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SOLUCIONARIO TIPOExamen UNI 2012–II

Matemática

Q

MATEMÁTICA

ARITMÉTICA

Pregunta 01

Sea N 11 1n digitosgg=S(2)

.

Determine la suma de los dígitos de NxN en base 2, donde n 2$ .

A) n – 2 B) n – 1

C) n D) n + 1

E) n + 2

Resolución 01

Numeración

N=1×2n–1+1×2n–2+...+1×2+1

2N2 12 1 1

nn= =−

− −

Luego:

N2= (2n–1)2= 22n – 2(2n)+1

N2= 22n – 2n+1 +1

En base 2:

.... ( ) ...

... ...

N

N

100 0 1 000 01

11 1100 01

n cifras

n cifras

2

1

22

=

=

+^ h1 2 34444 4444S

SS(n-1) cifras (n+1) cifras

Suma de cifras

(n–1)1+(n)0+1=n

CClave:

Pregunta 02

Se tiene un número capicúa de seis cifras cuya última cifra es 2. Sea N el residuo de dividir dicho número entre 1000 y M el cociente. Si N – M= 99, calcule el valor máximo que puede tomar la suma de las cifras del número capicúa.

A) 24 B) 26

C) 28 D) 30

E) 32

Resolución 02

Cuatro operaciones

Sea el número capicúa: bccb2 2M NSS

N – M= 99 → cb2 – 2bc= 99

99(c – 2)= 99

c – 2=1 → c= 3

El número sería: N= 2b33b2

El máximo valor de la suma de cifras de N es cuando b= 9

2 + 9 + 3 + 3 + 9 + 2= 28

CClave:

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Examen UNI 2012–IISOLUCIONARIO – Matemática

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Pregunta 03

Se tiene un número de 3 cifras, múltiplo de 30, que tiene un total de 24 divisores. Al multiplicarlo por 10 se forma un nuevo

número cuya cantidad de divisores es 8

15 de

la cantidad de divisores del número original. Calcule la suma de las cifras del menor número que cumple las condiciones indicadas.

A) 8 B) 9

C) 10 D) 11

E) 12

Resolución 03

Números primos

Como: abc= 30° ⇒ abc= 2a . 3b . 5g

(a+1) (b+1) (g+1)= 24

Del dato: 10 . abc= 2a+1 . 3b . 5g+1

(a+2) (b+1) (g+2)= 8

15 (24)= 45

Como: 24= 2 × 3 × 4

45= 3 × 3 × 5

Entonces los exponentes son: {1; b= 2; 3}

Posibles números:

∴ abc= 21 × 32 × 53= 2250

abc= 23 × 32 × 51= 360 (menor)

Suma de cifras= 3 + 6 + 0= 9

BClave:

Pregunta 04

Determine las veces que aparece el número cinco al efectuar la suma:

72 + (77)2 + (777)2 + (7777)2 + (77777)2

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

Resolución 04

Cuatro operaciones

7 49

77 5929

777 603729

7777 60481729

77777 6049261729

2

2

2

2

2

= +

=

=

=

=

6 1 1 0 3 5 3 1 6 5

Rpta.: El “5” aparece 2 veces.

BClave:

Pregunta 05

Sean a, b ∈ N y

MA (a,b) la media aritmética de a y b.

MG (a,B) la media geométrica de a y b.

MH (a,b) la media armónica de a y b

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado:

I. Si MA (a,b)= MG (a,b), entonces

MG (a,b)=MH (a,b)

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SOLUCIONARIO – Matemática

II. Si MG (a,b)= MH (a,b), entonces

MA (a,b) = MG (a,b)

III. Si MA (a,b) – MG (a,b) >0, entonces

MG (a,b) – MH (a,b) >0

A) V V F B) V F V

C) V V V D) V F F

E) F V F

Resolución 05

Promedios

I. Si MA= MG ⇒ a= b

Luego: MA= MG= MH (V)

II. Si MG= MH ⇒ a= b

Luego: MA= MG= MH (V)

III. Si MA–MG>0 ⇒ MA>MG⇒ a ≠ b

Luego: MA>MG>MH (V)

∴ VVV

CClave:

Pregunta 06


I. La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional es igual al interés simple que gana el descuento racional.

II. Valor actual de un descuento, es igual al valor nominal más el descuento.

III. Descuento es la rebaja que sufre el valor nominal de una transacción comercial,

al ser efectiva, antes de la fecha de vencimiento.

A) V V V B) V V F

C) V F V D) V F F

E) F V F

Resolución 06

Descuento

I. En todo efecto de comercio se cumple:

.VD

VD

DD D rt D D DR rt

100 100n

C

aR

R

R

C RC R"= = = =

- -

(V)

Vn= Valor nominal.

VaR : Valor actual racional.

DC= Descuento comercial.

DR= Descuento racional.

II. De Vn – D= Va

V D Va n+ = ∴ la proposición es falsa.

(F)

III. En toda transacción comercial siempre que se pague o cobre antes de la flecha de vencimiento, el efecto de comercio está sujeto a un descuento que es proporcional al valor nominal de el mismo a los días que faltan para que venza y a la tasa de descuento.

(V)

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Pregunta 07


I. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia acumulada del i-ésimo intervalo y el número total de datos.

II. La mediana de un conjunto de n datos es el valor que más veces se repite.

III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los datos que representan las notas de un examen, entonces la desviación estándar es mayor que 1,7.

A) V V V B) V V F

C) F V V D) F F V

E) F F F

Resolución 07

Estadística

I. Frecuencia relativa = hi

h Nf

ii=&

&

frecuencia absoluta.total de datos.

(F)

II. ME=Dato central.

Mo=Dato de mayor frecuencia.

(F)

III. MA= ,518 19 16 17 14 16 8+ + + + =

,Var x 518 19 16 17 14 16 8

2 2 2 2 22= + + + + -6 @

,,5

14 82 96= =

∴ σ= Var x7 A= ,2 96 = 1,72>1,7 (V)

∴ FFV

DClave:

Pregunta 08

Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 están defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el número esperado E de bombillas seleccionadas.

A) 0,5 B) 1

C) 1,5 D) 2

E) 2,5

Resolución 08

Probabilidades

8 bombillasD=3

B=5

El experimento dice que termina cuando encontramos una bombilla buena y si sale defectuosa, continuamos extrayendo bombillas de una en una hasta encontrar otra buena. Se presentan los siguientes casos:

Sea x, la variable aleatoria discreta que indica el número de bombillas extraídas.

B B : La bombilla es buena.

DB D: La bombilla es defectuosa.

DDB

DDDB

x 1 2 3 4P(x) 5/8 15/56 5/56 1/56

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∑ P(x)= 85

5615

565

561 1+ + + =

E(x)= ∑ x . P(x)

= 56151

85 2 3

565 4

561+ + +` c ` cj m j m

E(x)= 85

5630

5615

564

5684

23+ + + = =

∴ E(x)= 1,5

E(x)= valor esperado de la variable aleatoria discreta.

P(x=1)= 85

P(x=2)= 83

75

5615

# =

P(x=3)= 83

72

65

565

# # =

P(x=4)= 83

72

61

55

561

# # # =

CClave:

Pregunta 09

Luego de resolver la inecuación : x

3 3<x1 - , se

obtiene que x pertenece al intervalo:

A) ,0 3 B) 1 ,3

C) ,2 3 D) ,3 3

E) R {0}

Resolución 09

Inecuación exponencial

xx

x

0 3 3 0 3 3

3

<

( ) ( )

x x

f x

x

g x

1 1$1 1 1

1

− −

S S

Gráficamente:

f(x) < g(x); se verifica si x ∈ <0; +∞>

1

y=3xy

x

y=x

AClave:

Pregunta 10

Las siguientes operaciones elementales :

C1 ↔ C2 ; 3f3 ; f2 - f3, en este orden,

transformar la matriz A en : 146

563

289

--

-

J

L

KKK

N

P

OOO, la

cual se puede expresar como (RPQ)A, donde RPQ son matrices de orden 3x3 no singulares. Determine A

A) 212

351

123-

J

L

KKK

N

P

OOO

B) 112

231

511

--

J

L

KKK

N

P

OOO

C) 231

543

111

- -

-

J

L

KKK

N

P

OOO

D) 241

132

411

---

J

L

KKK

N

P

OOO

E) 412

310

523

--J

L

KKK

N

P

OOO

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Resolución 10

Matrices

En la matriz transformada 1 5 2

4 6 8

6 3 9

− −−

f p

f2+f3 : 1 5 2

2 3 1

6 3 9−f p

f33 :

1 5 2

2 3 1

2 1 3−f p

Corrección: f1↔ f2

se obtiene : A= 2 3 1

1 5 2

2 1 3−f p

AClave:

Pregunta 11

En los siguientes sistemas cada ecuación representa un plano.

I. x – 3y + z= 1

–2x + 6y – 2z= –2

–x + 3y – z= –1

II. x – 3y + 4z= 2

–4x + y + z= 3

–3x – 2y + 5z= 5

Denotando por P, Q y R los correspondientes planos, la interpretación geométrica de la solución de los sistemas I y II es dada respectivamente por:

P

Q

R

1)

P Q R

2)

PR

Q

3)

A) 2 y 1

B) 2 interpreta ambos sistemas

C) 1 y 3

D) 2 y 3

E) 3 interpreta ambos sistemas

Resolución 11

Sistemas de ecuaciones

De: (I)

x–3y+z= 1

–2x+6y–2z= –2 0s& 3 =–x+3y–z= –1

El sistema presenta tres ecuaciones equivalentes de donde se interpreta que su gráfica está representada por un mismo plano (2)

De (II)

x–3y+4z= 2

–4x+y+z= 3 0s&3 =–3x–2y+5z= 5

El sistema presenta infinitas soluciones para diferentes planos representado por (1)

AClave:

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Pregunta 12

Si la solución de Max {ax + by} se encuentra en x= 3, sujeto a

x ≥ 0

y + x ≤ 4

y – x ≥ –2

determine en qué intervalo se encuentra a/b

A) <–∞, –1] B) <–∞, 1]

C) [–1, 1] D) [–1, ∞>

E) [1, ∞>

Resolución 12

Programación lineal

En la región factible

4

3

y=x–2

y=–x+4

Función objetivo m=ba−

Función objetivo:

F(x; y)= ax + b

y= –ba x

bF+

Pendiente: m= –ba

m<0; ba 0>

ba

ba1 1&$ $− −

;ba 1 >3! 6

EClave:

Pregunta 13

Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. El límite de ( ) ( )n n

n n3 1

2 2 1–

–2

++) 3 es 2.

II. Los valores de la sucesión

( ) ( )Sn

1 1– –n

nn

= + pertenecen al

intervalo <–1, 1>.

III. La serie ( )n n 2

4n 1 +

3

=/ converge y su

suma es 3.

A) V F F B) F V F

C) V F V D) F V V

E) F F F

Resolución 13

Áreas

I. La proposición es verdadera pues:

Dada la sucesión : an n

n n3 1

2 2 1n = − +

+ −^ ^h h

' 1

2Limnn nn n Limn

n n

n n2 3

2 2 1

1 2 3

2 3 1

– ––

– –

–

2

2

2

2" ( "3 3+

+=

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II. Dada la sucesión:

; ; ; ; ...

S n

S

11

2 23

34

45

nn

n

n

= − + −

=− −

^^

hh

La proposición es falsa pues existen términos de la sucesión que no pertenecen al intervalo

;1 1− siendo S1= 2 un valor que no pertenece.

III. La proposición es verdadera, pues:

Dada la serie:

( )

2

2 ...

n n n n

n n

24 2 1

21

2 12

1

1 31

21

41

31

51

2 1 31 3

n n

n

1 1

1

+= −

+

= −+

= − + − + − +

= + =

3 3

3

= =

=

c

c

c

c

m

m

m

m

/ /

/

VFV

CClave:

Pregunta 14

Determine el conjunto solución de:

x x xx

8 14 121 0<

3 2+ + +

+

A) x ∈ <–2, 1>

B) x ∈ <–6, –1>

C) x ∈ <–3, –1>

D) x ∈ <–2, 3>

E) x ∈ <1, 6>

Resolución 14

Inecuaciones

Factorizamos:

( ) ( 2 2)x x xx

61 0<

2+ + +

+

1 2 344 44+ .... (∆<0)

xx

61 0<

++

c.s.= <−6; −1>

BClave:

Pregunta 15

Sea la sucesión {an} donde

a

n n n1 1

3

11

12

1 11

–n =

++

+> > >H H H, para todo

n ∈ N . Diga a qué valor converge la sucesión {an}.

A) –1 B) 0

C) 1 D) 2

E) 3

Resolución 15

Sucesiones – Convergencia

Piden:

Lim an= Lim

n n n1 13

1 11

2

1 11

+ -+ +* * *4 4 4

Sabemos: n ≥ 1

0 < n1 ≤ 1

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1 < 1 + n1 ≤ 2

21 ≤

n1 11

+< 1

n1 11

+* 4 = 0

∴ Lim an= Lim 0= 0

BClave:

Pregunta 16

Halle el conjunto solución en la siguiente inecuación:

log3 |3 – 4x| > 2

A) <–∞, –3/2>

B) <3, ∞>

C) <–3/2, 3>

D) [–3/2, 3]

E) <–∞, –3/2> ∪ <3, ∞>

Resolución 16

Logaritmos

Existencia del logaritmo:

|3 – 4x| ≠ 0 → x≠ 3/4

Por propiedad: |3 – 4x| > 32

3 – 4x > 9 ∨ 3 – 4x < –9

x < – 3/2 ∨ x >3

C.S.= <–∞; –3/2> ∪ <3; +∞>

EClave:

Pregunta 17

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Sea el conjunto

C= {(x, y) ∈ R 2 / x2 + y2 ≤ 4}

Si (–18; 18) ∈ C, entonces (1 ; 1) ∈ C

II. Sea A ⊂ R un conjunto no vacío y

f: A → R una función tal que existe

m= min{f(x) / x ∈ A},

Sa(f)= {x ∈ A / f(x) ≤ a} con a ∈ R

Si λ < m, entonces Sλ(f)= Ø

III. Sean los conjuntos Ak, k= 1, ..., m, tales que Ak ⊂ Ak+1. Si x0 ∈ A1, entonces

x0 ∈ Ak

m

k

C

1+=

; E

A) V V F B) V F F

C) F V F D) F F V

E) F F F

Resolución 17

Funciones

I. (-18;18) !Y C

Si: (-18;18)!C

Falso

" (-1;1)!C

" (-1;1)!C / VVerdadero

II. mm nimoíS

≤f(x)

f(x)≤ λ

Sλ (f)

m≤f(x)≤λ<m ;

7Yλ que verifica:

m≤f(x)<m

Dato: λ<m

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∴ La premisa V es verdadera.

III. Siendo: Ak ⊂Ak+1

⇒ A1⊂A2⊂A3⊂...⊂Am= A1

Del dato: X0 ∈ A1

Como:

A Ak

m

k1 1+ ==

⇒ Ak

m

k1+=

; EC

=A1C

∴ X0 ∉ A1C (Falso)

AClave:

Pregunta 18

Cuál de las alternativas es la función cuadrática f, cuyo gráfico se muestra a continuación, sabiendo que x y 34

02

02

+ = .

f

x

y

2

b0

3x0 y0

A) x2 – 6x + 2

B) x2 + 6x + 2

C) 2x2 – 6x + 2

D) 2x2 – 12x + 2

E) 2x2 + 12x + 2

Resolución 18

Funciones

Sea la función cuadrática:

F(x)= px2 + qx + 2 ; (0; 2) ∈ F

Vértice: ; Fqp

qp

2 2–

–` c jm

pq

23– = → q = –6p

(0; 2)

b

3x0y0

Dato:

(x0 + y0)2 – 2x0y0= 34

pq

p2 2 34– –

2=c cm m

( ) – 2 34p

6 22=c m → p= 2

q= –12

F(x)= 2x2 – 12x + 2

DClave:

Pregunta 19

Respecto a la función f: A → R tal que

( )f xxx

23 5

–= + y A = <2; ∞>

Indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

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I. f es invectiva.

II. f es sobreyectiva.

III. f* existe, donde f* indica la inversa de f.

A) V V V B) V F V

C) V F F D) F F V

E) F F F

Resolución 19

Funciones

y

x

3

2

f: A→R ; A= <2; ∞>

f(x)=3+x 211

f es inyectiva

Ranf= <3; +∞> → f no es sobreyectiva

∴ f *no existe

I) V II) F III) F

CClave:

Pregunta 20

El gráfico del polinomio

P(x)= x4 + ax3 + bx2 + cx + d es tangente en (1; 1) a la recta y= 1. Además la recta y= 1 interseca al gráfico cuando x= 2, x= 4, siendo P(2) = P(4) ≠ 0.

* Corrección de UNI:

DEBE DECIR:

... siendo P(2) = P(4) ≠ 0. Calcule el polinomio P(x)–1

A) x2(x – 2) (x – 4)

B) (x – 1)2 (x – 3) (x – 5)

C) (x + 1)2 (x – 1) (x – 3)

D) (x – 1)2 (x – 2) (x – 4)

E) (x + 1)2 (x – 2) (x – 4)

Resolución 20

Funciones polinomiales

Definimos el polinomio:

H(x)= P(x)–1= x4 + ax3 + bx2 + cx + d – 1

H(1)= 0; H(2)= 0; H(4)= 0

x= 1 raíz de multiplicidad 2

Entonces H(x) será:

H(x)= P(x)–1= (x–1)2(x–2)(x–4)

DClave:

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MATEMÁTICA PARTE 2

Pregunta 21

En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de AD pasa por C.

Si: mBCBD= 30°, mBBDA = 40° y

mBDAB= 70°, calcule la mBCDB.

A) 8º B) 10º

C) 12º D) 15º

E) 17º

Resolución 21

Congruencia

B

A

C

F

D

n

nn M

30°70°

70° 40°

40+xx2n

l

Piden: x

• BD= AD= 2n

• BDF (NOT 30º y 60º)

• DF= n

• CMD ≅ CFD

• x + 40º + x= 60º

∴ x= 20º

BClave:

Pregunta 22

¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar “k”, siendo “a” constante?

ak

aaq

a

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

Resolución 22

Congruencia

A

H

a

qD

B

C

}}

aK

aa°a°

Piden: Kmín ent

* DH= DB= a

∴ CHD a K>a

K>1

Kmín ent= 2

BClave:

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Pregunta 23

Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo

equilátero, entonces el valor de áárea ABCDrea CEF

es igual a:

C

BA F

E

D

A) 2 1- B) 3 1-

C) 2 3 3- D) 2

1

E) 3

1

Resolución 23

Áreas

CB

A Fa

a

a

E

D

,

,

, 60°q

q

Piden: A ABCDA CEF49

EBC DC

15o&

9 9,

=q

FDC:a 4 6 2,= +^ h

A ABCDA CEF

A ABCDA CEF

4 6 2

43

2 3 3

2

2

,

,

49

49

=

+

= −

^` hj

CClave:

Pregunta 24

Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.

A) arctan( 2 ) B) arcsen( 2 )

C) arccos( 3 ) D) arccos( 2 )

E) arccot( 3 )

Resolución 24

Poliedros

a3

6

D

O

A

a

x

B

a

a

Ca3

3

Piden: x

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14

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA

Se sabe que en el tetraedro regular se cumple:

* AO a3

3=

* BO a3

6=

` 0 :A B tgxa

a

33

36

2= =

( )tanx arc 2& =

AClave:

Pregunta 25

Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B, se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB= 2m y BC= 3m, calcule el valor de AP CQ: en m.

A) 53 B)

65

C) 56 D)

35

E) 25

Resolución 25

Semejanza

A

E

D

G

C

F

Q

B2 23

3

3-b

b2-aP

a

Piden: ab

EDC PBC3 3+

a22

35

- =

a 54=

ABQ AGF3 3`

b3

352-

=

b 59=

` ab = 56

CClave:

CENTRAL: 6198–100


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PRO

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SU

VEN

TA


Pregunta 26

En la figura adjunta OC= 6cm, AM= 8cm.

Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).

A B

C

R

DM

O

A) 12 7 p B) 12 5 p

C) 12 3 p D) 3

24 3 p

E) 5

24 5 p

Resolución 26

Semejanza

A B

C

R

D

M

O

86

2k 2k

r

3k

a°

Piden: L9

• ∆AMB ~ ∆OCB

OBBC

23=

• ∆OCB: Pitágoras

(2k)2 + 62 = (3k)2

k = 5

6 ⇒ r = 5

12

L9 = 2pr

∴ L9 = 5

24 5

EClave:

Pregunta 27

En un triángulo ABC se tiene quemBC= 2mBA. Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B (P exterior a AB).

Si mBPAB = 21 mBC y AP= 12u, determine

el valor de BC (en u).

A) 3 B) 4

C) 5 D) 6

E) 8

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Resolución 27

Triángulos II

P

E

B

C M A

12

6x

612

a

a

a2a 2a

Piden: x

• Se prolongan PB y AC

∆EAP isósceles: EA=AP=12u.

• EBA: mediana BM=6

∴ ∆CBM isósceles

x= 6

DClave:

Pregunta 28

Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en M, N y F respectivamente, AM < AN, AM= a, BN=b, CF= c. Determine la medida del radio de la circunferencia mayor.

A) a b c

ab- +

B) a b c

b+ -

C) a b c

ab+ +

D) a b c

ab+ -

E) a b c

a+ +

Resolución 28

Relaciones métricas de la circunferencia

r–a

r–b

BC

Fcb

aA

M

G

N r–cr

r

Piden: r

Teorema de cuerdas:

(r–c)r= (r–a)(r–b)

r=a b c

ab+ −

DClave:

Pregunta 29

La figura representa un recipiente regular, en donde a y l son dados en cm y el ángulo q es variable. Determine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3.

aaq q

l

A) a2 2, B) a23 2,

C) a22 2, D) a

21 2,

E) a2

3 2 2,

CENTRAL: 6198–100


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TA


Resolución 29

Prisma

q q

A

l

a

a

Piden: Vmax:

V= l. a2

2Senqº

Si: Senq es máximo entonces el volumen es máximo

* q= 90º

* V= a21 2 l

DClave:

Pregunta 30

En la siguiente ecuación trigonométrica:

2(2 )cos cosx x

81

874

=-` j

El número de soluciones en [0, 2p], es:

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

Resolución 30

Ecuación trigonométrica

Recuerda: 8cos4q= 3 + 4cos2q + cos4q

Dato: 8cos4 x2

−cos2x= 7

3+4cosx+cos2x−cos2x=7

cosx=1

como x∈[0; 2p]; x= 0,2p

∴ Hay 2 soluciones

BClave:

Pregunta 31

Sea f una función definida por

f(X)= |arc Senx| + |arc Tanx|

Determine el rango de f.

A) ,0 2r9 C

B) ,0 2r

9

C) ,0 43r9 C

D) ,0 43r

9

E) ,0 r7

Resolución 31

Funciones trigonométricas inversas

f(x) = |arc Senx| + |arc Tgx|

1° Dominio de f:

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–1 ≤ x ≤ 1

x ∈ [–1; 1]

x ∈ R"

2° Rango de f:

Como es una función par, analizamos

0 ≤ x ≤ 1, donde:

0 ≤ arc Senx ≤ 2π (creciente)

0 ≤ arc Tgx ≤ 4π (creciente)

Sumando:

0 ≤ arc Senx + arc Tgx ≤ 4

3π

0 ≤ f(x) ≤ 4

3π

;Ran f 04

3` π= 8 B

CClave:

Pregunta 32

Cuál de los gráficos mostrados representa a la función y= cos(2x–p)+1, en un intervalo de longitud un periodo.

A)

–π/2 π/2

B)

–π/2 π/2

C) –π/2 π/2

D)

–π/2–π π/2 π

E) –π/2 –π/2


DEBE DECIR:

...y= cos(2x – p)

Resolución 32

Gráficas de funciones

y= cos(2x – p) → y= cos(p – 2x)

→ y= –cos2x; periodo: py

x

1

0

-12r-

4r-

2r

4r

CClave:

CENTRAL: 6198–100


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Pregunta 33

De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el área de las regiones EOF, COD y AOB son: s, 3s, 6s, respectivamente. Si L AB

!= 4 unidades, calcule L CD! + 3 L EF

!

A

CE

O

FD

B

A) 2 2

B) 3 2

C) 4 2

D) 5 2

E) 6 2

Resolución 33

Área del sector circular

x y

EC

A

4

BD

F

O S 2S 3S

1º) S

Sy

y6 2

4

3 2

24

2

2

i

i

=

=

=

_

`

a

bb

bb

2º) S

S xx

6 24

2

64

2

2

i

i

=

=

=

_

`

a

bb

bb

3º) Reemplazando:

.2

4 36

4 4 2+ =

CClave:

Pregunta 34

En la figura mostrada, el valor de tanφ. tanb, es:

x

φ

b

y

A) –2

B) –1

C) – 21

D) 21

E) 1

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Resolución 34

R.T. cualquier medida

y

x

b

φ

(a, b)

(-b, a)

Piden: tgφ. tgb

= ba

ab-` `j j= –1

BClave:

Pregunta 35

Si tan 45ra k= x3 5

1+ , cot 2

3ra k= y–4,

calcule x+y.

A) – 54

B) – 43

C) – 53

D) 35

E) 38

Resolución 35

Reducción al 1er cuadrante

tg 45p =

x3 51+

1= x3 51+

3x+5= 1 → x= 34−

ctg 23p = y – 4

0 = y – 4

→ y= 4

∴ x + y= 38

EClave:

Pregunta 36

Al determinar la forma compleja de la ecuación (x–1)2 + (y–1)2= 1 obtenemos:

A) zz – (1–i)z – (1–i)z + 1= 0

B) zz + (1+i)z – (1+i)z + 1= 0

C) 3zz + (1–i)z + (1+i)z + 1= 0

D) 2izz – (1–i)z – (1+i)z + 1= 0

E) 4zz – 2(1+i)z + (1–i)z + 1= 0

Resolución 36

Números complejos

Como: x= z z2+

y= iz z2-

Reemplazando:

z zi

z z2 1 2 1

2 2+ - +- -c cm m = 1

( ) ( )z z z z z zi

z z4 4

2 2 2 2

2 2++ -

-- + - -c cm m+ 1= 0

.z z4

4 - z - z + iz - i z +1= 0

CENTRAL: 6198–100


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∴ z . z - (1 - i)z - ( )i z1 - + 1= 0

AClave:

Pregunta 37

Dado el punto (–3, 2, 4), determine sus simetrías respecto del eje Z y respecto del plano z= 0. Determine el área del polígono cuyos vértices son justamente los puntos generados.

A) 16 13

B) 15 13

C) 14 13

D) 13 13

E) 12 13


DEBE DECIR:

...área del rectángulo

Resolución 37

Geometría analítica

B simétrico de A respecto al plano Z= 0

C simétrico de A respecto al eje Z

Formando el rectángulo de acuerdo a la condición; el área:

AABCD= (2 13 )(8)= 16 3

B(-3;2;-4)

C

x 4

42-3

A(-3;2;4)z=013

13

D

y

z

AClave:

Pregunta 38

Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF – A’B’C’D’E’F’ cuyos lados dé la base y la altura miden 2a (a > 0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados E’D’D’’E’’, luego por las aristas AB y D’’E’’ pasa un plano formando un sólido ABD’’E’’A’B’. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.

A) 3( 3 +1)a3

B) 3( 3 –1)a3

C) 2( 3 +1)a3

D) 2( 3 –1)a3

E) 34 ( 3 –1)a3

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PRO

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Resolución 38

Prisma

A

A’2a

2a

2a2a

2a

2a2a 3

B

B’

C

C’

D

D’

D’’

E

E’

N

E’’

F

F’120°

,

,

Piden: VNE’E’’ – MD’D’’

AA’E’’ ~ NE’E’’

a2, =

aa

2 3 12

+_ i

,= a3 12

+

,= a( 3 –1)

V= 2a a

a2

3 1 2– $$

_ i

V= 2a3( 3 –1)

DClave:

Pregunta 39

El volumen de un cilindro oblicuo es 40p cm3 y la proyección de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm, calcule el área de la base en cm2.

A) 3

2r

B) 3

4r

C) 3

6r

D) 3

8r

E) 3

10r

Resolución 39

Cilindro

A

BC

D5 30º

P

g

Q

r

Piden: A base

• V= p r2 . g

40p= p22 . g

g= 10

⇒ ∆ ABQ: Notable (30º y 60º)

• ASR = ABase . Cos 30º

CENTRAL: 6198–100


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PRO

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IDA

SU

VEN

TA


p 22 = ABase . 23

38p = ABase

DClave:

Pregunta 40 Determine, en la siguiente figura, el volumen generado al rotar la región sombreada alrededor del eje x.

2p2p RR

0

y

x

A) pR3

B) R3

3r

C) R4

3r

D) R6

3r

E) R9

3r

Resolución 40

Esfera

x

y

O

R

R

A

B

R 22p

Piden: Vsol.gen

El segmento circular, cuando gira alrededor de x; genera un anillo esférico.

V= 61 p(AB)2.R

V= 61 p.(R 2 )2.R

V= R3

3π

BClave:

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