Estudos de Controle - Aula 1: Introdução
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Motivação
• Controles automáticos são muito utilizados em diversas aplicações:
• Máquinas nas indústrias manufatureiras;
• Sistemas de piloto automático na indústria aeroespacial;
• Sistemas de carros e caminhões na indústria automotiva;
• Operações industriais como monitoramente de temperatura, pressão, umidade, viscosidade e vazão.
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Histórico
• Na década de 40 e 50:
• Métodos de resposta em frequência (diagramas de Bode) e lugar das raízes são a essência da teoria clássica de controle.
• Na década de 60 a 80:
• Controle ótimo de sistemas determinísticos e estocásticos.
• Controle Adaptativo e de aprendizagem.
• A partir da década de 80 até hoje:
• Controle robusto e H infinito . 3
Terminologia
• Variável controlada: grandeza ou condição que é medida e controlada. Geralmente é a saída do sistema.
• Variável manipulada: grandeza ou condição manipulada pelo controlador, de modo que afeta a variável controlada.
• Planta: sistema a ser controlado.
• Sistemas: combinação de componentes que agem em conjunto para atingir determinado objetivo.
• Distúrbios: sinal que afeta de maneira adversa o sinal da variável de saída do sistema. Pode ser interno ou externo.
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Controle de Malha Aberta
• O sinal de saída não exerce nenhuma ação de controle no sistema, não é medido nem realimentado.
• Cada entrada corresponde a uma condição fixa de operação.
• O controle não funciona na presença de distúrbios.
• Exemplos: Máquina de lavar roupas e tráfego por sinais.
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Controle de Malha Fechada
• Também chamados de controle com realimentação.
• Estabelece uma relação de comparação entre a saída e a entrada de referência, utilizando a diferença como meio de controle.
• Robusto a distúrbios.
• Exemplo: controle de temperatura por temostato, temperatura corporal e pressão sanguínea.
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Transformada de Laplace
• Método operacional para solucionar equações diferenciais linerares.
• Fornece simplificações:
• Funções senoidais e exponenciais se tornam funções algébricas;
• Diferenciação e integração se tornam operações algébricas para variáveis complexas.
• Soluções fornecem tanto a componente transitória quanto a componente estacionária.
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Variáveis complexas
• Número complexo: possui uma parte real e uma parte imaginária, ambas constantes:
𝑅 + 𝑗𝐼
• Se alguma das partes for variável, temos uma variável complexa. Na transformada de Laplace utiliza-se a notação s:
𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
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Funções complexas
• São funções que possuem uma parte real e uma parte imaginária:
𝐺 𝑠 = 𝐺𝑥 + 𝑗𝐺𝑦
• Módulo:
|𝐺 𝑠 | = 𝐺𝑥2 + 𝐺𝑦
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• Argumento angular de G(s): 𝜃 = 𝑡𝑔−1(𝐺𝑥/ 𝐺𝑦)
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Módulo:
Função complexa analítica
• Uma função complexa é dita analítica em uma região se G(s) e suas derivadas existirem nessa região.
• Derivada de G(s): 𝑑
𝑑𝑠𝐺 𝑠 = lim
∆𝑠→0
𝐺 𝑠 + ∆𝑠 − 𝐺(𝑠)
∆𝑠= lim∆𝑠→0
∆𝐺(𝑠)
∆𝑠
• Como ∆𝑠 = ∆𝜎 + 𝑗∆𝜔, ∆𝑠 pode tender a 0 por infinitos diferentes caminhos. Por isso, a derivada pode não existir. 10
Condições de Cauchy-Riemann
• Se as derivadas calculadas ao longo de dois caminhos específicos (∆𝑠 = ∆𝜎 𝑒 ∆𝑠 = 𝑗∆𝜔) forem iguais, então a derivada será a mesma para qualquer outro percurso.
• Com as duas condições satisfeitas:
𝜕𝐺𝑥
𝜕𝜎=𝜕𝐺𝑦
𝜕𝜔 e 𝜕𝐺𝑦
𝜕𝜎= −
𝜕𝐺𝑥
𝜕𝜔
• Então a derivada de G(s) é única e G(s) é analítica.
• Exemplo: 𝐺 𝑠 = 1
𝑠+1
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Derivada de uma função analítica • Pode ser obtida simplesmente pela derivação de
G(s) em relação a s.
• Exemplo: 𝐺 𝑠 = 1
𝑠+1
𝑑
𝑑𝑠
1
𝑠 + 1= −
1
(𝑠 + 1)2
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Função complexa analítica
• Pontos ordinários: pontos nos quais a função G(s) é analítica.
• Pontos singulares: pontos nos quais a função G(s) não é analítica.
• Pólos: pontos singulares que a função G(s) e suas derivadas tendem a infinito.
• Zeros: pontos singulares que a função G(s) e suas derivadas tendem a 0.
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Pólos e Zeros
• Dada a função: 𝐺(𝑠)(𝑠 + 𝑝)𝑛
• Considerando que G(s) tende ao infinito quando s se aproxima de -p, mas a função acima seja finita e não nula, então s=-p é chamado pólo de ordem n.
• Os pólos podem ser simples (n=1), de segunda ordem (n=2) e assim por diante.
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Teorema de Euler
𝑒𝑗𝜃 = cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃
𝑒−𝑗𝜃 = cos 𝜃 − 𝑗 sin 𝜃
• Ou:
cos 𝜃 =1
2𝑒𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃
sin 𝜃 =1
2𝑗(𝑒𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃)
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Transformada de Laplace
𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡∞
0
𝑓 𝑡 =1
2𝜋𝑗 𝐹(𝑠)𝑐+∞
𝑐−∞
𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑠
onde c é a abscissa de convergência, uma constante real escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(s).
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Transformada de Laplace
• Condição de existência:
• A integral deve convergir.
• f(t) contínua em todo intervalo finito de tempo para t > 0 e se ela for de ordem exponencial quanto t tender a infinito.
• Ordem exponencial: 𝑒−𝛼𝑡|𝑓 𝑡 | deve tender a 0 quando t tende a infinito.
• Funções do tipo 𝑡, sin𝜔𝑡 𝑒 𝑡 sin𝜔𝑡 sempre possuem a transformada de Laplace.
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Transformada de Laplace
• Exponencial:
𝑇𝐿 𝐴𝑒−𝛼𝑡 =𝐴
𝑠 + 𝛼
• Função degrau:
𝑇𝐿 𝐴 = 𝐴
𝑠
• Função rampa:
𝑇𝐿 𝐴𝑡 = 𝐴
𝑠2
• Função senoidal:
𝑇𝐿 𝐴 sin𝜔𝑡 = 𝐴𝜔
𝑠2+𝜔2 𝑇𝐿 𝐴 cos𝜔𝑡 =
𝐴𝑠
𝑠2+𝜔2
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