Estudo sobre a EVOLUÇÃO TEMPORAL DE SISTEMAS QUÂNTICOS€¦ · Estudo sobre a EVOLUC˘AO...

Estudo sobre aEVOLUCAO TEMPORAL DE SISTEMAS QUANTICOS

Lucio Fassarella

DMA/CEUNES/UFES

30 de agosto de 2012

L. Fassarella (DMA/CEUNES/UFES) Evolucao Temporal de Sistemas Quanticos 30 de agosto de 2012 1 / 41

Estrutura

1 Motivacoes

2 Mecanica Quantica- Postulados- Evolucao temporal- Sistema livre

3 Sistemas CCR

4 Sistemas Quanticos Markovianos

5 Qubit Dispersivo

6 Conclusoes

7 Perspectivas


Motivacoes

A motivacao e compreender aspectos fundamentais da teoriaquantica, visando ampliar seu alcance, perceber seus limites e iralem (se isso for necessario) ...

A ideia consiste em analisar com vies matematico questoes simples efundamentais da fısica.

As perguntas podem ser ingenuas, as respostas devem ser perspicazes.


Motivacoes: perguntas iniciais

Sistemas quanticos fechados tem evolucao temporalunitaria, i.e., descrita por grupos uniparametricos de operadoresunitarios.

- Por que?

- E possıvel deduzir a unitariedade da evolucao temporal dossistemas quanticos fechados, partindo de uma definicao genericae natural?

- E possıvel deduzir que a evolucao temporal dos sistemasquanticos fechados e invariante sob ’reversao do tempo’?

- Afinal, o que e um sistema quantico isolado/livre?


Motivacoes: respostas...

Ha varias maneiras de introduzir a evolucao temporal na MecanicaQuantica:

- Postular a equacao de Schrodinger.(Cohen et. al., Nielsen-Chuang, Prugovecki, Ishan)

- Postular que a evolucao temporal e uma simetria da teoria quantica.(Jauch, Ballentine)

- Postular que a evolucao temporal e operador linear isometrico (preservasuperposicoes e probabilidades).(Dirac, Landau, Sakurai)

- Postular caracterısticas gerais da evolucao temporal e deduzirpropriedades especiais em circunstancias particulares.(Aqui...)


Mecanica Quantica: postulados (para fixar o contexto e a notacao)

(H , A , S , Γt2,t1)

H = espaco de Hilbert

A = conjunto de observaveis,

A ⊂ B (H)sa

S = conjunto de estados,

S ⊂ T (H)+1 ⊂ B (H)

Γt2,t1 = evolucao temporal (no formalismo de Schrodinger),

Γt2,t1 : S → S (t2 > t1)


Mecanica Quantica: postulados

Postulado Fundamental: o valor esperado de um observavel A ∈ Aquando o sistema esta no estado ρ ∈ S e dado por:

〈A | ρ〉 := tr (ρA)

Para um estado puro ρ = |ψ〉〈ψ| definido por um vetor unitario |ψ〉 ∈ H:

〈A〉ψ = 〈ψ|A |ψ〉


Mecanica Quantica: evolucao temporal representacao de

Schrodinger

Γt2,t1 : S → S (t2 > t1)

Fatorizacao: Γt3,t1 = Γt3,t2Γt2,t1 , ∀t3 > t2 > t1

Superposicoes: Γt2,t1(sρ+ (1− s) ρ′

)= sΓt2,t1 (ρ) + (1− s) Γt2,t1

(ρ′)

Continuidade: limt↓t1‖Γt,t1 (ρ)− ρ‖tr = lim

t↑t2‖Γt2,t (ρ)− ρ‖tr = 0

I Interpretacao fısica: se ρ1 e o estado do sistema no instante t1,entao Γt2,t1 (ρ1) e o estado do sistema no instante t2 > t1.


Mecanica Quantica: evolucao temporal

Imposicoes tecnicas

Extensao : Γt2,t1 : T (H)→ T (H) , ∀t2 > t1

Linearidade : Γt2,t1(zσ + z′σ′

)= zΓt2,t1 (σ) + z′Γt2,t1

(σ′)

Positividade : Γt2,t1 (σ∗σ) ≥ 0

Traco : tr (Γt2,t1σ) = tr (σ)



Evolucao temporal Markoviana:

Γt′2,t′1 = Γt2,t1 , t′2 − t′1 = t2 − t1 > 0

Nesse caso, a famılia de operadores de evolucao temporal constitui umsemigrupo uniparametrico de operadores em T (H):

Γt := Γt0+t,t0 , ∀t > 0

Γt independe da escolha de t0 e a propriedade de semigrupo significa:

Γt′Γt = Γt′+t , ∀t′, t > 0



Evolucao temporal unitaria:

Γt2,t1 (ρ) = U∗t2,t1ρUt2,t1

onde Ut2,t1 e unitario e tambem satisfaz a propriedade de fatorizacao:

Ut3,t1 = Ut3,t2Ut2,t1 , ∀t3 > t2 > t1


Mecanica Quantica: evolucao temporal: equacao de Schrodinger

Teorema

Se a evolucao temporal e Markoviana e unitaria, entao a famılia de operadores deevolucao constitui um grupo uniparametrico unitario (grupo evolucao temporal):

Ut :=

Γt0+t,t0

IΓ∗t0,t0+t

, t > 0, t = 0, t < 0

Devido a continuidade, o grupo evolucao temporal possui um gerador infinitesimalh, i.e., um operador auto-adjunto densamente definido no espaco de Hilbert H talque

Ut = e−iht/~ , ∀s ∈ R

Nesse caso, os vetores de estados dependentes do tempo satisfazem a equacao deSchrodinger:

i~d

dt|ψ〉 = h |ψ〉


Afinal, o que e um sistema quantico isolado/livre?


Mecanica Quantica: sistema livre

Definicao

Um sistema quantico (H,A,S,Γt2,t1) e livre quando sua energia,momento e momento angular tem valores esperados constantes comrespeito a qualquer estado dependente do tempo, i.e.,

〈H | Γt2,t1 (ρ)〉 = 〈H | ρ〉

〈Pµ | Γt2,t1 (ρ)〉 = 〈Pµ | ρ〉

〈Jµ | Γt2,t1 (ρ)〉 = 〈Jµ | ρ〉

I Definicao “inspirada” na Lei da Inercia...I Da para verificar que essa definicao e compatıvel com o senso

comum...L. Fassarella (DMA/CEUNES/UFES) Evolucao Temporal de Sistemas Quanticos 30 de agosto de 2012 14 / 41

Mecanica Quantica: partıcula livre

Partıcula nao-relativıstica

Espaco de Hilbert e Hamiltoniano:

H = L2(R3), H =

~P 2

2m+ V

(~P , ~X

)Evolucao temporal (equacao de Schrodinger):

d

dt|ψ〉 =

1i~H |ψ〉 Ut = e−iHt/~

Teorema

Se V e quadratico nas componentes do momento, entao:

Partıcula livre ⇐⇒ V ≈ 0


E possıvel deduzir a unitariedade da evolucao temporaldos sistemas quanticos fechados,

partindo de uma definicao generica e natural?

Sim, sob certas circunstancias...


Sistema CCR: definicao

Sistema CCR:

I Sistema quantico com espaco de Hilbert separavel HI Uma famılia {(Qk, Pk) ; k = 1, 2, ...} de observaveis generalizados1

basicos que possuem um domınio comum, denso e invariante D ⊂ He que satisfazem as relacoes canonicas de comutacao (CCR):

[Pk, Pk′ ] = 0[Qk, Qk′ ] = 0[Pk, Qk′ ] = −δkk′i~I

em D

I Evolucao temporal Γt2,t1 que preserva as relacoes canonicas decomutacao.

Cada par (Qk, Pk) descreve um grau de liberdade do sistema, sendo Qk a variavelgeneralizada e Pk seu momento canonicamente conjugado.

1Observavel generalizado: operador auto-adjunto com domınio densoinvariante D ⊂ H.L. Fassarella (DMA/CEUNES/UFES) Evolucao Temporal de Sistemas Quanticos 30 de agosto de 2012 17 / 41

Sistema CCR: definicao

Relacoes de Weyl:

Wk (a) := e−iaPk (a ∈ R) , Vk (b) := e−ibQk (b ∈ R)Wk (a)Wk′ (a′) = Wk′ (a′)Wk (a)Vk (b) , Vk′ (b′) = Vk′ (b′)Vk (b)Wk (a)Vk′ (b′) = δkk′ei~ab

′Vk′ (b′)Wk (a)

em H

As relacoes de Weyl implicam as relacoes canonicas de comutacao, mas arecıproca nao e valida.


Sistema CCR: Teorema

Teorema

Considere um sistema CCR no espaco de Hilbert H com numero finito Nde graus de liberdade,

{(Qk, Pk) ; k = 1, 2, ..., N}

I) Assuma que

- a evolucao temporal preserva as componentes irredutıveis da acao dosoperadores Qk e Pk;

- o sistema satisfaz as relacoes de Weyl.

Entao evolucao temporal do sistema e unitaria, i.e.,

Γt2,t1 = adUt2,t1


Sistema CCR: Teorema

Teorema

II) Alem das condicoes em (I), suponha tambem que o sistema seja livre.Entao os operadores de evolucao comutam com as componentes demomento:

[Ut2,t1 , Pk] = 0

III) Alem das condicoes em (II), suponha tambem que:- a evolucao temporal seja Markoviana;- o gerador da evolucao temporal h seja quadratico nos momentos.

Entao, h tem a seguinte forma:

h =N∑k=1

(Pk

2mk− αkI

)2

+ βI em cada componente irredutıvel


Sistema CCR: prova do Teorema

(I) Unitariedade da evolucao temporal

Segue do Teorema de Stone-von Neumann:

Γt2,t1 em S Γt2,t1 em A

(Qk, Pk) 7→(

Γt2,t1 (Qk) , Γt2,t1 (Pk))

; ∀k = 1, ..., N︸︷︷︸nova representacao de CCR

Γt2,t1 deve ser unitaria︸︷︷︸Teorema de Stone-von Neumann

Γt2,t1 deve ser unitaria



(II) Comutacao dos momentos com os operadores de evolucaotemporal

∀ρ ∈ S ∴

〈Pk | Γt2,t1 (ρ)〉 = 〈Pk | ρ〉 ⇐⇒ tr{PkU

∗t2,t1ρUt2,t1

}= tr {Pkρ}

⇐⇒ tr{(Ut2,t1PkU

∗t2,t1 − Pk

)ρ}

= 0

Ut2,t1PkU∗t2,t1 − Pk = 0

Como Ut2,t1 e unitario,

Ut2,t1Pk = PkUt2,t1



(III) Forma de h

A hipotese do sistema ser Markoviano implica

Ut = e−iht/~

Entao:

0 =d

dt(UtPk − PkUt) =

−i~Ut (hPk − Pkh)Ut [Pk, h] = 0

h = h (P1, ..., PN ) em cada componente irredutıvel

Como h e funcao quadratica nas componentes do momentos,

h =N∑k=1

(Pk

2mk− αkI

)2

+ βI em cada componente irredutıvel


Sistema CCR: comentarios sobre o Teorema

O Teorema explica porque certa classe de sistemas quanticos deve terevolucao temporal unitaria!

(Essa explicacao torna-se mais relevante fisicamente quando combinada as razoespara o uso das relacoes canonicas de comutacao na Mecanica Quantica.)

O Teorema explica o fato das leis fundamentais da fısica serem invariantes sobreversao temporal!

(Essa explicacao e parcial pois depende da validade das hipoteses...)

O Teorema indica como ir alem da evolucao temporal unitaria!

(Basta investigar modelos que nao cumprem (pelo menos) uma das hipoteses doTeorema.)


Alem da evolucao temporal unitaria...


Sistema Quantico Markoviano

Teorema

A evolucao temporal de sistemas quanticos com evolucao temporalMarkoviana e caracterizada pela equacao de Liouville:

d

dtρ = L (ρ)

L = Liouvilliano (gerador infinitesimal do semigrupo de evolucao temporal)

Este teorema e uma generalizacao do Teorema de Stone: enquanto oTeorema de Stone determina geradores infinitesimais de grupos uniparametricosem espacos de Hilbert, esse teorema determina geradores infinitesimais parasemigrupos uniparametricos em espacos de Banach.



Teorema

Nas condicoes do teorema anterior,- Se dimensao do espaco de Hilbert e finita, dimH = N ;- Se gerador L e um operador completamente positivo.Entao o Liouvilliano do sistema pode ser escrito na forma de Lindblad:

L (σ) =−i~

[H,σ] +N2−1∑i,j=1

aij

(FiσF

∗j −

12(F ∗j Fiσ + σF ∗j Fi

))︸︷︷︸

Dissipador

onde...



Teorema...- Base de operadores: (Fj)j=1,...,N2 e um conjunto completo de operadoresem T (H) tais que

FN2 = I/√N , tr (F ∗i Fj) = δij , ∀i, j = 1, ..., N2

- Matriz de Kossakowski: (aij)i,j=1,...,N2 e uma matriz nao-negativa.

Alem disso, para cada famılia (Fj) a matriz (aij) e unica e o operador H e

unico sob a condicao tr (H) = 0.



Conclusao: para construir um modelo de sistema quantico (com espacode Hilbert de dimensao finita) com evolucao temporal Markoviana ecompletamente positiva, basta definir um Liouvilliano pela escolha da basede operadores(Fj)j=1,...,N2 e da matriz de Kossakowski (aij)i,j=1,...,N2!


Qubit Dispersivo: definicao

Espaco de Hilbert e Hamiltoniano:

H = C2 , H =(E1 00 E0

)Base de operadores:

σ0 :=(

1 00 1

), σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)Matriz de Kossakowski:

aij =12λδi3δj3 , λ ≥ 0 (i, j = 1, 2, 3)

Equacao de movimento:

d

dtρ =

12λ (σ3ρσ3 − ρ)− i∆

2(σ3ρ− ρσ3)

onde~ := 1 , ∆ := E1 − E0


Qubit Dispersivo: estados dependentes do tempo

ρ (t) =(ρ11 (t) ρ12 (t)ρ21 (t) ρ22 (t)

)Equacao diferencial (linear de primeira ordem):(

ρ11 (t) ρ12 (t)ρ21 (t) ρ22 (t)

)=(

0 − (λ+ i∆) ρ12 (t)− (λ− i∆) ρ21 (t) 0

)Solucao:

ρ (t) =(

ρ11 (0) e−(λ+i∆)tρ12 (0)e−(λ−i∆)tρ21 (0) ρ22 (0)

), t ≥ 0

Consistencia: se ρ (0) e uma matriz-densidade, entao ρ (t) tambem ematriz-densidade, ∀t > 0.


Qubit Dispersivo: propriedades

i) Conservacao da energia:

d

dt〈H; ρ (t)〉 = 0

ii) Nao-invariancia sob reversao temporal, i.e., nao existe um operadorΥ : S → S satisfazendo- Idempotencia:

Υ2 = id

- Equacao de reversao temporal:

ΓtΥΓt = Υ , ∀t > 0

Destaque: a condicao de positividade de ρ (t) e violada para momentosanteriores ao instante

t∗ := ln(

1− ρ11 (0)λ |ρ12 (0)|

)Mais precisamente, se ρ (0) e nao-negativa, entao ρ (t) nao e nao-negativapara todo t < t∗.Isso significa que nao podemos extrapolar naturalmente os estadosdependentes do tempo para momentos anteriores a t∗.


Qubit Dispersivo: propriedades

iii) Crescimento da entropia de von Neumann:

S [ρ (t)] = −tr {ρ (t) log ρ (t)}

= log 2− a log(

1 +√

1− 4(a (1− a)− |b|2 e−2λt

))+

− (1− a) log(

1−√

1− 4(a (1− a)− |b|2 e−2λt

))


Qubit Dispersivo: comentario

No modelo Qubit Dipersivo, a evolucao temporal deve ser unitaria (i.e.λ = 0) quando:

i) Energia e entropia sao conservados; ou

ii) Energia e momento angular sao conservados.

Parece que a condicao (ii) nao e suficiente para garantir a unitariedade daevolucao temporal em modelos cujo espaco de Hilbert tenha dimensaosuficientemente grande...


Licoes do Teorema e do Modelo


Conclusoes

I Teorema Sob certas circuntancias, a evolucao temporal desistemas quanticos fechados deve ser necessariamente unitaria,mesmo admitindo possibilidades mais gerais.

(Cabe destacar a importancia das relacoes de Weyl para essa conclusao doTeorema: caso contrario, o oscilador harmonico amortecido/impulsionadoconstituiria um contra-exemplo: [AL, pp.29-32].)

I Modelo Existem sistemas quanticos que conservam a energia apesar daevolucao temporal nao ser unitaria.

(Essa situacao pode ser encontrada em sistemas com espaco de Hilberttendo qualquer dimensao finita se nao forem impostas condicoes restritivas.)

I Modelo Parece que a definicao de sistema livre deve incluir aconservacao da informacao (entropia de von Neumann).


Perspectivas

I Estudar sistemas quanticos Markovianos completamente positivoscom espacos de Hilbert de dimensao finita, visando caracterizaraqueles que conservam a energia, o momento e o momento angular etambem analisar o comportamento da entropia sob essas condicoes.

Problema: No contexto de sistemas quanticos Markovianos,determinar se a conservacao da energia, do momento e do momentoangular mais a conservacao da entropia de von Neumann saocondicoes suficientes para garantir que o sistema tem evolucaounitaria).


Perspectivas

I Investigar a relacao entre “deformacoes”das relacoes de Weyl esemigrupos completamente positivos em algebras CCR.

Conjectura: Sob certas condicoes, existe uma relacao entre“deformacoes das relacoes de Weyl”e “semigrupos completamentepositivos da algebra CCR”, de modo que “deformacaonula”corresponde a “dissipador nulo”.


Perspectivas

I Descrever a transicao de sistemas quanticos isolados de um estadoinicial fora do equilıbrio para o/um estado de equilıbriotermodinamico.

Observacao: Essa e uma situacao onde esperamos que a energia, momentoe momento angular do sistema sejam conservados, mas nao a entropia!

I Estudar a transmissao de informacao quantica sujeita a ruido estocastico,visando a possibilidade de reduzir a perda de informacao (i.e., diminuir ataxa de aumento da entropia).

I Ampliar o ambito das questoes para sistemas relativısticos e camposquanticos...


Referencias

I L. Fassarella: Dispersive Quantum Systems: a class of isolatednon-time reversal invariant quantum systems.Braz.J.Phys. vol.42 (2012), no.1-2: 84-99.

I L.E. Balentine: Quantum Mechanics, Modern Development. World Scientific. 2000.

I Cohen-Tannoudji et. al.: Quantum Mechanics vol.1.

I P.A.M. Dirac: Principles of Quantum Mechanics - 4rd. Edition (Revised). Oxford University Press, 1958.

I C.J. Ishan: Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. Imperial College Press. 2001.

I J.M. Jauch: Foundations of Quantum Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company, 1968.

I L.D. Landau, E.M. Lifschitz: Quantum Mechanics, non-relativistic theory - 3rd Ed. Pergamon Press, 1977.

I E. Prugovecki: Quantum Mechanics in Hilbert Space - 2nd. Edition. Academic Press, 1981.

I J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics - Revised Edition. Addison-Wesley Publishing Company. 1994.

I R. Alicki, K. Lendi: Quantum Dynamical Semigroups and Applications - LNP 717. Springer 2007.


OBRIGADO!

”It cannot be that axioms established by argumentation shouldavail for the discovery of new works; since the subtlety of natureis greater many times than the subtlety of argument. But axiomsduly and properly formed from particulars easily discover the wayto new particulars, and thus render science active.”Francis Bacon: Novum Organum, The Idols, Aphorism XXIV.


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