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Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2016

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES(Continuação)

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

uméricos

Eliminação de Gauss

Operações l-elementares:

Um SL poder ser transformado em um outro equivalente (quepossui a mesma solução) utilizando as 3 operações l-elementares(operações de linha):

▪ Trocar a ordem de duas equações:

O método de Eliminação de Gauss consiste em transformar o sistemadado num sistema triangular equivalente através de uma seqüência deoperações elementares sobre as linhas do sistema original.

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▪ Somar uma equação à outra:

Então é possível transformar um SL em um outro de solução mais fácil.

▪ Multiplicar uma equação por constante não nula:

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Eliminação de Gauss Sistema triangular equivalente:

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar um SLem um sistema triangular superior equivalente por meio dasoperações l-elementares.

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▪ A transformação pode ser representada por: Ax = b Ux = d.

▪ A Solução do sistema triangular superior Ux = d é obtidapelas substituições retroativas.

▪ A exatidão pode ser verificada pelo cálculo do vetor resíduo.r = b - Ax.

▪ Exemplo: Resolver o sistema pelo método de eliminação deGauss e verificar a exatidão da solução:

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▪ Eliminar elementos da primeira coluna:

Elemento pivô

Linha pivotável

▪ Eliminar elementos da segunda coluna:

Elemento pivô

Linha pivotável

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▪ Sumário das operações:

▪ Sistema triangular superior obtido:

7


▪ Solução do sistema: substituições retroativas:

▪ Cálculo do resíduo:

8

Eliminação de Gauss▪ Exemplo:

9


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Eliminação de Gauss Cálculo do determinante:

▪ O determinante da matriz dos coeficientes pode ser obtidocomo um subproduto do método de Gauss.

▪ Deve-se conhecer as relações entre os determinantes dasvárias matrizes dos sistemas equivalentes intermediáriosobtidos pelas operações l-elementares durante o processo deeliminação de Gauss.

▪ a) Se duas linhas quaisquer de uma matriz A forem trocadas,então, o determinante da nova matriz B é:

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▪ b) Se todos os elementos de uma linha de A foremmultiplicados por uma constante k, então, o determinante damatriz resultante B será:

▪ c) Se um múltiplo escalar de uma linha de A for somado à outralinha, então, o determinante da nova matriz B é:

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▪ d) Se A for uma matriz triangular ou diagonal de ordem n,então, o seu determinante será igual ao produto dos elementosda diagonal principal:

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▪ e) Se uma matriz A for multiplicada por uma matriz B, então, odeterminante da matriz resultante C é:

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▪ Exemplo: calcular o determinante da matriz:

Sequência de matrizes obtidas pelas operações l-elementares:

Matrizes obtidas somente por combinações lineares das linhas,logo as três matrizes possuem o mesmo determinante que é igualao produto dos elementos da diagonal (produto dos pivôs):

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▪ O método de Gauss falha quando o pivô é nulo (ou 0 ).

▪ O método de Gauss intensifica a propagação dos erros detruncamento do computador (Multiplicadores grandes),principalmente em sistemas grandes.

▪ Estes problemas podem ser evitados utilizando pivotaçãoparcial, que consiste em escolher como pivô o maior elementoem módulo da coluna, cujos elementos serão eliminados.

▪ A estratégia de pivotamento parcial é baseada na operaçãoelementar: Troca de duas equações.

▪ Todos os multiplicadores satisfazem -1 mij 1.

Pivotação Parcial:

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▪ Exemplo: Seja o sistema e sua solução:

Solução pelo método de Eliminação de Gauss, com 3 dígitossignificativos em todas as operações:

Solução utilizando Pivotação Parcial :

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▪ Exemplo: Resolver o sistema pelo método de Gauss compivotação parcial.

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Decomposição LU

Uma matriz quadrada qualquer pode ser escrita como o produto deduas matrizes:

▪ A matriz A é fatorada tal que A = LU.

▪ L: matriz triangular inferior unitária.

▪ U: matriz triangular superior.

▪ Para resolver o sistema Ax = b, tem-se:

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Decomposição LU Calculo dos fatores:

▪ A matriz triangular superior U é a mesma do método de Gauss;

▪ Para a matriz triangular inferior unitária L

▪ lii=1;

▪ lij i>j = 0

▪ lij = - mij, i < j, sendo mij os multiplicadores utilizados noprocesso de eliminação de Gauss.

▪ Exemplo:

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Decomposição LUEliminação de Gauss:

Matrizes L e U:

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Decomposição LUIgualdade A = LU:

Solução do sistema Ly = b:

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Decomposição LUSolução do sistema Ux = y:

A vantagem deste método é a eficiência computacional, poispode-se escolher qualquer novo o vetor b que não é necessáriovoltar a fazer a eliminação de Gauss.

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Decomposição LU Pivotação Parcial:

▪ Utilizada, assim como na eliminação de Gauss, para evitar pivônulo e multiplicadores com valores grandes.

▪ Neste caso a Decomposição é da forma: PA = LU.

▪ P: matriz de permutações (construída das linhas de uma matrizidentidade I, colocadas na mesma ordem das linhaspivotacionais que geram a matriz U).

▪ L: matriz triangular inferior unitária formada pelosmultiplicadores, com sinais contrários.

▪ U: matriz triangular superior.

▪ Para resolver o sistema Ax = b tem-se:

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Decomposição LU

▪ Exemplo:

Eliminação de Gauss:

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Decomposição LU

Solução do sistema Ly = Pb:

27

Decomposição LU

Solução do sistema Ux = y:

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Decomposição LU Cálculo do determinante:

Pelas propriedades dos determinantes:

(Propriedade e)

(Propriedade d)

(Propriedade a)

p: numero de trocas de linhas necessárias para transformar a matrizde permutações em identidade. Logo:

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Decomposição LU

▪ Exemplo: Calcular o determinante de:

Matrizes U e P:

Valor de p:

determinante:

30

Decomposição LU

▪ Exemplo: Calcular o determinante de:

Eliminação de Gauss:

31

Decomposição LU

Solução do sistema Ly = Pb

Matrizes L, U e P:

Solução do sistema Ux = y

32

Decomposição LU

Unicidade da solução:

Exatidão:

33

Decomposição LU Sistema com matriz singular:

Para um SL Ax=b, onde det(A) = 0, o sistema pode ter infinitassoluções ou não ter soluções.

▪ Sistema com infinitas soluções. Resolver o sistema Ax = b:

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Decomposição LU

Solução do sistema Ly = Pb


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Decomposição LU

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Decomposição LU▪ Sistema sem solução. Resolver o sistema Ax = c:

Solução do sistema Ly = Pc

37

Decomposição LU


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Decomposição de Cholesky

SE a matriz dos coeficientes, A, é simétrica e definidaPositiva:

A decomposição LU pode ser simplificada para:

e

L: matriz triangular inferior. LT : matriz triangular superior.

Teorema (Cholesky)

Se A for uma matriz simétrica e definida positiva, então existe uma única matriz triangular L com elementos da diagonal positivos tal

que A = LLT .

No caso em que a matriz do sistema linear é simétricapode-se simplificar os cálculos da decomposição LU significativamente, levando em conta a simetria.

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Decomposição de Cholesky Cálculo do fator:

▪ Obtenção do fator L da Decomposição LLT = A:

▪ O elemento l44 da diagonal é obtido por:

▪ Generalizando para qualquer elemento da diagonal:

40


▪ O elemento l43 é obtido por:

▪ Elemento genérico abaixo da diagonal:

e

41Solução estável, não requer pivotação !!!

Decomposição de Cholesky Solução de Ax = b por Cholesky :

e

▪ Sistema triangular inferior Ly = b:

▪ Sistema triangular superior LTx = y :

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Decomposição de Cholesky Cálculo do determinante:

Por meio das propriedades d) e e) dos determinantes tem-se:

▪ Exemplo: Resolver o sistema:

Coluna 1:

43


Coluna 2:

Coluna 3:

44


Resumindo:

Verificação LLT=A:

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Sistema Ly=b:

Sistema LTx=y:

46


Exatidão:

Solução exata

Unicidade:

Solução única

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Decomposição de Cholesky▪ Exemplo: Resolver o sistema:

Coluna 1:

Coluna 2:

48

Decomposição de CholeskyColuna 3:

Coluna 4:

Resumo:

49


Sistema Ly=b:

Sistema LTx=y:

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Decomposição de CholeskyExatidão:

Unicidade:

Solução única

Solução exata

Matriz L:

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Decomposição de Espectral

▪ Uma matriz A de ordem n possui auto-valores i, i = 1, 2, ... , n.

▪ Cada auto-valor tem um auto-vetor correspondente.

▪ Generalizando a relação

▪ matriz diagonal contendo os auto-valores i.

▪ V : matriz cujas colunas são os auto-vetores vi.

▪ Pós-multiplicando por V-1

▪ Matriz A decomposta em termos de seus auto-valores e auto-vetores.

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Decomposição de Espectral Cálculo dos Auto-vetores:

▪ Da relação fundamental

▪ Como a matriz é singular:

▪ E o sistema é homogêneo.

▪ Ele apresenta infinitas soluções vi.

▪ Atribuir um valor arbitrário a um elemento de v, p.ex., vi1 = 1.

▪ Obter os demais elementos do auto-vetor vi pela solução dosistema resultante de ordem n -1.

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▪ Exemplo: Fazer a decomposição espectral da matriz:

Polinômio Característico:

Os três zeros do polinômio característico são os trêsauto-valores de A:

e54

Decomposição de EspectralMatriz contendo os auto-valores:

Sistema homogêneo:

Auto-vetor v correspondente a 1 = 4

Eq. 1 e 2 são redundantes. Elimina-se a 2ª e faz-se v11 = 1

55


Sistema homogêneo:

Auto-vetor w correspondente a 2 = 1

Eq. 1 e 3 são redundantes. Elimina-se a 3ª e faz-se w 11 = 1

56


Sistema homogêneo:

Auto-vetor z correspondente a 3 = -3

Eq. 2 e 3 são redundantes. Elimina-se a 3ª e faz-se z11 = 1

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Decomposição de EspectralMatriz V contendo os auto-vetores de A:

Inversa de V:

Decomposição espectral

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Decomposição de Espectral Solução de sistema:

▪ Solução de Ax = b obtida por x = A-1b.

▪ Vetor solução x depende de i-1

▪ No caso de quase singularidade da matriz A (pelo menos umauto-valor com valor próximo de zero).

▪ Solução x tem elementos muito grandes.

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Decomposição de Espectral▪ Exemplo: Calcular a solução do sistema:

Sabendo que:

Solução exata:

Grande custo computacional. Normalmente, não é utilizada para a solução de SL.

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1. Aderito Luis Martins Araujo , Analise Numérica Engenharias Mecânica e de Materiais.

2. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.

Referencias Bibliográficas

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