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Universidade Federal Rural do Semi-rido

Professor: Walter Martins RodriguesClculo Numrico para Engenharia da Produo e Cinica da Computao

5 -Integrao Numrica

Designamos de um modo geral por integrao numrica o processo de obter valores aproximados para

em que f uma funo integrvel no intervalo finito .

A necessidade de ter de recorrer a mtodos aproximados para calcular provm normalmente de uma das seguintes situaes:

1) A expresso analtica de f no conhecida. o que acontece quando esta funo dada por tabelas ou obtida por medies de grandezas fsicas;

2) A expresso analtica de f conhecida mas a primitiva desta funo no, e portanto a forma usual de determinao do integral no vivel.

No presente captulo abordaremos alguns dos mtodos mais correntes de integrao numrica. A chave para a soluo do problema consiste essencialmente em aproximar a funo f por outra funo cujo integral seja fcil de calcular. Este objectivo conseguido recorrendo, por exemplo, a polinmios interpoladores de f. Assim, seja o polinmio interpolador de da funo f nos ns distintos , pertencentes ao intervalo . razovel esperar que

seja, sob certas condies, um valor aproximado de . O erro cometido neste processo

em que a ltima passagem se justifica pela linearidade do operador de integrao. Como vemos, o erro depende da maior ou menor aproximao do polinmio a f e adiante apresentaremos estimativas desta importante grandeza.

5.2.1-Frmulas de Newton-Cotes

Como vimos anteriormente, o polinmio de que interpola a funo f nos ns distintos , pode representar-se na seguinte forma (Frmula de Lagrange)

em que os so os polinmios de Lagrange associados aos ns. Sendo assim, fcil ver que

.

Fazendo

(5. 1)

podemos escrever que

(5. 2)

Esta expresso costuma designar-se por regra de integrao ou frmula de quadratura e os por coeficientes ou pesos dessa regra. Consoante o valor de n e a localizao dos ns no intervalo , assim se obtm diferentes regras de integrao.

Como vemos, o clculo exacto do integral foi substitudo pelo clculo de uma soma ponderada de valores da funo integranda.

O que acabmos de dizer justifica que se introduza o seguinte conceito:

Definio 5.1

Uma regra de integrao diz-se de grau de exactido n se integrar exactamente todos os polinmios de e existir pelo menos um polinmio de grau que no integrado exactamente por esta regra.

(5.2.1.1-Deduo das frmulas

Vamos deduzir alguns casos particulares de regras de integrao, correspondentes a diferentes escolhas de polinmios interpoladores.

Regra do Trapzio

Interpretao geomtrica:

Seja o polinmio de grau 1 interpolador de f nos ns a e b, isto , na forma de Newton

e portanto

.(5. 3)

Obtm-se

(5. 4)

Esta frmula conhecida por regra do trapzio. No difcil concluir que o grau desta regra um.

Regra de Simpson

Interpretao geomtrica:

Seja o polinmio de interpolador de f nos ns a, e b. Tem-se

Efectuando os clculos necessrios, chegamos expresso

,(5. 5)

obtendo-se a designada regra de Simpson:

(5. 6)

A sua construo garante que o seu grau pelo menos dois, mas possvel verificar que o seu grau de facto trs, o que se deixa como exerccio.

Regrand

...

Trapzio121

Simpson2614

tabela 5. COMPARAO DE TECNICAS NUMRICAS

Existe outro mtodo de integrao denominado regra de Newton-Cotes cuja Frmula dada por:

,

onde .

Nota: Os coeficientes so simtricos, isto , .

5.2.1.2 -Erros de integrao

Para poder escolher qual a regra de integrao a utilizar num dado caso concreto conveniente dispor de estimativas do erro cometido que possam orientar essa escolha.

Teorema 5.1

Seja . Ento

(5. 7)

Demonstrao:

Recorde-se que se o polinmio interpolador de que interpola nos ns distintos do intervalo , ento

onde .

Se representa o polinmio de grau 1 interpolador de f em a e b, obtm-se

onde designa o erro de integrao na regra do trapzio

Ento, necessitamos de demonstrar que

.

Recorde-se o Teorema do Valor Mdio Pesado para Integrais:

Se , g integrvel em e no muda de sinal em , ento existe um nmero c, , tal que:

.

Como no muda de sinal em e contnua

.

Sabendo que

,

fica provado o resultado pretendido, isto ,

.(5. 8)

(Teorema 5.2Seja . Ento

.(5. 9)

(Donde se conclui que designando o erro de integrao na regra de Simpson, temos

.

A Tabela seguinte inclui as expresses para os erros de truncatura nas Frmulas de Newton-Cotes apresentadas anteriormente (Tabela 5.1).

Nome da frmulanErro de truncatura

Regra do trapzio1

Regra de Simpson2

Tabela 5. 2: Comparao de Erros na integrao numrica

Obs: Erro de truncatura nas frmulas de Newton-Cotes ()Exemplo: Uma aproximao para usando a regra de Simpson.

De acordo com (5.6)

Se pretendssemos calcular um limite superior para o valor absoluto do erro na aproximao obtida, de acordo com (5.9)

,

com . Donde

,

sendo .

Mas

00.961

-+

m

Verifica-se que

.

Donde

(5.2.1.3-Frmulas Compostas

Aproximaes obtidas pelas regras de Newton-Cotes introduzidas na subseco 5.2.1.1 no tm, muitas vezes, a preciso desejada. O uso de frmulas deduzidas aproximando a funo integranda por polinmios interpoladores de grau superior, pode no produzir melhores resultados (note-se que as frmulas de Newton-Cotes para tm coeficientes positivos e negativos o que poder causar cancelamento subtractivo, ou a funo integranda pode no possuir a regularidade necessria que permita usufruir da plena preciso das frmulas).

Uma maneira de obter aproximaes com menor erro consiste em subdividir o intervalo de integrao e aplicar as regras mais simples nesses subintervalos. Com efeito, reparando nas expresses do erro das vrias frmulas, todas elas mostram que aquele depende de uma certa potncia do comprimento () do intervalo de integrao . Ento, se reduzirmos este intervalo, o erro vir grosso modo reduzido na proporo dessa potncia.

Regra do trapzio composta

Defina-se a partio de em N subintervalos, de igual amplitude, com os pontos , sendo e . Ento

Aplicando a regra do trapzio a cada um dos integrais do segundo membro,

,

e denotando , obtm-se a regra do trapzio composta,

(5. 10)

Teorema 5.3

Seja e com . Ento

(5. 11)

Demonstrao:

Pelo Teorema 5.1

Fazendo

,

atendendo ao teorema do valor mdio para a somas finitas de valores de uma funo,

(Podemos pois concluir que o erro de truncatura na regra do trapzio composta dado por

(5. 12)

Uma estimativa para o erro de truncatura na aproximao

No caso de N, nmero de subintervalos, ser da forma e se , podemos fazer

(5. 13)

.

(5. 14)Considerando (5.13) e (5.14), podemos obter

.

(5. 15)Atendendo a (5.12),

.

Admitindo que no varia muito em , ento . Assim, podemos concluir que

.

Neste contexto, obtemos de (5.15)

EMBED Equation.3 ,

ou seja,

.Regra de Simpson composta

Defina-se a partio de num nmero par de subintervalos de igual amplitude , sendo e .

Aplicando a regra de Simpson em cada duplo intervalo

obtm-se a regra de Simpson composta,

(5. 16)

Facilmente se deduz que o erro de truncatura na regra de Simpson composta

(5. 17)

isto ,

(5. 18)

Uma estimativa para o erro de truncatura na aproximao

No caso de N, nmero de subintervalos, ser da forma e se , podemos fazer

(5. 19)

.

(5. 20)Considerando (5.19) e (5.20), podemos obter

.

(5. 21)Atendendo a (5.17),

.

Admitindo que no varia muito em , ento . Assim, podemos concluir que

.

Neste contexto, obtemos de (5.21)

EMBED Equation.3 ,

ou seja,

.5.2.2 Frmulas de integrao com valores das derivadas da funo integranda

Todas as regras de integrao deduzidas at aqui foram construdas recorrendo a polinmios interpoladores da funo integranda. Porm nada impede o emprego de polinmios que interpolam tambm as derivadas da integranda.

Para exemplificar, consideremos o polinmio cbico de Hermite interpolador de f e f em a e b, isto , na forma de Newton, com :

onde

Por outro lado, vimos anteriormente que

.

Ento teremos

Mas

Repare-se que

, corresponde integrao utilizando a regra do trapzio.

, pode ser encarada como uma correco a introduzir.

Em concluso

.(5.22)

Esta regra conhecida como regra do trapzio corrigida.

Relativamente ao erro cometido,

,

recorrendo ao Teorema do Valor Mdio Pesado para Integrais,

.(5.23)

Podemos pois finalmente escrever

.

(5.24)

tambm possvel a obteno da frmula do trapzio corrigida composta. Considere-se . Defina-se a partio de em N subintervalos de igual amplitude com os pontos e . Ento

(5. 25)

Donde se conclu que

(5.26)

constitui a regra do trapzio corrigida composta. O erro cometido dado por

.(5.27)

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