Exercícios CI II.pdf

5/26/2018 Exerc cios CI II.pdf

1/16

CALCULO INFINITESIMAL II

EXERC

ICIOS

Captulo 1

Elementos de Algebra Linear e Geometria Analtica (revisao sucinta).

Funcoes de n Variaveis. Curvas de Nvel. Limite e Sublimite. Continuidade.

1. Considere os pontos de R3, x = (2, 0,3), y = (1, 3, 2). Calcule|x|, |y|, |x + y|, |x y|

e confirme as desigualdades :|x + y| |x| + |y| e|x y| | |x| |y| | .

2. Considere o ponto do plano A = (4, 2). Determine analtica e geometricamenteos pontos Pdo plano tais que

a) |P| = |P A|b) |P| < |P A|c) |P| + |P A| 2

3. Seja{e1, e2, e3} uma base (o.n.) em R3 e considere os vetoresa= 2e1 3e2+ e3, b= e1 e2+ 3e3, c= e1 e2

Determine os vetores

a (b c); (a b) c; a (a b); (a + b) (b + c); (a b)c (a c)b.

4. Os vertices de um triangulo sao representados pelos pontos A = (1,1, 2), B =(2, 0,1) eC= (0, 2, 1) (coordenadas referidas a um sistema (o.n.) ). Determinea area do triangulo utilizando as propriedades do produto vetorial e escalar.

5. Determine a equacao do plano que :

a) Passa no ponto P = (1, 0, 2) e cujo vetor axial vem dado por n =3e1 2e2+ e3

b) Passa no ponto P = (1, 3,2) e e perpendicular ao vetor u = e1 e2c) Passa pelos pontos (0, 0, 1) e (0, 1, 0) e e perpendicular ao plano xyz = 0d) Contem as retass = 2te1+3te2te3e r = (t+1)e1+(t1)e2+(2t8)e3.

6. Determine a equacao parametrica da reta que :

a) Passa no ponto P = (3, 1, 0) e e paralela a retar= e1 e2+ t e3b) Passa no ponto P = (2,2, 3) e e perpendicular ao plano X OZc) Passa no ponto P = (1, 2, 3) e e perpendicular aos vetores (1, 2, 1) e

(3,2, 3).

1


2/16

7. Determine os domnos das seguintes funcoes e indique os que sao abertos oufechados:

a) x

y2

yx; b)

sin x

cos y

; c) log(1 + x2

y2) ; d) y2

x2 +x2 + y2 1 .

8. Determine as curvas de nvel das seguintes funcoes, e represente-as geometrica-mente:

a) f(x, y) = |x|+ 2|y|b) f(x, y) = arcsin(x2 + y2) com f(x, y) = /2 e f(x, y) = 0

c) f(x, y) = log

x +

y2

x

passando no ponto (1, 1)

d) f(x, y) = yex.

9. Discuta a existencia dos seguintes limites

a) lim(x,y)(0,0)

x2 + y2x2 + y2 + 1 1 b) lim(x,y)(0,2)

sin(xy)

x

c) lim(x,y)(0,0)

x2 y2x2 + y2

d) lim(x,y,z)(0,0,0)

xy z2x2 + y2 + z2

e) lim(x,y)(0,0)

sin(x3 + y3)

x2 + y2 .

10. Discuta a continuidade das seguintes funcoes :

a) f(x, y) =

xy2

x2 + y4 se (x, y) = (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0)

b) f(x, y) =

x2 y2x y se x =y

x y se x= y

c) f(x, y) =

x2 + y2 se |(x, y)| 1

0 se |(x, y)| >1

2


3/16

Captulo 2

Campos Escalares. Diferenciabilidade. Extremos locais.

1. Calcular as derivadas parciais das funcoesf : R nos domnios considera-dos:

a) f(x, y) = x3 + y3 3axy, a R, =R2

b) f(x, y) =

x2 y2, = {(x, y) : |x| > |y|}c) f(x, y) = log(xy), = {(x, y) :xy >0}.

2. Calcule as derivadas parciais das seguintes funcoes indicando o seu domnio dediferenciabilidade :

a) f(x, y) = esin x

y

b) f(x, y) = log

x +

x2 + y2

c) f(x, y) =

xy+

x

y

d) f(x,y,z) = (xy)z

e) f(x) = x x. x Rn.3. Mostre que a funcaou(x, y) =xy + xey/x satisfaz a equacao

xu

x+ y

u

y =xy + u

no domnio = {(x, y) : x = 0}.4. Seja

f(x, y) = 1

1 + x2 + y2

a) Determine o valor maximo da derivada direcional de f no ponto (1, 1) eindique em que direcao, digamos v = (cos , sin ), ocorre.

b) Determine o valor da derivada direcional na direcao do ponto (2, 2).

5. Determine a derivada direcional da funcao f(x, y) = 2x2 3y2 no pontoP = (1, 0),segundo a direcao que faz com o eixo das coordenadas OXum angulo

de 120o

.

6. Considere a funcaof :R2 R,f(x, y) = (xy)1/3.

a) Use a definicao para mostrar que

f

x(0, 0) =

f

y(0, 0) = 0.

b) Mostre que e1e e2sao as unicas direcoes segundo as quais existe derivadadefem (0, 0).

3


4/16

7. Considere a funcao

f(x, y) = log

2 +y

x

a) Mostre quef(P), P = (1, 1), e perpendicular a curva de nvel que passapor P.

b) Calcule a derivada direcional de f em Pna direcao deQ= (0, 2).

8. Dada a funcao f(x, y) = 3x2y+ 2xy2, determine a equacao do plano tangente eda normal a superfcie, grafico def, no pontoP = (1,2, 2).

9. Mostre que a funcao

u(x, t) = A sin(at + ) sin x, a, , R

satisfaz a equacao da corda vibrante :

2u

t2 =a2

2u

x2.


u(x,y,t) = 1

2t e(x x0)

2 + (y y0)24t , x0, y0 R.

a) Determine o domnio de u.

b) Mostre queu satisfaz, no seu domnio, a equacao do calor :

u

t =

2u

x2+

2u

y2.

11. Seja z = f(x, y), uma funcao de classe C1. Tomando a mudanca de variavel:

x= et

y= log t

calculez (1), sabendo quezx(e, 0) = zy(e, 0) = 1.

12. Seja f :R3 R um campo escalar de classe C2 e w = f(x y, y z, z x).a) Mostre que

w

x +

w

y +

w

z = 0

b) Calcule 2w

x2 em funcao das derivadas parciais de f.

4


5/16

13. Seja z = f(xy), f :R R, f C(1)(R). Mostre que se tem a seguinte relacaodiferencial :

xz

x y z

y = 0.

14. Seja w = f(xz,yz), f :R2 R, f C(1)(R2). Mostre que

xw

x + y

w

y =z

w

z.


u(x, y) = log1

r, r=

(x a)2 + (y b)2, a, b R.

a) Determine o domnio de existencia de u.

b) Mostre queu satisfaz a equacao de Laplace :

2u

x2 +

2u

y2 = 0.

16. Prove que para quaisquer funcoes f e g de classe C2, a funcao z(x, t) =f(x + at) + g(x at) satisfaz a equacao das ondas unidimensional,

2z

t2 =a2

2z

x2

17. Seja u(x, y) uma funcao de classe C1, com x = cos e y = sin . Mostre que

u

x

2+

u

y

2=

u

2+

1

2

u

2

18. Sejam f , g: R R, duas funcoes de classeC2 e defina-se

(x, y) =f(x + g(y))

Sabendo que para x = 1 e y = 2 se tem g(2) = 3, f(4) = 5, g(2) =f(4) = 2 eg(2) =f(4) = 3, calcule:

a)x(1, 2), b) y(1, 2), c)

x2(1, 2), d)

xy(1, 2), e)

y2(1, 2).

19. Estude os pontos crticos, extremos locais e pontos sela das seguintes funcoes :

a) f(x, y) = x x2 y2

b) f(x, y) = xy (x 1)

c) f(x, y) = 2y2 x(x 1)2

5


6/16

d) f(x, y) = 4x2 12xy+ 9y2

e) f(x, y) = (x y)2 x4 y4

20. Determine o valor maximo e mnimo da funcao

z = x2 + y2 xy+ x + y

na regiao x 0, y 0, x + y 3.

21. Determine o valor maximo e mnimo da funcao

z = sin x + sin y+ sin(x + y)

no quadrado 0 x /2, 0 y /2.

22. Determine o maximo valor de x

2y + 2z por entre os pontos (x,y,z) que

satisfazemx2 + y2 + z2 = 9.

23. Determinar os extremos da funcao

z = 6 4x 3y

sob a condicaox2 + y2 = 1.

24. Quais as dimensoes de um paralelippedo de volumeV dado, de modo a que asua superfcie total tenha area mnima ?

25. Utilize o metodo dos multiplicadores de Lagrange para obter a distancia de um

ponto (x0, y0) a reta x y 2 = 0.26. Tenha presente o exerccio precedente. Determine os pontos, respetivamente da

parabola y = x2 e da reta x y 2 = 0, que ficam a distancia mais curta.Determine esta distancia.

6


7/16

Captulo 3

Campos Vetoriais. Diferenciabilidade. Funcoes Implcitas.

Curvas e Superfcies

1. Considere o campo vetorial F :R2 R2, F(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), dado por

u(x, y) =x2y2

v(x, y) = 2xy

a) Determine a imagem por F das retas, x = 0, y= 0, ex = y.

b) Mostre queF e diferenciavel e calcule (DF)(1, 2).

2. Considere o campo vetorial F :R2 R2, F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), dado por

x= u + v

y= u v

a) Determine a imagem do trianguloT limitado pelas retas: u + v = 6, v= 0eu v= 2.

b) Verifique que

|detJF

|=

area F(T)

area Tem que detJF representa o jacobiano de F.

3. Indique para que valores de y a equacaoxy + y exy = 0, define implicitamentey como funcao dex numa vizinhanca dex = 0. Calcule y (0) e y (0).


f(x, y) = xy + x g

x

y

, y= 0

em que g : R R e uma funcao de classe C2 tal que g (1) = 1 e g (1) = 2.a) Mostre que

2

fx2

(1, 1) = 2

fy2

(1, 1)

b) Mostre que f(x, y) = 0 define implicitamente y = (x) na vizinhanca de(1, 1) e calcule (1).

5. Mostre que a equacaoxy z log y+ exz = 1

representa uma funcaoy = g(x, z) numa vizinhanca do ponto (x,y,z) = (0, 1, 1).Determine, nesse ponto, a equacao do plano tangente a superfcie definida por g .

7


8/16

6. A equacao de estado de um sistema termodinamico e dada por F(P , V , T ) = 0.Mostre que, nas condicoes de existencia ddas funcoes definidas implicitamente,P =P(V, T), V =V(P, T) e T =T(P, V), se pode escrever

PVV

TT

P

= 1

7. Considere o sistema de equacoes

x + y+ t= 0

x3 + sin y sin t= 0

a) Mostre que o sistema define implicitamente uma curva t (x, y) numavizinhanca do ponto (x, y) = (0, 0).

b) Determine a equacao da tangente a curva nesse ponto.

8. Considere o sistema de equacoes

sin t + cos x sin y= 1

arctanx

y+ tan t= 1

a) Mostre que o sistema define implicitamente uma funcaoF :t (x, y) numavizinhanca do ponto t = /4, x= 0, y= /4.

b) DetermineF(/4).

9. Considere o campo vetorial F :R2 R2 dado por

x= u2 + v2

y= u2 v2

a) Represente geometricamente os transformados porFdas linhasu = 1, u= veu2 + v2 = 1

b) Mostre, derivando a funcao implcita (x, y) (u, v), que se tem

u

xv

x =

v u4uv

10. Seja uma curva em R2 dada por y = f(x). Mostre que o comprimento deentre x = a ex = b, a < b, vem dado por:

L=

ba

1 + (f(x))2 dx

admitindof de classe C1

8


9/16

11. Considere o movimento dado por r(t) = 2 c o s t e1 + 2sin t e2 + t2 e3, com

{e1, e2, e3} uma base (o.n.) em R3.a) Determine a trajetoria, velocidade e aceleracao deste movimento.

b) Calcule a velocidade escalar e a aceleracao escalar nos instantes t = 0 et= /2.

12. Considere o arco de cicloide

x(t) =a(t sin t)

y(t) = a(1 cos t)0 t 2, a >0

a) Determine a equacao da reta tangente a curva no ponto (x(/2), y(/2))

b) Calcule o comprimento do arco da curva entret = 0 e t = 2.

13. Considere a superfcie (u, v),

x= (R cos v)cos uy= (R cos v)sin uz= sin v

u, v , R >1

Determine o plano tangente a no ponto (/4, /2).

14. Considere a superfcie definida implicitamente por

x2

a2 +

y2

b2 =

z2

c2, a, b, c >0

a) Esboce o grafico da superfcie ( no caso a= b = c = 1).

b) Escreva a equacao do plano tangente e da normal no ponto P = (0, b , c).

15. Determine a equacao do plano tangente e da reta normal a superfcie definidapela funcaoz = f(x, y) = 6 2xy y2 no ponto (1,2, 6).

16. Mostre que o plano tangente a superfcie z = x2 y2 no ponto (a,b,c) corta oeixo doszz no ponto (0, 0,c).

9


10/16

Captulo 4

Integrais Duplos e Triplos. Integrais de Linha

1. Inverta a ordem de integracao dos seguintes integrais iterados :

a)

10

dx

3x2x

f(x, y) dy b)

a0

dx

a2x2a2x2

2a

f(x, y) dy

c)

10

dy

1y

1y2f(x, y) dx d)

0

dx

sinx0

f(x, y) dy

2. Calcule o integral duplo D

xy dxdy

sendo D a regiao do plano limitada pelo eixo OX e pela semi-circunferenciasuperior (x 2)2 + y2 = 1.

3. Calcule o integral duplo

D

f(x, y)dxdy, em que f eD sao dados por

a) f(x, y) = 1 + xy+ x2y3 e D= {(x, y) : 1 x 2, 2 y 3}

b) f(x, y) = 2y x2 e D= {(x, y) : 0 x 1, x2 y 2 x}

c) f(x, y) = 1

y e D a regiao do 1o quadrante entrey = x2 ey = 1 x2

4. Seja

I=

10

dx

2x2x

x

y3dy

a) Esboce o domnio de integracao

b) Calcule I

c) Inverta a ordem de integracao (mas nao calcule I).

5. Exprima por um integral duplo o volume de uma piramide cujos vertices saoO = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (1, 1, 0) e C = (0, 0, 1). Calcule o volume emquestao.

6. Use coordenadas polares para calcular o integral duplo

D

x2 + y2 dxdy

a) Em que D e a coroa circular limitada pelas linhasx2 + y2 = 4 ex2 + y2 = 9

10


11/16

b) Em queD e limitado pelas linhas y = 0 ey =

2x x2.

7. Usando convenientes mudancas de coordenadas, calcule

a) O volume limitado pelo conez= x2 + y2 e pelo paraboloidez = x2 + y2b) O volume limitado pelo cilindro x2 + z2 = 1 e pelos planos y = 0 e y = 2

c) O volume limitado pelas esferasx2 + y2 + z2 = 3 ex2 + y2 + z2 = 9.

8. Considere a mudanca de coordenadas

x= a r cos , y= b r sin (a,b >0)

(coordenadas polares generalizadas).

a) Obtenha o jacobiano da transformacao, (x, y)

(r, ).

b) Obtenha a area da elipse,x2

a2 +

y2

b2 = 1

9. Calcule o integral triplo D

z dxdydz

em que D e a regiao limitada pelo cone z2 = h2

R2(x2 + y2) e pelo plano

z= h (h >0, R >0).

10. Determine o volume do corpo limitado pelas seguintes superfcies:

a z= y2 (a >0), x2 + y2 =R2, z = 0.

11. Recorrendo as coordenadas cilndricas, calcule o integral

D

dxdydz

em queD e a regiao limitada pelas superfcies x2 + y2 + z2 = 2Rz, x2 + y2 =z2

e que contem o ponto (0, 0, R), R > 0.

12. Use as coordenadas esfericas para calcular o integral

D

x2

+ y2

+ z2

dxdydz

sendoD = {(x,y,z) :x2 + y2 + z2 x}.

13. Calcule o integral de linha

C

F dr, em que

a) F(x, y) = x3y e1+ (x y) e2 e C e a parabolay = x2 de (1, 1) a (2, 4).b) A forca e a mesma que em a) e C e o segmento de reta que une os mesmos

pontos.

11


12/16

c) F(x, y) = x2 e1 + xy e2 e C e a curva dada por r(t) = 2 cos t e1 +2sin t e2 (0 t ).

d) F(x,y,z) = xy e1 + yz e2 + xz e3eC e a curva dada porr(t) =t e1 + t2 e2 +

t3 e3 (0 t 1).

14. Uma forca radial( tambem dita central) no plano escreve-se F(x, y) =f(r)r,em que r= (x, y) e r representa a norma de r. Mostre que tal campo de forcase conservativo admitindo:

i) f C1( [0, +[ ) ii)f e apenas funcao contnua.

15. Determine se o campo vetorial F e conservativo, isto e F=, e se assim for,obtenha nos seguintes casos:

a)F = (x, y) b) F = (3x2y, x3) c)F= (x + z,yz, xy) d)F = (x,y,z).

16. Sendo F = (x+ y) e1+ (x

y) e2, calcule o trabalho realizado pelo campo de

forcas no deslocamento de uma partcula entre os pontos (1, 0) e (0, 1) ao longode um arco de circunferencia de raio 1 e ao longo dos eixos. Que pode concluirsobreF?

17. Calcule o trabalho realizado por uma forca elastica, dirigida a origem O = (0, 0)e cuja grandeza e proporcional a distancia do ponto a origem das coordenadas,quando o ponto de aplicacao desta forca descreve, no sentido direto, um quartoda elipse

x2

a2 +

y2

b2 = 1

situada no primeiro quadrante.

18. Mostre que o campo vetorial F = (,,) e conservativo e determine a funcaopotencial e o trabalho realizado pelo campo no trajeto dado, nos seguintes casos:

a) = 0, = 0, = mg ( forca da gravidade) e o ponto material desloca-seda posicaoA = (x1, y1, z1) para B = (x2, y2, z2).

b)

(x,y,z) = xr3

, (x,y,z) = yr3

, (x,y,z) = zr3

,

em que = const. e r =

x2 + y2 + z2 (forca de atracao de Newton) e oponto material desloca-se da posicao A = (a,b,c) para o infinito.

c) (x,y,z) = k2

x, (x,y,z) = k2

y, (x,y,z) = k2

z, (forca elastica),encontrando-se o ponto inicial do trajeto na esfera x2 +y2 +z2 = R2 e ofinal na esfera x2 + y2 + z2 =r2, R > r.

19 Aplique a formula de Green para calcular

I=

2(x2 + y2) dx + (x2 + y2) dy

sendo a fronteira do triangulo cujos vertices sao A = (1, 1), B = (2, 2), C =(1, 3), a qual e percorrida no sentido direto.

12


13/16

20 Aplique a formula de Green para calcular o integral

I=

x2y dx + xy2 dy

sendo a circunferencia x2 + y2 =R2 descrita no sentido direto.

21 Calcule o integral de linha C

x dy y dxx2 + y2

examinando os dois casos:

i) A origem das coordenadas esta fora da curva fechada C.

ii) A curva fechadaC rodeia n vezes a origem O = (0, 0).

13


14/16

Captulo 5

Equacoes Diferenciais

1. Resolva as seguintes equacoes diferenciais :

a) dy

dx= 4x3(1 + y)

b) dy

dx=

(x2 + 1) (y2 1)xy

c) (1 + y) dx (1 x) dy= 0

d) sin x dx + ey(1 + cos x) dy= 0

e) (1 + ex)yy= ex com y(0) = 1.

2. Sabendo que 40% de uma substancia radioativa desaparece em 5 anos, determinea percentagem de substancia inicial que desapareceu ao fim de 10 anos, e tambemo perodo de semi-desintegracao dessa substancia.

3. Por acao de um medicamento, a evolucao da quantidade de um produto toxiconum organismo e regido pela equacao diferencial

dx

dt = x

+

1

1 + t

sendo 0 uma constante que depende do medicamento em questao.a) Deduza a lei de variacao da quantidade de produto toxico,x(t).

b) Esboce o grafico de x(t). Justifique, pela observacao do grafico, que otratamento e eficaz. De entre dois medicamentos, tais que 1= 0.5 e 2= 1,diga qual escolheria; justifique.

c) Sabendo que, apos um dia do incio do tratamento, a concentracao de pro-duto toxico era metade da inicial, determine quantos dias seriam necessariospara que a concentracao fosse 10% da inicial.

4. Resolva as seguintes equacoes diferenciais lineares:

a) y 3y= e2x, y(0) = 0

b) y xy= x, y(0) = 0

c) y+ y tan x= sin(2x), y(0) = 0

d) y yx

= log x, y(1) = 0

e) dy

dx y

x + 1 = (x + 1)2, x > 1, y(0) = 1.

14


15/16

5. O movimento de queda de um corpo num campo gravtico resistente e regidopela equacao diferencial,

mv= mg kv ()

em que v e a velocidade do corpo no instante t, m a sua massa, g a aceleracaoda gravidade e k um parametro (positivo) que mede a influencia da resistenciado meio.

a) Supodo quev(0) = 0, e que m, g e k sao constantes, deduza a lei de variacaoda velocidade.

b) Mostre que, quandot , v tende para um valor constante V e calculeV.

c) Sendo v(t) = x(t) e x(0) = 0, obtenha x(t) (posicao do corpo no instantet).

d) Mostre que, independentemente da velocidade inicial do corpo, v Vquandot .

e) Exprimindo a variavelv em funcao de x e usando a regra de derivacao emcadeia,

dv

dt =

dv

dx

dx

dt =v

dv

dx,

mostre que a equacao diferencial () se transforma na equacao

dx

dv =

bv

c v

em que b = m/k e c= gm/k. Resolva esta equacao diferencial e determinex(v). Mostre que o resultado obtido e coerente com o que obteve nas alneasanteriores.

6. Resolva as seguintes equacoes diferenciais de 2a ordem :

a) y+ y+ y = 0

b) y 4y+ 4y= 0, y(0) =y(0) = 1

c) y+ 12y= 7y

d) y+ 9y= 6e3x

e) y 3y= 2 6x, y(0) = 1, y(0) = 3

f) y+ y 2y= 8 sin(2x)

15


16/16

7. Determine as solucoes gerais das equacoes nao homogeneas:

a) y

4y+ 4y= x2

b) y+ y 6y= xe2x

c) y 2y+ y= sin x + sinh x

d) y 2y= e2x + 5

e) y+ y= sin2 x

8. Utilize o metodo da variacao das constantes para resolver os problemas de valorinicial:

a) y 2y+ y= ex

x

b) 3y+ 4y+ y= (sin t) et, y(0) = 1, y(0) = 0

c) y y = f(t), y(0) =y (0) = 0 e f(t) funcao contnua.

16

Exercícios CI II.pdf

Documents

Transcript of Exercícios CI II.pdf