*Bolsista de mestrado UNESP/PROPG
Estudo do Sistema de Hénon-Heiles utilizando o MAPLE
Juliano A. Vérri* Patrícia D. B. Silva Marcelo Messias Depto de Matemática, Estatística e Computação, FCT, UNESP
19060-900, Presidente Prudente, SP E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
RESUMO
Um sistema Hamiltoniano com dois graus de liberdade é definido por
, , , , onde H é a função Hamiltoniana do sistema. Em termos físicos, e são coordenadas generalizadas e e representam o momento generalizado. Fazendo e
a função Hamiltoniana pode ser expressada como ,
onde e são a energia cinética e energia potencial, respectivamente. Sistemas Hamiltonianos com dois graus de liberdade podem ser integráveis ou não-
integráveis, tendo suas trajetórias em espaços de quatro dimensões. Sabe-se que sistemas completamente integráveis mostram um comportamento suave e notável regularidade em todas as partes do espaço de fase, enquanto sistemas não-integráveis podem apresentar soluções bastante complexas, do ponto de vista dinâmico [1]. O objetivo deste trabalho foi o estudo do sistema não-integrável de Hénon-Heiles, que descreve o modelo do movimento de uma estrela em torno de um centro galáctico. Tal sistema apresenta, para determinadas condições iniciais, comportamento caótico, que pode ser representado e estudado através da transformação de Poincaré a ele associada. A função Hamiltoniana que determina as equações do sistema de Hénon-Heiles é dada por
, onde e representam o momento e e são as coordenadas da posição da partícula.
Na Figura 1, partes (a) a (d), mostramos algumas soluções do sistema de Hénon-Heiles, obtidas com o software MAPLE, que constitui uma importante ferramenta para o estudo de sistemas no R4, utilizando-se seções e transformações de Poincaré.
(a)
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ISSN 1984-8218
(b)
(c)
(d)
Figura 1: Projeção tridimensional da superfície da seção de Poincaré do sistema de Hénon-Heiles com as condições
iniciais , , e fixas e com assumindo os seguintes valores: (a) 0.1, (b) 0.2, (c) 0.35 e (d) 0.5.
Concluí-se que com aumento do valor de (conseqüentemente da energia) do sistema, pode ocorrer o comportamento caótico das soluções. Palavras-chave: Sistemas Hamiltonianos, Sistema de Hénon-Heiles, MAPLE. Referências [1] S. Lynch, Dynamical Systems with Applications using Maple, 2a ed.,Birkhäuser,2010 [2] S. Smale, M. W. Hirsch, R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems &
An Introduction to Chaos, 2a ed., Elsevier, 2004
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ISSN 1984-8218
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