Exercício

a) Eboce o Lugar das Raízes para K variando de zero até infinito. Encontre todos os valores que possam refinar o seu desenho.

b) Encontre o valor de K para que o sistema apresente 27,4% de Ultrapassagem Percentual. Para este ganho qual é o Tempo de Pico e Tempo de Estabilização esperados?

c) A aproximação de segunda ordem é válida? Porque? d) Qual o erro de estado estacionário para o sistema com o ganho

calculado no item “b”?e) Para que faixa de valores de K o sistema é estável?f) Como seria possível ter um erro zero para uma entrada degrau

unitário mantendo os índices de desempenho do item “b”?

4211)5(

ssjsjs

sKsG

Solução:• Trechos do eixo real que pertence ao Lugar das Raízes:

entre -2 e -4 e entre -5 e menos infinito;• Número de Zeros finitos da F.T.M.A.: 01- (Um);• Número de Pólos finitos da F.T.M.A.: 04 – (Quatro);• Número de ramos do Lugar das Raízes que vão para infinito:

4-1=3 (Três), o que implica em três Assíntotas;– Centro das assíntotas:

– Ângulo das Assíntotas:

114

)5(4211

jj

a

00

31

00

2

00

1

30014180122

18014180112

6014180102

xx

xx

xx

Solução:• Pontos de Saída e Pontos de Chegada:

0,50j1,33-3,51-5,83-

valemRaízes Cujas

0124220142363

41

21

11

11

51

234

jj

Ponto de Saída

Ponto de Chegada

Solução:• Cruzamento com o eixo imaginário:

543,14039025125,0 se zero de todaLinha

39025125,0 ; 8

148

001650001650288

165221

sssss

:Routh de Arranjo

165282285F.T.M.F.

2

1

2

11

1

1

0

1

2

3

4

234

KKK

cKKdKc

kd

KcK

K

KsKssssK

Solução:• Cruzamento com o eixo imaginário:

js

s

s

K

31,2

072,8868,16

:por dado épar polinômio o que temos543,14Para

2,1

68,1672,88

2,1

2

Pontos de Cruzamento com o eixo imaginário

Solução:• Ângulos de Partida:

x

x

xxo 1 2 3

4

5

-1-2-4-5

j

j

-j0

54321 180

05

04

03

02

01

6,40

90;45;44,18 ;04,14

Ângulo de Partida

Solução:• Para relação %U.P.= 27,4% temos:

0

1

22

6,67

381,0coscos :Como

381,0274,0ln

274,0ln

381,0

04,112

j5,16,0

Cálculo do ganho K para o ponto de operação

1

1L

j

j

j

j5,1

6,0245

5L

4L

3L2L

x

x

x

x

o

j5,16,0 65,45,14,4 22

1 L

72,35,14,3 222 L

05,25,14,1 223 L

64,05,04,0 224 L

53,25,24,0 225 L

66,21

5432 LLLLL

K

F.T.M.F. com o ganho calculado

complexos. pólos dos real parteda esquerda a vezescinco de mais real parte com estão

adicionais pólos dois os pois ordem segunda de sistema umpor aproximadoser pode sistema o que mostra que O

05,38,3

48,158,0:em slocalizado estão Pólos Cujos

3,2966,30228566,2

234

jssss

ssT

Tempo de Pico e Tempo de Estabilização Esperados

segundos 67,66,0

4T

segundos 1,25,1

s

pT

Erro de Estado Estacionário

• Sistema do tipo zero portanto temos que calcular

pK

4211)5(66,2lim

0

ssjsjs

ssGKs

p

546,0831,11

11

831,0

p

p

Ke

K

%U.P=24,8%