Índice:

-Historia de la trigonometria (pg 1y pg 2)

-Explicación del teorema de Tales (pg2)

-Teorema de Tales en un triangulo (pg3)

-Aplicaciones del teorema de tales (pg. 3-6)

-Medida de la torre de guzmán mediante las razones trigonométricas (pg. 7)

-Medida de la distancia desde las 3 piedras hasta la orilla de la playa (pg. 8 -9)

-Fotografías con razones trigonométricas (10-12)

Trabajo realizado por: 1ºbach-A-Jesús Marín Sanz-Pedro Calderón Ruiz

TRABAJO DE PROYECTO INTEGRADO

2011

RUTAS MATEMATICAS POR CONIL DE LA FRONTERA Y

USO DE LA TRIGONOMETRIA

T R A B A J O R E A L I Z A D O P O R :J e s ú s M a r í n S a n z y P e d r o c a l d e r ó n R u i z

Historia de la Trigonometria

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.

Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indues utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas

paralelas, los segmentos determinados en una de las

rectas son proporcionales a los segmentos

correspondientes en la otra.

El teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento

paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se

obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son

proporcionales a los del triángulo ABC.

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se uti l iza para dividir un segmento

en varias partes iguales.

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del

segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la

semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan

rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre

la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan

las 3 partes iguales en que se divide.

Razones trigonometricas

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

• El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.

• El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

MEDIDA DE LA TORRE DE GUZMAN MEDIANTE LA TANGENTE

Tg 46º= h/19.80

Tg 46ºx19, 80=h

H= 20,50 m mide la altura de la torre de Guzmán

MEDIDA DE LA DISTANCIA DESDE LAS 3 PIEDRAS HASTA LA ORILLA

Usamos las tangentes: TG 25º=h/x------h=x x TG 25/ igualamos: (x) x tg 25º= (15+x) x tg 14ºTG 14º=h/15+x----- h= (15+x) x TG 14º X = (15 + x) x tg14º/ tg25; x= 17, 23 m

Resultados:

-17,23 metros es la distancia desde las 3 piedras hasta la orilla-15 + 17,23 = 32,23 metros es la distancia desde las 3 piedras hasta la orilla

FOTOGRAFIAS CON RAZONES TRIGONOMETRICAS

-La sombra de la pared forma - el símbolo de la marca Un triangulo rectángulo Renault tiene forma de rombo

-La cuerda de la red del jabeguero y la pared forman un triangulo rectángulo

FOTOGRAFIAS CON RAZONES TRIGONOMETRICAS

-Muchas señales de tráfico tienen forma triangular; por ejemplo la de “seda el paso”

-las grúas de las obras están formada por infinidad de triángulos

FOTOGRAFIAS CON RAZONES TRIGONOMETRICAS

-la base donde se apoya el palo del reloj solar tiene forma triangular