Estudo de Análise de Risco para um Portfólio deInvestimentos num Sistema de Distribuição de Energia

Eléctrica

João Augusto Cordeiro Machado

Dissertação para a obtenção de Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Orientadores: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira eProf. Doutor Pedro Manuel Santos de Carvalho

Júri

Presidente: Prof. Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida PedroOrientador: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira

Vogal: Prof. Doutor João José Esteves Santana

Outubro de 2014

ii

Agradecimentos

Esta dissertacao marca o final de uma etapa importante da minha vida que nao seria possıvel concluir

sem a ajuda e apoio de algumas pessoas.

Em primeiro lugar gostaria de agradecer aos meus orientadores, Professor Doutor Luıs Marcelino

Ferreira e Professor Doutor Pedro Carvalho, por me terem confiado este trabalho e por me terem dei-

xado explorar o tema de forma livre e ao mesmo tempo orientada. Agradeco a sua constante dispo-

nibilidade e todos os conselhos que, ao longo destes meses, me permitiram ultrapassar impasses e

adquirir novas perspectivas sobretudo quanto ao tema da dissertacao, mas nao so.

Agradeco tambem a EDP distribuicao, em especial ao Engenheiro Silvestre Pereira e Engenheiro

Ricardo Prata pelo constante fornecimento de dados conforme as necessidades foram surgindo e pelos

conselhos sobre a utilizacao das informacoes disponibilizadas.

A minha famılia, em especial aos meus pais, que sempre se mostraram dispostos a ajudar e que me

permitiram todo este percurso academico.

A todos os meus amigos e colegas. Um agradecimento especial ao Alexandre Dias pela constante

companhia e troca de ideias e pela sua disponibilidade para ajudar a resolver qualquer problema

(pratico ou teorico), a Ines Verdelho pela disponibilizacao de dados e documentos uteis na elaboracao

da dissertacao, ao Joao Rafael pelas inumeras boleias e companhia e ao Francisco Correia da Fonseca

pelos varios conselhos dados.

A todos os que nao foram mencionados e, de forma directa ou indirecta, contribuıram para a concretizacao

deste trabalho.

iii

iv

Resumo

Esta dissertacao debruca-se sobre a analise de risco de um conjunto de projectos. Para tal, inicial-

mente, e feita uma explicacao sobre como se realiza a avaliacao economica de cada projecto individu-

almente, calculando o seu valor actual lıquido (VAL) e o seu valor sob risco (VsR).

Posteriormente, determinam-se os mesmos valores para portfolios simples, considerando que todos os

projectos sao nao correlacionados entre si, atraves de convolucoes. Com esse calculo, conclui-se que o

risco de um portfolio diminui com o aumento do numero de projectos semelhantes e que a aproximacao

da funcao densidade de probabilidade do retorno de cada projecto a uma distribuicao Normal e valida

para portfolios constituıdos por mais de 20 projectos.

Seguidamente, explica-se o efeito que a correlacao entre projectos tem no risco de um portfolio e como

isso afecta a analise de risco realizada. Verificando-se que a correlacao e um factor importante no risco

de um portfolio e que a sua aplicacao aos projectos disponibilizados pela EDP distribuicao causa alguns

problemas, explicitam-se estas dificuldades e propoe-se um metodo para calcular as correlacoes entre

projectos.

Apos aplicar esse metodo ao retorno dos projectos reais, a verificacao de que estes tem uma correlacao

nula em relacao as primitivas da incerteza testadas, tornou possıvel calcular facilmente o VAL e VsR

de qualquer portfolio. Realizaram-se algumas simulacoes sobre formas de seleccao e optimizacao de

portfolios que obedecem a condicoes personalizaveis impostas.

Palavras-chave: Analise de Risco, Projectos da Rede de Distribuicao, Correlacoes, Seleccao

de um Portfolio

v

vi

Abstract

This thesis studies the risk analysis of a group of projects. In order to do that, it begins by explaining how

to study each project individually and how to calculate their Net Present Value (NPV) and their Value at

Risk (VaR).

Posteriorly, the same values are determined for a simple portfolio of non-correlated projects through

convolutions. It can be concluded that the risk of a portfolio decreases with the increase in the number

of similar projects that constitute the portfolio and that an approximation of the probability density func-

tion of each project to a Normal distribution is valid for portfolios with more than 20 projects.

After that, the effect of correlations between projects in the return of a portfolio is explained as well

as how it affects the previous risk analysis. After verifying that the correlation is an important factor

in determining the risk of a portfolio and that its application to the projects that EDP made available is

hard, a method of dealing with these difficulties and of calculating the correlations between projects is

suggested.

Finally, the proposed method is applied to the projects and the results are shown, yielding no corre-

lation between projects with respect to the uncertainty primitives analyzed and thus allowing to easily

calculate the NPV and VaR of any portfolio through simple convolutions. The last chapter presents the

results of some simulations of ways of selecting and optimizing portfolios that obey to certain imposed

customizable conditions.

Keywords: Risk analysis, Distribution Network Projects, Correlations, Portfolio Selection

vii

viii

Conteudo

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Lista de Acronimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Introducao 1

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Organizacao do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Avaliacao Economica de um Investimento 5

2.1 Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Metodos de avaliacao economica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Avaliacao economica de um projecto de distribuicao de

energia electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Custos e Benefıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.2 Custos e Benefıcios utilizados no metodo proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Analise de risco de projectos de investimento 13

3.1 Valor Sob Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Metodo de Geracao de Cenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Caracterizacao do erro nos investimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Caracterizacao do erro no consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.3 Geracao de Cenarios e calculo do VsR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Representacao de um projecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Avaliacao de um Portfolio de Investimentos nao correlacionados 21

4.1 Convolucao de distribuicoes discretas e independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Projectos representados por Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ix

5 Avaliacao de um Portfolio de Investimentos correlacionado 29

5.1 Correlacao de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.1 Covariancia e correlacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.2 Covariancia e correlacao no contexto do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1.3 Exemplo do calculo da correlacao de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Avaliacao de portfolios com correlacao conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2.1 Risco num portfolio constituıdo por dois activos com correlacao conhecida . . . . 37

5.2.2 Efeito da correlacao numa carteira de investimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Correlacao intraclasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3.1 Correlacoes intraclasse existentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.2 Metodo de calculo da correlacao intraclasse utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.3 Aplicacao da correlacao intraclasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Optimizacao individualizada de um portfolio 47

6.1 Curvas de utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2 Aplicacao das curvas de utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Resultados obtidos e conclusoes 53

7.1 Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.1.1 Amostra utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.1.2 Possibilidade de utilizar dados diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2 Correlacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2.1 Correlacoes na divisao por DRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2.2 Correlacoes na divisao por nıvel de tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3 Optimizacao dos portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.3.1 Resultados da optimizacao do portfolio por condicoes . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.3.2 Resultados da optimizacao utilizando curvas de utilidade . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3.3 Resultado da optimizacao impondo restricoes no investimento . . . . . . . . . . . 60

7.4 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Bibliografia 64

A Projectos disponibilizados 67

A.1 Projectos DRC Norte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.2 Projectos DRC Porto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A.3 Projectos DRC Mondego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

A.4 Projectos DRC Tejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A.5 Projectos DRC Lisboa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.6 Projectos DRC Sul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B Codigo para convolucoes de projectos nao correlacionados 74

x

C Codigo para a representacao de 2 projectos correlacionados 77

D Codigo para calcular Correlacoes de Pearson 78

E Codigo para calcular Correlacoes Intraclasse 82

E.1 Correlacoes entre Nıveis de Tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

F Optimizacao de portfolios 85

F.1 Portfolio Exemplo composto po projectos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

F.2 Codigo para Optimizacao de Projectos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

xi

Lista de Tabelas

2.1 Horizonte de estudo (N ) e tempo de vida economica (T ) de projectos de investimento em

redes de AT , MT e BT [Fonte: Guia Tecnico de Planeamento de Redes de Distribuicao, 2010] . . . . . . . . 8

3.1 Caracterizacao estatıstica do erro no investimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Caracterizacao estatıstica do erro no Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Valores do erro utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Benefıcios de perdas e de Energia nao distribuıda consoante o programa do projecto . . 18

5.1 Exemplo de correlacao simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Dados sobre projectos do tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 Dados sobre projectos do tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.4 Valores do VAL verificado normalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.5 Interpretacao aceite da correlacao intraclasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.6 Fontes de variancia do modelo ICC escolhido [Fonte: Patrick E. Shrout e Joseph L. Fleiss [1979]] . . . . 44

5.7 Desvio absoluto do VAL para todos os pares de projectos possıveis . . . . . . . . . . . . 45

5.8 Fontes da variancia no exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.1 Correlacoes na divisao por DRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2 Correlacoes na divisao por Nıvel de Tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3 Resultado do exemplo de optimizacao por condicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.4 Resultado do exemplo de optimizacao por curva de utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.5 Resultado do exemplo de optimizacao por curva de utilidade com restricoes no investimento 61

A.1 DRC Norte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.2 DRC Porto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A.3 DRC Mondego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

A.4 DRC Tejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A.5 DRC Lisboa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.6 DRC Sul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

F.1 Portfolio do Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

xii

Lista de Figuras

2.1 Horizonte de Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Representacao do Valor sob Risco de um projecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Erro no Investimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Erro no consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Distribuicoes Geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5 Representacao de um projecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Resultado da convolucao entre 2 projectos iguais com V AL = 300 e V sR = 224 . . . . . 23

4.2 Resultado da convolucao entre 30 projectos iguais com V AL = 300 e V sR = 224 . . . . . 23

4.3 Aproximacao de um projecto a uma distribuicao Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Comparacao do VsR dos 2 metodos para um numero de projectos diferente . . . . . . . 26

4.5 Evolucao do Risco nos dois metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6 Comparacao dos dois metodos para a convolucao de 30 projectos por 20 ordens diferentes 28

5.1 Evolucao do Risco num Portfolio Correlacionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Correlacao nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Correlacao perfeita entre dois activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Efeito de varias correlacoes entre dois activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.5 Efeito de varias correlacoes entre dois investimentos realizados . . . . . . . . . . . . . . 40

5.6 Calculo do desvio padrao em percentagem do retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.1 Funcoes de utilidade mais comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2 Funcoes exemplo de cada um dos tipos de investidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.3 Representacoes dos portfolios A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

xiii

Nomenclatura e Lista de Acronimos

α Taxa de Crescimento

α∗ Taxa de Crescimento sob Risco

εc Erro no Consumo

εc∗ Erro no Consumo sob Risco

εi Erro no Investimento

εi∗ Erro no Investimento sob Risco

µ Media

ρ correlacao

ρij Correlacao entre dois Projectos

σ Desvio Padrao

σ2p Desvio Padrao do Portfolio

σij Covariancia entre dois Projectos

X Media da variavel X

AT Alta Tensao

BT Baixa Tensao

DRC Direccao de Redes e Clientes

EDP Energias de Portugal

END Energia nao distribuıda

MT Media Tensao

RND Rede Nacional de Distribuicao

VAL Valor Actual Lıquido

VsR Valor Sob Risco

B Benefıcio total

B∗ Benefıcio sob Risco

xiv

B/C Relacao Benefıcio-Custo

Bactualizado Soma dos Benefıcios Actualizados

BEND Benefıcio de Energia Nao Distribuıda

B∗END Benefıcio de Energia Nao Distribuıda sob Risco

BPerdas Benefıcio devido a Reducao de Perdas

B∗Perdas Benefıcio devido a Reducao de Perdas sob Risco

C Custo Total

C∗ Custo sob Risco

Cactualizado Soma dos Custos Actualizados

Corr(X,Y ) Correlacao entre X e Y

Cov(X,Y ) Covariancia entre X e Y

EPerdas Energia de Perdas

E[X] Valor Esperado da Variavel X

f.d.p. Funcao Densidade de Probabilidade

i Inflacao

I Investimento

I∗ Investimento sob Risco

Iprevisto Investimento previsto

ICC Correlacao Intraclasse

p1 Intervalo de Confianca

Pcond Potencia de Perdas nos Condutores

Pferro Perdas no Ferro

P refPerdas Potencia de Perdas de Referencia

xv

Rp Receitas do Portfolio

Rp Retorno Esperado da carteira

Tn Taxa Nominal

Tr Taxa de Actualizacao Real

U Utilidade

Ve Valorizacao da Energia

X1 Projecto 1

X2 Projecto 2

X1 Percentagem do Investimento no Projecto 1

X2 Percentagem do Investimento no Projecto 2

xvi

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Motivacao

A analise de risco e cada vez mais utilizada na avaliacao de projectos e tomada de decisoes sobre

investimentos por muitas empresas. Conhecer os factores de risco que afectam um projecto, como o

afectam e qual o seu potencial impacto financeiro (principalmente o negativo) e crucial para a tomada

de decisoes. E com base nestas informacoes, na situacao financeira de cada empresa e na sua polıtica

em relacao ao risco que se devem definir quais os projectos com maior prioridade e interesse.

Caso as empresas tenham varios projectos em carteira (como e o caso das empresas concessionarias

da rede electrica) e util relacionar o risco associado a um conjunto de projectos com o risco individual

de cada projecto. A compreensao de como factores de risco semelhantes afectam projectos diferentes,

assim como a forma como alguns projectos se complementam na mitigacao do risco conjunto facilita a

tomada de melhores decisoes.

Com a evolucao da economia a requerer cada vez mais eficiencia e metodos de analise mais preci-

sos, revela-se necessario encontrar meios que permitam realizar o estudo do risco de forma rapida e

segura. O desenvolvimento de uma metodologia de analise de risco para projectos de investimento

em redes de distribuicao de energia permite facilitar o trabalho e diminuir os recursos necessarios,

melhorando, ao mesmo tempo, a qualidade das decisoes tomadas pelos planeadores.

1

1.2 Objectivos

Esta dissertacao pretende definir uma metodologia de analise de risco para um conjunto de projectos,

propondo-se criar um metodo para obter informacao quantitativa que facilite, tanto a escolha entre di-

ferentes projectos, como as decisoes de realizacao ou nao dos mesmos. A informacao obtida deve

descrever sucintamente cada projecto ou portfolio.

Inicialmente tem-se como objectivo identificar as primitivas da incerteza que afectam o retorno dos

projectos de distribuicao de energia e definir como cada uma o influencia. Esse estudo permite, poste-

riormente, quantificar o retorno esperado de cada projecto individual.

Apos esta definicao, tenciona-se, atraves do estudo das distribuicoes de probabilidade das primitivas da

incerteza, obter o retorno esperado de cada projecto tendo em conta uma perspectiva pessimista (co-

nhecido como ”Valor sob Risco”ou “ V sR”). Este e determinado a partir da cauda esquerda da funcao

densidade de probabilidade do retorno.

Seguidamente e com maior enfase, o trabalho visa conjugar a informacao particular dos diferentes pro-

jectos e obter o risco e a valia de portfolios de projectos. Pretende-se encontrar um metodo de associar

a informacao especıfica de cada projecto, de forma simples, que seja representativa da evolucao do

risco ao realizar varios projectos em simultaneo.

Este objectivo e conseguido para duas consideracoes iniciais diferentes:

• Projectos independentes entre si

• Projectos correlacionados entre si

O segundo caso e mais complexo e requer que se calculem as correlacoes entre os varios projectos

antes de estudar o portfolio.

Pretende-se com esta analise reduzir o risco que se corre quando se agrupam muitos projectos de-

pendentes dos mesmos fatores. Pretende-se ainda verificar a existencia de correlacoes entre projectos

com uma caracterıstica diferente e representar o impacto financeiro das correlacoes num portfolio.

Finalmente, procuram-se formas de criar portfolios com caracterısticas personalizaveis. Estes portfolios

tem que ter em conta a polıtica da empresa em relacao ao risco, assim como as suas disponibilidades

e objectivos financeiros. Para tal, os portfolios devem misturar, de forma logica, projectos de diver-

sos nıveis de risco e com diferentes caracterısticas, de modo a optimizar o conjunto de projectos para

quaisquer condicoes impostas.

2

1.3 Organizacao do texto

Terminado o 1º capıtulo do qual faz parte o presente ponto, passa-se ao segundo capıtulo no qual se

analisam os metodos de avaliacao economica existentes escolhendo o mais apropriado. De seguida,

explica-se a forma como este pode ser aplicado a projectos de distribuicao de energia electrica tendo

em atencao as alteracoes necessarias devido a dificuldades em obter alguns dados.

No terceiro capıtulo introduz-se o conceito de risco e expoe-se a forma como foi realizado o estudo

deste conceito relativamente aos varios investimentos a ser analisados. Enunciam-se as primitivas da

incerteza analisadas bem como os resultados dessa analise. Posteriormente, explica-se como se apli-

caram algumas metodologias ja existentes para calcular o risco de cada projecto.

Nos tres capıtulos seguintes (4º, 5º e 6º) estuda-se a forma de como se devem escolher portfolios.

Inicialmente, no Capıtulo 4, analisa-se o efeito que a concretizacao simultanea de varios projectos

nao correlacionados tem sobre o risco de um portfolio.

No quinto capıtulo deixa de se assumir que os projectos sao nao correlacionados e explica-se o efeito

que a correlacao entre o retorno de projectos diferentes tem no seu risco e valor esperado. Segui-

damente, ainda neste capıtulo, procura-se explicar o metodo utilizado para estimar correlacoes entre

projectos de tipos diferentes (com uma caracterıstica especıfica diferente) e entre projectos do mesmo

tipo.

O sexto capıtulo tem como objectivo encontrar a melhor forma de optimizar cada portfolio consoante as

necessidades da empresa em questao. Aqui expoem-se as restricoes que sao possıveis impor assim

como o modo de as aplicar, de maneira a optimizar individualmente cada portfolio final.

Finalmente, no setimo capıtulo descreve-se e justifica-se a base de dados utilizada, composta por

252 projectos reais da EDP distribuicao, e mostram-se os resultados da aplicacao conjunta de todos

os metodos expostos. Sao executados testes com diferentes restricoes sobre o mesmo conjunto de

projectos obtendo resultados diferentes. Neste capıtulo ainda se formulam algumas conclusoes sobre

os benefıcios, as limitacoes e as possıveis melhorias ao trabalho.

3

4

Capıtulo 2

Avaliacao Economica de um

Investimento

O investimento em projectos de distribuicao de energia electrica requer uma avaliacao cuidada pois sao

investimentos de grande escala e, quando mal planeados, de graves consequencias tanto na credibili-

dade da empresa como nas suas economias, podendo mesmo causar a falencia das mesmas. Antes

de realizar um investimento e necessario nao so analisar racionalmente cada projecto individual a nıvel

economico como tambem a sua relacao com projectos alternativos ou que possam ser realizados em

simultaneo.

No entanto, as decisoes quanto a realizacao de um projecto ou portfolio em relacao a outro depen-

dem nao so do seu resultado financeiro previsto como tambem do risco que cada um contem e do grau

de aversao ao risco da empresa investidora.

De acordo com [1] existem dois tipos de criterios de rendibilidade numa avaliacao empresarial:

• Criterios de rendibilidade utilizados na analise previsional de investimentos (considerando o factor

tempo)

• Criterios de rendibilidade utilizados na analise contabilıstica da gestao ( nao considerando o factor

tempo)

Neste caso utiliza-se o primeiro criterio, escolhendo um dos varios metodos de avaliacao que tem o fac-

tor tempo em conta, pois os projectos tem ciclos de vida longos, com benefıcios distribuıdos ao longo

de varios anos.

5

Neste capıtulo explica-se o criterio do Valor Actual Lıquido (comecando pelo conceito de valor actual), a

razao pela qual foi o metodo escolhido para realizar a analise de rendibilidade e como foi aplicado aos

projectos estudados.

2.1 Valor actual

O valor real do dinheiro diminui com o tempo. Este facto prende-se ao pressuposto de que caso o

dinheiro seja recebido no presente pode ser investido (por exemplo num plano poupanca em que rende

juros) e que caso apenas seja recebido mais tarde perde as valias de possıveis investimentos.

Da mesma forma, um pagamento e considerado menor em termos de valor real se for feito mais tarde

pois e possıvel investir o montante ate ao momento do pagamento. Deste facto surge o conceito de

valor actual. O valor actual e o valor de um fluxo de tesouraria actualizado para o momento em que e

analisado (ano 0).

Em qualquer avaliacao economica de projectos em que os custos e benefıcios sao significativos e estao

distribuıdos ao longo de varios anos deve-se considerar o efeito do tempo nos montantes a considerar.

Neste tipo de analise e normal considerar como hipotese simplificativa que os fluxos de tesouraria sao

anuais. Desta forma e mais facil actualizar um determinado fluxo, recebido num ano n, para o tempo

inicial, t0, utilizando uma taxa de actualizacao real anual, TR, que reflecte a desvalorizacao considerada.

Exemplificando, para actualizar um custo Cn realizado no ano n utiliza-se:

C0 =Cn

(1 + Tr)n(2.1)

em que C0 e o valor de Cn no ano 0. Utilizando o raciocınio inverso, pode-se afirmar que um custo no

instante t0, C0, seria o equivalente a investir Cn apos n anos.

Cn = C0(1 + Tr)n (2.2)

A taxa de actualizacao anual real, TR, e a taxa em que se reflecte realmente a variacao do valor do

dinheiro no tempo. O calculo deste valor advem dos valores da taxa nominal, Tn, e da inflacao, i.

Por sua vez, a taxa nominal, Tn, e obtida com base na rentabilidade de activos financeiros de risco

identico e representa os lucros que poderiam ter sido obtidos investindo noutro projecto da mesma

area. A inflacao, i, retracta a alteracao natural do poder de compra, ou seja, o aumento geral do custo

dos bens.

6

A relacao entre estas taxas e [1] :

Tn = TR + i+ TR ∗ i (2.3)

Esta expressao e normalmente simplificada para [2]:

Tn ≈ TR + i (2.4)

2.2 Metodos de avaliacao economica

Existem varios metodos de avaliacao economica de projectos, incluindo: o metodo do Valor Actual

Lıquido (V AL), Criterio da Taxa de Rendibilidade (TIR), Criterio do Perıodo de Recuperacao (PR),

criterio do custo Anual Equivalente ou o Criterio de Decisao de investimentos de substituicao [1,3]

Neste trabalho utilizou-se o metodo do VAL de modo a conseguir comparar alternativas. De acordo

com [1], deve-se preferir este indicador quando se comparam varios projectos exigindo investimentos

semelhantes e com vidas uteis semelhantes, quando se conhece a taxa de juro de actualizacao ou a

sua escolha nao e objecto de grande controversia. E tambem, ao mesmo tempo, a melhor forma de

obter uma hierarquizacao de projectos face ao risco.

Segundo [4] , o VAL e tambem o melhor criterio existente para avaliacao de investimentos na area

de energia sendo no geral um indicador economico robusto.

Para um projecto de producao de energia electrica, o VAL e calculado atraves da diferenca entre os

benefıcios e os custos de producao actualizados ao ano de referencia [5].

Apos actualizar tanto os benefıcios como os custos e possıvel calcular o valor actual lıquido, V AL.

Este valor avalia o resultado financeiro final actualizado do projecto apos o seu ciclo de vida acabar e

com todas as despesas e receitas actualizadas para o instante considerado t0. Formalmente pode ser

descrito como:

V AL = Bactualizado − Cactualizado (2.5)

7

2.3 Avaliacao economica de um projecto de distribuicao de

energia electrica

2.3.1 Custos e Benefıcios

Num projecto de distribuicao de energia electrica os principais custos existentes sao os de investimento.

Estes sao normalmente suportados no inıcio do projecto de modo a permitir a sua construcao, enquanto

os Benefıcios sao recebidos anualmente apos a entrada das instalacoes em funcionamento. Assim po-

demos simplificar que o investimento total , I , se realiza do ano –k ate ao ano 0, e que o benefıcio total,

B, se recebe em parcelas desde o ano 0 ate ao ano N , ano em que termina a utilizacao do projecto.

A duracao dos perıodos de investimento e de funcionamento dependem do tipo de projecto realizado,

como e explicado no Guia Tecnico de Planeamento de Redes de Distribuicao [6], disponibilizado pela

EDP Distribuicao.

A tabela e a figura seguintes resumem as consideracoes feitas em relacao ao horizonte de estudo

de projectos da EDP Distribuicao.

Tabela 2.1: Horizonte de estudo (N ) e tempo de vida economica (T ) de projectos de investimento emredes de AT , MT e BT [Fonte: Guia Tecnico de Planeamento de Redes de Distribuicao, 2010]

Tipo de instalacao Horizonte de Estudo(N ) Vida Economica(T )

Distribuicao em AT

30 anos 30 anosLinhas Aereas

Cabos SubterraneosSubestacoes

Postos de Corte e Seleccionamento

Equipamentos de Contagem e Medida 10 anos 10 anos

Distribuicao em MT

30 anos 30 anosLinhas Aereas

Cabos SubterraneosSubestacoes

Postos de Corte e Seleccionamento

Equipamentos de Contagem e Medida 10 anos 10 anos

Distribuicao em BT

25 anos 25 anos

Postos de TransformacaoRedes Aereas

Redes SubterraneasChegadas Aereas

Chegadas SubterraneasIluminacao Publica

Contadores e Acessorios 10 anos 10 anos

8

Figura 2.1: Horizonte de Estudo [Fonte: Guia Tecnico de Planeamento de Redes de Distribuicao, 2010]

Apos definir os limites temporais para a analise que se pretende realizar, e necessario definir como se

quantificam as parcelas que definem o V AL – os custos e benefıcios totais.

Os custos devido a investimentos, C, sao facilmente quantificaveis, actualizados e somados. Isto deve-

se ao facto de serem dados acessıveis atraves da base de dados e de ja serem expressos em euros,

unidade que o V AL utiliza para fazer a avaliacao economica.

Os benefıcios, B , nao possuem essa caracterıstica. Os benefıcios num projecto de distribuicao de

energia electrica sao anuais e tem varias origens. Neste trabalho focam-se as duas principais parcelas

de B que influenciam a realizacao de investimentos na remodelacao da rede electrica: benefıcio obtido

atraves da poupanca em energia nao distribuıda, BEND, e benefıcio de reducao da energia de perdas,

BPerdas.

Nenhum destes factores e calculado em euros directamente (inicialmente sao valores de energia em

KWh) pelo que tem de ser posteriormente convertidos, consoante a sua valorizacao, para um valor

monetario de forma a serem comparados com os seus custos. Geralmente a energia nao distribuida,

END, e mais valorizada do que a energia de perdas, EPerdas.

9

O BPerdas advem da diferenca da energia de perdas entre a rede final e inicial. A energia de perdas

deve-se principalmente a dois fenomenos: perdas no ferro, Pferro e perdas nos conductores, Pcond. O

primeiro termo e constante com a taxa de crescimento do consumo, α, e o segundo depende quadrati-

camente. Formalmente, a EPerdas e dada por [4] :

EPerdas = Pferro + Pcond = Pferro + P refPerdas(1 + α)2 (2.6)

A END , por sua vez, estima a quantidade de energia desperdicada devido a interrupcoes no processo

de fornecimento de energia nos pontos de entrega das redes de distribuicao. Esta e definida por:

END = PmaxsincronatintLβincFC = ENDref (1 + α) (2.7)

Em que,

Pmaxsincrona : Potencia Maxima Sıncrona

tint[horas] : Tempo de interrupcao

L[km] : Comprimento

βinc [inc.km−1.ano] : Taxa de incidentes

FC : Factor de Carga

Podemos concluir a partir da equacao 2.6 que a EPerdas depende quadraticamente da taxa de cres-

cimento do consumo e da 2.7 que a END depende linearmente. Simplificando, pode-se equacionar o

benefıcio total em funcao da valorizacao da energia, Ve, para um ano n como:

B = Ve ∗ [Pferro + Pcond ∗ (1 + α)(n∗2) + END(1 + α)n] (2.8)

E importante relembrar que para n = 10, e normalmente para qualquer ano entre o ano 10 e o final do

investimento, segundo a figura 2.1 , a taxa de crescimento do consumo deve ser considerada nula.

2.3.2 Custos e Benefıcios utilizados no metodo proposto

Apesar da maior precisao, o metodo acima descrito necessita do acesso ao relatorio de planeamento de

cada projecto de modo a calcular os Benefıcios, o que seria demasiado moroso. Assim, por questoes

praticas, os valores dos benefıcios e custos de cada projecto foram calculados a partir de elementos

que se encontravam na base de dados cedida pela EDP. Apos o cruzamento de tabelas foram retiradas

as seguintes informacoes de cada projecto (anexo A):

• Nıvel de Tensao

• Direccao de Redes e Clientes (DRC)

• Investimento Previsto

• Investimento Verificado

10

• Relacao B/C Prevista

• Programa em que o projecto se enquadra

Dos dados acima mencionados apenas se utilizam, neste capıtulo, o Investimento Previsto e a Relacao

B/C Prevista de modo a calcular o V AL.

Como referido anteriormente, presume-se nesta analise que os custos do investimento sao totalmente

representados pelo investimento inicial. Ao longo deste trabalho considera-se que estes sao pagos no

ano 0, logo, nao necessitam de ser actualizados. Os custos do investimento foram retirados directa-

mente da base de dados disponibilizada pela EDP.

Dos dados analisados consegue-se tambem saber quais os benefıcios totais atraves da Relacao B/C

Prevista e tendo em conta que

Cactualizado = Iprevisto (2.9)

podemos calcular B com a seguinte equacao:

B = Iprevisto ∗B/C (2.10)

Apos obter os benefıcios e os custos podemos utilizar a expressao 2.5 para calcular o VAL de cada

projecto.

11

12

Capıtulo 3

Analise de risco de projectos de

investimento

Actualmente, o conceito de risco e utilizado diariamente na maioria das operacoes financeiras. Uma

definicao simples do risco e dada por [7] : “O risco em seu sentido fundamental, pode ser definido

como a possibilidade de prejuızos financeiros”. De acordo com [1], a incerteza que caracteriza um

investimento pode assumir diversas formas, tais como:

• Incerteza sobre mecanismos ou fenomenos – acontece principalmente em projectos inovadores

ou que dependem de condicoes naturais.

• Incerteza sobre custos de investimento e exploracao – Existe principalmente nos projectos em

que os custos sao previstos com base em projectos similares.

• Incerteza sobre procura e receitas – Verifica-se quando o mercado nao e transparente ou quando

existe insuficiencia estatıstica para uma previsao adequada destes valores.

Neste capıtulo pretende-se analisar estas incertezas inerentes a um projecto de distribuicao de energia

e verificar o seu impacto no valor sob risco de cada projecto.

3.1 Valor Sob Risco

O VsR e uma previsao pessimista do retorno do projecto que garante que o projecto tem valor superior

a si com probabilidade p1, em que p1 e o intervalo de confianca imposto (utiliza-se 95 % neste traba-

lho). A figura 3.1 representa a definicao apresentada, em que a area sombreada P ∗ = 1− p1 = 0.05 e

V sR = 15.

13

Figura 3.1: Representacao do Valor sob Risco de um projecto

Para calcular o V sR e necessario trabalhar sobre o valor do benefıcio, B e do custo, C, e reavalia-

los numa perspetiva pessimista de forma a para determinar B∗ e C∗, respectivamente. Formalmente o

V sR pode ser definido como:

V sR = B∗ − C∗ (3.1)

Como visto no Capıtulo 2 , para alem das caracterısticas especıficas imutaveis de cada projecto, B

depende apenas da taxa de crescimento e C do investimento. Deste facto pode-se concluir que B∗ e

C∗ sao o benefıcio e custo calculados utilizando a taxa de crescimento pessimista, α∗, e o investimento

pessimista, I∗, respectivamente.

Este trabalho utiliza o metodo da Geracao de Cenarios proposto e aplicado em [8], de forma a conse-

guir obter as estimativas pessimistas dos valores da taxa de crescimento e do investimento, calculando

assim o V sR de qualquer projecto.

Neste capıtulo explica-se resumidamente o metodo de calculo do V sR proposto em [8] e como foi

utilizado no script de Matlab.

3.2 Metodo de Geracao de Cenarios

O modelo de geracao de cenarios, desenvolvido inicialmente por [9], permite criar uma distribuicao dis-

creta simples que obedece a um conjunto de caracterısticas estatısticas pre-determinadas.

14

Este modelo e utilizado apos a analise estatıstica de qualquer variavel, de modo a obter uma aproximacao

da sua distribuicao de probabilidade real. A explicacao da aplicacao deste metodo por [8] foi faseada

em tres passos distintos:

• Caracterizacao do erro no investimento, εi

• Caracterizacao do erro no consumo, εc

• Geracao de cenarios e calculo do V sR

3.2.1 Caracterizacao do erro nos investimentos

A analise do erro percentual do investimento, εi, foi realizada com base nos 51 projectos de investimento

em [8]. Define-se εi como:

εi =(iv − ip)

iv(3.2)

Em que iv e o investimento verificado e ip o investimento previsto. A figura 3.2 representa os varios

erros analisados em funcao do seu investimento verificado [8].

Figura 3.2: Erro no Investimento

εi tem a caracterizacao estatıstica que se encontra na tabela 3.1:

Tabela 3.1: Caracterizacao estatıstica do erro no investimento

Valor Esperado Desvio Padrao Assimetria Curtoseεi 0,077 0,196 -0,061 2,644

15

3.2.2 Caracterizacao do erro no consumo

A analise do erro no consumo foi realizada com base nos dados sobre os consumos de 277 subestacoes

que se encontram em [8]. Define-se εc como

εc =Cv − CpCv

(3.3)

em que Cv e o consumo verificado e Cp o consumo previsto.

Considerando que o valor esperado do erro anual deve ser tendencialmente nulo para previsoes a

medio prazo, e que qualquer efeito observado sobre o valor esperado nao e estrutural mas decorre

apenas da actual conjectura de crise economica, pode desprezar-se o erro medio para descrever a

incerteza estrutural das previsoes de consumo. O resultado da anulacao do erro medio e apresentado

em 3.3 [8] .

Figura 3.3: Erro no consumo

A caracterizacao estatıstica de εc e representada pela tabela 3.2:

Tabela 3.2: Caracterizacao estatıstica do erro no Consumo

Valor Esperado Desvio Padrao Assimetria Curtoseεc 0,000 0,031 -0,572 4,860

16

3.2.3 Geracao de Cenarios e calculo do VsR

O metodo de geracao de cenarios (aplicado e explicado aprofundadamente em [8]) utilizou 27 cenarios

em que as entradas do modelo foram as caracterizacoes estatısticas dos erros do investimento e dos

erros do consumo.

O resultado da aplicacao deste metodo foram as distribuicoes da figura 3.4.

Figura 3.4: Distribuicoes Geradas

Calculando o valor do erro que proporciona uma area a sombreado de 0,2236 (95 % de confianca)

ou de 0,316 (90 % de confianca) consegue-se obter a estimativa de ε∗c e ε∗i (figuras 3.4 em baixo a

esquerda e direita, respectivamente). Estes valores advem do facto de os dois erros serem indepen-

dentes e terem de acontecer em simultaneo para que ocorra o VsR. Desta facto pode-se depreender

que a probabilidade de cada um deve ser, para um intervalo de 95 %,√

0, 05 = 0, 2236.

Os resultados obtidos foram os seguintes [8]:

Tabela 3.3: Valores do erro utilizados

Tipo de Erro Confianca 95 %εc 0,03ε∗i 0,27

17

Ainda de acordo com [8], apos ter os valores dos erros deve-se reavaliar o benefıcio para uma taxa

de crescimento α∗ dada por:

α∗ =1 + α

1 + ε∗c=

1 + α

1, 03(3.4)

e o I∗ de acordo com:

I∗ =I

1− ε∗i=

I

0, 73(3.5)

Estas equacoes sao simples e foram facilmente aplicadas no script de Matlab (anexo D) de forma a

obter I∗ a partir dos valores do investimento e α∗ a partir de α.

No entanto, para calcular B∗ foi necessario calcular (para alem de α∗) as duas parcelas que compoem

B. Para calcular BEND e Bperdas foi utilizada uma divisao dos benefıcios totais consoante o programa

em que cada projecto se enquadra. A aproximacao sobre as duas parcelas dos Benefıcios foi realizada

da seguinte forma:

Tabela 3.4: Benefıcios de perdas e de Energia nao distribuıda consoante o programa do projecto

Programa do Projecto Divisao dos Benefıcios

Automacao e Telecomando da Redes MT100% BEND 0% BperdasMelhoria da Qualidade de Servico

Sistemas Inteligentes de Supervisao e Operacao

Desenvolvimento de Rede50% BEND 50% BperdasCorrente Programavel

Recuperacao de Activos degradados

Perdas na RND 0% BEND 100% Bperdas

De seguida, considerando que a END depende linearmente da taxa de crescimento e que a EPerdas

depende quadraticamente como foi visto nas formulas 2.6 e 2.7, podemos expressar simplificadamente

BEND e BPerdas da seguinte forma:

BEND = kEND(1 + α) (3.6)

BPerdas = kPerdas(1 + α)2 (3.7)

Utilizando as expressoes acima, com os valores previstos da taxa de crescimento e das duas parcelas

dos benefıcios podemos calcular as constantes kEND e kPerdas. Utilizando as mesmas constantes e a

taxa de crescimento pessimista, α∗, conseguem-se obter os novos B∗END e B∗Perdas.

O valor de B∗ e dado por:

B∗ = B∗END +B∗Perdas (3.8)

18

3.3 Representacao de um projecto

Tendo em conta as duas medidas introduzidas anteriormente (VAL e VsR) o resultado da avaliacao de

cada projecto sera representado atraves de tres diracs e considerando uma simetria do VsR (probabili-

dade de 5 % de ocorrencia) em relacao ao VAL (probabilidade de 90 % de ocorrencia), como mostra a

figura 3.5 .

Esta representacao considera que existe uma probabilidade semelhante entre a concretizacao de um

cenario extremamente optimista e pessimista.

220 240 260 280 300 320 340 360 3800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Retorno do projecto

Pro

babi

lidad

e de

oco

rrer

ess

e re

torn

o

Representação de um projecto

Figura 3.5: Representacao de um projecto

Com base nesta representacao dos projectos adopta-se ao longo deste trabalho a seguinte definicao

de risco, tanto para projectos individuais como para portfolios de projectos:

Risco =V AL− V sR

V AL(3.9)

19

20

Capıtulo 4

Avaliacao de um Portfolio de

Investimentos nao correlacionados

Apos fazer a analise de risco para projectos individuais coloca-se o problema de trabalhar essa informacao

e expandir o estudo para um conjunto de projectos. Calcular o risco e a valia de um portfolio e um pro-

blema que necessita ser estudado pois nao e simplesmente a soma do V sR ou do V AL de cada

projecto.

Para calcular estes valores para um portfolio e necessario somar as distribuicoes de probabilidade

de todos os projectos individuais que o constituem. Esta tarefa e feita atraves da convolucao e depende

da correlacao entre as funcoes de distribuicao de probabilidade que se pretendem somar. Inicia-se

a avaliacao de portfolios pelo caso mais simples, em que os projectos nao sao correlacionados en-

tre si. Neste capıtulo explica-se como se realizam convolucoes para qualquer conjunto de variaveis

aleatorias independentes com funcoes de distribuicao de probabilidade discretas, como isso e aplicavel

a representacao de projectos apresentada em 3.3 e como e possıvel simplificar esse processo.

Posteriormente, no Capıtulo 5, analisam-se as possıveis correlacoes e convolucoes de funcoes de

densidade de probabilidade correlacionadas.

4.1 Convolucao de distribuicoes discretas e independentes

Considere-se X e Y como duas variaveis aleatorias independentes com funcoes distribuicao de proba-

bilidade m1(x) e m2(x), respectivamente. Estas funcoes de distribuicao estao definidas para todo

o x ∈ z sendo iguais a 0 quando nao estao explicitamente definidas. Considere-se tambem que

Z = X + Y , com funcao de distribuicao de probabilidade m3(x). Nas condicoes referidas, pode-se

21

afirmar que m3(x) e a convolucao de m1(x) com m2(x) e e formalmente definida por [10]:

m3(x) =

k∑i=1

m1(k) ∗m2(x− k) (4.1)

para j ∈ Z . E importante sublinhar que se pode deduzir a partir da equacao anterior que a convolucao

beneficia da propriedade comutativa e associativa [10].

De modo a clarificar o metodo de realizacao de convolucoes do tipo descrito aplica-se a equacao 4.1

a f.d.p. com tres diracs que representa um projecto com V AL = 300 e V sR = 224 (figura 3.5 ). Neste

exemplo e considerado o resultado da soma de apenas dois projectos iguais, S2, em que o primeiro e

denominado variavel X1 e o segundo variavel X2. S2 e definido formalmente como S2 = X1 + X2. A

funcao densidade de probabilidade, m, de X1 e de X2 e a mesma e e definida da seguinte forma:

m =

224 300 376

0, 05 0, 9 0, 05

Assim, podemos dizer que a funcao de distribuicao de S2 e a convolucao da funcao m consigo propria.

Aplicando a formula 4.1 conseguimos os seguintes resultados para os somatorios constituintes da

funcao de distribuicao de probabilidade de S2:

P (S2 = 2) = m(1) ∗m(1) +m(2) ∗m(0) = 0

P (S2 = 3) = m(1) ∗m(2) +m(2) ∗m(1) +m(3) ∗m(0) = 0

...

P (S2 = 448) = m(224) ∗m(224) = 0.05 ∗ 0.05 = 0.0025

P (S2 = 524) = m(224) ∗m(300) +m(300) ∗m(224) = 0.05 ∗ 0.9 ∗ 2 = 0.0900

P (S2 = 600) = m(224) ∗m(376) ∗ 2 +m(300)2 = 0.05 ∗ 0.05 ∗ 2 + 0.92 = 0.8150

P (S2 = 676) = m(300) ∗m(376) +m(376) ∗m(300) = 0.9 ∗ 0.05 + 0.05 ∗ 0.9 = 0.0900

P (S2 = 752) = m(376) ∗m(376) = 0.05 ∗ 0.05 = 0.0025

22

Figura 4.1: Resultado da convolucao entre 2 projectos iguais com V AL = 300 e V sR = 224

Caso fosse necessario calcular a distribuicao de probabilidades da soma de tres projectos seria apenas

necessario, devido a propriedade associativa a que se fez referencia anteriormente, fazer a convolucao

da distribuicao representada na figura 4.1 com m.

E visıvel na figura 4.2 que sobre quantas mais distribuicoes sao realizadas convolucoes, maior e, nor-

malmente, a quantidade de diracs resultante e a sua proximidade a uma distribuicao Normal. Tal era

expectavel pois segundo o Teorema do Limite Central ”toda a soma de variaveis aleatorias independen-

tes de media finita e variancia limitada e aproximadamente Normal, desde que o numero de termos da

soma seja suficientemente grande”.

Figura 4.2: Resultado da convolucao entre 30 projectos iguais com V AL = 300 e V sR = 224

23

4.2 Projectos representados por Normais

Em 1952, [11] publicou “Portfolio Selection” no jornal “Times Finance” explicando como se deveria re-

alizar um portfolio de investimentos e assinalando a importancia de investir diversificadamente. Mais

tarde, baseado nesse artigo e com as contribuicoes de Merton Miller e William Sharpe, acabaria por se

formar a “Modern Portfolio Theory”, que lhes valeu um premio Nobel da economia em 1990.

De acordo com esta teoria, cada projecto pode ser representado por uma distribuicao Normal em que

apenas e necessario conhecer a media e o desvio padrao. Esta hipotese e muito util pois, como se vera,

pode representar fielmente um portfolio e permite que a convolucao entre projectos seja muito rapida e

simples. Este facto e importante pois, como ficou claro, o calculo de convolucoes de funcoes discretas

e moroso, mesmo quando realizadas com um bom algoritmo, o que causa problemas na analise de

multiplas opcoes de portfolios. De modo a simplificar e tendo em conta a tendencia do portfolio se

aproximar de uma distribuicao Normal com o aumento do numero de projectos que o compoem, foram

realizados testes sobre a diferenca do risco calculado entre o metodo de convolucoes de distribuicoes

discretas e da aproximacao de cada projecto a distribuicao Normal (metodo de Markowitz).

Para realizar esta aproximacao foi necessario relacionar os parametros que definem uma distribuicao

Normal (media, µ, e desvio padrao, σ ) com o VAL e VsR. A relacao utilizada foi a seguinte:

µ = V AL (4.2)

σi =

√√√√ n∑i=1

pi(xi − u)2 (4.3)

Que no caso das distribuicoes apresentadas fica:

σi =√

2(V AL− V sR)2 ∗ 0.05 (4.4)

No caso do projecto apresentado anteriormente e utilizando as equacoes 4.2 e 4.4 a aproximacao a

distribuicao Normal do projecto tipo e definida por µ = 300 , σi = 24 e representada do lado direito na

figura 4.3.

24

Figura 4.3: Representacao da funcao densidade de probabilidade apos aproximacao a Normal do pro-jecto da esquerda (que tem V AL = 300 e V sR = 224). A distribuicao Normal tem µ = 300 , σi = 24.

Apos converter os projectos para o novo formato e apenas necessario realizar convolucoes de distribuicoes

Normais para conseguir avaliar um portfolio constituıdo por projectos nao correlacionados. Apesar da

nova representacao ser uma funcao continua e a convolucao deste tipo de funcoes ser tipicamente

complexa, neste caso basta utilizar as propriedades das distribuicoes Normais. A convolucao de x

distribuicoes normais nao correlacionadas e uma nova distribuicao normal definida por:

µp =

x∑i=1

µi (4.5)

σp =

√√√√ x∑i=1

σ2i (4.6)

Onde µp e σp sao a media e o desvio padrao da distribuicao Normal resultante e µi e σi sao a media e

desvio padrao de cada projecto que compoe o portfolio.

Apos realizar a convolucao da forma indicada volta-se a representar o portfolio atraves do seu V AL

e V sR. Mais uma vez o V AL permanece igual a media da distribuicao e o V sR e a abcissa cujo

integral da funcao densidade de probabilidade desde −∞ ate si tem como resultado 0.05, ou seja:

0.05 =

∫ V sR

−∞f.d.p.(retorno) (4.7)

o que numa distribuicao Normal e dado por:

V sRi = V ALi − 1, 644 ∗ σi (4.8)

25

Este metodo de calcular o VsR de um portfolio simplifica significativamente o calculo das convolucoes,

tanto no caso descrito como nos casos analisados mais a frente em que as distribuicoes sao correlaci-

onadas. Para o ensaio realizado em Matlab para 30 projectos iguais esta simplificacao foi cerca de 81

vezes mais rapida do que a convolucao das distribuicoes discretas (de 20.37s para 0.25s).

No que toca a precisao a aproximacao a Normal obtem valores de VsR e Risco semelhantes a distribuicao

discreta desde que o portfolio seja constituıdo por um numero de projectos elevado. Caso os projectos

sejam todos iguais (ou na mesma ordem de grandeza) sao apenas necessarios cerca de 20 projectos

para que o VsR dos dois metodos seja semelhante, como e possıvel ver na figura 4.4 (codigo de Matlab

no anexo B).

Nessa figura podemos comparar os resultados dos dois metodos para dois casos em que o portfolio

tem um numero de projectos diferente. E possıvel observar que com o aumento do numero de projec-

tos a funcao Normal cumulativa quase intersecta o VsR da distribuicao discreta. Como o VAL dos dois

metodos e igual e facilmente deduzıvel que tambem o Risco (definido matematicamente em 3.9 ), para

portfolios constituıdos por mais de 20 projectos semelhantes e independentes, e muito semelhante nos

dois metodos (figura 4.5).

1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 22000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Retorno do Portfólio

Pro

babi

lidad

e

Convolução de 6 projectos pelos 2 métodos

Distribuição discretaDistribuição Normal cumulativaVsR na Distribuição Discreta

(a) Convolucao de 6 projectos pelos 2 metodos

4500 5000 5500 6000 6500 7000 75000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pro

babi

lidad

e

Retorno do Portfólio

Convolução de 20 projectos pelos 2 métodos

(b) Convolucao de 20 projectos pelos 2 metodos

Figura 4.4: Comparacao do VsR dos 2 metodos para um numero de projectos diferente

26

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

Número de projectos iguais

Ris

co [%

VA

L]

Evolução do risco para 30 projectos iguais pelos 2 métodos

Método de MarkowitzDistribuição discreta

Figura 4.5: Evolucao do Risco nos dois metodos

No entanto, quanto mais os projectos sao diferentes entre si mais projectos sao necessarios ate obter

uma aproximacao adequada. Foram tambem realizados testes para a mesma aproximacao a Normal

para 30 projectos de diferentes dimensoes. O VAL do maior projecto testado foi cerca de 7 vezes maior

do que o do menor e foram testadas 20 ordens diferentes para a realizacao das convolucoes. Neste

caso denota-se tambem, apesar de mais reduzida (como previsto), uma aproximacao dos valores do

Risco entre os dois metodos.

E importante reparar que no caso de projectos todos iguais a aproximacao a Normal e ligeiramente

optimista (calculando um risco geralmente inferior ao da distribuicao real) mas que no caso dos pro-

jectos diferentes acontece o contrario, como se pode observar na figura 4.6. Deve-se considerar entao

para efeitos praticos que a aproximacao a distribuicao Normal e pessimista (obtem um valor de risco

superior) pois, na pratica, os projectos reais sao mais semelhantes a este caso.

27

Figura 4.6: Comparacao dos dois metodos para a convolucao de 30 projectos por 20 ordens diferentes

28

Capıtulo 5

Avaliacao de um Portfolio de

Investimentos correlacionado

Neste capıtulo estuda-se como se pode avaliar o risco em portfolios correlacionados. Os portfolios reais

sao normalmente correlacionados pois os investimentos tem, por exemplo, uma parcela do seu risco

associada a economia do paıs. Por ser uma situacao comum e importante existe bastante investigacao

neste topico. Apesar de alguns estudos mais recentes (Post-Modern Portfolio Theory [12] ) defenderem

a representacao de investimentos por distribuicoes semi-Normais, na maioria dos estudos [7], assim

como ao longo deste capıtulo, as avaliacoes de portfolios reais continuam a assumir que cada investi-

mento e representado por uma distribuicao normal – como de acordo com o modelo de Markowitz [11].

1 50Número de projectos

Ris

co d

o P

ortfó

lio

Evolução do risco num portfólio correlacionado

RiscoDiversificável

RiscoSistemático

RiscoTotal

Figura 5.1: Evolucao do Risco num Portfolio Correlacionado

29

Segundo [13], o risco total de uma carteira de investimentos pode ser dividido em duas componentes:

risco diversificavel e risco nao diversificavel. A primeira corresponde ao efeito das variancias individuais

dos ativos e foi estudada no Capıtulo 2 atraves do calculo do VsR. A segunda – o risco nao diversificavel

(ou sistematico) - corresponde ao efeito das covariancias entre os ativos que constituem o portfolio.

Como visto no caso em que os projectos nao sao correlacionados, o risco total do portfolio diminui

com o aumento do numero de projectos nao perfeitamente correlacionados. Isto acontece devido a

reducao do impacto das variancias individuais no risco total da carteira (fig. 4.1). Por outro lado, o risco

associado as covariancias nao e passıvel de diversificacao. Deste facto pode-se deduzir que, numa

carteira constituıda por um elevado numero de activos com retornos nao perfeitamente correlaciona-

dos, o unico risco relevante e o nao diversificavel.

Neste capıtulo pretende-se realizar um estudo de como e feita a avaliacao do risco de um portfolio

real constituıdo por projectos possivelmente correlacionados. Com esse objectivo dividiu-se o capıtulo

em tres seccoes principais distintas: correlacao de Pearson, avaliacao de portfolios com correlacao

conhecida e correlacao intraclasse.

5.1 Correlacao de Pearson

5.1.1 Covariancia e correlacao

A covariancia e a quantificacao da dependencia entre duas variaveis aleatorias. Existe uma dependencia

entre variaveis aleatorias quando a ocorrencia de um acontecimento numa delas afecta a probabilidade

de um outro acontecimento na outra. Quando isto nao acontece diz-se que as variaveis sao indepen-

dentes. Formalmente, dois eventos sao independentes quando:

P (A ∩B) = P (A) ∗ P (B) (5.1)

O que significa:

P (A ∩B) = P (A)P (B)↔ P (A) =P (A ∩B)

P (B)↔ P (A) = P (A | B) (5.2)

e

P (A ∩B) = P (A)P (B)↔ P (B) = P (B | A) (5.3)

30

Nesta seccao pretende-se analisar o caso em que o resultado do primeiro acontecimento influencia

a funcao distribuicao de probabilidade do segundo. A quantificacao da dependencia entre as duas

variaveis e util pois pode ser utilizada em fins praticos para prever o comportamento de uma a partir de

dados sobre a outra.

Deve-se ainda mencionar que existem varias formas para a correlacao, dependendo do tipo de de-

pendencia entre as duas variaveis aleatorias. O coeficiente de correlacao mais utilizado e o de Pearson

e e calculado normalizando a covariancia. Tanto esta correlacao como a covariancia medem a intensi-

dade com que uma variavel depende linearmente de outra.

A covariancia para informacao emparelhada e geralmente expressa pela seguinte equacao:

Cov(X,Y ) = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])]↔ Cov(X,Y ) =1

N − 1

N∑i=1

(xi − x)(yi − y) (5.4)

O termo 1N−1 e substituıdo por 1/N se o valor esperado de x e y for conhecido. Quando este nao o e,

as medias aritmeticas x e y sao a melhor aproximacao e necessitam do fator de compensacao 1N−1 .

Quando a amostra tende para infinito este termo e aproximadamente igual a 1/N .

Ao caso especıfico da covariancia da variavel x consigo propria chama-se variancia, V ar(x), e e o

quadrado do desvio padrao, σx

Cov(X,X) =1

N − 1

N∑i=1

(xi − E[X])(xi − E[X]) =1

N − 1

N∑i=1

(xi − E[X])2 = σx = V ar(X) (5.5)

Finalmente, como referido anteriormente, a correlacao de Pearson e a covariancia normalizada em

relacao aos desvios padrao de x e y e logo e dada por:

Corr(X,Y ) =Cov(X,Y )

σx ∗ σy(5.6)

Utiliza-se geralmente a correlacao em detrimento da covariancia na analise de investimentos por tres

principais razoes:

• Nao varia com transformacoes lineares (por exemplo, mudancas de unidade)

• Da uma ideia mais facilmente compreensıvel da relacao entre as duas variaveis porque varia

sempre apenas de -1 a 1.

• A forca da relacao e facilmente perceptıvel atraves da proximidade do valor dos extremos referi-

dos.

A tıtulo exemplificativo apresenta-se um caso simples do calculo da correlacao de Pearson entre a

temperatura media de diferentes meses e a receita em gelados correspondente. E de realcar que neste

caso a informacao esta emparelhada, cada par (temperatura, receita) e referente a um mes do ano.

31

Tabela 5.1: Exemplo de correlacao simples

Temperatura C Receita em gelados14,2 $ 21516,4 $ 32511.9 $ 18515.2 $ 33218.5 $ 40622.1 $ 52219.4 $ 41225.1 $ 61423.4 $ 54418.1 $ 42122.6 $ 44517.2 $ 408

Considerando X a temperatura media num mes e Y a receita em gelados nesse mes temos, aplicando

as equacoes 5.4, 5.5 e 5.6 obtemos:

x = 18, 675

y = 402, 675

Cov(x, y) = 443, 75

V ar(x) = 14, 7485

V ar(y) = 14563

σx = 3, 8404

σy = 120, 6769

Corr(x, y) = 443,753,8405∗120,6769 = 0, 9575

Podemos desta forma concluir que as vendas de gelados estao muito correlacionadas com a tempera-

tura nesse mes apesar de apenas conseguir saber a razao pela qual isso acontece intuitivamente (mais

calor leva a maior necessidade de refrescar).

No entanto, este tipo de correlacao tem limitacoes na sua aplicacao a avaliacao de portfolios. Nas

seccoes seguintes aborda-se a razao pela qual nao se pode aplicar directamente o conceito de co-

variancia e como se ultrapassa esse o problema.

5.1.2 Covariancia e correlacao no contexto do problema

A avaliacao de um portfolio necessita dos valores das correlacoes entre todos os projectos que o pos-

sam constituir. Para tal, e necessario analisar quais as primitivas da incerteza, partilhadas por varios

projectos, que podem causar variacoes no retorno dos mesmos. Para abordar este problema foi desen-

volvido um metodo para analisar individualmente qualquer primitiva da incerteza sobre a qual existam

dados.

32

Este metodo consiste em identificar a caracterıstica que se pretende estudar e dividir os projectos em

dois grupos consoante o parametro que se deseja investigar. Seguidamente calcula-se a correlacao

entre os VALs de cada grupo (exemplo na seccao seguinte). Este calculo e feito a partir dos valores do

VAL pois este tem inerente o impacto da taxa de crescimento (atraves da parcela dos benefıcios) e do

investimento (custos).

As tabelas 5.2 e 5.3 demonstram a forma tipo de como os dados foram armazenados no programa.

Em cada uma das tabelas estao projectos de tipos diferentes, de acordo com a caracterıstica que se

pretende analisar.

Tabela 5.2: Dados sobre projectos do tipo 1

V sRxprevisto V ALxprevisto 2V ALxprevisto − V sRxprevisto V ALxverificado

2 4 6 51 3 5 51 5 9 8

Tabela 5.3: Dados sobre projectos do tipo 2

V sRyprevisto V ALyprevisto 2V ALyprevisto − V sRyprevisto V ALyverificado

3 6 9 41 4 7 32 5 8 2

No entanto, esta separacao em dois grupos nao permite a aplicacao direta da definicao de covariancia

de Pearson pois os projectos nao se encontram em pares definidos. O facto de a ordem dos projectos

dentro de cada grupo ser aleatoria, juntamente com o facto de os grupos terem dimensoes diferentes

obriga a desenvolver a equacao da covariancia antes de a calcular.

Explana-se na seccao seguinte como se ultrapassa o problema da informacao nao estar emparelhada

e efectua-se um exemplo do calculo da correlacao para os projectos tipo apresentados nas tabelas 5.2

e 5.3. E de referir sobre esse conjunto de projectos que todos os do tipo 1 tiveram resultados acima do

valor esperado enquanto os do tipo 2 obtiveram retornos inferiores aos esperados. Como as tendencias

mencionadas abrangem todos os projectos de cada grupo, e possıvel observar diretamente que deve

existir uma correlacao negativa entre os dois tipos e uma positiva dentro de cada um (correlacao intra-

classe, abordada na seccao 5.3).

33

5.1.3 Exemplo do calculo da correlacao de Pearson

O metodo do calculo da correlacao para este caso comeca por desenvolver a equacao geral da co-

variancia:

Cov(X,Y ) = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] (5.7)

Onde X e Y sao os conjuntos de diferentes medicoes de projectos do tipo 1 e tipo 2, repectivamente (no

caso tipo serao os dados da quarta coluna).

Para o calculo da covariancia, considera-se que cada projecto obedece a uma funcao de distribuicao

de probabilidade definida por 3 diracs (figura 3.5 ). Tendo isto em conta, e claro que o valor esperado

de cada projecto e o seu VAL.

Desenvolvendo a equacao 5.7 obtem-se a seguinte forma da covariancia [14]:

Cov(X,Y ) =∑x

∑y

(x− µx)(y − µy)p(x, y) (5.8)

Em que µx e µy sao os valores esperados de cada medicao para cada projecto do tipo 1 e do tipo 2,

respectivamente. Ou seja, sao o “VAL previsto” de cada projecto. O termo p(x,y) e a probabilidade con-

junta de x e y, ou seja a probabilidade prevista deste par de medicoes acontecer. A funcao distribuicao

de probabilidade conjunta de qualquer par tem o mesmo valor pois considera-se que qualquer par de

diferenca entre resultado verificado e previsto tem a mesma probabilidade de representar a correlacao

entre os dois tipos.

Utilizando a distribuicao de probabilidade conjunta uniforme para todos os pares (x,y), sendo N o

numero de projectos do tipo 1 e M o numero de projectos do tipo 2 pode-se simplificar a equacao

5.8 para:

Cov(x, y) =1

M ∗N∑x

∑y

(x− µx)(y − µy) (5.9)

Para o caso exemplificativo representado pelas tabelas 5.2 e 5.3, aplicando a equacao 5.9 e expandindo

os dois somatorios a Cov(x,y) fica:

Cov(X,Y ) =1

M ∗N[(x1 − µx1)(y1 − µy1)) + (x1 − µx1)(y2 − µy2) + (x1 − µx1)(y3 − µy3)

+(x2 − µx2)(y1 − µy1) + (x2 − µx2)(y2 − µy2) + (x2 − µx2)(y3 − µy3)

+(x3 − µx3)(y1 − µy1) + (x3 − µx3)(y2 − µy2) + (x3 − µx3)(y3 − µy3)]

(5.10)

↔ Cov(X,Y ) = −4

34

Em que:

xi = V ALxV erificadoi

yi = V ALyV erificadoi

µxi = V ALxPrevistoi

µyi = V ALyPrevistoi

E interessante observar que o somatorio da formula 5.10 e constituıdo por 9 termos de forma a constituir

todas as combinacoes possıveis entre projectos de dois tipos diferentes. Pode-se tambem facilmente

concluir a partir desse facto e da observacao do exemplo que a ordem em que os projectos aparecem

na tabela e indiferente para o resultado da covariancia. E finalmente de realcar que esta aplicacao

da covariancia e tambem ajustavel a grupos de diferentes dimensoes e portanto extensıvel a qualquer

divisao de projectos.

Estas propriedades permitem que possam ser analisadas diferentes primitivas da incerteza, sendo

apenas necessario modificar a divisao dos projectos em dois grupos, consoante a nova primitiva da

incerteza a avaliar.

E possıvel provar algebricamente que se consegue o mesmo valor de covariancia utilizando as diferencas

de cada projecto em relacao ao seu VAL, ou as diferencas de cada projecto em relacao a media de to-

dos os VALs de projectos do seu tipo.

Finalmente, apos obter a covariancia, tem de se calcular a correlacao. Para a obter basta utilizar a

equacao 5.6 em que o desvio padrao de x e de y sao dados pela raiz da sua variancia que esta definida

matematicamente na equacao 5.5

Para o exemplo, a aplicacao destas equacoes toma a seguinte forma:

σ1 =

√1

3[(5− 4)2 + (5− 3)2 + (8− 5)2] = 2, 1602

σ2 =

√1

3[(4− 6)2 + (3− 4)2 + (2− 5)2] = 2, 1602

corr =cov(X,Y )

σ1σ2= −0, 8572

Deve ainda referir-se que este metodo estima a covariancia sem considerar o V sR dos projectos, dando

apenas importancia ao desvio absoluto de cada projecto em relacao ao seu valor esperado. Apesar do

V sR nao ter peso no metodo de calculo da covariancia apresentado, este continua a ter peso posteri-

ormente nos resultados do portfolio atraves da parcela relativa ao risco individual – risco diversificavel

do portfolio.

35

Caso se pretenda calcular a covariancia tendo em conta o V sR de cada projecto pode-se conside-

rar que todos os projectos sao descritos por uma distribuicao Normal(0,1). Seguidamente podem-se

normalizar os valores do V AL verificado de acordo com o desvio padrao de cada projecto (que e dado

pelo seu V sR atraves da equacao 4.4) da seguinte forma:

V ALNormalizadoV erificado =V ALV erificado − V ALPrevisto√

2(V ALPrevisto − V sRPrevisto)2 ∗ 0, 05(5.11)

=V ALV erificado − V ALPrevisto

σi

Apos a normalizacao dos projectos segundo 5.11 as tabelas 5.2 e 5.3 podem ser reescritas como

representado na tabela 5.4. A covariancia e correlacao calculadas a partir desta tabela tem em conta

tanto o desvio em relacao ao valor esperado como em relacao ao VsR de cada projecto.

Tabela 5.4: Valores do VAL verificado normalizados

Tipo 1 Tipo 2VAL Previsto VAL Verificado VAL Previsto VAL Verificado

0 1,5811 0 -2.10820 3,1623 0 -1,05410 2,3727 0 -3,1623

Aplicando o mesmo metodo, a correlacao entre estes dois tipos de projectos altera-se para:

Cov(X,Y ) = 19 [(1, 5811− 0))(−2, 1082− 0)) + (1, 5811− 0))(−1, 0541− 0) + (1, 5811− 0))(−3, 1623− 0)

+(3, 1623− 0))(−2, 1082− 0) + (3, 1623− 0))(−1, 0541− 0) + (3, 1623− 0))(−3, 1623− 0)

+(2, 3727− 0))(−2, 1082− 0) + (2, 3727− 0))(−1, 0541− 0) + (2, 3727− 0))(−3, 1623− 0)]

↔ Cov(X,Y ) = −5, 0007

σ1 =

√1

3[(1.5811)2 + (3.1623)2 + (2.3727)2] = 2, 4593

σ2 =

√1

3[(−2.1082)2 + (−1.0541)2 + (−3.1623)2] = 2, 2771

corr =cov(X,Y )

σ1σ2= −0, 8933

Ao utilizar mais informacao consegue-se um resultado diferente, apesar de parecido, para a correlacao.

Neste caso o seu valor e um pouco mais elevado pois tantos os valores esperados como os desvios

sao de grandezas semelhantes em todos os projectos.

36

5.2 Avaliacao de portfolios com correlacao conhecida

5.2.1 Risco num portfolio constituıdo por dois activos com correlacao conhe-

cida

Inicia-se o estudo da avaliacao de portfolios com correlacoes conhecidas pelo caso mais simples: um

portfolio constituıdo por apenas dois projectos tendo como base o modelo proposto por Markowitz. De

acordo com [15], o risco de uma carteira (definido neste metodo como desvio padrao) “e igual ao valor

esperado dos quadrados dos desvios do retorno da carteira em relacao ao retorno medio da carteira”.

Formalmente esta afirmacao traduz-se na seguinte igualdade:

σ2p = E(Rp − Rp)2 (5.12)

Em que σ2p e o desvio padrao da carteira, Rp e o retorno verificado da carteira e Rp o retorno medio da

carteira. Seguidamente definem-se formalmente as variaveis Rp e Rp para a carteira de dois ativos de

forma a expandir a equacao inicial:

Rp = X1R1 +X2R2 (5.13)

Rp = X1R1 +X2R2 (5.14)

Sendo X1 e X2 as percentagens do investimento total no ativo 1 e 2, respectivamente. No entanto, as

definicoes de Rp e Rp mencionadas tem de ser refeitas para o contexto do problema que se pretende

estudar. Para o caso que se pretende analisar cada projecto requer um montante fixo de investimento

e oferece um determinado valor esperado de risco e de retorno. A unica decisao a fazer e em investir

totalmente ou nao investir. Isto provoca as seguintes alteracoes na analise do portfolio em que se

investiu em ambos os projectos:

Rp = R1 +R2 (5.15)

Rp = R1 + R2 (5.16)

Subsequentemente a substituicao e o desenvolvimento da equacao inicial 5.12 e adaptada tomando a

seguinte forma:

σ2p = E[(R1 +R2)− (R1 + R2)]2

σ2p = E[(R1 − R1) + (R2 − R2)]2

σ2p = E[(R1 − R1)2 + 2(R1 − R1)(R2 − R2) + (R2 − R2)2]

σ2p = σ2

1 + E[2(R1 − R1)(R2 − R2)] + σ22

σ2p = σ2

1 + 2σ12 + σ22 (5.17)

A equacao 5.17 explicita o metodo para determinar o desvio padrao da Normal resultante de uma

convolucao entre projectos correlacionados definidos por distribuicoes Normais. Como e possıvel ob-

servar, o desvio padrao do portfolio varia com o desvio padrao individual de cada ativo, σ1 e σ2, e com

a correlacao entre os ativos, σ12 . A media da Normal do portfolio e, como visto anteriormente, a soma

37

dos valores esperados dos dois projectos que constituem o portfolio. E de realcar que, como esperado,

no caso em que σ12 = 0, obtem-se a equacao 4.6 que foi utilizada para realizar as convolucoes dos

projectos representados por distribuicoes Normais na avaliacao de portfolios constituıdos por projectos

independentes.

5.2.2 Efeito da correlacao numa carteira de investimentos

Nesta seccao analisa-se o impacto da parcela do desvio padrao constituıda pelo efeito da covariancia

entre os projectos (ja se concluiu que a outra parcela - o risco diversificavel- diminui com o aumento

do numero de ativos). Podemos observar atraves da equacao 5.17, que quando a correlacao entre

projectos e negativa o desvio padrao diminuı. Isto e tambem intuitivo pois, quando o retorno de um

projecto e superior ao seu valor esperado o do outro e inferior, compensando assim a variacao total do

portfolio.

Este fenomeno e facilmente perceptıvel na figura 5.2 onde esta representado um portfolio constituıdo

por 2 ativos iguais com correlacao negativa perfeita (-1). Neste exemplo academico o desvio padrao do

portfolio resultante e 0 (Risco nulo), sendo o seu retorno sempre igual ao valor esperado.

Figura 5.2: Exemplo em que a correlacao negativa perfeita entre 2 projectos iguais resulta em risco nulo

No entanto, na realidade, os investimentos e as correlacoes nao sao iguais e perfeitos sendo por isso

quase impossıvel obter um investimento de risco nulo. Seguidamente investiga-se a evolucao do risco

para diferentes correlacoes entre dois activos. Para uma carteira em que Rp e Rp sao definidos se-

gundo 5.13 e 5.14, em que se pode investir em fracoes de cada investimento, o desvio padrao e o risco

variam de acordo com o aumento da percentagem de investimento no ativo 1 da seguinte forma [15]:

σp =√X2

1σ21 + (1−X1)2σ2

2 + 2X1(1−X1)ρ12σ1σ2 (5.18)

38

A correlacao perfeita (1) e o unico caso em que para qualquer proporcao entre os activos, a diversificacao

nao melhora a razao Risco/Retorno do portfolio em relacao aos investimentos individuais (apesar de

tambem nao piorar, linha vermelha da figura 5.3). Investindo na totalidade no activo 1 (X1 = 1) ou no

activo 2 (X1 = 0) obtemos o ponto ‘X ′ ou o ponto ‘O′, respectivamente.

Figura 5.3: Retorno e Risco em funcao da percentagem de investimento em X1 para correlacao 1 e -1

Podemos observar na figura 5.4 que para outros valores da correlacao (diferente de 1) a diversificacao

melhora a relacao entre o risco e o retorno.

Figura 5.4: Retorno e Risco em funcao da % de investimento em X1 para diferentes correlacoes

39

E de realcar que existem pares de valores de percentagem de investimento em cada activo que melho-

ram mais a relacao Risco/Retorno do que outros, apesar de todos o fazerem. Deve-se ainda sublinhar

que quanto mais proximo de -1 for a correlacao mais importante e a diversificacao, sendo mesmo teo-

ricamente possıvel atingir um risco nulo.

No entanto, para o caso especifico em que nao podemos investir em fracoes de projectos, cada con-

junto de 2 projectos passa a ter apenas tres opcoes – constituıdo apenas pelo investimento 1, apenas

pelo investimento 2 ou por ambos. A figura 5.5 adaptada a esta realidade passa a ser constituıda por

pontos em vez de rectas que representam as diferentes alternativas da soma dos dois projectos para

diferentes correlacoes

Figura 5.5: Portfolios possıveis constituıdos por X1 e X2 com diferentes correlacoes

Os valores do desvio padrao podem ser calculados a partir da equacao 5.17 e convertidos para per-

centagem do retorno dividindo por 1.4.

40

Figura 5.6: Calculo do desvio padrao consoante a correlacao e considerando X1=35,71%

E ainda de grande importancia para este trabalho generalizar a analise para portfolios mais complexos,

constituıdos por qualquer numero de projectos. A equacao 5.18 generalizada e dada por [13]:

σ2p =

N∑i=1

X2i σ

2i +

N∑i

M∑j

XiXjσi,j (5.19)

para j 6= i.No caso especifico em mao e adaptada para a expressao:

σ2p =

N∑i=1

σ2i +

N∑i

M∑j

σi,j (5.20)

Contudo, para a utilizacao deste metodo de calcular a variancia de um portfolio tem de se elaborar uma

matriz de covariancias composta pelas covariancias entre todos os projectos envolvidos no portfolio.

Na seccao 5.1 abordou-se um metodo para calcular a correlacao entre projectos de grupos diferentes.

Na seccao seguinte explica-se a definicao e o metodo de calculo das correlacoes entre projectos do

mesmo tipo – correlacoes intraclasse.

41

5.3 Correlacao intraclasse

A correlacao intraclasse e normalmente considerada como uma medida de fiabilidade de uma avaliacao

ou como medida da magnitude de um efeito em determinada experiencia. No entanto tambem e igual-

mente importante no calculo da correlacao entre pares ou grupos de observacoes que nao tem uma

ordem especıfica. Simplificadamente, e utilizada para quantificar a fiabilidade de uma determinada

forma de agrupar os dados, determinando uma correlacao entre dados agrupados na mesma categoria.

O exemplo mais comum para explicar a sua necessidade e o calculo de correlacoes entre alturas

de casais [16]. Quando os casais sob estudo sao heterossexuais e facilmente aplicavel o conceito de

correlacao de Pearson, contudo, quando nao sao, tal nao acontece. E impossıvel dividir a informacao de

casais do mesmo sexo em duas colunas e obter uma correlacao de Pearson fiavel pois basta qualquer

dos pares ser introduzido noutra ordem e o resultado e diferente. Deste problema surge a necessidade

da intracorrelacao, que estima a correlacao entre variaveis pertencentes a um grupo e indistinguıveis

entre si.

Esta definicao aplica-se na perfeicao ao caso em analise exposto anteriormente. Apos a divisao dos

projectos em dois grupos eles sao indistinguıveis entre si e nao tem qualquer ordem obrigatoria dentro

do grupo. No entanto, continua a poder existir uma (intra)correlacao entre eles. O calculo deste valor

permite preencher a matriz das correlacoes entre projectos do mesmo grupo.

Tipicamente, a intracorrelacao e uma razao entre a variancia relevante e a soma da variancia rele-

vante com o erro. De acordo com o artigo mais citado sobre o topico [17], existem varias versoes para

o calculo da intracorrelacao e a versao correcta depende da situacao que se esta a analisar. Neste

capıtulo explicam-se resumidamente as situacoes em que cada uma das 6 versoes da intracorrelacao

devem ser utilizadas, explicado mais pormenorizadamente a versao que se adapta ao problema e que

se utiliza para obter correlacoes entre projectos do mesmo tipo.

E interessante ainda sublinhar que geralmente, para qualquer tipo de correlacao intraclasse, os re-

sultados podem ser interpretados de acordo com a seguinte tabela [18] :

Tabela 5.5: Interpretacao aceite da correlacao intraclasse

Valor do coeficiente de Correlacao Forca da Correlacao

0 Zero0,1-0,3 Fraca0,4-0,6 Moderada0,7-0,9 Forte

1 Perfeita

42

5.3.1 Correlacoes intraclasse existentes

Existem 6 tipos de correlacoes intraclasse. De acordo com [17], o primeiro passo para distinguir qual o

tipo a utilizar e qualificar a situacao que se esta a estudar num dos 3 casos tipo seguidamente expostos.

Para qualquer dos casos existem s “sujeitos” que sao avaliados independentemente por k “juızes”.

1. Cada sujeito, s, e avaliado por um conjunto diferente de juızes selecionado aleatoriamente de um

conjunto maior de juızes. Seria utilizado este caso, por exemplo, quando investigadores diferen-

tes medem alturas de criancas em que cada medicao e feita por uma equipa de investigadores

diferente, num local diferente. A informacao e apenas compilada no final.

2. E escolhida uma amostra de r juızes de uma populacao de juızes e cada um avalia cada um dos

sujeitos. Ou seja cada juiz avalia s sujeitos. Esta situacao e a que mais ocorre pois e o caso

em que a mesma equipa de investigadores, escolhida de um grande conjunto de investigadores

possıvel realiza todas as medicoes.

3. Cada sujeito e avaliado por cada um dos mesmos r juızes, que sao os unicos relevantes.

Cada caso tem de ser definido por um modelo matematico diferente. Cada modelo especifica a

decomposicao de uma avaliacao feita pelo juiz i sobre o sujeito j tendo varios efeitos em conta. Dentro

desses efeitos encontram-se o facto de ser o juiz i, o facto de ser o sujeito j, a interacao geral entre juiz

e sujeito, o nıvel normal das avaliacoes e a componente aleatoria do erro. Os efeitos que podem ser

estimados e como o sao variam consoante o caso escolhido [17].

Apos situar o problema numa das situacoes acima descritas e necessario verificar se cada medicao

advem de apenas uma medicao (single) ou se e a media de varias (mean) pois o primeiro metodo tem

um erro associado maior a cada valor obtido. Um exemplo simples de como se qualificam os valores

obtidos como “mean” seria se os resultados de cada medicao fossem obtidos atraves da media de uma

equipa de investigadores em vez de por apenas um.

A distincao entre “mean” ou “single”, apos a qualificacao entre as 3 situacoes tipo referidas, cria o

total das 6 intracorrelacoes possıveis: ICC(a, b), em que a pode ser qualquer um dos 3 casos descritos

e b pode ser “single” ou “mean”.

5.3.2 Metodo de calculo da correlacao intraclasse utilizado

Admite-se neste trabalho que cada medicao foi realizada em condicoes diferentes e por avaliadores

diferentes, como descrito no caso 1. E tambem claro que se qualifica este caso como “single” visto

cada valor nao ser deduzido a partir de qualquer media entre VALs. Pode-se desta forma concluir que

o metodo da intracorrelacao utilizado para analisar cada divisao dos projectos foi o ICC(1, single).

43

Neste caso da correlacao intraclasse, os efeitos provenientes do facto de ser o juiz k, da interacao

entre juiz e sujeito e o erro aleatorio sao inseparaveis. Assim, sendo xij a avaliacao i sobre o sujeito j,

pode-se assumir o seguinte modelo [17]:

xij = µ+ bj + wij (5.21)

Nesta equacao a componente µ e a media da populacao total de avaliacoes, bj e a media sobre varias

avaliacoes repetidas sobre o sujeito j e wij e a componente residual igual a soma dos efeitos inse-

paraveis mencionados. Assume-se que o termo bj varia segundo uma Normal de media 0 e variancia

σT 2 e que e independente das outras componentes do modelo. Tambem se assume que o termo wij e

independente e que varia segundo uma Normal de media 0 e desvio padrao σw2. A tabela 4 descreve

as variancias consideradas:

Tabela 5.6: Fontes de variancia do modelo ICC escolhido [Fonte: Patrick E. Shrout e Joseph L. Fleiss [1979]]

Fonte da variancia Media dos quadrados Analise de variancia com um factor

Entre sujeitos BMS kσT 2 + σw2

(entre tipos de projecto)Dentro dos sujeitos WMS σw2

(dentro de um tipo de projecto)

Entre Avaliadores JMS -Residual EMS -

Como podemos observar na tabela este metodo de calculo da correlacao intraclasse utiliza dois valores

importantes: BMS e WMS.

Ainda de acordo com [17] temos a equacao da correlacao intraclasse para o caso ICC(1, single):

ρ =σ2T

σ2T + σ2

w

(5.22)

Utilizando as substituicoes que estao indicadas na tabela 5.6, onde k e o numero de juızes que avalia

cada sujeito:

σ2w = WMS (5.23)

BMS = kσT 2 + σ2w ↔ kσT 2 = BMS − σ2

w → kσT 2 = BMS −WMS (5.24)

σT 2 =BMS −WMS

k(5.25)

44

E substituindo na equacao 5.22 obtemos a equacao final para calcular a correlacao intraclasse.

ρ =(BMS−WMS)

k(BMS−WMS)

k +WMS(5.26)

ρ = ICC(1, 1) =BMS −WMS

BMS + (k − 1)WMS(5.27)

5.3.3 Aplicacao da correlacao intraclasse

Utilizando o modelo explicitado anteriormente e possıvel obter o valor da correlacao intraclasse que

quantifica a correlacao entre os projectos agrupados. A tıtulo de exemplo utilizam-se os mesmos projec-

tos expostos nas tabelas 5.2 e 5.3 para o calculo deste valor. Na pratica, tal como aconteceu no calculo

da correlacao de Pearson, o portfolio resultante e o resultado de todas as combinacoes possıveis entre

projectos de tipos diferentes. E tambem importante referir que para cada projecto apenas se utiliza um

valor: a diferenca entre V ALprevisto e V ALverificado

Tabela 5.7: Desvio absoluto do VAL para todos os pares de projectos possıveis

Tipo 1 Tipo 2

Proj1 V ALverificado − V ALprevisto = 5− 4 = 1 Proj1 V ALverificado − V ALprevisto = 4− 6 = −2Proj1 V ALverificado − V ALprevisto = 5− 4 = 1 Proj2 V ALverificado − V ALprevisto = 3− 4 = −1Proj1 V ALverificado − V ALprevisto = 5− 4 = 1 Proj3 V ALverificado − V ALprevisto = 2− 5 = −3Proj2 V ALverificado − V ALprevisto = 5− 3 = 2 Proj1 V ALverificado − V ALprevisto = 4− 6 = −2Proj2 V ALverificado − V ALprevisto = 5− 3 = 2 Proj2 V ALverificado − V ALprevisto = 3− 4 = −1Proj2 V ALverificado − V ALprevisto = 5− 3 = 2 Proj3 V ALverificado − V ALprevisto = 2− 5 = −3Proj3 V ALverificado − V ALprevisto = 8− 5 = 3 Proj1 V ALverificado − V ALprevisto = 4− 6 = −2Proj3 V ALverificado − V ALprevisto = 8− 5 = 3 Proj2 V ALverificado − V ALprevisto = 3− 4 = −1Proj3 V ALverificado − V ALprevisto = 8− 5 = 3 Proj3 V ALverificado − V ALprevisto = 2− 5 = −3

Estes dados permitem criar a matriz 2 sobre a qual se realiza a analise de variancia com um factor ou

“one way variance analysis”.

1 1 1 2 2 2 3 3 3

−2 −1 −3 −2 −1 −3 −2 −1 −3

O resultado da analise de variancia com 1 factor sobre a matriz apresentada e o seguinte:

Xtotal = 0

Xlinha1 = 2

Xlinha2 = −2

BMS = k[(Xlinha1 − Xtotal)2 + (Xlinha2 − Xtotal)

2] =

= k[(2− 0)2 + (−2− 0)2] = 9 ∗ 8 = 72

WMS = 3(1− Xlinha1) + 3(2− Xlinha1) + 3(3− Xlinha1)

+3(−2− Xlinha2) + 3(−1− Xlinha2) + 3(−3− Xlinha2) = 12

45

Tabela 5.8: Fontes da variancia no exemplo

Fonte da variancia Df Soma dos quadrados Media da soma dos quadrados

Variancia entre linhas 1 72 BMS = 72

Variancia dentro de cada linha 2(k − 1) = 16 12 WMS = 12/16 = 0.75

Seguidamente basta aplicar a equacao 5.27 :

ICC(1, 1) =72− 0, 75

72 + (9− 1)0, 75= 0, 9135

Como seria de esperar a correlacao intraclasse no exemplo e muito elevada. Isto acontece pois todos os

projectos do tipo 1 estao acima do valor esperado, tendo sido provavelmente bem agrupados, enquanto

todos os projectos do tipo 2 obtiveram retornos abaixo do esperado, estando tambem correlacionados

entre si.

46

Capıtulo 6

Optimizacao individualizada de um

portfolio

No capıtulo anterior calcularam-se todas as correlacoes necessarias para obter as distribuicoes normais

de qualquer conjunto de projectos correlacionados. Neste capıtulo procura-se optimizar os portfolios,

agrupando logicamente projectos de elevado risco e retorno com projectos com risco reduzido e baixo

retorno. Optimizando desta forma o portfolio para determinadas condicoes impostas. A criacao destes

portfolios deve ter em conta a polıtica da empresa em relacao ao risco assim como as suas disponibili-

dades financeiras

De forma a adaptar a optimizacao de portfolios a cada empresa foram incluıdas no programa Matlab as

seguintes condicoes que permitem moldar o resultado as expectativas do utilizador:

• VAL mınimo – Obriga a que o portfolio final tenha um VAL igual ou superior ao valor especificado.

• VsR mınimo- Obriga a que o portfolio final tenha um VsR igual ou superior ao valor especificado.

Importante para empresas que, por exemplo, nao possam correr o risco de obter retorno negativo.

• Risco maximo – O portfolio resultante tem uma relacao VAL-VsR/VAL menor ou igual ao valor

especificado.

• Investimento maximo – O portfolio final tem um valor de investimento menor que o estabelecido.

Para alem destas condicoes simples tambem se realiza uma optimizacao do portfolio em relacao ao

risco, VsR ou VAL, obtendo o portfolio com menor risco, maior VsR ou maior VAL, respectivamente.

Caso o melhor portfolio para a empresa nao seja obtido por nenhuma destas condicoes, utilizam-se

funcoes de utilidade. Estas funcoes descrevem a utilidade de cada retorno possıvel. Na seccao se-

guinte explica-se o funcionamento deste tipo de funcoes, assim como a sua aplicacao ao problema.

47

6.1 Curvas de utilidade

As empresas nao se importam directamente com o dinheiro que um portfolio de investimentos lhes con-

segue obter mas sim com a utilidade que esse dinheiro proporciona. Deste facto nasce o conceito de

curvas ou funcoes de utilidade, U(x). Na avaliacao de portfolios assume-se que mais dinheiro e sem-

pre mais util. Apesar da relacao nao ser necessariamente linear (normalmente e logarıtmica) pode-se

afirmar que U(x)′ > 0, pois as funcoes de utilidade sao crescentes.

O criterio da utilidade esperada e a forma mais aceite de escolher entre investimentos de risco (por

exemplo entre duas lotarias). A utilidade esperada, U, calcula-se de maneira muito semelhante ao valor

esperado, fazendo a media da utilidade que o portfolio pode obter em vez da media dos retornos espe-

rados de cada projecto. Formalmente define-se utilidade esperada da seguinte forma:

U =

n∑i=1

Pi ∗ U(Xi) = p1U(x1) + p2U(x2) + p3U(x3)... (6.1)

Segundo este criterio a empresa escolhe o portfolio que lhe oferece uma utilidade esperada mais ele-

vada. Esta funcao e invariante a transformacoes lineares no portfolio.

Normalmente, as empresas e os investidores sao adversos ao risco pois as consequencias da perda de

um montante sao piores que os benefıcios do lucro desse mesmo montante. Por esta razao, a maioria

das curvas de utilidade tem a concavidade virada para baixo dando mais importancia a garantia dos

menores valores de lucro e menos as variacoes do extremo positivo. Isto significa que a aversao ao

risco diminui com o aumento do retorno do portfolio.

As funcoes que obedecem as condicoes acima expostas e que sao geralmente utilizadas para des-

crever a utilidade de investimentos para empresas adversas ao risco sao as seguintes:

U(x) = Ln(x) ; U(x) =√x ; U(x) = xa ; U(x) = 1− e−ax

48

Figura 6.1: Funcoes de utilidade mais comuns

No entanto nem todos os investidores tem estas politicas em relacao ao risco. Alguns dao apenas prio-

ridade ao valor esperado do portfolio (“risk takers”) ou sao indiferentes ao risco (“risk-neutral”). Nestes

casos as curvas de utilidade tem uma concavidade virada para cima ou neutra (uma recta). A figura 6.2

representa curvas que exemplificam cada um dos tipos de investidores [19] :

49

Figura 6.2: Funcoes exemplo de cada um dos tipos de investidores

6.2 Aplicacao das curvas de utilidade

Apos escolher a curva de utilidade que se adapta a empresa e de conhecer todas as funcoes distribuicao

de probabilidade de portfolios possıveis, calcula-se a utilidade media de cada um deles e escolhe-se o

que apresentar o valor mais elevado.

Tome-se como exemplo dois portfolios, A e B, definidos por V AL = 300 e V sR = 224 e V AL = 350

e V sR = 180, respectivamente. Como se pode observar na figura 5.3, o primeiro portfolio tem um va-

lor esperado inferior ao segundo mas tambem comporta um menor risco, o que pode ser util a empresa.

Definindo a funcao de utilidade como

Utilidade(projecto) = ln(retorno) (6.2)

podemos facilmente decidir qual o portfolio mais util para a empresa aplicando 6.1:

Utilidade(A) = 0.05 ∗ ln(224) + 0.9 ∗ ln(300) + 0.05 ∗ ln(2 ∗ 300− 224) = 5.7005

Utilidade(B) = 0.05 ∗ ln(180) + 0.9 ∗ ln(350) + 0.05 ∗ ln(2 ∗ 350− 180) = 5.8445

50

150 200 250 300 350 400 450 500 5500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Retorno do Portfólio

Pro

babi

lidad

e de

oco

rrên

cia

Representação dos Portfólios A e B

Figura 6.3: Representacoes dos portfolios A e B

Considerando que as necessidades da empresa estao bem descritas pela equacao 6.2 (escolhida),

podemos afirmar que o portfolio B tem maior utilidade (5, 8445 > 5, 7005) . Caso o portfolio B obedeca

a todas as restantes condicoes que foram impostas pelo planeador no programa MATLAB (descritas no

inıcio deste capıtulo) este e o portfolio escolhido, optimizado individualmente para a empresa.

51

52

Capıtulo 7

Resultados obtidos e conclusoes

Neste capıtulo apresentam-se os resultados do estudo efectuado sobre portfolios de projectos de

distribuicao de energia electrica. Inicialmente, explica-se a base de dados utilizada, que dados es-

tavam disponıveis, que dados foram utilizados e porque.

Posteriormente, revelam-se os resultados das correlacoes de Pearson e intraclasse tendo em consideracao

a divisao em relacao a regiao do projecto.

Seguidamente, passa-se a apresentacao dos resultados para a divisao em relacao ao nıvel de tensao.

Todos os resultados sao apresentados em forma de tabela que revela as correlacoes necessarias para

preencher a matriz de correlacoes entre todos os projectos.

Apos obter as correlacoes e possıvel calcular os portfolios optimizados consoante qualquer das variaveis

estudadas e quaisquer restricoes que a empresa desejar impor. Apresentam-se alguns exemplos de

condicoes impostas e analisam-se os resultados.

Finalmente, explicitam-se as vantagens que este trabalho traz aos planeadores de uma empresa e

resumem-se os principais pontos e conclusoes.

7.1 Dados

7.1.1 Amostra utilizada

Geralmente nao e possıvel ter acesso a todo o universo amostral ou populacao, sendo necessario utili-

zar uma amostra. Uma amostra e um sub-conjuncto da populacao determinado atraves de um processo

definido que permite que sejam feitas inferencias ou extrapolacoes da amostra para a populacao.

53

Segundo [20], a forca indutiva dos argumentos por enumeracao tem como justificativa os seguintes

princıpios:

• ”Quanto maior a amostra, maior a forca indutiva do argumento;”

• ”Quanto mais representativa a amostra, maior a forca indutiva do argumento.”

Existem varios metodos para escolher a amostra de uma populacao [10]. Quando a populacao tem ca-

tegorias distintas e pode ser organizada segundo essas categorias e normal utilizar uma “amostragem

estratificada”.

Neste tipo de amostragem a informacao e dividida em grupos e cada grupo e representado indepen-

dentemente e aleatoriamente. O tamanho da soma dos subconjuntos depende do grau de confianca

que se pretende e o tamanho relativo depende do tamanho relativo que os grupos tinham no universo

inicial. Por exemplo, se o universo de pessoas sob estudo fosse composto por 100 pessoas, 50% do

sexo masculino e 50% feminino, entao a amostra tambem deveria ser composta por 2 grupos com

numero de pessoas de cada sexo igual – por exemplo, 20 homens e 20 mulheres.

Este metodo de amostragem tem algumas vantagens, de seguida enumeram-se as que melhor se

aplicam ao caso:

• Permite que os investigadores possam retirar conclusoes sobre classes especıficas que podem

ser perdidas numa amostra aleatoria simples

• Considerando que a proporcoes entre as categorias do universo e da amostra se mantem, o re-

sultado desta amostragem e sempre igual ou melhor do que numa amostragem aleatoria simples.

• Quando a informacao ja vem dividida em classes nao e necessario juntar dados que se encontram

em diferentes localizacoes.

O caso a ser analisado utiliza todas estas vantagens pois cada projecto esta classificado na base de

dados fornecida pela EDP Distribuicao em funcao do seu Nıvel de Tensao e da sua regiao. A distribuicao

dos 6871 projectos disponibilizados, segundo estas caracterısticas, e a seguinte:

Nıvel de Tensao =

Alta Tensao − 1%

Media Tensao − 15%

Baixa Tensao − 84%

Direccao de Redes e Clientes =

Norte − 18, 56%

Porto − 12%

Mondego − 12%

Tejo − 30%

Lisboa − 12%

Sul − 6%

54

A divisao nestas duas categorias permite escolher uma amostra que representa a totalidade dos in-

vestimentos que a EDP Distribuicao pode realizar em Portugal. Para tal, e necessario que a amostra

escolhida tenha uma composicao relativa de projectos semelhante a carteira de projectos possıveis.

No entanto, a amostra utilizada neste estudo foi condicionada pelos projectos sobre os quais se conse-

guiram obter os dados necessarios. Por esta razao ela e constituıda por apenas 42 projectos de cada

DRC - numero maximo disponıvel – apesar de obedecer a uma distribuicao semelhante a real quanto

ao nıvel de tensao.

Dos 252 projectos que constituem a amostra utilizada, 180 sao de Baixa Tensao (71,5%), 54 sao de

Media (21,5%) e apenas 18 (7%) sao de Alta Tensao. A diferenca significativa na quantidade relativa de

projectos de Alta Tensao entre a amostra e a populacao deve-se a necessidade de ter varios projectos

da mesma classe para calcular a correlacao de Pearson e correlacao intraclasse. Isto obriga a que no

nıvel de Alta Tensao estejam pelo menos 3 projectos em cada DRC, significativamente mais do que 1%.

Apos a definicao da amostra foi aplicado o metodo para calcular as correlacoes entre dois tipos de

projectos que partilham uma caracterıstica em comum. Esse metodo foi utilizado em portfolios reais

(resultados na seccao seguinte) de forma a calcular a correlacao em relacao a ambas as caracterısticas

mencionadas.

Estas caracterısticas foram escolhidas pois sao factores importantes que definem os projectos.

O nıvel de tensao normalmente define a gama do montante de investimento, limitando tambem os

possıveis tipos de investimento.

A regiao, por outro lado, e um factor que pode influenciar o retorno dos projectos atraves de tendencias

verificadas no consumo ou no investimento devidas ao clima ou ao turismo da area.

Aos factores mencionados junta-se o facto importante de esta divisao ja se encontrar na base de dados

disponibilizada pela EDP Distribuicao. Isso permite que se possa aceder a qualificacao de qualquer

projecto em relacao a esses parametros atraves do cruzamento de tabelas. O conjunto de projectos

analisados (amostra) encontra-se no Anexo C em 6 tabelas, uma para cada DRC.

7.1.2 Possibilidade de utilizar dados diferentes

O algoritmo utilizado para o calculo da correlacao entre dois projectos de DRCs ou nıveis de tensao

diferentes tem duas grandes vantagens.

55

1. Pode ser aplicado a qualquer primitiva da incerteza - Para o conseguir basta identificar a

classificacao de cada projecto em relacao ao novo parametro que se pretende investigar.

Apos modificar a base de dados para ter essa informacao e feita uma nova divisao dos projectos

em categorias, como foi feito com os dois parametros mencionados anteriormente, e e calculada

uma nova correlacao de Pearson e intraclasse.

Alguns factores que pode ser interessante estudar, caso se consigam obter os dados, sao, por

exemplo: a correlacao entre projectos com diferentes numeros de obras, responsaveis distintos ou

a correlacao entre investimentos de diferentes tipos (linhas, subestacoes, transformadores etc..).

2. Pode ser aplicado a projectos de qualquer campo - O algoritmo utilizado calcula as correlacoes

pelos metodos descritos anteriormente a partir de duas matrizes, divididas de acordo com uma

caracterıstica especıfica sobre os projectos. Estas matrizes sao compostas por apenas 3 valores:

VAL previsto, V sRprevisto e V ALverificado. Isto permite que se possam analisar projectos de tipos

totalmente diferentes sabendo apenas 3 valores.

A grande vantagem destes 3 valores e que, normalmente, se a empresa ja realiza analise de

risco nos seus projectos individuais, estes ja se encontram disponıveis nas suas bases de dados.

Em casos de analise de risco em portfolios de ativos na bolsa, por exemplo, os dados requeridos

por este metodo sao facilmente obtidos.

7.2 Correlacoes

7.2.1 Correlacoes na divisao por DRC

Na tabela 7.1 podem-se observar as correlacoes calculadas entre projectos pertencentes a DRCs di-

ferentes. Por exemplo, na entrada (1,2) da tabela aparece o valor da correlacao entre os projectos da

DRC do Porto e os projectos da DRC do Norte.

Tabela 7.1: Correlacoes na divisao por DRC

DRC Norte Porto Mondego Tejo Lisboa Sul

Norte -0.00057 -0.0134 0.0333 0.0273 0.0053 0.0662Porto -0.0134 -0.00057 0.0085 -0.0070 -0.0014 -0.0170

Mondego -0.0333 0.0085 -0.00057 -0.0174 -0.0034 -0.0422Tejo 0.0273 -0.0070 -0.0174 -0.00057 0.0028 0.0346

Lisboa 0.0053 -0.0014 -0.0034 0.0028 -0.00057 0.0067Sul 0.0662 -0.0170 -0.0422 0.0346 0.0067 -0.00057

56

ICC = 0, 00057 ≈ 0 = ρ11 = ρ22 = ρ33 = ρ44 = ρ55 = ρ66 (7.1)

Na primeira analise efectuada o valor das correlacoes entre os diversos tipos de projectos e sempre

muito inferior a 0.2, nao se notando qualquer correlacao entre projectos em relacao a sua localizacao

geografica. Como e possıvel observar atraves da equacao 7.1, o agrupamento dos projectos em DRC

nao faz muito sentido em termos de correlacao entre os retornos dos mesmos.

E de realcar que a correlacao intraclasse estimada foi ligeiramente negativa o que nao pode acon-

tecer. Teoricamente este valor apenas pode variar entre 0 e 1, pois nao tem sentido falar de dois

acontecimentos mais nao correlacionados do que acontecimentos independentes.

No entanto, como e explicado em [21], quando sao utilizados os modelos de estimacao da correlacao

intraclasse descritos no Capıtulo 5 e possıvel obter valores negativos, como aconteceu. Nestes casos

deve-se ler o resultado como 0.

Os desvios nos VALs dos projectos dependem principalmente dos desvios no investimento previsto

que, no estudo realizado, nao parece ser muito afectado pela regiao para a qual o projecto e planeado.

Tal como esperado, no primeiro caso nao se registou qualquer tendencia entre projectos da mesma

regiao.

7.2.2 Correlacoes na divisao por nıvel de tensao

Na tabela 7.2 podem-se observar as correlacoes calculadas entre projectos pertencentes a nıveis de

tensao diferentes. Por exemplo, na entrada (1,2) da tabela aparece o valor da correlacao entre os

projectos de baixa tensao e os projectos de media tensao.

Tabela 7.2: Correlacoes na divisao por Nıvel de Tensao

Nıvel de Tensao Baixa Media Alta

Baixa -0.000006 -0.0806 -0.0439Media -0.0806 -0.000006 0.0576Alta -0.0439 0.0576 -0.000006

ICC = 0, 000006 ≈ 0 = ρ11 = ρ22 = ρ33 = ρ44 = ρ55 = ρ66 (7.2)

Na segunda analise efectuada, o valor das correlacoes entre os diversos tipos de projectos e tambem

sempre muito inferior a 0.2, nao se notando qualquer correlacao entre projectos em relacao ao seu nıvel

de tensao. Como e possıvel observar atraves do valor da intracorrelacao (equacao 7.2), o agrupamento

dos projectos por nıvel de tensao nao faz muito sentido em termos de correlacao entre os retornos dos

mesmos.

57

Assim, tal como na seccao anterior, o valor ligeiramente negativo da correlacao intraclasse deve ser

lido como 0, nao existindo qualquer correlacao visıvel entre os projectos analisados quanto ao nıvel de

tensao.

As analises efectuadas apresentam os resultados esperados. Os projectos da EDP distribuicao nao

apresentam correlacoes claras em relacao as duas variaveis analisadas.

Esta conclusao pode ser explicada pelo facto de os valores previstos das taxas de crescimento se-

rem calculados com pouca margem de erro. Isto faz com que mesmo que os consumos previstos e

verificados estejam relacionados com a regiao do projecto, essa variacao nao e suficiente para influen-

ciar os resultados das correlacoes sobre o retorno total do projecto.

O facto de os desvios no Investimento serem os mais influentes nas variacoes entre VAL previsto e

VAL verificado provoca que nao existam correlacoes entre os projectos nas variaveis analisadas. Os

desvios no Investimento sao difıceis de estudar pois podem ser provocados por demasiadas variaveis

(razoes polıticas, economicas ou acidentes aleatorios).

Apos os resultados das correlacoes, apresentam-se os resultados da optimizacao dos portfolios tendo

em conta restricoes impostas e curvas de utilidade. Para esta fase do programa Matlab utilizaram-se

os resultados das correlacoes obtidos anteriormente, considerando que todos os projectos nao tem

qualquer correlacao entre si.

7.3 Optimizacao dos portfolios

7.3.1 Resultados da optimizacao do portfolio por condicoes

Nesta seccao mostram-se os resultados obtidos para exemplos constituıdos por alguns dos projectos

reais e condicoes exemplo. Neste caso o portfolio inicial e constituıdo pelos 15 projectos reais que

se encontram no anexo F. Com base nos resultados das correlacoes calculadas assumiu-se que a

correlacao entre quaisquer projectos e nula.

Apenas se optimizou um conjunto de 15 projectos escolhidos ao acaso dos 252 disponıveis (que fo-

ram utilizados para calcular as correlacoes) para minimizar o tempo de calculo dos exemplos. Caso

fossem utilizados os 252 projectos seriam necessarias horas ate obter qualquer resultado pois o algo-

ritmo funciona por forca bruta – calculando todos os valores necessarios para todas as combinacoes

de portfolios possıveis.

58

As condicoes impostas a primeira optimizacao foram as seguintes:

V AL > 3Me

Minimizar o Risco

Neste caso decidiu-se calcular o portfolio minimizando o risco mas garantindo um retorno esperado

maior do que 3Me. O portfolio que satisfaz estas condicoes e constituıdo pelos seguintes 12 dos 15

projectos iniciais:

Tabela 7.3: Resultado do exemplo de optimizacao por condicoes

ID projecto VsR (ke) VAL (ke) 2*VAL-VsR (ke) Tipo de Rede

116 52 90 128 BT243 5 41 78 BT138 -28 200 428 BT58 -40 4 48 BT

123 5 30 55 BT157 -4 29 63 BT171 4432 5859 7285 AT100 -20 25 71 BT249 -5 25 56 BT10 1213 2169 3125 BT

223 118 213 308 BT230 -11 37 85 BT

Apos a realizacao das convolucoes adequadas este portfolio e definido pelos seguintes valores:

Risco = 10.36%

V ALprevisto = 8.723Me

V sRprevisto = 7.819Me

Dos 15 projectos iniciais foram excluıdos apenas 3. Isto e normal pois apenas raramente acontece

a inclusao de um projecto no portfolio causar o aumento do risco, que foi a variavel que se tentou

minimizar. Como explicado anteriormente, considerando projectos nao correlacionados, o aumento do

nº de projectos provoca, normalmente, uma diminuicao do risco total (a nao ser que o projecto em

questao tenha um risco muito superior aos que ja estavam no portfolio).

7.3.2 Resultados da optimizacao utilizando curvas de utilidade

Utilizando o metodo que calcula a utilidade esperada de cada portfolio calculado obtiveram-se os re-

sultados apresentados na tabela 4. A funcao utilizada para calcular a utilidade de cada conjunto de

projectos foi:

U(x) = ln(retorno) (7.3)

59

Tabela 7.4: Resultado do exemplo de optimizacao por curva de utilidade

ID projecto VsR (ke) VAL (ke) 2*VAL-VsR (ke) Nıvel de Tensao

116 52 90 128 BT243 5 41 78 BT138 -28 200 428 BT131 -129 902 1934 MT58 -40 4 48 BT

123 5 30 55 BT157 -4 29 63 BT171 4432 5859 7285 AT100 -20 25 71 BT249 -5 25 56 BT10 1213 2169 3125 BT

223 118 213 308 BT230 -11 37 85 BT

Apos a realizacao das convolucoes adequadas este portfolio e definido pelos seguintes valores:

Risco = 10.92%

V ALprevisto = 9, 626Me

V sRprevisto = 8, 575Me

A unica diferenca entre os resultados e o projecto nº131 que nao aparece na tabela 7.3. Quando o

objectivo e minimizar o risco ele nao pode aparecer, no entanto, maximizando a utilidade, o aumento

de risco que esse projecto provoca e contrabalancado pelo elevado retorno esperado que ele contribui,

melhorando a utilidade. Esta solucao obtem um VAL e VsR superiores, apesar de ter tambem mais

risco.

Os projectos 93 e 201 nao aparecem em nenhuma das formas de optimizacao descritas. Pode-se

concluir que estes projectos nao so pioram o risco mas tambem oferecem menor utilidade quando

incluıdos no portfolio (utilizando a funcao de utilidade 7.3).

7.3.3 Resultado da optimizacao impondo restricoes no investimento

Finalmente foi realizado um teste em que se maximiza a utilidade esperada impondo limites ao inves-

timento previsto e ao VsR. Para este teste foram realizadas algumas pequenas alteracoes ao codigo

de forma a armazenar nao so o VAL como tambem a parcela do Investimento previsto. As condicoes

impostas e as suas correspondencias a problemas reais foram as seguintes:

60

• Investimento previsto maximo de 1Me, correspondente ao capital disponıvel para investimentos.

• VsR mınimo de −100ke, correspondente ao valor de perdas que a empresa consegue suportar

no pior caso (95%).

• Maximizacao em relacao a funcao de utilidade 7.3.

O portfolio resultante da aplicacao das restricoes foi o seguinte:

Tabela 7.5: Resultado do exemplo de optimizacao por curva de utilidade com restricoes no investimento

ID projecto VsR (ke) VAL (ke) 2*VAL-VsR (ke) Investimento (ke)

116 52 90 128 37243 5 41 78 50123 5 30 55 34157 -4 29 63 50171 4432 5859 7285 545100 -20 25 71 72223 118 213 308 96230 -11 37 85 73

SOMA - 6324 - 957

Apos a realizacao das convolucoes adequadas este portfolio e definido pelos seguintes valores:

Risco = 11, 76%

V ALprevisto = 6, 324Me

V sRprevisto = 5, 58Me

Investimentoprevisto = 0, 957Me

Neste caso o resultado tem uma forma ligeiramente diferente dos anteriores pois a coluna que continha

a informacao sobre o nıvel de tensao do projecto foi substituıda pelo investimento previsto do mesmo.

Foi possıvel ignorar esta informacao pois, como dito anteriormente, considerou-se que todos os pro-

jectos eram independentes. Foi tambem acrescentada uma linha a tabela com os somatorios de cada

coluna de modo a poder comparar o investimento total com a nova condicao.

Como e possıvel observar, a nova restricao – a limitacao do investimento previsto – foi um factor muito

importante na criacao deste portfolio, diminuindo o numero de projectos. E de realcar que o resultado

final tem um investimento previsto muito proximo do limite (1Me).

61

7.4 Conclusoes

Este trabalho teve como objectivo encontrar um metodo para quantificar o risco de um conjunto de

projectos permitindo, posteriormente, escolher qual o melhor portfolio para as necessidades de cada

empresa.

Inicialmente, foi explicado como se realiza a avaliacao economica de possıveis investimentos indivi-

duais em sistemas de distribuicao de energia electrica. Deste estudo foi concluıdo que o VAL e o

melhor indicador economico para a analise deste tipo de projectos. Verificou-se ainda que o VAL era

calculado atraves dos BPerdas, BEND e investimento previsto e que estes, por sua vez, dependiam da

taxa de crescimento do consumo, α, e do investimento, I. Estas variaveis sao incertas e obrigaram a

introducao do conceito de risco e VsR. Seguidamente, analisaram-se estas primitivas da incerteza de

acordo com [8] e determinou-se que, para calcular C∗, B∗END, B∗Perdas e seguidamente o V sR, deviam

ser reavaliadas segundo uma perspectiva pessimista da seguinte forma: I∗ = I0,73 e α∗ = 1+α

1,03 .

Seguidamente, e com maior enfase, o trabalho permite retirar conclusoes sobre a evolucao do risco

ao realizar varios projectos em simultaneo. Numa primeira analise, que incidiu sobre projectos nao cor-

relacionados, verificou-se que quanto maior o numero de projectos semelhantes menor e o risco total

do portfolio. E tambem interessante salientar, que com o aumento do numero de projectos semelhantes

somados a f.d.p. resultante vai-se aproximando de uma distribuicao normal e que a aproximacao de

cada projecto por uma distribuicao normal e valida para portfolios compostos por mais de 20 projectos.

No Capıtulo 5 expandiu-se a analise do portfolio introduzindo o conceito de covariancia e correlacao.

Aqui observou-se a importancia da correlacao no risco de um portfolio. Apos verificar esta importancia

constatou-se que para calcular a correlacao seria necessario dividir os projectos em grupos de acordo

com uma caracterıstica especıfica e que isso causaria problemas na aplicacao do conceito de correlacao,

devido ao facto de os projectos nao se encontrarem numa ordem especıfica dentro de cada grupo. Nas

duas caracterısticas estudadas, regiao e nıvel de tensao, obtiveram-se correlacoes nulas, tanto entre

projectos de tipos diferentes (correlacao de Pearson) como entre projectos do mesmo tipo (correlacao

Intraclasse).

E ainda de realcar que a forma como se ultrapassou este problema tem duas importantes vantagens:

o facto de poder ser aplicada a qualquer tipo de projectos e de poder analisar isoladamente qualquer

caracterıstica que o utilizador deseje.

Finalmente, realizaram-se alguns testes de optimizacao de portfolios em que mais uma vez se con-

cluiu que o aumento do numero de projectos diminui o risco do portfolio, exceptuando o caso em que se

acrescenta um projecto com um risco individual muito elevado. Tambem se verificou, como esperado,

que a imposicao de um investimento maximo e uma restricao com um grande impacto no portfolio final.

62

Futuramente, poder-se-a expandir este trabalho analisando outras caracterısticas (para alem da DRC e

do nıvel de tensao) e substituindo o algoritmo actual que calcula o VAL e VsR para todos os portfolios

possıveis por um algoritmo genetico mais rapido e com capacidade de analisar portfolios maiores (como

o da EDP distribuicao que contem 6871 projectos).

O desenvolvimento desta metodologia de analise de risco para projectos de investimento em siste-

mas de distribuicao de energia permite facilitar o trabalho dos planeadores e diminuir os recursos ne-

cessarios, melhorando, ao mesmo tempo, a qualidade das decisoes tomadas.

63

Bibliografia

[1] Fernando Abecassis e Nuno Cabral, Analise Economica e Financeira de Projectos, 6th ed.

Fundacao Calouste Gulbenkian, 1983.

[2] A. Dias, “Regulacao economica das perdas na rede electrica de distribuicao,” Master’s thesis, Ins-

tituto Superior Tecnico, Dezembro 2012.

[3] Chris Hendrickson e Tung Au, Project Management for Construction. Prentice Hall, 1988.

[4] Jose Pedro da Silva Sucena Paiva, Redes de Energia Electrica: uma analise sistemica, 2nd ed.

IST Press, Dezembro 2009.

[5] Rui Castro, Introducao as Energias Renovaveis e Producao Descentralizada, 2nd ed. IST Press,

Dezembro 2011.

[6] Guia Tecnico de Planeamento de Redes de Distribuicao, Direccao de Planeamente da Rede, 2010,

relatorio Tecnico.

[7] Lawrence J. Gitman e Chad J. Zutter, Principles of Managerial Finance, 13th ed. Prentice Hall,

2010.

[8] M. I. Verdelho, “Metodologias de analise de risco de projectos de investimento em redes de

distribuicao,” Master’s thesis, Instituto Superior Tecnico, Outubro 2013.

[9] Kjetil Høyland e Stein W. Wallace, “Generating scenario trees for multistage decision problems,”

Management Science, vol. 47, no. 2, p. 295–307, Fevereiro 2001.

[10] Charles M. Grinstead e J. Laurie Snell, Introduction to Probability, 2nd ed. American Mathematical

Society, 1998.

[11] Harry Markowitz, “Portfolio selection,” Times Finance, Marco 1952.

[12] Z. F. e Hamed Ahmadinia e Javad Afrasiabishani, “Beyond portfolio theory, evidence from tehran

stock exchange,” Business Intelligence Journal, 2012.

[13] R. Lamb, Analise de Risco – Especializacao em mercado de capitais. Porto Alegre, 2006, p.59-68.

[14] Robert J. Serfling, “Covariance and correlation,” University of Texas at Dallas, Tech. Rep., 2006.

64

[15] E. J. E. e Martin J. Gruber e Stephen J. Brown e William N. Goetzmann, Modern Portfolio Theory

and Investment Analysis, 9th ed. Wiley, 2014.

[16] Richard Gonzalez e Dale Griffin, “Correlational analysis of dyad-level data in the exchangeable

case,” Psychological Bulletin, 1995.

[17] P. E. S. e Joseph L. Fleiss, “Intraclass correlation: Uses in assessing rater reliability,” Psychological

Bulletin, 1979.

[18] Christine P. Dancey e John Reidy, Statistics Without Maths for Psychology, 4th ed. Prentice Hall,

2008.

[19] A. e Sweeney e Williams e Camm e Cochran e Fry e Ohlmann, Quantitative methods for business,

12th ed. Cengage Learning, 2012.

[20] Aluısio Jose Maria de Souza et al., Iniciacao a logica e a metodologia da ciencia. Cultrix, 1976.

[21] Peter J. Taylor, “An introduction to intraclass correlation that resolves some common confusions,”

University of Massachusetts Boston, Tech. Rep., 2009.

65

66

Apendice A

Projectos disponibilizados

A.1 Projectos DRC Norte

Tabela A.1: DRC Norte

Nıvel de Tensao I. Previsto I. Verificado B/C Programa do Projecto

Alta Tensao 2.205.913,00 1.959.223,55 4,90 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 1.773.831,00 2.070.225,56 2,52 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 1.370.400,00 1.389.322,15 1,27 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 3.973.369,00 4.250.215,52 1,31 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 3.307.990,00 3.311.614,23 3,84 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.466.000,00 2.589.433,19 1,20 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.082.700,00 2.196.000,48 1,60 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.979.400,00 2.448.407,20 1,07 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.606.800,00 1.340.109,73 1,14 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 964.198,00 1.976.398,36 3,25 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 646.100,00 807.683,81 1,41 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 504.951,00 513.540,52 1,00 MELHORIA DA QUALIDADE DE SERVICO TECNICABaixa Tensao 71.881,00 766,47 1,74 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 57.698,00 41.226,03 2,51 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 56.872,00 54.562,35 5,27 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 55.429,00 47.152,10 3,63 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 55.021,00 48.081,77 2,64 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 50.613,00 52.065,70 1,33 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 47.887,00 63.456,64 1,72 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 47.781,00 48.218,87 1,72 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 46.266,00 20.892,31 4,93 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 45.811,00 55.921,55 2,89 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 44.639,00 27.665,72 1,00 CORRENTE URGENTEBaixa Tensao 44.469,00 45.130,09 1,59 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 44.198,00 40.664,05 3,56 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 43.896,00 52.858,91 1,54 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 42.228,00 37.625,10 2,44 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 41.887,00 58.563,61 5,10 CORRENTE PROGRAMAVEL

67

Baixa Tensao 41.470,00 36.955,29 3,90 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 41.090,00 41.742,24 5,85 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 40.204,00 33.677,80 2,27 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 40.053,00 48.402,96 2,59 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 38.850,00 32.362,88 2,71 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 38.680,00 37.420,09 2,64 CORRENTE URGENTE

Baixa Tensao 38.486,00 26.763,33 5,90 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 37.753,00 57.961,42 1,48 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 37.129,00 34.118,89 8,07 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 36.651,00 38.694,53 4,14 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 36.331,00 53.102,62 2,27 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 36.324,00 35.964,91 1,99 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 36.103,00 23.989,89 5,12 CORRENTE PROGRAMAVEL

Baixa Tensao 35.255,00 41.033,24 4,68 CORRENTE PROGRAMAVEL

68

A.2 Projectos DRC Porto

Tabela A.2: DRC Porto

Nıvel de Tensao I. Previsto I. Verificado B/C Programa do Projecto

Alta Tensao 3.579.864,00 3.581.625,98 1,40 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 2.611.991,09 2.295.229,03 1,20 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 1.724.291,00 1.726.543,05 1,20 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.870.041,00 2.487.548,03 1,00 MELHORIA DA QUALIDADE DE SERVICO TECNICAMedia Tensao 2.035.916,00 2.233.191,16 1,77 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.633.000,00 1.595.273,49 2,31 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.000.000,00 912.853,75 1,20 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 888.000,00 1.368.617,56 50,00 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 700.000,00 633.825,27 1,43 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 585.172,00 484.973,76 2,04 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 556.311,00 442.413,39 1,10 MELHORIA DA QUALIDADE DE SERVICO TECNICAMedia Tensao 504.008,00 663.970,44 1,00 DESENVOLVIMENTO DE REDEBaixa Tensao 113.108,00 97.710,35 1,00 CORRENTE URGENTE - EXCLUINDO C.M.Baixa Tensao 100.486,00 102.256,12 1,22 CORRENTE URGENTE - EXCLUINDO C.M.Baixa Tensao 78.815,00 50.118,46 3,27 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 76.906,00 62.006,28 1,05 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 71.632,00 78.424,10 6,44 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 70.018,00 68.475,17 1,00 CORRENTE URGENTE - EXCLUINDO C.M.Baixa Tensao 64.355,00 64.979,48 4,82 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 62.544,00 69.218,47 2,08 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 60.483,00 55.785,29 1,35 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 55.591,00 56.456,80 1,00 CORRENTE URGENTE - EXCLUINDO C.M.Baixa Tensao 54.040,00 60.812,47 1,65 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 53.984,00 61.318,41 1,85 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 53.600,00 38.172,76 4,88 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 53.375,00 46.787,50 2,62 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 52.167,00 59.107,14 4,99 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 48.374,00 59.203,52 5,95 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 46.400,00 27.254,52 6,87 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 46.305,00 59.057,43 2,16 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 44.442,00 62.309,63 4,30 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 42.611,00 48.327,38 2,64 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 41.679,00 42.419,81 4,04 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 41.313,00 43.074,12 1,00 CORRENTE URGENTE - EXCLUINDO C.M.Baixa Tensao 40.852,00 15.393,28 2,32 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 40.100,00 42.082,48 12,49 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 40.038,00 60.416,41 2,28 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 39.507,00 38.922,48 1,00 CORRENTE URGENTE - EXCLUINDO C.M.Baixa Tensao 38.500,00 39.576,95 1,35 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 37.810,00 31.399,31 5,94 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 36.954,00 34.119,96 1,43 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 36.930,00 40.168,85 7,75 CORRENTE PROGRAMAVEL

69

A.3 Projectos DRC Mondego

Tabela A.3: DRC Mondego

Nıvel de Tensao I. Previsto I. Verificado B/C Programa do Projecto

Alta Tensao 4.042.936,88 3.860.336,64 2,05 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 2.133.301,00 2.277.024,78 1,63 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 114.500,00 129.676,09 1,02 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 5.056.009,00 5.060.056,59 4,52 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 3.086.386,00 2.899.937,27 1,99 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.334.300,00 2.259.554,89 2,84 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.197.000,00 1.352.999,00 1,37 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 713.225,00 698.691,88 1,00 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 396.905,00 271.109,34 1,00 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 344.150,00 337.344,23 1,00 MELHORIA DA QUALIDADE DE SERVICO TECNICAMedia Tensao 301.779,00 309.568,27 1,00 MELHORIA DA QUALIDADE DE SERVICO TECNICAMedia Tensao 301.779,00 309.568,27 1,00 MELHORIA DA QUALIDADE DE SERVICO TECNICABaixa Tensao 653.106,00 44.713,11 1,38 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 85.434,00 54.196,63 1,62 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 80.512,00 73.741,04 3,67 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 72.322,00 60.594,95 1,35 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 54.894,00 130.153,83 1,18 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 49.735,00 20.296,23 1,06 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 48.625,00 74.329,41 1,09 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 45.855,00 57.924,10 1,01 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 42.505,00 35.524,95 1,77 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 42.059,00 38.653,88 1,83 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 41.265,00 40.879,59 3,04 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 40.193,00 47.201,72 1,00 CORRENTE URGENTE - OBRAS DAS C.M.Baixa Tensao 40.128,00 43.417,53 5,06 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 39.005,00 11.311,27 2,59 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 38.232,00 30.143,60 2,97 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 38.172,00 33.130,85 1,87 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 37.106,00 42.586,84 4,28 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 36.755,00 38.985,49 4,18 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 36.751,00 54.697,21 1,66 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 36.674,00 106.261,66 3,45 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 36.622,00 27.983,06 1,00 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 36.513,00 45.208,05 1,25 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 35.145,00 54.496,72 2,95 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 34.962,00 63.795,62 1,13 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 34.720,00 67.591,15 1,01 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 34.644,00 25.157,91 1,87 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 34.370,00 32.536,83 1,88 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 34.193,00 41.651,86 1,46 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 34.154,00 45.667,77 2,68 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 33.991,00 39.961,38 3,24 CORRENTE URGENTE - EXCLUINDO C.M.

70

A.4 Projectos DRC Tejo

Tabela A.4: DRC Tejo

Nıvel de Tensao I. Previsto I. Verificado B/C Programa do Projecto

Alta Tensao 5.812.200,00 6.076.640,16 1,37 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 1.370.000,00 1.198.268,68 17,70 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 1.200.000,00 1.316.693,03 25,00 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.792.000,00 1.688.875,99 1,83 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.530.130,60 1.528.886,12 1,59 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.417.700,00 1.629.343,35 1,49 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 734.308,00 384.757,19 1,14 MELHORIA DA QUALIDADE DE SERVICO TECNICAMedia Tensao 731.000,00 1.042.056,72 2,00 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 515.919,00 456.324,45 1,91 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 498.500,00 526.717,49 1,72 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 435.000,00 695.391,71 2,00 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 338.830,00 253.657,81 1,59 DESENVOLVIMENTO DE REDEBaixa Tensao 82.899,00 161.374,08 1,00 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 71.041,00 78.164,07 1,00 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 66.457,00 37.441,30 4,97 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 60.769,00 14.934,35 5,19 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 57.770,00 28.940,33 5,32 MELHORIA DA QUALIDADE DE SERVICO TECNICABaixa Tensao 56.830,00 87.932,44 1,92 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 56.599,00 72.060,64 2,90 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 55.935,00 84.221,41 2,14 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 54.688,00 62.598,06 1,95 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 54.664,00 48.997,85 1,00 RECUPERACAO DE ACTIVOS DEGRADADOS BTBaixa Tensao 54.543,00 85.022,35 3,15 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 54.341,00 63.653,33 2,74 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 53.260,00 40.563,00 2,94 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 52.530,00 37.552,10 1,69 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 50.799,00 33.369,09 4,23 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 50.563,00 82.867,54 5,21 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 50.272,00 68.412,00 3,33 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 49.802,00 47.275,98 5,44 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 49.729,00 40.941,37 1,59 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 49.267,00 45.627,00 1,29 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 49.027,00 19.898,12 1,78 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 48.310,00 59.829,99 1,21 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 46.702,00 36.968,48 1,82 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 46.580,00 50.177,60 2,02 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 45.246,00 67.802,42 1,70 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 45.056,00 62.383,02 5,81 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 44.890,00 49.032,46 2,65 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 44.563,00 45.802,22 2,86 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 44.295,00 78.512,43 2,38 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 43.750,00 17.071,66 9,50 CORRENTE PROGRAMAVEL

71

A.5 Projectos DRC Lisboa

Tabela A.5: DRC Lisboa

Nıvel de Tensao I. Previsto I. Verificado B/C Programa do Projecto

Alta Tensao 4.144.669,02 716.672,51 1,57 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 1.843.469,00 1.850.235,70 10,20 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 545.000,00 575.691,69 11,75 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 6.149.464,00 6.943.670,12 1,86 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 3.376.000,00 3.627.515,88 1,20 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.430.833,73 3.100.521,78 1,26 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.362.000,00 2.656.473,46 2,66 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.161.000,00 2.926.585,56 1,49 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.120.000,00 2.780.679,53 1,43 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.910.000,00 2.758.552,31 1,63 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.807.600,00 1.704.882,42 1,00 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.700.000,00 1.809.177,61 1,84 DESENVOLVIMENTO DE REDEBaixa Tensao 145.000,00 163.157,67 1,00 RECUPERACAO DE ACTIVOS DEGRADADOS AT/MTBaixa Tensao 120.000,00 10.869,68 13,25 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 90.751,00 87.084,21 1,06 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 67.794,00 58.521,82 1,47 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 67.224,00 88.088,05 5,33 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 63.673,00 87.057,26 1,48 CORRENTE URGENTE - EXCLUINDO C.M.Baixa Tensao 62.252,00 40.714,92 1,00 RECUPERACAO DE ACTIVOS DEGRADADOS BTBaixa Tensao 60.000,00 20.696,90 13,41 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 59.271,00 68.356,63 1,18 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 58.661,00 34.247,61 2,20 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 57.685,00 36.777,74 3,37 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 57.328,00 10.359,51 3,13 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 55.247,00 34.185,64 1,00 RECUPERACAO DE ACTIVOS DEGRADADOS BTBaixa Tensao 53.578,00 61.574,44 1,87 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 53.188,00 51.222,56 7,29 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 53.171,00 61.601,11 1,43 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 52.142,00 55.042,02 1,20 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 51.930,00 18.632,50 4,46 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 50.872,00 74.601,99 3,45 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 50.765,00 50.178,35 1,75 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 50.115,00 49.117,21 1,00 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 50.000,00 41.492,49 1,33 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 49.843,00 12.073,79 1,48 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 49.691,00 36.333,72 2,16 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 48.742,00 29.850,74 2,50 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 47.645,00 29.291,74 1,00 RECUPERACAO DE ACTIVOS DEGRADADOS BTBaixa Tensao 45.936,00 30.288,88 1,00 RECUPERACAO DE ACTIVOS DEGRADADOS BTBaixa Tensao 45.903,00 48.021,56 2,86 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 45.731,00 43.996,29 1,00 RECUPERACAO DE ACTIVOS DEGRADADOS BTBaixa Tensao 45.666,00 49.766,57 4,38 CORRENTE PROGRAMAVEL

72

A.6 Projectos DRC Sul

Tabela A.6: DRC Sul

Nıvel de Tensao I. Previsto I. Verificado B/C Programa do Projecto

Alta Tensao 3.724.375,06 3.564.535,42 1,27 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 1.937.120,00 2.015.918,97 1,74 DESENVOLVIMENTO DE REDEAlta Tensao 1.250.000,00 1.105.254,31 64,30 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.681.954,20 2.563.756,04 1,15 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.663.184,00 3.465.831,17 1,29 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 2.400.500,00 1.889.447,66 1,09 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.743.153,19 2.857.910,72 1,18 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.514.051,00 2.191.646,15 1,47 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.167.000,00 1.635.923,59 1,66 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 1.027.560,00 1.305.831,20 1,56 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 943.676,00 2.384.691,36 1,55 DESENVOLVIMENTO DE REDEMedia Tensao 930.000,00 1.506.588,26 1,09 DESENVOLVIMENTO DE REDEBaixa Tensao 96.388,00 61.804,33 3,21 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 94.632,00 119.309,56 2,21 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 88.581,00 24.694,40 1,65 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 85.186,00 81.258,46 1,40 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 84.772,00 88.958,11 1,50 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 82.257,00 107.636,74 3,01 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 81.094,00 82.630,32 18,24 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 73.193,00 28.057,48 1,50 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 70.995,00 153.509,09 1,80 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 70.985,00 75.821,47 7,99 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 70.700,00 351,83 3,22 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 66.649,00 11.911,25 1,78 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 66.498,00 112.430,84 4,05 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 60.386,00 343,49 1,22 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 58.553,00 59.770,18 1,00 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 57.344,00 46.573,40 4,70 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 55.777,00 67.602,90 2,63 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 55.586,00 39.860,62 2,58 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 52.204,00 33.011,88 1,70 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 52.027,00 35.526,94 2,63 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 50.493,00 74.132,11 1,82 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 48.365,00 57.590,00 1,27 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 48.327,00 20.740,30 1,58 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 48.316,00 85.194,92 5,04 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 48.097,00 50.549,72 1,53 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 46.697,00 41.650,94 4,20 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 45.866,00 42.487,40 1,55 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 45.151,00 54.815,18 1,71 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 44.460,00 44.621,65 3,57 CORRENTE PROGRAMAVELBaixa Tensao 44.247,00 54.233,52 1,12 CORRENTE PROGRAMAVEL

73

Apendice B

Codigo para convolucoes de

projectos nao correlacionados

clc; clear all; close all; drawnow;

var=0; % risco = 5% <−> 1.644*std (duas caudas)

val=2;

numero pontos = 3; % var, val, 2*val−var

matriz abcissas init = [52 90 128; 5 41 78; 5 30 55];

vector abcissas = matriz abcissas init(1,:);

vector probab init = [0.05; 0.90; 0.05];

vector probab = vector probab init;

numero projectos = length(matriz abcissas init(:,1));

%calculo do std com valores discretos em http://en.wikipedia.org/wiki/Standard deviation

val s(1)=matriz abcissas init(1,2);

std=sqrt(2*(val−var)ˆ2*.05); %3 pontos, incluindo o da media/val

s2(1)=stdˆ2;

std s(1)=sqrt(s2(1));

var s(1)=val s(1)−1.644*std s(1);

for i =2:numero projectos

val s(i)=val s(i−1)+matriz abcissas init(i,2);

std=sqrt(2*((matriz abcissas init(i,2)−matriz abcissas init(i,1)))ˆ2*.05); %3 pontos, incluindo o da media/val

s2(i)=s2(i−1)+stdˆ2; % variancia acumulada

std s(i)=sqrt(s2(i));

var s(i)=val s(i)−1.644*std s(i);

end

74

risk=(val s−var s)./val s;

figure;

hold on;

grid on;

box;

plot(100*risk,'ko−')

xlabel('# projectos iguais')

ylabel('Risco [%VAL] para VaR=0 com p=5%')

figure('name',sprintf('Projecto de partida'));

hold on; grid on; box;

plot(vector abcissas, vector probab, ':s');

vec var = zeros(numero projectos, 1);

vec val = zeros(numero projectos, 1);

vec var(1) = var;

vec val(1) = val;

choice processing loop = 1;

tic

for i=2:numero projectos

% gerar vector com abcissas e probabilidades da iteracao i

vector abcissas aux = zeros(numero pontos*length(vector abcissas),1);

vector probab aux = ones(numero pontos*length(vector probab),1);

counter = 1;

for j=1:length(vector abcissas)

for k=1:numero pontos

vector abcissas aux(counter) = vector abcissas(j)+matriz abcissas init(i,k);

vector probab aux(counter) = vector probab(j)*vector probab init(k);

counter = counter + 1;

end

end

vector probab = zeros(length(vector abcissas),1);

switch(choice processing loop)

case 1

% para cada evento da soma das variaveis

for j=1:length(vector probab)

for k=1:length(vec C)

if(vec C(k) == j)

vector probab(j) = vector probab(j) + vector probab aux(k);

end

end

end

case 2

num ciclos = length(vec C); % num pontosˆ2

%tic

while(num ciclos > 0)

vector probab(vec C(1)) = vector probab(vec C(1)) + vector probab aux(1);

75

vec C(1) = [];

vector probab aux(1) = [];

num ciclos = num ciclos − 1;

end

end

media = mean(vector abcissas);

% calcular desvio padrao

std = sqrt(sum( vector probab.*((vector abcissas − media).ˆ2) ));

%descobrir abcissa de 5% de probabilidade

for l=1:length(vector abcissas)

if(vector probab(l) > 0.05)

idx interpol = l;

break;

end

end

declive interpol = (vector probab(idx interpol)−vector probab(idx interpol−1))/(vector abcissas(idx interpol)−vector abcissas(idx interpol−1));

abcissa novo var = vector abcissas(idx interpol) − (vector probab(idx interpol) − 0.05)/declive interpol;

figure('name',sprintf('Numero de projectos iguais: %d',i));

hold on; grid on; box;

plot(vector abcissas, vector probab, ':s');

plot(vector abcissas, normpdf(vector abcissas,media,std),'LineWidth',3);

plot(abcissa novo var, 0.05, 'ro','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','r');

xlim([min(vector abcissas) max(vector abcissas)]);

vec var(i) = abcissa novo var;

vec val(i) = media;

if( abs(sum(vector probab) − 1) < 1e−12 )

fprintf('N=%3d, soma probabilidades convolucao = 1\n', i);

else

fprintf('N=%3d, soma probabilidades convolucao != 1\n', i);

end

fprintf(' soma prob. dist. norm. continua = %6.4f\n\n', sum(normpdf(vector abcissas,media,std)));

end

figure('name',sprintf('Risco'));

hold on; grid on; box;

risco = (vec val − vec var)./vec val * 100;

plot([1:numero projectos], risco, ':s');

xlabel('Numero de projectos');

ylabel('Risco [%]');

figure(1);

plot([1:numero projectos], risco, ':s');

76

Apendice C

Codigo para a representacao de 2

projectos correlacionados

clear all; clc; close all;

A=0.02;

B=0.04;

i=0;

RA=0.5;

RB=0.9;

corr=1;

for X1=0:0.1:1

i=i+1

termo1=X1ˆ2*Aˆ2+Bˆ2*(1−X1)ˆ2

termo2=2*X1*corr*A*B*(1−X1)

var=termo1+termo2;

std p(i)=sqrt(var)

R(i)=X1*RA+(1−X1)*RB;

end

plot(std p,R,'k');

hold on;

X1=0.3571

termo1=X1ˆ2*Aˆ2+Bˆ2*(1−X1)ˆ2

termo2=2*X1*corr*A*B*(1−X1)

var=termo1+termo2;

std p=sqrt(var)

R=X1*RA+(1−X1)*RB;

plot(std p,R,'xr','MarkerSize',10,'LineWidth',2)

77

Apendice D

Codigo para calcular Correlacoes de

Pearson

clear all;

clc;

close all;

% Dados para calculo de c

a=0.01;

a var=(a−0.03)/(1+0.03);

soms Perdas=0;

soms END=0;

soms Perdas var=0;

soms END var=0;

t=0.075;

% calculo auxiliar para c

for n anos=1:10

soms Perdas=soms Perdas + (((1+a)ˆ(2*n anos))/(1+t)ˆn anos);

end

for n anos=1:10

soms Perdas var=soms Perdas var + (((1+a var)ˆ(2*n anos))/(1+t)ˆn anos);

end

for n anos=1:10

soms END=soms END + (((1+a)ˆn anos)/(1+t)ˆn anos);

end

for n anos=1:10

soms END var=soms END var + (((1+a var)ˆn anos)/(1+t)ˆn anos);

78

end

%calculo de c

for j=0:5

filename = 'dados EDP 2';

sheet = j+1;

xlRange = 'D2:D43';

dados inv p = xlsread(filename, sheet, xlRange);

xlRange = 'E2:E43';

dados inv real = xlsread(filename, sheet, xlRange);

xlRange = 'F2:F43';

dados B C = xlsread(filename, sheet, xlRange);

% Preenche matriz dos projectos

for i=1:42

Beneficio(42*j+i,1)=dados inv p(i,1)*dados B C(i,1);

c(42*j+i,2)=Beneficio(42*j+i,1)−dados inv p(i,1);

Perdas=(Beneficio(42*j+i,1)/2)/(soms Perdas);

END=(Beneficio(42*j+i,1)/2)/(soms END);

I var=dados inv p(i,1)/0.73;

c(42*j+i,1)=Perdas*soms Perdas var + END*soms END var − I var;

c(42*j+i,3)=2*c(42*j+i,2)−c(42*j+i,1);

% c(12*j+i,1)=c(12*j+i,2)−10000;

% c(12*j+i,3)=c(12*j+i,2)+10000;

if i<4

c(42*j+i,4)=j+1;

%1+3*j

end

if (i>3 && i<13)

c(42*j+i,4)=j+1;

% 2+3*j

end

if (i>7 && i<43)

c(42*j+i,4)=j+1;

end

c(42*j+i,5)=Beneficio(42*j+i,1)−dados inv real(i,1);

end

end

num projs aux=42*6;

c aux=c;

num projs=num projs aux;

% correlacoes entre os diferentes tipos

79

corr possiveis=combinator(6,2,'c','no rep');

num corr=size(corr possiveis,1);

for num=1:num corr

m=1;

n=1;

for i=1:num projs aux

% VAL p=VAL p+c aux(i,2);

% std uni(i)=sqrt(2*(c aux(i,2)−c aux(i,1))ˆ2*.05);

if (c aux(i,4)==corr possiveis(num,1))

for j=1:5

a(m,j)=c aux(i,j);

end

% std uni a(m)=std uni(i);

m=m+1;

end

if (c aux(i,4)==corr possiveis(num,2))

for j=1:5

b(n,j)=c aux(i,j);

end

% std uni b(n)=std uni(i);

n=n+1;

end

end

std lin a=0;

std lin b=0;

if(size(a,1)˜=size(c,1) && num projs==num projs aux)

num tipo1=size(a,1);

num tipo2=size(b,1);

% Calcula correlacao entre os 2 tipos de projectos

m=0;

d=0;

for i=1:num tipo1

for j=1:num tipo2

d=d+((a(i,5)−a(i,2))*(b(j,5)−b(j,2)));

m=m+1;

end

end

cov=d/m;

80

for i=1:num tipo1

std lin a=std lin a+((a(i,5)−a(i,2))ˆ2);

end

for i=1:num tipo2

std lin b=std lin b+((b(i,5)−b(i,2))ˆ2);

end

std lin=sqrt((std lin a)/num tipo1)*sqrt((std lin b)/num tipo2);

if(std lin˜=0)

corr=cov/std lin;

matriz(corr possiveis(num,1),corr possiveis(num,2))=corr;

matriz(corr possiveis(num,2),corr possiveis(num,1))=corr;

end

else

corr=0

end

clear a;

clear b;

end

matriz

81

Apendice E

Codigo para calcular Correlacoes

Intraclasse

E.1 Correlacoes entre Nıveis de Tensao

clear all;

clc;

close all;

a=0.01;

a var=(a−0.03)/(1+0.03);

soms Perdas=0;

soms END=0;

soms Perdas var=0;

soms END var=0;

t=0.075;

% calculo auxiliar para c

for n anos=1:10

soms Perdas=soms Perdas + (((1+a)ˆ(2*n anos))/(1+t)ˆn anos);

end

for n anos=1:10

soms Perdas var=soms Perdas var + (((1+a var)ˆ(2*n anos))/(1+t)ˆn anos);

end

for n anos=1:10

soms END=soms END + (((1+a)ˆn anos)/(1+t)ˆn anos);

end

for n anos=1:10

soms END var=soms END var + (((1+a var)ˆn anos)/(1+t)ˆn anos);

end

82

%calculo de c

for j=0:5

filename = 'dados EDP 2';

sheet = j+1;

xlRange = 'D2:D43';

dados inv p = xlsread(filename, sheet, xlRange);

xlRange = 'E2:E43';

dados inv real = xlsread(filename, sheet, xlRange);

xlRange = 'F2:F43';

dados B C = xlsread(filename, sheet, xlRange);

% Preenche matriz dos projectos

for i=1:42

Beneficio(42*j+i,1)=dados inv p(i,1)*dados B C(i,1);

c(42*j+i,2)=Beneficio(42*j+i,1)−dados inv p(i,1);

Perdas=(Beneficio(42*j+i,1)/2)/(soms Perdas);

END=(Beneficio(42*j+i,1)/2)/(soms END);

I var=dados inv p(i,1)/0.73;

c(42*j+i,1)=Perdas*soms Perdas var + END*soms END var − I var;

c(42*j+i,3)=2*c(42*j+i,2)−c(42*j+i,1);

if i<4

c(42*j+i,4)=1+j;

%1+3*j

end

if (i>3 && i<13)

c(42*j+i,4)=1+j;

% 2+3*j

end

if (i>7 && i<43)

c(42*j+i,4)=1+j;

end

c(42*j+i,5)=Beneficio(42*j+i,1)−dados inv real(i,1);

end

end

c aux=c;

num projs=size(c,1);

num projs aux=num projs;

combin=180*54*18;

for i=0:5

for j=1:42

if j<4

for z=1:(combin/18)

matriz intra(1,j+z*18)=c(42*i+j,5)−c(42*i+j,3);

83

end

end

if (j>3 && j<13)

for z=1:(combin/54)

matriz intra(2,j+z*54)=c(42*i+j,5)−c(42*i+j,3);

end

end

if (j>7 && j<43)

for z=1:(combin/180)

matriz intra(3,j+z*180)=c(42*i+j,5)−c(42*i+j,3);

end

end

end

end

BMS=0;

WMS=0;

k=180*54*18;

media=mean2(matriz intra);

for i=1:3

media linha(i)=mean(matriz intra(i,:));

BMS=BMS+(media linha(i)−media)ˆ2;

end

BMS=BMS*k;

BMS=BMS/(2*(k−1))

for j=1:k

for i=1:3

WMS=WMS+(matriz intra(i,j)−media linha(i))ˆ2;

end

end

WMS

ICC=(BMS−WMS)/(BMS+(k−1)*WMS)

84

Apendice F

Optimizacao de portfolios

F.1 Portfolio Exemplo composto po projectos reais

Tabela F.1: Portfolio do Exemplo

ID projecto VsR (ke) VAL (ke) 2*VAL-VsR (ke) Tipo de Rede

116 52 90 128 BT243 5 41 78 BT138 -28 200 428 BT131 -129 902 1934 MT58 -40 4 48 BT

123 5 30 55 BT157 -4 29 63 BT171 4432 5859 7285 AT100 -20 25 71 BT90 -223 0 223 MT

249 -5 25 56 BT10 1213 2169 3125 BT

223 118 213 308 BT230 -11 37 85 BT201 -28 0 28 BT

F.2 Codigo para Optimizacao de Projectos reais

clear all

clc

% Dados para calculo de c

a=0.01;

a var=(a−0.03)/(1+0.03);

soms Perdas=0;

soms END=0;

85

soms Perdas var=0;

soms END var=0;

t=0.075;

% calculo auxiliar para c

for n anos=1:10

soms Perdas=soms Perdas + (((1+a)ˆ(2*n anos))/(1+t)ˆn anos);

end

for n anos=1:10

soms Perdas var=soms Perdas var + (((1+a var)ˆ(2*n anos))/(1+t)ˆn anos);

end

for n anos=1:10

soms END=soms END + (((1+a)ˆn anos)/(1+t)ˆn anos);

end

for n anos=1:10

soms END var=soms END var + (((1+a var)ˆn anos)/(1+t)ˆn anos);

end

%calculo de c

for j=0:5

filename = 'Dados EDP Final';

sheet = j+1;

xlRange = 'D2:D43';

dados inv p = xlsread(filename, sheet, xlRange);

xlRange = 'E2:E43';

dados inv real = xlsread(filename, sheet, xlRange);

xlRange = 'F2:F43';

dados B C = xlsread(filename, sheet, xlRange);

xlRange = 'K2:K43';

tipo proj = xlsread(filename, sheet, xlRange);

% xlRange = 'K2:K13';

% n anos = xlsread(filename, sheet, xlRange);

for i=1:42

Beneficio(42*j+i,1)=dados inv p(i,1)*dados B C(i,1);

c(42*j+i,2)=Beneficio(42*j+i,1)−dados inv p(i,1);

if (tipo proj(i,1)==1)

Perdas=0;

END=(Beneficio(42*j+i,1))/(soms END);

end

if (tipo proj(i,1)==2)

Perdas=(Beneficio(42*j+i,1)/2)/(soms Perdas);

86

END=(Beneficio(42*j+i,1)/2)/(soms END);

end

if (tipo proj(i,1)==3)

Perdas=(Beneficio(42*j+i,1))/(soms Perdas);

END=0;

end

I var=dados inv p(i,1)/0.73;

c(42*j+i,1)=Perdas*soms Perdas var + END*soms END var − I var;

c(42*j+i,3)=2*c(42*j+i,2)−c(42*j+i,1);

% c(12*j+i,1)=c(12*j+i,2)−10000;

% c(12*j+i,3)=c(12*j+i,2)+10000;

if i<4

c(42*j+i,4)=1;

%1+3*j

end

if (i>3 && i<13)

c(42*j+i,4)=2;

% 2+3*j

end

if (i>7 && i<43)

c(42*j+i,4)=3;

end

c(42*j+i,5)=Beneficio(42*j+i,1)−dados inv real(i,1);

end

end

% inicializar variaveis para calcular portefolio optimo

best VAL p=0;

best std p=0;

best Risco=100;

var p=0;

best Utility=0;

c aux=c;

num projs=size(c,1);

num projs aux=num projs;

counter=1;

n rep=1;

check=0;

VAL p=0;

% var imposto=4;

% VAL imposto=15;

Risco imposto=20;

matriz=zeros(3);

clear c aux

87

%Matriz base exemplo

c aux(1,:)=c(116,:);

c aux(2,:)=c(243,:);

c aux(3,:)=c(138,:);

c aux(4,:)=c(131,:);

c aux(5,:)=c(58,:);

c aux(6,:)=c(123,:);

c aux(7,:)=c(157,:);

c aux(8,:)=c(171,:);

c aux(9,:)=c(100,:);

c aux(10,:)=c(93,:);

c aux(11,:)=c(249,:);

c aux(12,:)=c(10,:);

c aux(13,:)=c(223,:);

c aux(14,:)=c(230,:);

c aux(15,:)=c(201,:);

c aux aux=c aux

num projs aux=15;

while(num projs aux>0)

m=1;

n=1;

VAL p=0;

% cria a matriz correlacao e calcula desvios padroes individuais

for i=1:num projs aux

for j=1:num projs aux

matriz corr(i,j)=0;

end

VAL p=VAL p+c aux(i,2);

std uni(i)=sqrt(2*(c aux(i,2)−c aux(i,1))ˆ2*.05);

end

vari p=0;

vari p aux=0;

% Calcula a primeira parte da formula do desvio padrao do portfolio

for i=1:num projs aux

vari p=vari p+std uni(i)ˆ2;

end

% Calcula a segunda componente da formula do desvio padrao do portfolio

for i=1:num projs aux

for j=1:num projs aux

if(i˜=j)

vari p aux=vari p aux+(std uni(i)*std uni(j)*matriz corr(i,j));

end

end

88

end

% soma as duas parcelas

std p=sqrt(abs(vari p+vari p aux));

var p=VAL p−1.644*std p;

Risco=((VAL p−var p)/abs(VAL p))*100;

Utility=0.05*log(var p)+0.05*log((2*VAL p−var p))+0.9*log(VAL p);

%Condicoes seleccao portfolio

if(best Utility<Utility)

clear best c

best Utility=Utility;

best VAL p=VAL p;

best var p=var p;

best Risco=Risco;

best c=c aux;

best std p=std p;

best matriz corr=matriz corr;

end

if (counter==n rep)

num projs aux=num projs aux−1;

if (num projs aux==0)

break

end

combs=combinator(15,num projs aux,'c');

c aux=zeros(num projs aux,5);

n rep=length(combs);

counter=1;

end

for i=1:num projs aux

c aux(i,:)=c aux aux(combs(counter,i),:);

end

clear matriz corr

clear std uni

counter=counter+1;

end

if (best VAL p==0)

display('nao existem portfolios que obedecem as condicoes especificadas');

else

best c

best Risco

best VAL p

best std p

best var p

end

89