Departamento de Estruturas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Departamento de Estruturas
EXERCICIOS RESOLVIDOS DE
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
das Escolas de Engenharia, deve ser utilizada concomitantemente ,, com a public:ação''EXERC:I'CIOS PROPOSTOS DE RESISTÊ!NCIA DOS MAT!_
RIAIS", Fascículo li, da qual foram extraÍdos os problema's
resolvidos,
aqui
Os enunciados destes problemas nao acompanham suas so
luç~es pois os autores julgam que o estudante deve primeiramente
tentar resolver os exercícios propostos, e somente depois consul
tar esta publicação.
te do Curso de Resistência dos Materiais, ministrado na Escola
de Engenharia de São Carlos, os exercícios foram selecionados com
o intuito de englobar dentro de cada capÍtulo desta disciplina,
a maior variedade possível de assuntos, e devem servir como fon- . ~ .
te de consulta e principalmente como mitodo de
cálculo.
No inÍcio de todos os capÍtulos ,aqui chamados de_ listas,
são apresentados formulários aos quais se faz referência durante
a solução dos exercícios. Ê oportuno lembrar que a simples leit~
ra desses formulários, apesar de facilitar o entendimento do tex
to, não desobriga o estudante de desenvolver anteriormente uma
sÕlida conceituação teÕrica dos assuntos tratados.
Os trabalhos de datilografia estiveram a cargo da Sra.
Wilma Provinciali Vall e os de desenho a cargo de João Paulo Mo-
retti e Sylvia Helena Moretti, aos quais os autores
dedicação e esmero.
:Í N D I C E
LISTA N9 lO (LlO) - ESTADOS DE TENSÕES
LISTA N9 11 (Lll) - ESTADOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES
LISTA N9 12 (L12) - CRITÉRIOS DE RESISTf:!NCIA,
LISTA N9 13 (Ll3) ~ FLEXÃO GERAL
LISTA N9 14 (L14) - TORÇÃO LIVRE DE BARRAS DE SEÇÃO QUALQUER
LISTA N9 15 (LlS) - FLAMBAGEM
LISTA N9 16 (Ll6) - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO E CÃLCULO DE
DESLOCAMENTOS
As fórmulas que se seguem prestam-se à determinação de
tensÕes que atuam em um plano que forma um ângulo genérico a com
a direção do eixo y, usada como referencial.
y
cr +cr cr- ~
cos2a
2 2 , __ = (cr -cr )sena cosa + 1" (cos a-sen a) xy y x xy
!roço do plano yy
(10,1)
(10.2)
(10.3)
(10.4)
o OBS P Calcula ~ ~- usa se o -angulo S. Sendo S=a+90 tem-se: ,: arase -v - - y
cr­ Y
2 cos a - 21"
xy cosa sena
~= a) o ângulo a e marcado positivamente a partir de urna
vertical (eixo y) e no sentido anti-horirio ate o traço do plano
em que atua a tensao a ser calculada,
b) cr , cr = tensões normais que atuam nas X y
direçÕes dos
rem as faces do elemento,
c) 1" xy = tensão de cisalhamento aue atua .nas faces do e . -
lementol) paralelas aos eixos x e y. Esta tensão ~ considerada
sitiva se o seu sentido coincidir com o eixo que lhe for paralelo,
desde que, na face onde atua, uma tensão normal de tração tiver
sentido coincidente com o outro eixo, ou seja, para crx positivo e
Ll0-2
concordante com o sentido de x, T ~ositivo e aquele que concor xy
da com o sentido de y.
cujos.
(eixo
d) cr-, cr-, T7- = tensÕes normais e tangenciais a planos X y ~y O
traços formam angulos a e a+90 com uma direção vertical
y). Os ingulos ·a e a+90° são considerados positivos quando
marcados no sentido anti-horário. A convenção de sinais e mantida
para estas tensoes, respeitando os sentidos dos eixos que
correspondem (~e y). lhes
Observe-se, pela expressão (10.3), que existe um ingulo
particular a , que anula o valor.de T--, levando à equação p xy
2 T XY tg ( 2a ) =
p cr -o X y
.... (10.5)
de cujas infinitas soluçÕes, interessam dois valores de a que p
correspondem a duas direçÕes perpendiculares entre si, as quais
são chamadas de direçÕes principais. Estas direçÕes principais d~
finem dois planos, nos quais atuam tensões cr 1 e cr 2
(tensÕes urin
X y ± 2 .... (10.6)
OBS.: Os ingulos a calculados através da expressao (10.5) sao p
marcados positivamente a partir de uma vertical (eixo y) e
no sentido anti-horário.
Uma vez determinados os valores das tensoes principais cr 1
e
cr 2 podem-se obter analiticamente as POSiçÕes dos eLXOS prin
cipais 1.1 e 2.2, relativamente aos eixos x e y, utilizando
na expressao (10.1)
(10.5) e comparando
os valores de cr- ou cr- aos resultados X y
de cr 1 ou cr 2 já conhecidos.
Ll0-3
y
,II
"}· t .·· n~~ soo
Para o plano representado pe!o corte I-I tem-se, com
base na Fig. 10.2 e nas expressies (10.1) e (10.3):
a • I
. . a = I • • • • (A)
T • -o 8 = (q-p) sen 90° + T cos 90° I ' 2
p - 9 - 1,6 • • • • (B)
110-4
•
'u = o,43 (p-q)
O sistema de equaçoes (B) e (C) resolvido leva a
2 p • 2,0 tf/cm
2 q • 0,4 tf/cm
Utilizando os valores p e q em (A) e (D) obtêm-se:
a • 1,2 tf/cm2 I
2 'II = 0,69 tf/cm
p t t t t
L --- X
,, ,, . -~
,,,., '., . ~
q
0,8
FIG. 10.~- CIRCULO DE MOHR
Nas faces paralelas aos eixos x e y tem-se~ = O, sendo
portanto p e q tens~es principais; usando G conceito de pelo, co~
~ase na Fig. 10.4, conclui-se que o pelo tem coordenadas (p;O).
Admitindo conhecido o pelo, atravis dele, paralelamente
ao corte I-I, e.ncoat.zar-se-ia o ponto A, cujas coordenadas serram-
e = 0,8,-esta Última i~ual ao raio R do cÍrculo.
'' '. E.:S 2
2 = R = 0,8 tf/cm
Pelo poio, se se tirasse uma paralela ao corte II-II, ., encontra\r-se-ia o ponto B, de coordenadas c;II = 1,6 e 'II"
Atravis da Fig. 10.5, pode-se concluir que:
ox = 1,6 = q + R+ R cos 60° = q + 0,8(1+ t> ~
••• q = 0,4 tf/cm~
Dessa forma resulta
o
Ll0-6
!_. ..l..ponto ..,..o O"t J ~---------
FIG. 10.6
Isolando-se elementos em torno dos pontos (D e (I), das faces externa e interna da parede da caldeira, obtêm-se os es
tados de tensão da Fig. 10.7.
p = pressão interna
Nas caldeiras, admite-se que as tensoes ar, que têm di­
reçao radial, podem ser desprezadas relativamente is tens;es at
e ai, estas atuantes segundo as direçÕes ,tangencial e longitudi­
nal. Desta forma, em torno dos pontos Q) e @ , admite-se a exi!.
tência de um estado plano de tens;es. A tensão a 1 surge devido a
ação da pressão interna sobre as tampas e destas sobre as paredes
da caldeira.
Com base nas Figs. 10.8 e 10.9 obtê~-se at e a 2 .
a • t
.E..E. 2t
FIG. 10.8 - TENSÃO 0 1 FI G. 10.9- TENSÃO cr1
Ftampa = for;a na tampa • p • a · 1TD • t i
• • •
Com D = 100 em, t p 2em e p • 50 kgf/em 2 resultam
I) Solução Analrtica
No plano do corte II-II atuam as tensoes o 1
I e 'II' ob-
No plano da solda (corte II-II), as tensoes podem ser
representadas.por:
i
concorda com o sentido de y pelo fato
da mesma ser negativa; verifica-se que uma tensão normal ?Ositiva
nesse plano, discorda do outro eixo x.
II) Solução atravis do crrculo de Hohr
62!5 +- CTn
13 --. 2
o • R sen 60 • 312,5 270,6 kgf/cm 2
crii • 625 + R+ R cos 60° • 625+312,5(1+ i) • . I 2 • 1093,8 kgf Ct:l
FIG.IO. 13
obedecer ãs seguintes restriçÕes:
a) cr cc ~ O (a cola não suporta tração)
. 2 . 2 :!'(0,4 tf/cc ou seja, -r .:S;; 0,4 tf/cm para - CC
1: positivo e 1: ~ CC CC
-0,4 tf/cm 2 para 1: negativo, CC
')
faixa de valores
FIG. 10.14
I) Solução AnalÍtica
Orientando a peça colada com os e~xos x e y da Fig.
10.13 e respeitando a orientação para as tens;es, impostas na Fig.
10.1, ~em-se:
X
I R ~~~@ êY =~•ª
=
• • • • •
A soluçio que satisfaz as 3 condiç~cs encontradas para
cry é dada por:
• -1 3 o
k·oee·e=e·u o • e e o e e e o e c. e o e 4
-- e e e :e ,.. e e e o e e o ~ ,as ~ c •
-1.,3 0,3
....----------------- a-1 ltf/cm)
(j y
FIG. IO.IS
se se considerar que r;y pode ser negativo.
li) Solução Gráfica
Utilizando-se 6 crrculo de Mohr com base no estado de
tens~es da Fig. 10.13, obtem-se inicialmente o ponto P (polo) de
coordenadas r; • -0,5 tf/cm 2 e T • O. Através do polo, uma dir_e x xy
ção paralela ao corte cc, cortará o crrculo em um ponto de coord~
nadas r; e T • A 1! restrição (r; ~ O) é respeitada através do CC CC CC
crrculo CD. ao qual pertencem o polo p e o ponto A, de coordena-
das a • O e I• I • 0,5 tf/cm2. A 2! restrição <l•ccl ~ 0,4 ÇC CC .
tf/cmZ) leva aos crrculos @ e G), respeitado o campo de varia-
ção de 'cc' entre as retas l e 2 • Nestas retas localizam-se
os pontos B e C, nos quais concorre a reta por P e paralela ã di­
reção c.c. Verifica-se que o crrculo G) não é solução para o pr.!:!.
blema po\"que T > 0,4 tf/cm 2 para et. • -45°. CC
Poitanco a solução é a indicada na FlR· 10~16.
ll
110-12
( 1~ restrl~o)
FIG. 10.16
Ll0-13
FIG. 10.18 NÓS (i) E @ ISOLADOS
NlS p
•P/2 • cos45°
N26 .. Nl2
cos45° • P/2
e portanto. o paraleleprpedo fica sujeito apenas aos esforços da
Fig. 10.19, uma vez que não é considerado o atrito existente en­ )
tre suas faces ·e as sapatas.
Os esforços normais às faces do paraleleprpedo são
considerade-s uniformemente.distriburdos em suas respectivas á­ reas, atuando como tensÕes principais a, supondo aceitável a hi- ·
pÓtese d~ "inexistência"· de tensÕes de cisalhamento.
Ll0-14.
Um elemento de volume do sólido, fica portanto, sujeito
a um estado triplo de tensoes, como se representa esquematicamen­
te na Fig. 10.20, tomando-se cr 1 ~ a 2 ~ cr 3 .
I"IG 10.20 ESTADO DE TENSÕES NO SÓLIDO
Cl'j, .. ()
Ll0-15
trada na Fig. 10.21, na q~al se pode determinar o valor de T · max
com base no círculo de maior diâmetro, correspondente. ao estado
de tensÕes de uma face sujeita ãs tensÕes cr 1
e cr 3
S em
FIG. 10.21
carregamento
45
Cl
Ll0-16
No estado de tensoes em torno de um ponto interno de u­
ma viga, de maneira geral pode-se considerar que a tensão o é nu - y
la, admitindo que as tensoes o provenientes da açao do carrega- y
mento externo causam somente perturbaçÕes locais, que' se dissipam
à medida que se consideram pontos afastados das faces externas da
viga, segundo o Principio de Saint-Venant.
Cl
VIGA
1 são provocadas pelo esforço xy
cortante, como segue:
z
onde y i a distância da Linha Neutra ao ponto considerado, Ms e z
o momento estático, em relação ao eixo z, da área hachurada si- tuada abaixo do ponto e b i a largura da seção transversal ao nr
vel do ponto (Fig. 10.22.a)
a) Cálculo das TensÕes
Um elemento em torno do ponto P, segundo a orientação
das direçÕes a-a e b-b, fica sujeito às tensÕes indicadas na Fig.
10.24.
b
Flt. 10.24 ESTADO OI! TENso·ES EM TORNO CO PON'rO P
Usando a expressao (10.1), com ay • O
obtém-ma:
(] a a
(]X O O 2 2 cos(90 )+ Txy·sen(90) • 750 kgf/cm
ou seja:
.......====:; 1250
TENSÕES
T.l0-18
~r = zz 6x12 3
1250x864 3,0 = 360.000 kgf.cm = 360 tf·cm
Como a tensao r:Jx resultou positiva e o ponto P situa­
se abaixo da Linha Neutra, pode-se concluir q*e o momento encon­
trado traciona a viga em baixo.
M8 • 3 X 6 X 4,5 = p
3 em
A força cortante encontrada tem direção e sentido iguais
aos da tensao T , ficando a seçio transversal solicitada pelos es xy
forços Me Q indicados na Fig. 10.26.
Q= sp ti
Observe que este esforço cortante, proveniente de uma
tensao T considerada positiva segundo a convenção adotada, teria xy um sinal negativo segundo a convenção de esforços solicitantes(dia
gramas de Q), que considera positiva a cortante que percorre a se­
çao no sentido horário.
Este problema deve ser resolvido em duas etapas, a pri­
meira isotitica e a segunda hiperestitlca, isto i, a primeira ati
a situação em que a viga, ao se deformar, encosta no apoio móvel
B, e a segunda a partir dessa situação.
Sendo de 0,5 em a folga existente entre o eixo indefor­
mado e o apoio B, procura-sé o valor de uma parcela p1 da carga
total, necessária para produzir no centro da viga uma flecha de
0,5 em. Sabe-se que essa flecha i dada por
onde
• 3a4 E J
b h 3
Pode-se concluir, com isso, que da carga total p • 0,6
tf/m, uma parcela p1 • 0,26 tf/m trabalha para encostar o centro
da viga BO apoio B, sobrando portanto, para a segunda etapa, uma
carga p 2 • 0,34 tf/m.
Essa etapa, hiperestãtica, i resGlvida por superposição
de efeitos, sendo a estrutura real(l), substituÍda pela soma das
estruturas (2) e (3).
( l )
(2)
'3)
rrr1 'i 11 'I'L'L-_,'1_1' ...... '' 'Lll"-_'1 .,.D..,. . ..,I-.'1 ,..1 -r1..,...,1 [ .... ~~~ • o,34 11/m
RJ fRa rRe
111
1:~' ;;:;1 =1=1 ::1 ;::i ;;:;!::;!:::;1 ::::;;:[::::';:;;! -;;:;] :;;:;1·~-L=I-::' ;:I::';Ç;}-P2 • o,:s4tt/m
mr l '
Ll0-20
No cálculo de RB usa-se a condição de que a flecha em
B (na segunda etapa) vale zero. No problema 2 , a flecha em B
vale:
e no problema 3 , a flecha em B vale:
e portantcl
A nulidade da flecha e~ R permite escrever aue
- ! B = O 3
H =O vert
~~:::::::::::::::;;:==:::=~/A@
·'·t'~A l 0,65 H j R c ~ 2m l, 2m
I ! FIG. 10.26
+ R x4 + 0,85 X 2 - 0,6 X 4 X 2 = 0 c
R = O, 77 5 tf c
RA + 0,85 + 0,775 - 0,6 x 4 = C
RA = \1,775 t!
de força cortante e momento fletor.
@ 0.77511'
O cilculo das tensoes principais no ponto D da seçio
transversal localizada i direita do apoioB, ; feito com os esfor
ços M
bs6cm
y
3em
FIG.I0.30- SEÇÃO TRANSVERSAL
3 em
Como o ponto D estã acima da Linha Neutra e o momento
-1 " · f'b · f · s a tensa-o o comprimirá r etor ctB trac1ona as 1 ras 1n er1ore , x
o elemento plano em torno do ponto D.
Ll0-22
0 • 425 xSl a 0,0066 tf/cm 2 6x864
Portanto, o elemento plano em torno do ponto D tem o se
guinte estado de tens;es
.Note-se que na convençao adotada para tensoes, 1 xy
e
de .esforços solicitantes, a
Conhecidas as tensoes o e 1 , as tensoes principais x xy
podem ser calculadas com base na expressão (10.6), como segue:
= o +o
4.0 em
Para calcular-se as tensoes principal.s que solicitam a
chapa, utiliza-se a expressão (10,6),
cr +cr X y ±
2
na qual ê necessário que as tensoes cr e cr atuem em planos perpe_n X y
diculares entre si. As tensÕes cr , cr e T serao obtidas utilizan x y xy
do-se equações de equill:brio sobre os trechos triangulares ACD e
ADE, retirados da chapa através dos cortes I-I e II-II.
a) Cálculo de crx e T (Corte I-I) -xy
As forças F 1 , F 2 , FT e Fcrx sao provenientes da ação das
tensoes que atuam nas ãreas das faces da chapa ACD e devem equili­
brar-se.
L YL o
I
Sendo A a area das faces AD e CD, resultam:
Fl • 0,5 •• A
F2 • 1,0 .: A
F't" 't" • (2Asen9) 3 1,2 A•'t" • • 't". 2A. 5 .. F a ax. (2Asen9) 2A 3 1,2 A•a • • a • - .
X 5 X X
Flx = r 1 .cos9 0,5 A 4 0,4 A • -. 5
Fly .. r 1 .sene - 0,5 A 3 5
.. 0,3 A
L Fax
.c lx
-A chapa ACD fica portanto sujeita as forças mostradas na
Fig. l0.33.b~ cujo equilrbrio fornece:
lrx • o • A(0,4+0,8) = 1,2 A•ax
. .
.-
T • 0,25 tf/cm2
(Cortes I-I e II-II)
: tfreo A sen e
"/ F~ =0.25 x(0.6)•0.15A
---~Fx•I.Olt I0.6AI
li --0·.~-:::::=:;:==-nly -·-·-·- CORTE n.- n. F 1: • O. 2 5 x (O ..i A l J rreo A c os e
F a • CTy x 10.81 y
FI 8. lO. 34
A(0,3+0,15) • A(0,8 a ) y
2 a • O , 56 2 5 t:!/ em y
Ll0-26
de cr , cr e 'T , X y
ponto qualquer
l 0,5625
tem-se o desejado
pertencente i chapa.
"'=======""
FIG. 10. 35
atuam tensoes de cisalhamento de mesmo valor.
O'l} = 1,0+0 ,5625 ± cr2 2
cr 1
= 1,11 tf/cm2
2 cr 2 = 0,45 tf/cm
c) Os plancos onde atuam estas tensoes podem ser obtidos com o au­
xilio da circulo de Mohr, utilizando-se o conceito de polo,se~
do ep e (6p+90°) os ângulos formados entre as direçÕes princi­
pais e a face A.A (Fig. 10.37}.
"tU fiem"~
FIG. 10- 36
dos @ e
estado as
e o 114,4° tt 24,4· 6 = pl P2
-Portanto, os resultados obtidos sao os seguintes:
Y IA
0,25
10,5625
O, I
! 0,4tf /cm2 --'-:~
0.4---JI::J Lo.l
tensÕes principais não devem ultrapassar 0,8
dos esta­
e neste
tf/cm 2 .
FIG.I0.39·ESTADO DE TENSOES RESU l TAlHE
Sendo T = (0,4+T) obté~-se, com base na expressao c
~10.6), que fornece o 1 e o 2
Ambas 2 as tensoes devem ser ~enores que 0,8 tflcm . A
tensao o 1
o 2 poderá ser positiva (o~~ 0,8
pode ver na expressão e a tensao ? tf/cm-) ou negativa (o
2 ~ -0,8
co,4;o,l)+ yco;s/ ... 2 T
~ O,fi tflc~ 2
T c ? "!- ~ o' 3 6 t f I Cr.1- + c l T >-- -0,6 t f/ em-
(0,4+T) ~ n, 6 +
(0,4+T) ~-o, 6 +
T 2
~ -1, O tf/ c~
? o - 1 , O t f I c~- .:::;. T !'S O , 2 t f I em-
!'S0,8
L10-29
V (0. 25) 2 + 2 <O 65 - 't" - • c . . 0.25 2 2 _; (O 65)2 + 1: ~ ' . c
't" ~ 0,6 tf I em 2
-~ ~ 0,36 c
(0,4+1") ~ 0,6 -· 't" ~ ~
, >- -o, 8 tf/cm··
-1,".' tf/cm2 -~ ~ -O 5' tf/•m 2 "' ·~·- •.
Os casos (a) e (b), cujas soluções coincidem,e o ca­
so (c) terio, portanto, como soluçio conjunta para e tensio T, os \ 2
valores 'compreendidos entre -1,0 e 0,2 tf/cm
' ~ 0,2 tf/crn·
A obtençio das tensoes principais nos pontos 1 e 2
da seçao transversal do apoio R , exige a determinaçio do momen -to fletor e da cortante nessa seçao, obtidos como segue:
a- I
I l I l I I I I I l l l l , I l I I lj l I l
2.0 m 0.511'1
a) Obtençio das Reações
. 1 tf /m
l I I l I l I I I I i :. I I I I I I i I i I 1 I":
..j...l R-A--·-2·..Q._I!!_ _______ l :~.j FIG. 10.41
R 2 O 1 O 2 5 ~.s ~ .. -.E X , - , X , X - 2- = " RE = 1,563 tf
RA = 0,937 tf
Q(em til
.~0,5
0,937 '$.'.
·-1,063
0,125
----- .... P!.z ~~~~~~~~~~~llil~~, !!=
" • lx 0,5
e = 0,03
Ll0-31
- Centro:de Gravidade
:t l. Yc.G = L:S.
y = 19 .... 1
I
M • lO X 15 x 11,5 • 1725 s (2)
) - i' d) Calculo das TensÕes (Seção B.B)
- Ponto l
ser a to~ada negativa porque o ponto
esti abaixo da Linha Neutra, zona da seçio em que MBB causa com­
pressao. Dessa forma, o uso da expressao (10.6) fornece
-3 Cl 2 ..., (--'-0) +()'' 2 . 2 cr 2 = -3,8 kgf/cm
Esse resultado era esperado, uma vez que, sendo ~(l)
igual a zero, a prÓpria face do elemento de tensio em que atuam
cr(l) e ~(l)' tem direçio principal.
~·---· -----o, . D o,= 3,Stf/cm2
- Ponto 2
1,063xl725 10x36167,0
-3 ? ~ = 5,07xl0 tf/cm- = 5,07 kgf/cm-
v 2 ''"lB 1° 5 -3 ° ~ = ~ = -, x 4 = 1,38xl0 tf/cm- = 1,38 kgf/cm v(2) Jz J2 36167,0
-t- -- ' I i
FIS.\0.45-V!STA LATERAL DA VIGA E DIAGRAMAS DE TENSÕES
Ll0-33
O estado de tensoes em torno do ponto @ p<:>de ser re
presentado por um elemento de ãrea como se mostra na :~ig. 10.46,
e portanto, respeitadas as convençÕes de sinais para •esforços so
licitantes e tensÕes, resultam os sentidos indicados.
AG.I0-46- ESTADO OE TEHSÕES (PONTO 21
2 °1 2 =5,81 kgf/cm
(-l-2_3_8) + (5,07)2 +
Através do círculo de Mohr podem-se obter as: direçÕes
principais em que atuam cr 1 e cr 2
, para os esta dos de tems ao em
torno dos pontos @ e @ . No caso do ponto Q), isto não e necessário, jã que,
como 1: (1) e cry(l) são nulos, o cÍrculo de, Mohr reduz-se a um
ponto e portanto as direçÕes principais são·paralelas is dos
eixos y e z. No caso do ponto 2 , obtim-se as direçÕes princi­
pais mostradas na Fig. 10.47, que podem também ser obtidas ana­
liticamente, como· segue:
tg(2C!) = 2 1:
xy = cr -cr
FIG.I0.47- CiRCUL.O DE MOHR E DIREÇÕES PRINCIPAIS
As direç;es principais sio encontradas utilizando-se o
conceito de polo, sendo paralelas às retas PA e PB, como mostra
a Fig. 10.•~7.
c:::::;==:::J :t 2 em
FIG. 10.48
A força oblÍqua P pode ser decomposta segundo as dire­
çoes vertical e horizontal, em forças PV e PB' sendo esta ~ltima
transladada para o C.G. da seçio, criando assim um momento fle­
tor Mz' que provoca traçao nas fibras inferiores.
Ll0-35
16 PV • 4·sena • 4x 52 , 5 • 1,22 tf
M • -M +P •I = -p •e +P ·I • -3,8lx8+1,22x50•30,52(traçio em cima) e z V H y V
b) Cálculo das tensoes nos pontos A e B (seçio do engastamento)
A força ~orizontal PH' atuante no Centro de Gravidade,
provoca o aparecimento de tensÕes normais CN uniformemente distri
buidas na seçio. O momento fletor Me' po~ sua vez, introduz ten­
soes eM' e a força cortante Q • Pv, introduz tensÕes de cisalha­
mento 1, cujas distribuiçÕes na seçio sio indicadas na Fig.lO.SO
M : 30,52 tt. em
L10-3&
3 cm4 12 • 7189,3
li • MS • 2 X 20 X 9 • 360 cm 3 5 A B
5 • 2 X 2 X 20 + 2 X 16 • 112 cm 2
b 2 ) Cilculo das Tens;es Princiuais
Ponto A
1,22x360 • 2x7189 ,3
o, ] vc3o,s) 2 • = ±
2 OB • -68 kgf/cm
........ _.........,
o, L
P!! polo
FIG. 10.51
.. ~(1+50)
I I
FIG. lO. 52
A fim de calcular as tens~es principais nos pontos A e
B deve-se inicialmente determinar o respectivo estado de tensão,
com base nos esforços solicitantes da seção central da viga.
a) Cálculo do momento fletor e da força cortante na seçao I
a 1 ) Cálculo das ReaçÕes
\
Traçado dos Diagramas de H e Q
Q (Ofll tf l li li i li t§i: I i I! I r-,u
Mleattml 2 11il!!l!llll\lll~
FKI.IO. 54· DI A GRAMAS DE Q e lol
Na seçao I encontram-se M a 2 tf·m e Q = 1 tf
b) Câlcul·~ das tensÕes normais .e de eisalha!!!ento
-+L 0 I • ' E'
FIG. 10. 55
8 X 12 3 3 J -Z(3x8 ) 896 4 = = em z 12 12
'! = 2 8 5 = 80 3 "'s X X em
A
M SB = 80 + 2 X 4 X 2 = 96 em 3
110-39
lOOOx~é ~1\B~-p- -·
Cama as pontos •seio ~ituado~ na $@;ia l, i di~eita da car~a ~aneent~ada, o sentida da !ar;a ea~tante & a indicado na
Fi$• 10.56 e po~tanto os ªffltados de tensões dos pontos A e B são os seguintes:
11tm l I r ~ Q • I ti
-· Ot ·- 44,6 kgf/cm2 e>3 ,s I<Qf~m •
893 0 893 kqf/em2
'1)· -89 3
I I
I I
2T tg2a " cr--=:-cr =
c 2
~
"t(kgf/em)
FIG. 10.56- CIRCULO DE MOHR
analiticamente: tg2a = Z(-53,6) o
ESUDOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES
De um sÕlido sujeito a um estado triplo de tensões, po­
de-se isolar um elemento de volume dx dy dz, o qual tem suas fa­
ces referidas aos eixos coordenados x, y e z como se mostra na
Fig. 11.1. Faces opostas são solicitadas pelas mesmas tensÕes, u­
ma vez que se desprezam posstveis forças volumétricas.
11
As convençÕes de sinais adotadas para o estado plano de
tensÕes são aqui mantidas. Por exemplo, sendo o sentido de uma
tensão a positiva (de tração) concordante com o de x, as tensões X .
T~y e Txz serão igualmente positivas se os seus respectivos senti
.dos concoriarem com os de y e z.
As deformaçÕes & desse sllido, medidas se~undo as dire- =
çoes dos eixos x, y e z, são dadas pelas expressões (11.1), nas
quais E e 1.1 são respectivamente mÕdulo de elasticidade longitudi­
nal e coeficiente de .P.oisson.
- 1.1 (a +a ) X Z • ••• (11.1)
&z • l [a - 1.1 (a +a ) J E Z X Y
Lll-2
As distorçÕes y sao, por sua vez, dadas pelas expres­
soes (11.2), onde G ê o modulo de elasticidade transversal.
Yxy • Lxy
.. ~ . (11.2)
Conhecidas as deformações segundo as direçÕes x, y e z,
é poss!vel determinar, analogamente ao que foi feito para as ten­
s9es, as deformações que ocorrem segundo direçÕes ortogonais x, y e z, obtidas por rotações dos eixos coordenados.
No caso de um estado plano de tensÕes (CJ • O, L e L • z . xz yz • O) como o da Fig. 11.2, ê válido escrever
1 [crx cry J &· .. - >I X E
1 [cry cr J (11.3) e • - >I . . . . '1 E X
T
X ' ' •xy '
Ly ' dlrecão ' •
As deformaçÕes e a distorção segundo as novas direçÕes
x e y sao dadas pelas formulas:
e:- = X
Lll-3
QU
•••• (11.5)
y-- = (E -E ) sen2a + y cos2a xy yx xy •••• (11.6)
ou
2 2 y-- = 2{E -E ) sena cosa + y (cos a-sen a) xy y x xy . . . . (11.7)
.2!!.:_: Para se calcular E;: usa-s e o ângulo Ih Sendo 8 = a+9 o0
tem-se:
e:­ y
2 2 = E sen a + E cos a - E cosa sena x y xy
' .2!!.:_: a) O ângulo a é marcado positivamente a partir de uma hori
zontal (eixo x) e no sentido anti-horãrio até o eixo cu
já direção é a da deformação a ser calculada.
b) Note que as f6rmulas (11.4), (11.5), (11.6) e (11.7) p~
dem ser obtidas a partir das f6rmulas (10,1),
(10.3) e (10.4), trocando-se nestas: a por X
e 't xy
Portanto, as direçÕes principais, segundo as quais se
tem as deformaçÕes principais, são obtidas através de
tg2a p • • • • (11.8)
e os valores das deformações principais sao obtidos através de:
.. E +E X y ±
1-1•0,25
30 em
FIG. 11.3
No problema em questao, o cilculo das tens;es que atuam
nas direç;es A-A e B~B i necessirio, uma vez que as de
formaç;es pedidas ocorrem segundo essas direç;es, Tais
tensões foram ji enco.ntradas no exemplo Ll0/20, seme
lhante a este, e valem!
- c; X
___ 1.0 tf/cm2
Jo. ss2s t f/em"
sões (11,1), com = o, z..
1 =-100 l,0-0,25(0,5625)
1 = Tõõ 0,5625-0,25(1,0)
De acordo com o enunciado, a deformação e- deve X
ser
- ~·
do que
e X
.. f [ p -
~
e- • X
(11.4), e lembran
Substituindo na expressao de e:x as expressoes de ex e
e e impondo e- • O obti~-se: y X
ou seja:
lF. 3\J l p)+( 2 + 2- p)(-cos29)
1 e • 2
[ 1-)J ]
um estado hidrostático de tensões, conforme Fi8• ll.ó,
li
Lll-7
p
rr FIG. 11.6 - ESTADO DE TENSÕES
Sendo t o comprimento da aresta do cubo, tem-se que
e: •e: =e:= X y Z
t:..t = O Ol"' • _ O,Olt = _10-4 l!. ' " 1 O Ot
O uso das express;es (11.1) ao caso em questio leva a
Sendo e; X
&.! O 1---------o..;.: --------:::f'_.!>,// M>O I //
' ;•
I I Cll
a) Obtenção das TensÕes
-Sendo os eixos y e z indicados na seçao transversal e
x um eixo longitudinal da viga, resultam
-5 E =E = 7,14 x 10
a Y
o -5 Eb = Ex (para a = 30 ) = 16,07 x 10
e com bases nas expressoes (11.4) tem-se
E +e · e -e yxy xy+(xy (o o =
2 -
Sendo a y
nulo por hipótese e a nulo porque não exis­z tem tensÕes segundo
M) atravês de
. 2 a = -0,5 tf/cro
G = ....,,.:E:_....,... 2 (l +jl) = 808 = 2100
2 ( 1 +~)
Encontrado o , o valor de e pode ser obtido com X X
.. = l [a J = ~ ~~ - i "~ -~
_ Cê•bêêi!ê§ 6•' êy' I êfiê•llliê dê plã•ê ~=~ ê ã dêfêl mãç~o •§§§ã dilêliê, pêdê=§ê ê~lêl y~,, •êêꧧltiê I dêlêlmi••=
ÇÃO dê ÍOIÇã ~êlll.lê,
+ C-2,3Sxl0-:-7,14x10-l) eo§(2x30ª)• Y2y §êH(2x~a~)
Lll-9
/
' o ' C\1
60 .--·/. ,_ r • a
I
I
Observe-se ~ue 1 defor~aç;o Eb ocorre segundo uma dire
çao que forma um ân2ulo de 30° co~ a direção x-x, feita uma rota
çao em sentido anti-horirio (;ositivo).
b) Obtencão dos Esforços Solicitantes
b 1 ) Caracteristicas Geomitricas da Seção Transversal
J z
s = 54 C L:;
OBS.: Si orientado da mesma forma que
tive se for considerada a convenção de sinais de
tantes.
I cr I · J IMI • X z = Yo
0,5x576 3 = 96,0 tf•cm
OBS.: Dada a posição do ponto O (abaixo da L.N.) e se~
do cr negativo, conclui-se que M traciona as fibras superiores. X
X
I
I !
j.L•0,3
FIG.II.9.o- ESTADO DE TENSÃO FIG. 11. 9. b- TUBO DE PAREDE FINA
a) Cálculo de !ensÕ~s e DeformaçÕes
O tubo, estando engastado em uma de sues extremidades,
livre na outra e 8endo 8clicltado pelos e8!or;oa He e z,, C$tari
3ujeito, ªm qua~~ue~ um doê ponto~ de uma ªeção transversal gen~ rica, ao estado de tensÕes da Fi~. 11.9.a.
-4 s = s = -1,4 X lO •• y
= L,8 •. I' -4 X • ,J C:ara c. = 45° a partir à e x-x)
Senào e c nulcs, roCe-se cbter 0 por ne~o àe € Z X y
(ex p. ( 11. 1 ) ) .
Lll-11
Com este valor de cr , encontra-se € que, J"unto aos de- . X X
mais dados, possibilitará encontrar y através da ex!>ressão xy . (11.4).
e: = e:- = bb X -4
4,8xl0 = -4 -4
(4,67xl0 -1,4xl0 )+ 2
2 2
Y = 6,33 X 10~4 xy
E -4 2l00 2 Txy • yxy·G • yxy 2 (l+u) •(6,33xl0 ) 2 (l+0, 3) • 0,5ltf/cm
b) 'cilculo dos Esforços Solicitantes
b 1 ) Momento torçor
El:l tubõs de rarec!e fina sujeitos ã torção sabe-se que
2 'i t
b 2
) Esforço Normal
. . :; 111 6 '16 t f
Lll-12
c) Sentidos dos Esforços
-Sendo cr e T valores positivos, seus sentidos sao mos-x xy trados na Fig. ll.lO.a, que representa o estado de tensÕes em tor-
ne de um ponto genérico representado na Fig. ll.lO.b, onde também
estio indicados os sentidos de N e Mt.
VIG, !I, 10."' I'IG, IL lO, b
I'IG, 11, li
LH-1·3
das "% v ~· :;: v
expressões (ll.l) c cú.z), i?&~~ deverá ser feita com o uso
o que é necessário conhecer
os valores de ty (dado), ~x e Yxy'
A expressão (ll.l) aplicada ao problema conduz a
. . cr - 0,30cr • 0,6 y X • • • • (A)
Com o uso de (11.4) tem-se
t +300xl0- 6 t -300xl0- 6
ta • ti = 2 O O ~ 1 O- 6 • ( x 2
) + ( x 2
ou seja
.... (B)
- - - o Como a direçao principal e obtida por rotaçao de 60 do
eixo x-:z:, tem-se, usando a expressao (11.5)
-6 E -300x10
O sistema de equaçoes
O~a vez conhecidas essas deformaçies, tem-se
E -6 2000 'xy • Yxy·G = Yxy 2(1+~) =(-346 x 10 )2(1+0,3)
a
xy
€ X
Lll-14
500 X 10-6
2 a .. 1,30 tf/cm X
2 a • 0,99 tf/cm y
e ao estado procurado de tens;es
t ay = 0,99 t!/cm 2
2
FIG. ll. 12- ESTADOS DE TENSÕES
(D)
trar novas equaçoes que
tilizada.s.
relacionem c , cr e 1: , usando rotação x y xy
rotaç;es de deformaçÕes anteriormente u~
~ [cr--~cr-J 1 0,3 ay] € = E:- = = 2000 [cr- - = a X l:. X y X
= 200 ~ 10-6
(E)
O uso da expressao· (.10. 1 ), com a = 60° (Fig. 11.11)
leva a
2 7 )+( x
X xy
(J +CJ o -o CJ- • ( X y)+( X 7 )cos(300°)+ 't ·sen(300°) y 2 2 xy
Sendo x eixo principal, para a • 60°, tem-se
2 't xy cr -cr
X y • -1,732
-r • (o -o ) 0,866 xy y x (F)
Substituindo as equaçÕes de crx e oy em Ea (eq. E), e tomando o valor de 't de (F) obtêl!l-se: xy
0,4 • -0,95 ox + 1,65 o 7
Essa equação e mais a equaçao (A) anteriormente obtida
constituem um sistema de equaçoes em crx e cr 7
cuja solução ê
2 a 1
2 T • 0,27 tf/cm
do utensõmetro)
Para que a tensao crx possa ser obtida pela leitura dire ·
ta de e:x" esta deformação, como será visto adiante, deverá inde­
pender da tensao cry• o que só ocorre para um determinado ângulo 8.
li -------
cr- = X
2 )cos28
2 Y)+( x
2 Y)cos(26+180°)
. ou ainda, -sendo
2 2 . 2 cos26 • cos e - seu e • 2cos 6-1
X
a- = X
a +a cr -a 2 X y X v ()+( )(2cos 6-l)= 2 2 cr cos S+a (1-cos 6) 2 2 X y
a- = y
E e- = X
E E:- = X
X y
2 2 2 2 (a cos 6+a sen e)-~(a sen S+a cos 6) X y X y
2 2 2 . 2 a (cos 6-]..lsen 6)+ a (sen e-~cos e) X . y .
-Para que crx seja apenas proporcional a ex , e preciso
2 2 sen e - ]..lcos e = o
e 2
2 cos e = 1
1+~
Se o extens;metro for colocado na direçio de x, a = X
• R e- onde R i a constante de proporcionalidade que vale: X
R = E E
L 1 3a
I) Solução por Rotação de TensÕes
Sendo (com base na Fig. 11.15),
cr 4 , a 6 • tensoes normais, respectivamente, is faces AD e BC.
cr 5
, <1 7
"E BC -4 X 10
onde as tensÕes que aparecen podem ser colocadas e~ função de
e T com o uso das expre~sÕes (10.1), e usando-se crx = ·XY
Lll-19
30' O' a7 • (~)·Czl>cos(2a)+Txy••n(2a)
Sendo sena • 0,8 e cosa • 0,6 obtém-se:
cos2a • -0,28
sen2a • 0,96
e portanto:
(J
0'4 • zZc3-o,zs)+0,96 '!" • 1 • 3 6 (J + 0,96 . xy y xy
(J
cs • zZC3+0,2S)-0,96 '!" • 1,64 (J - 0,96 1: xy y xy
(J
(J
(J7 • zZC3+0,28)+0,96 '!" = 1,64 (J + 0,96 '!" xy y xy
Com a substituição destes
valores em ~AD e ~BC
'!" e c , como segue, xy y
1,232 (J - 1,248 '!" = 1,4 y xy
1,232 C + 1,248 T = 0,6 y xy
com soluções
-Usando a expressao (11.4) tem-se
- 4 E +E E -e Yxy X y X y EBC • 3 x 10 · = ( 2 )+( 2 )cos(28)+ - 2- sen(28)
ouq~ sen8 • 0,6 e cos8 = Q,8, do que decorre
sen28 = 0,96
cos28 • 0,28
1, 7 a
y
Substituindo eetee vãlcreB nas expressões de eDC 1
1: AI) oh iim· u
cuja ao :Lu c; io í
"ày • ~x • 0,812 tf/cm2
fJ: o. 4
o. o ai.-_-:: '
ti ,, " "
A carga P de compressao, centrada no corpo de prova,
provocara encurtamento segundo a direção y e alongamento segundo
as direçÕes x e z.
Na direção y, a tensão existente serâ
a - p
s - - p
20x20 - - p
400
e nas direçÕes x e z sÕ aparecerao tensÕes normais,(as de cisalh~
manto não existem pois se supÕe não haver atrito), a partir do
ponto em que o corpo de prova, deformado, encostar nas paredes da
caixa rrgida, tendo OCOrrido deslocamentOS e!'l X e_ z, pelo menos i
guais ãs folgas existentes nessas direções.
Fase. 1: Corpo de Prova na iminincia de encostar na caixa, segundo
a direção x
Seja P1 uma parcela cia carga crescente P, que faz com
que o.corpo de prova, por ela deformado, encoste na caixa segun­
do a direção x, na qual a folga existente de O,Olcm (de cada la­
do) i menor do que a existente sesundo z (0,02 em). Nessa situa-
çao
de contato entre corpo de prova e caixa, segundo x.
de contato entre corpo de prova e caixa, segundo z.
pl (11. 1) (J (J nulos -vem, com e e (J =
X z y 400
1 --E . t = 1 [ -100] 30 =
100 400 • -0,075cm
Fase 2: Corpo de Prova na iminência de encostar na caixa segundo
direção z
Procura-se agora, uma parcela P2 da carga, que leve o
corpo de prova, jã encostado segundo a direção x, a encostar tam
bem segundo a direção z, o que ocorrerã se P 2
provocar, nessa di
61 - 0,04 - 61 = 0,04 - z2 zl
61
z2 20 z
= _l [o - 100
0,4 (cr x2
10-3
o,4 c-o,on>J " ·t,so6 x l.o-3
Nessa ai=ua~~o, •ualquer valor de ~ar~a ~ 3 , naior que zero, tencarl empurrar as paredea da caixa, aparecendo então ten a;ea de compressio a,, a
11 e a
resultantes das ações entre o corpo a a caixa rígida.
D •
e:,3 = 1~0 [ a,3- 0,4(ax3 + az3)]
•••• (C)
"" (D)
aesolvendo (C), (D) e (I:) resultam
a • 0,677 x3
a • 0,667 Z3
OBS - 1
. .
171.6 ------
100
Um conceito que pode ser subtra!do de sráficos deste
tipo é qu~, à medida que P crescente aumenta as defo~
maçÕes, superando gradativamente as folgas iniciais,
com corpo de prova e caixa encaixados, o sistema fica
. -
Lll-25
clinação da curva da fase 1 para a fase 3, com a conse
quente diminuição de ~t relativo.
OBS.- 2 - Sj nas express~es C e D, o valor de ~ for igual a 0,5, p3 ~
com a = - s-• obtem-se a Y3 x3
-P3 =a •-z 3 S '
que produzem uma deformação e y3
nula. Por
tensões estas
limite superior para o coeficiente de Poisson ê 0,5.
OBS.-3 - No cálculo de deslocamentos e tens~es, foram tomados os
valores iniciais da área da seçao e dos comprimentos,
os quais, devido a ocorrência das deformaç~es, sofrem
alteraç~es desprezíveis •
li. CORPO I ,.
~ i I
h
FIG. 11.18
Procura-se o deslocamento do ponto de aplicaç.ão da ca_::
ga P, e qual se sup~e transmitir, para toda a barra, uma tensão
a (de compressão) constante. Esse ponto sofrerá um deslocamento X
igual à soma dos deslocamentos, segundo a direção do eixo x, dos
corpos I e II. Nos corpos I e parte do II, a chapa rÍgida reage
com tensõe~.a de compressão. Tens~es a ocorrem somente na par-y z te do ·corpo II colocada ã esquerda do corte C.C (são aplicadas) .
a)
Lll-26
!:::.9..,_ = s .!.. x,..
= -Cl 1 -, .
+ a )] = z1
('o direita do earte c-e l
1"liE.i1.20· CORPOI!:
[J = o Yz
2 = 1,0 tf/crr..
a -15 X 10-4 .
o rJ = -0,2 tf/cm~
• -0 1 0126 C!!:.
c) Portanto o deslocamento /::,'1., na direção do eixo x val<>:
ói = /::,2._ total - xl
l!.tt = -O, 02 7 3 - O, 045 - O 1 012 6 = -O 1 085cm (enc:urtamento)
- ~em pensar, inicialmente, no.resfriamento do tubo de~
ço 1 pode~se dizer que o pilar cilindrico de concreto, ao ser lo~
gitudinalmente comprimido, alongar-se-i transversalmente, traci~
nando o tubo de aço, com tens~es radiais rJ , e sendo igualmen~e r c
comprimido por este.
111-28
O resfriaiT.ento imposto ao tubo G.e aço o -... ara cor:. que este
diminua de diimetro, co~primindo o concreto, c;ue reace . "' sobre o
tubo com tensÕes radiais 0 . Es~as rt
tensoes irão somar-se às ten
de compressio que solicitavam o -soes ~ilar, resultando no esquema
de solicitação mostrado na Fi1. 11.21.
z l l I l l I i P I - : - - -- I - - C\-t+ 0 rc
I ~t+ O"rc -- I
-c;.t~t-I - lx -- -- Pl LAR -Tuec DE-- - ACO - -" - ' -- I t f t t 1 t -. v/1v I crx=-p ' '
t•0.5un 50.0 em o:s c•
FIG.il.21
Com base na solicitação da Fig. 11.21 e na expressao
(11.1) pode-se escrever
or:..de
s = ..!:... [cr - ll (cr +cr )) X E X c y z
c
:Ül-29
OBS.- O sinal negativo indica que as tens~es sio consideradas co- -mo de compressao.
e: = __!__ .r -p X 200 + 0,4 x 2(cr +cr )J rt rc
Na iminência da ruptura, e: X
pressão) e portanto
com
(A)
O sinal negativo de e:x provém do fato deste ser considera
do como encurtamento.
= e: = ...!.._ [cr rc E z c - \l (cr +cr )J
C X y
= , 1oo[-ccr t+cr )+0,4(cr +cr +p)J ~ r rc rt rc
e:rc = 2 ~ 0 [-0,75 p + 0,15 + 0,4 p] = (-1,75p+0,75)xl0- 3
b) No Tubo de Aço
Em tubos de parede fina, de diâmetro médio ~ , espessu­
ra constante E. e sujeitos ·a uma pressio interna q, sabe-se que,P.!
ra um comprimento unitário, a deformaçio pode ser dada por
e: = q•d 2 E t
e portanto, neste caso,
(cr +cr t)x50,5 rc r . 2x2000x0,5
_-:.1 = 25,25 x 10 ·ca +cr ) rc rt
ou seja, substituindo em funçio da pressao p dada, expressao (A):
= (31,563 p- 6,313) X 10-3
Lll-30
Por 0utro lado, o resfriamento de temperatura imposto
ao tubo de aço provocara no mesmo. uma diminuição de seu perrmetro,
a qual segue a lei
rf = r(l+a AT)
-onde r e rf sao respectivamente, os raios do tubo, antes e depois
da deformação. Assim sendo,
E = Ar r
2TI Ar = = 2Tir
onde a é o coeficiente de dilatação térmica e AT e o gradiente
de temperatura, negativo neste caso. Assim,
-s -3 Era = 2 X 10 X (-30) • -0,6 X 10
Essa deformação radial, somada algebricamente ã deform~ çao provocada pelo concreto, resulta numa deformação final que,
por compatibilidade, deve ser igual ã prÓpria deformação do con­
creto, ou seja
E r c
2 p = 0,23 tf/cm
Obtido p, a equação (A) fornece
(a +a ) = -a = -a rt rc y z 2 = 0,038 tf/cm
-3 (-1,75p+0,75)10
Essa tensão, que atua no concreto, atua como pressão
interna no tubo de aço, encontrando-se portanto, a tensão de tra -çao no aço (aa) com a equaçao
(cr +cr ) ··d rc rt
2 t
FIG. 11.22
portanto, em tensao principal, do que decorre
As tensoes cry e crz, que comprimem transversalmente o
corpo, tenderia a along;-lo longitudinalmente, empurrando-o con­
tra as chapas r!gidas, que r~agindo, provocam no mesmo o apareci
mento de tensÕes de compressão cr . X
Alim disso, por compatibilidade de deslocamentos segu~
~o o eixo x, pode-se dizer que o deslocamento que.ocorre nas 4·
barras,.deve ser ig~al ao deslocamento do corpo solicitado por
Aquelas tens;es.
Lll-32
~ +·· ' t
as 4 barras estejam trabalhando com cr, fornece
4 Nb- cr ·S = O x corpo
ou
cr = = = X s 4,0x5,0 corpo
b) Com;eatibilidade de Deslocao.entos
• .2. b
X 40
2 - -crz = 1,2 tf/cm (tensao de compressao)
FIG. 11. 24
a) r;_> O para qualquer valor de a. X
b) Je: I$ 1,4 X 10-4 y
A restrição (a) é obedecida para qualquer a. desde que
a menor tensao normal, que é a tensão principal cr2, seja no mrni
mo nula, o que leva, usando a expressão (10.6), a
cr = 2
0,5+cr
~o
b 1
, ou seja
g y [ o v -0,25· o.,s] > -1,4 x 10- 4
- J
< 0,405tf/cm2
Lll-35
tll u -- ·~ -<II) (11!) - \ \
No estado de tensao (III), obtido pela soma dos estados
(I) e (II), para gualguer valor de a, a distorçio deveri ser ~ula,
ou seja:
Y-- = O = (€ -g )sen2a + y cos2a xy y x xy
E =l(cr -1.1 y E y
€ X
= H<o, 6 + c; )- l él 2+cr ~ b 3 ' a]
1 [ = E Cl ,2 +
b - CJ )- 3 (1,2 + (J -
a .a
Y· X 3
0,6
Como y xy estado III, T =O) e a distorção xy
deve independer de
ê nulo (no
a, o fator (€ -g ) deve sempre ser nulo, o y X
que leva a
-crJ]
A variação especrfica de área (!!.;) ê obtida impondo de~ locamentos l!.i e l!.i no estado de tensÕes (I) e (III), como
X y segue:
a) CRITfRIO DE COULOMt
A seGurança contra a· rup~ura de materiais sujeitos a
um estado triplo de tensoes, e verificada pela posiçio do corres
pendente círculo de l:OER de maior diâT'letro ;cr 1 -a
3 j, em relaçio ã
regiio sem ruptura c:;ue define o CRITfP.IO, sendo·cr 1 ~a2 ~a3 , "c
a cha~r.ada coesio do material e Ç; o ângulo de atrito -interno.-
de ru.ptura
Se ao invis de verificar a segurança contra a ruptura,
for de interesse verificar se un c~rto estado de tensoes e
admissível, basta dividir 'r pelo adotado coeficiente de c
ça, obtendo T . c
seo-uran v -
estados
planos de tens~es, obtendo-se o grifico da Fig. 12.2, no c:;ual ~T
e a s~~ respectivamente as iens~·es de ruptura i. traçio e cocpre~ c -sao do material estudado.
As coordenadas (o1 a~) desses estados planos de ten­ " soes, no caso de nio. haver ruptura, deveR pertencer ·i regiio in­
terna do grifico (zona sem ruptura).
L12-2
FIG. 12.2 • CRITÉRIO DE COUI.OMB(eslado plano de tensõol
b) CRIT!:P,IO DA ENVOLTÕRIA DE !:OHR
E semelhante 'ao critério anterior, só que, em lu~ar das
retas que definem a segurança contra a ruptu'ra, têr::-se curvas en­
voltõrias aos ctrculos de HO!ir.. obtidos J!r> ensaios de ruptura dos
respectivos materiais.
\
c) CRIT!:r..IO DA ENERGIA DE ~isTORÇIO OU DE VON ~ISES
Para a an~li'e de.um material sujeito a um estado tri­
plo de tens~es, para o qtial são iguai.s as tens~es de ruptura a
tração e compressao, define-se uma tensão ideal cr. dada pela ex­ ~
pressao
.... (12.1)
Ll2-3
a qual deverá ser comparada com os respectivos valores das ten­
sÕes ideais de ruptura ou admissrveis desse ~aterial.
Uma particularização deste critério pode ser feita no
caso de estados_ planos de tensÕes sujeitos a tensÕes normais ~
numa única direção e de cisalhamento T (nas vigas por exemplo),
obtendo-se a expressao (12.2), na qual a tensão i dada por:
~- = l.
O ~aterial segue· o ·critirio de Coulomb defin:ldo pelos
parimetros r 0
- -
- --
1 l l I f 1 1 1 14 l<gf/cm2
(a )
FIG.I2- 4 CRITÉRIO DE COULOMB E ESTADO DE TENSOES
O estado de tensão da Fig. l2.4.b será um estado sem
ruptura sé'o crrculo de MOHR de maior diimetro, correspondente
ao mesmo, na pior das hipiteses tangenciar as duas retas do
critirio de Coulcmb, Caso c crrculc seja interceptado pelas re
tas em mais de um ponto, o estado de tensões que o originou se rã um estado de ruptara.
Ll2-4
Portanto, traçado o circulo de MORR corre~pondente ao
estado de tensio fornecido, deve-se veri~icir se as retal do cri
terio são tangentes ou secantes ao ~es~o.
O circulo de :!WRR traçado deve sempre ser o de maior
diâmetro dentre os correspondentes ao estado triplo de tensões,
isto e, o de diâmetro igual a lcrl- cr3!~ Para o estado de tensao em questao, tem-se:
' ' ·i I
c
80
Obtenção de a e b
Substituindo na equaçio
outro ponto, de coordPn~das
-~ = O e cr = ~ = 5
.FIG. 12-5
-Portanto a equaçao da reta e
1" • -0,364 (J + 5 • ' " ' (A)
Para o c!rcu1o de MOH2 correspondente ao estado de ten são dado tem-se, conforme Fig, 12.5,.
d • o
80 ;
'"' (B)
Substituindo o valor de 1" da expressão (A) em (El es
tar-se-~ procurando uma poss[ve1 intersecção das ~urvas que pos­ suem essas equaçoes, obtendo-se
1,132 a2 + 90,36 a + 1145 • o
Verifica-se agor~ se este polinamio tem ou não raizes
reais, pela pesquisa do vaior do determinante~.
Se 6 <O, não exitem raiies reais e as curvas represe~
tadas pelas equações (A) e (D) não se interceptam, o que signifi ca que o estado não i de ruptura, uma vez que o circulo est~ den
tro das retas que definem o CRIT~RIO,
Se 6 • O, hii ap.enas uma raiz real a, o que sisnifica
que o circulo i tangenciado p'elas retas e o estado de tensões
que originou o circulo estii na iminãncia de provocar ruptura.
Se 6 > O, existem duas raizes reais a, ou seja, o cir­
culo e cad,,uma das retas sio secantes em dois pont6s, o que si
é possível se o circulo estiver fora da região sem ruptura do
CRIT~RIO DE COULOMB. Nessa situação,o corpo sujeito is tens;es dadas sofrerá ruptura.
No caso em quest~o,
Ll2-ti
6 • (90 1 36) 2 - 4 X 1,132 X 1145 ~ 29,80 > 0
e portanto o estado de tens~ea levar; o material i reuptura,
A figura 12,6,a) il~stra o caso de carregamento em que
a carga P estã situada.na extremidade A; Na Fig. l2,6.b) mostre­
-se o caso em que a carga P estã situada no meio do vão,
a I
I I. O ..
Os diagramas de esforços solicitantes, momento fletor
e força cortante, para a carga P situada na extremidade A esti~ mostrados nas figuras 12,7 e 12,8.
Ll2-7
FIG.J2.S • DJÂGRAMA DE Q
Os ~iagramas de esfo~ços solicitantes para eargs P si tuada no meio do vio estio mostrados nas figuras 12.9 e 12,10,
5,57 1'11
FIG.I2. 9- DIAGRAMA DE 1\f
,.2, 97 tf
b) Verifieaçio das tensÕes
Na anilise da segurança desta viga, seri usada a ex­
pressio (12.2) sendo os valores a e TObtidos para tris pontos
das jeçÕes transversais eritieas (i, fig. 12.11), Assim para o
ponto B onde a é miximo e T é nulo as seçÕes transversais errti
eas serao aquelas em que o momento fletor atinge um valor mixi-
I.l-2-8
mQ. PQr outro lado, ao n[v~l do centro de gravidade a tensao de
cisalhamento é mãxima e a tensão norma·l é .nula, sendo portanto
cr[ticas as seçoes em que a força cortante ·.é m.ã:dina. Rã ainda a
necessidade de verificar o ponto T da seção, ~a qtial as tensoes
rJ e T apresentam valores menores porém prÕximos dos res·pectivos
máximos. Neste caso, a seção crttica deve ser pesquisada em fun­
ção das combinações mais desfavoráveis .. de momento. fletor e for-
ça cortante. •• T
b~l) Ponto B (borda da. se~ão)
Neste ponto como rJ e máximo e T é nulo, a expressao
(12.2) se reduz a
Para o perfil mefálico adotado, 6om especificação I 10" (37,80
kgf/m·). da tabela de perffs obtém-se o valor do modulo de resis
tência â flexão.
w = 405 z
(J =
ou
M - ~ 567,0 tf~cm = 5,67 tfm · -max
Para a carga P posicionada na extremidade A, o valor do máximo
momento é 5,4 tfm, sendo portanto menor que o valor admissível.
- Para a carga P posicionada no centro do vão, o valor do máximo
mQ11!ent:c> é 5,46 tfm, sendo também este valor menor que o mâximo
ad11!is s r v e 1.
Ll2-9
b.2) Centro de gravidade
Ao nlvel do centro de _gr~vid.~de ~a seçao, a tensio a i riula e a tensio T ~ mixima, resultando da expressao (12.2):
ou
• ,13 ~ cr = l , 4 t f I em 2
Para o perfil utilizad~, e.ncontra-se .na tabela de perfis I lami­
nados
Al~m disso, o momento estâtico no centro de gravidade
~ obtido por:
Q ~ •M max s
3 em
Atrav~s do exame dos diagramas de forças cortantes,
tanto para o caso da carga P posicionada na extremidade A como
para o caso da carga P colocada no centro do vio, em nenhuma se
ção ao longo da viga·o esforço cortante máximo é ultrapassado.
b,3) Ponto T ·(ligação entre alma e aba do perfil)
Para o ponto T~deve-se ~rocurar em ~mbos os casos de
carregamento, a seçio critica na qual os valores de cr e T, uti­
lizados nas express;es (l2,2),lev~m i tensio ideal máxima,
No ponto T, de acordo com as caracteristicas geométri
cas do perfil utilizado, valem:
J - 5140 z 4
Analisando os··diagramas· de· esforços solicitantes para .· ' . . '
o caso em que a carga P situa~~e n~.eitremidade A, a seçio do a.
poio B torna-se .a mais soli.cita~a;. A:p~r~ir. daÍ. segue que: -
T •
Q:Ms .. · 3,4xl78. 18. 2 - 1 • 0,149 tf/cm · bJ. · 0,79x51 O ·
J (1,203) 3
+ 3 x (0,149) 2 • 1,23 tf/cm2
Com a carga P si'tuad-a '.no· centro do· v ao, a .partir da
análise dos diagramas de esforços. solicii:~ntes, ·duas seções de­
vem ser analisadas, res_pe'ctivamente, as. ~eções do apoio B e do
meio do vao.
Assim, no apoio te·m-.se
M 140 · . 2 cr • J • -YT = 5T'4õ x 11,45 • 0,312 tf/cm
Q•M ·. . s .. 3133x17S1 1& • 0 1 ~6 T • b:r o, 7§x5l40 · • ·.· . '"'2
tf/cm
ou.
546 2 r:J = mõ X 11,45 = 1,2·16 tf/cm
T =
r:;. < cr l.
Portanto, a carga P ~dotada e um valor admiss[vel.
VIGA .DE FERIOO FUIIDICO
a) Cálculo das Tensões Principais
As tensoes serão calculadas aos níveis dos pontos G), ®. ~.e do C.G. da seção transversal do engastamento, na qual os
esforços solicitantes são máximos e valem:
}i = p • t - 10 'o . p X
Q = p
Ponto (i)
cr 1
.. lO,O·P··0,32 = -o,076'3
= ± 2
= o
= o
. •
:··
" () • a2 a~ " =~,07 i' ..
0.1
FI e. 12. 13- CRITE.RIO DE COUlOiílll ( estoH Jll- dtt tensd"o)
Ponto (i)
Na Fig. 12,13 observa-se que, sendo a2 • O, a1• 115,33·P1 poderá, no oãximo, assumir o valor 0,8, ou seja:
ll5,33P 1 ~ 0,8 • •
Ponto (2)
-~omo al e positivo e a2 e negativo, o ponto de c:oorden.!.
das (a1 ;cr2 ) deve pertencer à reta A-B e portanto a geometria da
Fig. 12.13 leva a
' a 2
.,. -3 -68,15P < 0,4 ou r 3
< 5,87•10 tf ou P 3 • 5,87 kgf
- -3 p2 = 9,5 • 10 tf - 9,5 kgf
Centro de Gravidade
Para cr 1
•tg y = o' 5 = o,4-5,07 P"c.G •
-5,07 Pc,G PcG= o,0526tf = 52,6kgf
Portanto o valor admissível da carga P sera 5,87 kgf.
a) Obtenção dos Esforços Solicitantes
Na Fig. 12.14 mostram-se os esforços solicitantes sc:.re
a seçao do engastamentc, on.de ocorrem seus respectivos valores ::â ximos, que serão utilizados para as verificaçÕes das tensões i­
deais.
1,5tf
. ----·íofZ"' !),O""'
112-15
!1 = ... f X 't = 0,5 x 10,0 • 5,0 tf•cm (momento torçor)
liz • 1,5 x.30,0 • 45,0 tf•cml
(momento& fletores)
Qy = 1,5 tf
o aparecimento "'" mento fletor H
de tens~es a e T.
(resultante de .. " .. y
As tens~es a, provocadas pele ""~ .. e H), alcançam seu ~alor mixi~o
z nos pontos A e B indicados na Fig. 12.15, distribuindo-se na se-
çio da forma como se indica. As tens~es T, por sua vez, devido ao
momento torçor tim igualmente valor miximo em toda a borda, e de- -+ '
vido ã resultante Q dos esforços cortantes, distribue..,-se na se-
ção de forma que, nos pontos A e B, seus valores serão nulos.
Oz • O, 51f
FIG.I2.15- DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES (J e l: NA SEÇÃO DE
ENGASTE.
H ·r z
4 em
47,43 tf•cm
b.2) Tensão T devido ao momento torçor (pontos de borda)
T -max = 16 .. ,·5, o
3 11"·10,0
2 = 0,025 tf/cm
't - -max
. I 2 • .Q ,054 tf em
Utilizando a expressão (12.2) do criterio de energia
de distorção, obtem•se
t
. ' .
Esses resultados permitem concluir que a viga sujeita a
essas cargas~ trabalha com tensÕes ideais bem menores do que as
admissíveis.
L12-17
Para calcular-se o oãxitio valor de crt deve-se lançar,
no critirio admissivel, o estado de tensio (A), cujo círculo de
MCHR correspondente d.eve tangenciar as retas que definem ó cri­
tério.
FI G. 12. 16- CRITÉRIO DE COULOIUI
De acordo com a Fig,l2.16 pode-se escrever:
o 2 • tg 30 = 4
(2- (Jt 2)sen 30°
b) Câlculo-·do valor de p
O estado de tensio (B) nao i admissivel pois cem rJT = " 9,2
2 -kg/cm • Com a soma deste estado ao estado (C) obt<am-se
dois possíveis casos como segue:
:U2-18
lp I p
b.l) Para o 19 caso tec-se:
()"2 = -(p-9,2)
()"3 = -p
Levando-se o círculo de MOHR deste estado de tensoes no critério "btém-se:
1'16. 12 . 18- C I'! ITÊ RI O Dt: COUI.DMB
Portanto
t.l-Z-19
(6,92+ .l:.2 )~en 30° • .1:. . 2
' p • ll,S( kgf/c~·
b,2) Para o 29 caso tem-se:
Levando•se o ctrc~lo de MOI& deste estado da tens~es no cric;rio obc;m-se:
ou ainda:
Pela Fig. 12.19 tem-se•
[6,92 + r- (9,2-p)J sen 30° • r
Substituindo o valor de r obtém-se:
p • 6 ,se ks·t/-cm·2
Ll2-ZO
Portanto o valor de p deve satisfazer ãs seguintes con
.;f~çÕes: )~
O critério de ruptura que o material segue (critério
da envolt6ria de HOHR) ê representado por uma paribola cuja equ~
ção ê a seguinte:
sendo que;:
- para T = O tem-se o = 0,4 o que leva a
a = 0,4 tf/cm2
- para O = 0 tem-se T = +0,4 e T = -0,4 o que corresponde a:-
o= 0,4 + 0,4b+ 0,16 c
o= 0,4- 0,4b+ 0,16 c
sendo portanto c = -2,5 e b = o
Substituindo-se os valores de ~. b e c na equaçao da
paribola obtêm-se
Para que não haja ruptura no estado de tensões forneci
do, onde a tensão E. é de compressão, o círculo de MOliR da Fig.
12.20, correspondente a este estado de tensão, deve na pior das
hip6teses tangenciar a paribola do critério.
·-Para este estado de tensoes tem-se:
ol 0,2 tf/cm 2 02 = o =
03 = -p
A ~quaçao da eirc~nfarincia qu~ rapraaanta o circulo
da MOHR do estado da tanaõas fornecido ê, conforma Fig. 12.20,
onde
(a+(O,Sp-0,1)) 2 + T2 • (0,5p + 0,1) 2 • • • • (B)
Substituindo em (A) o valor de T 2 calculado através de
(B) obtêm-se:
Se esta equaçao nao tiver raízes reais (Ll < O), parábo­
la e éircunferência não terão pontos. em. comum, o que significa que
o estado de tensão não ê de ruptura.
Se ~sta equação tiver apenas uma raiz (Ll•O), serao tan­
gentes a .parábola e a circunferência e o estado de tens:iio estará
na iminência de ruptura.
Portanto, para que não haja ruptura deverá occHrer À~ O,
ou seja!
ll = = §,it § i,U '* ! (J~?§ H/~ml! nãEJ êél!ilve!m
A Un§âEJ'Mlf!i!ãl ll €lê €€lllllllfꧧâ€l pêl!ê lêêl1 1 êlll m~1!1üF! 1 ª §€1Yi!il~ê 9ãliã~i€J!
ProCYf㕧C O VâlOI ~O ; llâlâ Câ~â Yl!l ~06 A§~A~O§ piAnO§
4o tonaõea in4ico~oa, Euoo valor, em eA~A CAso, dovcri fAICf co~
qua o etrculo àc MOHR de diÂmetro igual a le1-a3 ! sojA tongoncio• 4o pelas ratas do CRit!RlO,
a) Cuo l
' Cl'lqr~2 1 I I
I
b) Caso 2
c) Caso 3
2
l..l2~24
Co~o ~~tstem t~ni~es ·de cisalhamento, i necessário usar
a expresslo (10.~) para obter-se as tensoes principais, sendo
o = o X
.o = o y
'r = p xy
o - -p 3
!il) Cuo 4
mento serem diferentes das indicadas no
Caso 1, os ctrculos de MOHR de maior diâ
metro, nos dois casos são iguais, o que
leva a
p ·o., - .- Este caso i análogo ao Caso 2 por
estar sujeito ãs mesmas tens~es
principais o 1
e o 3
Transladando a carga P excintrica para o Centro de Gra
vidade do pilar, atuam os esforços indicados na Fig. 12.~6, ou
seja:
onde
N = P • d = 40 x 5 = 200 tf•em y
As tensões provenientes da açio destes esforços valem
s
M --L
J y
2 em
4 em
z -max
200 v J! = 2 4 0 0 X 6 ' Q = J:taX
t.12-26
A tensio normal devido a N distribui-se uniformemente
sobre toda a seçio e a outra, devido
bordas mais afastadas, na direçio do
., a ~.:.,
eixo
z. Na borda pr6xina do
ponto de aplicaçio da car,a P, ambas as tensoes sio de compres­
s·ão, resultando
b) Cálculo da Tensio Ideal
2 = -0,833 tf/cm
o mesmo estará sujeito às tensÕes principais
2 = -0,833 tf/cm
-e portanto a máxima tensao ideal, com base na expressao (12.1)
vale
2 = 0,833 tf/cr;:.
A análise de ruptura de solos coesivos (T + O) ê feita c
pelo CRITfRIO DE COULOHB. Obtidos, no instante da ruptura, os ciE_
culos de MQBR· correspondentes aos estados de tensoes dos ensaios
I e II, a i::eta do CRIT:ÉRIO deverá tangenciar esses dois ci:rculos,
conforme .a Fig. 12.28.
Tomando-~" cr1 > cr2 > cr3 .• para os dois ensai<>s tem-se:
ENSAIO I ENSAIO II
~
" -5,0 kgf/cm 2 -8,0 kgf/cm 2 0:3 - Pa 0'3 -
4,0 kgf/cm 2 6 ,O kgf/cm 2 0'1 - 0'3 = crl - 0'3 =
-~ 1/l.- z
Ll2-28
·~ + 5' o = = sen a t+3,0' .
Sendo R1 = 2,0 \<gf/cm 2
e R11 = 3,0 ~gf/cm2 resulta
1 = 1,0 kgf/cm 2 e portanto!
crT 2
= crT 1
Q. - 2
lerei -2-
2 = Q,67 kgf/cm
2 = 2,00 kgf/crn . '
A soma dos estados de tensÕe..s @ ·e @ res·ult~rã etn ~m estado de tensão @, mostrado na Fis •. , 12.29.,
FIG. 12. 29- ESTADOS . DE TEN~E.!i>
. A tensao resultante (2 ãT-p), dependendo do val~r de ?• pode rã· ser de tração ou compressao, devendo-se .allalisar e.stas
duas possibilid-ades.
o ,577 2
t---=-1 -t
O c!rculo de HOHR de diâmetro Ja 1 -a
3 J, neste caso, pa­
ra encontrar-se p,poderã tangenciar tanto uma quanto a óutra re­
ta do CRIT~RIO, levando a d~as análises.
I) o circulo tansencia a reta inclinada de 30°
• (fl9t.fcm2
I I b
b = p-R
2 30 ---=-~:::.__--. ·= o , 2 58 8 p-2,30+7,464
p / 3,72 kgf/cm2
Para (2ÕT~p) > O, foram encontrados os seguintes inte~
valos de variação de p, provenientes dos casos I e II.
Ll2-=,:31
posta p::::. 3,72 kgf/cm2; fisicamente pode-se verificar que a ten­
sao p não pode assumir valores entre 3,45 e 3,72, pois os crrcu­
los de liOHR correspondentes a estes valores são secantes ã reta
do critério de inclinação 15°, conforme a Fig. 12.33, na qual ve­
rifica-se que, para p ~ 3,45 kgf/cm2 , o círculo de MOHR tangencia
,;1 retl! inr;litHI,d.\1 de 30° e ·intercepta a inclinada de 1.5° em dois
pQntQa.
MCOIIIU
- fl(ktf/cJ)
Neste caso, as tensões principaís usadas para a constr~
çao do círculo de MOHR e consequentemente para: determinar p, são:
a • o 1
a • -p 3
3,72 <: p ..:::::. 5,21
O corpo rigido impede os deslocamentos segundo a dire­
çao y (& •O), o que induz o aparecimento, no corpo II, de tens~es
cr , em a~rescimo às tens~es cr aplicadas externamente e as ten- ~ z .
soes crx transmitidas em sua interação com o corpo I.
p 2 cr - - = - 100,0
7 -o,3(-l,o-o,6)J = o
2 cr· = -o·,48 tf/cm y
)es•a forma, dada a inexist;ncia de tens~es de cisalha­
mento, pode-se escre~-r que no corpo II atuam as tensoes princi­
pais
3 X 1
c cr z
DA ENERGIA DE DISTORÇÃO encontra-se
cr. • l.
't[c..:o ,48+0, 60) 2 + <-o, 48+1, o) 2
+ c-·o, 6+1 .~ =
Encontrado o valor da tensao ideal, tem-se. a margem de
segurança.! com que o corpo II estã trabalhando, relativamente ã · tensão de escoamento cr •
cr e . s • - = cr. l.
e
2,4 .. 5,1 0,472
Uma viga de ferro fundido, que tem tensoes de ruptura a
traçao e compressio diferentes, pode ter sua performance quanto a
ruptura, analisada através do CRIT!:'.RIO DE COULOllB para o estado
nlano de tensoes.
( I! l
AG, Í2.36- CRITÉRIO DE COULOMB (estado plano de tensões)
!:'. dito que, para a.p=42,3°, encontra-se uma tensao prin­
cipal igual a 0,5 tf/cm2 • A outra tensão principal, c;ue ocorre na
iminincia da rupttira, deveri ser obtida para que o ponto de coor­
denadas (a1 ;cr2 ) seja colocado no CRIT!:'.RIO e possam ser obtidos at
e cr • c -Utilizando as expressoes (10.1) e (10.3) e lembrando
que, neste caso, cr ê suposto nulo obtim-se as equaç;es y
a X
2• tg(2x42,3°) = ~ = 10,579 a
2 T • 0,455 tf/cm xy
Obti~o~ cr e T , com base na expressao (10.6) obtim-se x xy
as coordenadas do ponto R da Fig. 12.36, correspondentes ã ruptu- -ra, cujos valores sao
2 cr 1 • 0,5 tf/cm .
2 cr
2 •-0,414 t:f/cm
Os valores de crT e crc sao obtidos com base no para1eli~
mo das retas ÃB e ·eiS, é:;ue ocorre porque se usa o mesmo coeficien­
te de segurança.~ para tração e. comp.ressão, ou seja
(j c
(j c
- s 0,4
tgS = o' 4 = 0,8
2 crT = 0,707 tf/cm
(J - s O' c c = 1,768 X Q·:tg • 1,414 tf/cm2
Ll:2-,36
a) SOLICITAÇÃO EXTERNA DA CEA~A
z E= 1000 tf/cm
f-1. = 0.25
o ea.tado de tensões interno ã chapa e o chamado "cisa-
lhamentC>.puro", que ocorre em faces sujeitas somente a tensoes . '
de cisal.hamento •--.• Sabe-se que na direção A.A onde ocorre, o~. xy tida girando as eixos de 45° no sentido anti-horirio, a distor-
ção Yxy vale 0,001 e portanto usando a expressão (11.2) obtém-se
'T-­xy T-- . 2(1+)1)
= 0,001·- xy = -c; '-­X
? 0,4 tf/cm-
determinadas (cr , cr e X y.
T ), o que exige a obtenção de três equ_a xy . . ç~es independenies, em tens~es ou deformaç~es.
Equacionando em termos de tensÕes, sabe-se que para
a. = ,
45° e a= 135°, respectivamente, as tensões normais são nulas 2
= 0,4 tf/cm e portanto, o uso das expressões (cr- e 0"--) e T--x y xy (10.1) •• (10.3) permite escrever
cr +o o -cr o X y +( X Y)cos(90°) + (~Co) ("'-) 0- = = ' sen
X 2 2 xy
cr +o cr -o o X y +( X Y)cos(270°)+ T (270°) •• (E) 0- = = sen
y 2 2 xy
o -o ( y x)sen(90°)+ o (C) T-- = 0,4 = T cos(90 )
xy 2 xy ~
A solução das equaçoes (A), (B) e (C) leva a
(J X
1" =o. xy
b) CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES e:x =-e:y
De (1(.1) tem-se, para essa chapa plana sujeita as
tens~es encontradas
X
é: = 1000 X y
. c) OBTENÇÃO DAS TENSÕES DE RuPTURA E COEFICIENTE DE SEGURANÇA
Sendo este estado correspondente a ruptura, um ponto
da chapa sujeito ãs tens~es cr 1 e cr 2 , no CRITfRIO DE COULOHB, peE
tencerã ã reta AB (Fig. 12.39),
= (-0,4+0,4) 2
= (J X
Admitindo que o coeficiente de segurança e o mesmo a
traçao e à ·compressão (razão pela aual a reta ÃB é paralela ã re
ta correspnndente do criteTio), pode-se concluir, tom base na
2eometria da Fig. 12.39 aue
Ll2::38
" crT = 0,6 tflcm"
(J~ o, 6 . " = 1,5 s = = crT 0,4
l cr I = s . I c i = 1 , 5 z O , 8 = 1 , 2 t f I em 2
• c c
i'Y y I I I 1/ o.• --4ccr,;0'2 l
I
8
( Ll2/36J
Inicialmente o corpo de prova recebe :~G cf sem estar
envolvido pelo cilindro rÍgido, de forma que so atuar. tensoes se
gundo a direção do
a X
2 = -o, 318 tf I c·ri:
e nestas condiç;es, o uso da expressao (12.1) permite a obtenção
da tensão ideal do corpo de prova, para essa solicitaçio, a qual
apresenta uma segurança ~de i,85 em relação a ruptura.
.. a . 1
? = 0,318 tf/cm-
a. = s·a. = 1,85 x 0,318 = 0,5~8 tf/cm 2 1 1 (ruptura)
Como pretende-se aumentar essa segurança para ,apos a
colocação do corpo de. prova no cilindro, a tensão· ideal de ruptu­
ra, nessa nova situação deverá ser
a. = o,318 x 3 = 0,954 tf/cm2 1 (ruptura)
Para que o corpo de prova, axialmente c~mprimido, encos
te nas paredes internas do cilindro, ele deverá deslo.car-se de ú,
sofrendo deformaçÕes ~ e ~ iguais. As tensÕes, no contato entre y z . corpo e cilindro, por sua vez, serão também iguais. ~essa forrr.a,
TQ
= 0,026 p "' b J 8,0x201,06 z
16 Mt 16x45P .. • = 0,448 p -rr D3 lr• (8 ,0) 3
TRECHO BC
TR.ECHO BC
Na Fig. 12.43 mostram-se os diagramas de tensÕes máximas
para os trechos AB e EC; pode-se notar que~ para amboS~ a pior co~
binação ocorre nas
{12 .2)) ·obtêm-se:
bordas em que Y = Y - • Utilizando os valores max CRITtRIO DA ENERGIA DE DISTORÇÃO (expressão
TRECHO AB TRECHO BC
de força cortante e momento fletor •
.,..,A ' .
0.7691:, !! , :I '-"""'-'1. I! ::II:::::::::::Jiã§!, !!i:•:::::c:Jr... o. 2 31
·~· '46.15 em
FIG. 12. 4 4 - DIAGRAMAS DE ESFOR<;OS SOUCITAI\ITES
= 2 •0•P • 0,769 P 2,6
2) CÁLCULO DE P PARA A VIGA REFORÇADA
= 0,6·P = 2,6
O câ.lculoda carga P sera feito utilizando-:-se o crité­
rio da energia de distorção dado pela expressão (12.2), na qual
os valores de a e T são calculados para os pontos A, B e C.G.,
indic~dos na Fig. 12.45, com ~s
= 0,769 P, q.ue ocorrem na seçao
de P).
AA da viga (ponto de aplicação
As caracterrsticas geométricas utilizadas referem-se,
evidentem~~te, ã seção reforçada (Fig. 12.45).
( 12. 2)
25.4 em
2.a) Cálculo do Yalor de P através da análise do ponto @
Pela tabela de perfis "Vigas I - Padrão Americano" tem­
-se que o momento de inércia Jz do perfil I lO'' x ~7,8 kgf/m vale 4 514,0 em •
Portanto, para a Seção Reforçada, têm-se:
J = 5140+2 z
4 em
PA = 28,39 tf
2.b)· ·Cálcúi"o do valor de P através da análise do pon;:o B
46,15 p cr = x 11,45 = 0,039763 P B 13289
M = (15xl,5xl3,45)+(Ll,Bxl,25xl2,075)= 480,73125cm SB
.. . . . PB = 19;23. tf
Como neste exemplo nota-se que o efeito da tensao de
cisalhamento ê considerável, torna-se necessária a verificação
do centro de gravidade da seÇão, onde:
crC.G. = O
0,769 p • 532,51674 'c.G = 0,79 • 13289 = o;o39007 · P
.À.plicando o critério .obtêm-se:
p = 20,72 tf c
pondente. ao menor dos valores encontrados.
Par~ a carga P = 19,23 tf, os diagramas .de esforços
soticitantes .ficam:
®
3l CILCULO DO VALOR DO COMPRIMENTO CD DO REFORÇO
3.1) Cilculo de a .,
Com os esforços do trecho I calcula-se o valor de a a­
travis da utilizaçio, no critirio, dos valores das tensoes dcs
pontos indicadDs na Fig. 12.47, para os quais, com ba'e na ex~
pressio (12.2) obtim-se:
I I
3.1.2) Ponto D
14,79 x 178,10625 6 tf/cm2 TD.= 0,79x5140 =0,.4872
c; "' D v 1,96 - 3(0,64872) 2 =
H., 11,45 0,8352 = 5140
M = 374,93 tf·cm
OBS.: Para um.ponto no C.G. basta verificar se a .tensão àe .cisa­
lh-amento atuante não leva a uma tensão ideal superior a ad
miss!vel, lembrando que a tensão normal, neste ponto,
la. e nu
3 em
2 = 1,45 tf/cm > 2 = 1,4 tf/crn
Esse resultado permite concluir que o perfil se~ o re­
forço,.admite no mâximocum momento fletor igual a 374,93 tf•cm,
ou seja, .. {Õ.de.pendentemente da tensão 1:, parte do trecho I não n.3_
cessi:taria de reforço. No entanto, o reforço deve ser estenà.iào '
? todo o ·tre·cho I (a. • 0,6m), jâ que a força cortante no tr.echo
provoca t,'ensÕes 1: não admiss!veis para a seção não reforçaà·a.
S-endo assim, a. • 0,6m.
3. 2) Cálculo de e (Trecho II)
o cálculo de e i feito de maneira análoga ao cálculo
de a, utilizando-se os esfor9os atuantes no trecho 11, para os
mesmos pontos indicados.
3.2.1) Ponto C
, = 4,44 x 178,10625 = 0 , 19475 tf/cm2 D 0,79 X 5140
•V 1,96-3(0,19475) 21
= 1,358756 tf/cm 2
3.2.3) Verificaçio da tensao ideal no centro de gravidade
4,44x229,89174 = 0 , 25137 tf/cm2 'c.G = 0,79 X 5140
- 0,44 < 2
Como a tensio ideal encontrada i menor que a admiss!­
ve1, po~e-se concluir que, sem o reforço, a seçi~ admite um mo­
mento máximo no trecho II igual a 566,61 tf.cm. O cálculo de 8 i feito, portanto, com base na geometria da Fig. 12.48, resul­
tando:1
566;61
LU-4-9
~ · 887.4$tf.cm
FI$. 12.48 OBTEN!:iÃO DE f3
Com isso, o comprimento CD do reforço deverá ser igual a
iCD = a + S • 60 + 73 • 133 em
...
N • esforço.~ormal constante
M- =momento fletor na seção do engastamento = 1 x 100,0 - max
= 1_0_0, O tf ·em
- Devido ao Momento Fletor
Jz y -max
100,0 -3 2 = X 8,0 a 248,679 X 10 tf/CTi! 3217,0
- Devido ao Momento Torçor
b.3) Pontos mais Solié:ttlidcrs
Para a análise que se segue, admite-se que o esforço N
pode ser de tração ou compressão, provocando com isso tensoes
normais uniformemente distribui:das em toda a seção transversal,
conforme Fig. 12.50.
O momento fletor, por sua ve-z, traciona as fibras sup~
riores e comprime as inferiores. Isso significa que, para uc v
de compressio, no ponto B atuari a ~ixima tensio normal resultan
te, a qual origina tens~es principais máximas, ji ~ue o momento
torçor, nos pontos de borda, tamb'ém provoca o aparecicento de
tens~es de cisalhamento mãxiinas. No ca·so de N ser de tração, o
mesmo ocorrerá com o ponto A.
Verifique-se inicialmente, sem~ concurso do esforço
normal N, como se coloca o ponto de coordenadas crf e cr2·, relati­
vacente i zona de ruptura do CRIT!RIO DE COULOMB. Usando apenas
crM e TM n~ expressao (10.6) encontr~m-se, para o ponte B, t
a -
* -3 . 2 cr = 34,893 x 10 tf/cm 1
* -3 2 cr = -283,572 x 10 tf/cm 2
O ponto C, que possui e~tas· coorden~das (rig. 12.51),
pelo CRIT!RIO, pertence a uma regiio segura, ou seja, a atuaçao
conjunta de M e Mt não provoca ruptura da viga em nenhum de seus
pontos.
Pergunta~se agora, qual seria um valor admiss:lvel de t;
que fizesse com que as novas tens~es principais cr 1 e cr 2 fossem
as coordenadas de um ponto qualquer D pertencente ã reta AB do
CRIT!RIO (limite da zona admiss!vel).
-c) Admitindo N de compressao
C.om o acréscimo de crN a cr11 obtêm.-se novas coordenadas
cr 1
103 X \ ::-\ • ,-248,6~9-4,974')' j (A)
as quais .ci'evem guardar, entre si, re1aç~es provenientes da geome­
tria da Fig. 12.51, ou seja
tgl! • ~ -0,6
e o mesmo que
a, --+-
1
I
(B)
-1\;f~-------------t----J-~T-~1~--------~~~------~~I~/cmz) CUI 0.4 I I I I I I I
az1 I
--t-
Utilizando os valores de cr 1 e cr 2 da
expressão (B), resulta uma equação do 29 grau
-expressao (A), na
em N (eq. C), que
possui uma raiz positiva (N < O por suposição) e uma outra nega­
tiva (N > O). Esta segunda raiz significa que pode existir um es
forço normal mãximo de tração, aplicado axialmente, que provoca
tensoes a 1
e cr 2 ainda admissl:veis pa,ra> o ponto B. E.sse esforço
normal, todavia, provocará tensÕes n.ormais positivas que se so­
marão, no ponto A, is jã existentes de~ido ao momento fletor,
provocando ruptura nesse pont·o, Das duas res,postas, portanto, a
Ünic.-a válida é a positiva, coerente com o sentido arbitrado no
equacionamento.
N ~ 61,97 tf (compressão)
Nessas condiçÕes as tensÕes principais em torno do po~
to A valem:
! ::} . (248,679+4,974N) ± 2
N2 + 140,1998 N - 3524,3407 <: O
cujas s•oluções sao
N <: 21,76 tf (tração)
N :> -161,96 tf (-compressão)
sos leva a solú~ão:
-61,97tf < N C::: 21,76 tf
Ll2-5.4
Observe-se que os resultados encont•rados para N de tra­
ção e compressão são diferentes, ·dada ·a desigua,ldade entre os va­
lores admissl:veis das tensÕes. de tra.ção é compressão desse mate­
rial.
A ·analise da segurança da viga exige a determinação das
combinações mais desfavoráveis para. as tensÕes, cujo calculo de­
pende dos esforços solicitantes, encontrados como segue.
a)·CÃLCULO DAS·REAÇÕES DE APOIO
VB x 4,0 - 5,0x5,0 - 6,0x5,0x2,5 = O
VB • 25,0 tf
v - 10 o tf A '
L12-'55
f1etor e força cortante, mostrados na Fig. 12.53.
lO
-s
A equaçao do momento fletor que se segue, permite àeter
minar M • ou seja,para uma abcissa x entre A e B resulta max~
dM dx
= 10 - 6x a o
X = 10 Tm
H • = 10 • 10 - 3 (-! .. 9} max 6 6 a 8,33 tf•m
c) CARACTER1STICAS GEOHtTRICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL
Jz • 12Xi~,23 - 2 X 5,i~303
4 em
Hs(2) = O
3 em
d) VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES
A combinação mais desfavorável . de :i e Q ocorre. na seçao
transversal do apoio B, onde M = .800 tf··cm e Q = 14 tf. 1;essa
seçao, os pontos onde·podeo estar as combinaçÕes mais desfavorá­
veis para. as tensoes, são os pontos @ e @
d.l) Para o ponto (i)
cr • 800,0
1·4 X 303,4 ·. 2 T • l,Oxll844,4 • 0,359 tf/cm
U.tilizando a expressão ~12 .2 ) pode-se verificar a ten­
sao ideal no ponto @ •
Para esse ponto, que tem T(2 )= O, interessa fazer ave
rificação em uma seçao onde M ê máximo, uma vez que a cortante
nao afetará o valor da tensao ideal.
Sendo M - = 833 tfcm, resulta max
cr = 833,0 6 6 6 I 2 11844 , 4 x 1 , ~ 1,1 7 tf em
= 1,167 tf/cm2 <
dado e ad·missível para essa viga.
I
Ll2-57
vês dele pode-se obter a tensão ideal admissivel deste naterial,
utilizando a expressao (12.1), e para tanto ê neces