EXERCÍCIO 2 - Apontamentos TSI · EXERCÍCIO 2 Calcule as primitivas abaixo: a) x³ dx x ln 2 1 b)...
39
EXERCÍCIO 2 Calcule as primitivas abaixo: a) dx x x 2 ln 1 b) dx x x tg 2 sec 2 2 2 3 c) dx x x 2 2 2 d) dx x x 20 2 2 e) dx e e x x 6 3 1 3 f) dx e e x x 3 3 3 1 3 g) dx x 2 1 1 h) dx x 2 5 1 5 i) dx x x 2 5 1 50 j) dx x x 2 1 ) cos( k) dx x sen x x ) ( cos 2 1 5 l) dx x x x 2 6 4 m) dx x e x x 3 cos 3 6 5 5 n) dx x tg o) dx x sen x cos p) dx x sen x x sen 2 1 cos 2 EXERCÍCIO 3 Calcule as seguintes primitivas a) dx x 4 3 b) dx x 7 3 c) dx x x 3 2 d) dx x e x x 2 cos 4 2 e) dx x x x x 2 1 4 3 f) dx x x x x x 5 2 1 2 3 3
Transcript of EXERCÍCIO 2 - Apontamentos TSI · EXERCÍCIO 2 Calcule as primitivas abaixo: a) x³ dx x ln 2 1 b)...
EXERCÍCIO 2
Calcule as primitivas abaixo:
a) dxxx
2ln1
b) dxxxtg 2sec22 23
c) dx
x
x
22
2 d) dx
x
x
20
2
2
e) dxe
e
x
x
6
3
1
3 f)
dx
e
e
x
x
33
3
1
3
g) dx
x
21
1 h)
dx
x
2
51
5
i)
dx
x
x
251
50 j) dx
xx
2
1)cos(
k) dxxsenxx
)(cos2
1 5 l) dx
x
xx
2
64
m) dxxe xx 3cos365 5 n) dxxtg
o) dxxsenx cos p)
dx
xsen
xxsen
21
cos2
EXERCÍCIO 3
Calcule as seguintes primitivas
a) dxx43 b) dx
x
7
3
c) dxxx32 d) dxxe xx
2cos42
e) dxx
xxx
2
143 f)
dx
x
xxxx
5
21233
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
2
EXERCÍCIO 4
Calcule as seguintes primitivas
a) dxx 2
25 b) dxx
x
13 2
c) dxxx
x
2
1
2 d) dxxtg
e) dxxx52 53 f) dxe x
12
g) dxx
x
4
3
2 h) dx
e
e
x
x
32
2
i) 2,ln
xdxx
x j)
dx
x
x 22 5cos
2
k) dx
x
x
25
l) dxxg2cot
m) dxx
xx
12
64
EXERCÍCIO 5
Calcule as seguintes primitivas:
a) x dx8 6 b) sen x x dx
4cos
c) x x
dxx
2 2
3 2
1 2 d)
cos( )
( )
xdx
sen x
e) 5
6
6xdx
x f)
6
6 8dx
x
g)
1
, 0ln
x dx xx
h) x x
x x
e edx
e xe
2
2
2
6
i) 3 3sen x dx j) 25sec 5x dx
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
3
k) cossen xe x dx l)
tan 2secg x
e x dx
m) xxe dx2
7 n)
2
5
1 5dx
x
o)
xdx
x 2
5
1 5 p)
2
cos( )
1
xdx
sen x
q) 3
8
xdx
x 5 r) x
x
edx
e 29 25
s) 21
x
x
edx
e t)
x
x
edx
e
1
u)
xdx
x 2
2
1 2 v)
2
2
1 2dx
x
x) 4
senx cos xdx
2 sen x y)
x
x
edx
e 21
z) x
dxx
2
8
3
EXERCÍCIO 6
Calcule as seguintes primitivas:
a) dx
x
24
1 b)
dx
x
xsen
2cos1
c) dx
x
x
41
2 d) dx
x
x
61
23
e)
dx
x
x
2ln4
4
f)
dx
x
xxsen
2cos1
cos2
g) dx
x
x
47
34 h) dx
x
24
1
i) dxx
x
24
2 j) dx
x
x
410
4
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
4
k) dxx
x
58
712 l) dx
xe
xe
23616
m)
dx
x
223
2 n)
dx
xsen
x
243
cos
o) dxx
2
8
3 p)
4
xdx
4 9x
EXERCÍCIO 7
Calcule as seguintes primitivas:
a) dxx
xarctg
24
2 b)
dx
xxx
22 1ln1
1
c) dxx
xarcsen
24
2cos
d)
dxx
xxearctgx
2
2
1
11ln
e) dxa
ax
x
55
f)
dxx
xarcsenx
241
2
g)
dxx
xx
2
2
1
1ln
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
5
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
EXERCÍCIO 2
a) dxxx
2ln1
(Estamos perante ff p )
CCx
dxxx
ff
,11
2ln2ln
111
1
dxxx
2ln1
=
CCx
,2
2ln2
b) dxxxtg 2sec22 23 (Estamos perante ff p )
dxxxtg 2sec22 23
CCxtg
dxx
p
xtg
ff
,13
222sec2
132
3
dxxxtg 2sec22 23
CC
xtg,
4
24
c) dx
x
x
22
2 (Estamos perante ff p )
CCx
dx
p
xxdx
x
x
f
f
,
12
1
222
2
21
2
122
1
2
2
CCxdx
x
x,22
2
2 2
2
d) dxx
x
20
2
2 (Estamos perante
f
f)
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
6
dxx
x
f
f
20
2
2 CCx ,20ln 2
e) dxe
e
x
x
6
3
1
3 (Estamos perante
21 f
f)
CCearctgdxe
edx
e
e x
x
x
x
x
,)()(1
3
1
3 3
23
3
6
3
f)
dx
e
e
x
x
33
3
1
3 (Estamos perante ff p )
CCe
dxeedx
e
e xxx
x
x
,1
13
1
3
13
133333
33
3
CCe
dx
e
e x
x
x
,1
1
3
2
23
33
3
g) dx
x
21
1 (Estamos perante
21 f
f)
CCxarcsendx
x
f
f
,
1
1
2
h)
dx
x
2
51
5 (Estamos perante
21 f
f)
CCxarcsendx
x
f
f
,5
51
5
2
i)
dx
x
x
251
50 (Estamos perante ff p )
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
7
CCx
p
xxdx
x
x
ff
,51
5150
51
50
12
1
12
122
1
2
2
dx
x
x
251
50= CCx ,512
2
j) dxx
x2
1)cos( (Estamos perante ffcos )
CCxsendxx
x
f
f
,2
1)(cos
k) dxxsenxx
)(cos2
1 5 (Estamos perante ff p )
CCx
dxx
xsenx
p
dxxsenxx
f
f
,6
)(cos
2
1)(cos)(cos
2
1 655
l) dxx
xx
2
64= dxdxdxdx xx
x
x
x
x
322
6
2
4 (Estamos perante fa f )
dxdx xx 32 = CCxx
,3ln
3
2ln
2
m) dxxe xx 3cos365 5 (Estamos perante fe f , fa f e ffcos )
dxxdxdxedxxe xxxx 3cos3653cos365 55 ¸
= CCxsenex
x ,36ln
65 5
n) dxxtg (Estamos perante
f
f)
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
8
CCxdxx
xsendxxtg
f
f
,coslncos
o) dxxsenx cos (Estamos perante ff p )
,
coscos 2
1
f
p
f
xsenxdxxsenx
p)
dx
xsen
xxsen
21
cos2 (Estamos perante ff p )
dxxsenxxsen
p
ff
2
1
21cos2
CCxsen
,
12
1
11
2
12
CCxsen
CCxsen
,12
,12
2
2
12
EXERCÍCIO 3
a) dxx43 = dxx
43 . (Estamos perante ff p )
=
dxxff
p
1.3
4
=14
314
x CC,
= 5
35x
CC,
b) dxx
7
3= dxdx
x 73
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
9
= dxdxx 71
3 (Estamos perante
f
f e perante c )
= xx 7ln3 CC,
c) dxxx32 = dxx 2
7
2 (Estamos perante ff p )
=
dxxf
p
f 1.2 2
7
=
2
92
2
9
x CC,
= 2
9
9
1x CC,
= xx4
9
1 CC,
d) dxxe xx 2cos42 = dxxdxdxe xx
2cos42 (Com pequenos ajustes,
estamos perante fffafe ff cos,, respectivamente). Vamos multiplicar e dividir a
primeira e a terceira primitivas por 2, para obter fe f e ff cos respectivamente:
dxxdxdxe xx 2cos42 =
dxxdxdxe
ff
x
f
x
f
2cos22
142
2
1 2
= xsenex
x 22
1
4ln
4
2
1 2 CC,
e) dxx
xxx
2
143 = dx
xdxxxxdx
2
143
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
10
= dxxdxxxdx2
1
2
3
243
(Com pequenos ajustes,
estamos perante ff p ). A terceira primitiva terá que ser multiplicada e dividida por 2, para
obtermos ff p :
dxxdxxxdx2
1
2
3
243
=
dxxdxxdxxff
p
fff
p
p
22
2
141.3
2
1
2
31
=
12
1
12
3
111
2
1
2
2
1
12
34
113
xxx CC,
= 2
1
242
3
2
5
2
5
2
xxx
CC,
= 2
1
25
8
23 2
52
xxx
CC,
f)
dxx
xxxx
5
21233
= dxxdxx
dxx
xdxx
5
21
5
1
5
2
5
1 32
dxx
xxxx
5
21233
= dxxdxx
dxxdxx
2
1
3
2
2
5
21
5
1
5
2
5
1 (Estamos
perante ff p e
f
f).
=
dxxdxx
dxxdxx
f
p
ff
f
fff
p
f
p
1.5
21
5
11.
5
21.
5
1 2
1
3
22
=
12
15
2ln
5
1
5
2
5
11
2
1
13
2
13
2
12
12
xx
xx CC,
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
11
=
2
35
2ln
5
1
5
2
35
1 2
3
3
1
3
1
3 xx
xx CC,
= 2
3
3
1
3
15
4ln
5
1
5
6
15
1xxxx CC,
EXERCÍCIO 4
a) dxx 2
25 (Com alguns ajustes, estamos perante ff p ). Vamos multiplicar e dividir
a primitiva por 5:
dxx 2
25 =
dxx
ff
p
525
5
12
=
12
25
5
112
x CC,
=
3
25
5
13
x CC,
b) dxx
x
13 2 (Com alguns ajustes, podemos estar perante
f
f ). Vamos multiplicar e
dividir a primitiva por 6:
dxx
x
13 2=
dxx
x
f
f
13
6
6
1
2
= 13ln6
1 2 x CC,
c) dxxx
x
2
1
2(Com alguns ajustes, podemos estar perante
f
f ). Vamos multiplicar e
dividir a primitiva por 2:
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
12
dxxx
x
2
1
2=
dx
xx
x
2
12
2
1
2
= dxxx
x
f
f
2
22
2
1
2
= xx 2ln2
1 2 CC,
d) dxxtg =
dxx
xsen cos
(Com alguns ajustes, podemos estar perantef
f ). Vamos
multiplicar e dividir a primitiva por -1:
dxx
xsen cos
=
dxx
xsen
cos
= xcosln CC,
e) dxxx52 53 (Com alguns ajustes, estamos perante ff p ). Vamos multiplicar e
dividir a primitiva por 6:
dxxx52 53 = dxxx
ff
5
2 5366
1
=
15
53152
6
1
x CC,
=
6
53
6
162 x
CC,
f) dxe x
12 (Com alguns ajustes, estamos perante fe f ).
dxe x
12 = dxee x
2.
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
13
=
dxee
f
x
2. Vamos multiplicar e dividir a primitiva por 2:
=
dxee
f
x
f
222
= xee 2
2 CC,
g) dxx
x
4
3
2 (Com alguns ajustes, estamos perante
f
f ). Vamos multiplicar e dividir a
primitiva por 2:
dxx
xdx
x
x
f
f
4
2
2
3
43
22
= 4ln2
3 2 x CC,
h) dx
e
e
x
x
32
2
(Com alguns ajustes, estamos perante ff p ). Vamos multiplicar e dividir
a primitiva por 2:
dx
e
e
x
x
32
2
=
dxee
p
f
x
f
x
2
1
22 322
1
=
12
1
3
2
11
2
12
xe
CC,
= 21
2 3xe CC,
= 32 xe CC,
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
14
i) 2,ln
xdxx
x (Estamos perante ff p ).
dxx
x
ln=
dxx
xnl
ff
p
11
=11
ln 11
x CC,
= 2
ln 2 x CC,
j)
dxx
x 22 5cos
2=
dx
xx 22 5cos
12
= dxxx22 5sec2 (Com alguns ajustes, estamos perante ff 2sec ).
Vamos multiplicar e dividir a primitiva por 5:
dxxx22 5sec2 = dxxx
ff
22 5sec105
1
= 255
1xtg CC,
k) dx
x
x
25
(Com alguns ajustes, estamos perante ff p ). Vamos multiplicar e dividir a
primitiva por -2:
dx
x
x
25
= dx
x
x
25
2
2
1
=
dxxx
p
f
f
2
1
2522
1
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
15
=
12
1
12
125
2
1
x CC,
= 21
25 x CC,
= 25 x CC,
l) dxxg2cot =
dx
xsen
x 2
2cos
=
dx
xsen
xsen
2
21
=
dxdxxsen
11
2
= dxdxxec 1cos2 Estamos perante dxcdxfecf 2cos
= xxg cot CC,
m) dxx
xx
12
64= dx
x
xx
1.22
64
= dxx
xx
.2
642
=
dxx
xxx
2
3222
= dxxx 322
= dxdx xx 3222 (Estamos perante fa f ).
=3ln
32
2ln
22
xx
CC,
=
3ln
3
2ln
22
xx
CC,
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
16
EXERCÍCIO 5
a) dxx8 6 = dxx 8
6
. (Estamos perante ff p )
dxx 8
6
=
CCx
,
18
6
18
6
= CCx
,
8
14
8
14
= CCx ,14
8 8
14
= CCx ,7
4 8
14
b) sen x x dx4cos = dxxsenx 4cos (Estamos perante ff p )
=
CCx
,14
cos 14
=
CCx
,5
cos5
c) x x
dxx
2 2
3 2
1 2 ( Com alguns ajustes, podemos estar perante ff p )
x x
dxx
2 2
3 2
1 2= dx
x
xx
3
2
24 2
= dxxxx 3
2
24 2
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
17
= dxxxxxx
3
2
3
2
23
2
4 2
= dxxxx
3
2
3
4
3
10
2
= dxxdxxdxx
3
2
3
4
3
10
2 Estamos agora
perante ff p ). Então
x x
dxx
2 2
3 2
1 2=
13
22
13
41
3
10
13
21
3
41
3
10
xxx
CC,
x xdx
x
2 2
3 2
1 2=
3
12
3
7
3
13
3
1
3
7
3
13
xxx CC,
= 3
1
3
7
3
13
67
3
13
3xxx CC,
d) cos( )
( )
xdx
sen x (Estamos perante
f
f )
cos( )
( )
xdx
sen x= CCxsen ,ln
e) dxx
x 6
56 = dx
x1
6 (Estamos perante f
f )
= CCx ,ln6
f) 6
6 8dx
x ( Estamos perante
f
f )
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
18
CCxdx
x,86ln
86
6
g)
1
, 0ln
x dx xx
(Estamos perante f
f )
CCxdxx
x ,lnlnln
1
h) x x
x x
e edx
e xe
2
2
2
6 (Com alguns ajustes, podemos estar perante
f
f )
x x
x x
e edx
e xe
2
2
2
6=
dxxee
ee
xx
xx
6
2
3
3
=
dxxe
e
f
x
x
6
2
3
3
multiplicando e dividindo a primitiva por 3,
obtemos:
dxxe
e
f
x
x
6
23
3
1
3
3
=
dxxe
e
f
x
f
x
6
63
3
1
3
3
= xe x 6ln3
1 3 CC,
i) 3 3sen x dx ( Estamos perante fsenf )
3 3sen x dx = CCx ,3cos-
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
19
j) 25sec 5x dx ( Estamos perante ff 2sec )
CCxgdxx ,5tan5sec5 2
k) cossen xe x dx (Estamos perante fe f )
dxxe
fe
xsen
f
cos = xsene CC,
l) tan 2sec
g xe x dx (Estamos perante fe f )
tan 2sec
g xe x dx = CCe xg ,tan
m) xxe dx2
7 (Com alguns ajustes, podemos estar perante fe f ). Vejamos:
xxe dx2
7 = dxxe x
2
7
Multipliquemos e dividamos a primitiva por 2
dxxe x
2
7 = dxxe x
2
22
7
Agora já estamos perante fef
= CCex ,2
7 2
n)
2
5
1 5dx
x( Estamos perante
21 f
f
)
2
5
1 5dx
x= xarctg 5 CC,
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
20
o)
xdx
x 2
5
1 5 (Com alguns ajustes, podemos estar perante
f
f )
xdx
x 2
5
1 5= dx
x
x
2251
5
, se multiplicarmos e dividirmos a primitiva por 10,
vamos estar perantef
f . Vejamos:
dxx
x
2251
5
=
dxx
x
f
f
2251
50
10
1
= 2251ln10
1x CC,
p)
2
cos( )
1
xdx
sen x ( Estamos perante
21 f
f
)
2
cos( )
1
xdx
sen x=
dx
xsen
x
21
cos
= xsenarctg CC,
q) 3
8
xdx
x 5 (Mediante algumas transformações, estamos perante21 f
f
)
dxx
x
58
3
= dx
x
x
24
3
515
Multiplicando e dividindo a primitiva por 5
4,
vamos obter:
=
dx
x
x
f
f
2
4
3
51
5
4
5
1
4
5
, estando agora perante21 f
f
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
21
Temos então:
dxx
x
58
3
=
520
5 4xarctg CC,
r) x
x
edx
e 29 25 (Com alguns ajustes, podemos estar perante
21 f
f
)
x
x
edx
e 29 25=
2
3
519
f
x
x
e
edx
=
dx
e
e
f
x
x
2
3
51
9
1Multiplicando e dividindo a primitiva por
3
5,
estaremos perante 21 f
f
. Vejamos
dx
e
e
f
x
x
2
3
51
9
1=
dx
e
e
f
x
f
x
2
3
51
3
5
5
3
9
1
=
3
5
15
1 xearctg CC,
s) dx
e
e
x
x
21
( Estamos perante
21 f
f)
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
22
dx
e
e
x
f
x
21
= xearcsen CC,
t) x
x
edx
e
1 ( Com alguns ajustes, podemos estar perante ff p )
x
x
edx
e
1= dxee
f
xx2
1
1
, multiplicando e dividindo a primitiva por -1,
obtemos:
= dxee
f
x
f
x2
1
1
= 1
2
1
12
1
1
xe CC,
=
2
1
12 xe CC,
= xe 12 CC,
u)
xdx
x 2
2
1 2( Com alguns ajustes, podemos estar perante ff p )
xdx
x 2
2
1 2= dxxx 221 2
12
Se multiplicarmos e dividirmos a primitiva por -4, teremos
dxxx
ff p
821
4
12
12 , obtendo assim ff p
dxxx
ff p
821
4
12
12 =
CCx
,
12
1
21
4
11
2
12
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
23
=
CC
x,
12
1
21
4
1 2
12
= CCx ,212
12
12
= 221
2
1x CC,
v)
2
2
1 2dx
x ( Estamos perante
21 f
f
)
2
2
1 2dx
x= xarcsen 2 CC,
x) 4
senx cos xdx
2 sen x ( mediante algumas transformações estaremos perante
21 f
f
)
dx
xsen
xxsendx
xsen
xxsen
22
4
212
cos
2
cos
=
dx
xsen
xxsen
2
2
212
cos Multiplicando e dividindo a
primitiva por 2
2, vamos obter:
dx
xsen
xxsen
dx
xsen
xxsen
22
4
212
cos2
2
2
2
2
cos
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
24
=
dx
xsen
xxsen
f
f
22
21
cos2
2
22
2
, estamos agora então perante
21 f
f
, logo
22
1
2
cos 2
4
xsenarcsendx
xsen
xxsen CC,
y) x
x
edx
e 21
(Estamos perante 21 f
f
)
x
x
edx
e 21
=
dx
e
e
x
x
21
= xearcsen CC,
z) x
dxx
2
8
3 ( Com alguns ajustes, podemos estar perante ff p )
xdx
x 2
8
3= dxxx
f
2
1
238
Multiplicando e dividindo a primitiva por -2,
temos:
dxxx
f
2
1
238
= dxxx
f
2
1
2322
8
= dxxx
f
2
1
2324
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
25
=
12
1
12
123
4
x
CC,
= 21
238 x CC,
= 238 x CC,
EXERCÍCIO 6
a) dx
x
24
1 (Com algumas alterações, estamos perante
21 f
f)
dx
x
dx
x
2
21
1
2
1
2
214
1 temos agora que multiplicar o numerador
por 2
1
2
x, para obter
21 f
f.Temos então:
dx
x
dx
x
2
21
2
11
2
1
1
2
1
2
21
1
2
1 (multiplicou-se a primitiva por
2
1
1, para não
alterar o seu valor, uma vez que se tinha multiplicado por 2
1. Temos então:
dx
x24
1
CCx
arcsendx
x
,22
21
2
1
b)
dx
x
xsen
2cos1
(Com algumas alterações, estamos perante
21 f
f)
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
26
dx
x
xsendx
x
xsen
2cos12cos1
multiplicámos o numerador por -1, e
obviamente tivemos que dividir a primitiva por -1 para não alterar o seu valor.
dx
f
x
f
xsendx
x
xsen
2
cos1
2cos1
= CCxarcsen ,cos
c) dx
x
x
41
2 (Com algumas alterações, estamos perante
21 f
f)
dx
f
x
f
xdx
x
x
2
21
2
41
2
CCxarcsendx
x
x,2
41
2
d) dx
x
x
61
23= dx
x
x
231
23 (Estamos perante
21 f
f)
CCxarcsendx
x
x,3
61
23
e)
dx
x
x
2ln4
4
(Com algumas alterações, estamos perante
21 f
f)
dx
f
x
xdx
x
xdx
x
xdx
x
x
2
2
ln1
1
2
4
4
2ln1
4
2
1
4
2ln14
4
2ln4
4
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
27
=
CCx
arcsendx
f
x
f
xdx
f
x
x ,2
ln4
2
2
ln1
2
1
42
2
ln1
2
11
2
1
12
f)
dx
x
xxsen
2cos1
cos2 (Com algumas alterações, estamos perante fpf )
CC
x
dx
p
f
x
f
xxsendx
x
xxsen,
12
1
12
12cos1
2
1
2cos1cos22cos1
cos2
CCxCC
x
dx
x
xxsen,2cos12,
2
1
2
12cos1
2cos1
cos2
g) dx
x
x
47
34 (Com algumas alterações, estamos perante fpf )
CC
x
dx
f
x
f
xdx
x
x
p
,
12
1
12
1472
1
473447
34
dx
x
x
47
34
CCxC
x
,472
2
1
2
147
h) dxx
24
1 (Com algumas alterações, estamos perante
21 f
f
)
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
28
dx
f
x
dx
f
x
dx
f
x
dx
x
dxx
2
21
2
11
2
1
2
21
2
11
2
1
1
4
1
2
21
1
4
1
4
214
1
24
1
CC
xarctgdx
x,
22
1
24
1
i) dxx
x
24
2 (Estamos perante
f
f )
CCxdxx
x,24ln
24
2
j) dxx
x
410
4 (Com algumas alterações, estamos perante
21 f
f
)
dx
f
x
f
x
dx
x
xdx
x
xdx
x
x
2
2
51
4
2
5
5
2
4
1
2
2
51
4
4
1
4
25
14
4
104
4
dxx
x
104
4
CC
xarctg ,
2
5
10
1
k) dxx
x
58
712 (Com algumas alterações, estamos perante
f
f )
CCxdx
f
x
f
xdx
f
x
xdx
x
x,58ln
2
3
58
78
8
12
58
712
58
712
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
29
l) dx
xe
xe
23616
(Com algumas alterações, estamos perante 21 f
f
)
dx
f
xe
xedx
xe
xedx
xe
xe
2
4
61
16
1
2
16
36116
23616
CCxearctgCxearctgdx
f
xe
xe
,2
3
24
1
4
6
24
1
2
4
61
4
6
6
4
16
1
m)
dx
x
223
2 (Com algumas alterações, estamos perante
21 f
f
)
dx
x
dx
x
dx
x
2
3
21
3
22
2
3
3
1
2
3
21
2
3
1
223
113
2
=
CCx
arcsendx
x
,3
2
2
1
2
3
21
3
22
2
1
n)
dx
xsen
x
243
cos (Com algumas alterações, estamos perante
21 f
f
)
222
3
21
cos
3
1
3
41
cos
3
1
43
cos
xsen
xdx
xsen
xdx
xsen
x
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
30
=
CCxsenarcsen
xsen
x
,3
2
2
1
3
21
cos3
2
2
3
3
1
2
o) dxx
2
8
3 (Mediante algumas transformações, estamos perante
21 f
f
)
dxx
2
8
3= dx
x
2
313
18
=
dx
x
f
2
31
1
3
8, multiplicando e dividindo a primitiva por
3
1, temos:
dx
x
f
f
2
31
3
1
33
8=
dx
x
f
f
2
31
3
1
8
=
38
xarcsen CC,
p) dx
x
x
494
(Mediante algumas alterações, estamos perante 21 f
f
)
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
31
dx
x
xdx
x
xdx
x
xdx
x
x
22
444
2
31
2
1
4
91
2
1
4
914
94
=
CCx
arcsendx
x
x
f
f
,2
3
6
1
2
31
3
3
1
2
1 2
2
2
EXERCÍCIO 6
a) dxx
xarctg
24
2 (Com algumas transformações estamos perante ff p )
dxx
xarctg
24
2= dx
x
xarctg
2
214
1
2= dx
x
xarctg
2
21
1
24
1=
dxx
xarctgdx
x
xarctg
22
21
2
11
22
4
1
21
1
24
1
CC
xarctg
,2
2
2
1
2
b)
dx
xxx
22 1ln1
1 ( com algumas alterações, estamos perante ff p )
dx
xxxdx
xxx 2222 1ln
1
1
1
1ln1
1
dxxxx
p
f
f
2
1
2
21ln
1
1
= CCxx ,1ln2 2
1
2
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
32
Cálculos auxiliares:
2
2
2
2
2
2
22
1
1
1
1
12
21
1
11ln
xx
x
xx
xx
x
x
xx
xxxx
222
2
1
1
1
1
1
1
xxxx
xx
c) dxx
xarcsen
24
2cos
(com algumas adaptações, estamos perante ffcos )
CCx
arcsensendxx
xarcsendx
x
xarcsen
ff
,24
1
2cos
4
2cos
22
CCx
,2
Cálculos auxiliares:
22
22 4
1
42
12
1
4
4
2
1
21
2
2 xxxx
x
xarcsen
d)
dxx
xxearctgx
2
2
1
11ln
dxx
dxxx
xdx
xedx
x
xxe
f
f
f
arctgxarctgx
f
21
2
2
222
2
1
11ln
11
1
1
11ln
=
212
12
21 ,,1ln1
2
2
1cccxarctgdxx
x
xce
f
p
f
arctgx
=
CCxarctgx
earctgx ,2
1ln
2
122
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
33
=
CCxarctgx
earctgx ,4
1ln22
e) dxa
ax
x
55
dxadxaadxaaadxaadxa
axx
x
xx
x
x
x
x
x
22522525
5
5555
= dxadxadxadxa
xxxx
22
9
22
9
2
125
2
9
9
25
CCa
a
a
a
xx
,ln
10ln9
2 22
9
CCaa
a
xx
,59ln
22
2
9
f)
dxx
xarcsenx
241
2(Com algumas adaptações, estamos perante duas primitivas do tipo
ff p )
dxx
xarcsendx
x
xdx
x
xarcsenx
222 41
2
4141
2
=
dxx
xarcsendxxx
p
ff
2
2
1
2
21
212
2
1418
8
1
=
CCxarcsenx ,24
141
8
2 22
12
=
CCxarcsenx ,241
4
1 22
12
g)
dxx
xx
2
2
1
1ln( Estamos perante ff p )
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
34
dxx
xxdxx
xx
f
p
f
2
2
1
2
2
2
1
11ln
1
1ln
CCxx ,1ln3
2 2
3
2
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
35
Teste Sobre Primitivação Imediata
1. Resolva as primitivas abaixo
a) 4 1
x
x
edx
e
b) 2
4
4 dxx
c) 1
1
x
x
edx
e
d) 24
x
x
edx
e
e)
2
3
1 cossen x
dxx
f)
2
ln
1 ln
xdx
x x
g) dx14
2x
x
2. Calcule
dxxx
1
1, e verifique o seu resultado usando a definição de primitiva de
uma função.
3. Determine a função xf tal que :
2
20
10
2
xxxf
f
f
4. Diga, justificando, se existe alguma função tal que :
51
10
12
f
f
xxf
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
36
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
1a) 4 1
x
x
edx
e = dx
e
edx
x
x
14
= 21
124
xex
CC,
b) 2
4
4 dxx
= dx
x
2
214
14
= dx
x
2
21
2
1
2
c) 1
1
x
x
edx
e = dx
e
ee
x
x
1
=
dxe
ee
x
x
1
CC,
d) 24
x
x
edx
e = dx
e
e
x
x
2
214
= dx
e
e
x
x
2
21
2
1
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
37
= dx
e
e
x
x
2
21
2
1
2.2
1
= arcsen
2
xe CC,
e) 2
3
1 cossen x
dxx
=
dx
x
xsen2cos1
3
= -3 arctg xcos CC,
f)
2
ln
1 ln
xdx
x x=
dx
x
x
x
2ln1
ln
=
dxx
xx
2ln1
1ln2
2
1
= x2ln1ln2
1 CC,
g) dx14
2x
x
=
dx
f
x
x
2
21
2
=
dx
f
x
f
x
2
21
2ln2
2ln
1
= C,C2arctg2ln
1 x
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
38
2.
dxxx
1
1=
dx
x
x
1
1
(Com algumas transformações estamos perante f
f )
Vamos multiplicar e dividir por 2 a primitiva, obtendo:
=
dxx
x
f
f
1
1
2
1
2
= x 1ln2 CC,
Vamos agora verificar se
dxxx
1
1= x 1ln2 CC, . Caso seja verdade,
então, por definição de primitiva de uma função, Cx1ln2 xx 1
1.
Cx1ln2 01
2
1
2
x
x
= x
x
1
1
xx 1
1
Fica assim provado que
dxxx
1
1= x 1ln2 CC, .
3. CCxxx
dxxxxf ,223
223
2
Como ,20 f temos:
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
39
20002 CC , logo 2223
23
xxx
xf . Teremos então,
CCxx
xxdxx
xxxf ,2
61222
23
23423
.
Como ,10 f temos
100001 CC , logo
12612
234
xxxx
xf
4. Cxx
dxxxf 31
32
Como 10 f , temos C 001 , logo C1 .
Por outro lado dizem-nos que 51 f , logo C 13
15 , logo C
3
11.
Ora, como C não pode tomar simultaneamente dois valores diferentes, não existe
nenhuma função que obedeça às duas condições impostas.
