Estudo do Sistema de Hénon-Heiles utilizando o MAPLE · descreve o modelo do movimento de uma...

*Bolsista de mestrado UNESP/PROPG Estudo do Sistema de Hénon-Heiles utilizando o MAPLE Juliano A. Vérri* Patrícia D. B. Silva Marcelo Messias Depto de Matemática, Estatística e Computação, FCT, UNESP 19060-900, Presidente Prudente, SP E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] RESUMO Um sistema Hamiltoniano com dois graus de liberdade é definido por , , , , onde H é a função Hamiltoniana do sistema. Em termos físicos, e são coordenadas generalizadas e e representam o momento generalizado. Fazendo e a função Hamiltoniana pode ser expressada como , onde e são a energia cinética e energia potencial, respectivamente. Sistemas Hamiltonianos com dois graus de liberdade podem ser integráveis ou não- integráveis, tendo suas trajetórias em espaços de quatro dimensões. Sabe-se que sistemas completamente integráveis mostram um comportamento suave e notável regularidade em todas as partes do espaço de fase, enquanto sistemas não-integráveis podem apresentar soluções bastante complexas, do ponto de vista dinâmico [1]. O objetivo deste trabalho foi o estudo do sistema não-integrável de Hénon-Heiles, que descreve o modelo do movimento de uma estrela em torno de um centro galáctico. Tal sistema apresenta, para determinadas condições iniciais, comportamento caótico, que pode ser representado e estudado através da transformação de Poincaré a ele associada. A função Hamiltoniana que determina as equações do sistema de Hénon-Heiles é dada por , onde e representam o momento e e são as coordenadas da posição da partícula. Na Figura 1, partes (a) a (d), mostramos algumas soluções do sistema de Hénon-Heiles, obtidas com o software MAPLE, que constitui uma importante ferramenta para o estudo de sistemas no R 4 , utilizando-se seções e transformações de Poincaré. (a) 1103 ISSN 1984-8218

Upload
dinhdiep
Category

Documents
view
214
download
0

Embed Size (px):

Transcript of Estudo do Sistema de Hénon-Heiles utilizando o MAPLE · descreve o modelo do movimento de uma...

*Bolsista de mestrado UNESP/PROPG

Estudo do Sistema de Hénon-Heiles utilizando o MAPLE

Juliano A. Vérri* Patrícia D. B. Silva Marcelo Messias Depto de Matemática, Estatística e Computação, FCT, UNESP

19060-900, Presidente Prudente, SP E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

RESUMO

Um sistema Hamiltoniano com dois graus de liberdade é definido por

, , , , onde H é a função Hamiltoniana do sistema. Em termos físicos, e são coordenadas generalizadas e e representam o momento generalizado. Fazendo e

a função Hamiltoniana pode ser expressada como ,

onde e são a energia cinética e energia potencial, respectivamente. Sistemas Hamiltonianos com dois graus de liberdade podem ser integráveis ou não-

integráveis, tendo suas trajetórias em espaços de quatro dimensões. Sabe-se que sistemas completamente integráveis mostram um comportamento suave e notável regularidade em todas as partes do espaço de fase, enquanto sistemas não-integráveis podem apresentar soluções bastante complexas, do ponto de vista dinâmico [1]. O objetivo deste trabalho foi o estudo do sistema não-integrável de Hénon-Heiles, que descreve o modelo do movimento de uma estrela em torno de um centro galáctico. Tal sistema apresenta, para determinadas condições iniciais, comportamento caótico, que pode ser representado e estudado através da transformação de Poincaré a ele associada. A função Hamiltoniana que determina as equações do sistema de Hénon-Heiles é dada por

, onde e representam o momento e e são as coordenadas da posição da partícula.

Na Figura 1, partes (a) a (d), mostramos algumas soluções do sistema de Hénon-Heiles, obtidas com o software MAPLE, que constitui uma importante ferramenta para o estudo de sistemas no R4, utilizando-se seções e transformações de Poincaré.

(a)

1103

ISSN 1984-8218

Page 2: Estudo do Sistema de Hénon-Heiles utilizando o MAPLE · descreve o modelo do movimento de uma estrela em torno de um centro galáctico. Tal sistema apresenta, para determinadas condições

(b)

(c)

(d)

Figura 1: Projeção tridimensional da superfície da seção de Poincaré do sistema de Hénon-Heiles com as condições

iniciais , , e fixas e com assumindo os seguintes valores: (a) 0.1, (b) 0.2, (c) 0.35 e (d) 0.5.

Concluí-se que com aumento do valor de (conseqüentemente da energia) do sistema, pode ocorrer o comportamento caótico das soluções. Palavras-chave: Sistemas Hamiltonianos, Sistema de Hénon-Heiles, MAPLE. Referências [1] S. Lynch, Dynamical Systems with Applications using Maple, 2a ed.,Birkhäuser,2010 [2] S. Smale, M. W. Hirsch, R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems &

An Introduction to Chaos, 2a ed., Elsevier, 2004

1104

ISSN 1984-8218