EXERCÍCIOS ALETAS

Exercício 6.1. A dissipação de calor em um transistor de formato cilindrico pode ser melhorada inserindo um cilindro vazado de alumínio (k = 200 W/m.K) que serve de base para 12 aletas axiais. O transistor tem raio externo de 2 mm e altura de 6 mm, enquanto que as aletas tem altura de 10 mm e espessura de 0,7 mm. O cilindro base, cuja espessura é 1 mm, está perfeitamente ajustado ao transistor e tem resistência térmica desprezível. Sabendo

que ar fluindo a 20 oC sobre as superfícies das aletas resulta em um coeficiente de

película de 25 W/m2.K, calcule o fluxo de calor dissipado quando a temperatura do transistor for

80 oC.

Cálculo de AR :

AS=2. π .r c .b=2×π×0 ,003×0 ,006¿1 ,13×10−4m2

At=b .e=0 ,006×0 ,0007

¿0 ,42×10−5m2

AR=AS−n . A t=

1 ,13×10−4−12×0 ,42×10−5

¿6 ,26×10−5m2

Cálculo de AA ( desprezando

as áreas laterais ) :

AA=n . (l .b ) .2=

12×( 0 ,01×0 ,006 )×2=0 ,00144m2

Cálculo da eficiência da aleta :

m=√2 .hk .e

=√2×25200×0 ,0007

=18 ,898m−1

m .l=18 ,898×0 ,01=0 ,18898tgh (m .l )=tgh (0 ,18898 )=0 ,18676

η=tgh (m . l )m . l

=0 ,186760 ,18898

=

0 ,9883 ( 98 ,83 % )

Cálculo do fluxo de calor :

Desprezando as resistências de contato entre o transistor e o cilindro e do próprio cilindro, a temperatura da base das aletas pode ser considerada

como 80 oC.

q̇=h . (AR+η . A A ) . (T S−T∞ )=25×(6 ,26×10−5+0 ,9883×0 ,00144 )¿ (80−20 )

2Exercício 6.2. Uma placa plana de alumínio ( k = 175

Kcal/h.m.oC ) de resistência térmica desprezível tem aletas retangulares de 1,5 mm de espessura e 12 mm de altura, espaçadas entre si de 12 mm, ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está

em contato com ar a 40 oC e coeficiente de película 25

Kcal/h.m2.oC. No lado sem

aletas escoa óleo a 150 oC e coeficiente de película 225

Kcal/h.m2.oC. Calcule por unidade de área da placa :

a) Fluxo de calor pela placa aletada desprezando a resistência da película de óleo;b) Idem item anterior levando em conta a resistência a convecção na película de óleo..

a) Desprezando a resistência da película do óleo ( Ts =

150 oC )

Cálculo do número de aletas :

L=( e+Δ ) .n ⇒ n=Le+Δ

=

10 ,0015+0 ,012

≃74 aletas

Placa → 1 m2 ⇒L=1 m e b=1 me=1,5 mm=0 ,0015 mΔ=12 mm=0 ,012 mho=225 Kcal/h .m2 .oC h=

25 Kcal /h .m2 .oCT 0=150 o C T ar=40 o C

k=175 Kcal /h.m .oC

∅=2' ' ⇒ r=1' '=0 ,0254 m L=1,2 me=2 mm=0 ,002 m l=19 mm=0 ,019 mespaçamento entre aletas → Δ= 6 mm=0 ,006 mk=40 Kcal /h .m . o C h=15 Kcal /h .m2 . o C emissividade → ε=0 ,86T S=150 o C T∞=28 o C


m=√ 2.hk .e

=√ 2×25175×0 .0015

=13 ,801

tagh (m .l )=tagh (0 ,1656 )=e0 ,1656−e−0 ,1656

e0 ,1656+e−0 ,1656=0 ,1641

η=tagh (m .l )m . l

=0 ,16410 ,1656

=

0 ,9909 ( 99 ,09 % )

Cálculo da área não aletada :

AR=AS−n . A t=AS−n . (b .e )=1−74×(1×0 ,0015 )=0 ,889 m2

Cálculo da área das aletas (desprezando as áreas laterais) :

AA=2 . (b . l ) .n=2× (1×0 ,012 )×74=1 ,776 m2


q̇=h . (AR+η . A A ) . (T S−T∞ )=25×(0 ,889+0 ,99×1 ,776 )×(150−40 )=7279 ,91 Kcal /h

b) O novo fluxo pode ser

obtido considerando a

resistência da película do óleo

( a resistência da placa é

desprezível ). Neste caso, a

temperatura da base é <Ts

q̇ '=T o−T S

'

Ro=T o−T S

'

1h . A

=150−T S

'

1225×1

=

33750−225×T S'

Este é também o fluxo pela placa aletada :

q̇ '=h . (A R+η. AA ). (T S' −T∞)=25×(0 ,889+0 ,99×1 ,776 )×(T S' −40 )=66 ,181×T S

' −2647 ,24

Igualando as equações acima obtemos a temperatura da

base ( ) :

33750−225×T S' =

66 ,181×T S' −2647 ,24 ⇒ T S

' =125 o C

Portanto, o fluxo de calor considerando a resistência da película de óleo será :

q̇ '=33750−225×T S' =

33750−225×125=5625 Kcal /h

Exercício 6.3. Um tubo de diâmetro 2" e 1,2 m de comprimento transporta um

fluido a 150 oC, com coeficiente de película de

1800 kcal/h.m2.oC. Para facilitar a troca de calor com o ar ambiente foi sugerido o aletamento do tubo, com aletas longitudinais de 2 mm de espessura e 19 mm de altura, montadas com espaçamento aproximado de 6 mm (na base). O tubo e as aletas de aço tem coeficiente de condutividade térmica igual

a 40 kcal/h.m.oC e emissividade 0,86. O ar

ambiente está a 28oC, com coeficiente de película 15

kcal/hm 2 oC. Desprezando a resistência da película interna, pede-se :a) o calor transferido por convecção pelo tubo sem as aletasb) o calor transferido por radiação pelo tubo sem as aletasc) o número de aletasd) o calor transferido por convecção pelo tubo aletadoe) o calor transferido por radiação pelo tubo aletado

a) Cálculo do fluxo de calor por convecção sem as aletas :

A área base do tubo é :AS=2. π .r . L=2×π×0 ,0254×1,2=0 ,1915m2

q̇c=h. AS . (T S−T∞ )=15×0 ,1915×(150−28 ) ⇒

b) Cálculo do fluxo de calor por radiação sem as aletas :

q̇r=σ . AS .F12 . (T s4−T∞4 ) ,

onde F12=ε=0 ,86 ¿¿

¿

q̇r=4 ,88 × 10−8×¿ ¿0 ,1915×0 ,86×

[ (150+273 )4−(28+273 )4 ]⇒

c) Cálculo do número de aletas :

Perímetro do tubo :

P= (e+Δ) .n ⇒

n=Pe+Δ

=0 ,1590 ,002×0 ,006

d) Cálculo do fluxo de calor por convecção pelo tubo com as aletas :

Cálculo de AR :

AR=AS−n . A t=AS−n . (e .L )=0 ,1915−20×(0 ,019×1,2 )=0 ,143 m2

Cálculo de AA ( desprezando

as áreas laterais ) :

AA=2 . (l .b ) .n=2× (0 ,019×1,2 )×20=0 ,912 m2


tgh (m .l )=tgh (0 ,368 )=0 ,352


=0 ,3520 ,368

=0 ,957

(95 ,7 % )


Desprezando as resistências a convecção no interior do tubo e a condução no tubo, a temperatura da base das aletas pode ser considerada

como 150 oC.

q̇=h . (AR+η . A A ) . (T S−T∞ )=15×(0 ,143+0 ,957×0 ,912 )×(150−28 )

e) Cálculo do fluxo de calor por radiação pelo tubo com as aletas :

Como a eficiência da aleta é elevada ( 95,7 % ), podemos considerar que praticamente toda a superfície da aleta está na temperatura da base ( TS ).

Neste caso, para o cálculo do fluxo de calor por radiação será utilizado o mesmo potencial da base para a área total ( AA + AR ).

q̇r=σ . (AR+A A ) . F12 .(T s4−T∞4 )

, onde F12=ε=0 ,86¿¿

¿

q̇r=4 ,88 × 10−8×¿ ¿ (0 ,143+0 ,912 )×0 ,86×

[ (150+273 )4−(28+273 )4 ]

Exercício 6.4. Determine a porcentagem de aumento da transferência de calor associada com a colocação de aletas retangulares de alumínio ( k=200 W/m.K ) em uma placa plana de 1m de largura. As aletas tem 50 mm de altura e 0,5 mm de espessura e a densidade de colocação é 250 aletas por unidade de comprimento da placa (as aletas são igualmente espaçadas e ocupam toda a largura da placa). O coeficiente de película do ar sobre a placa

sem aletas é 40 W/m2.K, enquanto que o coeficiente de película resultante da colocação de aletas é 30

W/m2.K. (OBS: desprezar as áreas laterais das aletas)

n=250 aletas l=50 mm=0 ,05 m e=0,5 mm=0 ,0005 mConsideremos uma placa de : 1m×1m →b=1m


AR=As−n . A t=1×1−250× (1×0 ,0005 )=0 ,875 m2

Cálculo da área das aletas :

AA=2 . (b . l ) .n=2× (1×0 ,05 )×250=25 m2


m=√2 .hk . A t

=√2×30200×0 ,0005

=

24 . 49 m−1

m .l=24 ,49×0 ,05=1 ,2245

tgh (m .l )=e1,2245−e−1,2245

e1,2245+e−1 ,2245=0 ,841


= 0 ,8411 ,2245

=0 ,6868

Cálculo do fluxo de calor através da

superfície com as aletas :

q̇=h . (AR−η . A A ) . (T s−T∞ )=30×(0 ,875+0 ,6868×25 )×ΔT=541 ,35×ΔT W

m=√ 2.hk .e

=√ 2×1540×0 ,002

=19 ,4 m−1

Cálculo do fluxo de calor através da superfície sem as aletas :

q̇=h . A . (T s−T∞ )=40×(1×1 )×ΔT=40×ΔT W

Cálculo da percentagem de aumento do fluxo de calor :

% aumento = q̇c /a−q̇s/aq̇s/a

×100=

541 ,35×ΔT−40×ΔT40×ΔT

×100=

1253 ,4 %

Exercício 6.5. A parte aletada do motor de uma motocicleta é construída de uma liga de alumínio ( k=186 W/m.K ) e tem formato que pode ser aproximado como um cilindro de 15 cm de altura e 50 mm de diâmetro externo. Existem 5 aletas transversais circulares igualmente espaçadas com espessura de 6 mm e altura de 20 mm. Sob as condições normais de operação a temperatura da superfície externa do cilindro é 500 K e está exposta ao ambiente a 300 K, com coeficiente de película de 50

W/m2.K quando a moto está em movimento. Quando a moto está parada o coeficiente

cai para 15 W/m2.K. Qual é a elevação percentual da transferência de calor quando a moto está em movimento. ( OBS : desprezar as áreas laterais)


AR=A s−n . A t=2×π×0 ,025×0 ,15−5×(2×π×0 ,025×0 ,006 )=0 ,01885 m2

Cálculo da área das aletas :

AA=2 . [π . ra2−π . re

2 ] .n=2× [π . (0 ,045 )2−π . (0 ,025 )2 ]×5=0 ,04398 m2

Cálculo da eficiência da aleta ( para a moto em movimento ) :

m=√2 .hk .e

=√2×50186×0 ,006

=

9 ,466 m−1 → m .l=9 ,466×0 ,02=0 ,1893


=tgh (0 ,1893 )0 ,1893

=

0 ,18710 ,1893

=0 ,9884 (98 ,84 % )

Cálculo da eficiência da aleta ( para a moto parada ) :

m=√2 .hk .e

=√2×15186×0 ,006

=

5 ,1848 m−1 → m .l=5 ,1848×0 ,02=0 ,1037


=

tgh (0 ,1037 )0 ,1037

=0 ,10360 ,1037

=

0 ,999 ( 99 ,90 % )

Cálculo do fluxo de calor ( para a moto em movimento ) :

q̇m=hm . (AR−η . A A ) . (T S−T∞ )=50×(0 ,01885+0 ,9884×0 ,04398 )×(500−300 )=623 ,198 W

Cálculo do fluxo de calor ( para a moto parada ) :

q̇ p=hp . (AR−η . A A ) . (T S−T∞ )=15×(0 ,01885+0 ,999×0 ,04398 )×(500−300 )=188 ,358 W

Cálculo da percentagem de elevação do fluxo de calor para a moto em movimento :

%Elev=q̇m−q̇ pq̇ p

×100=

623 ,198−188 ,358188 ,358

×100=

230 ,86 %

Exercício 6.6. Determinar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo que poderia ser obtido de uma placa plana usando-se por unidade de área 6400 aletas de alumínio ( k = 178

Kcal/h.m.oC), tipo pino, de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se que na base da placa a temperatura é 300 oC, enquanto que o ambiente

está a 20 oC com coeficiente de película de 120

Kcal/h.m2.oC.

H=15 cm=0 ,15 m φe=50 mm→re=0 ,025 mn=5 aletas l=20 mm=0 ,02 m e=6 mm=0 ,006 mk aleta=186 W /m .K T S=500 K T∞=300 Khm=50W /m2 .K

hp=15W /m2 .K

Cálculo da eficiência :

m=√2 .hk . r

=√2×120178×0 .0025

=

23 ,17 m−1

tagh (m .l )= e0 ,695−e−0 ,695

e0 ,695+e−0 ,695=0 ,6012

η=tagh (m . l )m . l

=0 ,60120 ,6951

=0 ,8649 (86 ,49 % )


A=AS−n. At=AS−n. (π .r 2)=1−[π×(0 ,0025 )2 ]=0 ,875 m2

Cálculo da área das aletas (desprezando as áreas laterais) :

AA=2 .π .r . l .n=2×π×0 ,0025×0 ,03×6400=3 ,015 m2


q̇c /a=h . (A R+η. AA ). (T S−T∞ )=12×( 0 ,875+0 ,8649×3 ,015 )×(300−20 )=116926 Kcal /h

Antes da colocação das aletas o fluxo é :

q̇s/a=h . AS . (T S−T∞)=120×1×(300−20 )=33600 Kcal /h

% Aumento=q̇c /a−q̇s/aq̇s/a

×100=

116926−3360033600

×100

2Exercício 6.7. Um tubo de

aço ( k = 35 kcal/h.m.oC e e = 0,55 ) com diâmetro externo 5,1 cm e 2,2 m de comprimento conduz um fluido

a 600 oC, em um ambiente

onde o ar está a 35 oC, com coeficiente de película 20

kcal/h.m2.oC. Existem duas opções elevar a transferência de calor : o tubo pode receber 10 aletas de aço de 5 mm de espessura e 10,2 cm de diâmetro (aletas circulares) ou ser pintado com uma tinta de emissividade ( e ) igual a 0,83. Determinar :a) O fluxo de calor por convecção pelo tubo com aletas;b) O fluxo de calor por radiação pelo tubo com aletas;c) O fluxo de calor por convecção pelo tubo pintado com a tinta especial;

d) O fluxo de calor por radiação pelo tubo pintado com a tinta especial;e) A opção que produz o maior fluxo de calor ( aletamento ou pintura ? ).

a) Fluxo de calor por convecção :

m=√2 .hk .e

=√2×2035×0 .005

=

15 ,1186 m−1

tagh (m .l )= e0 ,385−e−0 ,385

e0 ,385+e−0 ,385=0 ,367


=0 ,3670 ,385

=

0 ,9532 (95 ,32 % )

AS=2. π .r e . L=2×π×0 ,0255×2,2=0 ,352 m2

AR=AS−n . A t=AS−n . (2. π .r e .e )=0 ,352−10 (2×π×0 ,0255×0 ,005 )=0 ,344 m2

n=10 aletas L=2,2 m ε=0 ,55∅e=5,1 cm ⇒r e=2 ,55 cm=0 ,0255 m∅a=10 ,2 cm ⇒r a=5,1 cm=0 ,51 me=5 mm=0 ,005 ml=r a−re=0 ,051−0 ,0255=0 ,0255 mh=20 Kcal /h.m2 . o C k=35 Kcal /h .m . o CT s=600 o C

T∞=35 o C

AA=2 . [π . ra2−π . re

2 ] .n=2×¿ [π×(0 ,051 )2−π×¿ ] ¿

¿¿

¿

¿

q̇conva =h . (AR+η . A A ) . (T S−T∞ )=

20×(0 ,344+0 ,9532×0 ,1226 )×(600−35 )

b) Uma elevada eficiência para a aletas significa que sua temperatura é próxima da temperatura da base, Então, podemos considerar para a radiação :

η=95 ,32% ⇒temperatura de A R e A A≈ T Sq̇rada =σ . (A R+A A ) . ε .(T S4−T∞

4 )q̇rada =4 ,88×10−8×¿ ¿ (0 ,344+0 ,1226 )×0 ,55

. [ (600+273 )4−(35+273 )4 ]

c) Fluxo de calor por convecção pelo tubo pintado :

q̇convp =h . AS . (T S−T∞)=

20×0 ,352×(600−35 )

d) Fluxo de calor por radiação pelo tubo pintado :

q̇radp =σ . AS . ε . (T S4−T∞

4 )=4 ,88×10−8×0 ,354×0 ,83 . [ (600+273 )4−(35+273 )4 ]

e) O fluxo total, em ambos casos, é a soma dos fluxo por convecção e radiação :

q̇aletas=q̇conva + q̇rad

a =5207 ,74+7161 ,49=12369 ,23 Kcal /h

q̇pintura=q̇convp + q̇rad

p =3977 ,60+8199 ,30=12176 ,90 Kcal /h

q̇aletas> q̇pintura ⇒O aletamento resulta em maior transferência de calor

Exercício 6.8. A transferência de calor em um reator de formato cilíndrico deve ser elevada em 10 % através da colocação de aletas de aço ( k

= 40 Kcal/h.m.oC ). Dispõe-se de 2 tipos de aletas pino, ambas com 25 mm de altura. Um tipo tem seção circular com 5 mm de diâmetro e o outro tem seção quadrada com 4 mm de lado. O reator, que tem 2 m de altura de 50 cm de diâmetro, trabalha a

250 oC e está localizado em um local onde a temperatura é

25 oC e o coeficiente de

película é 12 Kcal/h.m2.oC.a) Calcular o número de pinos de seção circular necessários;b) Calcular o número de pinos de seção quadrada necessários.

O fluxo de calor através da superfície do reator antes do aletamento é :

AS=2. π .r . L=

2×π×0 ,25×2=3 ,14 m2

q̇=h . AS . (T s−T∞ )=12×3 ,14×(250−25 )=8482 ,3 Kcal /h

Uma elevação de 10% neste fluxo, através da colocação de aletas, equivale :

q̇ '=1,1×q̇=1,1×8482,3=9330 ,5 Kcal/h

a) Cálculo do número de aletas pinos de seção circular ( nc )

Eficiência das aletas pino de seção circular :

m=√ 2.hk .r p

=√ 2×1240×0 ,0025

=15 ,49 m−1

tagh (m .l )=tagh (0 ,3873 )=0 ,369


=0 ,3690 ,3873

=

0 ,9528 ( 95 ,28 %)

Cálculo da áreas não aletada e a área das aletas ( desprezando a área do topo ) :

AR=AS−(π . r p2 ) .nc=

3 ,14−0 ,00002×nc AA=(2 .π . r p . l ) .nc=(2×π×0 ,0025×0 ,025 )×nc=0 ,0004×nc

Cálculo do número de aletas pino de seção circular :

q̇ '=h . (A R+η. AA ). (T S−T∞ )

reator → L=2 m r=50/2 cm=0 ,25 m

circular → r p=∅2

=

2,5 mm=0 ,0025 m l=25 mm=0 ,025 mqradrada → d=3 mm=0 ,003 m l=25 mm=0 ,025 mk=40 Kcal /h .m . o C h=12 Kcal /h.m2 . o C T S=250 oC T∞=25 o C

9330 ,5=

12×¿ [ (3 ,14−0 ,00002×nc )+ ¿ ]¿¿

¿¿

¿

¿

b) Cálculo do número de aletas pinos de seção quadrada ( nq )

Eficiência das aletas pino de seção quadrada :

m=√h .Pk . A t

=√h . (4 .d )k . (d2 )

=

√4 .hk .d

=√4×1240×0 ,003

=

20 m−1

tagh (m .l )=tagh (0,5 )=0 ,4621


=0 ,46210,5

=

0 ,9242 (92 ,42 % )

Cálculo da áreas não aletada e a área das aletas (desprezando a área do topo):

AR=AS−(d2 ) .nc=3 ,14−0 ,000009×nc AA=(l .d . 4 ) .nc=(0 ,025×0 ,003×4 )×nc=0 ,0003×nc

Cálculo do número de aletas pino de seção circular :

q̇ '=h . (A R+η. AA ). (T S−T∞ )

9330 ,5=12×¿ ¿ [ (3 ,14−0 ,000009×nc )+ ¿ ]¿¿

¿¿

¿¿

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