V.S.F.F.

435 v1/1

PROVA 435/ 8 Pgs.

EXAME NACIONAL VERA & PEDRO, CIA.

12. Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n. 286/89, de 29 de Agosto)

Cursos Gerais e Cursos Tecnolgicos

Durao da prova: 120 minutos 1. FASE 2005 VERSO 1

PROVA ESCRITA DE MATEMTICA

VERSO 1

Na sua folha de respostas, indique claramente a

verso da prova.

A ausncia desta indicao implicar a anulao

de todo o GRUPO I.

A prova constituda por dois Grupos, I e II.

O Grupo I inclui sete questes de escolha mltipla. O Grupo II inclui cinco questes de resposta aberta,

algumas delas subdivididas em alneas, num total de dez.

435 v1/2

FORMULRIO

V.S.F.F.

435 v1/3

Grupo I

1. Indique o valor de k para o qual a funo

0 , 1

0 ,

0,)(

22

)(

2

x

xak

xaxsen

e

xf

x

contnua no ponto x = 0 :

A) 2

1 B) 4 C)

4

1 D) 1

2. Seja f uma funo cujo grfico o da figura abaixo indicada e g uma funo definida

por:

14 )(1)( xfxG

Ento o domnio de G o conjunto:

A) 4,2\ B) 3,0 C) 4,2 D) ,30,

3. Sabe-se que .25,2log ka Indique o valor de :

a

ka

k

aak aaa

a logloglog3log2

2

A)3,53125 B) 18,40625 C)-3,53125 D) -5,71875

As sete questes deste grupo so de escolha mltipla.

Para cada uma delas, so indicadas quatro alternativas, das quais s uma

est correcta.

Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente

alternativa que seleccionar para responder a cada questo.

Se apresentar mais do que uma resposta, a questo ser anulada, o mesmo

acontecendo se a letra transcrita for ilegvel.

No apresente clculos, nem justificaes.

435 v1/4

4. Uma equao da recta s, perpendicular

recta r e tangente no ponto de abcissa a ao

grfico da funo f :

(x,y) = (1,2) + k(3,2) , k

Ento f(a) igual a:

A) 3

2 B)

2

3 C)

3

2 D)

2

3

5. Seja g uma funo tal que g(b) < 0 e g(b) = 0, ento uma representao grfica

de g pode ser:

6. Trinta candidatos a um emprego vo ser entrevistados, um a um por ordem

aleatria. Entre os trinta candidatos h um par de namorados. Calcule a

probabilidade de o par de namorados no ser entrevistado por ordem consecutiva:

A) 29

27 B)

30

28 C)

30

29 D)

29

28

7. As solues da equao 0122 zsenz em so:

A)

2 e 21 cisZcisZ B)

cisZcisZ 21 e

2

C)

2

3 e

221 cisZcisZ D)

2

3 e

221 cisZcisZ

V.S.F.F.

435 v1/5

Grupo II

1. Seja o conjunto dos nmeos complexos; i designa a unideade imaginria.

1.1. Mostre que:

1.1.1. 4

3

532

823

ncis

i

in

.

1.1.2. )(2___

nisenZZ nn

n

.

1.2. Represente, em diagrama de Argand, o conjunto das imagens dos complexos z tais

que:

4arg 3 13

kzizzzzz , k

2. Suponha uma escola com 30 turmas, cada uma tendo 2 alunos que pertencem ao

Conselho Pedaggico (CP). Numa reunio esto 30 alunos pertencentes ao CP,

seleccionados aleatoriamente.

2.1. Calcule a probabilidade de uma dada turma estar representada.

2.2. Calcule a probabilidade de todas as turmas estarem representadas.

3. Seja f uma funo definida por x

xf1

log 3 . Mostre que:

)9ln(

1

2

)2()(lim

2

x

fxf

x

Nas questes deste grupo apresente o seu raciocnio de forma clara, indicando todos os clculos que tiver de efectuar e todas as justificaes necessrias.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, pretende-se sempre o valor exacto.

435 v1/6

4. Na figura so dados:

Uma circunferncia de centro O e raio 2;

Um dimetro DB;

Uma corda AC perpendicular a DB;

OC = ,

2,0

.

4.1. Prove que a rea do tringulo [ABC], em funo de , dada por:

22cos4)( senA

4.2. Determine os valores de , para os quais a rea mxima e calcule-a.

4.3. Calcule o valor de

2

)( lim

2

A .

5. Considere a funo real de varivel real f, tal que:

xxxf

cos

2cos)( 2

(Utilize valores exactos em todos os clculos que efectuar)

5.1. Prove que a funo f tem pelo menos um zero no intervalo

6

5,

3

2 .

5.2. Determine uma equao da recta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 2

x .

5.3. Calcule x

xf

x 2

1)(lim

0

.

V.S.F.F.

435 v1/7

6. No passado sbado, numa cidade do interior do Brasil, fortes chuvas causaram enormes

prejuzos. Com incio s 14 horas a chuva caiu ininterruptamente durante 4 horas. Na

avenida principal da cidade, a altura da gua, medida que o tempo passava era dada

pelo seguinte modelo matemtico:

94

9)(

2

t

tth , t em horas e h(t) em metros.

Utilize a calculadora para investigar estas questes. Numa pequena composio com, no

mximo, 20 linhas explique as concluses a que chegou, justificando-as devidamente.

Inclua na sua resposta, os elementos recolhidos na sua calculadora: grficos e

coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas s decimas).

Ter a altura da gua ultrapassado os 500 mm?

Para entrar num dos cafs da avenida necessrio subir 3

degraus com 20 cm cada um. Ser que s 18 horas a porta

do caf podia ser aberta sem entrar gua?

Como interpreta os resultados : 02' e 01' hh ?

435 v1/8

EXAME NACIONAL VERA & PEDRO, CIA.

12. Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n. 286/89, de 29 de Agosto)

Cursos Gerais e Cursos Tecnolgicos

Durao da prova: 120 minutos 1. FASE

PROVA ESCRITA DE MATEMTICA

COTAES

Grupo I....................................................................................................... 63

Cada resposta certa.......................................................................... +9

Cada resposta errada................................................................................... -3

Cada questo no respondida ou anulada ................................................... 0

Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.

Grupo II ........................................................................................................137

1. ....................................................................................................... 21

1.1. ............................................................................... 6

1.2. ............................................................................... 6

1.3. ............................................................................... 9

2. ....................................................................................................... 22

2.1. ........................................................................................10

2.2. ........................................................................................12

3. ....................................................................................................... 10

4. ....................................................................................................... 34

4.1. ........................................................................................10

4.2. ........................................................................................12

4.3. ........................................................................................12

5. ................................................................................................................. 33

5.1. ........................................................................................10

5.2. ........................................................................................12

5.3. ........................................................................................12

6. .................................................................................................................. 16

TOTAL .................................................................................................. 200