7/31/2019 Exercicio 4 - Uma prova alternativa

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Estruturas Algbricas

Moiss Toledo

12 de maio de 2012

1 Exerccio 5 - Pgina 214 (uma prova mais convincente)

Exerccio 5. Seja G um grupo e H, K dois subgrupos de G. Suponha que (G : H) e(G : K) so finitos. Mostre que (G : H K) finito.

Demonstrao.

(i) Sejam A = {aH; a G}, B = {bK; b G, K < G} e C = {z(H K); z G, H, K < G}.

(ii) Pela hipteses temos |A| = (G : H), |B| = (G : K) e |C| = (G : H K).

(iii) Seja a funo : C A B

z(H K) (zH,zK)

a qual est bem definida pois

z1(H H) = z2(H H) z1

2 z1 H K

z12

z1 H, e z1

2 z1 K

z1H = z2H, e z1K = z2K

(z1H, z1K) = (z2H, z2K)

(z1(H H)) = (z2(H H))

(iv) A funo injetiva. De fato: dados z1(H H), z2(H H) C tais que(z1(H H)) = (z2(H H)) ento (z1H, z1K) = (z2H, z2K) assim

z1H = z2H, e z1K = z2K z1

2 z1 H e z

1

2z1 K

z12

z1 H K

z1(H K) = z2(H K)

(v) Assim |C| |A B| = |A| |B| isto (G : H K) (G : H) (G : K). Portanto (G : H K) finito.

Universidade Federal da Paraba