Estudo dos Pontos de Equilíbrio em Modelos Determinísticos da Dinâmica do HIV
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Estudo dos Pontos de Equilíbrio em
Modelos Determinísticos da
Dinâmica do HIV
Aluna: Ligia Belarmino da SilvaOrientadora: Prof.ª Dr.ª Joyce da Silva Bevilacqua
Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade de São Paulo
Programa
• Introdução
• Objetivo
• Modelos matemáticos
• Ponto de equilíbrio
• Implementação numérica
• Resultados
• Conclusão
Introdução
• Histórico da doença
1982 1983
Evidência epidemiológica
Instituto Pasteur – França Institutos Nacionais de Saúde – Estados Unidos
1986
HIV: Human Immunodeficiency Vírus
1987
Aprovado o uso da droga anti-HIV AZT
1995
Aprovado o uso de mais dois tipos de droga: inibidores de protease e inibidores reversos não-nucleóides
2003
Teste da primeira vacina contra o HIV falha
Introdução
• AIDS no Brasil
Casos de AIDS e ano de diagnóstico
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
1980
-199
219
9319
9419
9519
9619
9719
9819
9920
0020
0120
0220
0320
04
Ano
Cas
os Masculino
Feminino
Casos de AIDS por ano de diagnóstico
Introdução
• AIDS no BrasilÓbitos por AIDS por região
0
5000
10000
15000
20000
25000
Ano
Ób
ito
s
Norte
Nordete
Sul
Centro-Oeste
Sudeste
Óbitos por AIDS segundo ano do óbito e região
Introdução
• Apresentação do fenômeno
Esboço do ciclo de vida do HIV
Objetivos
• Analisar variação temporal dos parâmetros dos modelos existentes na literatura
• Calcular numericamente e classificar pontos de equilíbrio para os sistemas não-lineares dos modelos
• Construir mapas com identificações de áreas de estabilidade e instabilidade
Modelos – Modelo Básico
*dT
dt
dT
dt
dV
dt
T
T*V
s p
dT
k
c
k
s pT Td T kVT
kVT *T
*N T cV
Modelo 1Alan S. Perelson, Denise E. Kirshner e Rob de Boer - 1993
cVVTkTNdt
dV
TTkdt
dT
TkTdVTkdt
dT
VTkT
TTTpTTds
dt
dT
T
T
1**
***2
**
*2
*1
*
1max
***
1
Modelo 2Alan S. Perelson, Patrick W. Nelson - 1999
cVTNdt
dV
TkVTdt
dT
kVTTdT
TpTs
dt
dT
TR
TRT
*
**
max
1
11
Pontos de equilíbrioDefinição
• Biológica
• Matemática
Condição em que o paciente permanece estabilizado em torno dela durante certo período de tempo.
**
*
T
dTs pT d T kVT
dt
dTkVT T
dtdV
N T cVdt
*
0
0
0
dT
dt
dT
dtdV
dt
*, ,T T V tal que,
y(t)
y0
Pontos de equilíbrio
0
Estável
Instável
Assintoticamenteestável
Classificação
Pontos de equilíbrio
Técnicas de classificação (Liapunov):
• Funções auxiliares (método direto)
• Linearização (método indireto)
Classificação
- Função de Liapunov para estabilidade- Função de Liapunov para estabilidade assintótica- Função de Liapunov para instabilidade
Seja um ponto de equilíbrio.Se os autovalores de têm - Parte real menor que zero, então é assintoticamente estável - Parte real maior que zero, então é instável
0y0( )JF y
0y0y
Resolução numérica
Resolução de equações
• Bissecção
• Ponto fixo
• Newton
• Secante
• Falsa posição
Resolução numéricaPonto Fixo
0f x x g x
y
xa
a
b
b
p
p = g(p)
y = g(x)
y = x
Resolução numérica
pp0p1
p2
Inclinação f’ ( p1 )y = f ( x )
y
x
Inclinação f’ ( p0 )
Newton
f x
g x xf x
Newton para sistemas
F x 0 x G x
1( ) ( )J
G x x F x F x
1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( ) ( ).k k k k kJ x G x x F x F x
( 1) ( 1)( )k kJ F x y F x
( ) ( 1)k k x x y
Implementação numéricaModelo 1
• s : taxa de suprimento de células T CD4+ a partir de células precursoras
• p : taxa de crescimento para a população de células T CD4+
• dT : taxa de morte da população de células T CD4+ não infectadas
• : taxa de morte da população de células T CD4+ infectadas produtivamente
• c : taxa de morte de vírus livres
• k1 : taxa pela qual as células T CD4+ tornam-se infectadas por vírus livres
• k2 : taxa pela qual as células T CD4+ infectadas latentemente tornam-se
ativamente infectadas
• N : número de partículas virais produzidas por lise das células infectadas
• Tmax : nível máximo da população de células T CD4+
Implementação numéricaModelo 2
• s : taxa de suprimento de células T CD4+ a partir de células precursoras
• p : taxa de crescimento para a população de células T CD4+
• dT : taxa de morte da população de células T CD4+ não infectadas
• : taxa de morte da população de células T CD4+ infectadas produtivamente
• c : taxa de morte de vírus livres
• k : taxa pela qual as células T CD4+ tornam-se infectadas produtivamente por vírus livres
• N : número de partículas virais produzidas por lise das células infectadas
• Tmax : nível máximo da população de células T CD4+
• TR : eficácia do inibidor de transcriptase reversa
Implementação numéricaModelo 1 dT k1 k2 N c
Tmax
dT
k1
k2
N
Modelo 2 dT k TR N c
Tmax
dT
k
TRN
Implementação numérica
• Criar arquivo de entrada
• Execução do Método de Newton para sistemas
• Classificação do ponto de equilíbrio
Para cada par de parâmetros:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
dT
Tm
ax
Implementação numérica
Par1
10%0%-10%-20%-50% 20% 50%
50%
20%
10%
0%
-10%
-20%
-50%
Par
2
Implementação numéricaModelo 1 dT k1 k2 N c
Tmax
dT
k1
k2
N
Modelo 2 dT k TR N c
Tmax
dT
k
TRN
OK OK
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
k1
dT
ResultadosModelo 1
10%
20%
50%
0%
-10%
-20%
-50%
-50% -20% -10% 0% 10% 20% 50%
dT k2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Nk2
10%
20%
50%
-20%
-50%
0%
-10%
-50% -20% -10% 0% 10% 20% 50%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
NTm
ax
ResultadosModelo 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
c
I-NT
10%
20%
50%
0%
-10%
-20%
-50%
-50% -20% -10% 0% 10% 20% 50%
TRTm
10%
20%
50%
-20%
-50%
0%
-10%
-50% -20% -10% 0% 10% 20% 50%
Conclusões e sugestões de continuidade
• Resultados consistentes e esperados.
• Grade de valores dos parâmetros.
• Introdução de novas equações reestruturando os
modelos para retratar melhor a dinâmica.
• Implementação de outro método numérico .