestimento (não informado): gR = 1,00 kN/m2 Alvenaria:

gA = 13 . 0,17 . 2,70 . (4,825 + 1,670)

4,825 . 5,605 = 1,43 kN/m2

L1

h = 7,0 cm = 0,07 m

ly = 506,5cm = 5,065 m

lx = 482,5 cm = 4,825 m

167,0cm = 1,670 m


51

2. Carga acidental (banheiro e dormitório): q = 1,50 kN/m2 3. Carga total: Permanente: gpermanente = 4,18 kN/m2 Acidental: q = 1,50 kN/m2 Total: gT = gP + gR + gA + q = 5,68 kN/m2 4. Determinação do módulo longitudinal secante do concreto:

Ecs = 0,85 . 5600 . fck [MPa] = 23800 MPa = 23800000 kNm2

5. Verificação da flecha devida ao carregamento total:

λ = lylx

= 506,5482,5 = 1,05

Da Tabela D.5, caso 4, tem-se: α = 2,67

De acordo com a Eq. (V.7): fg = 4,18 . (4,825)4

23800000 . (0,07)3 . 2,67100 = 0,0074 m = 7,4 mm

A flecha admissível vale (NBR 6118:2003): fadm,g = 4,825250 = 0,0193 m = 19,3 mm

Como f

g < f

adm,g, a flecha para cargas globais está OK!

6. Verificação da flecha devida ao carregamento acidental:

De acordo com a Eq. (V.7): fq = 1,50 . (4,825)4

23800000 . (0,07)3 . 2,67100 = 0,0027 m = 2,7 mm

A flecha admissível vale (NBR 6118:2003): fadm,q = 4,825350 = 0,0137 m = 13,7

mm Como fq < fadm,q, a flecha para cargas acidentais está OK! 7. Determinação dos coeficientes µx, µy, µx´, e µy´

Relação entre os vãos: λ = lylx

= 506,5482,5 = 1,05

Condições de contorno: Caso 4 Consultando as tabelas apresentadas: µx

= 3,05; µx´ = 7,43; µy = 2,81; µy´ = 7,18


52

8. Cálculo dos momentos fletores:

mx = µx . g . lx

2

100 = 3,05 . 5,68 . 4,8252

100 = 4,03 kN.m/m

nx = - µx´ . g . lx

2

100 = - 7,43 . 5,68 . 4,8252

100 = -9,82 kN.m/m

my = µy . g . lx

2

100 = 2,81 . 5,68 . 4,8252

100 = 3,72 kN.m/m

ny = - µy´ . g . lx

2

100 = -7,18 . 5,68 . 4,8252

100 = -9,49 kN.m/m

EXERCÍCIO RESOLVIDO IV.3: Calcular os momentos fletores atuantes na laje em balanço apresentada abaixo. Considerar carga distribuída igual a 6,0 kN/m2.

Solução: Nesse caso, devemos considerar a carga apresentada na NBR 6120, item 2.2.1.5, ou seja, uma carga vertical na borda da laje de 2,0 kN/m e uma carga horizontal de 0,8 kN/m. Será considerado parapeito com altura de 1,0m. 1. Cálculo do máximo momento fletor negativo: Pelas equações apresentadas na Tabela V.3, têm-se:

Carga distribuída: nx = - g . lx

2

2 = - 6,0 . 1,22

2 = -4,32 kN.m/m

Carga concentrada: nx = - P . lx = -2,0.1,2 = -2,40 kN.m/m Momento fletor: nx = - M = -0,80.1,0 = -0,80 kN.m/m Total: nx = -4,32 -2,40 -0,80 = -7,52 kN.m/m 2. Momentos fletores na laje:

3,72

4,03

-9,49

-9,8

2


53

V.3.6 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão

Para cálculo das áreas necessárias ver item IV. V.3.6.1 Áreas de aço mínimas e máximas para armaduras longitudinais Área mínima (exceto armadura secundária para lajes armadas em uma direção):

As,mín = 0,150% bw . h (para concreto com fck ≤ 25MPa) As,mín = 0,173% bw . h (para concreto com fck = 30MPa) (V.10)

Área máxima:

As,máx = 4,0% bw . h (V.11) V.3.6.2 Armadura de distribuição ou secundária de flexão A área necessária para armadura positiva de distribuição em lajes armadas em uma direção é dada por:

As,distr =

20% As

0,9 cm2/m

0,075% bw . h

(V.12)

onde As é área de ferro necessária para a armadura principal.

V.3.7 Determinação das armaduras de flexão Para a determinação das armaduras longitudinais positivas e negativas em lajes maciças de concreto armado, seguem-se algumas recomendações apresentadas na NBR 6118:2003. V.3.7.1 Espaçamento entre as barras e diâmetro máximo das barras É preciso, inicialmente, para uma determinada área necessária de aço As por unidade de largura da laje (cm2/m), determinar o espaçamento s entre as barras, para uma barra escolhida de área Asφ (cm2) (Tabela D.10). A quantidade n de barras por metro de laje vale:

n = As

Asφ (V.13)

e o espaçamento, s, será a largura unitária (1,0m) divida pelo número de barras, ou seja:

s = 1,0m

n = AsφAs

(m) (V.14)


54

Esse espaçamento entre as barras deve respeitar (NBR 6118:2003, item 20.1):

s ≤ 20cm

2 . h

(V.15)

O diâmetro máximo de qualquer barra da armadura de flexão, também o segundo item 20.1, deve ser:

φmáx ≤ h8 (V.16)

V.3.8 Detalhamento das armaduras V.3.8.1 Comprimento das barras Para as armaduras positivas:

• Serão colocadas barras em todo o vão das lajes (armadura corrida). • As barras deverão penetrar nos apoios (vigas) 6cm ou 10φ (o maior valor é escolhido

e, se for o caso, arredondado para cima). ! DICA: Pode-se simplesmente usar o comprimento do vão teórico da laje, ou seja, de eixo a

eixo de vigas de apoio. E nas lajes em balaço deve-se descontar o cobrimento nas bordas sem vigas.

Para as armaduras negativas: O comprimento de cada barra da armadura negativa é dado pela soma das três parcelas descritas a seguir:

• Todas as lajes serão consideradas isoladas, e a armadura, para todas as situações de vinculação, estender-se-á no interior da laje a uma distância igual a 0,25 lx (Figura V.27).

Figura V.27 – Comprimento da armadura negativa em uma laje.

• Ao comprimento anterior deverá ser acrescentado o comprimento de ancoragem reto

(lb), de acordo com o Anexo B.


55

• Serão adotados, em todas as extremidades da armadura negativa, ganchos retos, calculados de forma simplificada, como indicado na Figura V.28, descontando da altura total da laje 2 cm junto a cada face, resultando:

lg = h –4cm (V.17)

Figura V.28 – Gancho para ancoragem da armadura negativa.

Deste modo, o comprimento total de cada barra da armadura negativa é dado por:

lan = 0,25 lx + lb + lg (V.18)

Onde lan é o comprimento das barras de aço negativas, lx é o comprimento do menor vão da laje, lb é o comprimento de ancoragem reto, e lg é o comprimento do gancho. Lembrando que na ligação de uma laje com outra, calcula-se o comprimento das barras da armadura negativa para cada uma das lajes da ligação e somam-se os comprimentos para obter-se os comprimentos totais dessas barras. Para lajes em balanço considerar o comprimento da barra igual ao comprimento do balanço – 2 cm e acrescentar o comprimento aproximado do gancho, ou seja:

lan = lx + lg – 2 cm (V.19)

V.3.8.2 Cálculo do número de barras O número de barras total é igual ao comprimento de eixo a eixo da viga na direção perpendicular dividido pelo espaçamento. Caso o resultado não seja inteiro, deve-se arredondar o número de barras para baixo. V.3.8.3 Numeração dos ferros nas lajes Determinados os diâmetros e comprimentos de cada armadura das lajes, o esquema final de armação deve ser apresentado junto com a planta de formas. Um exemplo é apresentado na Figura V.29.


56

Figura V.29 – Exemplo de planta de formas com a armadura das lajes.

Cada armadura é representada com a seguinte simbologia: número de barras N número da armadura φ diâmetro c espaçamento (comprimento) O número da armadura se modifica caso haja variação no diâmetro ou no comprimento. Assim, na Figura V.29, a mesma armadura 1 (N1), pode ser utilizada nas duas direções da laje L1 e, também, na maior direção da laje L2. Na atribuição desses números sugere-se numerar as armaduras da menor para maior bitola. V.3.8.4 Peso das barras O peso total das barras de um mesmo diâmetro é calculado por: Pφ = P/m . ct , onde P/m é o peso por metro da barra de um determinado diâmetro φ dado na Tabela D.11, e ct é o comprimento total da barra deste mesmo diâmetro, que é a soma dos comprimentos totais de cada posição correspondente àquele mesmo diâmetro.


57

VI. PROJETO DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO

As vigas são elementos estruturais que geralmente servem de suporte às lajes ou de travamento dos pilares e se apóiam em pilares ou em outras vigas (ver esquema da Figura VI.1). Nesta mesma Figura VI.1 mostra-se também uma seção transversal típica sendo destacados as armaduras longitudinais positiva e negativa (referentes ao combate dos momentos fletores positivos e negativos, tração na face inferior e superior, respectivamente), e a armadura transversal (estribos, referentes ao combate dos esforços cortantes).

Figura VI.1 – Ilustração de um trecho de viga em um trecho de estrutura e detalhe de sua seção transversal.


58

VI.1 Determinação do esquema estrutural da viga O primeiro passo para o dimensionamento de vigas em concreto armado é a determinação do esquema estrutural. O item 14.6.7.1 da NBR 6118:2003 permite que as vigas sejam calculadas com o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares. A Figura VI.2.b ilustra o esquema estrutural de uma das vigas apresentadas na Figura VI.2.a. Para tanto é necessário que se determinem os comprimentos dos vãos, as dimensões da seção transversal da viga, as cargas atuantes, e os apoios, que serão determinados segundo recomendações descritas nos itens seguintes deste capítulo. Com o esquema estrutural da viga pode-se calcular os diagramas dos esforços atuantes (momentos fletores e esforços cortantes) e contabilizar as cargas que os pilares estão sujeitos.

(a) Planta de fôrmas.

(b) Esquema estrutural

Figura VI.2 – Determinação do esquema estrutural de uma viga.


59

VI.2 Dimensões das vigas Nas edificações de concreto armado, em geral, a espessura das vigas é determinada a partir da espessura da parede assentada sobre ela descontando-se de 2cm a 3cm. Nesta apostila, tomar-se-á, inicialmente, para largura das vigas a própria espessura da parede assentada sobre ela. A altura da viga pode ser estimada como aproximadamente 1/10 do valor do seu vão, aproximando-se para o múltiplo de 5 imediatamente abaixo ou acima. VI.3 Vão efetivos Para determinação do vão efetivo pela NBR 6118:2003 ver Anexo A.

! DICA: Pode-se considerar para o vão teórico, simplificadamente, lef = lo + t12 +

t22 , onde lo

é a distância entre faces internas de dois apoios consecutivos, e t1 e t2 são as larguras desses apoios. VI.4 Cargas atuantes sobre as vigas Três cargas atuam sobre as vigas:

1. Peso próprio. 2. Peso das paredes sobre a viga. 3. Reações das lajes sobre as vigas.

A carga total atuante em um trecho de viga será a soma dessas cargas. Nos itens a seguir, essas cargas são discutidas. VI.4.1 Peso próprio O peso próprio de uma viga é dado pelo produto entre o peso específico do concreto (γc = 25kN/m3) e a área da seção transversal da viga, ou seja:

qp = γc . Ac (VI.1) onde Ac é a área da seção transversal da viga. VI.4.2 Alvenaria O peso da alvenaria sobre a viga é dado pela expressão:

qa = γa . Ha . ea (VI.2) onde γa é o peso específico da alvenaria (pode ser assumido com 13kN/m3); Ha é a altura da parede (Ha = hpé-direito + hlaje – hviga; vide Figura VI.3); e ea a espessura da parede.


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hlajehviga

Ha h pe-direito

LajeVigaParede

Pilar

Figura VI.3 – Obtenção da altura da parede sobre vigas.

VI.4.3 Reação das lajes nas vigas A ação das lajes nas vigas, no estado elástico, ocorre por meio de um carregamento com intensidade variável ao longo do seu comprimento (depende, principalmente, das condições de apoio e da relação entre os vãos) e não uniforme, o que não é simples de determinar, além de dificultar o cálculo dos esforços nas vigas. De modo simplificado, no entanto, pode-se considerar que a ação das lajes maciças nas vigas se faça de maneira uniforme. A NBR 6118:2003, no item 14.7.6.1, diz que:

• As reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados por meio das charneiras plásticas, sendo que essas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio.

• Quando a análise plástica não é efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes ângulos:

o 45° entre dois apoios do mesmo tipo. o 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado

simplesmente apoiado. o 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.


61

Como conseqüência, a laje ficará dividida em regiões e cada uma dessas regiões carregará a viga correspondente de modo uniforme, de acordo com a área de influência, ou seja, a carga atuante em cada viga é dada pelo produto entre a área de influência e a carga total sobre a laje e divido pelo comprimento da viga no trecho. A Figura VI.4 mostra dois casos de lajes com as respectivas áreas de contribuição para as vigas.

Figura VI.4 – Regiões da laje para o cálculo das reações nas vigas.

Ao invés de se calcular as áreas de influência, pode-se utilizar as seguintes expressões para o cálculo das cargas sobre as vigas (lx sempre o menor vão!):

• Reações nas direções x e y nas vigas em bordas simplesmente apoiadas (qx, por exemplo, refere-se a uma viga perpendicular ao eixo x):

qx = kx . gt . lx

10 (VI.3)

qy = ky . gt . lx

10 (VI.4)

• Reações nas direções x e y nas vigas em bordas engastadas:

qx’ = kx´ . gt . lx

10 (VI.5)

qy’ = ky´ . gt . lx

10 (VI.6)

onde gt é a carga total atuante sobre a laje; kx, ky, kx’ e ky’ são parâmetros obtidos nas Tabelas D.13 a D.15 e são função das condições de contorno nas lajes e da relação entre os vãos. A Figura VI.5 ilustra o posicionamento dessas cargas nas vigas.


__________________________________________________________________________________________ 1 Ver Sussekind, J. C., “Curso de Análise Estrutural”, Vol. II, 9a edição, Ed. Globo, São Paulo, 1991. 2 Idem anterior Vol. III 62

Figura VI.5 – Distribuição das cargas oriunda de uma laje sobre as vigas de que lhe servem de apoio.

VI.5 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva)

A flecha (deslocamento transversal máximo de uma barra reta ou placa) para vigas de edifícios, submetidas a carregamentos quaisquer e com diferentes condições de apoio, pode ser calculada pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, e não faz parte do escopo desta apostila1. Os deslocamentos limites para as vigas impostos pela NBR 6118:2003 são os mesmos dados na Tabela D.6. E para efeitos em elementos não-estruturais tais como fissuras em paredes,

considerar como deslocamento-limite lv

500, onde lv é o comprimento do maior vão teórico da

viga em questão. VI.6 Determinação dos esforços atuantes Os diagramas de esforços atuantes (momentos fletores e esforços cortantes) devem ser obtidos de acordo com as técnicas estudadas em isostática e hiperestática (utilizando o método das forças1 ou dos deslocamentos2). Para o caso particular de vigas submetidas a cargas distribuídas com dois vãos, os referidos diagramas podem ser determinados através de fórmulas deduzidas com as técnicas citadas anteriormente (ver Anexo C).

Estruturas de Concreto Armado I UFRJ/FAU/DE

63

VI.6.1 Ligação Viga-pilar

No modelo estrutural apresentado, admite-se que o pilar não restringe a rotação das extremidades da viga. Isto, porém, não corresponde à realidade. Deve-se, segundo prescrições da NBR 6118:2003, item 14.6.7.1, apenas nas ligações entre a viga e os pilares na extremidade, calcular os momentos negativos referentes à restrição citada, através da seguinte equação:

MV-P = Rsup + Rinf

Rsup + Rinf + Rviga . Meng (VI.7)

Onde: MENG, é o momento de engastamento perfeito, caso a viga fosse engastada no pilar, dado por:

Meng = − gv . lv2

12 (VI.8)

gv é a carga distribuída atuante no vão da viga e lv é o comprimento deste vão. Rsup, Rinf e Rviga são as rigidezes do pilar no seu trecho superior e inferior a viga e da própria viga, e são dados por:

Ri = Ii

li (VI.9)

Ri, Ii e li são a rigidez , o momento de inércia e o comprimento do elemento i. Para seções retangulares:

Ii = bi . hi

3

12 (VI.10)

bi e hi são a largura e a altura da seção i.

Figura VI.6 – Esquema estrutural da ligação viga – pilar.


64

VI.6.2 Verificação do momento positivo em vigas contínuas

A NBR-6118:2003 estabelece que não devem ser considerados momentos positivos menores do que aqueles que se obtiveram se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos, e este momento é dado por:

M+mín =

gv . lv2

24 (VI.11)

VI.7 Dimensionamento das armaduras

VI.7.1 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate ao esforço cortante O cálculo das áreas de aço para dimensionamento das armaduras transversais (estribos) das vigas segue a teoria das treliças de Mörsch. A Figura VI.7 ilustra as fissuras que se formariam em viga de concreto caso não fossem colocados os estribos. Nota-se nesta Figura que ocorrem tensões cisalhantes de tração que devem ser combatidas por estribos e tensões cisalhantes de compressão que devem ser combatidas pelo próprio concreto. Por isso, deve-se calcular a área necessária para combate ao esforço cortante e também fazer a verificação da resistência ao esmagamento do concreto.

Figura VI.7 – Fissuras em vigas, próximas ao apoio, resultantes das tensões cisalhantes.

VI.7.1.1 Cálculo da área de aço transversal mínima

Asw,mín

s = 6 . fck

2/3

fyk . b (VI.12)

Onde: Asw,min é a área de aço transversal mínima;

s é o espaçamento entre os estribos;

fck é a resistência característica do concreto à compressão (em MPa);

fyk é a resistência do aço à tração (em MPa);

b é a largura da seção transversal da viga (em cm);


65

VI.7.1.2 Verificação do esmagamento do concreto

Consiste em verificar se o esforço cortante resistente de cálculo do concreto (Vrd2) é superior ao esforço cortante solicitante de cálculo (Vsd), sabendo que:

Vsd = 1,4 . V (VI.13) Onde V é o esforço cortante atuante numa determinada seção da viga.

Vrd2 = 0,27 . αv . fcd . b . d (VI.14) Onde:

αv = 1 – fck

250 (VI.15)

E as outras grandezas já foram definidas anteriormente. Lembrando que, para compatibilizar as unidades usar fcd em kN/m2, e a largura e a altura útil da viga em metros na Eq. VI.14, e fck em MPa na Eq. VI.15. Se Vsd > Vrd2 haverá esmagamento do concreto e deve-se aumentar a largura da viga, do contrário a seção está bem dimensionada quanto ao esmagamento do concreto devido ao esforço cortante.

VI.7.1.3 Área de aço necessária para combate ao cisalhamento (esforço cortante) O cálculo da área de aço necessária para combate ao cisalhamento é dado por:

Asws =

Vsd0,9 . d . fyd

(VI.16)

Onde para aço CA-50 fyd = 43,5 kN/cm2, e demais grandezas definidas anteriormente. VI.7.2 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão O cálculo das áreas de aço para dimensionamento das armaduras longitudinais de flexão positivas e negativas das vigas segue a mesma teoria, fórmulas e tabelas constantes do item IV desta apostila. VI.7.3 Determinação e detalhamento das armaduras na seção transversal. VI.7.3.1 Armadura transversal para combate ao cisalhamento (estribos)

VI.7.3.1.1 Diâmetros mínimos e máximos para escolha do estribo

φest ≥ 5 mm (VI.17a)

φest ≤ b10, onde b é a largura da viga (VI.17b)


66

VI.7.3.1.2 Determinação dos estribos

O número de ferros por metro necessários é calculado dividindo-se a área de ferro necessária pela área de ferro de uma bitola multiplicado por 2 pois o estribo tem duas pernas resistentes (vide Figura VI.8).

nº ferros com bitola φ =

Asw

s2 . Aφ

(VI.18)

Onde Asw/s é a área necessária para combate ao cisalhamento e Aφ é a área da seção transversal do estribo.

Figura VI.8 – Forma geométrica do estribo e indicação da parte resistente ao esforço cortante.

Com o número de ferros por metro de uma determinada bitola calcula-se o espaçamento entre ferros dividindo-se 100 pelo número de ferros.

s = 100

nº ferros (VI.19)

Deve-se escolher as bitolas de acordo com os espaçamentos utilizados na prática das construções que são 1 ferro a cada 5 cm, 7,5cm, 10 cm, 12,5 cm, 15 cm, 17,5 cm, 20 cm. O ideal é que se escolha uma bitola tal que resulte em 5 a 10 ferros por metro. VI.7.3.1.3 Detalhamento dos estribos

Para o cálculo do comprimento dos estribos basta subtrair 2,5 cm do cobrimento de cada borda da seção transversal da viga e acrescentar as duas dobras de ancoragem, com 5 cm cada.

lest = 2 . (bv + hv) – 4 . 2,5cm – 4 . 2,5cm + 2 . 5cm = 2 . (bv + hv) – 10cm (VI.20) Os estribos são colocados nas vigas e não entram nos seus apoios (pilares ou vigas de suporte). Portanto, a quantidade de barras é dada pelo comprimento do trecho de viga descontado o comprimento dos apoios na direção do eixo da viga e dividido pelo espaçamento entre os estribos e arredondando para cima.

2 pernas resistentes


67

nest = l s (VI.21)

A nomenclatura dos estribos é então: nest φ c s (lest). Por exemplo, 30 estribos de diâmetro 5.0mm a cada 10cm com 130cm de comprimento, seria escrito 30 5.0 c 10 (130). VI.7.3.2 Armadura longitudinal para combate a flexão em uma seção transversal A Figura VI.9 mostra o detalhamento transversal das armaduras de uma viga genérica. A determinação dos estribos já foi definida no item anterior. Deve-se respeitar os espaçamentos mínimos entre barras na horizontal ah (em uma mesma camada, vide Figura VI.9 e eqs. VI.22a e VI.22b) e na vertical av (entre camadas diferentes, vide Figura VI.9 e eq. VI.23) para ser possível a execução da concretagem sem criar vazios entre os ferros e o concreto.

Figura VI.9 – Detalhamento da armadura na seção transversal de uma viga genérica.

ah ≥

20 mm

φ

1,2 . dmáx,agreg

(VI.22a)

ah = bv - n . φ - 2 . φest - 2 . 2,5 cm

(n - 1) (VI.22b)

av ≥

20 mm

φ

0,5 . dmáx,agreg

(VI.23)

Onde, bv é a largura da viga, n é o número de ferros em uma camada, φ é o diâmetro das barras, dmáx,agreg é o diâmetro máximo do agregado, e φest é o diâmetro do estribo.

armadura negativa

ah

1ª camada

viga

av 2ª camada

estribo

armadura positiva

armadura positiva


68

Considerando o diâmetro máximo do agregado 25mm correspondente a brita no 2, apresenta-se na Tabela D.16 o número de ferros máximo em uma camada para diferentes larguras de viga, diâmetros das barras e dos estribos. O número de ferros necessários é calculado dividindo-se a área de ferro necessária pela área de ferro de uma bitola:

nφ = As

Asφ (VI.24)

Ao se arredondar o número de ferros para um número inteiro, calcula-se a área real utilizada:

As,real = nφ . Asφ . (VI.25) Determina-se então o número de barras de diferentes diâmetros necessárias para atender a área requerida começando com bitola de 8.0 mm. O número mínimo de barras é 2. Dois aspectos são levados em conta na escolha da melhor solução: economia e praticidade. Pelo critério econômico escolhe-se a bitola que apresenta área de aço real mais próxima da área de aço necessária. Pelo critério da praticidade, deve-se examinar se os ferros serão colocados em uma ou mais camadas para respeitar um espaçamento mínimo necessário entre as barras de forma que a concretagem não seja prejudicada. Caso seja necessário o emprego de mais de uma camada, há mudança do centro de gravidade das barras e conseqüentemente diminuição da altura útil da viga. Dessa forma, os cálculos das áreas de aço necessárias para combate da flexão devem ser refeitos e essas áreas serão maiores. Por outro lado, na execução, as múltiplas camadas devem ser cuidadosamente respeitadas, o que requer supervisão de profissional qualificado. VI.7.4 Determinação e detalhamento das armaduras ao longo da viga As barras comerciais têm 12 metros de comprimento. Para comprimentos de barras maiores que doze metros é necessário o uso de emendas e está fora do escopo do detalhamento aqui tratado. VI.7.4.1 Armadura positiva No caso das armaduras positivas o comprimento das barras é obtido cobrindo-se o diagrama de momentos fletores em escala e adicionando-se o comprimento de ancoragem reto em cada lado. Para tanto é necessário dividir o diagrama de momentos fletores original em tantas partes iguais quantas forem às barras a serem posicionadas. As barras podem ser agrupadas com comprimentos iguais em qualquer número de acordo com a conveniência do projetista. Considerar para armaduras positivas o comprimento de ancoragem reto para região de boa aderência (Tabela D.17). Para um melhor entendimento do exposto acima mostra-se esquematicamente a Figura VI.10. Lembrar que os apoios representados na Figura estão localizados nos eixos dos apoios reais (usualmente os pilares). Pelo menos duas barras devem ser colocadas por toda a extensão do vão. De acordo com o espaço disponível, caso seja necessário, na direção do apoio extremo (no exemplo o apoio A)


69

deve-se dobrar essas barras. Na direção do apoio intermediário, as barras se estendem além do eixo do referido apoio metade do comprimento de ancoragem reto (no exemplo o apoio B).

Figura VI.10 – Exemplo de detalhamento das barras da armadura positiva.

VI.7.4.2 Armadura negativa VI.7.4.2.1 Apoios intermediários

Para os apoios intermediários, deve-se determinar o comprimento das barras de forma análoga ao disposto para barras de armadura positiva. A diferença é que o comprimento de ancoragem reto deve ser considerado em região de má aderência. A Figura VI.11 mostra um exemplo de detalhamento das barras negativas no apoio intermediário. VI.7.4.2.2 Apoios extremos

Nos apoios extremos deve-se considerar o comprimento do ferro como a soma do comprimento do gancho (l1 = hv – 5cm), do comprimento da barra da face do pilar até o ponto

de momento nulo

l2 = xa

+.

|Mv-p

-||Mv-p

-| + |M+| + bp/2 - 2,5cm e do comprimento de ancoragem

reto em zona de má aderência (vide l3 = lb), ver Figura VI.12. VI.7.4.2.3 Região de momento negativo nulo

Na região de momento negativo nulo, são colocados ferros porta-estribo somente para dar estabilidade aos estribos. Podem ser usados 2 ferros de 5,0mm.


70

Figura VI.11 – Exemplo de detalhamento das barras da armadura negativa.

Figura VI.12 –Detalhamento das barras da armadura negativa na ligação viga-pilar extremo.

Estruturas de Concreto Armado I _UFRJ/FAU/DE

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VII. PROJETO PRÁTICO DE CURSO

VII.1 Apresentação: VII.1.1 Objetivo: Fazer o dimensionamento e detalhamento das lajes e vigas do projeto mostrado na Figura VII.1 e Figura VII.2. As lajes e as vigas estão mostradas nas plantas de fôrmas da Figura VII.2, e serão dimensionadas de acordo com o uso dos cômodos da edificação cuja planta de arquitetura é mostrada na Figura VII.1, com pé-direto igual a 3,00 metros, fck = 25 MPa, aço CA-50. VII.1.2 Etapas: Para isso, será necessário fazer: # Projeto de lajes:

a) O cálculo dos vãos teóricos das lajes; b) O pré-dimensionamento da espessura das lajes; c) A classificação dos vínculos das lajes; d) O cálculo das cargas: peso-próprio, revestimento, alvenaria e cargas acidentais; e) Cálculo das flechas; f) Verificação das espessuras adotadas; g) Cálculo dos momentos; h) Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão i) Determinação das armaduras positivas e negativas; j) Detalhamento das armaduras.

# Projeto de vigas:

a) O cálculo dos vãos teóricos das vigas; b) O pré-dimensionamento da seção transversal das vigas; c) O cálculo das cargas: peso-próprio, alvenaria e reação das lajes nas vigas; d) Modelo estrutural; e) Determinação dos esforços atuantes (momentos fletores e esforços cortantes); f) Cálculo das áreas de aço necessárias para combate da flexão (armadura longitudinal,

positiva e negativa); g) Cálculo da área de aço para combate do cisalhamento (armadura transversal); h) Determinação e detalhamento das armaduras na seção transversal. i) Detalhamento longitudinal das armaduras.


72

Figura VII.1 – Planta de arquitetura.

Figura VII.2 – Planta de fôrmas.


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VII.2 Projeto de lajes VII.2.1 Cálculo dos vãos teóricos das lajes (ver item V.3.1.2 da apostila) O cálculo dos vãos teóricos é calculado por: lef = lo + t1 / 2 + t2 / 2, onde lo é a distância entre as faces internas de dois apoios consecutivos; t1 e t2 são as larguras dos apoios extremos. As Tabelas abaixo apresentam a determinação dos menores (lx) e dos maiores (ly) vãos teóricos das lajes do projeto, de acordo com a planta de fôrmas mostrada na Figura VII.2.

Tabela VII.1 – Determinação do menor vão teórico das lajes (lx).

Laje lo (cm) t1 / 2 (cm) t2 / 2 (cm) lx (cm) L1 285 15/2 = 7,5 15/2 = 7,5 300,0 L2 385 15/2 = 7,5 15/2 = 7,5 400,0 L3 385 15/2 = 7,5 15/2 = 7,5 400,0 L4 150 15/2 = 7,5 0/2 = 0 157,5

Tabela VII.2 – Determinação do maior vão teórico das lajes (ly).

Laje lo (cm) t1 / 2 (cm) t2 / 2 (cm) ly (cm) L1 585 15/2 = 7,5 15/2 = 7,5 600,0 L2 585 15/2 = 7,5 15/2 = 7,5 600,0 L3 485 15/2 = 7,5 15/2 = 7,5 500,0 L4 515 0/2 = 0 0/2 = 0 515,0

VII.2.2 Pré-dimensionamento da espessura da laje (ver item V.3.1 da apostila) O pré-dimensionamento das lajes pode ser feito como sendo o maior valor entre h = lx/40 e h = lx/50 (ou h = lx/12,5 para lajes em balanço), e levando em conta a espessura mínima recomendada por norma, que para lajes de piso é de 7,0 cm, sendo h a espessura da laje e lx o menor vão da laje. A Tabela VII.3 mostra o pré-dimensionamento da espessura das lajes do referido projeto. Na última coluna da Tabela VII.3 é adotada uma espessura única para as lajes, uma vez que não vale a pena ter lajes com pequenas diferenças na espessura.

Tabela VII.3 – Pré-dimensionamento das espessuras das lajes.

Laje Espessura mínima

(cm)

Menor vão l (cm)

Espessura h (cm) Espessura adotada h

(cm) L1 7,0 300 300/40 = 7,5;

300/50 = 6,0 10,0

L2 7,0 400 400/40 = 10,0; 400/50 = 8,0

10,0

L3 7,0 400 400/40 = 10,0; 400/50 = 8,0

10,0

L4* 7,0 157,5 157,5/12,5 = 12,6 10,0 * Como o critério é muito conservador adotar-se-á 10 cm de espessura da laje e depois serão verificadas as flechas e quantidade de armadura.


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VII.2.3 Classificação dos vínculos das lajes (ver item V.3.2 da apostila) # Laje L1: Borda esquerdo e borda superior: tipo de vínculo – APOIO. Comentários: 1ª situação do item V.3.2 da apostila – borda da laje não é comum a nenhuma outra laje e está sobre uma viga. Borda inferior: tipo de vínculo – ENGASTE. Comentários: 2ª situação do item V.3.2 da apostila – borda da laje é comum a outra laje e todas estão no mesmo nível. Borda direita: tipo de vínculo – APOIO. Comentários: 5ª situação do item V.3.2 da apostila – lajes parcialmente contínuas. Deve-se verificar se a parte contínua é maior que 2/3 do vão da laje; se sim a borda é considerada engastada, se não a mesma é considerada apoiada. Tem-se o comprimento engastado de 100,0 cm, e o comprimento do vão de 300,0 cm. Assim, 2 / 3 * 300,0 = 200,0 cm > 100,0 cm, ou seja, a borda da laje será considerada apoiada. # Laje L2: Borda esquerdo e borda inferior: tipo de vínculo – APOIO. Comentários: 1ª situação do item V.3.2 da apostila – borda da laje não é comum a nenhuma outra laje e está sobre uma viga. Borda superior e borda direita: tipo de vínculo – ENGASTE. Comentários: 2ª situação do item V.3.2 da apostila – borda da laje é comum a outra laje e todas estão no mesmo nível. # Laje L3: Borda inferior e borda superior: tipo de vínculo – APOIO. Comentários: 1ª situação do item V.3.2 da apostila – borda da laje não é comum a nenhuma outra laje e está sobre uma viga. Borda esquerda: tipo de vínculo – ENGASTE. Comentários: 2ª situação do item V.3.2 da apostila – borda da laje é comum a outra laje e todas estão no mesmo nível. Borda direita: tipo de vínculo – APOIO. Comentários: 6ª situação do item V.3.2 da apostila – laje adjacente à laje em balanço. A laje em balanço é considerada engastada na outra laje, mas a outra laje é considerada apoiada na laje em balanço.


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# Laje L4: Borda inferior, borda superior, e borda direita: tipo de vínculo – LIVRE. Comentários: 1ª situação do item V.3.2 da apostila – borda da laje não é comum a nenhuma outra laje e não está sobre uma viga. Borda esquerda: tipo de vínculo – ENGASTE. Comentários: 6ª situação do item V.3.2 da apostila – laje adjacente à laje em balanço. A laje em balanço é considerada engastada na outra laje, mas a outra laje é considerada apoiada na laje em balanço. Nas Figuras abaixo são mostrados os esquemas estruturais das lajes L1 a L4, com indicação de vínculos, dimensões dos vãos teóricos e espessuras.

Figura VII.3 – Esquema estrutural para dimensionamento da laje L1.


L1

h = 10,0 cm = 0,1 m

ly = 600,0 cm = 6,0 m

lx = 300,0cm = 3,0 m

L2

h = 10,0 cm = 0,1 m

ly = 600,0cm = 6,0 m

lx = 400,0 cm = 4,0 m


76



VII.2.4 Cálculo das cargas atuantes nas lajes (ver item V.3.3 da apostila)

Para dimensionamento de edifícios residenciais as cargas atuantes são o peso-próprio das lajes, o revestimento, sobrecarga acidental, e cargas de alvenarias. Assim a carga total é dada por: g = gP + gR + q + gA, onde:

gP = γc . h é a carga devido ao peso-próprio, onde γc = 25 kN/m3 e h é a espessura da laje. Como para todas as lajes h = 0,1 m, então: gP = 25 x 0,1 = 2,5 kN/m2;

gR = 1,0 kN/m2 é a carga devido ao revestimento (piso cerâmico);

q = 1,5 kN/m2 é a carga acidental devido à ocupação da edificação. O valor dado foi obtido na Tabela D.4 para dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro. Se fosse prevista na edificação despensa, área de serviço e lavanderia a carga nas lajes correspondentes seria de 2,0 kN/m2;

gA = GA / Alaje é a carga devido à alvenaria para lajes armadas em cruz (1 ≤ ly / lx ≤ 2) que é o caso de todas as lajes da estrutura estudada, onde GA = γa . (eA . hA . cA) é o peso da alvenaria

L3

h = 10,0 cm = 0,1 m

lx = 400,0 cm = 4,0 m

ly = 500,0cm = 5,0 m

L4

lx = 157,5 cm = 1,575 m

ly = 515,0 cm = 5,15 m

h = 10,0 cm = 0,1 m


77

sendo γa o peso específico da alvenaria (13 kN/m3), eA a espessura da alvenaria, hA a altura da alvenaria, e cA o comprimento da alvenaria, e Alaje = lx . ly é a área da laje.

Observando a planta de arquitetura mostrada na Figura VII.1, percebe-se que serão levantadas paredes de alvenaria sobre as lajes L1 e L2. Dessa forma, tem-se:

Laje L1: GA = 13,0 x [0,15 x 3,0 x (6,0 + 3,0 +3,0)] = 70,20 kN

Alaje = 3,0 x 6,0 = 18,00 m2

Obs.: As paredes de divisa entre os dois banheiros e entre a cozinha e o banheiro, neste caso, cruzam a laje pelo seu menor vão. Se considerarmos, num cálculo conservador, estas paredes cruzando todo o vão tem-se cA = 2 . lx = 3,0 m. Além disso, na direção do maior vão da laje o comprimento total das paredes (incluindo portas como paredes) é o próprio comprimento deste vão (cA = ly = 6,0 m).

Dessa forma: gA = 70,20 / 18,00 = 3,90 kN/m2.

Laje L2: GA = 13,0 x [0,15 x 3,0 x 4,0] = 23,40 kN

Alaje = 4,0 x 6,0 = 24,00 m2

Obs.: A parede que separa os dois quartos cruza a laje pelo seu menor vão (cA = lx = 4,0 m).

Dessa forma: gA = 23,40 / 24,00 = 0,98 kN/m2.

A Tabela VII.4 resume as cargas atuantes nas lajes.

Tabela VII.4 – Cargas atuantes nas lajes.

Laje gP (kN/m2) gR (kN/m2) q (kN/m2) gA (kN/m2) g (kN/m2) L1 2,50 1,00 1,50 3,90 8,90 L2 2,50 1,00 1,50 0,98 5,98 L3 2,50 1,00 1,50 0,00 5,00 L4 2,50 1,00 1,50 0,00 5,00

VII.2.5 Cálculo das flechas (ver item V.3.4 da apostila)

A flecha é dada por f = g . lx4

Ecs . h3 . α

100 , para lajes submetidas a carregamento uniforme e com

diferentes condições de contorno (exceto lajes em balanço). Das variáveis mostradas acima já são conhecidas para cada laje as suas espessuras h, as cargas atuantes g, e os comprimentos dos menores vãos de cada laje lx. Falta determinar o módulo de elasticidade secante do concreto Ecs e o coeficiente α que é tabelado (Tabela D.5 da apostila) e é função dos vínculos


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das lajes e da relação entre os seus vãos teóricos λ = ly / lx. A Tabela VII.5 apresenta a determinação do coeficiente α.

Tabela VII.5 – Determinação do coeficiente α para as lajes L1, L2 e L3.

Laje lx (cm) ly (cm) λ = ly / lx Caso α L1 300,0 600,0 2,00 3 5,66 L2 400,0 600,0 1,50 4 4,38 L3 400,0 500,0 1,25 3 4,18

Para o cálculo de Ecs, tem-se que:

Ecs = 0,85 x 5600 x fck (fck em MPa) = 4760 25 = 23800 MPa = 2,38 x 104 MPa = (1 MPa = 1000 KPa) = 2,38 x 107 KPa ( 1 KPa = 1 kN/m2).

Deve-se comparar o valor da flecha calculada para as cargas atuantes com o valor de deslocamentos limites determinados por norma. Para o caso de edificações residenciais considerando a condição de aceitabilidade sensorial os valores dos deslocamentos limites são para carga total lx / 250 e para carga acidental lx / 350 (exceto para lajes em balanço).

Assim, podem-se determinar as flechas das lajes L1, L2 e L3, e verificar se as mesmas atendem as especificações de norma, ou se será necessário aumentar a espessura das lajes. A Tabela VII.6 apresenta o cálculo das flechas das lajes L1, L2 e L3, e a Tabela VII.7 apresenta a verificação das flechas.

Tabela VII.6 – Cálculo das flechas para as lajes L1, L2 e L3.

Laje g (kN/m2)

q (kN/m2)

lx (m)

α Ecs (kN/m2)

h (m)

ftot (mm)

facid (mm)

L1 8,90 1,50 3,00 5,66 2,38 x 107 0,10 1,71 0,29 L2 5,98 1,50 4,00 4,38 2,38 x 107 0,10 2,81 0,71 L3 5,00 1,50 4,00 4,18 2,38 x 107 0,10 2,25 0,67

Nota: Para se obter o valor da flecha em mm, foi multiplicado o resultado da equação da flecha por 1000.

Tabela VII.7 – Verificação das flechas para as lajes L1, L2 e L3.

Laje lx

(mm) ftot

(mm) flim,tot(mm) facid

(mm)flim,acid (mm) Verificação

L1 3000 1,71 12,00 0,29 8,57 OK L2 4000 2,81 16,00 0,71 11,43 OK L3 4000 2,25 16,00 0,67 11,43 OK

Para laje L4 em balanço, têm-se as seguintes expressões:

Para carga distribuída: f = 32 .

g . lx4

Ecs . h3 ;


79

Considerando a carga total: 32 .

5,0 . (1,575)4

2,38 x 107 . (0,10)3 = 0,00194 m = 1,94 mm

Considerando a carga acidental: 32 .

1,5 . (1,575)4

2,38 x 107 . (0,10)3 = 0,000582 m = 0,58 mm

Para carga vertical na ponta do balanço referente ao parapeito (P = 2,0 kN/m):

f = 4 . P . lx3

Ecs . h3 = 4 . 2 . (1,575)3

2,38 x 107 . (0,10)3 = 0,00131 m = 1,31 mm

Para carga de momento na ponta do balanço referente à carga horizontal no parapeito aplicada a 1,0 m do chão (M = H . hp= 0,8 kN/m x 1,0 m = 0,8 kN.m/m):

f = 6 . M . lx2

Ecs . h3 = 6 . 0,8 . (1,575)2

2,38 x 107 . (0,10)3 = 0,00050 m = 0,50 mm

Deve-se comparar o valor da flecha calculada para as cargas atuantes com o valor de deslocamentos limites determinados por norma. Para o caso de lajes em balanço em edificações residenciais considerando a condição de aceitabilidade sensorial os valores dos deslocamentos limites são para carga total lx / 125 e para carga acidental lx / 175.

A Tabela VII.8 apresenta o cálculo das flechas da laje em balanço L4, e a Tabela VII.9 apresenta a verificação das flechas desta laje.

Tabela VII.8 – Cálculo das flechas para a laje L4.

Carga ftot (mm)

facid (mm)

Distribuída 1,94 0,58 Vertical 1,31 1,31

Momento 0,50 0,50 Somatório 3,75 2,39

Tabela VII.9 – Verificação das flechas para a laje L4.

Laje lx

(mm) ftot

(mm) flim,tot(mm) facid

(mm)flim,acid (mm) Verificação

L1 1575 3,75 12,60 2,39 9,00 OK VII.2.6 Cálculo dos momentos (ver item V.3.5 da apostila)

Os momentos fletores positivos máximos nas direções x e y, e os momentos fletores negativos máximos nas direções x e y, em lajes sem bordos livres são dados respectivamente por:

mx = µx .

g . lx2

100 ; my = µy .

g . lx2

100 ; nx = - µx' .

g . lx2

100 ; ny = - µy' .

g . lx2

100

Das variáveis mostradas acima já são conhecidas para cada laje as cargas atuantes g, e os comprimentos dos menores vãos de cada laje lx. Só falta determinar os coeficientes


80

µx, µy, µx’, µy’, que são tabelados (Tabelas D.7 a D.9 da apostila) e são função dos vínculos das lajes e da relação entre os seus vãos teóricos λ = ly / lx. A Tabela VII.10 apresenta a determinação destes coeficientes.

Tabela VII.10 – Determinação dos coeficientes µx, µy, µx’, µy’ para as lajes L1, L2 e L3.

Laje lx (cm) ly (cm) λ = ly / lx Caso µx µx’ µy µy’ L1 300,0 600,0 2,00 3 6,51 12,34 1,48 0,00 L2 400,0 600,0 1,50 4 4,81 10,62 2,47 8,06 L3 400,0 500,0 1,25 3 5,03 10,22 2,51 0,00

A Tabela VII.11 apresenta o cálculo dos momentos fletores atuantes nas lajes L1, L2 e L3.

Tabela VII.11 – Cálculo dos momentos fletores para as lajes L1, L2 e L3.

Laje g

kN

m2 lx

(m) µx µx’ µy µy’

mx

kN.m

m

nx

kN.m

m

my

kN.m

m

ny

kN.m

mL1 8,90 3,00 6,51 12,34 1,48 0,00 5,21 -9,88 1,19 0,00 L2 5,98 4,00 4,81 10,62 2,47 8,06 4,60 -10,15 2,36 -7,71 L3 5,00 4,00 5,03 10,22 2,51 0,00 4,02 -8,18 2,01 0,00

Para laje L4 em balanço, têm-se as seguintes expressões:

Para carga distribuída: nx = - g . lx2

2 ;

Assim, tem-se: nx = - 5,0 . (1,575)2

2 = - 6,20 kN.m/m

Para carga vertical na ponta do balanço referente ao parapeito (P = 2,0 kN/m):

nx = - P . lx = - 2 . 1,575 = - 3,15 kN.m/m

Para carga de momento na ponta do balanço referente à carga horizontal no parapeito aplicada a 1,0 m do chão (M = H . hp= 0,8 kN/m x 1,0 m = 0,8 kN.m/m):

nx = - M = - 0,80 kN.m/m

O valor do momento fletor máximo negativo atuante na borda engastada da laje em balanço é a soma das contribuições das cargas distribuída, vertical concentrada na ponta do balanço, e do momento na ponta do balanço. Assim, tem-se que:

nx = -6,20 -3,15 -0,80 = -10,15 kN.m/m.

As Figuras a seguir mostram a representação gráfica dos momentos fletores atuantes nas lajes L1, L2, L3, L4.


81

Figura VII.7 – Indicação da posição e valor dos momentos fletores máximos atuantes

na laje L1 (em kN.m/m).

Figura VII.8 – Indicação da posição e valor dos momentos fletores máximos atuantes

na laje L2 (em kN.m/m).

Figura VII.9 – Indicação da posição e valor dos momentos fletores máximos atuantes na laje L3 (em kN.m/m).

Figura VII.10 – Indicação da posição e valor dos momentos fletores máximos atuantes na laje L4 (em kN.m/m).

mx =

5,2

1

my = 1,19

n x =

-9,8

8 m

x = 4

,60

my = 2,36

n x =

-10,

15

ny = -7,71 m

y = 2

,01

mx = 4,02

nx = -8,18

nx = -10,15


82

Nas lajes com bordas comuns, o momento fletor negativo nestas bordas é tomado como sendo o maior valor entre a média dos momentos das duas lajes e o 80% do maior valor entre os momentos das duas lajes.

Observando as Figuras VII.7 e VII.8, e sabendo pela Figura VII.2 que a borda inferior da laje L1 é comum à borda superior da laje L2, o momento de engastamento (negativo) para dimensionamento nesta borda comum é o maior valor entre – (9,88 + 10,15)/2 = – 10,02 kN.m/m e 0,8 . – 10,15 = – 8,12 kN.m/m, ou seja, toma-se o momento por – 10,02 kN.m/m.

Da mesma forma, observando as Figuras VII.8 e VII.9, e sabendo pela Figura VII.2 que a borda direita da laje L2 é comum à borda esquerda da laje L3, o momento de engastamento (negativo) para dimensionamento nesta borda comum é o maior valor entre – (7,71 + 8,18)/2 = – 7,94 kN.m/m e 0,8 . – 8,18 = – 6,54 kN.m/m, ou seja, toma-se o momento por – 7,94 kN.m/m.

Nas bordas comuns em que um dos momentos seja nulo, pode-se considerar o valor do momento de engastamento (negativo) para dimensionamento nesta borda comum o valor não nulo. Ou seja, na borda comum entre as lajes L1 e L3, considera-se o valor obtido em L3 – 8,18 kN.m/m; e na borda comum entre as lajes L3 e L4 considera-se o valor obtido em L4 – 10,15 kN.m/m

A Figura VII.11 mostra esquematicamente os valores dos momentos fletores atuantes em toda a estrutura.

Figura VII.11 – Momentos fletores atuantes na estrutura em kN.m/m.

5,21

1,19

4,60

2,36

– 10

,02

2,01

4,02

– 7,94

– 10,15 L3

L1

L2 L4

– 8,18


83

VII.2.7 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão (ver item V.3.6 da apostila)

Armadura mínima para fck = 25 MPa: As,mín = 0,15 % bw . h = 0,0015 . 100 . 10 = 1,5 cm2/m Para cálculo das armaduras se faz necessário o cálculo de um parâmetro adimensional chamado Kmd que é dado pela equação:

Kmd = Msd

bw . d 2 . fcd , onde:

Msd é o módulo do momento atuante de cálculo dado por 1,4 . M (M é o momento atuante = mx , my , nx , ny); bw é a largura da seção transversal, que para lajes bw = 1,0 m; d é a altura útil que pode ser tomada inicialmente por d = h – 3 cm = 10 - 3 = 7 cm = 0,07 m; fcd é a resistência de cálculo do concreto dada por fcd = fck / 1,4 = 25 / 1,4 = 17,857 MPa = 17857 kN/m2; Com o valor de Kmd, entra-se na Tabela D.1 para determinar o parâmetro kz, fs e o domínio. O domínio 4 que deve ser evitado. Se ocorrer deve-se aumentar a espessura da laje e refazer todos os cálculos. O domínio 3 é o ideal. E o domínio 2 é admissível mas não ideal. Calcula-se então a área de aço necessária para resistir aos momentos atuantes que é dada por:

As = Msd

kz . d . fs .

A Tabela VII.12 resume o cálculo das áreas de aço necessárias. Notar que os valores do parâmetro kz foram obtidos usando na Tabela D.1 o valor de Kmd imediatamente acima ao valor calculado. As bitolas dos ferros mais comumente utilizados no dimensionamento de lajes e vigas de estruturas de concreto armado e suas correspondentes áreas da seção transversal de aço são apresentadas na Tabela D.10. A bitola máxima das barras é dada por: φmáx = h / 8 = 10 / 8 = 1,25 cm = 12,5 mm O número de ferros necessários é calculado dividindo-se a área de ferro necessária pela área de ferro de uma bitola.

nº ferros com bitola φ = As

Aφ

Com o número de ferros de uma determinada bitola calcula-se o espaçamento entre ferros dividindo-se 100 pelo número de ferros.

s = 100

nº ferros


84

Na laje em balanço a área de aço mínima da armadura positiva na direção da armadura negativa é o maior valor entre 0,9 cm2/ m e 20% da área de aço negativa. Para este caso 20% . 5,24 = 1,05 cm2/m que é o adotado por ser maior que 0,9 cm2/m. Na outra direção adotar 0,9 cm2/m.

Tabela VII.12 – Determinação das áreas de aço necessárias.

Laje M

kN.m

m

Msd

kN.m

m kmd kz Domíniofs

kN

cm² As (cm2/m)

mx 5,21 7,30 0,083 0,947 2 43,5 2,53 L1 my 1,19 1,66 0,019 0,988 2 43,5 0,55 1,50 mx 4,60 6,44 0,074 0,954 2 43,5 2,22 L2 my 2,36 3,31 0,038 0,976 2 43,5 1,11 1,50 mx 4,02 5,63 0,064 0,960 2 43,5 1,93

L3 my 2,01 2,81 0,032 0,976 2 43,5 0,95 1,50 L1/L2 -10.02 14,03 0,160 0,895 3 43,5 5,15 L1/L3 -8.18 11,45 0,131 0,913 2 43,5 4,12 L2/L3 -7.94 11,12 0,127 0,917 2 43,5 3,98 L3/L4 -10.15 14,21 0,162 0,891 3 43,5 5,24

VII.2.8 Determinação das armaduras positivas e negativas (ver item V.3.7 da apostila) Deve-se escolher as bitolas de acordo com os espaçamentos utilizados na prática das construções que são 1 ferro a cada 5 cm, 7,5cm, 10 cm, 12,5 cm, 15 cm, 17,5 cm, 20 cm. Assim o ideal é que se escolha uma bitola tal que resulte em 5 a 10 ferros por metro.

O espaçamento máximo entre as barras s é dado pelo menor valor entre: s ≤ 20 cm

2 . h que para

este caso fica: s ≤ 20 cm2 . 10 = 20 cm

, ou seja o espaçamento máximo é de 20 cm. Usando os

espaçamentos usuais adotamos smáx = 20 cm. A Tabela VII.13 apresenta a escolha das bitolas e o espaçamento adotado e a Figura VII.12 mostra esquematicamente o posicionamento das armaduras.


85

Tabela VII.13 – Determinação das armaduras.

Laje As (cm2/m)

Bitola φ

(mm)

Nº ferros Espaçamento

(cm) Espaçamento adotado (cm)

Armação

x 2,53 6,3 7,91 12,64 12,5 φ 6,3 c12,5 L1 y 1,50 5,0 7,50 13,33 12,5 φ 5,0 c12,5 x 2,22 6,3 6,93 14,44 12,5 φ 6,3 c12,5 L2 y 1,50 5,0 7,50 13,33 12,5 φ 5,0 c12,5 x 1,93 5,0 9,63 10,38 10 φ 5,0 c10 L3 y 1,50 5,0 7,50 13,33 12,5 φ 5,0 c12,5 x 1,05 5,0 5,24 19,09 17,5 φ 5,0 c17,5 L4 y 0,90 5,0 4,50 22,22 20 φ 5,0 c20

L1/L2 5,15 10,0 6,55 15,26 15 φ 10,0 c15 L1/L3 4,12 8,0 8,23 12,14 10 φ 8,0 c10 L2/L3 3,98 8,0 7,97 12,55 12,5 φ 8,0 c12,5 L3/L4 5,24 10,0 6,67 14,99 12,5 φ 10,0 c12,5

Figura VII.12 – Esquema de armação das lajes da estrutura.

VII.2.9 Detalhamento das armaduras (ver item V.3.8 da apostila) # Armadura positiva A armadura positiva pode ser colocada por todo o vão. Pode-se simplesmente considerar como o comprimento do vão teórico da laje naquela direção. O número de barras total é igual ao comprimento de eixo a eixo de viga na direção perpendicular dividido pelo espaçamento (arredondar para baixo). A Tabela VII.14 apresenta o detalhamento das armaduras positivas das lajes.

φ6,3

c12,

5

φ5,0c12,5

φ6,3

c12,

5

φ5,0c12,5

φ10,

0c15

φ5,0

c12,

5

φ5,0c10

φ8,0c12,5

φ10,0c12,5 L3

L1

L2

L4 φ8,0c10

φ5,0

c20

φ5,0c17,5


86

Tabela VII.14 – Detalhamento das armaduras positivas.

Laje Armação Comprimento (cm) Nº de barras φ 6,3 c12,5 300 600/12,5 = 48 L1 φ 5,0 c12,5 600 300/12,5 = 24 φ 6,3 c12,5 400 600/12,5 = 48 L2 φ 5,0 c12,5 600 400/12,5 = 32 φ 5,0 c10 400 500/10 = 50 L3

φ 5,0 c12,5 500 400/12,5 = 32 φ 5,0 c17,5 157,5 – 2 = 155,5 155 510/17,5 = 29,1 29 L4 φ 5,0 c20 515 – 2.2 = 511 510 155/20 = 7,8 7

# Armadura negativa O cálculo do comprimento da armadura negativa é dado por l = 0,25 lx + lb + lg , onde: * lx é o comprimento do vão teórico; * lb é o comprimento de ancoragem reto; consultando a Tabela D.17 para aço CA-50, fck = 25 MPa, e considerando boa aderência; lb = 38 φ; * lg é o comprimento dos ganchos = h – 4,0 cm = 6,0 cm. O número de barras é calculado da mesma forma que para armadura positiva. A Tabela VII.15 apresenta o detalhamento das armaduras negativas e a Figura VII.13 mostra a planta de armação com quadro de ferros apresentado na Tabela VII.16 e quadro resumo na Tabela VII.17. Para o arredondamento do comprimento das barras, o comprimento do gancho foi arredondado para 5cm.

Tabela VII.15 – Detalhamento das armaduras negativas. Laje Armação Comprimento (cm) Nº de barras

L1/L2 φ 10,0 c15 0,25.300 + 38 . 1,0 + 6 = 119 120 0,25.400 + 38. 1,0 + 6 = 144 145

Total = 120 + 145 = 265 600/15 = 40

L1/L3 φ 8,0 c10 0,25.300 + 38. 0,8 + 6 = 111 110 0,25.400 + 38. 0,8 + 6 = 136 135

Total = 110 + 135 = 245 100/10 = 10

L2/L3 φ 8,0 c12,5 0,25.400 + 38. 0,8 + 6 = 136 135 0,25.400 + 38. 0,8 + 6 = 136 135

Total = 135 + 135 = 270 400/12,5 = 32

L3/L4 φ 10,0 c12,5 0,25.400 + 38. 1,0 + 6 = 144 145

157,5 - 2,5 + 6 = 161 160 Total = 145 + 160 = 305

510/12,5 = 40,8 40

O peso total das barras de um mesmo diâmetro é calculado por: Pφ = P/m . ct , onde P/m é o peso por metro da barra de um determinado diâmetro φ dado na Tabela D.11, e ct é o comprimento total da barra deste mesmo diâmetro, que é a soma dos comprimentos totais de cada posição correspondente àquele mesmo diâmetro.


87

Figura VII.13 – Planta de armação da estrutura.

Tabela VII.16 – Quadro de ferros.

Posição φ (mm) Comprimento (cm) Quantidade Comprimento total (cm)

N1 5.0 600 56 33600 N2 5.0 400 50 20000 N3 5.0 500 32 16000 N4 5.0 155 29 4495 N5 5.0 510 7 3570 N6 6.3 300 48 14400 N7 6.3 400 48 19200 N8 8.0 245 10 2450 N9 8.0 270 32 8640 N10 10.0 265 40 10600 N11 10.0 305 40 12200

Tabela VII.17 – Quadro resumo. φ (mm) Comprimento total (m) Peso (kgf)

5,0 776,65 124,26 6,3 336,00 84,00 8,0 110,90 44,36 10,0 228,00 141,36

Total 394


88

VII.3 Projeto de vigas VII.3.1 Cálculo dos vãos efetivos das vigas e pré-dimensionamento das seções transversais

O cálculo dos vãos teóricos é calculado de eixo a eixo dos apoios, geralmente pilares. Por exemplo, o comprimento do vão efetivo da viga V1 é 615cm – 10cm – 10cm = 595cm.

A Tabela VII.18 apresenta a determinação dos vãos teóricos das vigas do projeto e das respectivas seções transversais ( b = 15 cm e h ≈ lv/10), de acordo com a planta de fôrmas mostrada na Figura VII.2. A viga V4, como é de canto (menos carregada) e contínua, será dimensionada com altura menor que o lv/10).

Tabela VII.18 – Determinação dos vãos teóricos das vigas (lv) e das respectivas seções transversais.

Viga lv (cm) Seção (cm x cm)

V1 615 – 10 – 10 = 595 15 x 60 V2 385 + 7,5 + 10 = 402,5 15 x 40 V3 615 – 10 – 10 = 595 15 x 60

a 615 – 10 – 10 = 595 V4 b 385 + 10 + 10 = 405 15 x 50

a 415 – 15 – 15 = 385 V5 b 300 +15 – 15 = 300 15 x 40

a 415 – 15 + 20 = 420 V6 b 300 + 20 – 15 = 305 15 x 40

V7 515 – 15 – 15 = 485 15 x 50

VII.3.2 Cálculo das cargas atuantes sobre a viga

VII.3.2.1 Peso-próprio (gp)

gp = γc . Ac , onde γc é o peso específico do concreto armado (γc = 25 kN/m3) e Ac é a área da seção transversal da viga.

Para a viga V1, tem-se: Ac = 0,15 m . 0,60 m = 0,09 m2; gp = 25 . 0,09 = 2,25 kN/m

VII.3.2.2 Peso da alvenaria (ga)

Considerando alvenaria de tijolos furados (γa = 13 kN/m3), pé-direito de 3,0 m (Ha) e espessura de 15 cm (ea), tem-se para viga V1:

Ha = hpé-direito + hlaje – hviga = 3,00 + 0,10 – 0,60 = 2,50 m

ga = γa . Ha . ea = 13 . 2,50. 0,15 = 4,88 kN/m


89

VII.3.2.3 Cálculo das reações das lajes nas vigas (ver item VI.4.3 da apostila)

As reações das lajes nas vigas de suportes nas direções x e y, nas bordas simplesmente apoiadas e engastadas são dadas respectivamente por:

qx = kx . gt . lx

10 ; qy = ky . gt . lx

10 ; qx’ = kx´ . gt . lx

10 ; qy’ = ky´ . gt . lx

10

Das variáveis mostradas acima já são conhecidas para cada laje as cargas atuantes gt, e os comprimentos dos menores vãos de cada laje lx. Só faltam ser determinados os coeficientes kx, ky, kx’, ky’, que são tabelados (Tabelas D.13 a D.15 da apostila) e são função dos vínculos das lajes e da relação entre os seus vãos teóricos λ = ly / lx. A Tabela VII.19 apresenta a determinação destes coeficientes.

Tabela VII.19 – Determinação dos coeficientes kx, ky, kx’, ky’ para as lajes L1, L2 e L3.

Laje lx (cm) ly (cm) λ = ly / lx Caso kx kx’ ky ky’ L1 300,0 600,0 2,00 3 2,99 5,18 1,83 0,00 L2 400,0 600,0 1,50 4 2,44 4,23 1,83 3,17 L3 400,0 500,0 1,25 3 2,59 4,48 1,83 0,00

A Tabela VII.20 apresenta o cálculo das reações das lajes L1, L2 e L3 nas vigas de suporte.

Tabela VII.20 – Cálculo das reações das lajes L1, L2 e L3 nas vigas de suporte.

Laje gt

kN

m2 lx

(m) kx kx’ ky ky’

qx

kN

m

qx’

kN

m

qy

kN

m

qy’

kN

m

L1 8,90 3,00 2,99 5,18 1,83 0,00 7,98 13,83 4,89 0,00 L2 5,98 4,00 2,44 4,23 1,83 3,17 5,83 10,11 4,37 7,58 L3 5,00 4,00 2,59 4,48 1,83 0,00 5,18 8,96 3,66 0,00

Para laje L4 em balanço, tem-se: qx’ = gt . lx + P = 5,00 . 1,575 + 2 = 9,88 kN/m;

As Figuras VII.14 a VII.17 mostram a representação gráfica das reações das lajes L1, L2, L3, L4 nas suas vigas de suporte.


90

Figura VII.14 – Indicação da posição e valor das reações da laje L1 nas vigas de suporte (em kN/m).



Figura VII.17 – Indicação da posição e valor das reações da laje L4 na viga de suporte (em kN/m).

q x' =

8,9

6

qy = 3,66

qy = 3,66

q x =

5,1

8

V6a

e V

6b

V7

V2

V4b

qx = 7,98

q y =

4,8

9

qx’ = 13,83

q y =

4,8

9

V1

V3

V5b

V6b

q y' =

7,5

8 qx = 5,83

q y =

4,3

7 V

5a

V6a

V3

V4a

qx’ = 10,11q x

’ = 9

,88


91

A Figura VII.18 mostra esquematicamente os valores das reações das lajes nas suas vigas de suporte em toda a estrutura.

Figura VII.18 – Reações das lajes nas vigas da estrutura em kN/m.

A Tabela VII.21 resume as cargas atuantes nas vigas. Observa-se nesta Tabela VII.21 que as vigas V1 e V3 têm comprimentos de vãos parecidos, e, portanto, foram escolhidas seções iguais. Mas as cargas atuantes nestas vigas são bem distintas, e conseqüentemente os esforços serão bem diferentes e dimensionamento da armadura também. Então ou a viga V1 está com altura maior do que a necessária ou a viga V3 está com altura menor que a necessária, como veremos mais adiante. Portanto, a escolha da altura da viga também deve levar em consideração as cargas atuantes sobre a mesma.

Tabela VII.21 – Cargas atuantes nas vigas.

Viga lv

(cm)

Seção (cm x cm)

Peso-Próprio (kN/m)

Carga alvenaria (kN/m)

Reação das lajes nas vigas (kN/m)

Carga total

(kN/m)V1 595 15 x 60 2,25 4,88 7,98 15,11 V2 402,5 15 x 40 1,50 5,27 3,66 10,43 V3 595 15 x 60 2,25 4,88 13,83 + 10,11 = 23,94 31,07

a 595 1,88 5,07 5,83 12,78 V4 b 405 15 x 50 1,88 5,07 3,66 10,61 a 385 1,50 5,27 4,37 11,14 V5 b 300 15 x 40 1,50 5,27 4,89 11,65 a 420 1,50 5,27 7,58 + 8,96 = 16,54 23,30 V6 b1 192,5 1,50 5,27 4,89 + 8,96 = 13,85 15,35

b2 112,515 x 40

1,50 5,27 4,89 11,65 V7 485 15 x 50 1,88 5,07 5,18 + 9,88 = 15,06 22,00

L3

L1

L2 L4

4,89

7,98

7,58

5,83

4,37

8,96

3,66 13,83

9,88

5,

18

4,89

10,11

3,66


92

VII.3.3 Modelos estruturais Nas Figuras VII.19 a VII.25 são apresentados os modelos estruturais das vigas V1 a V7.

Figura VII.19 – Modelo estrutural da viga V1.






93



VII.3.4 Determinação dos esforços atuantes

A partir deste ponto só serão mostrados os resultados obtidos para as vigas V1 e V4. A solução para as demais vigas fica como sugestão de exercício para o aluno.

Para o modelo estrutural apresentado no item anterior para a viga V1, deve-se obter o diagrama de momentos fletores (DMF) e o diagrama de esforços cortantes (DEC), conforme mostrado nas Figuras VII.26 e VII.27.

Figura VII.26 – Diagrama de momentos fletores da viga V1.

Figura VII.27 – Diagrama de esforços cortantes da viga V1.


94

Para o modelo estrutural apresentado no item anterior para a viga V4, deve-se obter o diagrama de momentos fletores (DMF) e o diagrama de esforços cortantes (DEC) utilizando as equações C.1 a C.14 do Anexo C, mostrados nas Figuras VII.28 a VII.31.

Mb = − qa . la3 + qb . lb3

8 . (la + lb) = − 12,78 . 5,953 + 10,61 . 4,053

8 . (5,95 + 4,05) = − 42,45 kN.m

Ra = qa . la

2 + Mb

la = 12,78 . 5,95

2 − 42,455,95 = 30,88 kN

Rc = qb . lb

2 + Mb

lb = 10,61 . 4,05

2 − 42,454,05 = 10,99 kN

Rb = qa . la + qb . lb − Ra − Rc = 12,78 . 5,95 + 10,61 . 4,05 − 30,88 − 10,99 = 77,10 kN

Ma = Ra

2

2 . qa =

30,882

2 . 12,78 = 37,31 kN.m

Mc = Rc

2

2 . qb =

10,992

2 . 10,61 = 5,70 kN.m

Va = Ra = 30,88 kN

Vb

esq = Ra − qa . la = 30,88 − 12,78 . 5,95 = − 45,14 kN

Vbdir = Ra + Rb − qa . la = 30,88 + 77,10 − 12,78 . 5,95 = 31,96 kN

Vc = - Rc = - 10,99 kN

xa+ =

Raqa

= 30,8812,78 = 2,42 m

xb,esq- = la −

2 . Raqa

= 5,95 − 2 . 30,88

12,78 = 1,12 m

xb,dir- = lb −

2 . Rcqb

= 4,05 − 2 . 10,99

10,61 = 1,98 m

xc+ =

Rcqb

= 10,9910,61 = 1,04 m


___________________________ 1 FTOOL - Ftool: Um Programa Gráfico-Interativo para Ensino de Comportamento de Estruturas, Martha, L.F., v.2.11, PUC-Rio, http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/, 2002.

95

Figura VII.28 – Diagrama de momentos fletores da viga V4.

Figura VII.29 – Diagrama de momentos fletores da viga V4 utilizando o programa FTOOL1.

Figura VII.30 – Diagrama de esforços cortantes da viga V4.

Figura VII.31 – Diagrama de esforços cortantes da viga V4 utilizando o programa FTOOL1.


96

VII.3.5 Ligação viga-pilar No modelo estrutural apresentado, admite-se que o pilar não restringe a rotação das extremidades da viga. Isto, porém, não corresponde à realidade. Deve-se, deste modo, apenas nas ligações entre a viga e os pilares na extremidade, calcular os momentos negativos referentes à restrição citada. ## Ligação V4a – P6

• Momento de engastamento perfeito:

MENG = − gv4a . la2

12 = − 12,78 . 5,952

12 = − 37,69 kN.m

• Rigidez de cada elemento:

Viga

Momento de inércia: IVIGA = b . h3

12 = 0,15 . 0,503

12 = 1,56 x 10-3 m4

Rigidez: RVIGA = IVIGA

l = 1,56 x 10-3

5,95 = 2,63 x 10-4 m4/m

Pilar

Momento de inércia: IPILAR = b . h3

12 = 0,30 . 0,203

12 = 2,00 x 10-4 m4

(foi tomada a menor inércia do pilar, pois a menor dimensão do mesmo é paralela ao eixo da viga).

Rigidez: RSUP = RINF = IPILAR

lSUP

2

= 2,00 x 10-4

3,12

= 1,29 x 10-4 m4/m

A rigidez da parte superior do pilar é igual a da parte inferior (RSUP = RINF). Tomou-se, também, altura do pilar igual a 3,10 m. • Momento na ligação V4a – P6:

MV4a-P6 = RSUP + RINF

RSUP + RINF + RVIGA . MENG

= 1,29x 10-4 + 1,29x 10-4

1,29x 10-4 + 1,29x 10-4 + 2,63 x 10-4 . − 37,69

= 0,50. − 37,69 ~ − 18,85 kN.m


97

## Ligação V4b – P8

• Momento de engastamento perfeito:

MENG = − gv4b . lb2

12 = − 10,61 . 4,052

12 = − 14,50 kN.m

• Rigidez de cada elemento:

Viga

Momento de inércia: IVIGA = b . h3

12 = 0,15 . 0,503

12 = 1,56 x 10-3 m4

Rigidez: RVIGA = IVIGA

l = 1,56x 10-3

4,05 = 3,86 x 10-4 m4/m

Pilar

Momento de inércia: IPILAR = b . h3

12 = 0,30 . 0,203

12 = 2,00 x 10-4 m4

(foi tomada a menor inércia do pilar, pois a menor dimensão do mesmo é paralela ao eixo da viga).

Rigidez: RSUP = RINF = IPILAR

lSUP

2

= 2,00 x 10-4

3,102

= 1,29 x 10-4 m4/m

A rigidez da parte superior do pilar é igual a da parte inferior (RSUP = RINF). Tomou-se, também, altura do pilar igual a 3,10 m. • Momento na ligação V4b – P8:

MV4b-P8 = RSUP + RINF

RSUP + RINF + RVIGA . MENG

= 1,29 x 10-4 + 1,29 x 10-4

1,29 x 10-4 + 1,29 x 10-4 + 3,86 x 10-4 . − 14,50

= 0,40 . − 14,50 = − 5,80 kN.m


98

VII.3.5.1 Verificação do momento positivo em vigas contínuas A NBR-6118:2003 estabelece que não devem ser considerados momentos positivos menores do que aqueles que se obtiveram se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos. V4a: Toma-se, portanto, o maior momento positivo no vão V4a da viga (+ 37,31 kN.m) e

compara-se com gv4a . la2

24 = 12,78 . 5,952

24 = 18,85 kN.m < 37,31 kN.m. Assim, o momento

máximo positivo calculado será mantido. V4b: Toma-se, portanto, o maior momento positivo no vão V4b da viga (+ 5,70 kN.m) e

compara-se com gv4b . lb2

24 = 10,61 . 4,052

24 = 7,25 kN.m > 5,70 kN.m. Assim, o momento

máximo positivo do vão V4b é igual a 7,25 kN.m.

VII.3.5.2 Diagrama de momentos fletores modificado As Figuras VII.32 e VII.33 mostram os diagramas de momentos fletores modificados com a consideração dos momentos nas ligações viga-pilar e os momentos positivos mínimos. E a Tabela VII.22 resume os esforços atuantes em todas as vigas da estrutura.

Figura VII.32 – Diagrama de momentos fletores modificado da viga V1.

Figura VII.33 – Diagrama de momentos fletores modificado da viga V4.


99

Tabela VII.22 – Esforços atuantes nas vigas (ver Figura C.1).

Momentos fletores máximos (kN.m) Distâncias características (m)

Esforços cortantes máximos (kN) Viga

Ma Mb Mc Mv-pe Mv-pd xa+ xb

-,esq xb

-,dir xc

+ Va Vbe Vbd Vc

V1 66,86 0,00 0,00 -16,05 -16,05 2,98 0,00 0,00 2,98 44,95 0,00 0,00 -44,95

V2 21,11 0,00 0,00 0,00 -7,88 2,01 0,00 0,00 2,01 20,98 0,00 0,00 -20,98

V3 137,47 0,00 0,00 -32,99 -52,24 2,98 0,00 0,00 2,98 92,42 0,00 0,00 -92,42

V4 37,31 -42,45 5,70 -18,85 -7,25 2,42 1,12 1,98 1,04 30,88 -45,14 31,96 -10,99

V5 12,88 -17,34 5,87 -10,18 -6,03 1,52 0,81 0,99 1,00 16,94 -25,95 23,26 -11,70

V6 26,20 -35,30 17,00 -20,47 -8,21 1,50 0,80 0,81 1,12 35,00 -53,60 42,00 -21,70

V7 64,69 0,00 0,00 -27,60 -27,60 2,43 0,00 0,00 2,43 53,35 0,00 0,00 -53,35

VII.3.6 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate da flexão (armadura longitudinal, positiva e negativa);

VII.3.6.1 Cálculo da área de aço mínima

Para viga V4 e concreto com fck até 25 MPa: As,mín = 0,15% bw . h = 0,15100 . 15 . 50 = 1,13 cm2

VII.3.6.2 Cálculo das áreas de aço positivas e negativas

Para cálculo das armaduras se faz necessário o cálculo de um parâmetro adimensional

chamado Kmd que é dado pela equação: Kmd = Msd

bw . d 2 . fcd , onde:

Msd é o módulo do momento atuante de cálculo dado por 1,4 . M (M é o momento atuante); bw é a largura da seção transversal, que para viga V4 bw = 0,15 m; d é a altura útil que pode ser tomada inicialmente pelo menor valor entre: d = h – 5 cm = 50 – 5 = 45 cm = 0,45 m; d = h – 10% . h = 50 – 5 = 45 cm = 0,45 m Logo d = 0,45 m fcd é a resistência de cálculo do concreto dada por fcd = fck / 1,4 = 25 / 1,4 = 17,857 MPa = 17857 kN/m2; Com o valor de Kmd, entra-se numa tabela (Tabela D.1 da apostila) para determinar o parâmetro kz e o domínio de dimensionamento. Calcula-se então a área de aço necessária para resistir aos momentos atuantes que é dada por:

As = Msd

kz . d . fs . Destas variáveis só falta determinar fs que pode ser encontrando na mesma

tabela (Tabela D.1 da apostila) de Kmd.

A Tabela VII.23 resume o cálculo das armaduras positivas e negativas de todas as vigas. Notar que os valores do parâmetro kz foram obtidos aproximando o valor de Kmd para cima.


100

Tabela VII.23 – Áreas de aço positivas e negativas necessárias para combate à flexão.

Viga Momento M (kN.m)

Msd (kN.m) kmd kz Domínio

fs

kN

cm2 As (cm2)

Ma 66,86 93,60 0,120 0,924 2 43,5 4,31 MV1-P1 -16,05 22,46 0,029 0,982 2 43,5 0,97 1,35 V1

MV1-P2 -16,05 22,46 0,029 0,982 2 43,5 0,97 1,35 Ma 21,11 29,56 0,090 0,944 2 43,5 2,06 V2

MV2-P3 -7,88 11,03 0,034 0,976 2 43,5 0,74 0,90 Ma 137,47 192,46 0,246 0,821 3 43,5 9,98

MV3-P4 -32,99 46,19 0,059 0,963 2 43,5 2,04 V3

MV3-P5 -52,24 73,14 0,094 0,941 2 43,5 3,31 Ma 37,31 52,23 0,096 0,937 2 43,5 2,85 Mb -42,45 59,43 0,110 0,930 2 43,5 3,26 Mc 7,25 10,15 0,019 0,988 2 43,5 0,52 1,13

MV4a-P6 -18,85 26,39 0,049 0,970 2 43,5 1,39

V4

MV4b-P8 -5,80 8,12 0,015 0,988 2 43,5 0,42 1,13 Ma 12,88 18,03 0,055 0,967 2 43,5 1,23 Mb -17,34 24,28 0,074 0,954 2 43,5 1,67 Mc 5,87 8,22 0,025 0,982 2 43,5 0,55 0,90

MV5a-P6 -10,18 14,25 0,043 0,970 2 43,5 0,97

V5

MV5b-P1 -6,03 8,44 0,026 0,982 2 43,5 0,56 0,90 Ma 26,20 36,68 0,112 0,927 2 43,5 2,60 Mb -35,30 49,42 0,151 0,899 3 43,5 3,61

Mc 17,00 23,80 0,073 0,954 2 43,5 1,64

MV64a-P7 -20,47 28,66 0,087 0,944 2 43,5 1,99

V6

MV6b-P2 -8,21 11,49 0,035 0,976 2 43,5 0,77 0,90 Ma 64,69 90,56 0,167 0,887 3 43,5 5,21

MV7-P8 -27,60 38,64 0,071 0,954 2 43,5 2,07 V7

MV8-P3 -27,60 38,64 0,071 0,954 2 43,5 2,07

VII.3.7 Cálculo da área de aço para combate do cisalhamento (armadura transversal);

VII.3.7.1 Cálculo da área de aço transversal mínima

Asw,míns =

6 . fck2/3

fyk . b =

6 . 252/3

500 . 15 = 1,54cm2/m.


101

VII.3.7.2 Verificação do esmagamento do concreto

αv = 1 – fck

250 = 1 – 25250 = 0,90; fcd =

fck1,4 (fck em kN/m2)

Para a viga V4: b = 15 cm = 0,15 m d = h – 5 cm = 50 – 5 = 45 cm = 0,45 m; d = h – 10% . h = 50 – 5 = 45 cm = 0,45 m Logo d = 0,45 m

Vrd2 = 0,27 . αv . fcd . b . d = 0,27 . 0,90 . 0,15 . 0,45 . 25000

1,4 = 292,90 kN

Se Vsd > Vrd2 haverá esmagamento do concreto e deve-se aumentar a largura da viga.

VII.3.7.3 Área de aço necessária para combate ao cisalhamento (esforço cortante) O cálculo da área de aço necessária para combate ao cisalhamento é dado por: Asws =

Vsd0,9 . d . fyd

, onde para aço CA-50 fyd = 43,5 kN/cm2. A Tabela VII.24 resume os

valores das referidas áreas para as vigas do projeto.

Tabela VII.24 – Áreas de aço necessárias para combate ao cortante da viga V4.

Viga Cortante V (kN)

Vsd (kN)

Vrd2 (kN)

Verificação esmagamento do concreto

Asws (cm2/m)

V1 Va 44,95 62,93 351,5 OK 2,98 V2 Va

20,98 29,37 227,8 OK 2,14

V3 Va 92,42 129,39 351,5 OK 6,12

Va 30,88 43,23 292,9 OK 2,45

Vbesq -45,14 63,20 292,9 OK 3,59

Vbdir 31,96 44,74 292,9 OK 2,54

V4

Vc -10,99 15,39 292,9 OK 0,87 1,54 Va 16,94 23,71 227,8 OK 1,73

Vbesq -25,95 36,32 227,8 OK 2,65

Vbdir 23,26 32,56 227,8 OK 2,38

V5

Vc -11,70 16,38 227,8 OK 1,20 1,54 Va 35,00 49,00 227,8 OK 3,58

Vbesq -53,60 75,04 227,8 OK 5,48

Vbdir 42,00 58,80 227,8 OK 4,29

V6

Vc -21,70 30,38 227,8 OK 2,22 V7 Va 53,35 74,69 292,9 OK 4,24


102

VII.3.8 Determinação e detalhamento das armaduras na seção transversal.

VII.3.8.1 Armadura transversal para combate ao cisalhamento (estribos)

Devem ser respeitados os diâmetros mínimos e máximos para escolha do estribo, assim φest ≥

5 mm e φest ≤ b10 ( b é a largura da viga = 15cm), logo φest ≤

1510 = 1,5 cm = 15 mm →

12,5 mm. O número de ferros necessários é calculado dividindo-se a área de ferro necessária pela área de ferro de uma bitola multiplicado por 2 pois o estribo tem duas pernas. Por exemplo, para a viga V1, tem-se:

nº ferros com bitola φ =

Asw

s2 . Aφ

= 2,98

2 . 0,20 = 7,44 ferros por metro.

Com o número de ferros de uma determinada bitola calcula-se o espaçamento entre ferros

dividindo-se 100 pelo número de ferros. Assim, para a viga V1, tem-se: s = 100

nº ferros =

s = 1007,44 = 13,44 cm 12,50 cm. A armação fica então φ 5,0 c 12,5. A Tabela VII.25 resume

os estribos necessários nas vigas para combate aos esforços cortantes máximos.

Tabela VII.25 – Armaduras necessárias dos estribos nas vigas.

Viga Cortante Asws

(cm2/m) φ (mm) n

(ferros/m)s

(cm)

s adotado

(cm) Armação

V1 Va 2,98 5,0 7,44 13,44 12,5 φ 5,0 c 12,5 V2 Va

2,14 5,0 5,36 18,66 17,5 φ 5,0 c 17,5 V3 Va

6,12 6,3 9,56 10,46 10 φ 6,3 c 10,0 Va 2,45 5,0 6,13 16,30 15 φ 5,0 c 15,0

Vbesq 3,59 5,0 8,97 11,15 10 φ 5,0 c 10,0

Vbdir 2,54 5,0 6,35 15,75 15 φ 5,0 c 15,0

V4

Vc 1,54 5,0 3,85 25,99 20 φ 5,0 c 20,0 Va 1,73 5,0 4,33 23,11 20 φ 5,0 c 20,0

Vbesq 2,65 5,0 6,63 15,09 15 φ 5,0 c 15,0

Vbdir 2,38 5,0 5,94 16,83 15 φ 5,0 c 15,0

V5

Vc 1,54 5,0 3,85 25,99 20 φ 5,0 c 20,0 Va 3,99 5,0 9,99 10,01 10 φ 5,0 c 10,0

Vbesq 6,00 6,3 9,37 10,67 10 φ 6,3 c 10,0

Vbdir 4,49 6,3 7,01 14,27 12,5 φ 6,3 c 12,5

V6

Vc 2,02 5,0 5,06 19,77 17,5 φ 5,0 c 17,5 V7 Va 4,24 6,3 6,62 15,10 15 φ 6,3 c 15,0


103

VII.3.8.2 Detalhamento dos estribos Com auxílio da Figura VII.35, e usando semelhança de triângulos, pode-se notar que o esforço cortante a 1m do apoio esquerdo é 29,8kN; o que resulta em 1,98 cm2/m e, conseqüentemente, φ 5,0 c 20,0. Assim sendo, a distribuição das barras fica 8 φ 5,0 c 12,5 no primeiro metro; (595 – 100 – 100 – 20) = 375/20 = 19,25 = 20 φ 5,0 c 20,0 no trecho central; e 8 φ 5,0 c 12,5 no último metro.

Figura VII.34 - Diagrama de esforços cortantes da Viga V1 com comprimentos característicos.

Com auxílio da Figura VII.35, e usando semelhança de triângulos, pode-se notar que o esforço cortante máximo no apoio esquerdo é, em módulo, igual ao esforço cortante a 4,84m deste mesmo apoio. Assim sendo, pode-se distribuir os estribos de maneira uniforme do apoio esquerdo até 4,84m deste apoio (φ 5,0 c 15,0). Nos 1,10m próximos ao vão central pela esquerda distribuem-se os estribos de acordo com o cortante de –45,2 kN (φ 5,0 c 10,0). Da mesma maneira, nos primeiros 1,80m à direita do apoio central distribuem-se os estribos de acordo com o cortante de 32,0kN (φ 5,0 c 15,0). E, no restante deste vão, de acordo com o cortante de –11,0kN (φ 5,0 c 20,0). Poderia-se também fazer um cálculo análogo ao da viga V1. No 2o trecho, tem-se 110/10 = 11 φ 5,0 c 10,0. No 1o trecho, tem-se: 595 – 110 – 20 = 465/15 = 31 φ 5,0 c 15,0. No 3o trecho, tem-se 180/15 = 12 φ 5,0 c 15,0. E no último trecho, tem-se: 405 – 180 –20 = 205/20 = 10,25 = 11 φ 5,0 c 20,0.

Figura VII.35 – Diagrama de esforços cortantes da Viga V4 com comprimentos característicos.

Para o cálculo do comprimento dos estribos basta subtrair 2,5 cm do cobrimento de cada borda da seção transversal da viga e acrescentar as duas dobras de ancoragem, com 5 cm cada. Para a viga V4 (seção 15x50), por exemplo: lest = 2 . (b – 2 . 2,5 cm) + 2 . (h – 2 . 2,5 cm) + 2 . 5 cm = 2 . (15 – 2 . 2,5 cm) + 2 . (50 – 2 . 2,5 cm) + 2 . 5 cm = 120 cm.


104

A Figura VII.36 mostra o desenho esquemático dos estribos no trecho de viga V4a e a Tabela VII.26 resume a distribuição e o detalhamento dos estribos nas vigas.

1o trecho 31 φ 5.0 c 15,0 (120) 2o trecho 11 φ 5.0 c 10,0 (120)

Figura VII.36 – Detalhamento dos estribos no trecho a da viga V4.

Tabela VII.26 – Armaduras dos estribos nas vigas.

Viga trecho Seção Armação Comprimento (cm)

Comprimento do estribo

(cm)

Número de estribos

1/3 φ 5,0 c 12,5 100 8 V1

2 15x60

φ 5,0 c 20,0 375 140

20

1/3 φ 5,0 c 17,5 100 6 V2 2 15x40

φ 5,0 c 20,0 185 100

10

1/3 φ 6,3 c 10,0 100 10 V3 2

15x60 φ 6,3 c 15,0 375

140 25

1 φ 5,0 c 15,0 465 32 V4a

2 φ 5,0 c 10,0 110 11

3 φ 5,0 c 15,0 180 12 V4b

4

15x50

φ 5,0 c 20,0 205

120

11 1 φ 5,0 c 20,0 250 13

V5a 2 φ 5,0 c 15,0 105 7

3 φ 5,0 c 15,0 105 7 V5b

4

15x40

φ 5,0 c 20,0 165

100

9 1 φ 5,0 c 10,0 245 25

V6a 2 φ 6,3 c 10,0 100 10

3 φ 6,3 c 12,5 135 9 V6b

4

15x40

φ 5,0 c 17,5 135

100

8 1/3 φ 6,3 c 15,0 105 7

V7 2

15x50 φ 5,0 c 15,0 350

120 9

10 cm

10 cm

45 cm 45 cm

2 x 5 cm


105

VII.3.8.3 Armadura positiva longitudinal para combate a flexão O número de ferros necessários é calculado dividindo-se a área de ferro necessária pela área

de ferro de uma bitola, ou seja, nφ = As

+

Asφ e arredondando o valor encontrado para cima.

Depois calcula-se a área real utilizada por As,real = nφ . Asφ . A Tabela VII.27 apresenta as possíveis armaduras para os momentos fletores máximos encontrados, começando com a bitola de 8.0 mm e levando em consideração o número mínimo de barras 2. Dois aspectos são levados em conta na escolha da melhor solução: economia e praticidade. Pelo critério econômico escolhe-se a bitola que apresenta área de aço real mais próxima da área de aço necessária. Pelo critério da praticidade, deve-se examinar se os ferros serão colocados em uma ou mais camadas para respeitar um espaçamento mínimo necessário entre as barras de forma que a concretagem não seja prejudicada (ver Tabela D.16). Caso seja necessário o emprego de mais de uma camada, há mudança do centro de gravidade das barras e conseqüentemente diminuição da altura útil da viga. Dessa forma, os cálculos das áreas de aço necessárias para combate da flexão devem ser refeitos e essas áreas serão maiores. Até duas camadas, a estimativa de altura útil considerada é suficiente para que não seja necessário o recálculo da área de aço necessária. Como acontece por exemplo na viga V3, na qual a altura útil passa a ser ≅ 54 cm [(60cm(hv) – 2,5cm(cnom) – 0,63cm(φest) – 2,0cm(φ)– 1,0cm(av/2)]. Por outro lado, na execução, as múltiplas camadas devem ser cuidadosamente respeitadas, o que requer supervisão de profissional qualificado.

Tabela VII.27 – Determinação da armadura de flexão das vigas.

Viga Momento As (cm2) Bitola φ (mm) Asφ (cm2) nφ As,real (cm2)

n cam. Armação

8.0 0,50 8,63→9 4,50 3 10.0 0,80 5,39→6 4,80 2 12.5 1,25 3,45→4 5,00 2 16.0 2,00 2,13→3 6,00 2

Ma 4,31

20.0 3,15 1,37→2 6,30 1

6 φ 10.0 (2 cam.)

8.0 0,50 2,70→3 1,50 1

V1

Mv1-P1 = Mv1-P2

1,35 10.0 0,80 1,69→2 1,60 1 3 φ 8.0

8.0 0,50 4,11→5 2,50 2 10.0 0,80 2,57→3 2,40 1 Ma 2,06 12.5 1,25 1,65→2 2,50 1

3 φ 10.0 V2

Mv2-P3 0,90 8.0 0,50 1,80→2 1,00 1 2 φ 8.0 8.0 0,50 19,96→20 10,00 7

10.0 0,80 12,48→13 10,40 7 12.5 1,25 7,99→8 10,00 4 16.0 2,00 4,99→5 10,00 3 20.0 3,15 3,17→4 12,68 2

Ma 9,98

25.0 4,90 2,04→3 14,70 2

4 φ 20.0 (2 cam.)

8.0 0,50 4,08→5 2,50 2 10.0 0,80 2,55→3 2,40 2 Mv3-P4 2,04 12.5 1,25 1,63→2 2,50 1

2 φ 12.5

8.0 0,50 6,62→7 3,50 3 10.0 0,80 4,14→5 4,60 3 12.5 1,25 2,65→3 3,75 2

V3

Mv3-P5 3,31

16.0 2,00 1,66→2 4,00 1

3 φ 12.5 (2 cam.)


106

8.0 0,50 5,69→6 3,00 2 10.0 0,80 3,56→4 3,20 2 12.5 1,25 2,28→3 3,75 2

Ma 2,85

16.0 2,00 1,42→2 4,00 1

6 φ 8.0 (2 cam.)

8.0 0,50 6,53→7 3,50 3 10.0 0,80 4,08→5 4,00 2 12.5 1,25 2,61→3 3,75 2

Mb 3,26

16.0 2,00 1,63→2 4,00 1

3 φ 12.5 (2 cam.)

8.0 0,50 2,25→3 1,50 1 Mc 1,13 10.0 0,80 1,41→2 1,60 1 3 φ 8.0

8.0 0,50 2,78→3 1,50 1 Mv4a-P6 1,39 10.0 0,80 1,74→2 1,60 1 3 φ 8.0

8.0 0,50 2,25→3 1,50 1

V4

Mv4b-P8 1,13 10.0 0,80 1,41→2 1,60 1 3 φ 8.0

8.0 0,50 2,45→3 1,50 1 Ma 1,23 10.0 0,80 1,53→2 1,60 1 3 φ 8.0

8.0 0,50 3,34→4 2,00 2 10.0 0,80 2,09→3 2,40 1 Mb 1,67 12.5 1,25 1,34→2 2,50 1

4 φ 8.0 (2 cam.)

Mc 0,90 8.0 0,50 1,80→2 1,00 1 2 φ 8.0 Mv5a-P6 0,97 8.0 0,50 1,93→2 1,00 1 2 φ 8.0

V5

Mv5b-P1 0,90 8.0 0,50 1,80→2 1,00 1 2 φ 8.0 8.0 0,50 5,20→6 3,00 2

10.0 0,80 3,25→4 3,20 2 12.5 1,25 2,08→3 3,75 2

Ma 2,60

16.0 2,00 1,30→2 4,00 1

6 φ 8.0 (2 cam.)

8.0 0,50 7,23→8 4,00 3 10.0 0,80 4,52→5 4,00 3 12.5 1,25 2,89→3 3,75 2

Mb 3,61

16.0 2,00 1,81→2 4,00 1

3 φ 12.5 (2 cam.)

8.0 0,50 3,28→4 2,00 2 Mc 1,64 10.0 0,80 2,05→3 2,40 2

12.5 1,25 1,31→2 2,50 1

4 φ 8.0 (2 cam.)

8.0 0,50 3,99→4 2,00 2 10.0 0,80 2,49→3 2,40 2 Mv6a-P7 1,99 12.5 1,25 1,60→2 2,50 1

4 φ 8.0 (2 cam.)

V6

Mv6b-P2 0,90 8.0 0,50 1,80→2 1,00 1 2 φ 8.0 8.0 0,50 10,43→11 5,50 4

10.0 0,80 6,52→7 5,60 4 12.5 1,25 4,17→5 6,25 3 16.0 2,00 2,61→3 6,00 2

Ma 5,21

20.0 3,15 1,66→2 6,30 1

3 φ 16.0 (2 cam.)

8.0 0,50 4,14→5 2,50 2 10.0 0,80 2,59→3 2,40 2

V7

Mv7-P8 = Mv7-P3

2,07 12.5 1.25 1,66→2 2,50 1

3 φ 10.0 (2 cam.)

A Figura VII.37 mostra o detalhe das armaduras na seção transversal da viga V1 em um corte ilustrativo considerando as armaduras positivas, negativas e de estribo máximas. As Figuras VII.38 e VII.39 mostram os mesmos detalhes para a viga V4 nos trechos V4a e V4b.


107

φ 5.0 c 12,5

Figura VII.37 – Detalhe ilustrativo das armaduras na seção transversal da viga V1.

φ 5.0 c 10,0

Figura VII.38 – Detalhe ilustrativo das armaduras na seção transversal da viga V4 no trecho V4a.

φ 5.0 c 15,0

Figura VII.39 – Detalhe ilustrativo das armaduras na seção transversal da viga V4 no trecho V4b.

3 φ 8.0 viga

3 φ 10.0 (2a camada) 3 φ 10.0 (1a camada)

2 φ 12.5 (1a camada) viga

3 φ 8.0

2 φ 12.5 (1a camada) viga

3 φ 8.0 (1a camada)





108

VII.3.9 Determinação e detalhamento das armaduras ao longo da viga Será mostrado como exemplo o detalhamento da armadura longitudinal da viga V4. O referido detalhamento para as demais vigas fica a cargo do leitor. Primeiramente, faz-se a escolha final das armaduras com auxílio das Figuras VII.40 e VII.41 e da Tabela VII.27. Usando o bom senso com foco na maior facilidade de execução, substitui-se as armaduras da Figura VII.40 pelas armaduras da Figura VII.41.

Figura VII.40 – Croquis da armadura da viga V4.

Figura VII.41 – Croquis da armadura modificada da viga V4.

O segundo passo é desenhar o diagrama de momentos fletores original em escala. Isto pode ser feito simplesmente plotando o diagrama através de um programa de computador (tal como


109

o FTOOL da PUC-Rio) ou pelo método gráfico, o qual foi explicado em disciplinas anteriores e será aqui relembrado com auxílio da Figura VII.42.

Sobre o eixo da viga em escala ligam-se com retas os momentos fletores nos apoios também em escala.

Marca-se a partir do centro destas retas 2 x q . l2

8 . No caso da viga V4, Figura VII.42,

no vão V4a (P6 – P7) 2 x 12,78 . (5,95)2

8 = 2 x 56,56 kN.m; e no caso do vão V4b (P7

– P8) 2 x 10,61 . (4,05)2

8 = 2 x 21,75 kN.m.

Liga-se com retas estes pontos aos momentos nos apoios. Divide-se estas últimas retas em partes iguais, que, neste caso, no vão V4a as retas

foram divididas em 7 partes iguais e no vão V4b em 5 partes iguais. Liga-se com retas os pontos opostos, por exemplo, no vão V4a liga-se o 1o ponto da

reta à esquerda com o 6o ponto da reta à direta; o 2o ponto da reta à esquerda com o 5o ponto da reta à direita; o 3o ponto da reta à esquerda com o 4o ponto da reta à direita; o 4o ponto da reta à esquerda com o 3o ponto da reta à direita; o 5o ponto da reta à esquerda com o 2o ponto da reta à direita; e o 6o ponto da reta à esquerda com o 1o ponto da reta à direita. O diagrama de momentos fletores tangencia o cruzamento destas retas como mostrado

na Figura VII.42.

Figura VII.42 – Desenho do diagrama de momentos fletores da viga V4 em escala.


110

VII.3.9.1 Armadura positiva No caso das armaduras positivas o comprimento das barras é obtido cobrindo-se o diagrama de momentos fletores em escala e adicionando-se o comprimento de ancoragem reto em cada lado. Para tanto é necessário dividir o diagrama de momentos fletores original em tantas partes iguais quantas forem às barras a serem posicionadas. No caso da viga V4 no vão V4a divide-se o diagrama de momentos fletores em quatro partes iguais (4 φ 10.0) tal como mostra a Figura VII.43. Lembrar que os apoios representados na Figura VII.43 estão localizados nos eixos dos apoios reais (pilares P6, P7 e P8). Considerando que pelo menos duas barras devem ser colocadas por toda a extensão do vão, dividiremos as quatro barras da viga do vão V4a em um grupo de duas barras e em duas barras isoladas (uma na primeira camada e uma na segunda camada). O comprimento das duas barras que vão de apoio a apoio (P6 a P8) é obtido da seguinte forma (ver Figura VII.43): (i) comprimento entre eixos de pilares: 595 cm + 405cm = 1000cm; (ii) comprimento entre o eixo do pilar P6 e final da barra: lb = 38 φ (para fck = 25 MPa, região de boa aderência) = 38 . 1 = 38 cm; (iii) comprimento entre o eixo do pilar P6 e sua face esquerda: 10cm – 2,5cm (cobrimento) = 7,5 cm; (iv) comprimento da dobra das barras: (ii) – (iii) = 38 cm – 7,5cm = 30,5 cm ≅ 30 cm (v) comprimento entre o eixo do pilar P8 e final da barra: lb = 38 φ (para fck = 25 MPa, região de boa aderência) = 38 . 1 = 38 cm; (vi) comprimento entre o eixo do pilar P8 e sua face direita: 10cm – 2,5cm (cobrimento) = 7,5 cm; (vii) comprimento da dobra das barras: (v) – (vi) = 38 cm – 7,5cm = 30,5 cm ≅ 30 cm; (viii) comprimento total das barras: 1000cm + 7,5cm + 30cm + 7,5cm + 30cm= 1075cm. O comprimento da barra restante na primeira camada do vão V4a é obtido da seguinte forma (ver Figura VII.43): (i) comprimento obtido cobrindo o diagrama de momentos fletores em escala (terceira barra corresponde a terceira reta de cima para baixo, onde a primeira coincide com o eixo da viga, e a segunda está pontilhada). A medida obtida em escala é de 345 cm; (ii) comprimento de ancoragem reto para cada lado lb = 38 φ (para fck = 25 MPa, região de boa aderência) = 38 . 1 = 38 cm. (iii) comprimento total da barra = (i) + 2 . (ii) = 345 + 2 . 38 = 421cm. Como o valor da distância do momento máximo positivo para o eixo do apoio da esquerda é conhecido (xa

+ = 242cm), pode-se determinar a distância entre o eixo do pilar P6 e a extremidade da barra = 242 – 345/ 2 – 38 = 31,5cm ≅ 30cm. O comprimento da barra na segunda camada do vão V4a é obtido da seguinte forma (ver Figura VII.43): (i) comprimento obtido cobrindo o diagrama de momentos fletores em escala (terceira barra corresponde a quarta reta de cima para baixo, onde a primeira coincide com o eixo da viga, e a segunda está pontilhada). A medida obtida em escala é de 245 cm; (ii) comprimento de ancoragem reto para cada lado lb = 38 φ (para fck = 25 MPa, região de boa aderência) = 38 . 1 = 38 cm. (iii) comprimento total da barra = (i) + 2 . (ii) = 245 + 2 . 38 = 321cm. Como o valor da distância do momento máximo positivo para o eixo do apoio da esquerda é conhecido (xa

+ = 242cm), pode-se determinar a distância entre o eixo do pilar P6 e a extremidade da barra = 242 – 245/ 2 – 38 = 81,5cm ≅ 80cm.


111

VII.3.9.2 Armadura negativa VII.3.9.2.1 Apoios intermediários

Para os apoios intermediários, deve-se determinar o comprimento das barras de forma análoga ao disposto para barras de armadura positiva. O comprimento das barras é obtido cobrindo-se o diagrama de momentos fletores em escala e adicionando-se o comprimento de ancoragem reto em cada lado. Para tanto é necessário dividir o diagrama de momentos fletores original em tantas partes iguais quantas forem às barras a serem posicionadas. No caso da viga V4, na região do apoio P7, divide-se o diagrama de momentos fletores em cinco partes iguais (5 φ 10.0) tal como mostra a Figura VII.43. Considerando que pelo menos duas barras devem ser colocadas por toda a extensão do vão, dividiremos as cinco barras da viga em dois grupos de duas barras (um na 1a camada e outro na 2a camada) e uma barra isolada. O comprimento das duas barras que vão de apoio a apoio (P6 a P8) é obtido da seguinte forma (ver Figura VII.43): (i) comprimento entre eixos de pilares: 595 cm + 405cm = 1000cm; (ii) comprimento entre o eixo do pilar P6 e sua face esquerda: 10cm – 2,5cm (cobrimento) = 7,5 cm; (iii) comprimento entre o eixo do pilar P8 e sua face direita: 10cm – 2,5cm (cobrimento) = 7,5 cm (vi) comprimento da dobra das barras: hv – 5cm = 50 cm – 5cm = 45 cm (iii) comprimento total das barras: 1000cm + 7,5 + 7,5 + 45cm + 45cm= 1105cm. O comprimento da barra restante na 1a camada, na região do pilar P7, é obtido da seguinte forma (ver Figura VII.43): (i) comprimento obtido cobrindo o diagrama de momentos fletores em escala (terceira barra corresponde a terceira reta de baixo para cima, onde a primeira coincide com o eixo da viga, e a segunda está pontilhada). A medida obtida em escala é de 160cm; (ii) comprimento de ancoragem reto para cada lado lb = 54 φ (para fck = 25 MPa, região de má aderência) = 54 . 1 = 54 cm. (iii) comprimento total da barra = (i) + 2 . (ii) = 160 + 2 . 54 = 268cm. O comprimento das barras na 2a camada, na região do pilar P7, é obtido da seguinte forma (ver Figura VII.43): (i) comprimento obtido cobrindo o diagrama de momentos fletores em escala (quarta barra corresponde a quarta reta de baixo para cima, onde a primeira coincide com o eixo da viga, e a segunda está pontilhada). A medida obtida em escala é de 100cm; (ii) comprimento de ancoragem reto para cada lado lb = 54 φ (para fck = 25 MPa, região de má aderência) = 54 . 1 = 54 cm. (iii) comprimento total da barra = (i) + 2 . (ii) = 100 + 2 . 54 = 208cm. A Figura VII.44 mostra a planta de armação da viga V4. Nota-se nesta Figura que foram realizados alguns arredondamentos nos comprimentos dos ferros e que as cotas das barras foram colocadas com relação à face dos pilares para facilitar a execução. A Tabela VII.28 apresenta o quadro de ferros para esta viga e a Tabela VII.29 apresenta o quadro resumo.


112

Figura VII.43 – Planta de auxílio para armação da viga V4.


113

Figura VII.44 – Planta de armação da viga V4.


114

Tabela VII.28 – Quadro de ferros.

Posição φ (mm) Comprimento (cm) Quantidade Comprimento total (cm)

N1 5,0 120 66 7920 N2 10,0 1105 2 2210 N3 10,0 270 1 270 N4 10,0 210 2 420 N5 10,0 320 1 320 N6 10,0 420 1 420 N7 10,0 1075 2 2150

Tabela VII.29 – Quadro resumo.

φ (mm) Comprimento total (m) Peso (kgf)

5,0 79,2 12,7 10,0 36,4 22,6

Total 35,3 Após o dimensionamento de lajes e vigas da estrutura, a planta de fôrmas final é mostrada na Figura VII.45. Notar que este é um projeto exemplo para um edifício de até 3 andares, tendo em vista a dimensão dos pilares.


115

Figura VII.45 – Planta de fôrmas final da estrutura do pavimento tipo do projeto exemplo.


116

ANEXO A: Vão efetivo

Para efeito de cálculo, quando os apoios das lajes e vigas puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo a ser utilizado para as lajes e vigas deve ser calculado, segundo os itens 14.7.2.2 e 14.6.2.4 da NBR 6118:2003 por:

lef = lo + a1 + a2 (A.1) onde lo

é a distância entre faces internas de dois apoios consecutivos; a1 é o menor valor entre

t1 / 2 e 0,3h; e a2

é o menor valor entre t2 / 2 e 0,3h (Figura A.1).

Figura A.1 – Vão efetivo.


117

ANEXO B: Determinação do comprimento de ancoragem reto

O comprimento de ancoragem reto é dado por (ver resumo na Tabela D.17):

lb = φ4

fydfbd

(B.1)

onde φ é o diâmetro da barra de aço; fyd é a tensão de escoamento de cálculo do aço; e fbd é a resistência de aderência de cálculo, que é dada pela expressão:

fbd = η1 . η2 . η3 . fctd (B.2)

onde:

1. fctd é a resistência à tração do concreto para cálculo dada por:

fctd = fctk,inf1,4 =

0,7 . fctm1,4 = 0,15 fck

2/3 (B.3)

2. Tipo de aço:

η1 = 1,0 para barras lisas (CA25)

1,4 para barras entalhadas (CA60)

2,25 para barras de alta aderência (CA50)

3. Condição de aderência:

η2 = 1,0 para situações de boa aderência

0,7 para situações de má aderência

As condições de boa ou má aderência estão definidas no item 9.3.1 da NBR 6118:2003, que considera em boa situação quanto à aderência, os trechos das barras que estejam em uma das posições seguintes (Figura B.1): a) Com inclinação maior que 45° sobre a horizontal (Figura B.1(a)). b) Horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que:

• Localizados no máximo 30cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima, para elementos estruturais com h < 60cm (Figura B.1(b)).

• Localizados no mínimo 30cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima, para elementos estruturais com h ≥ 60cm (Figura B.1(c)).


118

Figura B.1 – Situações de boa e má aderência.

4. Diâmetro da barra de aço:

η3 =

1,0 para φ ≤ 32mm

132 − φ100 para φ > 32 mm


119

ANEXO C: Determinação de esforços em vigas de dois vãos submetidas a cargas

distribuídas

Para o caso particular de vigas submetidas a cargas distribuídas com dois vãos, os referidos diagramas podem ser determinados através de fórmulas deduzidas com as técnicas citadas anteriormente (eqs. C.1 a C.14, Figura C.1).

Legenda da Figura C.1 e das Eqs. C.1 a C.14: qa: carga uniformemente distribuída no vão a. qb: carga uniformemente distribuída no vão b. la: comprimento do vão a. lb: comprimento do vão b. Ma: máximo momento positivo no vão a. Mb: máximo momento negativo n viga. Mc: máximo momento positivo no vão c. Ra: reação no apoio A. Rb: reação no apoio B. Rc: reação no apoio C. xa

+ : distância do apoio A ao máximo momento positivo no vão a. xb,esq

- : distância do apoio B ao momento nulo no vão a. xb,dir

- : distância do apoio B ao momento nulo no vão b. xc

+ : distância do apoio C ao máximo momento positivo no vão b. Va: Cortante no apoio A. Vb

esq: Cortante à esquerda do apoio B. Vb

dir: Cortante à direita do apoio B. Vc: Cortante no apoio C.


120

Figura C.1 – Diagrama de momentos fletores e esforços cortantes para uma viga contínua genérica de

dois vãos submetida a carregamentos distribuídos.


121

Mb = − qa . la3 + qb . lb3

8 . (la + lb) (C.1)

Ra = qa . la

2 + Mb

la (C.2)

Rc = qb . lb

2 + Mb

lb (C.3)

Rb = qa . la + qb . lb − Ra − Rc (C.4)

Ma = Ra

2

2 . qa (C.5)

Mc = Rc

2

2 . qb (C.6)

Va = Ra (C.7)

Vbesq = Ra − qa . la (C.8)

Vbdir = Ra + Rb − qa . la (C.9)

Vc = - Rc (C.10)

xa+ =

Raqa

(C.11)

xb,esq- = la −

2 . Raqa

(C.12)

xb,dir- = lb −

2 . Rcqb

(C.13)

xc+ =

Rcqb

(C.14)


122

ANEXO D: TABELAS

Estruturas de Concreto Armado I _________________________________________UFRJ/FAU/DE

123

Tabela D.1 – Valores para os parâmetros adimensionais kmd, kz e kx e tensões associadas às armaduras longitudinais.

Domínio fs

kN

cm2 Domínio fs

kN

cm2

Aço CA Aço CA Aço CA Aço CA kmd kx

50 60

kz

50 60

kmd kx

50 60

kz

50 60 0,010 0,015 2 2 0,994 43,5 52,2 0,180 0,301 3 3 0,880 43,5 52,2 0,020 0,030 2 2 0,988 43,5 52,2 0,185 0,311 3 3 0,876 43,5 52,2 0,030 0,045 2 2 0,982 43,5 52,2 0,190 0,320 3 3 0,872 43,5 52,2 0,040 0,060 2 2 0,976 43,5 52,2 0,195 0,330 3 3 0,868 43,5 52,2 0,050 0,076 2 2 0,970 43,5 52,2 0,200 0,340 3 3 0,864 43,5 52,2 0,055 0,084 2 2 0,967 43,5 52,2 0,205 0,351 3 3 0,860 43,5 52,2 0,060 0,092 2 2 0,963 43,5 52,2 0,210 0,361 3 3 0,856 43,5 52,2 0,065 0,100 2 2 0,960 43,5 52,2 0,215 0,371 3 3 0,851 43,5 52,2 0,070 0,108 2 2 0,957 43,5 52,2 0,220 0,382 3 3 0,847 43,5 52,2 0,075 0,116 2 2 0,954 43,5 52,2 0,225 0,393 3 3 0,843 43,5 52,2 0,080 0,124 2 2 0,950 43,5 52,2 0,230 0,403 3 3 0,839 43,5 52,2 0,085 0,132 2 2 0,947 43,5 52,2 0,235 0,414 3 3 0,834 43,5 52,2 0,090 0,140 2 2 0,944 43,5 52,2 0,240 0,425 3 3 0,830 43,5 52,2 0,095 0,149 2 2 0,941 43,5 52,2 0,245 0,437 3 3 0,825 43,5 52,2 0,100 0,157 2 2 0,937 43,5 52,2 0,250 0,448 3 3 0,821 43,5 52,2 0,105 0,165 2 2 0,934 43,5 52,2 0,255 0,459 3 3 0,816 43,5 52,2 0,110 0,174 2 2 0,930 43,5 52,2 0,260 0,471 3 3 0,812 43,5 52,2 0,115 0,182 2 2 0,927 43,5 52,2 0,265 0,483 3 3 0,807 43,5 52,2 0,120 0,191 2 2 0,924 43,5 52,2 0,270 0,495 3 3 0,802 43,5 52,2 0,125 0,200 2 2 0,920 43,5 52,2 0,275 0,507 3 3 0,797 43,5 52,2 0,130 0,209 2 2 0,917 43,5 52,2 0,280 0,520 3 3 0,792 43,5 52,2 0,135 0,217 2 2 0,913 43,5 52,2 0,285 0,533 3 3 0,787 43,5 52,2 0,140 0,226 2 2 0,909 43,5 52,2 0,290 0,545 3 3 0,782 43,5 52,2 0,145 0,235 2 2 0,906 43,5 52,2 0,295 0,559 3 3 0,777 43,5 52,2 0,150 0,245 2 2 0,902 43,5 52,2 0,300 0,572 3 3 0,771 43,5 52,20,155 0,254 2 2 0,899 43,5 52,2 0,305 0,586 3 3 0,766 43,5 52,20,160 0,263 3 3 0,895 43,5 52,2 0,310 0,600 3 4 0,760 43,5 --- 0,165 0,272 3 3 0,891 43,5 52,2 0,315 0,614 3 4 0,754 43,5 --- 0,170 0,282 3 3 0,887 43,5 52,2 0,320 0,629 4 4 --- --- --- 0,175 0,291 3 3 0,883 43,5 52,2

Estruturas de Concreto Armado I _UFRJ/FAU/DE

124

Tabela D.2 – Pesos específicos dos materiais de construção para revestimentos de pisos. Materiais γr

Rochas granito, mármore 28 kN/m3

Blocos artificiais lajotas cerâmicas 18 kN/m3 Revestimentos e concretos Argamassas cal, cimento e areia cimento e areia concreto simples

19 kN/m3

21 kN/m3

24 kN/m3 Madeiras louro, imbuia guajuvirá, guatambu angico, cabriúva, ipê

6,5 kN/m3 8 kN/m3

10 kN/m3

Materiais diversos asfalto borracha

13 kN/ m3

17 kN/ m3

Tabela D.3 – Peso específico dos materiais de construção para paredes. Materiais γA

Blocos artificiais Blocos de argamassa Cimento amianto Tijolos furados Tijolos maciços

22 kN/m3

20 kN/m3

13 kN/m3 18 kN/m3

Tabela D.4 – Valores de sobrecargas a serem utilizadas em lajes (ver Tab. 2 NBR 6120/1980). Localização q

Arquibancadas 4,0 kN/m2 Bibliotecas (2,5 kN/m² por metro de altura)

Sala de leitura Sala de depósito de livros Sala com estandes de livros (valor mínimo)

2,5 kN/m2

4,0 kN/m2

6,0 kN/m2 Edifícios residenciais Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro

Despensa, área de serviço e lavanderia 1,5 kN/m2

2,0 kN/m2

Escadas e Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público

3,0 kN/m2

2,5 kN/m2

Escritórios Salas de uso geral e banheiros 2,0 kN/m² Escolas

Corredor e sala de aula Outras salas

3,0 kN/m² 2,0 kN/m²

Terraços Com acesso ao público Sem acesso ao público Inacessível

3,0 kN/ m2

2,0 kN/ m2

0,5 kN/ m2 Restaurantes 3,0 kN/ m2 Teatros (palco) e Ginásios de esportes 5,0 kN/ m2

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125

Tabela D.5 – Valores do coeficiente α para cálculo de flechas em lajes (casos 1 a 9 de acordo com as condições de contorno apontadas). Condições de contorno Coeficiente α

caso λ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1,00 4,67 3,20 3,20 2,42 2,21 2,21 1,81 1,81 1,46 1,05 5,17 3,61 3,42 2,67 2,55 2,31 2,04 1,92 1,60 1,10 5,64 4,04 3,63 2,91 2,92 2,41 2,27 2,04 1,74 1,15 6,09 4,47 3,82 3,12 3,29 2,48 2,49 2,14 1,87 1,20 6,52 4,91 4,02 3,34 3,67 2,56 2,72 2,24 1,98 1,25 6,95 5,34 4,18 3,55 4,07 2,63 2,95 2,33 2,10 1,30 7,36 5,77 4,35 3,73 4,48 2,69 3,16 2,42 2,20 1,35 7,76 6,21 4,50 3,92 4,92 2,72 3,36 2,48 2,30 1,40 8,14 6,62 4,65 4,08 5,31 2,75 3,56 2,56 2,37 1,45 8,51 7,02 4,78 4,23 5,73 2,80 3,73 2,62 2,45 1,50 8,87 7,41 4,92 4,38 6,14 2,84 3,91 2,68 2,51 1,55 9,22 7,81 5,00 4,53 6,54 2,86 4,07 2,73 2,57 1,60 9,54 8,17 5,09 4,65 6,93 2,87 4,22 2,77 2,63 1,65 9,86 8,52 5,13 4,77 7,33 2,87 4,37 2,78 2,68 1,70 10,15 8,87 5,17 4,88 7,70 2,88 4,51 2,79 2,72 1,75 10,43 9,19 5,26 4,97 8,06 2,88 4,63 2,81 2,76 1,80 10,71 9,52 5,36 5,07 8,43 2,89 4,75 2,83 2,80 1,85 10,96 9,82 5,43 5,16 8,77 2,89 4,87 2,85 2,83 1,90 11,21 10,11 5,50 5,26 9,08 2,90 4,98 2,87 2,85 1,95 11,44 10,39 5,58 5,31 9,41 2,90 5,08 2,89 2,88 2,00 11,68 10,68 5,66 5,39 9,72 2,91 5,19 2,91 2,91

∞ 15,35 15,35 6,38 6,38 15,35 3,07 6,38 3,07 3,07 OBS.:

• Para obtenção de α para valores intermediários de λ, deve-se realizar uma interpolação linear.

• Caso a laje seja armada em uma só direção ( lylx

> 2), considerar os valores apontados para ∞.

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126

Tabela D.6 – Deslocamentos-limite previstos pela NBR 6118:2003.


127

Tabela D.7 – Valores dos coeficientes µx, µy, µx´ e µy´ para cálculo dos esforços em lajes (casos 1, 2 e 3). Condições de contorno Coeficientes

caso 1 2 3

λ µx µy µx µy µy’ µx µx’ µy 1,00 4,41 4,41 3,07 3,66 8,40 3,94 8,52 2,91 1,05 4,80 4,45 3,42 3,78 8,79 4,19 8,91 2,84 1,10 5,18 4,49 3,77 3,90 9,18 4,43 9,30 2,76 1,15 5,56 4,49 4,14 3,97 9,53 4,64 9,63 2,68 1,20 5,90 4,48 4,51 4,05 9,88 4,85 9,95 2,59 1,25 6,27 4,45 4,88 4,10 10,16 5,03 10,22 2,51 1,30 6,60 4,42 5,25 4,15 10,41 5,20 10,48 2,42 1,35 6,93 4,37 5,60 4,18 10,64 5,36 10,71 2,34 1,40 7,25 4,33 5,95 4,21 10,86 5,51 10,92 2,25 1,45 7,55 4,30 6,27 4,19 11,05 5,64 11,10 2,19 1,50 7,86 4,25 6,60 4,18 11,23 5,77 11,27 2,12 1,55 8,12 4,20 6,90 4,17 11,39 5,87 11,42 2,04 1,60 8,34 3,14 7,21 4,14 11,55 5,98 11,55 1,95 1,65 8,62 4,07 7,42 4,12 11,67 6,07 11,67 1,87 1,70 8,86 4,00 7,62 4,09 11,79 6,16 11,80 1,79 1,75 9,06 3,96 7,66 4,05 11,88 6,24 11,92 1,74 1,80 9,27 3,91 7,69 3,99 11,96 6,31 12,04 1,68 1,85 9,45 3,83 8,22 3,97 12,03 6,38 12,14 1,64 1,90 9,63 3,75 8,74 3,94 12,14 6,43 12,24 1,59 1,95 9,77 3,71 8,97 3,88 12,17 6,47 12,29 1,54 2,00 10,00 3,64 9,18 3,80 12,20 6,51 12,34 1,48 ∞ 12,57 3,77 9,18 3,80 12,20 7,61 12,76 1,48

OBS: • Para obtenção de µx, µy, µx´ e µy´ para valores intermediários de λ, deve-se realizar uma interpolação linear.




128

Tabela D.8 – Valores dos coeficientes µx, µy, µx´ e µy´ para cálculo dos esforços em lajes (casos 4, 5 e 6). Condições de contorno Coeficientes

caso 4 5 6

λ µx µx’ µy µy’ µx µy µy’ µx µx’ µy 1,00 2,81 6,99 2,81 6,99 2,15 3,17 6,99 3,17 6,99 2,15 1,05 3,05 7,43 2,81 7,18 2,47 3,32 7,43 3,29 7,20 2,07 1,10 3,30 7,87 2,81 7,36 2,78 3,47 7,87 3,42 7,41 1,99 1,15 3,53 8,28 2,80 7,50 3,08 3,58 8,26 3,52 7,56 1,89 1,20 3,76 8,69 2,79 7,63 3,38 3,70 8,65 3,63 7,70 1,80 1,25 3,96 9,03 2,74 7,72 3,79 3,80 9,03 3,71 7,82 1,74 1,30 4,16 9,37 2,69 7,81 4,15 3,90 9,33 3,79 7,93 1,67 1,35 4,33 9,65 2,65 7,88 4,50 3,96 9,69 3,84 8,02 1,59 1,40 4,51 9,93 2,60 7,94 4,85 4,03 10,00 3,90 8,11 1,52 1,45 4,66 10,41 2,54 8,00 5,19 4,09 10,25 3,94 8,13 1,45 1,50 4,81 10,62 2,47 8,06 5,53 4,14 10,49 3,99 8,15 1,38 1,55 4,93 10,82 2,39 8,09 5,86 4,16 10,70 4,03 8,20 1,34 1,60 5,06 10,99 2,31 8,12 6,18 4,17 10,91 4,06 8,25 1,28 1,65 5,16 11,16 2,24 8,14 6,48 4,14 11,08 4,09 8,28 1,23 1,70 5,27 11,30 2,16 8,15 6,81 4,12 11,24 4,12 8,30 1,18 1,75 5,36 11,43 2,11 8,16 7,11 4,12 11,39 4,14 8,31 1,15 1,80 5,45 11,55 2,04 8,17 7,41 4,10 11,43 4,15 8,32 1,11 1,85 5,53 11,57 1,99 8,17 7,68 4,08 11,65 4,16 8,33 1,08 1,90 5,60 11,67 1,93 8,18 7,95 4,04 11,77 4,17 8,33 1,04 1,95 5,67 11,78 1,91 8,19 8,21 3,99 11,83 4,17 8,33 1,01 2,00 5,74 11,89 1,88 8,20 8,47 3,92 11,88 4,18 8,33 0,97 ∞ 7,06 12,50 1,95 8,20 12,58 4,13 11,88 4,18 8,33 0,97





129

Tabela D.9 – Valores dos coeficientes µx, µy, µx´ e µy´ para cálculo dos esforços em lajes (casos 7, 8 e 9).

Condições de contorno Coeficientes

caso 7 8 9

λ µx µx’ µy µy’ µx µx’ µy µy’ µx µx’ µy µy’ 1,00 2,13 5,46 2,60 6,17 2,60 6,17 2,13 5,46 2,11 5,15 2,11 5,15 1,05 2,38 5,98 2,66 6,46 2,78 6,47 2,09 5,56 2,31 5,50 2,10 5,29 1,10 2,63 6,50 2,71 6,75 2,95 6,76 2,04 5,65 2,50 5,85 2,09 5,43 1,15 2,87 7,11 2,75 6,97 3,09 6,99 1,98 5,70 2,73 6,14 2,06 5,51 1,20 3,11 7,72 2,78 7,19 3,23 7,22 1,92 5,75 2,94 6,43 2,02 5,59 1,25 3,43 8,81 2,79 7,36 3,34 7,40 1,85 5,75 3,04 6,67 1,97 5,64 1,30 3,56 8,59 2,77 7,51 3,46 7,57 1,78 5,76 3,13 6,90 1,91 5,68 1,35 3,76 8,74 2,74 7,63 3,55 7,70 1,72 5,75 3,25 7,09 1,86 5,69 1,40 3,96 8,88 2,71 7,74 3,64 7,82 1,64 5,74 3,38 7,28 1,81 5,70 1,45 4,15 9,16 2,67 7,83 3,71 7,91 1,59 5,73 3,48 7,43 1,73 5,71 1,50 4,32 9,44 2,63 7,91 3,78 8,00 1,53 5,72 3,58 7,57 1,66 5,72 1,55 4,48 9,68 2,60 7,98 3,84 8,07 1,47 5,69 3,66 7,68 1,60 5,72 1,60 4,63 9,91 2,55 8,02 3,89 8,14 1,42 5,66 3,73 7,79 1,54 5,72 1,65 4,78 10,13 2,50 8,03 3,94 8,20 1,37 5,62 3,80 7,88 1,47 5,72 1,70 4,92 10,34 2,45 8,10 3,98 8,25 1,32 5,58 3,86 7,97 1,40 5,72 1,75 5,04 10,53 2,39 8,13 4,01 8,30 1,27 5,56 3,91 8,05 1,36 5,72 1,80 5,17 10,71 2,32 8,17 4,04 8,34 1,20 5,54 3,95 8,12 1,32 5,72 1,85 5,26 10,88 2,27 8,16 4,07 8,38 1,17 5,55 3,98 8,18 1,26 5,72 1,90 5,36 11,04 2,22 8,14 4,10 8,42 1,14 5,56 4,01 8,24 1,21 5,72 1,95 5,45 11,20 2,14 8,13 4,11 8,45 1,11 5,60 4,04 8,29 1,19 5,72 2,00 5,55 11,35 2,07 8,12 4,13 8,47 1,08 5,64 4,07 8,33 1,16 5,72 ∞ 7,07 12,50 2,05 8,12 4,18 8,33 1,09 5,64 4,19 8,33 1,17 5,72





130

Tabela D.10 – Diâmetro de bitolas comerciais e correspondentes áreas da seção transversal de aço para

dimensionamento (Asφ). Bitola (mm) 5,0 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 25,0

Área (cm2) 0,20 0,32 0,50 0,80 1,25 2,00 3,15 4,90

Tabela D.11 – Diâmetro de bitolas comerciais dos ferros e correspondentes pesos por metro.

Bitola (mm) 5,0 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 25,0

Peso/m (kgf/m) 0,16 0,25 0,40 0,62 0,96 1,58 2,45 3,85

Estruturas de Concreto Armado I____________________________________________________________________________UFRJ/FAU/DE

131

Tabela D.12 – Diâmetro de bitolas comerciais e áreas da seção transversal de aço para dimensionamento de acordo com o número de barras.

φ PESODIÂMETRO LINEAR

(cm) (kgf/m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123,2 − 0,32 0,063 0,08 0,16 0,24 0,32 0,40 0,48 0,56 0,64 0,72 0,80 0,88 0,974 − 0,40 0,099 0,13 0,25 0,38 0,50 0,63 0,75 0,88 1,01 1,13 1,26 1,38 1,515 5 0,50 0,154 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,37 1,57 1,77 1,96 2,16 2,36

6,3 6,3 0,63 0,245 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,49 2,81 3,12 3,43 3,748 8 0,80 0,395 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,0310 10 1,00 0,617 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42− 12,5 1,25 0,963 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 11,04 12,27 13,50 14,73− 16 1,60 1,578 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13− 20 2,00 2,466 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70− 22,5 2,25 3,121 3,98 7,95 11,93 15,90 19,88 23,86 27,83 31,81 35,78 39,76 43,74 47,71− 25 2,50 3,853 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90− 32 3,20 6,313 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51− 40 4,00 9,865 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80

FIOS BARRAS

VALOR NOMINALPARA CÁLCULOBITOLA φ

NÚMERO DE FIOS OU DE BARRAS

BITOLAS PADRONIZADAS


132

Tabela D.13 – Valores de kx, ky, kx’ e ky’ para cálculo de cargas oriundas de lajes sobre as vigas. (casos 1 a 3). Condições de contorno kx, ky, kx’ e ky’

Caso 1 Caso 2 Caso 3 λ kx ky kx ky ky’ kx kx’ ky

1,00 2,50 2,50 1,83 2,32 4,02 2,32 4,02 1,83 1,05 2,62 2,50 1,92 2,37 4,10 2,38 4,13 1,83 1,10 2,73 2,50 2,01 2,41 4,17 2,44 4,23 1,83 1,15 2,83 2,50 2,10 2,44 4,22 2,50 4,32 1,83 1,20 2,92 2,50 2,20 2,46 4,27 2,54 4,41 1,83 1,25 3,00 2,50 2,29 2,48 4,30 2,59 4,48 1,83 1,30 3,08 2,50 2,38 2,49 4,32 2,63 4,55 1,83 1,35 3,15 2,50 2,47 2,50 4,33 2,67 4,62 1,83 1,40 3,21 2,50 2,56 2,50 4,33 2,70 4,68 1,83 1,45 3,28 2,50 2,64 2,50 4,33 2,74 4,74 1,83 1,50 3,33 2,50 2,72 2,50 4,33 2,77 4,79 1,83 1,55 3,39 2,50 2,80 2,50 4,33 2,80 4,84 1,83 1,60 3,44 2,50 2,87 2,50 4,33 2,82 4,89 1,83 1,65 3,48 2,50 2,93 2,50 4,33 2,85 4,93 1,83 1,70 3,53 2,50 2,99 2,50 4,33 2,87 4,97 1,83 1,75 3,57 2,50 3,05 2,50 4,33 2,89 5,01 1,83 1,80 3,61 2,50 3,10 2,50 4,33 2,92 5,05 1,83 1,85 3,65 2,50 3,15 2,50 4,33 2,94 5,09 1,83 1,90 3,68 2,50 3,20 2,50 4,33 2,96 5,12 1,83 1,95 3,72 2,50 3,25 2,50 4,33 2,97 5,15 1,83 2,00 3,75 2,50 3,29 2,50 4,33 2,99 5,18 1,83 ∞ 5,00 2,50 5,00 2,50 4,33 3,66 6,25 1,83

OBS.: • Para obtenção de kx, ky, kx’ e ky’ para valores intermediários de λ, deve-se realizar uma interpolação linear.

• Caso a laje seja armada em uma só direção (lylx



133


Caso 4 Caso 5 Caso 6 λ

kx kx’ ky ky’ kx ky’ kx’ ky 1,00 1,83 3,17 1,83 3,17 1,44 3,56 3,56 1,44 1,05 1,92 3,32 1,83 3,17 1,52 3,66 3,63 1,44 1,10 2,00 3,46 1,83 3,17 1,59 3,75 3,69 1,44 1,15 2,07 3,58 1,83 3,17 1,66 3,84 3,74 1,44 1,20 2,14 3,70 1,83 3,17 1,73 3,92 3,80 1,44 1,25 2,20 3,80 1,83 3,17 1,80 3,99 3,85 1,44 1,30 2,25 3,90 1,83 3,17 1,88 4,06 3,89 1,44 1,35 2,30 3,99 1,83 3,17 1,95 4,12 3,93 1,44 1,40 2,35 4,08 1,83 3,17 2,02 4,17 3,97 1,44 1,45 2,40 4,15 1,83 3,17 2,09 4,22 4,00 1,44 1,50 2,44 4,23 1,83 3,17 2,17 4,25 4,04 1,44 1,55 2,48 4,29 1,83 3,17 2,24 4,28 4,07 1,44 1,60 2,52 4,36 1,83 3,17 2,31 4,30 4,10 1,44 1,65 2,55 4,42 1,83 3,17 2,38 4,32 4,13 1,44 1,70 2,58 4,48 1,83 3,17 2,45 4,33 4,15 1,44 1,75 2,61 4,53 1,83 3,17 2,53 4,33 4,17 1,44 1,80 2,64 4,58 1,83 3,17 2,59 4,33 4,20 1,44 1,85 2,67 4,63 1,83 3,17 2,66 4,33 4,22 1,44 1,90 2,70 4,67 1,83 3,17 2,72 4,33 4,24 1,44 1,95 2,72 4,71 1,83 3,17 2,78 4,33 4,26 1,44 2,00 2,75 4,75 1,83 3,17 2,84 4,33 4,28 1,44 ∞ 3,66 6,33 1,83 3,17 5,00 4,33 5,00 1,44





134


Caso 7 Caso 8 Caso 9 λ

kx kx’ ky’ kx’ ky ky’ kx’ ky’ 1,00 1,44 2,50 3,03 3,03 1,44 2,50 2,50 2,50 1,05 1,52 2,63 3,08 3,12 1,44 2,50 2,62 2,50 1,10 1,59 2,75 3,11 3,21 1,44 2,50 2,73 2,50 1,15 1,66 2,88 3,14 3,29 1,44 2,50 2,83 2,50 1,20 1,73 3,00 3,16 3,36 1,44 2,50 2,92 2,50 1,25 1,80 3,13 3,17 3,42 1,44 2,50 3,00 2,50 1,30 1,88 3,25 3,17 3,48 1,44 2,50 3,08 2,50 1,35 1,94 3,36 3,17 3,54 1,44 2,50 3,15 2,50 1,40 2,00 3,47 3,17 3,59 1,44 2,50 3,21 2,50 1,45 2,06 3,57 3,17 3,64 1,44 2,50 3,28 2,50 1,50 2,11 3,66 3,17 3,69 1,44 2,50 3,33 2,50 1,55 2,16 3,75 3,17 3,73 1,44 2,50 3,39 2,50 1,60 2,21 3,83 3,17 3,77 1,44 2,50 3,44 2,50 1,65 2,25 3,90 3,17 3,81 1,44 2,50 3,48 2,50 1,70 2,30 3,98 3,17 3,84 1,44 2,50 3,53 2,50 1,75 2,33 4,04 3,17 3,87 1,44 2,50 3,57 2,50 1,80 2,37 4,11 3,17 3,90 1,44 2,50 3,61 2,50 1,85 2,40 4,17 3,17 3,93 1,44 2,50 3,65 2,50 1,90 2,44 4,21 3,17 3,96 1,44 2,50 3,68 2,50 1,95 2,47 4,28 3,17 3,99 1,44 2,50 3,72 2,50 2,00 2,50 4,33 3,17 4,01 1,44 2,50 3,75 2,50 ∞ 3,66 6,34 3,17 5,00 1,44 2,50 5,00 2,50





135

Tabela D.16 – Número de ferros máximo em uma camada considerando brita no 2.

Número de ferros em uma camada

φest (mm) bv (cm) φ (mm)

5,0 6,3 8,0 5,0 2 2 2 6,3 2 2 2 8,0 2 2 2

10,0 2 2 2 12

12,5 2 2 - 5,0 3 3 3 6,3 3 3 3 8,0 3 3 3

10,0 3 2 2 12,5 2 2 2

15

16,0 2 2 2 5,0 4 4 4 6,3 4 4 4 8,0 4 4 4

10,0 4 4 4 12,5 4 3 3 16,0 3 3 3

20

20,0 3 3 3 5,0 6 6 6 6,3 6 5 5 8,0 5 5 5

10,0 5 5 5 12,5 5 5 5 16,0 4 4 4 20,0 4 4 4

25

25,0 4 3 3

Tabela D.17 – Comprimentos de ancoragem reto de acordo com o fck e com as condições de aderência. fck (MPa) Aço Região 20 22 25 30

Boa aderência 44 φ 41 φ 38 φ 34 φ CA 50 Má aderência 63 φ 59 φ 54 φ 48 φ

Boa aderência 70 φ 66 φ 61 φ 54 φ CA 60 Má aderência 100 φ 94 φ 86 φ 77 φ

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