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Estudo da Fendilhação de Estruturas de Betão Armado reforçadas externamente com CFRP ou chapas de aço

José Diogo Andrade da Silva de Almeida Honório

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri Presidente: Prof. José Manuel Matos Noronha da Câmara

Orientador: Prof. Doutor António José da Silva Costa

Vogal: Prof. Jorge Manuel Vinagre Alfaiate

Junho de 2008

i

RESUMO

Ao longo deste trabalho são estudados dois tipos de reforço, a aplicar externamente, que são os

laminados de carbono (CFRP) e as chapas de aço, bem como a influência que estes têm no

controlo da fendilhação.

Numa primeira parte é feita uma pesquisa bibliográfica onde se começam por saber as

propriedades mecânicas, vantagens (e desvantagens) e, ainda, o modo de aplicação de cada um

dos reforços. Seguidamente, é feito um levantamento das metodologias de cálculo existentes

para o cálculo da abertura de fendas, tanto para os elementos reforçados como os não

reforçados. Isto porque haverão zonas onde o reforço não é aplicado.

No capítulo seguinte, começa-se por aplicar as metodologias referidas, a uma dada viga, através

de três estudos. Para os dois primeiros, são feitos dois tipos distintos de estudo da fendilhação

na zona de aplicação do reforço. No primeiro calcula-se a abertura de fendas para vários

acréscimos da carga de dimensionamento e, ainda, segundo diferentes níveis de carga na altura

de execução do reforço. O segundo estudo é feito para sucessivos aumentos da armadura de

reforço, sob carga constante. O terceiro estudo corresponde ao cálculo da fendilhação nas zonas

não reforçadas. É ainda repetido o primeiro dos estudos acima referidos, usando agora uma viga

de dimensões maiores.

Através estes estudos pretende-se tirar conclusões sobre a coerência das metodologias, o

reforço preferível e a influência das dimensões da viga no que diz respeito à fendilhação.

PALAVRAS-CHAVE

- Reforço

- Fendilhação

- CFRP

- Chapa de aço

ii

ABSTRACT

Throughout this work the two types of externally bonded reinforcement (CFRP and steel plates)

will be studied, as well as their influence on the cracking behavior of the structure.

First, a bibliographic research is made in order know the mechanical properties, advantages (and

disadvantages) and the application method of each of one of the reinforcements. Then, a general

research is made in order to find the existent methodologies for the calculation of crack widths,

both for reinforced and non-reinforced members, since there will be surfaces where no externally

bonded reinforcement is applied.

In the following chapter, the referred methodologies are applied, to a certain beam, trough three

different studies. For the first two, these studies focus on the cracking behavior in the surfaces

where the reinforcement is applied. In the first one, the cracks widths are calculated for different

increases of the ultimate load and for different loads at the time of application of the

reinforcement. The second study concerns the calculation of the crack widths for different

increases of reinforcement needed, under constant load. In the third study the cracking behavior

will be studied for the non-reinforced zones. The first study mentioned is then repeated for a

beam with larger dimensions.

With these studies one can make some interesting conclusions regarding the coherence of the

methodologies, the preferred reinforcement and the influence of the dimensions of the beam

regarding the cracking behavior.

KEYWORDS

- Reinforcement

- Cracking

- CFRP

- Steel plates

iii

AGRADECIMENTOS

Para começar, agradeço de uma forma geral à minha faculdade, Instituto Superior Técnico, pelos

cinco anos de constante aprendizagem que me proporcionou.

Agradeço ao meu Professor e Mentor Dr. António Costa pelo empenho, entusiasmo e,

sobretudo, paciência demonstrados ao longo destes meses de trabalho.

Finalmente, uma palavra especial para a minha família e grupo de amigos que tanto me têm

apoiado ao longo dos anos.

v

SIMBOLOGIA

Caracteres Latinos

Unidades

Ac,eff m2 Área traccionada efectiva

Aeq m2 Área equivalente de reforço (varões e reforço externo)

Ar,eq m2 Área equivalente de reforço externo

As1 m2 Área da armadura inferior

As2 m2 Área da armadura superior

b m Largura da secção

c m Recobrimento

cp KN/m Carga permanente actuante ao longo do vão

d m Distância do topo da secção à armadura inferior

d2 m Distância do topo da secção à armadura superior

deq m Distância da zona de reforço equivalente (varões e reforço

externo) ao topo da secção

ds m Diâmetro dos varões de aço

Ec GPa Módulo de elasticidade do betão

Ef GPa Módulo de elasticidade do material FRP na direcção das

fibras

Efib GPa Módulo de elasticidade das fibras

Em GPa Módulo de elasticidade da matriz

Es GPa Módulo de elasticidade do aço

fck MPa Tensão do betão à compressão (valor característico)

fctm MPA Tensão de rotura do betão à tracção

ff MPa Resistência à tracção do material FRP na direcção das fibras

ffib MPa Resistência à tracção das fibras

fm MPa Resistência à tracção da matriz

frd MPa Tensão de cedência do reforço externo

fu MPa Tensão de rotura à tracção

fy MPa Tensão de cedência

fyk MPa Tensão de cedência à compressão (valor característico)

h m Altura da secção

Ico m4 Momento de inércia da secção fendilhada

k1 m Coeficiente de aderência dos varões

k2 m Coeficiente em função da distribuição de tensões na secção

vi

L m Comprimento do vão

M0 KNm Momento de serviço actuante antes da aplicação do reforço

Mcr KNm Momento de fendilhação

Mk KNm Momento de serviço actuante após da aplicação do reforço

Mrd KNm Momento resistente

Msd KNm Momento de dimensionamento

Nb KN Força de compressão do betão

Nf KN Força de tracção do reforço exterior

Nrk KN Força de tracção total

Ns1 KN Força de tracção da armadura inferior

Ns2 KN Força de compressão da armadura superior

P0 KN/m Carga actuante na altura de aplicação do reforço

Prd KN/m Carga resistente

Psd KN/m Carga de dimensionamento

q KN/m2 Sobrecarga actuante na laje

r Factor de redução

rcp KN/m Restantes cargas permanentes

sc KN/m Sobrecarga actuante ao longo do vão

sr,max m Espaçamento máximo entre fendas

sr,min Espaçamento mínimo entre fendas

srm m Espaçamento médio entre fendas

tf mm Espessura do material FRP

tfib mm Espessura das fibras

uf m Perímetro de aderência do reforço externo

us m Perímetro de aderência dos varões de aço

Vfib % Percentagem de volume das fibras

Vm % Percentagem de volume da matriz

w mm Abertura de fendas

wk mm Abertura de fendas (valor característico)

X m Posição da linha neutra nas secções dos apoios

Xe m Posição da linha neutra após da aplicação do reforço

Xo m Posição da linha neutra antes da aplicação do reforço

ze m Braço entre as forças de tracção e compressão totais

vii

Caracteres Gregos

Unidades

αf Razão entre Ef e Ec

αs Razão entre Es e Ec

β Coeficiente que relaciona os valores médio e característico da abertura de fendas

β1 Coeficiente que contabiliza as características de aderência da armadura

β2 Coeficiente que contabiliza o tipo de carga

γb KN/m3 Peso volúmico do betão

ε0 Extensão inicial da fibra inferior da secção de betão

ε2 Extensão do reforço (armaduras e reforço externo) no estado totalmente fendilhado

εc Extensão da fibra superior da secção de betão após aplicação do reforço

εc0 Extensão inicial da fibra superior da secção de betão

εrm.r Extensão média do aço (armadura) em relação ao betão

εs Extensão no aço

εs1 Extensão das armaduras no estado totalmente fendilhado

εsm Extensão média relativa

ζ Coeficiente de rigidez em tracção do betão entre fendas

ζfm MPa Tensão de aderência do reforço externo

ζsm MPa Tensão de aderência do aço

ξb Parâmetro de aderência

ρc,ef Rácio entre as áreas das armaduras (interna e externa) e área traccionada efectiva

ρeq Rácio da armadura equivalente

σc MPa Tensão no betão

σcr MPa Tensão actuante nos varões de aço para primeira carga de fendilhação

σs MPa Tensão no aço

Ψ2 Parâmetro da combinação quase permanente de acções

ω Percentagem mecânica de armadura

ix

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 1 – Vantagens e desvantagens dos tipos de reforço externo com chapas de aço......... 10

Quadro 2 – Valores nominais da tensão de cedência fy e da tensão de rotura fu dos aços macios

correntes (EN 10025-2)................................................................................................................ 11

Quadro 3 – Propriedades das fibras............................................................................................ 13

Quadro 4 – Valores característicos das propriedades mecânicas dos laminados CFRP – S&P

Laminates e Sika-CarboDur.......................................................................................................... 20

Quadro 5 – Propriedades mecânicas dos materiais utilizados.................................................... 35

Quadro 6 – Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura...................................................... 37

Quadro 7 – Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento... 40

Quadro 8 – Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante................... 43

Quadro 9 – Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono........................ 44

Quadro 10 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço................................... 45

Quadro 11 – Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia 1.. 46

Quadro 12 – Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia

1.................................................................................................................................................... 47

Quadro 13 – Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a

metodologia 1............................................................................................................................... 48

Quadro 14 – Parâmetros utilizados no cálculo da abertura de fendas segundo a metodologia

2.................................................................................................................................................... 52

Quadro 15 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia

2.................................................................................................................................................... 53

Quadro 16 - Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a

metodologia 2............................................................................................................................... 54

Quadro 17 – Aumento da área de CFRP a partir da área dimensionada.................................... 62

Quadro 18 – Aumento da área de chapas de aço a partir da área dimensionada...................... 62

Quadro 19 – Parâmetros comuns ao cálculo das extensões εc eεs , na zona dos apoios........... 68

Quadro 20 – Cálculo das extensões εc eεs para os vários níveis de acréscimo de carga........... 68

Quadro 21 – Constantes utilizadas no cálculo de abertura de fendas......................................... 69

Quadro 22 – Cálculo da abertura de fendas, nas secções não reforçadas, para os vários

acréscimos de carga de dimensionamento, segundo EC2............................................................

69

Quadro 23 - Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura.................................................... 71

Quadro 24 - Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento.. 72

Quadro 25 - Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante.................. 73

x

Quadro 26 - Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono...................... 74

Quadro 27 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço.................................. 75

Quadro 28 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia

2.................................................................................................................................................... 76


metodologia 2............................................................................................................................... 78

Quadro 30 – Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia 1.. 81

Quadro 31 – Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia

1.................................................................................................................................................... 82

Quadro 32 – Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a

metodologia 1............................................................................................................................... 83

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 – Tipos de sistemas FRP: “in-situ” (direita) e pré-fabricados (esquerda)...................... 15

Figura 2 – Propriedades dos vários tipos de fibra à tracção ....................................................... 17

Figura 3 – Relação tensão-deformação em função do volume de fibras existente no material

compósito...................................................................................................................................... 19

Figura 4 – Relação tensão-deformação de materiais FRP e aço................................................ 20

Figura 5 – Propriedades dos materiais compósitos, aço e alumínio............................................ 21

Figura 6 – Situação inicial antes da aplicação do reforço............................................................ 22

Figura 7 – Análise elástica linear da secção fendilhada.............................................................. 24

Figura 8 – Cálculo do parâmetro k2 ............................................................................................ 27

Figura 9 – Esquema representativo para o cálculo de Nrk........................................................... 30

Figura 10 – Laje do modelo de cálculo........................................................................................ 34

Figura 11 – Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a

meio-vão e nos apoios.................................................................................................................. 34

Figura 12 – Diagrama de Momentos Flectores............................................................................ 36

Figura 13 – Modelo de cálculo do momento de dimensionamento positivo para um dado

acréscimo de sobrecarga.............................................................................................................. 38

Figura 14 – Esquema representativo de deq e Aeq para o cálculo da área de reforço Ar.............. 39

Figura 15.a – Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=cp+Ψ2sc

segundo a metodologia 1.............................................................................................................. 50

xi

Figura 15.b - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=cp segundo a

metodologia 1................................................................................................................................50

Figura 15.c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.75cp

segundo a metodologia 1...............................................................................................................50

Figura 15.d - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.5 cp

segundo a metodologia

1............................................................................................................................ 51

Figura 15.e - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.25cp


Figura 15.f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimo de carga e para, P0=0 segundo a

metodologia 1............................................................................................................................... 51

Figura 16.a – Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=cp+Ψ2sc


Figura 16.b - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=cp p segundo

a metodologia

2................................................................................................................................56

Figura 16.c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.75cp

segundo a metodologia 2...............................................................................................................56

Figura 16.d - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.5 cp

segundo a metodologia

2............................................................................................................................ 57

Figura 16.e - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.25cp


Figura 16.f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimo de carga e para, P0=0 segundo a

metodologia 2................................................................................................................................57

Figura 17 – Comparação entre as metodologias para o estudo de abertura de fendas, para

vários acréscimo de carga sob a combinação de serviço Pcqp = 0.75 cp..................................... 60

Figura 18.a – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um

acréscimo de carga de dimensionamento de 20%....................................................................... 63

Figura 18.b – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP ,para um


Figura 18.c – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um


Figura 18.d – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um


Figura 19.a – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para

um acréscimo de carga de dimensionamento de 20%................................................................. 65

xii

Figura 19.b – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço ,para


Figura 19.c – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para


Figura 19.d – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para


Figura 20 - Laje do modelo de cálculo......................................................................................... 70

Figura 21 - Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a

meio-vão e nos apoios...................................................................................................................70

Figura 22.a - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois

tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.75 cp, segundo a metodologia 2........................ 79

Figura 22. b - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os

dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.5 cp, segundo a metodologia 2................... 79

Figura 22.c - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois


Figura 22. d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os

dois tipos de reforço e para as cargas iniciais P0 = 0, segundo a metodologia 2...........................

80

Figura 23.a - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois


Figura 23. b - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os

dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.5 cp, segundo a metodologia 1................... 85

Figura 23.c - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois


Figura 23. d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os

dois tipos de reforço e para as cargas iniciais P0 = 0, segundo a metodologia 1...........................

85


vários acréscimo de carga sob a carga, na altura de aplicação do reforço, P0 = 0.75 cp............ 86

xiii

ÍNDICE

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO...................................................................................................... 1

1.1 NOTA INTRODUTÓRIA........................................................................................................... 1

1.2 OBJECTIVOS........................................................................................................................... 2

1.3 TIPOS DE REFORÇO.............................................................................................................. 3

1.3.1 AÇO................................................................................................................................. 3

1.3.2 CFRP............................................................................................................................... 4

1.4 ORGANIZAÇÃO DA TESE....................................................................................................... 5

CAPÍTULO 2 – PESQUISA BIBLIOGRÁFICA.............................................................................. 7

2.1 REFORÇO................................................................................................................................ 7

2.1.1 CHAPAS DE AÇO................................................................................................................. 8

2.1.1.1 VANTAGENS E DESVANTAGENS....................................................................... 9

2.1.1.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS.......................................................................... 11

2.1.2 SISTEMAS FRP................................................................................................................... 11

2.1.2.1 VANTAGENS E DESVANTAGENS..................................................................... 15

2.1.2.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS.......................................................................... 17

2.2 FENDILHAÇÃO...................................................................................................................... 22

2.2.1 SITUAÇÃO INICIAL............................................................................................................. 22

2.2.2 REFORÇO EXTERNO......................................................................................................... 23

2.2.3 LIMITAÇÃO DE TENSÕES................................................................................................. 25

2.2.4 METODOLOGIAS DE CÁLCULO........................................................................................ 26

2.2.4.1 ZONAS COM REFORÇO APLICADO................................................................. 26

2.2.4.2 ZONAS SEM REFORÇO APLICADO.................................................................. 31

CAPÍTULO 3 – AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE ESTRUTURAS REFORÇADAS

FACE À FENDILHAÇÃO............................................................................................................. 33

3.1 CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO....................................................................... 34

3.2 DIMENSIONAMENTO............................................................................................................ 36

3.2.1 CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA...................... 36

3.2.2 DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO................................................................... 38

3.3 AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO........................................................................................... 42

3.3.1 SECÇÕES A MEIO VÃO........................................................................................ 42

3.3.1.1 DIFERENTES NÍVEIS DE CARGAS ACTUANTES............................................ 42

3.3.1.2 COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS........................................................ 60

3.3.1.3 AUMENTO DA ÁREA DE REFORÇO SOB CARGA CONSTANTE.................... 61

3.3.2 SECÇÕES DOS APOIOS....................................................................................... 68

3.4 AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO A MEIO VÃO PARA UM NOVO CASO PRÁTICO............ 70

xiv

3.4.1 CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO....................................................... 70

3.4.2 CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA...................... 71

3.4.3 DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO................................................................... 72

3.4.4 AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO........................................................................... 73

3.4.5 COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS........................................................... 86

CAPÍTULO 4 – CONCLUSÃO..................................................................................................... 88

- 1 -

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

1.1 NOTA INTRODUTÓRIA

O constante melhoramento da infra-estrutura existente tem sido sempre motivo de interesse no

campo da engenharia civil. Muito deste melhoramento passa por reforçar a infra-estrutura com

outros elementos de modo a fornecer ao conjunto um bom comportamento perante as

adversidades que esta vai encontrar no seu tempo útil de vida.

As causas que levam ao reforço (e, por vezes, reabilitação) de uma estrutura são várias:

- Corrosão das armaduras

- Deterioração do betão

- Acções acidentais sobre as estruturas

- Sismos

- Erros de cálculos no projecto

- Deficiência de execução

- Alteração da estrutura inicial

Assim sendo, tem existido uma necessidade crescente de melhorar todas estas infra-estruturas

de modo a garantir uma maior segurança e durabilidade. Neste trabalho será abordado o reforço,

a estruturas de betão armado, por meio de chapas de aço (tecnologia mais tradicional) ou

através de materiais compósitos de carbono (tecnologia mais recente), no que diz respeito ao

comportamento destas face à fendilhação. Isto é, serão calculados os parâmetros relativos ao

espaçamento e abertura de fendas e estes valores serão comparados entre os dois tipos de

reforço em estudo. Espera-se, no final, chegar a um consenso sobre qual o tipo de reforço mais

adequado no que diz respeito ao controlo da fendilhação.

- 2 -

1.2 OBJECTIVOS

Este trabalho tem como principal objectivo o estudo da fendilhação de elementos de betão

armado reforçados externamente com chapas de aço ou sistemas CFRP. Com esse estudo

pretende-se, não só averiguar qual o reforço mais adequado para satisfazer este ponto dos

Estados Limites de Utilização, como também estudar este fenómeno para diversas situações

práticas, como se verá mais à frente no capítulo 3.

No entanto, e dada a vasta quantidade de informação que esta Tese reúne, existem diversos

tópicos secundários que podem ser estudados, como sejam a melhor compreensão da

constituição e propriedades dos diversos materiais intervenientes neste sistema betão armado –

reforço, o que por si só, irá envolver conceitos como a constituição dos materiais compósitos

utilizados e o modo de aplicação destes.

- 3 -

1.3 TIPOS DE REFORÇO

As estruturas existentes de betão armado podem, por vezes, necessitar de reforço de modo a

melhorar o seu comportamento, tanto a nível de um melhoramento da capacidade de flexão e

corte como do controlo de fendilhações e deformações.

1.3.1 AÇO

O aço é uma liga ferro-carbónica formada a partir de minérios de ferro, cujos componentes

principais são o ferro e o carbono (existem ainda outros componentes considerados como

impurezas que resultam do processo de fabrico, [15])

Os aços mais utilizados na construção metálica são aços laminados a quente, caracterizados por

baixas percentagens de carbono (na ordem dos 0.2 %).

O reforço externo de chapas de aço a um elemento de betão armado trata-se do tipo de reforço

mais comum e a sua aplicação tem-se espalhado um pouco por todo o mundo, devido às

vantagens económicas e estruturais destes sistemas. Aplicam-se sobretudo no reforço à flexão

(lajes) e ao esforço transverso em vigas. Já para reforçar à compressão, não se costumam

utilizar chapas de aço dada a sua tendência em encurvar. [14]

Os sistemas de ligação, para o reforço de estruturas de betão armado com adição de chapas de

aço, podem ser realizados de duas maneiras:

- Colagem da chapa, através de um agente adesivo (resina epóxidica)

- Fixação da chapa por meio de buchas metálicas, grampos, ou pernos

Este tipo de reforço externo tem sido utilizado desde os finais da década de 60. [14]

- 4 -

1.3.2 CFRP

O mais recente material de reforço para estruturas de betão é feito por meio do uso de polímeros

reforçados de fibras de carbono (CFRP – Carbon Fibre Reinforced Polymer) externamente

ligados ao elemento a reforçar.

Desde os anos 40 que os materiais compósitos têm tido um papel importante no que diz respeito

às engenharias aeroespacial, náutica e automobilística. Mais tarde, estes materiais despertaram

o interesse no campo da engenharia civil e, actualmente, são vistos pelos engenheiros de

estruturas como um material novo e altamente prometedor na indústria da construção, muito

devido à sua elevada resistência à corrosão, ao seu baixo peso e outras vantagens, e

desvantagens, que veremos mais à frente.

No campo dos materiais compósitos existem ainda os polímeros reforçados com fibras de vidro e

aramida, no entanto, estes não serão abordados neste trabalho.

- 5 -

1.4 ORGANIZAÇÃO DA TESE

O trabalho está organizado em quatro capítulos.

O primeiro capítulo diz respeito à Introdução. Aqui será fornecida alguma informação geral sobre

o conteúdo do trabalho bem como uma breve introdução ao tema do reforço externo de

elementos de betão armado.

Na segunda parte, será feita uma pesquisa bibliográfica relativamente às informações-base em

que esta tese se apoia - os dois tipos de reforço em estudo (CFRP e Aço) e as diversas

metodologias de cálculo no que diz respeito ao cálculo da fendilhação.

Neste capítulo mais teórico serão referidas, entre outros, as propriedades mecânicas e

geométricas dos reforços, as suas vantagens e desvantagens face à utilização de um ou de

outro, processo de aplicação, etc.

No que diz respeito ao cálculo de fendilhações para elementos de betão armado com reforço,

CFRP ou Aço, será feito um levantamento dos diversos procedimentos existentes em prática

para, no capítulo seguinte, se comparar, não só, os resultados entre as diferentes metodologias,

mas também ambos os tipos de reforço externo.

Seguidamente, no terceiro capítulo, será posto em prática todo o tipo de estudo enunciado

anteriormente recorrendo a casos práticos. Através destes, ir-se-á chegar a certas conclusões

sobre o trabalho realizado, algumas serão imediatas e explicadas há medida que se vão

analisando os resultados e outras, mais gerais, serão referidas no quarto e último capítulo da

tese.

- 7 -

CAPÍTULO 2 – PESQUISA BIBLIOGRÁFICA

2.1 REFORÇO

Elementos intervenientes

O reforço externo de estruturas betão armado compreende sempre os seguintes elementos

intervenientes:

- Substrato

- Adesivo

- Reforço

Substrato

Não é mais do que a superfície do elemento de betão armado onde se vai colocar o reforço. Esta

superfície deverá estar adequada à aplicação do reforço. Caso não esteja, serão utilizados

certos produtos complementares com vista a melhorar a adesão entre o substrato e o reforço

externo a ser aplicado.

Adesivo

São os agentes responsáveis por assegurar a ligação entre o material FRP e o elemento de

betão a ser reforçado, e asseguram passagem das tensões de corte do elemento a ser reforçado

para o reforço (material compósito). Para o adesivo desempenhar correctamente as suas

funções é necessário que exista uma total compatibilidade entre o adesivo e o material de

reforço, desta forma é recomendado que o adesivo usado seja o recomendado pelo fornecedor

do material de reforço.

O tipo de adesivo mais comum resulta da mistura da resina epoxídica (polímero) com um

endurecedor e apresenta boas vantagens para o seu uso, [9].

- 8 -

Reforço

O reforço externo a aplicar, segundo este trabalho, poderá ser de dois tipos:

- Chapas de aço

- CFRP

As propriedades destes bem como as suas vantagens e desvantagens serão abordadas nos

pontos seguintes deste trabalho.

Produtos Complementares

Por vezes, a aplicação dos sistemas FRP no substrato requer a utilização de produtos adicionais

de modo a garantir um bom reforço. Destes, os produtos mais regularmente usados são os

primários e os regularizadores de superfície.

Primário – Tem como finalidade melhorar a propriedade adesiva da superfície. Este produto

penetra na superfície do betão por capilaridade.

Regularizador de superfície – Tem como função alisar e homogeneizar a superfície do substrato

de modo a garantir uma boa superfície de contacto para a aplicação do adesivo.

2.1.1 CHAPAS DE AÇO

Tal como já se viu em 1.3.1, o reforço com chapas de aço pode ser realizado através da colagem

destas, por meio de um agente adesivo, ao elemento de betão armado. Ou, pela aplicação de

buchas metálicas. No ponto seguinte serão referidas as vantagens da utilização do reforço de

aço, primeiro em geral e depois partindo para o particular no que diz respeito ao modo de ligação

das chapas ao substrato.

- 9 -

2.1.1.1 VANTAGENS DE DESVANTAGENS

O uso de chapas de aço como reforço externo de elementos de betão armado é um reforço em

expansão devido a vantagens gerais como:

- Aumento da capacidade da carga última

- Melhoria do comportamento em serviço

- Pouco aumento de peso e tamanho relativamente ao elemento existente

- Acessibilidade para inspecção e manutenção

- Rapidez de execução

- Possibilidade de manter a estrutura em utilização durante a execução

E desvantagens globais ao nível de:

- Corrosão da chapa externa

- Peso das chapas – para efeitos de transporte e manuseamento

- Mão-de-obra especializada

Porém, o reforço por meio de chapas de aço por ser feito, como já foi referido, por ligação

através de um agente adesivo ou por meio de buchas ou pernos. As vantagens e desvantagens

de cada tipo de ligação estão sumariadas no quadro seguinte - Quadro 1.

Ainda relativamente ao reforço de chapas de aço por meio de buchas metálicas, devem-se

colocar no mínimo duas buchas na extremidade (devido às forças de tracção e às concentrações

de tensões que se geram nas extremidades da chapa), ainda que os cálculos demonstrem o

contrário. O custo envolvido não é significativo e melhora-se a segurança da ligação, [13]

- 10 -

Tipo de Ligação Vantagens Desvantagens

Adesivo

- Camada adesiva oferece boa

protecção à corrosão da

chapa de aço mais próxima do

betão

- Face externa lisa

- Pode necessitar de

conectores para auxiliar na

ancoragem e evitar

descolagem

- Preparação da superfície de

betão in-situ requer grandes

cuidados para aplicação do

adesivo

- Possível descolamento da

chapa

Buchas metálicas

- Maior segurança a longo

prazo visto não haver

problema de descolamento

- Permite posicionar mais

facilmente as chapas de

reforço

- Não requer cuidados

especiais na preparação da

superfície de contacto in-situ

- Corrosão da placa externa

na sua face interna

- Tempo e custo de mão-de-

obra associados à realização

dos furos

- Aparência estética

Quadro 1 – Vantagens e desvantagens dos tipos de reforço externo com chapas de aço

- 11 -

2.1.1.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS

Os valores da tensão de cedência fy e da tensão de rotura à tracção fu, dos tipos de aço

utilizados (definidos segundo a norma EN-10025-2, [6], e tomados como valores característicos),

são indicados no quadro seguinte – Quadro 2.

Espessura nominal t [mm]

t ≤ 40 mm 40 < t ≤ 80 mm

Classe de

aço

fy [N/mm2] fu [N/mm2] fy [N/mm2] fu [N/mm2]

Módulo de

Elasticidade

[KN/mm2]

S 235 235 360 215 360

S 275 275 430 255 410

S 355 355 510 335 470

S 450 440 550 410 550

210

Quadro 2 – Valores da tensão de cedência fy e da tensão de rotura fu dos aços macios correntes

(EN 10025-2), [15]

2.1.2 SISTEMAS FRP

Material Compósito FRP

Estes materiais são compostos por um grande número de fibras (destacam-se carbono, aramida,

vidro) que são pequenas, contínuas, direccionadas e não-metálicas. Estas fibras são então

embebidas numa matriz polimérica (normalmente de resina).

Matriz Polimérica

Tem como função unir as fibras, distribuir as cargas, que suporta, entre estas e proteger as fibras

dos agentes mais agressivos do meio ambiente e dos danos mecânicos. A matriz tem uma

grande influência em diversas propriedades mecânicas do material compósito (propriedades de

corte, propriedades na compressão, módulo e força transversos).

- 12 -

Tal como, nos adesivos, as resinas epoxídicas apresentam melhores propriedades mecânicas e

uma maior durabilidade, ao passo que os restantes têm vantagem na vertente económica por

serem mais baratos, [16].

Fibras

Podem ser contínuas ou descontínuas (cortadas), sendo que nos compósitos FRP só se usam

fibras contínuas, [9]. As fibras contínuas têm um diâmetro na ordem dos 5-20 µm e podem ser

fabricadas como reforço uni ou bidireccional. A fracção de volume de fibras nos materiais

compósitos FRP é à volta de 50-70%, para o caso dos laminados (Sistemas pré-fabricados), e

cerca de 25-35% para as mantas e tecidos (Sistemas Wet lay-up).

Têm um comportamento perfeitamente elástico e não apresentam patamar de cedência e,

consequentemente, deformação plástica. Na direcção principal das fibras tanto o módulo de

elasticidade como a resistência à tracção são máximos.

Existem três grandes grupos de fibras que são usadas no campo da engenharia civil – Aramida,

Vidro e Carbono – sendo que as propriedades mecânicas, como seria de esperar, variam

consoante o tipo de fibra escolhida. Assim, dependendo do tipo de fibra que compõe o material

compósito FRP, estes podem ser referenciados como AFRP (compósito à base de fibras de

aramida), GFRP (vidro) ou CFRP (carbono).

Neste trabalho serão estudados os materiais compósitos à base de fibras de carbono – CFRP –

uma vez que são os mais utilizados no reforço de estruturas pelas propriedades que veremos

nos pontos 2.1.2.1 e 2.1.2.2 deste trabalho.

As fibras são obtidas a partir do processo de carbonização de fibras de polímeros orgânicos a

temperaturas da ordem dos 1000ºC a 3000ºC e podem ser do tipo pitch ou PAN. A diferença

entre os dois tipos de fibra reside no processo de fabrico, pois ambas geram produtos de

elevada força e elasticidade, [16]

- Fibras pitch – usam carvão ou petróleo destilado que é passado por uma extremidade

fina e estabilizado por aquecimento

- Fibras PAN – feitas de poliacrilonitrilo carbonizado

- 13 -

Em termos de diâmetro as fibras pitch têm um diâmetro aproximado de 9 a 18 µm, ao passo que

as fibras PAN têm um diâmetro na ordem dos 5-8 µm, o que nos permite ter a noção de que um

conjunto de 10000 destas fibras tem uma espessura aproximada a um fio de cabelo, [11], e é, no

entanto, um produto extremamente resistente e com uma eficaz transferência de cargas entre as

várias fibras, por via da matriz, derivado do elevado valor da razão comprimento/diâmetro já

falado anteriormente.

No quadro seguinte – Quadro 3 – temos uma melhor percepção das propriedades dos vários

tipos de fibra.

Tipo de Fibra Tensão de Rotura

[N/mm2]

Módulo de Elasticidade

[KN/mm2]

Diâmetro das Fibras

[µm]

Aramida 2700-4500 115-130 12-15

Carbono - Pitch 3000-3500 400-800 9-18

Carbono PAN 2500-4000 350-700 5-8

Vidro (S) 3400-4800 85-100 5-25

Quadro 3 – Propriedades das fibras, [16]

Tipos de sistemas

Os sistemas FRP variam consoante o fabricante e fornecedor e, como tal, podem apresentar

diferente configuração, tipos de fibras, adesivos, etc. No entanto, consegue-se classificar dois

tipos distintos de sistemas:

- Sistemas wet lay-up (ou curados in-situ)

- Sistemas pré-fabricados (ou pré-curados)

Existem, ainda, sistemas especiais, que estão mais relacionados não só com o fabricante que os

desenvolveu mas também com a sua técnica de execução.

- 14 -

Sistemas wet lay-up (ou curados in-situ), [9]

São sistemas de fibras contínuas que, como o próprio nome indica, são aplicados no local de

obra (in-situ). A manta de FRP seca é impregnada com resina imediatamente antes da sua

aplicação. Depois, são então aplicados sobre o adesivo, de modo a aderirem ao substrato.

Devido ao facto de serem impregnados apenas, e aquando, a sua aplicação, os sistemas wet

lay-up apresentam uma maior flexibilidade e, consequentemente, maior trabalhabilidade. Desta

forma, tornam-se ideais para o reforço de superfícies curvas, além do seu uso normal para

superfícies planas.

Existem mantas unidireccionais ou multidireccionais, consoante as fibras contínuas estejam

todas orientadas na direcção longitudinal ou, se uma parte das fibras estiver orientada segundo a

direcção longitudinal e outra parte orientada segundo uma outra direcção diferente (90º, 45º, -

45º). Têm uma espessura aproximada de 0.15 mm e uma largura de, cerca de, 300 mm. O

comprimento será o desejado para o tipo de aplicação, sendo que estas mantas são produzidas

e armazenadas em rolos com comprimentos superiores a 50 m. O peso médio das mantas é à

volta de 200-300 g/m2. Para este tipo de sistemas, a fracção de volume de fibras é cerca de 25-

35% do volume do sistema.

Estes sistemas podem, também, ser chamados de sistemas de “fibras secas” devido ao facto de

terem pouca quantidade de resina no seu interior. Aqui, a aplicação do adesivo tem como

funções ligar o material compósito ao elemento de betão armado e impregnar as fibras.

Sistemas pré-fabricados (ou pré-curados), [9]

Tratam-se de produtos compósitos pré-formados que tomam a sua forma e dureza final já em

fábrica, vindo destas com as propriedade geométricas e mecânicas finais, prontos a serem

aplicados no elemento (sempre com a aplicação do adesivo entre ambos). São obtidos por meio

de impregnação de um conjunto de feixes de fibras com uma resina termoendurecível e, depois,

consolidadas por um processo de pultrusão, onde as fibras são extrudidas por tracção.

Nestes sistemas, as fibras estão orientadas longitudinalmente – unidireccionais – o que lhes

confere maior rigidez e resistência segundo essa direcção.

- 15 -

Pelo facto de serem pré-fabricados, as configurações destes sistemas dependem do fabricante.

Normalmente estão sob a forma de laminados com espessuras na ordem de 1 mm e largura a

variar entre os 50 mm e 150 mm,[9]. Tal como nos sistemas wet lay-up, o comprimento dos

laminados será o desejado, sendo que são armazenados em rolos de comprimentos superiores

a 50 m.

Este tipo de sistemas é mais adequado para o reforço de superfícies planas. Podem, no entanto,

ser usados para superfícies curvas caso o seu fabrico já tenha em conta a forma do elemento a

reforçar.

Na figura seguinte – Figura 1 – estão representados ambos os tipos de sistemas FRP

Figura 1 – Tipos de sistemas FRP: “in-situ” (direita) e pré-fabricados (esquerda)

2.1.2.1 VANTAGENS E DESVANTAGENS

No reforço de elementos de betão armado, o uso de sistemas de materiais compósitos à base de

fibras (FRP – Fibre Reinforced Polymer), principalmente os sistemas à base de fibras de carbono

(CFRP – Carbon Fibre Reinforced Polymer), como veremos mais à frente, é vantajoso devido a,

[9]:

- Imunidade à corrosão

- Reduzido peso específico - cerca de ¼ do Aço o que facilita a sua aplicação em

espaços condicionados

- 16 -

- Elevada resistência à tracção - cerca de 10 vezes superior ao Aço e módulos de

elasticidade da mesma ordem de grandeza

- Grande capacidade de deformação

- Geometria e dimensões ilimitadas

- Elevada resistência à fadiga e ao impacto

- Elevada resistência ao ataque químico

- Elevada durabilidade

- Menores custos de manutenção

Todas estas vantagens acima referidas reflectem-se no custo de mão-de-obra que, como

esperado, irá ser mais reduzido fruto da facilidade de manuseamento deste tipo de material em

obra.

Estes sistemas apresentam, no entanto, algumas desvantagens, que serão enumeradas de

seguida, [9]:

- Comportamento elástico e linear até à rotura (Figura 2 - este material tem um

comportamento diferente do aço que apresenta um comportamento elasto-plástico)

- Custo do material, em termos de €/Kg

- Custo do materiais, fibras e resina, é mais elevado que o aço

- Coeficiente de expansão térmica diferente do betão

- Exposição a altas temperaturas, por exemplo incêndio, pode ser causa de degradação

prematura e, consequente, rotura (alguns constituintes dos sistemas FRP – resinas

epoxídicas – quebram a rigidez para uma temperatura de 60ºC a 80ºC, [11])

- A aplicação destes materiais apresenta dificuldades na forma de ancoragem (o que

pode implicar a necessidade de sistemas adicionais de ancorar as fibras)

- Eventuais problemas de aderência retiram o aproveitamento máximo das

potencialidades dos materiais FRP

- Reduzida experiência na utilização destes materiais

- 17 -

Figura 2 – Propriedades dos vários tipos de fibra à tracção

No entanto, algumas destas desvantagens, nomeadamente os custos, têm um lado positivo. Ou

seja, apesar do custo dos materiais FRP (fibras e resina) ser mais caro que o do aço, o custo

que envolve a parte dos equipamentos e mão-de-obra será mais barato derivado do facto de ser

um material de mais fácil aplicação e de necessitar de menores custo de manutenção (imune à

corrosão). Além disso, se estabelecermos uma comparação de custo em termos de resistência

do material, o custo dos materiais FRP já será mais favorável do que o do aço.

Desta forma podemos afirmar que os sistemas FRP apresentam boas propriedades que lhes

permitem, à partida, ser uma das primeiras escolhas para reforço de elementos de betão

armado. Devem, no entanto, ser sempre tidos em conta todos os factores, não só em termos

mecânicos, mas também em termos de construção e durabilidade a longo prazo.

2.1.2.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS

As propriedades mecânicas básicas dos materiais FRP podem ser estimadas, se forem

conhecidas as propriedades dos seus constituintes (matriz polimérica e fibras) bem como a sua

respectiva fracção de volume, por aplicação da “regra das misturas”, [9]:

+≈

+=

mmfibfibf

mmfibfibf

VfVff

VEVEE

- 18 -

Onde,

Ef – Módulo de Young (ou módulo de elasticidade) do material FRP na direcção

das fibras

Efib – Módulo de elasticidade das fibras

Em – Módulo de elasticidade da matriz

Vfib – Percentagem de volume das fibras

Vm – Percentagem de volume da matriz

ff – Resistência à tracção do material FRP na direcção das fibras

ffib – Resistência à tracção das fibras

fm – Resistência à tracção da matriz

Esta regra é uma aproximação do comportamento mecânico dos materiais compósitos. Como

tal, de modo a obter uma informação mais correcta deverão ser feitos estudos de tracção, [9].

Para os sistemas wet lay-up, as fracções de volume e espessura obtidas no produto final são

incertas, fazendo com que o seu cálculo baseado nas propriedades do sistema FRP (fibras e

matriz) seja pouco rigoroso. Por vezes, para estes casos, o fabricante fornece somente as

propriedades das fibras, [9].

Já para os sistemas pré-fabricados, as propriedades dos materiais são baseadas na sua área

total da secção (normalmente fornecidas pelo fabricante), [9].

Devido a estes métodos diferentes de obter as propriedades mecânicas consoante o sistema

usado, deve haver algum cuidado quando se pretende fazer a comparação de propriedades

mecânicas entre sistemas diferentes.

O módulo de elasticidade (Efib) e resistência (ffib) das fibras são muito maiores do que o módulo

de elasticidade e resistência da matriz (Em e fm, respectivamente). Assim, as propriedades do

material FRP (Ef e ff) são controladas pelas propriedades e área da secção das fibras, fazendo

com que exista um forte relação entre a fracção de volume das fibras e as propriedades do

material FRP, [9]. Isto é ilustrado na figura (Figura 3) seguinte:

- 19 -

Figura 3 – Relação tensão-deformação em função do volume de fibras existente no material

compósito

Para os sistemas wet lay-up, onde as fracções de volume e espessura são incertas, as

propriedades do FRP podem ser calculadas somente com base nas propriedades das fibras.

Neste caso, na aplicação da “regras das misturas”, pode-se ignorar o segundo termo de ambas

as equações, considerar Vfib = 1 e as dimensões do FRP devem ser calculadas com base nas

dimensões nominais das mantas. Caso esta aproximação seja, de facto, a utilizada, as

propriedades resultantes devem ser multiplicadas por um facto de redução r, de modo a ter em

conta tanto a eficiência do sistema fibra-resina como a forma das mantas. Este factor de redução

(r) deve ser fornecido pelo fabricante do material FRP. Alternativamente, o fabricante do FRP

pode fornecer directamente as propriedades in-situ (espessura, módulo de elasticidade,

resistência à tracção) do sistema impregnado. Estas informações fornecidas pelo fabricante

(facto de redução, propriedades in-situ) devem ser baseadas em testes, [11].

Para exemplificar esta informação, pode-se assumir que uma determinada manta tem uma

espessura nominal tfib e um módulo elástico Efib (ambos calculados com base nas propriedades

das fibras). Após a impregnação do material FRP, este terá uma espessura tf e um módulo de

elasticidade Ef. Os dois sistemas tornam-se equivalentes através da seguinte expressão:

fffibfib EtrEt =

Onde,

tfib – Espessura das fibras

Efib – Módulo de elasticidade das fibras

r – Factor de redução

tf – Espessura do material FRP

Ef – Módulo de Young do material FRP na direcção das fibras

- 20 -

Sistemas CFRP

Como já foi referido, todos os sistemas FRP apresentam um comportamento linear até à rotura.

Os sistemas de compósito à base de fibras de carbono – CFRP – não são excepção, e podem

ser produzidos consoante os valores do módulo de elasticidade ou tensão de rotura pretendidos.

Estes respectivos valores oscilam entre os 150 GPA e os 650 GPA.

Por consulta de catálogos, nomeadamente Sika-CarboDur e S&P Laminates, consegue-se reunir

e expor as principais características mecânicas, dos diferentes tipos de laminados de carbono

mais utilizados, no Quadro 4:

Tipo de Laminado

Tensão de

Rotura

[N/mm2]

Módulo de

Elasticidade

[KN/mm2]

Alongamento de

dimensionamento

[%]

Espessura

[mm]

Largura

[mm]

S&P CFK 150/2000 2700 165 0.6 – 0.8 1.2 - 1.4 50 – 100

S&P CFK 200/2000 2400 205 0.6 – 0.8 1.4 50 – 120

Sika-CarboDur S 3100 165 0.85 1.2 50 – 120

Sika-CarboDur M 3200 210 0.65 1.4 60 – 120

Sika-CarboDur H 1500 300 0.25 1.4 50

Quadro 4 – Valores característicos das propriedades mecânicas dos laminado CFRP – S&P

Laminates, [20] e Sika-CarboDur, [21]

Nas figuras seguintes tem-se dois tipos de comparação entre sistemas FRP e metais. Na

primeira figura (Figura 4) testa-se o comportamento à tracção.

Figura 4 – Relação tensão-deformação de materiais FRP e aço

- 21 -

Como se pode ver da figura anterior, os materiais CFRP suportam grandes tracções (na ordem

dos 3000 MPa) mas, no entanto, no que diz respeito às deformações são os materiais que ficam

mais a perder. Na figura seguinte (Figura 5) comparam-se as diversas propriedades mecânicas

entre os materiais compósitos e os metais.

Figura 5 – Propriedades dos materiais compósitos, aço e alumínio

Por esta figura verifica-se que os materiais compósitos têm elevada rigidez e resistência o que,

aliados ao seu baixo peso, favorece a sua utilização na construção civil, nomeadamente no

reforço de elementos de betão armado.

- 22 -

2.2 FENDILHAÇÃO

O controlo da fendilhação é bastante importante tanto ao nível da estética como da segurança e

tempo de vida da estrutura. Isto é, a abertura de fendas expõe o aço estrutural aos agentes

ambientais levando, consequentemente, à corrosão destes. Para estruturas de betão armado

reforçadas externamente, as novas fendas irão aparecer entre as já existentes. Desta forma, irá

surgir uma fendilhação mais densa mas com menor abertura de fendas.

De uma forma geral pode-se dizer que o fenómeno da fendilhação ocorre sempre que a tensão

no elemento iguala a tensão de rotura do betão à tracção – fctm. O estudo deste fenómeno em

estruturas de betão armado já se encontra bastante desenvolvido mas o mesmo não se pode

dizer acerca das mesmas reforçadas externamente com chapas de aço ou sistemas CFRP. De

facto, no que diz respeito ao comportamento em serviço deste tipo de estruturas, este está,

ainda, em claro desenvolvimento (quando comparado com os vários estudos realizados para a

verificação aos estados limites últimos).

2.2.1 SITUAÇÃO INICIAL

Antes de se iniciar o cálculo da fendilhação para o elemento reforçado, deve-se ter em conta o

seu estado inicial, ou seja, as propriedades do elemento antes do reforço. Assim, tendo como

base a teoria da elasticidade e com M0, o momento de serviço actuante (sem consideração de

coeficientes de segurança) na secção crítica, a distribuição inicial das deformações pode ser

calculada. Como o M0 é normalmente maior que o momento de fendilhação – Mcr – os cálculos

são baseados numa secção fendilhada – Figura 6.

Figura 6 – Situação inicial antes da aplicação do reforço

- 23 -

Com base na figura acima relativa a uma secção fendilhada, a posição da linha neutra – Xo -

pode ser determinada através de uma igualdade entre momentos estáticos (tracção e

compressão):

)()()1(2

1122

2ossosso XdAdXAbX −=−−+ αα

Onde, αs=Es/Ec.

A deformação inicial do betão na fibra superior (compressão) é dada por:

coc

ooco

IE

XM=ε

Onde, Ico é o momento de inércia da secção fendilhada:

21

222

3

)()()1(3

ossosso

co XdAdXAbX

I −+−−+= αα

A deformação do betão na fibra inferior é, então dada por, [16]:

o

ocoo

X

Xh −= εε

Esta deformação é a deformação inicial da secção ao nível do FRP.

2.2.2 REFORÇO EXTERNO

Os cálculos efectuados para verificar os estados limites de utilização, em particular a

fendilhação, podem ser realizados de acordo com uma análise elástica, [11], sendo que serão

feitas referências tanto às secções não-fendilhada (estado 1) e fendilhada (estado 2).

Num elemento de betão armado, a posição da linha neutra é independente do momento

actuante. No entanto, o mesmo já não se verifica para um elemento de betão armado reforçado

exteriormente devido às extensões iniciais existentes antes do reforço ser aplicado.

- 24 -

Assumindo um comportamento elástico do material e admitindo que o betão não resiste à

tracção, a secção fendilhada é baseada na figura seguinte – Figura 7, [16].

Figura 7 – Análise elástica linear da secção fendilhada

Através do equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações, a posição da linha neutra – Xe

– é obtida:

+−+−=−−+ e

c

ffessesse XhAXdAdXAbXε

εααα 0

1222 1)()()1(

2

1

Onde, αs=Es/Ec e αf=Ef/Ec. Para valores baixos de ε0, o termo (1+ε0/εc) é, praticamente, igual a 1,

fazendo com que a equação acima seja directamente resolvida, e o valor de Xe obtido. Por outro

lado, quando ε0 toma valores elevados, quando comparado com εc, a posição da linha neutra Xe,

deixa de ser independente do momento actuante Mk (existe uma alteração das características de

secção durante a actuação de carga) e passa a ser obtida através da resolução conjunta da

equação anterior e da seguinte:

( ))()()1(

32

112

22 dh

X

XdAdh

X

dXA

XhbX

ME

e

ess

e

ess

ee

kcc

−−

−−−

−+

−

=

αα

ε

- 25 -

Se desprezarmos a armadura sujeita à compressão (As2 = 0) e assumirmos h/d ≈ 1.1, [16], a

equação acima por ser simplificada para:

)

305.1(

2

1 ee

kcc X

dbX

ME

−

=ε

2.2.3 LIMITAÇÃO DE TENSÕES

Aquando da actuação de cargas de serviço, torna-se necessária a limitação de tensões do

betão, armadura interna e FRP, de modo a prevenir a degradação ou fluência excessiva do

betão, cedência das armaduras e fluência excessiva do material FRP.

Se um reforço externo é implementado, e visto que a força de compressão é igual à força de

total de tracção, o betão irá ficar mais solicitado à compressão (pois a sua área não se altera).

De modo a prevenir compressão excessiva o Eurocódigo 2, [5], sugere as seguintes limitações,

para a tensão de compressão:

ckc f60.0≤σ - para a combinação rara de acções

ckc f45.0≤σ - para a combinação quase-permanente de acções

Onde σc = Ecεc, valor obtido pelas equações anteriores do ponto 2.2.2.

De modo a prevenir a cedência das armadura internas, o Eurocódigo 2, [5], preconiza:

yk

e

ecss f

X

XdE 80.0≤

−= εσ - para a combinação rara de acções

Do mesmo modo, a tensão no reforço, deve ser limitada, [16], do seguinte modo:

fko

e

ecff f

X

XhE ηεεσ ≤

−

−= - para a combinação quase-permanente de acções

- 26 -

Onde η < 1 é o coeficiente de limitação de tensão do material FRP. Este mesmo coeficiente

depende do tipo de FRP e deve ser obtido através de ensaios experimentais. Com base em

testes de rotura por fluência foram sugeridos, [11], os valores indicativos de η = 0.8, 0.5 e 0.3

para CFRP, AFRP e GFRP, respectivamente. Convém, também, referir que por vezes, o

dimensionamento da estrutura é condicionado pelos Estados Limites de Utilização e, como tal,

esperam-se baixas extensões de serviço, fazendo com que rotura por fluência deixe de ser

preocupante, [8].

2.2.4 METODOLOGIAS DE CÁLCULO

Para controlar a abertura de fendas na superfície do elemento, os projectistas recorrem a

determinadas metodologias já estudadas. Estas metodologias, apresentadas de seguida, diferem

entre si pelo facto de terem sido desenvolvidas por investigadores diferentes, o que leva à

utilização de variáveis diferentes para o cálculo de abertura de fendas.

De uma forma geral, a abertura de fendas é dada por:

][ mmsw smrm ε×=

Onde srm corresponde ao espaçamento médio entre fendas e εsm a extensão média relativa no

elemento de betão armado.

A maneira como cada um destes parâmetros é calculado é que irá originar diferentes

metodologias de cálculo para a abertura de fendas.

2.2.4.1 ZONAS COM REFORÇO APLICADO

i) Metodologia 1

Eurocódigo 2 – 1992, [7]

Esta metodologia, descrita no artigo referenciado, tem como base as expressões da versão de

1992 do EC2.

- 27 -

Utilizando a expressão geral de cálculo para a abertura de fendas, o espaçamento mínimo entre

fendas, sr,min, é dado por:

efp

sr

dkks

,

21min, 25.050ρ

×+=

Onde, k1 é o coeficiente de aderência dos varões (igual a 0.8 para varões nervurados, e 1.6 para

varões lisos); o coeficiente k2 tem em conta a distribuição de tensões na secção (igual a 0.5 para

flexão simples e 1 para tracção pura). Nos casos em que a distribuição de tensões, na área

efectiva, é um misto entre flexão simples e tracção pura. O parâmetro k2 é obtido por:

1

212

2ε

εε +=k

Figura 8 – Cálculo do parâmetro k2

O parâmetro ds corresponde ao diâmetro dos varões de aço e ρp,ef é obtido através de:

effc

sffs

efpA

EEAA

,

,

/+=ρ

Af e Ef correspondem à área e módulo de elasticidade, respectivamente, do reforço externo; As e

Es dizem respeito às mesmas grandezas mas para o aço e Ac,eff é a área traccionada efectiva

dada pela seguinte expressão:

{ } 3/)( ; )(5.2 min, bXhbdhA eeffc −−×=

1ε

2ε

efcA ,

- 28 -

No entanto, o espaçamento entre fendas a ser considerado no cálculo de abertura das mesmas

é sr,max :

csd

kkcs r

efp

sr 4.37.1425.04.3 min,

,

21max, +=+=ρ

Onde c representa o recobrimento das armaduras.

A extensão média é obtida através da fórmula:

−=

−=

2

21

2

21 11k

crs

s

crssm

M

Mββε

σ

σββεε , para Mk > Mcr

Os parâmetros β1 e β2 são coeficientes que têm em conta as características de aderência da

armadura e do tipo de carga, respectivamente:

aderência alta de varões

normal aderência de varões

−

−=

1

5.01β

−

−=

duração curta de tocarregamen

duração longa de tocarregamen

1

502

.β

Nesta fórmula, σcr é a tensão actuante nos varões de aço para primeira carga de fendilhação e

σs e εs, a tensão e deformação devido ao momento flector Mk. Mcr é o momento de fendilhação.

( )

e

ecs

X

Xd −= εε

Reparamos de imediato que esta metodologia não tem em conta o estado inicial do elemento

antes da aplicação de reforço. Isto é, não considera o nível de extensão inicial da armadura

existente.

- 29 -

ii) Metodologia 2

fib – Externally bonded FRP reinforcement for RC structures – 2001, [9,11,16]

Neste documento, o cálculo da abertura de fendas baseia-se no Eurocódigo 2 e nas suas

fórmulas gerais para depois partir para o caso específico de reforço com laminados FRP. Assim,

o valor característico de abertura de fendas é dado por:

rrmrmk sw .εβ ××=

Onde, β é um coeficiente que relaciona os valores médio e característico da abertura de fendas

e tem valor igual a 1.7; εrm.r – extensão média do aço (armadura) em relação ao betão.

Esta expressão mais geral, pode ser alterada para ter outros parâmetros em conta:

2εςβ ×××= rmk sw

ζ – Coeficiente de rigidez em tracção do betão entre fendas:

>

−=

<=

crk

n

k

cr

crk

MMM

M

MM

1

0

21ββς

ς

Onde,

n = 2, de acordo com o CEB (1993) – para betões de alta resistência considera-se n = 3

(Lambotte e Taerwe – 1990).

Mk – Momento de serviço

Mcr – Momento de fendilhação

ε2 é a deformação da armadura no estado totalmente fendilhado. De seguida, o relatório da fib

assume:

012 εεεε +≈≈ fs

Desta forma temos:

ffss

ffrk

AEAE

AEN

+

+=

0

2

εε

- 30 -

com, força de tracção - e

krk

z

MN = e

tNNce xxhz −−= .

Figura 9 – Esquema representativo para o cálculo de Nrk

Onde Nc e Nt são as forças de compressão e tracção, obtidas através do somatório das força de

compressão da armadura superior Ns2 e força de compressão do betão Nb e força de tracção da

armadura inferior Ns1 e força de tracção do reforço Nf, respectivamente. O posicionamento de

cada uma das forças totais de compressão e tracção é obtido através das seguintes fórmulas:

+=

+

+=

fs

sNt

bs

be

s

Nc

NN

Ndx

NN

NX

Ndx

1

11

2

22 3

Onde Ni = Aifyd e d1 = d2 = 0.05 m.

O espaçamento médio entre fendas, srm, tendo em conta a armadura e o reforço externo é dado

pela expressão (Rostásy et al. 1996):

ffbss

ffb

ffm

effcctm

ffbss

ss

ssm

effcctm

rmAEAE

AE

u

Af

AEAE

AE

u

Afs

ξ

ξ

τξτ +×=

+×=

,, 22

- 31 -

Onde, Ac,eff é a área efectiva à tracção definida no Eurocódigo 2. smτ =1.8 fctm (CEB 1993) e

fmτ =1.25 fctm (Holzenkampfer 1994), são as tensões de aderência do aço (varões) e reforço

externo, respectivamente. us e uf são os perímetros de aderência do aço e reforço externo,

respectivamente, e ξb é o parâmetro de aderência. us e ξb são dados por:

∑Π= ss du

ffsm

ssfm

sffsm

fssfm

btE

dE

uAE

uAE

4τ

τ

τ

τξ ==

Onde ds é o diâmetro médio dos varões de aço e tf, a espessura do reforço externo. Se se

desprezar, o efeito da rigidez em tracção do betão entre fendas (ζ=1) e assumindo ε0 ≈ 0, a

abertura de fendas é, então, dada por:

fseqs

keffck

uudE

Mw

694.0

11.2 ,

+×=

ρρ

bdA effceffc /,, =ρ é o rácio da área efectiva à tracção e eqρ é o rácio da armadura equivalente.

2.2.4.2 ZONAS SEM REFORÇO APLICADO

A fendilhação nas zonas não reforçadas é calculada pelo EC2, [5]. A abertura de fendas é dada

por:

srmrsw ε×= max,

A expressão do espaçamento máximo entre fendas sr,max é igual à da alínea i) do ponto 2.2.4.1

com o parâmetro ρp,ef a ser obtido por:

effc

sefp

A

A

,

, =ρ

- 32 -

Com As a ter o valor da área da armadura superior (armadura traccionada). A extensão média

entre o aço e o betão εsrm é:

)1( ,

,

efps

efps

ctmtssrm

E

fk ρα

ρεε +−=

Onde ( )

X

Xdcs

−= εε ,

IE

XM

c

kc

−

=ε e kt pode tomar os valores 0.6 ou 0.4 consoante se tratem

de acções de curta duração ou longa duração.

- 33 -

CAPÍTULO 3 – AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE

ESTRUTURAS REFORÇADAS FACE À FENDILHAÇÃO

De modo a avaliarem-se, tanto as diferentes metodologias utilizadas, como a influência do tipo

de reforço para os estados limites de utilização, recorreram-se a dois casos de estudo.

A consideração de dois casos distintos justifica-se pela influência que a geometria da viga tem

na fendilhação. Deste modo considerou-se em primeiro lugar uma viga com dimensões correntes

(0.5 x 0.25 m2) e em seguida realizou-se a análise para uma viga com dimensões relativamente

elevadas (1.0 x 0.3 m2).

Nestes casos de estudo serão levados a cargo diversos tipos de estudo:

- Estudo da fendilhação, na zona de aplicação do reforço, para vários acréscimos da

carga de dimensionamento e segundo diferentes níveis de carga na altura da execução do

reforço:

- cp + Ψ2sc

- cp

- 0.75 cp

- 0.5 cp

- 0.25 cp

- 0

- Estudo da fendilhação, na zona de aplicação do reforço, para diferentes níveis de

armadura de reforço, sob carga constante.

- Estudo da fendilhação nas zonas não reforçadas, para diferentes níveis de acréscimo

de carga.

- 34 -

3.1 – CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO

O modelo de cálculo que irá servir de base a este estudo consiste numa laje subdividida em

bandas de 7 x 3.5 m. A situação acima descrita está ilustrada na Figura 10.

Figura 10 – Laje do modelo de cálculo

Assim, considera-se um vão de 7 m bi-encastrado com a carga inteiramente distribuída ao longo

deste.

Para este trabalho, considerou-se uma laje tem uma espessura de 0.15 m e a viga tem uma

secção b x h de 0.25 x 0.5 m e é armada conforme se vê na Figura 11, para as secções a meio-

vão e secções no apoio:

Figura 11 – Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a

meio-vão (esquerda) e nos apoios (direita)

- 35 -

Os materiais e respectivas propriedades mecânicas estão tabelados de seguida (Quadro 5):

Material fid Ei fctm

A500 435 [MPa] 200 [GPa] -

C30/37 20 [MPa] 33 [GPa] 2.9 [MPa]

CFRP 1300 [MPa] 200 [GPa] -

Chapa de Aço 235 [MPa] 200 [GPa] -

Quadro 5 – Propriedades mecânicas dos materiais utilizados

No dimensionamento do reforço com CFRP considerou-se uma extensão limite de 0.65 % de

acordo com o recomendado na abordagem 1 no boletim 14 da fib.

- 36 -

3.2 – DIMENSIONAMENTO

3.2.1 – CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA

Neste ponto do trabalho tem como objectivo obter o valor de sobrecarga que esta estrutura pode

suportar.

Assim, obtém-se a percentagem mecânica de armadura (ω) e determina-se a capacidade

resistente:

cdrd

cd

yds fdbMTabelasf

f

db

A 2

µµω =→→→=

Devido ao facto de se ter um vão bi-encastrado, o diagrama de momentos será:

][ 8

PM

2rd

TOTrd, KNmL×

=

Figura 12 – Diagrama de Momentos Flectores

Finalmente a sobrecarga q suportada pela laje será calculada através das expressões:

][

2

1

)35.025.0()15.0(2

1

)(5.1

KN/m

qLsc

rcpLcp

sccpP

bb

rd

×=

××+

+××=

+×=

γγ

- 37 -

Obtêm-se, então os valores tabelados no seguinte quadro:

Quadro 6 – Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura

Laje + Viga

Vão 7 [m]

As-(varões) 12.57 [cm2] 4Ф20

As-(1/2 van)(varões) 6.28 [cm2] 2Ф20

As+(varões) 6.03 [cm2] 3Ф16

w-(β=0.5) 0.243

w+(β=1) 0.117

µ- 0.220

µ+ 0.110

TABELA A500

d2/d=0.10

Msd- 222.75 [Kim]

Msd+ 111.375 [Kim]

Prd 54.55 [KN/m]

rp 1.5 [KN/m2]

cp 20.56 [KN/m]

sc 15.8 [KN/m]

q 4.5 [KN/m2]

- 38 -

3.2.2 – DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO

O cálculo de uma área de reforço implica que existe um acréscimo de carga que justifique a

aplicação de um material que torne a estrutura resistente à nova carga actuante. Este material é

vulgarmente aplicado exteriormente e nas zonas de maior acessibilidade (como a meio vão) uma

vez que torna a sua execução mais fácil e consequente baixo custo de mão-de-obra.

Este acréscimo de carga irá gerar um novo momento de dimensionamento – MSD’. O cálculo

deste momento tem em conta a capacidade resistente já calculada para a nossa estrutura –

Figura 12 - e é obtido através da expressão seguinte:

][ 8

' 2'

KNmMLP

M rdsd

sd−+ −

×=

Figura 13 – Modelo de cálculo do momento de dimensionamento positivo para um dado

acréscimo de sobrecarga

Obtido o valor do momento volta-se a adoptar a metodologia descrita no ponto anterior, com o

auxílio das tabelas, [3], mas com ligeiras alterações:

yd

cdeqeq

cdeq

sd

f

fdbATabelas

fbd

M

2ωωµ =→→→=

Para o cálculo da área de reforço, Ar ,necessária, calcula-se primeiro uma área equivalente, Aeq,

que não é mais do que uma homogeneização entre a área da armadura inferior e do reforço,

localizada à distância deq do topo da secção – Figura 14.

8

LPsd' 2×

- 39 -

Figura 14 – Esquema representativo de deq e Aeq para o cálculo da área de reforço Ar

Os parâmetros deq e Aeq são, então, obtidos pelas expressões:

][ 2

mhd

deq

+=

][ 2cm

f

fAAA

yd

rdrseq +=

Onde frd é a tensão de cedência consoante reforço escolhido – Quadro 5.

Foi-se então calcular a área dos dois tipos de reforço em estudo necessária para os vários

acréscimo de carga (10% a 50%) e obtiveram-se os resultados que estão sintetizados no

Quadro 7.

Um dado acréscimo de carga é sempre provocado pelo aumento da sobrecarga actuante, uma

vez que a carga permanente se mantêm constante. Desta feita, realizou-se, também, um estudo

paralelo de modo a avaliar a influência que um acréscimo de carga (na carga de

dimensionamento) tem na sobrecarga actuante na laje. Cálculo realizado utilizando a fórmula já

descrita para a obtenção de Psd.

- 40 -

Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%

Psd' 60.01 65.46 70.92 76.37 81.83 [KN/m] q' 19.44 23.08 26.72 30.35 33.99 [KN/m]

qlaje' 5.6 6.6 7.6 8.7 9.7 [KN/m2]

Msd+' 144.79 178.20 211.61 245.03 278.44 [Kim]

β 0.5

deq 0.48 [m]

µ+' 0.118 0.146 0.175 0.203 0.231

w+' 0.127 0.159 0.192 0.224 0.255

TABELA

Aeq 7.01 8.77 10.59 12.36 14.07 [cm2]

ACFRP 0.33 0.92 1.53 2.12 2.69 [cm2]

1.2 x 50 1.4 x 65 1.4 x 110 2 [1.4 x 75] 2 [1.4 x 100] [mm x mm] Laminado

0.60 0.91 1.54 2.10 2.80 [cm2]

Ar,eq(CFRP) 1.08 2.72 4.60 6.28 8.37 [cm2]

Ar,eq/As 0.178 0.451 0.763 1.041 1.388

AChapa 1.81 5.08 8.45 11.71 14.88 [cm2]

10 x 20 10 x 50 10 x 85 10 x 120 10 x 150 [mm x mm] Chapa 2.00 5.00 8.50 12.00 15.00 [cm2]

Ar,eq(Chapa) 1.08 2.70 4.59 6.48 8.10 [cm2]

Ar,eq/As 0.179 0.448 0.762 1.075 1.344

Quadro 7 – Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento

.

A razão entre a área de reforço equivalente Ar,eq e a área de armadura inferior As é um valor

que se irá utilizar mais tarde na análise de gráficos. Sendo que yd

rdreqr

f

fAA =, , onde Ar é a área

do reforço em questão.

Tal como seria de esperar, quanto maior é o acréscimo de carga imposto, maior será a área de

reforço necessária a aplicar na nossa estrutura.

Outro facto também importante a assinalar diz respeito à eleva discrepância (mais notável à

medida que Psd’ aumenta) que existe entre a área de CFRP e chapas de aço, para a mesma

carga. Tal deve-se ao facto de que a tensão de cálculo dos materiais CFRP (1300 MPa) ser

muito maior do que a das chapas de aço (235 MPa), levando a que, para resistir ao colapso,

- 41 -

uma menor área de laminado de carbono tenha a mesma eficácia que uma chapa de aço com

dimensões maiores.

Verifica-se, ainda, que cada aumento de 10% implica o aumento de 1 KN/m2 na sobrecarga

actuante na laje.

- 42 -

3.3 – AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO

3.3.1 – SECÇÕES A ½ VÃO

Tal como já foi referido, a zona a meio vão vai ser a zona onde o reforço exterior é aplicado, pela

sua facilidade de execução e pelo facto de não modificar internamente a estrutura existente.

3.3.1.1 – DIFERENTES NÍVEIS DE CARGA ACTUANTES

Este ponto do trabalho compreende o cálculo da fendilhação, a meio vão, para os seguintes tipos

de carga actuante na altura da execução do reforço:

- cp + Ψ2sc, (Ψ2=0.4)

- cp

- 0.75 cp

- 0.5 cp

- 0.25 cp

- 0

O facto de se ir, sucessivamente, aliviando a estrutura da carga actuante irá fazer com que o

momento actuante seja cada vez menor, resultando em menores deformações iniciais ou seja, a

abertura de fendas final tenderá a ser cada vez menor.

i) Situação inicial

Assim, com base no ponto 2.2.1 obtêm-se os resultados tabelados no Quadro 8 para as várias

situações iniciais consoante o tipo de carga actuante. Os momentos de serviço iniciais M0 são

calculados segundo as expressões:

][

24

122

00

20

0

KNmLP

M

LPM

×=

×=

+

−

Onde P0 é carga de serviço e que toma os valores dos casos acima

- 43 -

Vão 7 [m]

Tipo de carga actuante cp + Ψ2sc cp 0.75 cp 0.5 cp 0.25 cp 0

P0 26.58 20.56 15.42 10.28 5.14 0.00 [KN/m]

M0- 108.55 83.96 62.97 41.98 20.99 0.00 [Kim]

M0+ 54.27 41.98 31.49 20.99 10.50 0.00 [Kim]

As-(1/2 vão)=As2 6.28 [cm2]

As+=As1 6.03 [cm2]

αs 6.06

X0 0.096 [m]

Ic0 5.38E-04 [m4]

εc0 2.99E-04 2.37E-04 1.78E-04 1.19E-04 5.92918E-05 0.00

ε0 0.00126 0.00100 0.00075 0.00050 0.00025 0.00

Mcr 30.21 [Kim]

Quadro 8 – Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante

Numa primeira observação repara-se que quanto mais aliviada é a estrutura antes de aplicação

do reforço menores serão, também, os momentos actuantes e as extensões iniciais.

Repara-se também que a extensão ε0 tem um valor muito elevado no caso em que a estrutura

não está, de alguma forma, aliviada da carga actuante. Ir-se-á ver, mais à frente, as possíveis

consequências deste elevado valor de 0.00126.

Nesta parte do trabalho optou-se por calcular já o momento de fendilhação Mcr (que será

utilizado mais à frente para o cálculo de abertura de fendas), uma vez que é igual para todos e

só depende das propriedades do betão utilizado e das dimensões da secção:

][ 6

2

KNmbh

fM ctcr ×=

ii) Aplicação do reforço

Determinados os parâmetros iniciais, aplica-se o reforço e calculam-se os novos momentos de

serviço actuantes, Mk, bem como a nova posição da linha neutra – Xe – tanto para cada tipo de

reforço como para cada acréscimo de carga, com as expressões do ponto 2.2.2. O cálculo dos

momentos Mk segue o mesmo raciocínio que se usou para o cálculo dos M0, mas com a seguinte

carga actuante:

- 44 -

'2'

0 sccpP ψ+=

Onde os valores de cp e sc’ foram já calculados e estão explícitos nos Quadros 6 e 7,

respectivamente. Obtêm-se, então os seguintes resultados para cada um dos reforços em

estudo:

CFRP Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%

Vão 7 [m]

P0' 28.34 29.79 31.25 32.70 34.16 [KN/m]

Mk- 115.72 121.66 127.60 133.54 139.48 [Kim]

Mk+ 57.86 60.83 63.80 66.77 69.74 [Kim]

ACFRP 0.36 0.91 1.54 2.1 2.8 [cm2]

αf 6.06

P0 = cp + Ψ2sc

Xe 0.096 0.097 0.098 0.099 0.1 [m]

εc 0.00033 0.00035 0.000359 0.00037 0.00039

P0 = cp

Xe 0.097 0.098 0.099 0.1 0.103 [m]

εc 0.00033 0.000344 0.000355 0.000367 0.000377

P0 = 0.75 cp

Xe 0.098 0.099 0.101 0.103 0.105 [m]

εc 0.00033 0.000344 0.000349 0.000359 0.000367

P0 = 0.5 cp

Xe 0.099 0.1 0.103 0.106 0.108 [m]

εc 0.00033 0.000337 0.000344 0.000351 0.000358

P0 = 0.25 cp

Xe 0.1 0.101 0.105 0.108 0.112 [m]

εc 0.00032 0.00033 0.000338 0.000344 0.000348

P0 = 0

Xe 0.1 0.13 0.107 0.111 0.115 [m]

εc 0.00032 0.000329 0.000331 0.000336 0.000338

Quadro 9 – Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono

- 45 -

Chapa de Aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%

Vão 7 [m]

P0' 28.34 29.79 31.25 32.70 34.16 [KN/m]

Mk- 115.72 121.66 127.60 133.54 139.48 [Kim]

Mk+ 57.86 60.83 63.80 66.77 69.74 [Kim]

AChapa 2 5 8.5 12 15 [cm2]

αf 6.06

P0 = cp + Ψ2sc

Xe 0.097 0.099 0.101 0.103 0.105 [m]

εc 0.00033 0.00034 0.000345 0.00036 0.00037

P0 = cp

Xe 0.099 0.103 0.107 0.11 0.113 [m]

εc 0.000323 0.00033 0.000332 0.000338 0.000345

P0 = 0.75 cp

Xe 0.102 0.108 0.114 0.118 0.122 [m]

εc 0.000316 0.000314 0.000314 0.000317 0.000323

P0 = 0.5 cp

Xe 0.104 0.114 0.122 0.128 0.133 [m]

εc 0.000309 0.0003 0.000295 0.000295 0.000298

P0 = 0.25 cp

Xe 0.107 0.12 0.132 0.141 0.148 [m]

εc 0.000301 0.00029 0.000274 0.00027 0.00027

P0 = 0

Xe 0.11 0.128 0.145 0.16 0.17 [m]

εc 0.000294 0.000269 0.000252 0.000242 0.000239

Quadro 10 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço

Numa primeira análise a ambos os quadros vê-se que, para o mesmo acréscimo de carga, a

posição da linha neutra vai descendo à medida que a estrutura fica menos sobrecarregada na

altura de aplicação do reforço.

Verifica-se ainda que a posição da linha neutra, quando se utiliza um reforço à base de chapas

de aço, se situa sempre mais abaixo do que para um reforço com CFRP. Esta diferença de

valores é ainda mais notória à medida que a estrutura vai ficando mais aliviada, isto é, P0 mais

baixo.

- 46 -

Ambos os resultados eram já esperados. O primeiro caso deve-se à situação inicial, ou seja,

quanto menor for a carga actuante na altura da aplicação do reforço, menores serão as

extensões, nomeadamente ε0, fazendo com que a linha neutra Xe desça. A segunda conclusão a

que se chegou é explicada pela diferença de áreas de reforço necessárias para um e outro tipo,

sendo que é sempre necessária uma maior área de chapa de aço para o mesmo caso, fazendo

então com que a linha neutra se situe mais abaixo.

iii) Cálculo da abertura de fendas

Neste ponto vai-se proceder ao cálculo da abertura de fendas de acordo com cada uma das

metodologias descritas no ponto 2.2.4.

Metodologia 1 - Eurocódigo 2 – 1992

Nesta metodologia existem valores que são comuns a todos os casos:

Varões de alta aderência k1 0.8

Diâmetro dos varões inferiores ds 0.016 [m] Recobrimento das armaduras c 0.025 [m]

Quadro 11 – Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia 1

Nos quadros seguintes estão tabelados os valores mais relevantes para o cálculo de abertura de

fendas (sendo que os quadros completos podem ser consultados no Anexo A):

- 47 -


Pcqp = cp + Ψ2sc

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.85 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.310 0.292 0.275 0.262 0.247 [m]

εsm 0.00106 0.00109 0.00115 0.00118 0.00122

w 0.329 0.317 0.315 0.308 0.302 [mm]

Pcqp = cp

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.310 0.292 0.275 0.261 0.247 [m]

εsm 0.00105 0.00107 0.00112 0.00115 0.00115

w 0.325 0.313 0.307 0.302 0.285 [mm]

Pcqp = 0.75 cp

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.310 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]

εsm 0.00103 0.00104 0.00107 0.00109 0.00109

w 0.318 0.304 0.294 0.284 0.270 [mm]

Pcqp = 0.5 cp

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.310 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]

εsm 0.00101 0.00103 0.00103 0.00102 0.00103

w 0.313 0.300 0.282 0.267 0.254 [mm]

Pcqp = 0.25 cp

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.309 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]

εsm 0.00098 0.00100 0.00099 0.00098 0.00095

w 0.303 0.292 0.270 0.255 0.235 [mm]

Pcqp = 0

ρc,ef 0.021 0.023 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.309 0.291 0.274 0.261 0.246 [m]

εsm 0.00097 0.00097 0.00094 0.00092 0.00089

w 0.300 0.284 0.258 0.240 0.220 [mm] Quadro 12 – Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia

1

- 48 -


Pcqp = cp + Ψ2sc

ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.264 0.215 0.184 0.164 0.153 [m]

εsm 0.00104 0.00106 0.00106 0.00109 0.00110

w 0.274 0.228 0.195 0.179 0.169 [mm]

Pcqp = cp

ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.264 0.215 0.183 0.164 0.153 [m]

εsm 0.00099 0.00098 0.00095 0.00094 0.00093

w 0.261 0.210 0.173 0.154 0.142 [mm]

Pcqp = 0.75 cp

ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.83

sr,max 0.263 0.215 0.183 0.164 0.152 [m]

εsm 0.00093 0.00087 0.00082 0.00080 0.00079

w 0.246 0.187 0.151 0.131 0.120 [mm]

Pcqp = 0.5 cp

ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.069

k2 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83

sr,max 0.263 0.214 0.183 0.163 0.151 [m]

εsm 0.00089 0.00078 0.00070 0.00067 0.00064

w 0.234 0.166 0.129 0.109 0.097 [mm]

Pcqp = 0.25 cp

ρc,ef 0.026 0.035 0.047 0.060 0.072

k2 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83

sr,max 0.263 0.214 0.181 0.160 0.148 [m]

εsm 0.00084 0.00070 0.00059 0.00053 0.00050

w 0.220 0.150 0.106 0.085 0.074 [mm]

Pcqp = 0

ρc,ef 0.026 0.036 0.049 0.064 0.076

k2 0.84 0.83 0.83 0.83 0.83

sr,max 0.263 0.212 0.177 0.156 0.144 [m]

εsm 0.00079 0.00059 0.00047 0.00039 0.00036

w 0.207 0.126 0.084 0.062 0.051 [mm]

Quadro 13 – Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a metodologia 1

- 49 -

A leitura dos quadros permite reparar que os valores da abertura de fendas tanto descem à

medida que a estrutura sofre um acréscimo de carga para um P0 constante, como, para os

mesmos cálculos para P0 sucessivamente menores. O acréscimo de carga origina uma maior

área de reforço, no dimensionamento, e portanto um ρp,ef maior também, o que faz baixar o valor

de espaçamento entre fendas srm e, como tal, a abertura de fendas w será menor.

Quando se observam os valores dos momentos de dimensionamento MSD’ e os momentos

actuantes Mk (Quadros 7 e 9) verifica-se que ambos vão aumentado à medida que se vão dando

os vários acréscimos da carga de dimensionamento e também que o aumento de MSD’ é na

ordem dos 30 KNm, de caso para caso, e o de Mk é de 3 KNm, ou seja, dez vezes menor. Vê-se

ainda que os momentos de dimensionamento são, em média, três vezes superior aos momentos

actuantes. Daqui conclui-se que o reforço está bem dimensionado para suportar os esforços de

dimensionamento mas que se revela sobredimensionado na verificação da fendilhação. Este

facto, aliado à explicação dada no final do parágrafo anterior faz com que abertura de fendas vá

sendo menor à medida que se aumenta a carga de dimensionamento Psd’.

Tal como se viu anteriormente, nomeadamente na análise de resultados do Quadro 10, quanto

mais a estrutura for aliviada na altura do reforço menores serão as extensões iniciais e,

consecutivamente, as finais. Com o auxílio dos quadros completos do Anexo A, vê-se que, na

maioria dos casos, são mesmo as extensões finais que irão determinar os valores finais da

abertura de fendas. No entanto, para o estudo do reforço com chapas de aço, verifica-se que a

partir de um P0 = 0.5 cp, existem casos onde a descida da linha neutra provoca uma descida dos

valores da área efectiva à tracção Ac,eff e, como tal, valores de w menores.

Vê-se, também, que elementos reforçados com chapas de aço geram sempre fendas menores.

Isto porque o facto de os laminados de carbono suportarem tensões maiores conduzir a tensões

de serviço mais elevadas e, consequentemente, deformações ε maiores.

Este dados são mais perceptíveis através da elaboração de gráficos, para cada tipo de P0, onde

se estabelece a relação entre a abertura de fendas w e a razão entre a área de reforço

equivalente Ar,eq e a área de armadura inferior As, sob os vários acréscimos de carga de

dimensionamento. Sendo que yd

rdreqr

f

fAA =, .

- 50 -

Figura 15.a

Figura 15.b

Figura 15.c

Figuras 15.a, b e c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para

P0=cp+Ψ2sc, P0=cp e P0=0.75 cp, respectivamente, segundo a metodologia 1

P0 = cp + Ψ2sc EC2

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

P0 = cp EC2

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

P0 = 0.75cp EC2

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

- 51 -

Figura 15.d

Figura 15.e

Figura 15.f

Figuras 15.d,e e f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.5cp,

P0=0.25 cp e P0=0,,respectivamente, a metodologia 1

P0 = 0.5cp EC2

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

P0 = 0.25cp EC2

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

P0 = 0 EC2

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

- 52 -

Além do que já se tinha constatado, a observação dos gráficos permite reparar que a diferença

de valores de w, consoante o acréscimo de carga, é mais notória no caso das chapas de aço. De

facto, quando a estrutura se encontra totalmente sobrecarregada na fase de aplicação do

reforço, P0 = cp + Ψ2sc, o valor da abertura de fendas é praticamente independente do nível de

reforço. Esta questão aponta, uma vez mais, para a diferença de tensões de cálculo dos dois

materiais (CFRP e chapas de aço). Enquanto que um acréscimo de 10% na carga provoca uma

subida de 0.6 cm2 de área de laminado de carbono necessária, o mesmo acréscimo provoca um

aumento de 3 cm2 de chapa de aço (Quadros 9 e 10). Desta forma a descida da linha neutra,

nos elementos reforçados com chapa de aço, será mais acentuada e irá causar menores

aberturas de fendas e com valores mais díspares entre cada situação de acréscimo de carga.

Metodologia 2 – Boletim 14 da fib

Nesta metodologia os parâmetros apresentados no quadro seguinte têm valores constantes:

Constante para cálculo de wk β 1.7

Tensão de aderência do aço τ sm 5.22 [MPa]

Tensão de aderência do reforço externo τ fm 3.625 [MPa]

Alta aderência β1 1

Carregamento de longa duração β2 0.5

Diâmetro dos varões inferiores ds 0.016 [m]

Perímetro de adesão do reforço externo us 0.1508 [m]

Quadro 14 – Parâmetros utilizados no cálculo da abertura de fendas segundo o boletim 14 da fib

Os resultados obtidos segundo esta metodologia estão tabelados nos quadros seguintes (mais

uma vez optou-se por colocar apenas os valores mais relevantes, estando os quadros completos

no Anexo B deste trabalho).

- 53 -


ζ 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91

P0 = cp + Ψ2sc

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

ε2 0.00116 0.00120 0.00124 0.00127 0.00130

wk 0.347 0.318 0.286 0.265 0.241 [mm]

P0 = cp

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

ε2 0.00114 0.00117 0.00119 0.00121 0.00122

wk 0.343 0.309 0.274 0.251 0.226 [mm]

P0 = 0.75 cp

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

ε2 0.00111 0.00114 0.00114 0.00114 0.00114

wk 0.339 0.301 0.262 0.238 0.211 [mm]

P0 = 0.5 cp

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

ε2 0.00109 0.00111 0.00109 0.00108 0.00107

wk 0.335 0.292 0.251 0.225 0.197 [mm]

P0 = 0.25 cp

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

ε2 0.00107 0.00107 0.00104 0.00102 0.00099

wk 0.331 0.284 0.239 0.211 0.182 [mm]

P0 = 0

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

ε2 0.00105 0.00104 0.00099 0.00095 0.00091

wk 0.326 0.275 0.228 0.198 0.168 [mm]

Quadro 15 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia 2

- 54 -


ζ 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91

P0 = cp + Ψ2sc

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]

ε2 0.00119 0.00122 0.00125 0.00127 0.00128

wk 0.368 0.342 0.312 0.287 0.268 [mm]

P0 = cp

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]

ε2 0.00112 0.00111 0.00110 0.00109 0.00109

wk 0.348 0.309 0.274 0.248 0.229 [mm]

P0 = 0.75 cp

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]

ε2 0.00106 0.00100 0.00095 0.00093 0.00092

wk 0.329 0.278 0.238 0.210 0.192 [mm]

P0 = 0.5 cp

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1471 0.1333 [m]

ε2 0.00100 0.00088 0.00081 0.00076 0.00074

wk 0.310 0.247 0.202 0.172 0.152 [mm]

P0 = 0.25 cp

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1624 0.1420 0.1278 [m]

ε2 0.00094 0.00077 0.00066 0.00060 0.00056

wk 0.290 0.216 0.163 0.130 0.111 [mm]

P0 = 0

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1857 0.1566 0.1344 0.1198 [m]

ε2 0.00088 0.00066 0.00052 0.00044 0.00039

wk 0.271 0.183 0.123 0.090 0.072 [mm]


metodologia 2

Observando os dois quadros anteriores repara-se, mais uma vez, que a abertura de fendas é

menor à medida que a carga de dimensionamento aumenta, para a mesma carga inicial

- 55 -

actuante, e também menor, para o mesmo acréscimo de carga, quando P0 decresce. Ao

aumentar a carga de dimensionamento, está-se também a aumentar a área de reforço externo

necessária para evitar o colapso da estrutura. Tal como se viu na discussão de resultados da

metodologia 1, a área de reforço é dimensionada para resistir ao colapso e, como tal, está

sobredimensionada para o cálculo da fendilhação. Assim, o aumento dessa área de reforço irá

originar um menor espaçamento entre fendas srm que levará a menores valores de wk. Existirão

ainda casos (reforço com chapas de aço) onde a descida da linha neutra irá provocar uma Ache

menor e, por conseguinte, srm ainda menor.

O segundo facto é explicado da mesma forma que para os resultado obtidos com a metodologia

1. Ou seja, menores cargas iniciais P0 irão resultar em menores deformações iniciais, e estas,

em menores deformações finais. Como se vê em ambos os quadros, e analisando uma dada

coluna respeitante a um determinado acréscimo de carga de dimensionamento, é justamente a

deformação final ε2 que vai determinar a diferença de valores de wk.

Vê-se também que existem três valores de ε2 em cada quadro destacados a cor. Se se analisar

a metodologia descrita em 2.2.4.1 repara-se que o cálculo de ε2 se baseia na expressão

012 εεεε +≈≈ fs . No entanto, os valores assinalados são menores do que a extensão inicial ε0

(Quadro 8). Assim, conclui-se que esta metodologia não é adequada para ser empregue em

casos onde um dado acréscimo de carga de dimensionamento origine uma área de reforço

externo relativamente pequena para uma estrutura totalmente carregada na altura de aplicação

do reforço.

Agora, por meio de gráficos, serão comparados os valores da abertura de fendas para elementos

reforçados, com um e outro tipo de reforço, e para as várias combinações de serviço (tal como

se fez feito no estudo da metodologia 1).

- 56 -

Figura 16.a

Figura 16.b

Figura 16.c

Figuras 16.a,b e c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para

P0=cp+Ψ2sc, P0=cp e P0=0.75cp,respectivamente, segundo a metodologia 2

P0 = cp + Ψ2sc fib14

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

P0 = cp Fib 14

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

P0 = 0.75cp Fib 14

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

- 57 -

Figura 16.d

Figura 16.e

Figura 16.f

Figuras 16.d,e e f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P0=0.5 cp,

P0=0.25 cp e P0=0,respectivamente, segundo a metodologia 2

P0 = 0.5cp Fib 14

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

P0 = 0.25cp Fib 14

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

P0 = 0 Fib 14

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de aço

- 58 -

Através desta metodologia nota-se uma situação estranha nos gráficos das figuras 16.a e b. No

primeiro vê-se que os elementos reforçados com chapas de aço têm uma maior abertura de

fendas do que os mesmos reforçados com laminados de carbono. E no segundo gráfico os

valores de abertura de fendas são muito similares. Como já se viu anteriormente, o reforço à

base de CFRP gera sempre fendas maiores devido ao facto de a sua tensão de cálculo ter um

valor muito elevado quando comparado com o reforço externo por meio de chapas de aço.

Donde se pode concluir que esta metodologia não está afinada para estruturas que não estejam

devidamente aliviadas (P0 ≥ cp) da carga actuante na altura de execução do reforço.

Esta análise, vem completar o que já se havia constatado na observação dos quadros 15 e 16.

Isto é, quando a combinação de serviço utilizada é P0=cp+Ψ2sc, os valores obtidos são

incoerentes e distantes da situação real. Porém, se se for diminuindo esta mesma carga de

serviço, principalmente se P0 < cp, já se começam a obter resultados mais próximos da

realidade. Assim, ir-se-á obter uma extensão inicial ε0 bastante menor que irá influenciar os

cálculos seguintes. Uma melhor compreensão deste efeito é obtida se se analisar a expressão

de cálculo de ε2. Ou seja, quando o objectivo é comparar, para a mesma situação, as extensões

finais de um elemento reforçado ou com laminados de carbono, ou com chapas de aço, por

observação da expressão abaixo vê-se que o único parâmetro que difere de um para o outro

caso é, justamente, a área de reforço Ar.

rrss

rrrk

AEAE

AEN

+

+= 0

2

εε

À medida que se vai aliviando a estrutura da sua carga de serviço, a extensão inicial ε0 fica cada

vez menor até chegar ao valor 0. Este facto faz com que a expressão de ε2 se aproxime de:

rrss

rk

AEAE

N

+=2ε

E agora vê-se que um Ar maior irá resultar numa extensão ε2 menor, e daí , á medida que P0

diminui, os elementos reforçado com chapas de aço tenham extensões finais menores e, como

tal, uma menor abertura de fendas.

Já o valor de espaçamento entre fendas srm não é tão influenciado pelo alívio de carga, como se

pode constatar nos quadros 15 e 16. Aliás, os valores de srm mudam quando se utiliza reforço

com chapas de aço e no caso de, ou o acréscimo de carga de dimensionamento, ou alívio da

carga actuante P0, ou então ambos, causem a descida da linha neutra da secção e, uma

- 59 -

consequente diminuição da área afectiva traccionada Ac,eff. Este facto fará com que o

espaçamento entre fendas diminua relativamente ao valor obtido para o P0 anterior.

Assim, conclui-se que o principal responsável pela descida de valores de abertura de fendas é

mesmo a diminuição do valor da extensão inicial à medida que a estrutura é cada vez mais

aliviada na altura de execução do reforço.

- 60 -

3.3.1.2 COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS

Realizado o primeiro estudo do caso prático do nosso trabalho, torna-se necessário comparar os

resultados de ambas as metodologias. Já se viu que, tirando duas excepções (Figuras 16.a e b),

o andamento dos gráficos das figuras 14 e 15 é semelhante. Desta forma ir-se-á, aqui, comparar

os valores obtidos para a combinação Pcqp = 0.75 cp, dado que é uma situação média para

ambos os métodos de cálculo de abertura de fendas.(os restantes gráficos de comparação

podem ser consultados no Anexo C).


vários acréscimo de carga sob a combinação de serviço Pcqp = 0.75 cp

Observando o gráfico repara-se, de imediato, que existe uma clara diferença de valores entre as

duas metodologias. Consegue-se, também, ver quer as curvas geradas pela metodologia 2 têm

o mesmo andamento e valores de abertura de fendas, para os dois tipos de reforço utilizado,

próximos, o que não acontece com a metodologia 1.

Quando se analisa de uma forma mais atenta as duas metodologias verifica-se que o cálculo

usado com base nas fórmulas da metodologia 1 é bastante simplificado e só tem em conta o

efeito de um reforço externo no cálculo ρp,ef e o diagrama de tensões da estrutura através do

parâmetro k2. A metodologia 2 tem em conta, não só a área do reforço externo, como o estado

P0=0.75cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

Chapas de aço - Fib 14

Chapas de aço - EC2

CFRP - Fib 14

CFRP - EC2

- 61 -

de deformação inicial ε0, as tensões de aderência desta ao elemento a reforçar fmτ e ainda um

parâmetro de aderência ξb.

3.3.1.3 AUMENTO DA ÁREA DE REFORÇO SOB CARGA CONSTANTE

Neste ponto do trabalho estuda-se a variação da abertura de fendas, em função de um aumento

constante da área de reforço, para cada carga actuante na altura de aplicação do reforço. Os

cálculos deste ponto do trabalho foram realizados utilizando a metodologia 2, fazendo

acréscimos de carga entre os 20% e os 50% e utilizando as seguintes combinações de carga de

serviço cargas iniciais P0.

- 0.75 cp

- 0.5 cp

- 0.25 cp

- 0

Esta variação será mais perceptível mediante a elaboração e observação de gráficos onde a

abertura de fendas wk irá variar, novamente, com a razão entre a área de reforço equivalente

Ar,eq e a área de armadura inferior As. yd

rdreqr

f

fAA =, .

Os vários aumentos de área a considerar para os vários acréscimo de carga de

dimensionamento estão tabelados nos quadros seguintes, para ambos os tipos de reforço. Mais

uma vez mostram-se, apenas, os valores relevantes sendo que todos os valores necessários

para este cálculo podem ser consultados no Anexo D.

- 62 -


A0 0.36 0.91 1.54 2.10 2.80 [cm2]

(Ar,eq/As)(0) 0.178 0.451 0.763 1.041 1.388

A1 0.81 1.21 1.82 2.22 3.03 [cm2]

(Ar,eq/As) (1) 0.400 0.600 0.900 1.100 1.500

A2 1.01 1.41 2.02 2.42 3.23 [cm2]

(Ar,eq/As) (2) 0.500 0.700 1.000 1.200 1.600

A3 1.21 1.61 2.22 2.62 3.43 [cm2]

(Ar,eq/As) (3) 0.600 0.800 1.100 1.300 1.700

A4 1.41 1.82 2.42 2.82 3.63 [cm2]

(Ar,eq/As) (4) 0.700 0.900 1.200 1.400 1.800

Quadro 17 – Aumento da área de CFRP a partir da área dimensionada

Chapas de aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%

A0 2.00 5.00 8.50 12.00 15.00 [cm2]

(Ar,eq/As) (0) 0.179 0.448 0.762 1.075 1.344

A1 3.35 6.70 10.05 13.39 16.74 [cm2]

(Ar,eq/As) (1) 0.300 0.600 0.900 1.200 1.500

A2 4.46 7.81 11.16 14.51 17.86 [cm2]

(Ar,eq/As) (2) 0.400 0.700 1.000 1.300 1.600

A3 5.58 8.93 12.28 15.63 18.98 [cm2]

(Ar,eq/As) (3) 0.500 0.800 1.100 1.400 1.700

A4 6.70 10.05 13.39 16.74 20.09 [cm2]

(Ar,eq/As) (4) 0.600 0.900 1.200 1.500 1.800

Quadro 18 – Aumento da área de chapas de aço a partir da área dimensionada

- 63 -

Com os valores dos quadros anteriores (Quadros 17 e 18) e com base no relatório da fib,

calcularam-se os valores das respectivas aberturas de fendas, para cada uma das áreas de

reforço Ai e ilustrou-se esta mesma relação nos gráficos seguintes (as tabelas completas com os

resultados usados na elaboração dos gráficos estão no Anexo E). Primeiro para o reforço com

laminados de carbono:

Acréscimo de 20% de carga - CFRP

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000

Ar,eq/As

wk

0.75cp

0.5cp

0.25cp

0

Figura 18.a

Acréscimo de carga de 30% - CFRP

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400

Ar,eq/As

wk

0.75cp

0.5cp

0.25cp

0

Figura 18.b

Figuras 18.a e b – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo

,para um dado acréscimo de carga de dimensionamento.

- 64 -


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

0.75cp

0.5cp

0.25cp

0

Figura 18.c


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000

Ar,eq/As

wk

0.75cp

0.5cp

0.25cp

0

Figura 18.d

Figuras 18.c e d – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo

,para um dado acréscimo de carga.

- 65 -

Vê-se que para o mesmo acréscimo de carga, a abertura de fendas diminui à medida que se vai

aumentando a área de reforço. Isto sucede porque o aumento da área de reforço vai originar

uma diminuição substancial do valor do espaçamento entre fendas srm (ponto 2.2.4.1 –

metodologia 2) e também uma diminuição da extensão final ε2. Os valores deste estudo podem

ser consultados no Anexo F.

Tal como seria de esperar, vê-se que à medida que o acréscimo de carga considerado é maior, o

valor de abertura de fendas diminui. Facto já constatado e explicado no ponto anterior do

trabalho. Vê-se também que um maior acréscimo de carga gera maior área de reforço e, como

tal, o valor da relação Ar,eq/As vai sendo cada vez maior. Por fim, reforça-se a ideia de que quanto

mais aliviada, da sua carga actuante, for a estrutura na altura de aplicação do reforço, menor

será a fendilhação.

De seguida ir-se-ão observar os mesmo gráficos respeitantes ao reforço externo com chapas de

aço:

Acréscimo de carga de 20% - Chapas de aço

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000

Ar,eq/As

wk

0.75cp

0.5cp

0.25cp

0

Figura 19.a

Figuras 19.a – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo ,para

um dado acréscimo de carga.

- 66 -


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400

Ar,eq/As

wk

0.75cp

0.5cp

0.25cp

0

Figura 19.b


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

0.75cp

0.5cp

0.25cp

0

Figura 19.c

Figuras 19.b e c – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo

,para um dado acréscimo de carga, e para as várias combinações de serviço.

- 67 -


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000

Ar,eq/As

wk

0.75cp

0.5cp

0.25cp

0

Figura 19.d

Figuras 19.c e d – Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo

,para um dado acréscimo de carga, e para as várias combinações de serviço.

Tirando as observações já feitas para os gráficos das figuras 18, repara-se que os gráficos de

cada P0 estão mais distantes uns dos outros. Isto sucede porque um aumento de área

equivalente Ar,eq irá implicar um aumento significativamente maior de chapa de aço do que de

CFRP, devido ao facto de a tensão de cálculo do laminado de carbono ser largamente superior

(cerca de cinco vezes e meia) à da chapa de aço. Relembra-se uma vez mais que

yd

rdreqr

f

fAA =, .

Tal como aconteceu no reforço com CFRP, a abertura de fendas diminui à medida que se vai

aumentando a área de reforço. Mais uma vez, através dos resultados tabelado no Anexo F, vê-

se que o espaçamento entre fendas srm é o parâmetro mais influenciado pelo aumento da área

de reforço.

Através dos gráficos anteriores fica-se com a ideia cimentada de que o aumento da área de

reforço irá baixar o nível de fendilhação, qualquer que seja o aumento da carga de

dimensionamento quer a estrutura seja muito, ou pouco, aliviada durante a aplicação do reforço.

Não é necessária a comparação de valores entre CFRP e chapas de aço uma vez que esse

estudo já foi feito e analisado com a conclusão de que os elementos reforçados com laminados

- 68 -

de carbono irão gerar sempre fendas maiores, e com a distância entre os valores de ambos a

aumentar à medida que a estrutura vai sendo menos sobrecarga na fase de execução do reforço

P0 cada vez menor. No entanto, elabora-se, na mesma, gráficos onde são comparados os

valores de fendilhação obtidos para os dois tipos de reforço em função do aumento da área

destes e colocaram-se no Anexo G, a título de curiosidade.

3.3.2 – SECÇÕES DOS APOIOS

Como já se viu anteriormente, a posição da linha neutra é independente do momento actuante.

Assim, todos os casos em estudo terão as seguintes constantes usadas no cálculo das

deformações do betão e do aço εc eεs, respectivamente.

As-(apoio)=As2 12.57 [cm2]

As+=As1 6.03 [cm2]

αs 6.06 X 0.132 [m]

I 0.000983 [m4]

Quadro 19 – Parâmetros comuns ao cálculo das extensões εc eεs , na zona dos apoios

Desta forma, para os vários acréscimos de carga de dimensionamento obtêm-se os valores

necessários para o posterior cálculo da fendilhação:

Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50% Vão 7 [m]

P0' 28.52 29.94 31.36 32.78 34.20 [KN/m]

Mk- 116.46 122.26 128.05 133.85 139.65 [Kim]

Mk+ 58.23 61.13 64.03 66.93 69.83 [Kim]

εc 0.00047 0.00050 0.00052 0.00054 0.00057

εs 0.00114 0.00120 0.00126 0.00131 0.00137

Quadro 20 – Cálculo das extensões εc eεs para os vários níveis de acréscimo de carga

- 69 -

Calculando a abertura de fendas:

ds 0.02 [m]

k1 0.8 c 0.025 [m]

kt 0.4

Quadro 21 – Constantes utilizadas no cálculo de abertura de fendas


Ac,ef 0.0307 0.0307 0.0307 0.0307 0.0307 [m2]

k2 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83

ρp,ef 0.0410 0.0410 0.0410 0.0410 0.0410

sr,max 0.2232 0.2232 0.2232 0.2232 0.2232 [m]

εsrm 0.00097 0.00102 0.00108 0.00114 0.00119

w 0.2155 0.2282 0.2409 0.2536 0.2663 [mm]

Quadro 22 – Cálculo da abertura de fendas, nas secções não reforçadas, para os vários

acréscimos de carga de dimensionamento, segundo EC2

Quando se observam os valores do quadro acima repara-se que a abertura de fendas aumenta

com o aumento da carga de dimensionamento, e vê-se que esse aumento se deve ao aumento

da extensão média relativa entre o aço e o betão εsrm. Ao ter-se em conta as expressões dos

pontos 2.2.4.3, vê-se que isto sucede porque o aumento do momento negativo actuante Mk- irá

aumentar a extensão no betão εc e, consequentemente, a extensão no aço εs. Finalmente, o

aumento de εs é o principal parâmetro responsável pelo aumento de εsrm, porque todos os outros

se mantêm constantes.

Estes valores de abertura de fendas têm andamento contrário dos valores do estudo da

fendilhação das secções reforçadas (meio vão). Isto sucede porque estas zonas não têm

reforçado aplicado e desta forma não vai existir uma área de reforço excessiva (no que diz

respeito à verificação da fendilhação) que faz baixar os valores de wk.

- 70 -

3.4 – AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO A 2

1 VÃO PARA UM NOVO

CASO PRÁTICO

3.4.1 – CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO

Neste ponto do trabalho será calculada o valor de abertura de fendas utilizando uma nova

secção e depois será feita a comparação com os valores obtidos no caso anterior (será feito

somente o estudo referente ao ponto 3.3.1.1 – avaliação da fendilhação para diferentes níveis de

carga actuantes). Assim, a nova laje e secção transversal são:

Figura 20 - Laje do modelo de cálculo

Mais uma vez tem-se um vão bi-encastrado com a carga a actuar inteiramente na sua direcção.

As secções no meio-vão e apoio são:

Figura 21 - Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a

meio-vão (esquerda) e nos apoios (direita)

- 71 -

3.4.2 – CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA

Fazendo os mesmos cálculos, que nos pontos 3.2.1 e 3.2.2 chega-se aos valores da sobrecarga

suportada pela estrutura e área de reforço necessária aquando do acréscimo da sobrecarga:

Laje + Viga

Vão 10 [m]

As-(varões) 19.24 [cm2] 2Ф25+3Ф20

As-(1/2 van)(varões) 9.42 [cm2] 3Ф20

As+(varões) 9.42 [cm2] 3Ф20

w-(β=0.5) 0.147

w+(β=1) 0.072

µ- 0.136

µ+ 0.070

TABELA A500

d2/d=0.10

Med- 736.44 [Kim]

Med+ 379.05 [Kim]

Prod 89.24 [KN/m]

rap 1.5 [KN/m2]

cp 38.5 [KN/m]

sc 21.0 [KN/m]

q 4.2 [KN/m2]

Quadro 23 - Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura

Vê-se que esta nova estrutura tem uma capacidade resistente da mesma ordem de grandeza

que a estrutura anterior.

- 72 -

3.4.3 – DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO


Psd' 98.16 107.09 116.01 124.93 133.86 [KN/m] sc' 26.94 32.89 38.84 44.79 50.74 [KN/m]

sclaje' 5 7 8 9 10 [KN/m2]

Msd+' 490.60 602.15 713.70 825.25 936.80 [Kim]

β 0.5

deq 0.98 [m]

µ+' 0.086 0.106 0.125 0.145 0.164

w+' 0.081 0.099 0.116 0.134 0.150

TABELA

Aeq 10.89 13.31 15.60 18.02 20.17 [cm2] ACFRP 0.49 1.30 2.07 2.88 3.60 [cm2]

Ar,eq/As 0.156 0.413 0.656 0.913 1.141 AChapa 2.73 7.21 11.44 15.92 19.90 [cm2]

Ar,eq/As 0.156 0.413 0.656 0.913 1.141

Quadro 24 - Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento

Por observação da tabela acima repara-se que o aumento da carga de dimensionamento resulta,

tal como no caso anterior, no aumento de 1 KN/m2 da sobrecarga por cada acréscimo de 10% da

carga de dimensionamento. Devido ao facto de os esforços de dimensionamento serem maiores,

que no caso anterior, a área de reforço será, também, maior como se pode ver nas últimas duas

linhas da tabela.

- 73 -

3.4.4 – AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO

Tal como no ponto 3.3.1.1, para se calcular a abertura de fendas da nova estrutura começa-se

por avaliar a situação inicial desta e depois obtêm-se a posição da linha neutra Xe, já com a

estrutura reforçada.

i) Situação inicial

Vão 10 [m]

Tipo de carga actuante cp + Ψ2sc cp 0.75 cp 0.5 cp 0.25 cp 0

P0 46.90 38.50 28.88 19.25 9.63 0.00 [KN/m]

M0- 390.83 320.83 240.63 160.42 80.21 0.00 [Kim]

M0+ 195.42 160.42 120.31 80.21 40.10 0.00 [Kim]

As-(1/2 van)=As2 9.42 [cm2]

As+=As1 9.42 [cm2]

αs 6.06

X0 0.166 [m]

Ic0 0.003991 [m4]

εc0 0.000246 0.000202 0.000152 0.000101 0.000051 0.00

ε0 0.00124 0.00102 0.00076 0.00051 0.00025 0.00

Mcr 145.00 [Kim]

Quadro 25 - Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante

Por observação directa do quadro acima e por comparação com os valores do quadro 8, vê-se

que os momentos actuantes iniciais M0 são maiores, facto já esperado uma vez que tanto a

carga actuante como o comprimento do vão são maiores que na estrutura anterior. Vê-se, ainda,

que os valores das extensões iniciais são muito similares. De facto, as extensões iniciais da fibra

superior εc0 são da mesma ordem de grandeza (ainda que ligeiramente menores) e as extensões

da fibra inferior ε0 têm praticamente os mesmos valores.

Já o aumento do momento de fendilhação Mcr se deve ao facto de o seu cálculo se basear única

e exclusivamente nas dimensões da secção. Como esta nova secção é significativamente maior,

também o Mcr o será.

- 74 -

ii) Aplicação do reforço


Vão 10 [m]

P0' 49.28 51.66 54.04 56.42 58.80 [KN/m]

Mk- 410.64 430.47 450.30 470.13 489.96 [Kim]

Mk+ 205.32 215.24 225.15 235.07 244.98 [Kim]

ACFRP 0.49 1.30 2.07 2.88 3.60 [cm2]

αf 6.06

P0 = cp + Ψ2sc

Xe 0.167 0.167 0.169 0.17 0.171 [m]

εc 0.00026 0.00028 0.00029 0.0003 0.00031

P0 = cp

Xe 0.167 0.169 0.171 0.173 0.175 [m]

εc 0.00026 0.00027 0.00028 0.00029 0.0003

P0 = 0.75 cp

Xe 0.168 0.171 0.174 0.176 0.179 [m]

εc 0.00026 0.00027 0.00028 0.00029 0.0003

P0 = 0.5 cp

Xe 0.169 0.173 0.176 0.18 0.183 [m]

εc 0.00026 0.00027 0.00028 0.00028 0.00029

P0 = 0.25 cp

Xe 0.17 0.175 0.18 0.184 0.188 [m]

εc 0.00026 0.00027 0.00027 0.00028 0.00028

P0 = 0

Xe 0.17 0.177 0.183 0.189 0.194 [m]

εc 0.00026 0.00026 0.00027 0.00027 0.00027

Quadro 26 - Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono

- 75 -


Vão 10 [m]

P0' 49.28 51.66 54.04 56.42 58.80 [KN/m]

Mk- 410.64 430.47 450.30 470.13 489.96 [Kim]

Mk+ 205.32 215.24 225.15 235.07 244.98 [Kim]

AChapa 2.73 7.21 11.44 15.92 19.90 [cm2]

αf 6.06

P0 = cp + Ψ2sc

Xe 0.168 0.17 0.173 0.176 0.179 [m]

εc 0.00026 0.00027 0.00028 0.00029 0.00029

P0 = cp

Xe 0.171 0.176 0.181 0.185 0.189 [m]

εc 0.00026 0.00026 0.00027 0.00027 0.00028

P0 = 0.75 cp

Xe 0.175 0.184 0.192 0.198 0.204 [m]

εc 0.00025 0.00025 0.00025 0.00026 0.00026

P0 = 0.5 cp

Xe 0.179 0.193 0.204 0.214 0.221 [m]

εc 0.00025 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024

P0 = 0.25 cp

Xe 0.183 0.204 0.22 0.235 0.246 [m]

εc 0.00024 0.00023 0.00022 0.00022 0.00022

P0 = 0

Xe 0.188 0.217 0.24 0.262 0.279 [m]

εc 0.00024 0.00022 0.00021 0.0002 0.0002

Quadro 27 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço

Observando os dois quadros anteriores, verifica-se que as extensões finais são menores que no

caso anterior, tanto para o caso de reforço com CFRP como com reforço com chapas de aço.

Continua-se a verificar que a posição da linha neutra desce à medida que a carga inicial P0 é

menor. E também que esta descida é mais notória no caso de reforço com chapas de aço.

Também neste caso se verifica a discrepância existente entre os momentos de

dimensionamento MSD’ e os actuantes Mk (observação dos quadros 24 e 27). MSDN’ é também,

em média, cerca de três vezes Mk. Assim podem-se esperar valores da área de reforço que

suportam bem a carga da estrutura mas que se revelam excessivos para a verificação à

fendilhação, fazendo com que a abertura de fendas desça à medida que a carga de

dimensionamento aumenta.

- 76 -

Metodologia 2

Os parâmetros constantes deste cálculo foram já tabelados no quadro 14, com alteração relativa

ao diâmetro dos varões ds e ao perímetro de ligação destes us, que tomam os valores 0.02 e

0.1885, respectivamente.

Os resultados obtidos para os dois tipos de reforço são então:


ζ 0.75 0.77 0.79 0.81 0.82

ξb 2.480 2.480 2.480 2.480 2.480

srm 0.1957 0.1646 0.1431 0.1258 0.1135 [m]

P0 = cp + Ψ2sc

ε2 0.00123 0.00128 0.00132 0.00135 0.00138

wk 0.308 0.276 0.254 0.234 0.220 [mm]

P0 = cp

ε2 0.00122 0.00125 0.00128 0.00130 0.00132

wk 0.305 0.270 0.246 0.225 0.211 [mm]

P0 = 0.75 cp

ε2 0.00121 0.00122 0.00123 0.00124 0.00125

wk 0.302 0.264 0.237 0.215 0.200 [mm]

P0 = 0.5 cp

ε2 0.00120 0.00119 0.00119 0.00118 0.00118

wk 0.299 0.257 0.229 0.205 0.189 [mm]

P0 = 0.25 cp

ε2 0.00119 0.00116 0.00114 0.00112 0.00112

wk 0.296 0.251 0.220 0.194 0.178 [mm]

P0 = 0

ε2 0.00117 0.00113 0.00110 0.00106 0.00105

wk 0.293 0.244 0.211 0.184 0.167 [mm]

Quadro 28 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia 2

Tem-se, uma vez mais, um valor destacado que corresponde a uma extensão final com valor

inferior à respectiva extensão inicial. O que não pode acontecer. Há, no entanto, uma melhoria

desta metodologia pois agora só há um resultado impossível, ao passo que no quadro 15

haviam três.

- 77 -

Comparando, ainda, com o quadro 15, vê-se que a fendilhação tem o mesmo comportamento,

ou seja, o valor da abertura de fendas decresce tanto à medida que aumentamos a carga de

dimensionamento Psd’ como à medida que vamos aliviando a estrutura na fase de aplicação do

reforço, P0 menor.

Porém, comparando os valores de abertura de fendas vê-se que estes são menores para o novo

caso, onde a estrutura tem dimensões maiores (facto mais perceptível mediante a elaboração de

gráficos de seguida). Tal deve-se ao facto de tanto as extensões finais como o espaçamento

entre fendas srm (excepto para o caso de acréscimo de 10% na carga Psd’) serem menores que

no caso anterior.

ε2 é menor devido ao aumento da área dos varões As e da área de reforço Af. A diminuição de

srm face ao caso anterior deve-se, essencialmente, ao aumento da armadura inferior, fazendo

com que o parâmetro de aderência ξb aumente de valor (devido ao maior diâmetro ds dos

varões). Este último, aliado ao aumento do perímetro de ligação us e a uma maior área de

reforço Af irá resultar na diminuição do valor do espaçamento entre as fendas.

- 78 -


ζ 0.75 0.77 0.79 0.81 0.82

ξb 0.347 0.347 0.347 0.347 0.347

srm 0.2009 0.1746 0.1555 0.1393 0.1275 [m]

P0 = cp + Ψ2sc

ε2 0.00123 0.00126 0.00128 0.00129 0.00130

wk 0.316 0.290 0.268 0.248 0.233 [mm]

P0 = cp

ε2 0.00119 0.00117 0.00116 0.00115 0.00115

wk 0.304 0.268 0.243 0.221 0.206 [mm]

P0 = 0.75 cp

ε2 0.00113 0.00106 0.00102 0.00100 0.00098

wk 0.289 0.243 0.214 0.191 0.176 [mm]

P0 = 0.5 cp

ε2 0.00107 0.00095 0.00088 0.00084 0.00081

wk 0.275 0.218 0.185 0.161 0.145 [mm]

P0 = 0.25 cp

ε2 0.00102 0.00084 0.00075 0.00068 0.00064

wk 0.260 0.193 0.156 0.131 0.115 [mm]

P0 = 0

ε2 0.00096 0.00073 0.00061 0.00052 0.00047

wk 0.246 0.168 0.128 0.101 0.085 [mm]


metodologia 2

A discussão dos resultados da tabela acima é análoga à discussão para o reforço com CFRP,

sendo que estes resultados deverão ser comparados com o quadro 16. No entanto, importa

salientar dois aspectos importantes relacionados com a comparação entre os quadros 28 e 29.

Vê-se que, tal como no caso anterior, para a carga inicial P0 = cp + Ψ2sc, as chapas de aço

apresentam maiores valores de abertura de fendas, o que já se viu não ser possível devido ao

facto de o reforço com CFRP ter tensões de cálculo maiores (de onde têm de resultar fendas

maiores). Já para P0 = cp, não se verifica uma igualdade entre as aberturas de fendas para os

dois reforços (o que acontecia no caso anterior) ainda que os valores estejam muito próximos, e

já se verifica uma situação mais adequada à realidade com o reforço com CFRP a gerar fendas

maiores.

- 79 -

Agora vão-se comparar os resultados obtidos de uma forma mais perceptível com a elaboração

de gráficos, mas considerando, apenas a partir de uma carga inicial P0 < 0.75 cp uma vez que

são as situações a partir das quais se obtêm resultados mais coerentes:

Figura 22.a

Figura 22.b

Figuras 22.a e b - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com

os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.75 cp e P0 = 0.5 cp, respectivamente,

segundo a metodologia 2

P0=0.75cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

CFRP - Caso 1

CFRP - Caso 2

Chapa de aço - Caso 1


P0=0.5cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

CFRP - Caso 1

CFRP - Caso 2



- 80 -

Figura 22.c

Figura 22.d

Figuras 22.c e d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com

os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.25 cp e P0 = 0, respectivamente, segundo

a metodologia 2

Através da observação dos gráficos das figuras 22, vê-se que a abertura de fendas, no caso 2,

é sempre menor que os valores do caso 1 para os mesmos tipos de reforço. Ou seja, a viga

reforçada de menores dimensões vai gerar fendas maiores do que a viga reforçada de dimensão

maior.

Vê-se, também, que a diminuição da carga inicial actuante gera uma maior diferença de valores

de abertura de fendas, entre os dois tipos de reforço, para o primeiro caso do que para o novo

caso, onde as curvas de CFRP e chapa de aço têm um andamento ligeiramente mais próximo.

P0=0.25cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

CFRP - Caso 1

CFRP - Caso 2



P0=0

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

CFRP - Caso 1

CFRP - Caso 2



- 81 -

Metodologia 1

Vai-se agora repetir o estudo, mas utilizando a metodologia 1 e procurar ver se a alteração do

diagrama de tensões (parâmetro k2) tem alguma influência nos novos resultados.

Tem-se assim, uma vez mais, valores comuns a todos os casos:

Varões de alta aderência k1 0.8

Diâmetro dos varões inferiores ds 0.02 [m] Recobrimento das armaduras c 0.025 [m]

Quadro 30 – Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia 1

E agora os resultados obtidos para os dois tipos de reforço e diversos acréscimos de carga

tabelados nas páginas seguintes.

- 82 -


Pcqp = cp + Ψ2sc

ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.323 0.305 0.290 0.277 0.266 [m]

εsm 0.00092 0.00101 0.00106 0.00111 0.00116

w 0.296 0.310 0.308 0.308 0.310 [mm]

Pcqp = cp

ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]

εsm 0.00092 0.00096 0.00101 0.00106 0.00110

w 0.252 0.252 0.252 0.252 0.252 [mm]

Pcqp = 0.75 cp

ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]

εsm 0.00091 0.00095 0.00099 0.00103 0.00107

w 0.250 0.248 0.247 0.246 0.245 [mm]

Pcqp = 0.5 cp

ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]

εsm 0.00090 0.00094 0.00098 0.00097 0.00100

w 0.248 0.245 0.243 0.231 0.230 [mm]

Pcqp = 0.25 cp

ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]

εsm 0.00090 0.00092 0.00092 0.00094 0.00094

w 0.247 0.241 0.228 0.225 0.215 [mm]

Pcqp = 0

ρc,ef 0.026 0.029 0.031 0.033 0.035

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.275 0.261 0.249 0.238 0.230 [m]

εsm 0.00090 0.00088 0.00090 0.00088 0.00087

w 0.247 0.229 0.223 0.210 0.199 [mm] Quadro 31 – Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia

1

- 83 -


Pcqp = cp + Ψ2sc

ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.279 0.227 0.198 0.178 0.165 [m]

εsm 0.00091 0.00096 0.00100 0.00103 0.00103

w 0.254 0.217 0.197 0.184 0.170 [mm]

Pcqp = cp

ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]

εsm 0.00089 0.00088 0.00091 0.00090 0.00093

w 0.214 0.175 0.159 0.144 0.139 [mm]

Pcqp = 0.75 cp

ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]

εsm 0.00083 0.00080 0.00078 0.00080 0.00078

w 0.200 0.160 0.137 0.127 0.117 [mm]

Pcqp = 0.5 cp

ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]

εsm 0.00081 0.00073 0.00070 0.00067 0.00065

w 0.194 0.144 0.122 0.106 0.097 [mm]

Pcqp = 0.25 cp

ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]

εsm 0.00076 0.00065 0.00058 0.00054 0.00052

w 0.181 0.129 0.101 0.086 0.077 [mm]

Pcqp = 0

ρc,ef 0.032 0.044 0.056 0.068 0.078

k2 0.92 0.92 0.92 0.92 0.92

sr,max 0.240 0.198 0.175 0.159 0.149 [m]

εsm 0.00073 0.00057 0.00049 0.00043 0.00040

w 0.175 0.114 0.086 0.067 0.059 [mm] Quadro 32 – Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a

metodologia 1

- 84 -

Em termos de abertura de fendas, a análise dos valores destes quadros é praticamente igual à

análise feita no ponto 3.3.1.1 para os quadros 12 e 13 com a excepção do valor de abertura de

fendas da viga reforçada com CFRP e carregamento, na altura de aplicação do reforço, de P0 =

Ψ2sc+cp e P0 = cp (Quadro 31). Aqui verifica-se uma situação de aumentos e descidas do valor

de abertura de fendas, ainda que os valores estejam tudo muito próximos uns dos outros, para o

primeiro caso. Já para o segundo caso descrito, vê-se que a abertura de fendas é sempre igual

para todos os acréscimos de carga.

Analisando agora o parâmetro k2 (relativo à distribuição de tensões) vê-se que este tem o valor

de 0.92, quando no caso anterior era de 0.84, o que significa que o diagrama de tensões na área

efectiva Ache se aproxima da tracção pura.

Uma vez que na metodologia 2 apenas foram comparados os resultados entre as duas vigas

para cargas de aplicação P0 inferiores a 0.75cp (carga a partir da qual se obtiveram resultados

coerentes) agora também só serão feitas comparações para os mesmos casos. Assim,

elaboram-se os seguintes gráficos de comparação, dos valores de aberturas de fendas, entre as

duas vigas estudadas e consoante o tipo de reforço externo utilizado:

Figura 23.a

Figuras 23.a - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os

dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.75 cp segundo a metodologia 1

P0=0.75cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

CFRP - Caso 1

CFRP - Caso 2



- 85 -

Figura 23.b

Figura 23.c

Figura 23.d

Figuras 23.b, c e d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com

os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P0 = 0.75 cp, P0 = 0.25 cp e P0 = 0 cp,

respectivamente, segundo a metodologia 1

P0=0.5cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

CFRP - Caso 1

CFRP - Caso 2



P0=0.25cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

CFRP - Caso 1

CFRP - Caso 2



P0=0

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk

CFRP - Caso 1

CFRP - Caso 2



- 86 -

A observação dos gráficos das figuras 23 permite tirar as mesmas conclusões que no ponto

3.3.3, onde foi feita a comparação dos dois casos usando a metodologia 2. Isto é, a abertura de

fendas para o caso 2 é sempre menor que no caso 1, consoante o tipo de reforço, e a diminuição

de P0 gera uma maior diferença de valores de abertura de fendas entre os dois tipos de reforço.

3.4.5 – COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS

De seguida, vão-se comparar os valores obtidos, entre as duas metodologias, para o novo caso

de modo a verificar se a alteração do diagrama de tensões na área efectiva fez realmente

alguma diferença.


vários acréscimo de carga sob a carga, na altura de aplicação do reforço, P0 = 0.75 cp

Observando o gráfico acima, e comparando-o com o gráfico da figura 17, vê-se que os dois têm

andamentos muito idênticos com a ligeira diferença de que os valores da abertura de fendas da

figura 24 são menores (facto já verificado na observação dos quadros anteriores).

P0 = 0.75 cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200

Ar,eq/As

wk



CFRP - Fib 14

CFRP - EC2

- 87 -

CAPÍTULO 4 - CONCLUSÃO

Ao longo deste trabalho foi possível aprender um pouco sobre o reforço externo de estruturas de

betão armado, quer o reforço fosse à base de CFRP ou de chapas de aço. Desta forma, foram

dadas algumas luzes sobre as vantagens e desvantagens de cada tipo de reforço, bem como do

seu modo de aplicação.

Se, à partida, o reforço com CFRP parecia uma melhor solução, verificou-se, mais tarde, que

para o caso da fendilhação, o reforço com chapas de aço tinha um comportamento bastante

melhor.

De uma forma geral, relativamente ao estudo da fendilhação a meio vão, viu-se que a abertura

de fendas vai diminuindo tanto à medida que se alivia a carga da estrutura na altura de aplicação

do reforço (P0 menor), como à medida que se vai aumentando a carga de dimensionamento (Psd’

maior). Viu-se, ainda, que para vigas que suportem a mesma sobrecarga, a viga que tem

dimensões maiores será aquela que vai ter menores valores de abertura de fendas.

Particularizando para os dois tipos de metodologias estudadas, verificou-se que a metodologia 2

(boletim 14 da fib) apesar de não contemplar a distribuição de tensões na área efectiva através

do parâmetro k2, tem em conta a tensão e o parâmetro de aderência do reforço externo, o que já

não acontece com a metodologia 1 (Eurocódigo 2). Viu-se também que ambas as metodologias

apresentam resultados mais coerentes a partir do momento em que a estrutura se encontra

aliviada da sua carga actuante em cerca de 75% da carga permanente, na altura de aplicação de

reforço (P0 <0.75cp). ´

De uma forma geral não se chegou a nenhuma conclusão sobre qual a metodologia mais

correcta uma vez que uma primou pelos resultados gerados (metodologia 1) e outra pelos

parâmetros que utilizou nos cálculos (metodologia 2). Este equilíbrio só foi atingido pela

metodologia 2 e para um P0 <0.75cp.

Para o estudo da fendilhação nas zonas dos apoios viu-se que o valor de abertura de fendas irá

aumentar com o aumento da carga de dimensionamento (Psd’).

Numa avaliação global, admite-se que se trata de um trabalho interessante na medida em que

nunca tinha sido realizado um estudo deste tipo, tanto a nível de comparação das várias

metodologias de cálculo de fendilhação já feitas, como do estudo individual de cada uma destas,

de modo a avaliar a sua veracidade e coerência.

ANEXO A

Abertura de fendas segundo a metodologia 1


P0 = cp + Ψ2sc

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.85 0.84 0.84 0.84 0.84 sr,max 0.310 0.292 0.275 0.262 0.247 [m]

εs 0.001228 0.00124 0.001289 0.001312 0.00135

εsm 0.00106 0.00109 0.00115 0.00118 0.00122

w 0.329 0.317 0.315 0.308 0.302 [mm]

P0 = cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.310 0.292 0.275 0.261 0.247 [m]

εs 0.001212 0.00122 0.001259 0.001285 0.001270

εsm 0.00105 0.00107 0.00112 0.00115 0.00115

w 0.325 0.313 0.307 0.302 0.285 [mm]

P0 = 0.75 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.310 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]

εs 0.00119 0.00119 0.001206 0.001209 0.001206

εsm 0.00103 0.00104 0.00107 0.00109 0.00109

w 0.318 0.304 0.294 0.284 0.270 [mm]

P0 = 0.5 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.310 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]

εs 0.00117 0.00117 0.00116 0.00114 0.00113

εsm 0.00101 0.00103 0.00103 0.00102 0.00103

w 0.313 0.300 0.282 0.267 0.254 [mm]

P0 = 0.25 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.309 0.292 0.274 0.261 0.247 [m]

εs 0.00113 0.00114 0.00111 0.00109 0.00105

εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

w 0.303 0.292 0.270 0.255 0.235 [mm]

P0 = 0

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

ρc,ef 0.021 0.022 0.024 0.026 0.028

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.309 0.291 0.274 0.261 0.246 [m]

εs 0.00112 0.00111 0.00106 0.00103 0.00098

εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

w 0.300 0.284 0.258 0.240 0.220 [mm]


P0 = cp + Ψ2sc

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84 sr,max 0.264 0.215 0.184 0.164 0.153 [m]

εs 0.00120 0.00121 0.00119 0.00121 0.00122

εsm 0.00104 0.00106 0.00106 0.00109 0.00110

w 0.274 0.228 0.195 0.179 0.169 [mm]

P0 = cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84

sr,max 0.264 0.215 0.183 0.164 0.153 [m]

εs 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010

εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

w 0.261 0.210 0.173 0.154 0.142 [mm]

P0 = 0.75 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.067

k2 0.84 0.84 0.84 0.84 0.83

sr,max 0.263 0.215 0.183 0.164 0.152 [m]

εs 0.0011 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009

εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

w 0.246 0.187 0.151 0.131 0.120 [mm]

P0 = 0.5 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0310 0.0306 [m2]

ρc,ef 0.026 0.035 0.046 0.058 0.069

k2 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83

sr,max 0.263 0.214 0.183 0.163 0.151 [m]

εs 0.0010 0.0009 0.0008 0.0007 0.0007

εsm 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

w 0.234 0.166 0.129 0.109 0.097 [mm]

P0 = 0.25 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0307 0.0299 0.0293 [m2]

ρc,ef 0.026 0.035 0.047 0.060 0.072

k2 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83

sr,max 0.191 0.162 0.142 0.130 0.123 [m]

εs 0.0010 0.0008 0.0007 0.0006 0.0006

εsm 0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0005

w 0.220 0.150 0.106 0.085 0.074 [mm]

P0 = 0

Ac,ef 0.0313 0.0310 0.0296 0.0283 0.0275 [m2]

ρc,ef 0.026 0.036 0.049 0.064 0.076

k2 0.84 0.83 0.83 0.83 0.83

sr,max 0.263 0.212 0.177 0.156 0.144 [m]

εs 0.0009 0.0007 0.0005 0.0004 0.0004

εsm 0.0008 0.0006 0.0005 0.0004 0.0004

w 0.207 0.126 0.084 0.062 0.051 [mm]

ANEXO B

Abertura de fendas segundo a metodologia 2


ζ 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91

Pcqp = cp + Ψ2sc

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 240.00 242.50 245.00 247.50 250.00 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]

xN1 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 [m]

xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]

Nrk 138.68 144.22 148.96 154.36 159.77 [KN]

ε2 0.00116 0.00120 0.00124 0.00127 0.00130

wk 0.347 0.318 0.286 0.265 0.241 [mm]

Pcqp = cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 242.50 245.00 247.50 250.00 257.50 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]

xN1 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 [m]

xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]

Nrk 138.72 144.26 148.99 154.40 159.91 [KN]

ε2 0.00114 0.00117 0.00119 0.00121 0.00122

wk 0.343 0.309 0.274 0.251 0.226 [mm]

Pcqp = 0.75 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 245.00 247.50 252.50 257.50 262.50 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]

xN1 0.042 0.042 0.042 0.042 0.043 [m]

xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]

Nrk 138.75 144.30 149.08 154.53 160.00 [KN]

ε2 0.00111 0.00114 0.00114 0.00114 0.00114

wk 0.339 0.301 0.262 0.238 0.211 [mm]

Pcqp = 0.5 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 247.50 250.00 257.50 265.00 270.00 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]

xN1 0.042 0.042 0.042 0.043 0.043 [m]

xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]

Nrk 138.79 144.34 149.16 154.66 160.14 [KN]

ε2 0.00109 0.00111 0.00109 0.00108 0.00107

wk 0.335 0.292 0.251 0.225 0.197 [mm]

Pcqp = 0.25 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 250.00 252.50 262.50 270.00 280.00 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]

xN1 0.042 0.042 0.043 0.043 0.044 [m]

xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]

Nrk 138.83 144.38 149.25 154.76 160.34 [KN]

ε2 0.00107 0.00107 0.00104 0.00102 0.00099

wk 0.331 0.284 0.239 0.211 0.182 [mm]

Pcqp = 0

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

tf 0.0012 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 [m]

ξb 2.315 1.984 1.984 1.984 1.984

srm 0.1872 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 250.00 257.50 267.50 277.50 287.50 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 78.00 118.30 200.20 273.00 364.00 [KN]

xN1 0.042 0.042 0.043 0.043 0.044 [m]

xN2 0.039 0.034 0.028 0.025 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]

Nrk 138.83 144.46 149.34 154.90 160.50 [KN]

ε2 0.00105 0.00104 0.00099 0.00095 0.00091

wk 0.326 0.275 0.228 0.198 0.168 [mm]


ζ 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91

Pcqp = cp + Ψ2sc

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 242.50 247.50 252.50 257.50 262.50 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]

xN1 0.042 0.042 0.042 0.042 0.043 [m]

xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.44 [m]

Nrk 140.00 144.32 149.09 154.38 160.14 [KN]

ε2 0.00119 0.00122 0.00125 0.00127 0.00128

wk 0.368 0.342 0.312 0.287 0.268 [mm]

Pcqp = cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 247.50 257.50 267.50 275.00 282.50 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]

xN1 0.042 0.042 0.043 0.043 0.044 [m]

xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.43 [m]

Nrk 140.08 144.49 149.35 154.71 160.54 [KN]

ε2 0.00112 0.00111 0.00110 0.00109 0.00109

wk 0.348 0.309 0.274 0.248 0.229 [mm]

Pcqp = 0.75 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 0.0313 [m2]

tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 255.00 270.00 285.00 295.00 305.00 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]

xN1 0.042 0.043 0.044 0.044 0.045 [m]

xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.43 [m]

Nrk 140.20 144.71 149.69 155.12 161.04 [KN]

ε2 0.00106 0.00100 0.00095 0.00093 0.00092

wk 0.329 0.278 0.238 0.210 0.192 [mm]

Pcqp = 0.5 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0313 0.0310 0.0306 [m2]

tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1655 0.1471 0.1333 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 260.00 285.00 305.00 320.00 332.50 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]

xN1 0.043 0.044 0.045 0.046 0.047 [m]

xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]

ze 0.42 0.42 0.43 0.43 0.43 [m]

Nrk 140.28 144.99 150.11 155.69 161.71 [KN]

ε2 0.00100 0.00088 0.00081 0.00076 0.00074

wk 0.310 0.247 0.202 0.172 0.152 [mm]

Pcqp = 0.25 cp

Ac,ef 0.0313 0.0313 0.0307 0.0299 0.0293 [m2]

tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1872 0.1624 0.1420 0.1278 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 267.50 300.00 330.00 352.50 370.00 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]

xN1 0.043 0.045 0.047 0.048 0.050 [m]

xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]

ze 0.41 0.42 0.42 0.43 0.43 [m]

Nrk 140.41 145.30 150.69 156.52 162.74 [KN]

ε2 0.00094 0.00077 0.00066 0.00060 0.00056

wk 0.290 0.216 0.163 0.130 0.111 [mm]

Pcqp = 0

Ac,ef 0.0313 0.0310 0.0296 0.0283 0.0275 [m2]

tf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 [m]

ξb 0.278 0.278 0.278 0.278 0.278

srm 0.2108 0.1857 0.1566 0.1344 0.1198 [m]

Ns2 273.18 273.18 273.18 273.18 273.18 [KN]

Nb 275.00 320.00 362.50 400.00 425.00 [KN]

Ns1 262.31 262.31 262.31 262.31 262.31 [KN]

Nf 47.00 117.50 199.75 282.00 352.50 [KN]

xN1 0.043 0.046 0.049 0.052 0.054 [m]

xN2 0.042 0.035 0.028 0.024 0.021 [m]

ze 0.41 0.42 0.42 0.42 0.42 [m]

Nrk 140.55 145.74 151.52 157.87 164.45 [KN]

ε2 0.00088 0.00066 0.00052 0.00044 0.00039

wk 0.271 0.183 0.123 0.090 0.072 [mm]

ANEXO C

Comparação entre as metodologias, EC2 e Fib14, para o estudo de abertura de fendas

P0 = cp + Ψ2sc

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk



CFRP - Fib 14

CFRP - EC2

P0 = cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk



CFRP - Fib 14

CFRP - EC2

P0=0.75cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk



CFRP - Fib 14

CFRP - EC2

P0 = 0.5cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk



CFRP - Fib 14

CFRP - EC2

P0 = 0.25cp

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk



CFRP - Fib 14

CFRP - EC2

P0 = 0

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

Ar,eq/As

wk



CFRP - Fib 14

CFRP - EC2

ANEXO D

Aumentos de área a considerar para os vários acréscimo de carga de dimensionamento


A0 0.36 0.91 1.54 2.10 2.80 [cm2]

Ar,eq(0) 1.08 2.72 4.60 6.28 8.37 [cm2]

(Ar,eq/As)(0) 0.178 0.451 0.763 1.041 1.388

(Ar,eq/As) (1) 0.400 0.600 0.900 1.100 1.500

Ar,eq(1) 2.412 3.618 5.427 6.633 9.045 [cm2]

A1 0.81 1.21 1.82 2.22 3.03 [cm2]

(Ar,eq/As) (2) 0.500 0.700 1.000 1.200 1.600

Ar,eq(2) 3.015 4.221 6.03 7.236 9.648 [cm2]

A2 1.01 1.41 2.02 2.42 3.23 [cm2]

(Ar,eq/As) (3) 0.600 0.800 1.100 1.300 1.700

Ar,eq(3) 3.618 4.824 6.633 7.839 10.251 [cm2]

A3 1.21 1.61 2.22 2.62 3.43 [cm2]

(Ar,eq/As) (4) 0.700 0.900 1.200 1.400 1.800

Ar,eq(4) 4.221 5.427 7.236 8.442 10.854 [cm2]

A4 1.41 1.82 2.42 2.82 3.63 [cm2]

Chapas de aço Acréscimo de carga 10% 20% 30% 40% 50%

A0 2.00 5.00 8.50 12.00 15.00 [cm2]

Ar,eq(0) 1.08 2.70 4.59 6.48 8.10 [cm2]

(Ar,eq/As) (0) 0.179 0.448 0.762 1.075 1.344

(Ar,eq/As) (1) 0.300 0.600 0.900 1.200 1.500

Ar,eq(1) 1.809 3.618 5.427 7.236 9.045 [cm2]

A1 3.35 6.70 10.05 13.39 16.74 [cm2]

(Ar,eq/As) (2) 0.400 0.700 1.000 1.300 1.600

Ar,eq(2) 2.412 4.221 6.03 7.839 9.648 [cm2]

A2 4.46 7.81 11.16 14.51 17.86 [cm2]

(Ar,eq/As) (3) 0.500 0.800 1.100 1.400 1.700

Ar,eq(3) 3.015 4.824 6.633 8.442 10.251 [cm2]

A3 5.58 8.93 12.28 15.63 18.98 [cm2]

(Ar,eq/As) (4) 0.600 0.900 1.200 1.500 1.800

Ar,eq(4) 3.618 5.427 7.236 9.045 10.854 [cm2]

A4 6.70 10.05 13.39 16.74 20.09 [cm2]

ANEXO E

Tabelas para o estudo da relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo ,para um dado acréscimo de carga, e para as várias

cargas iniciais actuantes.

CFRP 20%

Ar,eq/As 0.451 0.600 0.700 0.800 0.900 0.75cp 0.301 0.270 0.259 0.240 0.231 0.5cp 0.292 0.260 0.248 0.228 0.219

0.25cp 0.284 0.249 0.237 0.216 0.207 0

wk

0.274 0.239 0.226 0.204 0.194

[mm]

30%

Ar,eq/As 0.763 0.900 1.000 1.100 1.200 0.75cp 0.262 0.243 0.232 0.219 0.206 0.5cp 0.251 0.231 0.219 0.206 0.192

0.25cp 0.239 0.219 0.206 0.193 0.178 0

wk

0.228 0.206 0.193 0.179 0.164

[mm]

40%

Ar,eq/As 1.041 1.100 1.200 1.300 1.400 0.75cp 0.238 0.230 0.215 0.209 0.202 0.5cp 0.225 0.216 0.201 0.194 0.188

0.25cp 0.211 0.203 0.187 0.180 0.174 0

wk

0.198 0.189 0.173 0.166 0.159

[mm]

50%

Ar,eq/As 1.388 1.500 1.600 1.700 1.800 0.75cp 0.211 0.199 0.193 0.188 0.179 0.5cp 0.197 0.184 0.179 0.173 0.164

0.25cp 0.182 0.170 0.164 0.158 0.148 0

wk

0.168 0.155 0.149 0.143 0.134

[mm]

Chapas de Aço

20%

Ar,eq/As 0.448 0.600 0.700 0.800 0.900 0.75cp 0.278 0.254 0.235 0.224 0.214 0.5cp 0.247 0.221 0.200 0.188 0.178 0.25cp 0.216 0.186 0.162 0.149 0.138

0

wk

0.183 0.149 0.123 0.110 0.098

[mm]

30%

Ar,eq/As 0.762 0.900 1.000 1.100 1.200 0.75cp 0.238 0.222 0.208 0.200 0.192 0.5cp 0.202 0.185 0.171 0.162 0.154 0.25cp 0.163 0.144 0.129 0.121 0.113

0

wk

0.123 0.104 0.089 0.081 0.074

[mm]

40%

Ar,eq/As 1.075 1.200 1.300 1.400 1.500 0.75cp 0.210 0.198 0.191 0.181 0.175 0.5cp 0.172 0.159 0.151 0.141 0.135 0.25cp 0.130 0.118 0.111 0.101 0.096

0

wk

0.090 0.078 0.071 0.063 0.058

[mm]

50%

Ar,eq/As 1.344 1.500 1.600 1.700 1.800 0.75cp 0.192 0.179 0.173 0.168 0.163 0.5cp 0.152 0.139 0.133 0.128 0.123 0.25cp 0.111 0.099 0.094 0.089 0.085

0

wk

0.072 0.061 0.057 0.053 0.049

[mm]

ANEXO F

Tabelas para o estudo da relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de reforço externo ,para um dado acréscimo de carga, e para as várias

cargas iniciais actuantes.

CFRP


A0 0.36 0.91 1.54 2.10 2.80

A1 0.81 1.21 1.82 2.22 3.03

A2 1.01 1.41 2.02 2.42 3.23

A3 1.21 1.61 2.22 2.62 3.43

A4 1.41 1.82 2.42 2.82 3.63

[cm2]

P0 = 0.75 cp

(ε2)0 0.00114 0.00114 0.00114 0.00114 0.00114

(srm)0 0.2023 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

(wk)0 0.339 0.301 0.262 0.238 0.211 [mm]

(ε2)1 0.00109 0.00111 0.00112 0.00114 0.00113

(srm)1 0.1804 0.1628 0.1440 0.1326 0.1144 [m]

(wk)1 0.290 0.270 0.243 0.230 0.199 [mm]

(ε2)2 0.00108 0.00110 0.00111 0.00112 0.00112

(srm)2 0.1711 0.1576 0.1386 0.1259 0.1118 [m]

(wk)2 0.271 0.259 0.232 0.215 0.193 [mm]

(ε2)3 0.00106 0.00108 0.00109 0.00111 0.00112

(srm)3 0.1628 0.1483 0.1326 0.1228 0.1094 [m]

(wk)3 0.255 0.240 0.219 0.209 0.188 [mm]

(ε2)4 0.00106 0.00108 0.00108 0.00111 0.00110

(srm)4 0.1576 0.1440 0.1259 0.1198 0.1049 [m]

(wk)4 0.245 0.231 0.206 0.202 0.179 [mm]

P0 = 0.5 cp

(ε2)0 0.00112 0.00110 0.00109 0.00108 0.00106

(srm)0 0.2023 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

(wk)0 0.335 0.292 0.251 0.225 0.197 [mm]

(ε2)1 0.00106 0.00107 0.00106 0.00107 0.00104

(srm)1 0.1804 0.1628 0.1440 0.1326 0.1144 [m]

(wk)1 0.282 0.260 0.231 0.216 0.184 [mm]

(ε2)2 0.00104 0.00105 0.00104 0.00104 0.00103

(srm)2 0.1711 0.1576 0.1386 0.1259 0.1118 [m]

(wk)2 0.262 0.248 0.219 0.201 0.179 [mm]

(ε2)3 0.00102 0.00103 0.00103 0.00104 0.00102

(srm)3 0.1628 0.1483 0.1326 0.1228 0.1094 [m]

(wk)3 0.245 0.228 0.206 0.194 0.173 [mm]

(ε2)4 0.00100 0.00102 0.00101 0.00103 0.00101

(srm)4 0.1576 0.1440 0.1259 0.1198 0.1049 [m]

(wk)4 0.234 0.219 0.192 0.188 0.164 [mm]

P0 = 0.25 cp

(ε2)0 0.00111 0.00107 0.00104 0.00102 0.00099

(srm)0 0.2023 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

(wk)0 0.331 0.284 0.239 0.211 0.182 [mm]

(ε2)1 0.00103 0.00103 0.00100 0.00100 0.00096

(srm)1 0.1804 0.1628 0.1440 0.1326 0.1144 [m]

(wk)1 0.274 0.249 0.219 0.203 0.170 [mm]

(ε2)2 0.00100 0.00101 0.00098 0.00097 0.00095

(srm)2 0.1711 0.1576 0.1386 0.1259 0.1118 [m]

(wk)2 0.253 0.237 0.206 0.187 0.164 [mm]

(ε2)3 0.00098 0.00098 0.00096 0.00096 0.00094

(srm)3 0.1628 0.1483 0.1326 0.1228 0.1094 [m]

(wk)3 0.234 0.216 0.193 0.180 0.158 [mm]

(ε2)4 0.00096 0.00096 0.00094 0.00095 0.00092

(srm)4 0.1576 0.1440 0.1259 0.1198 0.1049 [m]

(wk)4 0.223 0.207 0.178 0.174 0.148 [mm]

P0 = 0

(ε2)0 0.00110 0.00104 0.00099 0.00095 0.00091

(srm)0 0.2023 0.1772 0.1528 0.1362 0.1198 [m]

(wk)0 0.326 0.275 0.228 0.198 0.168 [mm]

(ε2)1 0.00100 0.00098 0.00095 0.00094 0.00088

(srm)1 0.1804 0.1628 0.1440 0.1326 0.1144 [m]

(wk)1 0.266 0.239 0.206 0.189 0.155 [mm]

(ε2)2 0.00097 0.00096 0.00092 0.00090 0.00087

(srm)2 0.1711 0.1576 0.1386 0.1259 0.1118 [m]

(wk)2 0.244 0.226 0.193 0.173 0.149 [mm]

(ε2)3 0.00094 0.00092 0.00089 0.00089 0.00085

(srm)3 0.1628 0.1483 0.1326 0.1228 0.1094 [m]

(wk)3 0.224 0.204 0.179 0.166 0.143 [mm]

(ε2)4 0.00092 0.00090 0.00086 0.00087 0.00083

(srm)4 0.1576 0.1440 0.1259 0.1198 0.1049 [m]

(wk)4 0.212 0.194 0.164 0.159 0.134 [mm]

Chapa de Aço


A0 2.00 5.00 8.50 12.00 15.00

A1 3.35 6.70 10.05 13.39 16.74

A2 4.46 7.81 11.16 14.51 17.86

A3 5.58 8.93 12.28 15.63 18.98

A4 6.70 10.05 13.39 16.74 20.09

[cm2]

P0 = 0.75 cp

(ε2)0 0.00106 0.00100 0.00095 0.00093 0.00092

(srm)0 0.2108 0.1872 0.1655 0.1483 0.1362 [m]

(wk)0 0.329 0.278 0.238 0.210 0.192 [mm]

(ε2)1 0.00100 0.00096 0.00093 0.00091 0.00090

(srm)1 0.1983 0.1772 0.1576 0.1420 0.1291 [m]

(wk)1 0.293 0.254 0.222 0.198 0.179 [mm]

(ε2)2 0.00098 0.00094 0.00091 0.00090 0.00089

(srm)2 0.1907 0.1683 0.1505 0.1380 0.1259 [m]

(wk)2 0.274 0.235 0.208 0.191 0.173 [mm]

(ε2)3 0.00095 0.00092 0.00090 0.00089 0.00089

(srm)3 0.1837 0.1628 0.1461 0.1326 0.1228 [m]

(wk)3 0.258 0.224 0.200 0.181 0.168 [mm]

(ε2)4 0.00093 0.00091 0.00090 0.00089 0.00088

(srm)4 0.1772 0.1576 0.1420 0.1291 0.1198 [m]

(wk)4 0.244 0.214 0.192 0.175 0.163 [mm]

P0 = 0.5 cp

(ε2)0 0.001 0.0009 0.00081 0.00077 0.00074

(srm)0 0.2096 0.1833 0.1649 0.1456 0.1328 [m]

(wk)0 0.310 0.247 0.202 0.172 0.152 [mm]

(ε2)1 0.00091 0.00084 0.00078 0.00074 0.00072

(srm)1 0.1984 0.1755 0.1569 0.1404 0.1248 [m]

(wk)1 0.267 0.221 0.185 0.159 0.139 [mm]

(ε2)2 0.00088 0.0008 0.00075 0.00073 0.00071

(srm)2 0.1882 0.1670 0.1504 0.1352 0.1211 [m]

(wk)2 0.245 0.200 0.171 0.151 0.133 [mm]

(ε2)3 0.00084 0.00078 0.00074 0.00071 0.0007

(srm)3 0.1819 0.1613 0.1444 0.1298 0.1182 [m]

(wk)3 0.226 0.188 0.162 0.141 0.128 [mm]

(ε2)4 0.00081 0.00075 0.00073 0.00071 0.00069

(srm)4 0.1761 0.1586 0.1393 0.1243 0.1152 [m]

(wk)4 0.211 0.178 0.154 0.135 0.123 [mm]

P0 = 0.25 cp

(ε2)0 0.00094 0.00077 0.00066 0.00060 0.00056

(srm)0 0.2108 0.1872 0.1624 0.1420 0.1278 [m]

(wk)0 0.290 0.216 0.163 0.130 0.111 [mm]

(ε2)1 0.00082 0.00071 0.00062 0.00057 0.00054

(srm)1 0.1983 0.1767 0.1530 0.1348 0.1198 [m]

(wk)1 0.240 0.186 0.144 0.118 0.099 [mm]

(ε2)2 0.00077 0.00066 0.00059 0.00056 0.00052

(srm)2 0.1907 0.1660 0.1449 0.1303 0.1165 [m]

(wk)2 0.215 0.162 0.129 0.111 0.094 [mm]

(ε2)3 0.00072 0.00063 0.00057 0.00053 0.00051

(srm)3 0.1837 0.1593 0.1395 0.1241 0.1130 [m]

(wk)3 0.194 0.149 0.121 0.101 0.089 [mm]

(ε2)4 0.00068 0.00060 0.00056 0.00052 0.00050

(srm)4 0.1772 0.1534 0.1348 0.1202 0.1099 [m]

(wk)4 0.177 0.138 0.113 0.096 0.085 [mm]

P0 = 0

(ε2)0 0.00088 0.00066 0.00052 0.00044 0.00039

(srm)0 0.2108 0.1857 0.1566 0.1344 0.1198 [m]

(wk)0 0.271 0.183 0.123 0.090 0.072 [mm]

(ε2)1 0.00073 0.00058 0.00047 0.00040 0.00036

(srm)1 0.1983 0.1720 0.1463 0.1268 0.1112 [m]

(wk)1 0.214 0.149 0.104 0.078 0.061 [mm]

(ε2)2 0.00066 0.00052 0.00043 0.00038 0.00034

(srm)2 0.1907 0.1602 0.1373 0.1219 0.1074 [m]

(wk)2 0.185 0.123 0.089 0.071 0.057 [mm]

(ε2)3 0.00060 0.00048 0.00041 0.00036 0.00033

(srm)3 0.1808 0.1532 0.1317 0.1152 0.1038 [m]

(wk)3 0.160 0.110 0.081 0.063 0.053 [mm]

(ε2)4 0.00055 0.00045 0.00039 0.00034 0.00032

(srm)4 0.1720 0.1463 0.1268 0.1112 0.1003 [m]

(wk)4 0.140 0.098 0.074 0.058 0.049 [mm]

ANEXO G

Comparação dos valores de fendilhação obtidos para os dois tipos de reforço em função do aumento da área destes

Pqp=0.75cp com acréscimo de 20% da carga de dimensionamento

0.0000.0500.1000.1500.2000.2500.3000.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.0000.0500.1000.1500.2000.2500.3000.350

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço

Pqp=0cp com acréscimo de 20% da carga de dimensionamento

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.500 1.000 1.500

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.500 1.000 1.500

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000

Ar,eq/Asw

k CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000

Ar,eq/As

wk CFRP

Chapas de Aço

REFERÊNCIAS:

[1] ACI, 1996, “State-of-the-art report on fiber reinforced plastic reinforcement for concrete

structures. ACI Report 440R-96, Detroit, Michigan, 1990.

[2] ACI Committee 318-1995. “Building code requirements for structural concrete”. ACI 318-95,

American Concrete Insitute, Detroit, Michigan, USA, 1995.

[3] Augusto Gomes, João Vinagre, 1997, “Tabelas de cálculo de betão armado e pré-esforçado”,

Setembro, 1997.

[4] Clark, A. P., 1956, “Cracking in reinforced concrete flexural members”, ACI Journal,

Proceedings, 1956.

[5] Eurocode 2, 1992, “Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1: General rules and

rules for buildings”, 1992.

[6] European structural steel standard EN 100025, 2004.

[7] F. Ceroni, M. Pecce, 2006, “Cracking behavior of RC beams externally strengthened with

emerging materials”, Agosto, 2006.

[8] fib bulletin 2, 1999, “Structural Concrete – Textbook on Behavior, Design and Performance”,

Fédération Internacionale du béton (fib), 1999.

[9] fib bulletin 14, FIB TG 9.3 FRPEBR, 2001, “Externally bonded FRP reinforcement for RC

structures”, Fédération Internacionale du béton (fib), Task Group 9.3 FRP, Julho 2001.

[10] Hollaway, L. C. and Leeming, M. B., 1990, “Strengthening of reinforced concrete structures,

using externally-bonded FRP composites in structural and civil engineering”, Wood head

Publishing, 1990.

[11] J. Bogas, “Reforço de estruturas betão armado com sistemas CFRP”, dissertação para a

obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Estruturas, Outubro 2003.

[12] Lambotte, H. and Taerwe, L., 1990, Deflection and cracking of high-strength beams and

slabs. In Proceedings of the High-Strength Concrete 2nd

International Symposium, Ed. W. T.

Hester, ACI SP-121, American Concrete Institute, Detroit, 109-128, 1990.

[13] R. A. Barnes, P. S. Baglin, G. C. Mays, N. K. Subedi, 2001, “External steel plate systems for

the shear strengthening of reinforced concrete beams”, Engineering Structures, Volume 23, Issue

9, Setembro 2001.

[14] Richard Andrew Barnes, Geoffrey Charles Mays, 2006, “Strengthening of reinforced concrete

beams in shear by the use of externally bonded steel plates” , Construction and Building

Materials, Volume 20, Issue 6, Julho 2006.

[15] Rui A. D. Simões, 2007, “Manual de dimensionamento de estruturas metálicas”, 2º Edição,

Fevereiro, 2007.

[16] S. Matthys, 2000, “Structural behavior and design of concrete members strengthened with

externally bonded FRP reinforcement”, thesis in fulfillment of the requirements for the degree of

Doctor of Applied Sciences, 2000.

[17] Stewart, R. A., 1997, “Crack widths and Cracking Characteristics of Simply Supported and

Continuous Reinforced Concrete Box Beams”, B. Eng Thesis, School of Engineering, Griffith

University, Gold Coast, Australia, 1997.

[18] Toong Khuan Chan

and Xiaoan Li, “Improving crack behavior of one-way slabs with carbon

fibre plates”.

[19] Zhang Y, Toutanji H, Balagrou P., 2003, “Crack widths in RC beams externally bonded with

CFRP sheets”. In: Proceedings of FRPRCS-6, Singapore,8–10, Julho 2003.

[20] http://www.basf-cc.com.au

[21] http://www.sika.com

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