EXERCÍCIO PROPOSTO 2 (PAG. 17) Prof. Dr. Bruno Honda

Enunciado Ex. 02: Os blocos de pesos PP e (=100N) estão em equilíbrio conforme a figura anexa. Os ângulos são conhecidos (desenho). Pede-se:

a) O peso do bloco P; b) A tração no fio AC;

Resolução • Dividir em 2 partes: física e matemática; • Física: desenhar as forças e reações no diagrama e

individualmente; • Matemática: projeções e sistema linear;

Diagrama de Forças

𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑄𝑄

𝑇𝑇1

𝑇𝑇1

𝑇𝑇2 𝑇𝑇2

𝑇𝑇3

Antes de comecar.... • Perder algum tempo deixando o problema em uma

geometria adequada; • Procurar facilitar o problema (explorar a simetria); • Técnica comum para facilitar o problema: se a solução é

a mesma, procurar sempre a maneira mais simples*!!

Antes de começar... • Geometria plana: triângulos; • Propriedade: soma dos ângulos internos de qualquer

triângulo é SEMPRE 180º; • Ângulos complementares: soma igual a 90º;

Agora sim podemos começar... • Re-escrevemos o problema de acordo com nossa

comodidade; • Ganho: tempo, segurança; • Facilitar o problema do ponto de vista matemático;

Simplificação • Hipótese de partícula (ponto material); • Princípio da superposição; • Re-desenhar o diagrama de forças

Bloco P Bloco Q Nó

𝑃𝑃𝑃𝑃

𝑇𝑇2

𝑃𝑃𝑄𝑄

𝑇𝑇1 𝑇𝑇1

𝑇𝑇2

𝑇𝑇3

𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑄𝑄

𝑇𝑇1

𝑇𝑇3 𝑇𝑇1

𝑇𝑇2 𝑇𝑇2

Física • Equilíbrio: somatória das forças (força resultante) agindo

na partícula é zero; • Primeira e segunda lei de Newton; • OBS. hipótese, não consequência!!

��⃗�𝐹𝑅𝑅 = 0

�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0

�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

Soma das projeções das forças no eixo x é nula

Soma das projeções das forças no eixo y é nula

Resolução (projeções) • Princípio da superposição;

• Não há forças horizontais; • Sentidos opostos, mesma direção; • Mesma direção: soma algébrica,

obedecendo sempre a convenção de sinais

𝑃𝑃𝑄𝑄 + 𝑇𝑇1=0

−𝑃𝑃𝑄𝑄 + 𝑇𝑇1=0

−𝑃𝑃𝑄𝑄 + 𝑇𝑇1 +𝑃𝑃𝑄𝑄=0+𝑃𝑃𝑄𝑄

𝑃𝑃𝑄𝑄 = 𝑇𝑇1 𝑇𝑇1 = 100𝑁𝑁

Bloco Q

𝑃𝑃𝑄𝑄

𝑇𝑇1

�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

(1)

Resolução (projeções) • Princípio da superposição;

• Não há forças horizontais; • Sentidos opostos, mesma direção; • Mesma direção: soma algébrica,

obedecendo sempre a convenção de sinais

𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝑇𝑇2=0

−𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝑇𝑇2=0

−𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝑇𝑇2 +𝑃𝑃𝑃𝑃=0+𝑃𝑃𝑃𝑃

Bloco P

𝑃𝑃𝑃𝑃

𝑇𝑇2

�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑇𝑇2 (2)

Resolução (projeções) • Princípio da superposição;

Nó

𝑇𝑇1

𝑇𝑇2

𝑇𝑇3

�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0

�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

Resolução (projeções) • Princípio da superposição;

𝑇𝑇1

𝑇𝑇1𝑥𝑥

𝑇𝑇1𝑦𝑦

𝑇𝑇1𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1. cos 30° 𝑇𝑇1𝑦𝑦 = 𝑇𝑇1. sin 30°

(3)

Resolução (projeções) • Princípio da superposição;

𝑇𝑇3

𝑇𝑇3𝑥𝑥

𝑇𝑇3𝑦𝑦 𝑇𝑇3𝑥𝑥 = −𝑇𝑇3. cos 45° 𝑇𝑇3𝑦𝑦 = 𝑇𝑇3. sin 45°

(4)

Resolução (projeções) • Princípio da superposição;

Nó

𝑇𝑇1

𝑇𝑇2

𝑇𝑇3

Condição de equilíbrio • Devemos impor que a soma de forças em qualquer eixo

(em notação vetorial, qualquer direção) é igual a zero; • Projeções horizontais e verticais;

�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 → 𝑇𝑇1𝑥𝑥 − 𝑇𝑇3𝑥𝑥 = 0

�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 → 𝑇𝑇1𝑦𝑦 + 𝑇𝑇3𝑦𝑦 − 𝑇𝑇2 = 0

Somatória no eixo x

�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 → 𝑇𝑇1𝑥𝑥 − 𝑇𝑇3𝑥𝑥 = 0

𝑇𝑇1𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1. cos 30° 𝑇𝑇1𝑦𝑦 = 𝑇𝑇1. sin 30°

𝑇𝑇3𝑥𝑥 = −𝑇𝑇3. cos 45° 𝑇𝑇3𝑦𝑦 = 𝑇𝑇3. sin 45°

𝑇𝑇1𝑥𝑥 − 𝑇𝑇3𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1. cos 30°−𝑇𝑇3. cos 45° = 0

𝑇𝑇1. cos 30°−𝑇𝑇3. cos 45° = 0,87.𝑇𝑇1 − 0,71.𝑇𝑇3 = 0 0,87.𝑇𝑇1 − 0,71.𝑇𝑇3 +0,71.𝑇𝑇3 = 0 + 0,71.𝑇𝑇3

0,87.𝑇𝑇1 = 0,71.𝑇𝑇3 0,71 0,71

𝑇𝑇3~122,5𝑁𝑁 𝑇𝑇3 = 1,225.𝑇𝑇1

→ 𝑇𝑇3 =0,870,71

.𝑇𝑇1

(3)

(4)

(5)

Somatória no eixo y

�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 → 𝑇𝑇1𝑦𝑦 + 𝑇𝑇3𝑦𝑦 − 𝑇𝑇2 = 0

𝑇𝑇1𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1. cos 30° 𝑇𝑇1𝑦𝑦 = 𝑇𝑇1. sin 30°

𝑇𝑇3𝑥𝑥 = −𝑇𝑇3. cos 45° 𝑇𝑇3𝑦𝑦 = 𝑇𝑇3. sin 45°

𝑇𝑇1𝑦𝑦 + 𝑇𝑇3𝑦𝑦−𝑇𝑇2= 𝑇𝑇1. sen 30° +𝑇𝑇3. sen 45°−𝑇𝑇2= 0

𝑇𝑇2 = 136,98 N

0,5.100 + 122,5. 0,71−𝑇𝑇2= 0

50 + 86,98 − 𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇2 = 0 + 𝑇𝑇2

𝑇𝑇2 = 50 + 86,98 (6)

(3)

(4)

Substituindo (6) em (1): 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 136,98 N

Respostas

𝑃𝑃𝑃𝑃~136,98 𝑁𝑁

𝑇𝑇3~122,5 𝑁𝑁