Exerccios deTeoria dos Grafoshttp://www.ime.usp.br/~pf/grafos-exercicios/teceira edioPaulo FeoloffDepartamento de Cincia da ComputaoInstituto de Matemtica e EstatsticaUniversidade de So Paulo8 de junho de 2011FEOFILOFF 2Sumrio1 Conceitos bsicos 71.1 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Vizinhanas e graus de vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Caminhos e circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Unio e interseo de grafos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6 Grafos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7 Subgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.8 Cortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.9 Caminhos e circuitos em grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.10 Grafos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.11 Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.12 Pontes e grafos aresta-biconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.13 Articulaes e grafos biconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.14 Florestas e rvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.15 Minors de grafos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.16 Mapas planos e suas faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.17 Grafos aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 Isomorsmo 593 Sntese de grafos com graus dados 654 Caracterizao de grafos bicolorveis 673FEOFILOFF 45 Conjuntos estveis 716 Cliques 777 Cobertura por vrtices 818 Colorao de vrtices 839 Emparelhamentos 9510Emparelhamentos em grafos bipartidos 10111Emparelhamentos em grafos arbitrrios 10712Colorao de arestas 11113Conectores e conjuntos acclicos 11714Caminhos e circuitos mnimos 12115Circuitos e caminhos hamiltonianos 12516Coberturas por circuitos 13117Fluxo 13718Fluxo internamente disjunto 14119Caracterizao da planaridade 145A Algumas dicas 149B O alfabeto grego 155Bibliograa 158ndice Remissivo 159PrefcioA teoria dos grafos estuda objetos combinatrios os grafos que so umbom modelo para muitos problemas de matemtica, de computao, e deengenharia. Ateoriadosgrafosnopropriamenteuma teoriamasumacoleo de problemas. Muitos desses problemas so um interessante desaointelectual e tm importantes aplicaes prticas.O presente texto uma coleo de exerccios de teoria dos grafos. A mai-oria dos exerccios foi extrada dos livros de Bondy e Murty [BM08, BM76],Wilson [Wil79], Diestel [Die00, Die05], Bollobs [Bol98], Lovsz [Lov93], Mel-nikov et alii [MST+98], Lucchesi [Luc79] e Lovsz e Plummer [LP86]. Algunsoutros so subproduto de projetos de pesquisa. Autros ainda nasceram deconversas com professores, colegas e alunos.O texto tem muitos links que levam de uma parte do texto a outra e apontampara material complementar. Para tirar proveito desses links preciso ler otexto na tela do seu computador (e no impresso em papel).O stio www.ime.usp.br/~pf/grafos-exercicios/ tem informaes adicionais, almde uma verso atualizada do texto.Organizao. O captulo 1 trata de conceitos bsicos. Cada um dos outroscaptulos aborda um problema clssico. Muitos desses problemas tm car-ter computacional: procura-se um algoritmo eciente que receba um grafo eextraia dele uma certa informao. Alguns dos problemas so fceis, outrosso difceis; alguns j foram resolvidos, outros no.1Em que ordem os captulos devem ser examinados? Depois de estudar aprimeira seo do captulo 1, sugiro que o leitor avance imediatamente para ocaptulo 2 e os seguintes, voltando ao captulo 1 somente quando isso se zernecessrio. H um bom ndice remissivo que ajuda a localizar as deniesdos vrios conceitos.1Para vrios desses problemas no se conhece (ainda?) um algoritmo rpido, ou seja,no se conhece um algoritmo substancialmente melhor que examinar, pacientemente, umaenorme lista de candidatos a soluo. Em termos tcnicos, um problema desse tipo NP-completo ou NP-difcil. Veja os livros de GareyJohnson [GJ79], Harel [Har92] e Sipser [Sip97].5FEOFILOFF 6Classicao dos exerccios. Os nmeros dos exerccios tm prexos. Oprexo E genrico. Outros prexos so mais especcos:EF . . . exerccio particularmente fcil ou rotineiroED . . . exerccio difcilEDD . . . exerccio muito difcilEI . . . exerccio importanteEID . . . exerccio importante e difcilEIF . . . exerccio importante mas fcilEU . . . exerccio til como ferramenta tcnicaDD . . . desao, problema em abertoTerminologia tcnica em ingls. Boa parte da literatura da teoria dos gra-fos est escrita em ingls. Por isso, a denio de cada termo tcnico emportugus acompanhada, entre parnteses, do correspondente termo emingls. O termo em ingls tambm listado no ndice remissivo.O idioma ingls determinou a escolha de muitos smbolos. Assim, por exem-plo, o conjunto das arestas (= edges) de um grafo denotado por E e nopor A, como seria mais natural em portugus.Agradecimentos. Agradeo a Rogrio Brito por resolver vrias diculda-des tipogrcos.IMEUSP, So Paulo, dezembro de 2010P. F.Captulo 1Conceitos bsicosEste captulo formaliza a noo de grafo, d vrios exemplos, e introduz al-guns conceitos bsicos da teoria (grau de vrtice, corte, subgrafo, conexo,componente, minor etc.). O captulo tambm introduz vrios tipos impor-tantes de grafos, comocaminhos,circuitos,rvores,grafos bipartidos,grafos biconexos,grafos planares, etc.Sugiro que depois de estudar a primeira seo deste captulo o leitor avanceimediatamente para os captulos seguintes. Mais tarde, quando houver ne-cessidade, o leitor poder voltar a este captulo para rever conceitos e enten-der as sutilezas de algumas denies. Use o ndice remissivo para encontraras denies dos vrios conceitos.Eis as sees deste captulo:1.1Grafos1.2Grafos bipartidos1.3Vizinhanas e graus de vrtices1.4Caminhos e circuitos1.5Unio e interseo de grafos1.6Grafos planares1.7Subgrafos1.8Cortes1.9Caminhos e circuitos em grafos7FEOFILOFF Conceitos bsicos 81.10Grafos conexos1.11Componentes1.12Pontes e grafos aresta-biconexos1.13Articulaes e grafos biconexos1.14Florestas e rvores1.15Minors de grafos1.16Mapas planos e suas faces1.17Grafos aleatriosFEOFILOFF Grafos 91.1 GrafosUm grafo (= graph)1 uma estrutura formada por dois tipos de objetos: vr-tices (= vertices) e arestas (= edges). Cada aresta um par no ordenado devrtices, ou seja, um conjunto com exatamente dois vrtices.2Uma arestacomo v, w ser denota simplesmente porvw ouwv; diremos que a aresta nincide em v e em w; diremos tambm que v e w so as pontas da aresta; di-remos, ainda, que os vrtices v e w so vizinhos (= neighbors), ou adjacentes(= adjacent).EXEMPLO: os vrtices do grafo sot, u, v, w, x, y,z e as arestasso vw, uv, xw, xu, xy e yz. A gura abaixo uma representaogrca desse grafo.rrr rrrr

vuwyxztDe acordo com nossa denio, um grafo no pode ter duas arestas diferen-tes com o mesmo par de pontas (ou seja, no pode ter arestas paralelas).Alm disso, as duas pontas de qualquer aresta so diferentes (ou seja, noh laos). Alguns livros gostam de enfatizar esse aspecto da denio di-zendo que o grafo simples; ns no usaremos este adjetivo. simplesUm grafo com conjunto de vrticesV e conjunto de arestasE denotadopor (V, E). Muitas vezes conveniente dar um nome ao grafo como um todo. (\, 1)Se o nome do grafo G, o conjunto dos seus vrtices denotado por VG e o\G, 1Gconjunto das suas arestas por EG. O nmero de vrtices de G denotado porn(G)n(G) e o nmero de arestas por m(G); portanto,:(G)n(G) := [VG[ e m(G) := [EG[ .O complemento de um grafo (V, E) o grafo (V, V(2)E), onde V(2) o con- \(2)junto de todos os pares no ordenados3de elementos de V . O complementode G usualmente denotado por G. GUm grafoG completo seEG=V(2)G. A expresso G umKn uma 1nabreviatura de G um grafo completo com n vrtices. Um grafo G vaziose EG= . A expresso G um Kn uma abreviatura de G um grafo 1nvazio com n vrtices.1Otermofoiusadopelaprimeiravez(nosentidoquenosinteressaaqui)porJamesJoseph Sylvester (181 18). (Veja verbete na Wikipedia.)2Suporemossemprequeosconjuntosdevrticesedearestasdequalquergrafosonitos e mutuamente disjuntos. Suporemos tambm que o conjunto de vrtices no vazio.3Diestel [Die05] escreve [\ ]2. H quem escreva _V2_.FEOFILOFF Grafos 10ExercciosE 1.1Faaumalistadetodososgrafosquetenham a, b, cporconjuntode vrtices.4Faa a lista de modo que cada grafo aparea ao lado do seucomplemento.E 1.2Faa uma gura de umK5e outra de umK5. Quantas arestas temum Kn? E um Kn?E 1.3A matriz de adjacncias de um grafoG a matrizA denida da se-guinte maneira: para quaisquer dois vrtices u e v, matriz deadjacnciasA[u, v] =1 se uv EG ,0 em caso contrrio. claro que a matriz indexada por VGVG. (A matriz de adjacncia umaespcie de gura do grafo. Ela tem certas vantagens sobre a gura pontos-e-linhas que usamos acima.)Escreva a matriz de adjacncias do grafo denido no exemplo que apa-rece na pgina 9. Escreva a matriz de adjacncias de um K4. Qual a relaoentre a matriz de adjacncias de um grafo e matriz de adjacncias do seucomplemento?E 1.4A matriz de incidncias de um grafoG a matrizMdenida da se-guinte maneira: para todo vrtice u e toda aresta e, matriz deincidnciasM[u, e] =1 se u uma das pontas de e ,0 em caso contrrio. claro que a matriz indexada por VG EG. (A matriz de incidncia umaespcie de gura do grafo. Ela tem certas vantagens sobre a gura pontos-e-linhas que usamos acima.)Escreva a matriz de incidncias do grafo denido no exemplo que apa-rece na pgina 9. Escreva a matriz de incidncias de um K4. Quanto vale asoma de todos os elementos da matriz de incidncias de um grafo?Qual arelao entre a matriz de incidncias de um grafo e matriz de incidncias doseu complemento?E 1.5Oshidrocarbonetosconhecidoscomoalcanostmfrmulaqumica alcanosCpH2p+2, ondeCeHrepresentam molculas de carbono e hidrognio res-pectivamente. As molculas de alcanos podem ser representadas por grafoscomo os da gura 1.1.Faa uma gura de uma molcula de metano C1H4. Quantas molculasdiferentes de C3H8 existem?FEOFILOFF Grafos 11r rrrr rrrrr r r rr r rr r r rr rrr rrrrr rrrrrr rFigura 1.1: Etano (C2H6), butano (C4H10) e isobutano (C4H10). Os vrti-ces em que incide uma s aresta representam tomos de hidrognio (H);os demais representam tomos de carbono (C). (Veja o exerccio 1.5.)E 1.6Seja Vo produto cartesiano 1, 2, . . . , p1, 2, . . . , q, isto , o conjuntode todos os pares ordenados5(i, j) com i em 1, . . . , p e j em 1, . . . , q. Di-gamos que dois elementos (i, j) e (i

, j

) de Vso adjacentes sei = i

e [j j

[ = 1 ou j= j

e [i i

[ = 1 .Essa relao de adjacncia dene um grafo sobre o conjuntoVde vrtices.Esse grafo conhecido como grade (= grid) p-por-q. gradeQuantas arestas tem a grade p-por-q?Escreva as matrizes de adjacnciae incidncia de uma grade 4-por-5.r r rr r r rr rrr rFigura 1.2: Uma grade 3-por-4 (veja exerccio 1.6).E 1.7Dados nmeros inteiros p e q, seja Vo conjunto 1, 2, 3, . . . , pq2, pq1,pq. Digamos que dois elementos k e k

de V , com k>>vuyzvw wxuxxyss sss sFigura 1.4: Um grafo (esquerda) e o seu grafo das arestas (direita).FEOFILOFF Grafos bipartidos 161.2 Grafos bipartidosSejam U e Wdois conjuntos mutuamente disjuntos (isto , U W= ). SejaE um conjunto de pares no ordenados da forma (u, w) com u U e w W.Dizemos ento que(U W, E) umgrafo bipartido (= bipartite graph). Para explicitar U e W, podemos dizerque o grafo (U, W)-bipartido.Hquemgostededizerqueoobjeto(U, W, E)umbigrafo(=bigraph)[LP86]. O conceito bom, mas no vamos us-lo.Um grafo (U, W)-bipartido completo se, para todo u em U e todo w em W,o par uw uma aresta. Se [U[ = p e [W[ = q, dizemos que o grafo um Kp,q. 1p,qTodo K1,q uma estrela (= star). Se q 2, o centro da estrela o nico vrtice estrelaque incide em duas ou mais arestas. (Se q< 2, a estrela no tem centro.)Figura 1.5: Um grafo bipartido completo.ExercciosEF 1.25Uma pequena fbrica tem cinco mquinas 1,2,3,4 e5 e seisoperrios A, B, C, D, EeF. A tabela especica as mquinas que cadaoperrio sabe operar:A 2, 3 B 1, 2, 3, 4, 5C 3 DE 2, 4, 5 F 2, 5Faa uma gura do grafo bipartido que representa a relao entre operriose mquinas.EF 1.26Quantas arestas pode ter um grafo (U, W)-bipartido?EF 1.27Quantas arestas tem um Kp,q? Quantas arestas tem um Kp,q?FEOFILOFF Grafos bipartidos 17E 1.28Faa uma gura de um K3,4. Escreva as matrizes de adjacncia e inci-dncia de um K3,4. Faa uma gura de uma estrela com 6 vrtices.E 1.29 verdade que o grafo do bispo t-por-t bicolorvel?E 1.30Que aparncia tem a matriz de adjacncias de um grafo bipartido?E 1.31A matriz da bipartio de um grafo(U, W)-bipartido denida as-sim: cada linha da matriz um elemento de U, cada coluna da matriz umelemento de W e no cruzamento da linha u com a coluna w temos um 1 se uw uma aresta e temos um 0 em caso contrrio.Escreva a matriz da bipartio do grafo do exerccio 1.25. Adote a bipar-tio bvia: U= A, . . . , F e W= 1, . . . , 5.FEOFILOFF Vizinhanas e graus de vrtices 181.3 Vizinhanas e graus de vrticesA vizinhana (= neighborhood) de um vrtice v em um grafo G o conjuntode todos os vizinhos de v. Este conjunto ser denotado porNG(v)ou simplesmente por N(v).11O grau (= degree) de um vrtice v em um grafo N()G o nmero de arestas que incidem em v. O grau de v ser denotado pordG(v)ou simplesmente por d(v). evidente que d(v)= [N(v)[ para todo vrtice v. d()Um vrtice v isolado se d(v) = 0.O grau mnimo dos vrtices de um grafo12G o nmero (G)(G) :=minvVGdG(v)e o grau mximo dos vrtices o nmero (G) := maxvVGdG(v). (G)A mdia dos graus deG, ou seja,1|V |

vVd(v), ser denotada por(G).13j(G)Como veremos no exerccio 1.43, (G) = 2m(G)/n(G).Um grafo regular se todos os seus vrtices tm o mesmo grau, ou seja, se= . Um grafo r-regular se d(v) = r para todo vrtice v. Um grafo cbico o mesmo que um grafo 3-regular.ExercciosEF 1.32Quais so os graus dos vrtices de uma estrela (veja a seo 1.2)?EF 1.33Se G umKn, quanto valem (G) e (G)?Quanto valem os par-metros e de um Kp,q (veja a seo 1.2)?EF 1.34Para r=1, 2, 3, faa uma gura de um grafo r-regular com 12 vrti-ces.E 1.35Quais so os graus dos vrtices de uma molcula de alcano (veja exer-ccio 1.5)?11Alguns autores dizem Adj () em lugar de N(). Outros dizem ().12A expresso grau mnimo de um grafo no muito gramatical, uma vez que graude um grafo no faz sentido.13Ao contrrio de e , a notao j no uma unanimidade.FEOFILOFF Vizinhanas e graus de vrtices 19E 1.36Calculeosvaloresdosparmetros, enok-cubo(vejaexerc-cio 1.14) e no grafo de Petersen (veja exerccio 1.15 ou gura 1.6).rrrr rr rrrr--```\\\\``

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..Figura 1.6: Grafo de Petersen. Veja exerccios 1.15 e 1.36.E 1.37Calcule os valores dos parmetros e no grafo dos estados do Brasil(veja exerccio 1.17).E 1.38Calcule os valores dos parmetros, e no grafo da dama (vejaexerccio 1.8) e no grafo do cavalo (veja exerccio 1.9).E 1.39Seja A a matriz de adjacncias (veja exerccio 1.3) e M a matriz de inci-dncias (veja exerccio 1.4) de umgrafo G. Quanto vale a soma dos elementosda linha v de A? Quanto vale a soma dos elementos da linha v de M?EU 1.40Seja G um grafo (U, W)-bipartido. Suponha que G r-regular, comr > 0. Mostre que [U[ = [W[.E 1.41 verdade que todo grafo com pelo menos dois vrtices tem dois vr-tices com o mesmo nmero de vizinhos? Em outras palavras, se um grafotem mais de um vrtice, verdade que tem dois vrtices distintos v e w taisque [N(v)[ = [N(w)[? (Uma maneira informal de dizer isso: verdade que emtoda cidade com pelo menos dois habitantes residem duas pessoas que tmexatamente o mesmo nmero de amigos na cidade?)EI 1.42Mostre14que, em todo grafo, a soma dos graus dos vrtices igual aodobro do nmero de arestas. Ou seja, todo grafo (V, E) satisfaz a identidade

vVd(v) =2[E[ . (1.1)EF 1.43Mostre que a (G) = 2m(G)/n(G) para todo grafo G.14Mostre = prove.FEOFILOFF Vizinhanas e graus de vrtices 20EF 1.44Mostre que todo grafo Gtemumvrtice v tal que d(v) 2m(G)/n(G)e um vrtice w tal que d(w) 2m(G)/n(G). verdade que todo grafo G temum vrtice x tal que d(x) < 2m(G)/n(G)?E 1.45Mostre que em qualquer grafo tem-se 2m/n .E 1.46Mostre que todo grafo comn vrtices tem no mximo n(n 1)/2 ares-tas.EU 1.47Mostre que em qualquer grafo o nmero de vrtices de grau mpar necessariamente par.E 1.48Quantasarestastemografodadama8-por-8(vejaexerccio1.8)?Quantas arestas tem o grafo da dama t-por-t?E 1.49Quantasarestastemografodocavalo4-por-4(vejaexerccio1.9)?Quantas arestas tem o grafo do cavalo t-por-t?E 1.50Quantas arestas tem um grafo r-regular com n vrtices?E 1.51Quantas arestas tem o cubo de dimenso k?E 1.52Quantas arestas tem o grafo das arestas (veja exerccio 1.24) de umgrafo G?E 1.53Seja G o complemento de um grafo G. Calcule (G) e (G) em funode (G) e (G).E 1.54Seja G um grafo tal que m(G) > n(G). Mostre que (G) 3.E 1.55Suponha que um grafo G tem menos arestas que vrtices, ou seja, quem(G) < n(G). Mostre que G tem (pelo menos) um vrtice de grau 0 ou (pelomenos) dois vrtices de grau 1.ED 1.56Escolha dois nmeros naturais n e k e considere o seguinte jogo paradois jogadores, Ae B. Cada iterao do jogo comea comumgrafo Gque temn vrtices (no incio da primeira iterao tem-se EG= ). Em cada iteraompar (primeira, terceira, etc.), o jogador A escolhe dois vrtices no adjacen-tesu ev e acrescentauv ao conjunto de arestas do grafo. Em cada iteraopar (segunda, quarta, etc.), o jogador B faz um movimento anlogo: escolhedois vrtices no adjacentes u e v e acrescenta uv ao conjunto de arestas dografo. O primeiro jogador a produzir um grafo G tal que (G) k perde oFEOFILOFF Vizinhanas e graus de vrtices 21jogo. Problema: determinar uma estratgia vencedora para A e uma estrat-gia vencedora para B.FEOFILOFF Caminhos e circuitos 221.4 Caminhos e circuitosEsta seo introduz dois tipos muito simples mas muito importantes de gra-fos. Para quaisquer objetos v1, v2, v3, . . . , vn distintos dois a dois, o grafo_v1, v2, v3, . . . , vn , v1v2,v2v3,. . . ,vn1vn_ um caminho (= path). Por exemplo, o grafo (x, y, w, z, xy, yw, wz) umcaminho.15Portanto, um grafo um caminho se seus vrtices podem ser ordenados detal maneira que o primeiro seja adjacente ao segundo, o segundo adjacenteao terceiro, etc., o penltimo adjacente ao ltimo e que no haja outras adja-cncias entre os vrtices alm dessas. Em outras palavras, um grafo G umcaminho se VG admite uma permutao16(v1, v2, . . . , vn) tal quevivi+1: 1 i < n = EG .Os vrtices v1 e vn so os extremos do caminho; os demais vrtices so inter-nos.17Diremos que esse caminho liga v1 a vn.O caminho que acabamos de descrever pode ser denotado simplesmente porv1v2 vn. Por exemplo, se dissermos o caminho xywz estaremos nos refe- 12 nrindo ao grafo (x, y, w, z, xy, yw, wz).Para quaisquer objetosv1, v2, v3, . . . , vndistintos dois a dois, comn 3, ografo_v1, v2, v3, . . . , vn , v1v2, v2v3, . . . , vn1vn, vnv1_umcircuito(=circuit =polygon).18Emoutraspalavras, umgrafoGumcircuito19seVGtem3oumaiselementoseadmiteumapermutao(v1, v2, . . . , vn) tal quevivi+1: 1 i < n vnv1 = EG .Esse circuito pode ser denotado simplesmente por v1v2 vnv1. As-12 n1sim, se dissermos ocircuito xyzx, estaremos nos referindoaografo(x, y, z, xy, yz,zx).15Convm insistir que, para ns, caminhos so grafos. Em alguns livros, caminhos sotratados como sequncias de vrtices e no como grafos.16Uma permutaode um conjuntoA uma sequncia em que cada elemento deAaparece uma e uma s vez.17Alguns autores [Per09] dizemque umcaminho s caminho se tiver 2 ou mais vrtices.Para ns, entretanto, o grafo (, ) umcaminho. Esse detalhe no to irrelevante quantopode parecer.18Alguns autores dizem ciclo (= cycle) no lugar de circuito.19Observe que, para ns, um circuito um grafo. Em alguns livros, circuitos so tratadoscomo sequncias (de um certo tipo) e no como grafos.FEOFILOFF Caminhos e circuitos 23rrrr rrr rrr r

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````Figura 1.7: Um caminho e um circuito.O comprimento de um caminho ou circuito G o nmero m(G). claro queum caminho de comprimentom temm + 1 vrtices e um circuito compri-mento m tem m vrtices.20Um tringulo, quadrado, pentgono e hexgono o mesmo que um circuitode comprimento 3, 4, 5 e 6 respectivamente.ExercciosEF 1.57Faa uma gura de um caminho de comprimento 0, de um caminhode comprimento 1 e de um caminho de comprimento 2.Faa uma gura deum circuito de comprimento 3 e de um circuito de comprimento 4. Por que adenio de circuito tem a restrio n 3?EF 1.58SejaVo conjunto a, b, c, d, e eEo conjunto de, bc, ca, be. Veri-que que o grafo(V, E) um caminho. Agora suponha queF o conjuntobc, bd, ea, ed, ac e verique que o grafo (V, F) um circuito.EF 1.59Faaumguradocaminho1 2 4 3 5. Faaumguradocaminho1 3 2 4 3 5. Faa um gura do circuito 1 2 4 3 5 1.EF 1.60Verique que o caminhou v wxy z tambm pode ser denotado porz y xwv u. Verique que essas duas expresses representam o mesmo cami-nho.EF 1.61Considere o circuitou v wxy z u. Mostre quez y xwv uz tambm um circuito. Mostre que qualquer permutao cclica comowxy z u v w,por exemplo tambm um circuito. Mostre que todas essas expressesrepresentam o mesmo circuito.EF 1.62Exiba as matrizes de adjacncias e incidncias de um caminho decomprimento 4. Exiba as matrizes de adjacncias e incidncias de umcircuitode comprimento 5.20A expresso tamanho de um caminho vaga e ambgua: no se sabe se estamosfalando do nmero de vrtices ou do nmero de arestas do caminho.FEOFILOFF Caminhos e circuitos 24EF 1.63 verdade que o grafo do cavalo 3-por-3 um circuito?EF 1.64Verique que a grade 1-por-n um caminho de comprimento n 1.Quais grades so circuitos?EF 1.65Suponha que P um caminho de comprimento n1 e O um circuitode comprimento n. Quanto valem (P), (P), (O) e (O)?EF 1.66Faa uma gura do complemento de umcaminho de comprimento 3.Faa uma gura do complemento de um caminho de comprimento 4. Faauma gura do complemento de um circuito de comprimento5. Faa umagura do complemento de um circuito de comprimento 6.E 1.67Quantos caminhos diferentes existemcomconjunto de vrtices1, 2, 3? Quantoscircuitosdiferentesexistemcomconjuntodevrtices1, 2, 3? Quantoscircuitosdiferentesexistemcomconjuntodevrtices1, 2, 3, 4?E 1.68 verdade que todo grafo 2-regular um circuito?E 1.69SejaG um grafo comn(G) 3, (G) =2e(G) =1. SeG temexatamente dois vrtices de grau 1, verdade que G um caminho?FEOFILOFF Unio e interseo de grafos 251.5 Unio e interseo de grafosA unio de dois grafos G e H o grafo (VGVH, EGEH). natural denotaresse grafo por G H. G HA interseo de dois grafosG eH o grafo(VG VH, EG EH). naturaldenotar esse grafo por G H. Para evitar grafos sem vrtices, s trataremos G Hda interao G H se VG VH no for vazio.Dois grafosG eHso disjuntos se os conjuntosVG eVHso disjuntos, ouseja, seVG VH= . evidente queEG eEHtambm so disjuntos nessecaso.ExercciosEF 1.70Seja G um grafo completo com conjunto de vrtices 1, 2, 3, 4, 5 e Hum grafo completo com conjunto de vrtices 4, 5, 6, 7, 8. Faa guras dosgrafos G H e G H.E 1.71Seja Go grafo do bispo e H o grafo da torre (veja exerccios 1.10 e 1.11).Mostre que G H o grafo da dama.EF 1.72SejaG o circuito1 2 3 4 5 6 1 eHo caminho4 7 8 5. Faa guras dosgrafos G H e G H.E 1.73Seja P umcaminho comextremos u a v e Qumcaminho comextremosv e w. Mostre que se VP VQ= v ento o grafo P Q um caminho.E 1.74Suponha que os caminhos P e Q tm os mesmos extremos, digamos ue v. Suponha ainda que VP VQ= u, v. Em que condies o grafo P Q um circuito?E 1.75Sejam A, B e C os conjuntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, 10, 11.Seja G ografo(A, B)-bipartido completo. SejaHo grafo(B, C)-bipartido completo.Faa guras dos grafos G H e G H.E 1.76Uma roda (= wheel) qualquer grafo da formaG H, ondeG umcircuito e H uma estrela (veja a seo 1.2) comcentro v tal que VHv = VG.Faa guras de rodas com 4, 5 e 6 vrtices. Quanto valem os parmetros m, e de uma roda com n vrtices?FEOFILOFF Grafos planares 261.6 Grafos planaresUm grafo planar se pode ser desenhado no plano sem que as curvas querepresentamarestas se cruzem. Esta denio imprecisa, mas suciente porenquanto. Daremos um denio melhor na seo 1.16.ExercciosEF 1.77Verique que todo caminho planar. Verique que todo circuito planar.EF 1.78Mostre que toda grade (veja exerccio 1.6) planar.E 1.79Mostre que o grafo dos estados do Brasil (veja exerccio 1.17) planar.E 1.80O grafo dos pontos no plano descrito no exerccio 1.19 planar?E 1.81Mostre que todo K4 planar. verdade que todo K5 planar?E 1.82Mostre que todo K2,3 planar. verdade que todo K3,3 planar?E 1.83Mostre que o grafo Q3 (veja exerccio 1.14) planar. O grafo Q4 tam-bm planar? O grafo Q5 planar?E 1.84O grafo da dama t-por-t (veja exerccio 1.8) planar? O grafo do bispot-por-t planar? O grafo do cavalo t-por-t (veja exerccio 1.9) planar?FEOFILOFF Subgrafos 271.7 SubgrafosUm subgrafo de um grafo G qualquer grafo H tal que VH VG e EH EG. conveniente escrever H G para dizer que H subgrafo de G. H GUm subgrafoHdeG gerador (= spanning) seVH=VG. (H quem digaabrangente no lugar de gerador [Per09].)Um subgrafo H de G prprio se VH ,= VG ou EH ,= EG. s vezes conveni-ente escrever H G para dizer que H subgrafo prprio de G.21H GO subgrafo de G induzido por uma parte22X de VG o grafo (X, F) onde F o conjunto EG X(2). Esse subgrafo denotado por G[A]G[X] .Para qualquer subconjunto Xde VG, denotaremos por G Xosub- GAgrafoG[VG X]. Sev um vrtice deGentoG v uma abreviatura Gde Gv.Se e uma aresta de G ento G e o grafo (VG, EGe). De modo mais Gcgeral, se A uma parte de EG ento GA o grafo (VG, EGA). claro que GGA um subgrafo gerador de G.ExercciosEF 1.85Suponha queH um subgrafo deG. SeVH=VG, verdade queH= G? Se EH= EG, verdade que H= G?EF 1.86Seja G um grafo, V

uma parte de VG e E

uma parte EG. verdadeque (V

, E

) um subgrafo de G?EF 1.87SejaG um grafo(U, W)-bipartido. Mostre que os subgrafosG[U] eG[W] so vazios.E 1.88Repita o exerccio 1.42: Use induo23no nmero de arestas do grafopara provar que todo grafo (V, E) satisfaz a identidade

vVd(v) =2[E[ .21De modo geral, escreveremos A Y ou YA para dizer que o conjuntoAsubconjunto prprio de Y , ou seja, que A Ymas A ,= Y .22Uma parte de um conjunto o mesmo que um subconjunto do conjunto.23Induo a arte de reduzir um problema a uma verso menor dele mesmo.FEOFILOFF Subgrafos 28EF 1.89Mostre que todo subgrafo induzido de um grafo completo com-pleto. verdade que todo subgrafo induzido de umcaminho umcaminho? verdade que todo subgrafo induzido de um circuito um caminho?EF 1.90Seja v umvrtice e e uma aresta de umcircuito O. Mostre que o grafoO v um caminho. Mostre que o grafo O e um caminho.E 1.91Mostre que todo subgrafo de um grafo planar planar. Em outraspalavras, se um grafo G tem um subgrafo no planar ento G no planar.E 1.92Sejam v e w dois vrtices de um grafo G. Suponha que d(v)=(G) ed(w) = (G). verdade que (Gv) = (G) 1? verdade que (Gw) =(G) 1?EF 1.93Verique que o grafo do bispot-por-t um subgrafo do grafo dadama t-por-t. Verique que o grafo da torre t-por-t um subgrafo do grafoda dama t-por-t.E 1.94O grafo Q3 subgrafo de Q4?EF 1.95SejaG o grafo representado na gura 1.8 eXo conjunto a, b, f, e,g, l. Faa uma gura de G[X].r r rr r r rr r r rr/ d) p // |oci ,cFigura 1.8: Veja exerccios 1.95, 1.114 e 1.115.E 1.96(BOM!) Seja H o grafo das arestas (veja exerccio 1.24) de um grafo G(portanto, H=L(G)). Mostre queHno contmK1,3como subgrafo in-duzido, ou seja, mostre que no existe subconjunto X de VHtal que H[X] um K1,3. Mostre que a recproca no verdadeira.E 1.97SejaHo grafo das arestas (veja exerccio 1.24) de um grafoG (por-tanto,H=L(G)). SejaH

um subgrafo induzido deH. Mostre queH

ografo das arestas de algum grafo G

.E 1.98Dado grafo G e inteiro k, encontrar um subconjunto mximo X de VGtal que(G[X]) k. (Ou seja, dentre os subconjuntosXdeVGque tm apropriedade (G[X]) k, encontrar um de cardinalidade mxima.)FEOFILOFF Subgrafos 29E 1.99Seja G um grafo tal que n(G)>1 e (G) 12(G). Mostre que G temum vrtice x tal que(Gx) (G) .Em outras palavras, mostre que possvel retirar um vrtice sem com issoreduzir a mdia dos graus do grafo.E 1.100Mostre que todo grafoG com pelo menos uma aresta tem um sub-grafo H tal que(H) > (H)/2 mas (H) (G) .FEOFILOFF Cortes 301.8 CortesSuponha que X um conjunto de vrtices de um grafo G. O corte associadoaX o conjunto de todas as arestas que tm uma ponta emXe outra emVGX. O corte associado a X ser denotado por (A)G(X)ousimplesmentepor(X).24(Algunsautorespreferemescrever(X)ouat (X).)Dizemos que os cortes() e(VG) so triviais. evidente que os cortestriviais so vazios. claro que [(v)[ =d(v) para todo vrticev. Para qualquer conjuntoXde vrtices, diremos que [(X)[ o grau deXe denotaremos esse nmeropor d(X): d(A)d(X) := [(X)[ .Umcorte(=cut =coboundary) emumgrafoGqualquer conjuntodaforma(X), ondeX uma parte25deVG. (Um corte , portanto, um con-junto de arestas e no de vrtices.)ExercciosEF 1.101Seja Xumconjuntodevrtices deumgrafo G. Mostreque(VG, (X)) um subgrafo gerador bipartido de G.E 1.102Seja G o grafo representado na gura 1.8. verdade que o conjuntoae, ef, fj, jk, cd, dh um corte?r r rr r r rr r r rr/ d) p // |oci ,cFigura 1.9: Veja o exerccio 1.102.E 1.103Encontreomenorcortenotrivial quepudernografodadama8-por-8. Encontre o maior corte no trivial que puder no grafo da dama.24No confunda com a letra grega .25Uma parte de um conjunto o mesmo que um subconjunto do conjunto.FEOFILOFF Cortes 31E 1.104Encontreomenorcortenotrivial quepudernografodobispot-por-t.E 1.105Encontre o menor corte que puder no grafo de Petersen.Encontre omaior corte que puder no grafo de Petersen.EF 1.106Para qualquer conjunto X de vrtices, denotamos por N(X), o con- N(A)junto dos vrtices emVGX que tm um ou mais vizinhos emX. verdadeque d(X) = [N(X)[ para todo X?EI 1.107Mostre que para qualquer grafo G e qualquer parte X de VG tem-se

xX dG(x) = 2m(G[X]) + dG(X) . (1.2)(Isso uma generalizao do exerccio 1.42.)E 1.108Suponha que todos os vrtices de um grafo G tm grau par. ver-dade d(X) par para todo subconjunto X de VG?Suponha que todos os vrtices de umgrafo Gtmgrau mpar. verdaded(X) mpar para todo subconjunto prprio e no vazio X de VG?E 1.109(CORTE GRANDE) Mostre que em todo grafo (com dois ou mais vr-tices) existe um corte que contm pelo menos a metade das arestas do grafo.Em outras palavras, mostre que todo grafo G tem um conjunto X de vrticestal que d(X) 12 m(G).E 1.110(BOM!) Mostre que todo grafoG tem um subgrafo gerador bipar-tido H que satisfaz a condio dH(v) dG(v)/2 para todo vrtice v.Operaes sobre cortesE 1.111(DIFERENA SIMTRICA) Mostre que (XY ) = (X) (Y ) paraquaisquer conjuntosXeYde vrtices de um grafo. Aqui,A B denota a 1diferena simtrica26dos conjuntos A e B.E 1.112(SUBMODULARIDADE) Mostre que emqualquer grafo G, paraquaisquer subconjuntos X e Yde VG, tem-sed(X Y ) + d(X Y ) d(X) + d(Y ) .26A diferena simtrica de dois conjuntos e1 o conjunto(1) (1). fcilvericar que 1= ( 1) ( 1).FEOFILOFF Cortes 32E 1.113(Consequncia de 1.112) Sejamv ew dois vrtices de um grafoG.Um isolador qualquer subconjunto de VG que contm v mas no contm w.Um isolador X mnimo se d(X) d(X

) para todo isolador X

. Mostre quese X e Yso isoladores mnimos ento XYe XYtambm so isoladoresmnimos.FEOFILOFF Caminhos e circuitos em grafos 331.9 Caminhos e circuitos em grafosSe um caminho v1 vp subgrafo de G, dizemos simplesmente que v1 vpumcaminhoemGouqueGcontmocaminhov1 vp. Por exem-plo, se dissermos queu v wz um caminho emG, devemos entender que(u, v, w, z, uv, vw, wz) um subgrafo de G. Conveno anloga vale paracircuitos que so subgrafos de G.27Se v e w so os dois extremos de um caminho em G, cmodo dizer que ocaminho vai dev aw ou que comea emv e termina emw. Mas precisousar estas expresses com cautela pois caminhos so objetos estticos e notm orientao.Um caminho Pem um grafo G mximo se G no contm um caminho de mximocomprimento maior que o deP. Um caminhoPemG maximal se no maximalexiste caminho P

em G tal que P P

.ExercciosEF 1.114Seja G o grafo representado na gura 1.8. verdade que e a b f g k um caminho em G? verdade que e a b f c d um caminho em G? verdadeque e a b f g k j i e um circuito em G?E 1.115SejaG o grafo da gura 1.8. verdade queG contm um circuitode comprimento 6? verdade que G contm um circuito induzido de com-primento 6? (Ou seja, verdade que existe um subconjunto X de VG tal queG[X] um circuito de comprimento 6?) Exiba um caminho induzido de com-primento 3 em G. (Ou seja, exiba um conjunto X de vrtices tal que G[X] um caminho de comprimento 3.) Exiba um caminho de comprimento 3 emG que no seja induzido.EU 1.116SejamPum caminho com extremosx ex

e sejaQ um caminhocom extremos y e y

. Suponha que VP VQ ,= . Mostre existe um caminhocom extremos x e y no grafo P Q (veja seo 1.5).Pergunta adicional: Se z um vrtice em VP VQ, verdade que existe,no grafo P Q, um caminho de x a y que passa por z?E 1.117Encontre um circuito de comprimento mnimo no grafo de Petersen(veja exerccio 1.15 ou gura 1.6). Encontre um circuito de comprimento m-ximo no grafo de Petersen. Encontre um caminho de comprimento mximono grafo de Petersen.27EugostariadedizersubcaminhodeGesubcircuitodeG. Infelizmente, essasexpresses no so usadas na literatura.FEOFILOFF Caminhos e circuitos em grafos 34EF 1.118Verique que o grafo do cavalo 3-por-3 contm um circuito. Encon-tre o circuito mais longo que puder no grafo do cavalo 4-por-4.E 1.119Encontre o mais longo caminho que puder no grafo da dama. En-contre o mais longo circuito que puder no grafo da dama.E 1.120OgrafodeHeawood28temconjuntodevrtices 0, 1, 2, . . . , 13.Cada vrtice i vizinho de (i + 1) mod 14 e de (i + 13) mod 14.29Alm disso,cadai vizinho de um terceiro vrtice, que depende da paridade dei: sei par ento ele vizinho de(i + 5) mod 14 e sei mpar ento ele vizi-nho de(i + 9) mod 14. Faa uma gura do grafo. Encontre um circuito decomprimento mnimo no grafo de Heawood.E 1.121Suponha que um grafo G tem um circuito mpar. Mostre que G tam-bm tem um circuito mpar induzido, ou seja, que existe um conjunto X devrtices tal que G[X] um circuito mpar. Algo anlogo vale para circuitospares?E 1.122D umexemplo de umgrafo Ge umcaminho emGque seja maximalmas no seja mximo.EU 1.123(BOM!) Suponha qued(v) kpara todo vrticevde um grafo.Mostre que o grafo tem um caminho de comprimento pelo menos k. (Suges-to: tome um caminho maximal.)30O problema poderia ter sido formulado assim: mostre que todo grafo Gcontm um caminho com pelo menos (G) + 1 vrtices.EU 1.124Seja G um grafo tal que (G) 2. Prove que G tem um circuito.E 1.125Seja G um grafo tal que (G) 3. Prove que G tem um circuito decomprimento par.E 1.126Seja k um nmero natural maior que 1. Suponha que d(v) k paratodo vrtice v de um grafo G. Mostre que Gtem um circuito de comprimentopelo menosk + 1. Em outras palavras, mostre queG tem um circuito compelo menos (G) + 1 vrtices, desde que (G) > 1. (Veja exerccio 1.123.)E 1.127Seja G um grafo com n > 1 vrtices e pelo menos 2n arestas. Mostreque G tem um circuito de comprimento 2 log2n.28Percy John Heawood (1861 1). (Veja verbete na Wikipedia.)29A expresso i mod , denota o resto da diviso de i por ,.30O captulo 15 discute o importante mas difcil problema de encontrar um caminho decomprimento mximo em um grafo.FEOFILOFF Caminhos e circuitos em grafos 35E 1.128Seja G um grafo sem circuitos de comprimento menor que 5. Mostreque n(G) (G)2+ 1.E 1.129Mostre que todo grafo G com pelo menos k n(G) arestas contm umcaminho de comprimento k. (Combine os exerccios 1.100 e 1.123.)Caminhos e circuitos versus cortesDizemos que um corte (X) separa um vrtice x de um vrtice y X contm xmas no contm y. ( claro que se (X) separa x de y ento X separa y de x.)E 1.130SejaPum caminho num grafoG. SejaXum conjunto de vrticesque contm um e apenas um dos extremos de P. Mostre que EP (X) ,= .EI 1.131Prove que, para qualquer par(x, y) de vrtices de qualquer grafo,vale uma e apenas uma das seguintes armaes: (1) um caminho liga x a you (2) um corte vazio separax dey. (Outra maneira de formular a mesmaquesto: prove que existe um caminho de x a y se e somente se nenhum cortevazio separa x de y.)E 1.132(ALGORITMO) Construa um algoritmo eciente que receba vrticesv e w de um grafo G e encontre um caminho que vaqi de v a w ou mostre quetal caminho no existe.Passeios, trilhas e ciclosUm passeio (= walk) em um grafo qualquer sequncia nita (v0, v1, v2, . . . ,vk1, vk) de vrtices tal que vi adjacente a vi1 para todo i entre 1 e k. (Osvrticesdopasseiopodemnoserdistintosdoisadois.) Dizemosqueovrticev0 a origem do passeio e quevk o trmino do passeio. Dizemostambm que o passeio vai de v0 a vk e que o passeio liga v0 a vk.As arestas do passeio so v0v1, v1v2, . . . , vk1vk. O comprimento do passeio o nmero k.Uma trilha (= trail) um passeio sem arestas repetidas, isto , um passeiocujas arestas so distintas duas a duas. claro que o comprimento de umatrilha igual cardinalidade do seu conjunto de arestas.Um passeio simples se os seus vrtices so distintos dois a dois, ou seja,se no tem vrtices repetidos. evidente que todo passeio simples , emparticular, uma trilha.FEOFILOFF Caminhos e circuitos em grafos 36Um passeio(v0, . . . , vk) fechado (= closed) se sua origem coincide com otrmino, ou seja, se v0= vk.Um ciclo (= cycle) uma trilha fechada, ou seja, um passeio fechado semarestas repetidas.31EU 1.133Seja(v0, v1, v2, . . . , vk)umpasseiocomorigemretrminosemumgrafoG. MostrequeGtemumcaminhocomextremosres. Maisespecicamente, mostrehumcaminhocomextremosresnosubgrafo(v0, v1, v2, . . . , vk , v0v1, v1v2, . . . , vk1vk) de G.E 1.134Suponha que(v0, . . . , vk) uma passeio fechado em um grafoG. verdade que G tem um circuito?EU 1.135Seja (v0, v1, v2, . . . , vk) um ciclo em um grafo G. Mostre que h umcircuito no subgrafo (v1, v2, . . . , vk, v0v1, v1v2, . . . , vk1vk) de G.EF 1.136Sejam v0, . . . , v5 alguns vrtices (no necessariamente distintos doisa dois) de umgrafo G. Quais das seguintes armaes so verdadeiras: (1) sev0v1v2v3v4v5 um caminho em G ento (v0, v1, v2, v3, v4, v5) um passeio sim-ples; (2) sev0v1v2v3v4v5v0 um circuito emG ento(v0, v1, v2, v3, v4, v5, v0) um ciclo; (3) se(v0, v1, v2, v3, v4, v5) uma trilha entov0v1v2v3v4v5 umcaminho; (4) se(v0, v1, v2, v3, v4, v5, v0) um ciclo entov0v1v2v3v4v5v0 umcircuito.31De acordo com essa denio, um ciclo pode ter comprimento0. J um circuito, pordenio, tem comprimento pelo menos 3.FEOFILOFF Grafos conexos 371.10 Grafos conexosEm qualquer grafo G, dizemos um vrtice v est ligado a um vrtice w se Gcontmumcaminho comextremos v e w. evidente que a relao simtrica:se v est ligado a w ento tambm w est ligado a v.Um grafo conexo (= connected) se seus vrtices so ligados dois a dois. Emoutras palavras, um grafo conexo se v ligado a w para cada par (v, w) deseus vrtices.ExercciosE 1.137Mostre que todo grafo completo conexo. Mostre que todo caminho um grafo conexo. Mostre que todo circuito um grafo conexo.EIF 1.138Sejae uma aresta ev um vrtice de um circuitoO. Mostre que ografo O e conexo. Mostre que O v conexo.EF 1.139Seja e uma aresta e v um vrtice de um caminho P. Em que condi-es P e conexo? Em que condies P v conexo?E 1.140O grafo do cavalo3-por-3 conexo? O grafo do bispot-por-t co-nexo?E 1.141Mostre que o grafo Qk conexo (qualquer que seja k).EF 1.142Suponha que umsubgrafo gerador H de umgrafo G conexo. Mos-tre que G conexo.EF 1.143SejaG um grafo eXuma parte prpria e no vazia deVG (isto , X VG). Mostre que o grafo G(X) no conexo.EI 1.144Mostre que um grafoG conexo se e somente se(X) ,= paratodo subconjunto prprio e no vazio X de VG (ou seja, para todo X tal que X VG).EF 1.145Quais das seguintes armaes soverdadeiras paraqualquergrafo G?1. Se G conexo ento (X) ,= para todo X tal que X VG.2. SeG conexo ento(X) ,= para algumXtal que X VG. 3. Se(X) ,= para todo X tal que X VG ento G conexo. 4. Se (X) ,= para algum X tal que X VG ento G conexo.FEOFILOFF Grafos conexos 38E 1.146(ALGORITMO) Construa um algoritmo eciente que decida se umgrafo conexo. O que o seu algoritmo devolve (ou seja, qual a sada doalgoritmo)?E 1.147Seja G um grafo (U, W)-bipartido tal que [U[ k e [W[ k. Mostreque se (G) > k/2 ento G conexo.E 1.148Sejam x, y e z trs vrtices de um grafo conexo G. verdade que Gtem um caminho que contm x, y e z?E 1.149Mostre que dois vrtices v e w de umgrafo esto ligados se e somentese existe um passeio de v a w. (Veja m da seo 1.4.)EF 1.150Seja X um conjunto de vrtices de um grafo conexo G. verdadeque G[X] conexo?EU 1.151SejamPeQ dois caminhos tais queVP VQ ,= . Mostre que ografo P Q (veja seo 1.5) conexo.EU 1.152Sejam G e H dois grafos conexos tais que VG VH ,= . Mostre queo grafo G H (veja seo 1.5) conexo.EF 1.153Sejam G e Hdois grafos. Quais das seguinte implicaes so ver-dadeiras? 1. Se VG VH= ento G H no conexo. 2. Se G H conexoento VG VH ,= . 3. Se G H no conexo ento VG VH= .EU 1.154(BOM!) Suponha que um certo vrtice x de um grafo G ligado acada um dos demais vrtice. Mostre que G conexo.EU 1.155SejaOum circuito em um grafo conexoG. Mostre queG e conexo para toda aresta e de O.E 1.156Seja v um vrtice de grau 1 num grafo conexo G. Mostre que o grafoGv conexo.E 1.157Suponha queG um grafo conexo com pelo menos uma aresta. verdade que existe uma aresta a tal que Ga conexo?EF 1.158Seja G um grafo conexo e seja v um dos extremos de um caminhomaximal (veja pgina 33) em G. verdade que G[N(v)] conexo?FEOFILOFF Grafos conexos 39E 1.159(BOM!) Mostre que todo grafo conexo G com dois ou mais vrticestem um vrtice v tal que Gv conexo.EI 1.160Prove que todo grafo conexo com n vrtices tem pelo menos n 1arestas. Em outras palavras, mostre que em todo grafo conexo G tem-sem(G) n(G) 1 .E 1.161Seja G um grafo tal que (G) n(G)/2. Mostre que G conexo.E 1.162Seja G um grafo tal que (G) n(G)/2|.32Mostre que G conexo.(Mostre que o resultado o melhor possvel no seguinte sentido: existemgrafos desconexos com d(v) n/2| 1 para todo vrtice v.)EF 1.163Suponha que d(v) + d(w) n 1 para todo par (v, w) de vrticesno adjacentes de um grafo G. Mostre que G conexo.E 1.164Mostrequetodografocomnvrticesemaisque12(n 1)(n 2)arestas conexo.EF 1.165SejaG um grafo ekum nmero natural. Mostre qued(X) kpara todo X tal que X VG se e somente se G F conexo para todosubconjunto Fde EG tal que [F[ < k.E 1.166Prove que se um grafo G no conexo ento seu complemento G conexo.E 1.167Prove que se um grafoG conexo ento o grafo das arestasL(G)tambm conexo.E 1.168Sejam P e Q dois caminhos de comprimento mximo em um grafoconexo G. Mostre que P e Q tm um vrtice em comum.32Por denio, r| o nico inteiro i tal que i r < i + 1.FEOFILOFF Componentes 401.11 ComponentesUmsubgrafo conexo H de umgrafo G maximal (comrelao propriedadede ser conexo) se no faz parte de um subgrafo conexo maior, ou seja, se noexiste grafo conexo H

tal que H H

G.Um componente de um grafo G qualquer subgrafo conexo maximal de G.O nmero de componentes de um grafo G ser denotado por c(G)c(G) . claro que um grafo conexo se e somente se tem um s componente.ExercciosE 1.169Quantos componentes tem o grafo do cavalo 3-por-3? Quantos com-ponentes tem o grafo do bispo t-por-t?E 1.170Seja a uma aresta e v um vrtice de um caminho P. Mostre que P atem exatamente dois componentes. Mostre que P v tem um ou dois com-ponentes.E 1.171Seja a uma aresta e v um vrtice de um circuito O. Mostre que O atem um s componente. Mostre que O v tem um s componente.E 1.172Seja P umcaminhoe Sumaparteprpriade VP. Provequec(P S) [S[ + 1.E 1.173Seja O um circuito e S uma parte de VO tal que 0 < [S[ < n(O). Proveque c(O S) [S[.EU 1.174Seja G um grafo tal que (G) 2. Descreva os componentes de G.E 1.175Seja G um grafo 2-regular. Mostre que cada componente de G umcircuito.EF 1.176Mostre que, emqualquer grafo, todo vrtice pertence a ume apenasum componente. Em outras palavras, mostre que em qualquer grafoG osconjuntos de vrtices de todos os componentes formam uma partio de VG.EF 1.177Seja H um componente de um grafo G. Mostre que G(VH) = .FEOFILOFF Componentes 41EF 1.178Seja X um conjunto de vrtices de um grafo G. Prove ou desprovea seguinte armao: Se X VG e G(X)= ento G[X] um compo-nente de G.E 1.179Seja X umconjunto no vazio de vrtices de umgrafo G. Mostre queG[X] um componente de G se e somente se G[X] conexo e G(X) = .EI 1.180Sejax um vrtice de um grafoG. SejaXo conjunto de todos osvrtices ligados a x. Mostre que G[X] um componente de G.E 1.181(ALGORITMO) Construa um algoritmo eciente que receba um vr-ticex de um grafoG e calcule o conjunto de vrtices do componente deGque contm x.E 1.182(ALGORITMO) Construaumalgoritmoecientequecalculeon-mero de componentes de qualquer grafo dado.EF 1.183SejaXumconjuntodevrticesdeumgrafoG. Suponhaquec(GX) > [X[ + 1. verdade que G no conexo?E 1.184Seja H umsubgrafo gerador de umgrafo G. Mostre que c(H) c(G).E 1.185Sejae uma aresta de um grafoG. Mostre quec(G) c(G e) c(G) + 1 para qualquer aresta e de G.E 1.186Sejav um vrtice de um grafo conexoG. Mostre que o nmero decomponentes de Gv no passa de d(v).E 1.187Seja G um grafo conexo e suponha que d(v) par para todo vrtice vdeG. Mostre que, para qualquer vrticev, o nmero de componentes deGv no passa de12d(v).E 1.188(ALGORITMO) Construa umalgoritmo eciente para o seguinte pro-blema: Dado um grafo G e um nmero natural k, encontrar um conjunto Xde no mais que k vrtices que maximize o nmero de componentes de GX.EI 1.189Mostre que em todo grafo G tem-sem(G) n(G) c(G) .E 1.190Sejam n, m e c os nmeros de vrtices, de arestas e de componentes,respectivamente, de um grafo G. Mostre quem 12(n c)(n c + 1) .FEOFILOFF Pontes e grafos aresta-biconexos 421.12 Pontes e grafos aresta-biconexosUma ponte (= bridge) ou istmo (= isthmus) ou aresta de corte (= cut edge) emum grafo qualquer aresta e tal que e um corte. Em outras palavras, e uma ponte se e = (X) para algum conjunto X de vrtices.Um grafo aresta-biconexo (= edge-biconnected) se cada par de seus vrtices ligado por dois caminhos sem arestas em comum.33Em outras palavras, ografo aresta-biconexo se, para cada par (r, s) de seus vrtices, existem doiscaminhos Pe Q, ambos com extremos r e s, tais que EP EQ= . Convmrestringir esta denio a grafos com trs ou mais vrtices. Assim, grafoscom um vrtice apenas no so considerados aresta-biconexos.ExercciosEF 1.191O grafo do bispo t-por-t tem pontes?E 1.192Suponha que um grafoG tem uma ponteuv. Que aparncia tem amatriz de adjacncias de G? Que aparncia tema matriz de incidncias de G?EF 1.193Seja uv uma aresta de um grafo G. Mostre que uv uma ponte se esomente se u v o nico o caminho em G que vai de u a v.EF 1.194Seja e uma aresta de um grafo G. Mostre que e uma ponte se e so-mente se Ge temmais componentes que G. (Veja tambmo exerccio 1.185.)E 1.195Suponha que todos os vrtices de um grafo G tm grau par. Mostreque G no tem pontes.E 1.196Sejar um nmero natural maior que1. SejaG um grafo bipartidor-regular. Prove que G no tem pontes.EF 1.197Seja G o grafo que tem vrtices a, b, . . . , g e arestas ab, bc, cd, de, ec,bf, gb, ag. Quais das arestas pertencem a circuitos? Quais das arestas sopontes?EI 1.198(PONTESVERSUSCIRCUITOS) Prove que, em qualquer grafo, todaaresta de um e apenas um de dois tipos: ou ela pertence a um circuito dografo ou uma ponte.33Em algumas reas da Computao, diz-se que um tal grafo tolerante a falhas.FEOFILOFF Pontes e grafos aresta-biconexos 43E 1.199Queaparnciatemumgrafosetodasassuasarestassopontes?Que aparncia tem um grafo se cada uma de suas arestas pertence a um cir-cuito?E 1.200SejaGumgrafoconexoeXumapartedeVGtalqued(X) =1.Mostre que os grafos induzidos G[X] e G[X] so ambos conexos.E 1.201(ALGORITMO) Construaumalgoritmoqueencontreaspontesdeum grafo.EF 1.202Mostre que todo circuito aresta-biconexo. Mostre que caminhosde comprimento no nulo no so aresta-biconexos.E 1.203O grafo do bispo3-por-3 tem dois componentes. Mostre que cadacomponente aresta-biconexo.EF 1.204Seja G um grafo aresta-biconexo. Mostre que G conexo e no tempontes.EI 1.205(RECPROCADE 1.204) Seja G um grafo conexo, sem pontes, comtrs ou mais vrtices. Mostre queG aresta-biconexo.34(Compare com oexerccio 1.131.)EF 1.206Mostre que m(G) n(G) para todo grafo aresta-biconexo G.34Veja generalizao no captulo 17, exerccio 17.7.FEOFILOFF Articulaes e grafos biconexos 441.13 Articulaes e grafos biconexosUma articulao (= articulation) ou vrtice de corte (= cut vertex) num grafoG um vrtice v tal que Gv tem mais componentes que G.Um grafo biconexo (= biconnected) cada par de seus vrtices for ligado pordois caminhos internamente disjuntos.35Mais precisamente, um grafo biconexo se, para cada par(r, s) de seus vrtices, existem caminhosPeQ,ambos com extremosr es, tais queVP VQ= r, s. Portanto, um grafo biconexo se e somente se cada par de seus vrtices pertence a um circuito.Convm restringir o conceito a grafos com trs ou mais vrtices. Assim, gra-fos com um ou dois vrtice no so considerados biconexos.ExercciosE 1.207Seja v um vrtice de um grafo G. Mostre que v uma articulao se esomente se existemdois vrtices x e y emVGv tais que (1) algumcaminhoem G vai de x a y e (2) todo caminho de x a y contm v.E 1.208Seja v uma articulao de um grafo G. Que aparncia tem a matrizde adjacncias de G? Que aparncia tem a matriz de incidncias de G?EF 1.209 verdade que todo grafo sem articulaes no tem pontes? ver-dade que todo grafo sem pontes no tem articulaes?E 1.210(ALGORITMO) Construa um algoritmo que encontre as articulaesde um grafo.E 1.211Mostre que todo circuito biconexo.E 1.212O grafo do bispo 3-por-3 tem dois componentes. Mostre que apenasum deles biconexo.EF 1.213Mostre que todo grafo aresta-biconexo (com3 ou mais vrtices) biconexo. Mostre que grafos biconexos (com trs ou mais vrtices) no tmpontes.E 1.214(ARTICULAES VERSUS CIRCUITOS) Suponha que todo par de vr-tices de um grafo G pertence a um circuito. Mostre que G no tem articula-es.35Em algumas reas da Computao, diz-se que um tal grafo tolerante a falhas.FEOFILOFF Articulaes e grafos biconexos 45EF 1.215Seja G um grafo biconexo. Mostre que G no tem articulaes.EI 1.216(RECPROCADE 1.215) SejaG um grafo conexo com trs ou maisvrtices. Suponha que G no tem articulaes. Mostre que G biconexo.36E 1.217(COROLRIO DE 1.216) Seja G um grafo conexo com 3 ou mais vr-tices. Suponha que G no tem articulaes. Mostre que todo par de vrticesde G pertence a um circuito.E 1.218Exiba um grafo dotado da seguinte propriedade: quaisquer2 vr-ticesdografopertencemaummesmocircuitomash3vrticesquenopertencem a um mesmo circuito.E 1.219SejaG um grafo conexo sem articulaes. Mostre que se(G) 3entoGtemumvrticevtalqueG vconexoenotemarticulaes.(Compare com o exerccio 1.159 na seo 1.10.)36Veja generalizao no captulo 18, exerccio 18.9.FEOFILOFF Florestas e rvores 461.14 Florestas e rvoresEsta seo trata de duas espcies importantes de grafos: as orestas e as r-vores. rvores podem ser entendidas como uma generalizao de caminhos(veja os exerccios 1.223 e 1.224).Uma oresta (= forest), ou grafo acclico, um grafo sem circuitos. Essa de-nio pode ser reformulada assim: um grafo uma oresta se cada uma desuas arestas uma ponte (veja exerccio 1.220).Uma rvore (= tree) uma oresta conexa. claro que cada componente deuma oresta uma rvore.37Uma folha (= leaf ) de uma oresta qualquer vrtice da oresta que tenhagrau 1.ExercciosEI 1.220Mostre que um grafo uma oresta se e somente se cada uma desuas arestas uma ponte. (Veja o exerccio 1.198.)EF 1.221Mostre que todo caminho uma rvore.EF 1.222Mostre que toda estrela (veja a seo 1.2) uma rvore.E 1.223Seja (v1, v2, v3, . . . , vn) uma sequncia de objetos distintos dois a dois.Para cada j, seja i(j) um ndice em1, . . . , j1. Mostre que o grafo _v1, v2,v3, . . . , vn , v2vi(2),v3vi(3),. . . ,vnvi(n)_ uma rvore. (Compare a maneiracomo o grafo foi denido com a denio de caminho na seo 1.4.) (Com-pare com o exerccio 1.224.)E 1.224Seja T uma rvore. Mostre que existe uma permutao (v1, v2, . . . , vn)deVTdotada da seguinte propriedade: paraj =2, . . . , n, o vrticevj ad-jacente a exatamente um dos vrtices do conjunto v1, . . . , vj1. (Comparecom o exerccio 1.223.)E 1.225Sejae uma das arestas de uma orestaF. Mostre quec(F e) =c(F) + 1.37Em algumas disciplinas, a palavra rvore traz imediatamente mente as ideias depai e lho. No presente contexto, entretanto, as expresses pai de um vrtice e lho deum vrtice no fazem sentido. (Eles s adquirem sentido se um dos vrtices da rvore forescolhido para fazer o papel de raiz. Se : a raiz da rvore ento o pai de qualquer outrovrtice o vrtice adjacente a no nico caminho (veja exerccio 1.227) que liga a :. Todovizinho de que no seja o pai de lho de .)FEOFILOFF Florestas e rvores 47EI 1.226Uma grafoG conexo minimal (ou minimamente conexo) seG conexo mas, para toda arestae, o grafoG e no conexo. Mostre quetoda rvore um grafo conexo minimal. Mostre a recproca: que todo grafoconexo minimal uma rvore.EI 1.227Seja (x, y) um par de vrtices de uma oresta F. Mostre que existeno mximo um caminho em Fcom extremos x e y.E 1.228(RECPROCADE1.227) SuponhaqueumgrafoGtemaseguintepropriedade: para todo par (x, y) de vrtices, existe no mximo um caminhoem G com extremos x e y. Mostre que G uma oresta.E 1.229(ALGORITMO) Construa um algoritmo eciente que decida se umgrafo dado uma rvore.E 1.230Seja v uma folha de uma rvore T. Mostre que T v uma rvore.EU 1.231Mostre que toda rvore com pelo menos uma aresta tem pelo me-nos duas folhas.E 1.232Mostre que toda oresta Ftem pelo menos (F) folhas.EI 1.233(IMPORTANTE) Prove que em toda rvore Ttem-sem(T) = n(T) 1 .(Compare com o exerccio 1.160.)EI 1.234Seja G um grafo conexo G tal que m(G)=n(G) 1. Prove que G uma rvore.E 1.235SejaFuma oresta tal quem(F) =n(F) 1. Prove queF umarvore.EI 1.236Mostre que um grafo F uma oresta se e somente sem(F) = n(F) c(F) .(Compare com o exerccio 1.189.)E 1.237Seja Tuma rvore com dois ou mais vrtices. Seja X o conjunto dosvrtices de T cujo grau maior que 2. Mostre que T tem 2 +

xX (d(x) 2)folhas.FEOFILOFF Florestas e rvores 48E 1.238SejaTumarvorecomvrtices1, . . . , n. Suponhaqueosgrausdos vrtices1, 2, 3, 4, 5, 6 so7, 6, 5, 4, 3, 2 respectivamente e que os vrtices7, . . . , n so folhas. Determine n (e portanto o nmero de folhas da rvore).E 1.239SejaTuma rvore comp + q vrtices. Suponha quep dos vrticestm grau 4 e q so folhas. Mostre que q= 2p + 2.38E 1.240SejaTuma rvore com pelo menos trs vrtices. verdade que ocomplemento Tde T conexo a menos que Tseja um estrela?E 1.241Sejam P, Q, R trs caminhos em uma rvore e T. Suponha que VP VQ ,= , VQ VR ,= e VP VR ,= . Prove que VP VQ VR ,= .E 1.242Mostre que toda oresta planar.38Imagine que os vrtices de grau4 so tomos de carbono e os de grau1 so tomosde hidrognio. O grafo representa ento a molcula do hidrocarboneto CpHq. Veja o exerc-cio 1.5.FEOFILOFF Minors de grafos 491.15 Minors de grafosGrafos dentro de grafos, dentro de grafos.Esta seo introduz duas generalizaes do conceito de subgrafo. Essas gene-ralizaes tm um papel importante no estudo da planaridade (captulo 19),da colorao de vrtices (captulo 8) e de diversos outros problemas sobregrafos.Um grafo H um minor39(= minor), ou subcontrao, de um grafo G se VHminorminor uma subpartio40V1, . . . , Vp de VG tal quecada G[Vi] conexo eVi adjacente a Vj em H somente se h alguma aresta de Vi a Vj em G.A expresso H minor deG tambm usada, num sentido mais geral,para dizer que H isomorfo a um minor de G.Figura 1.10: O grafo direita um minor do grafo esquerda.Um grafo H um minor topolgico (= topological minor) de um grafo G se minortopolgicoVH VG e existe uma funo Pque associa um caminho em G a cada arestade H de tal modo quepara cada arestaxy deH, o caminhoP(xy) tem extremosx ey e notem vrtices internos em VH ese xy e uv so duas arestas distintas de H ento P(xy) e P(uv) no tmvrtices internos em comum.A expresso H minor topolgico deG tambm usada, num sentidomais geral, para dizer que H isomorfo a algum minor topolgico de G.Se H um minor topolgico de G, diz-se tambm que G contm uma sub- subdivisodiviso de H.39Quem sabe melhor dizer menor.40Uma subpartio de um conjunto\ uma coleo \1, . . . , \p de subconjuntos novazios de \tal que \i \j= sempre que i ,= ,.FEOFILOFF Minors de grafos 50(O conceito de minor poderoso. Se um grafo Gno tem subgrafo isomorfoa um determinado grafo H, no possvel inferir quase nada sobre a estru-tura de G. Mas se G no tem um minor isomorfo a H, ento pode-se dizermuita coisa interessante sobre G.)ExercciosEF 1.243SejaHum subgrafo de um grafoG. Mostre queH um minortopolgico de G.EF 1.244Seja H um subgrafo de um grafo G. Mostre que H isomorfo a umminor de G.E 1.245Mostre que um grafo G tem um minor topolgico isomorfo a K3 see somente se G contm um circuito.E 1.246Mostre que um grafo G tem um minor isomorfo a K3 se e somentese G contm um circuito. Procure fazer armaes anlogas com K4 no lugarde K3.E 1.247Mostre que o grafo de Petersen tem um minor isomorfo a K5 (masno tem subgrafo isomorfo a K5).E 1.248Mostre que o grafo de Petersen tem um minor topolgico isomorfoa K3,3.E 1.249Mostre que o grafoQ4 tem um minor topolgico isomorfo aK3,3.Mostre tambm que K5 isomorfo a um minor topolgico do Q4.E 1.250Seja H um minor topolgico de G. Mostre que H isomorfo a umminor de G. Mostre que a recproca no verdadeira.E 1.251SejaHum minor de um grafoG. Suponha que(H) 3. Proveque H isomorfo a um minor topolgico de G.E 1.252D bons exemplos para mostrar que a condio (H) 3 essen-cial no exerccio 1.251.EF 1.253SejaG um grafo biconexo com pelo menos4 vrtices. Mostre quepara toda aresta a de G tem-se que Ga conexo ou G/a conexo.FEOFILOFF Minors de grafos 51E 1.254Prove que a relao -minor-de uma relao de ordem. Mais pre-cisamente, prove que (1) G um minor de G, (2) se H um minor de G e G um minor de H ento H G, (3) se H um minor de G e G um minorde Fento H um minor de F. (Em todas essas armaes, um minorde deve ser entendido com o isomorfo a um minor de.)Prove que a relao -minor-topolgico-de uma relao de ordem.FEOFILOFF Mapas planos e suas faces 521.16 Mapas planos e suas facesJ dissemos na seo 1.6 que, grosso modo, um grafo planar se pode ser de-senhado no plano41sem que as arestas se cruzem. A denio exata envolveos conceitos de curva e mapa plano, que passamos a discutir.Uma curva42 qualquer conjunto de pontos no plano R2que seja topologi-camente homeomorfo ao intervalo fechado [0, 1] da reta. Em outras palavras,um subconjunto c de R2 uma curva se existe uma bijeo topologicamentecontnua do intervalo [0, 1] em c. As imagens de 0 e 1 sob essa bijeo cont-nua so os extremos da curva.43Ummapa plano44 umpar ( V ,E) de conjuntos nitos, sendoVumconjunto\1de pontos do plano eE um conjunto de curvas tal queos extremos de cada curva so elementos deV ,o interior de cada curva disjunto deV ,o interior de cada curva disjunto de todas os demais curvas,duas curvas diferentes tm no mximo um extremo em comum.OselementosdeV soospontos45domapaeosdeEsoascurvasdo pontosmapa.46curvasFigura 1.11: O mapa da esquerda no plano. O mapaplano da direita representa um 14.O grafo de um mapa plano ( V ,E) denido da maneira bvia: o conjunto grafo demapa de vrtices do grafo Ve dois vrtices v e w so adjacentes no grafo se existeuma curva emE com extremos v e w. (Ser necessrio tomar muito cuidadocoma notao, uma vez que a letra V est sendo usada para designar tantoo conjunto de pontos de um mapa plano quanto o conjunto de vrtices do41Do ponto de vista tcnico, seria mais cmodo usar a superfcie da esfera no lugar doplano. Mas os resultados so equivalentes.42Teria sido tecnicamente mais correto dizer arco ou at arco poligonal.43Por denio, os dois extremos so distintos.44Alguns autores dizemgrafo plano. No confunda esta expresso comgrafo planar.45Prero no dizer vrtices para evitar confuso com os vrtices de um grafo.46Prero no dizer aresta para evitar confuso com as arestas de um grafo.FEOFILOFF Mapas planos e suas faces 53correspondente grafo. Analogamente, a letra E est sendo usada para de-signar tanto o conjunto de curvas de um mapa plano quanto o conjunto dearestas do correspondente grafo.)Dizemos que um mapa plano( V ,E) representa um grafoG se o grafo de maparepresentagrafo( V ,E) isomorfo (veja captulo 2) a G. Em geral, um grafo pode ser repre-sentado por muitos mapas planos diferentes.Um grafoG planar se for representvel por um mapa plano, ou seja, seexistir um mapa plano cujo grafo isomorfo a G. Esta a verso precisa dadenio vaga que demos na seo 1.6.ExercciosE 1.255Veja o jogo de planaridade em www.planarity.net.E 1.256O grafo de Petersen (veja gura 1.6) planar?E 1.257Seja G um K5 (isto , um grafo completo com 5 vrtices). Mostre queGe planar qualquer que seja a aresta e de G. Repita o exerccio com K3,3(veja gura 19.1) no lugar de K5.EF 1.258Mostre que um grafo planar se e somente se cada uma de suascomponentes planar.E 1.259Seja e uma ponte de um grafo G. Mostre que G planar se e somentese Ge planar.Seja v uma articulao de G. Mostre que G planar se e somente se Gv planar.Faces e dualidade planarO suporte de um mapa plano ( V ,E) o conjuntoV

E(trata-se, obvia-mente, de um subconjunto de R2).47Em outras palavras, o suporte do mapa o conjunto de todos os pontos de R2que so pontos do mapa ou pertencema curvas do mapa.Uma face (= face) de um mapa plano( V ,E) qualquer regio do comple-mento do suporte do mapa, ou seja, qualquer componente conexo no sen-47Se A= A1, A2, . . . , Ak ento A denota o conjunto A1 A2 Ak.FEOFILOFF Mapas planos e suas faces 54tido topolgico48 do conjunto R2

_ V

E).A fronteira de cada face formada por pontos e curvas do mapa; o nmero de curvas na fronteira deuma face f o grau de f.Seja G o grafo de um mapa plano M com 3 ou mais pontos. Se G biconexoento as faces deMso bem comportadas: cada face topologicamentehomeomorfa a um disco; a fronteira de cada face corresponde a um circuitono grafo do mapa; cada curva pertence fronteira de exatamente duas facesdiferentes.O grafo das faces, ou grafo dual, de um mapa plano( V ,E) denido daseguinte maneira: os vrtices do grafo so as faces do mapa e duas faces soadjacentes se suas fronteiras tm pelo menos uma curva em comum. (Notequeografodualdenidoapartirdeummapaenoapartirdografodo mapa. Um grafo planar pode ser representado por vrios mapas planosdiferentes, e cada um desses mapas tem o seu grafo dual.)49Umexemplo: o grafo dos estados do Brasil que examinamos no exerccio 1.17 o grafo dual do mapa do Brasil.ExercciosE 1.260Seja( V ,E) um mapa plano e suponha que o grafo do mapa umcaminho. Mostre que ( V ,E) tem apenas uma face.Seja ( V ,E) ummapa plano e suponha que o grafo do mapa umcircuito.Mostre que ( V ,E) tem exatamente duas faces (e as duas faces tm a mesmafronteira).E 1.261Mostre que um mapa plano tem uma e uma s face se e somente seo grafo do mapa uma oresta.E 1.262Considere um mapa plano que representa uma grade p-por-q. Quan-tas faces tem o mapa?E 1.263Seja ( V ,E) um mapa plano que representa uma grade 3-por-4.Faauma gura do grafo das faces (ou seja, do grafo dual) de ( V ,E).48O conceito topolgico de conexo formalmente anlogo ao conceito de conexo dateoria dos grafos: uma parteAdo plano conexa se, para quaisquer pontosr er

emA,existe uma curva com extremos em r e r

cujos pontos esto todos em A.49O estudo da dualidade planar ca mais limpo se a denio de grafo liberalizadapara permitir arestas paralelas (ou seja, duas ou mais arestas diferentes com o mesmo parde pontas) e laos (ou seja, uma aresta com duas pontas iguais). claro que a denio demapa plano deve ser liberalizada de acordo. Prero no adotar essa liberalizao no presentetexto. Para compensar, ser necessrio evitar ocasionalmente grafos que tm articulaes ouvrtices de grau 2.FEOFILOFF Mapas planos e suas faces 55E 1.264Quantas faces tem um mapa plano que representa um Q3?E 1.265Faa uma gura dos grafos das faces de cada um dos mapas planosdesenhados nas guras 1.12 e 1.13.Figura 1.12: Faa uma gura do grafo dualde cada um dos mapas planos da gura.Figura 1.13: Faa uma gura do grafo dualde cada um dos mapas planos da gura.E 1.266SejaGumK5eeumaarestadeG. SejaMummapaplanoquerepresenta Ge. Seja G o grafo das faces (ou seja, o grafo dual) de M. Faauma gura de G. Verique que G planar. Exiba uma representao plana,digamos M, de G. Faa uma gura do grafo das faces de M.E 1.267D um exemplo de um grafo conexo planar que possa ser represen-tado por dois mapas planos com diferentes nmeros de faces.EI 1.268(FRMULADEEULER50) Seja( V ,E) um mapa plano cujo grafo conexo. Mostre que[V [ [E[ +[F[ = 2 , (1.3)onde F o conjunto das faces do mapa. (Verique que a frmula falsa emmapas cujos grafos no so conexos.)50Leonhard Euler (1o 18). Veja verbete na Wikipedia.FEOFILOFF Mapas planos e suas faces 56E 1.269Seja Fo conjunto das faces de um mapa plano ( V ,E). Suponha queo grafo do mapa aresta-biconexo. Mostre que fF d(f) = 2[E[, sendo d(f)o grau da face f.EI 1.270Seja G um grafo planar com 3 ou mais vrtices. Mostre quem(G) 3n(G) 6 . (1.4)(Comece tratando do caso em queG aresta-biconexo.) Como so as facesde um mapa plano com n pontos e exatamente 3n 6 curvas?EF 1.271 verdade que todo grafo G com m(G) 3n(G) 6 planar?E 1.272Deduza da desigualdade (1.4) que K5 no planar.E 1.273SejaG um grafo com3 ou mais vrtices e cintura (veja captulo 14)no inferior a 4. Mostre que se G planar ento m(G) 2n(G) 4. (Comparecom o exerccio 1.270.) Deduza da que K3,3 no planar. Deduza da que Q4no planar.E 1.274Seja G um grafo bipartido com 3 ou mais vrtices. Mostre que se G planar ento m(G) 2n(G) 4.E 1.275SejaG um grafo(U, W)-bipartido. Mostre que seG planar entom(G) 2[U[ + 2[W[ 4.E 1.276Seja Gumgrafo e k umnmero natural no inferior a 3. Suponha queGtem pelo menos12(k+2) vrtices e cintura no inferior a k. Mostre que se G planar ento m(G) (n(G) 2)k/(k 2). (Compare com o exerccio 1.273.)EI 1.277Mostre que todo grafo planar tem pelo menos um vrtice de grauno superior a 5. Em outras palavras, mostre que (G) 5 para todo grafoplanar G.E 1.278D exemplo de um grafo planar que no contm vrtices de graumenor que 5.E 1.279Seja G um grafo bipartido planar. Mostre que (G) 3.E 1.280SejaGumgrafocom11oumaisvrtices. MostrequeGeoseucomplemento G no podem ser ambos planares.FEOFILOFF Mapas planos e suas faces 57E 1.281Um mapa plano auto-dual (= self-dual) se o seu grafo for isomorfoao seu grafo dual. Mostre que se( V ,E) auto-dual ento2[V [ = [E[ + 2.Mostre que nem todo mapa plano ( V ,E) tal que 2[V [ = [E[ + 2 auto-dual.EI 1.282Seja G o grafo de um mapa plano M com 3 ou mais vrtices. Supo-nha que G biconexo e no tem vrtices de grau 2 (ou seja, (G) 3). Seja Go grafo das faces (isto , o grafo dual) do mapa M. Mostre que G planar.SejaM um mapa plano que representaG. SejaG o grafo das facesde M. Mostre que G = G, ou seja, que G isomorfo a G.ED 1.283(TEOREMADE WHITNEY) Todo grafo planar 3-conexo tem essen-cialmente um nico mapa plano. O essencialmente signica que todos osmapas planos so equivalentes. Dois mapas so equivalentes se as fronteirasdas faces (entendidas como conjuntos de arestas) so idnticas.FEOFILOFF Grafos aleatrios 581.17 Grafos aleatriosSejaV oconjunto 1, . . . , neseja ((n)acoleodetodososgrafoscom \((n) conjunto de vrtices V . claro que[((n)[ = 2N, com N:=_n2_.Qualquer propriedade de grafos (como, por exemplo, a propriedade de ser conexo)51dene uma subcoleo de ((n). Assim, convm confundir os con-ceitos de propriedade e subcoleo de ((n). Diremos que quase todografo tem determinada propriedade T(n) selimn[T(n)[[((n)[=1 .Uma maneira de estudar o conjunto ((n) baseada na introduo de umamedidadeprobabilidadenesseconjunto. Sejapumnmeronointervalo(0, 1) e escolha cada elemento deV(2), independentemente, com probabili-dadep. (Veja exerccio 1.17.) SeA o conjunto dos pares escolhidos, ento(V, A) um grafo aleatrio em ((n). A probabilidade de que o grafo (V, A)assimconstrudo seja idntico a umdeterminado elemento de ((n) que tenham arestas pm(1 p)Nm.Se p =12 ento todos os 2Ngrafos em((n) so equiprovveis: a probabilidadede obter qualquer um deles 1/2N.ExercciosEF 1.284Mostre que quase todo grafo em((n) tem mais que 10000 arestas.E 1.285Prove que quase todo grafo G em((n) conexo. (Veja a seo 1.17.)51Naturalmente, s estamos interessados em propriedades invariantes sob isomorsmo(veja o captulo 2).Captulo 2IsomorsmoDois grafos so isomorfos se tm a mesma estrutura. A denio precisado conceito um pouco trabalhosa, como veremos a seguir.Um isomorsmo (= isomorphism) entre dois grafos G e H uma uma bijeo1fdeVG emVHtal que, para todo par(v, w) de elementos deVG, v ew soadjacentes em G se e somente se f(v) e f(w) so adjacentes em H.DoisgrafosGeHso isomorfos(= isomorphic)se existeumisomorsmoentre eles. A expresso G =H uma abreviatura de G isomorfo a H.=Em outras palavras, dois grafos so isomorfos se possvel alterar os nomesdos vrtices de um deles de tal modo que os dois grafos quem iguais.PROBLEMADO ISOMORFISMO: Decidir se dois grafos dados so iso-morfos.ExercciosE 2.1Os grafos G e H descritos a seguir so iguais?VG= a, b, c, d EG= ab, bc, cd, daVH= a, b, c, d EH= ab, bd, dc, caE 2.2Os grafos G e H descritos a seguir so isomorfos?VG= a, b, c, d, e, f, g EG= ab, bc, cd, cf, fe, gf, ga, gbVH= h, i, j, k, l, m, n EH= hk, nj, jk, lk, lm, li, ij, inE se trocarmos hk por hn em EH?1Uma bijeo uma funo)de um conjunto em um conjunto1 tal que (1))(o) ,=)(o

) sempre que o ,= o

e (2) para todo / em 1 existe o em tal que / = )(o).59FEOFILOFF Isomorsmo 60E 2.3Os grafos da gura 2.1 so isomorfos?Figura 2.1: Os grafos da gura so isomorfos? Veja exerccio 2.3.E 2.4Mostre que dois caminhos so isomorfos se e somente se tm o mesmocomprimento. Mostre que dois circuitos so isomorfos se e somente se tm omesmo comprimento.E 2.5Faa uma lista de todos os grafos sobre o conjunto de vrtices 1, 2, 3, 4que sejam dois a dois no isomorfos. (Em outras palavras, faa uma lista degrafos dois a dois no isomorfos tal que todo grafo com vrtices 1, 2, 3, 4 sejaisomorfo a algum grafo da lista.)E 2.6Para n = 1, 2, 3, . . . , faa uma lista de todas as rvores sobre o conjuntode vrtices 1, 2, 3, . . . , n que sejam duas a duas no isomorfas.E 2.7Os grafos da gura 2.2 so isomorfos dois a dois?rrr rrrrr rr``````

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````--- ``...rrrr rrrrrr

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.... .

```rrrrrrrrr r//// /`````//// /`````

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Figura 2.2: Os grafos so dois a dois isomorfos? Veja exerccio 2.7.E 2.8Os grafos da gura 2.3 so isomorfos? Justique.E 2.9Os grafos da gura 2.4 so isomorfos? Justique.E 2.10SejaG a grade3-por-4 eHa grade4-por-3 (veja exerccio 1.6). Osgrafos G e H so iguais? so isomorfos?FEOFILOFF Isomorsmo 61rrrrrr rr rr---````\\\\\``

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... r rrr rrr rr r---``

`````

`````...

```Figura 2.3: Veja exerccio 2.8.r rr rrr rr .

r rr rrrrr.

Figura 2.4: Os grafos so isomorfos? Veja exerccio 2.9.E 2.11Mostre que a grade p-por-q e o grafo denido no exerccio 1.7 so iso-morfos.E 2.12Mostre que o cubo Q3 isomorfo a algum subgrafo do Q4.DD 2.13Caracterize os grafos que so isomorfos a um subgrafo do Qk.E 2.14Suponha que os grafos G e H so isomorfos. Mostre que n(G) = n(H)e m(G) = m(H). Mostre que para qualquer isomorsmo f de G em H tem-sedG(v) =dH(f(v)) para todov emVG. Mostre que seG tem um circuito decomprimento k ento H tambm tem um circuito de comprimento k.E 2.15(ALGORITMO) O seguinte algoritmo se prope a decidir se dois gra-fos, G e H, so isomorfos:examine todas as bijees de VG em VH;se alguma delas for um isomorsmo, ento G = H;caso contrrio, G e H no so isomorfos.Discuta o algoritmo.E 2.16(ALGORITMO) O seguinte algoritmo se prope a decidir se dois gra-fos, G e H, so isomorfos:se n(G) ,= n(H) ento G e H no so isomorfos;se :(G) ,= :(H) ento G e H no so isomorfos;se [ \G: dG() = i [ , = [ \H: dH() = i [ para algum iFEOFILOFF Isomorsmo 62ento G e H no so isomorfos;em todos os demais casos, G = H.Discuta o algoritmo.E 2.17Sejam G e H dois grafos e f uma bijeo de VG em VH tal que dG(v) =dH(f(v)) para todo v em VG. verdade que G = H?EF 2.18Certo ou errado? Para mostrar que dois grafosG eHcom mesmonmero de vrtices noso isomorfos basta exibir uma bijeofdeVG emVH e um par de vrtices u e v em VG tal que (1) uv EG mas f(u)f(v)/ EHou (2) uv/ EG mas f(u)f(v) EH.E 2.19Seja ( o conjunto de todos grafos que representam os alcanos que tmfrmulaC4H10. (Veja exerccio 1.5.) Cada um desses alcanos tem 4 vrticesde grau 4 e 10 vrtices de grau 1. Quantos grafos dois-a-dois no isomorfosh em(?E 2.20Mostre que o grafo das arestas (veja o exerccio 1.24) de um K5 iso-morfo ao complemento do grafo de Petersen.E 2.21 verdade que todo grafo isomorfo ao grafo das arestas (veja exerc-cio 1.24) de algum outro grafo?E 2.22Seja Xum conjunto de vrtices de um grafo G. Suponha que o sub-grafo induzido G[X] uma estrela (veja a seo 1.2) com 4 vrtices. Mostreque Gno isomorfo ao grafo das arestas (veja exerccio 1.24) de outro grafo,ou seja, que no existe grafo H tal que G = L(H).E 2.23Seja G o grafo de Petersen. Dados quaisquer dois vrtices u e v de G,mostre que existe um isomorsmo de G em G (isomorsmos desse tipo soconhecidos como automorsmos) que levau emv. Dadas quaisquer duasarestas uv e xy de G, mostre que existe um isomorsmo de G em G que levauv em xy (ou seja, leva u em x e v em y ou leva u em y e v em x).E 2.24Um grafo auto-complementar se for isomorfo ao seu complemento.Mostre que se G um grafo auto-complementar ento n(G) := 0(mod4) oun(G) := 1(mod4).22A expresso r:=i (mod4) signica que o resto da diviso de r por 4 e o resto dadiviso dei por4 so iguais, ou seja, quer mod 4=i mod 4. Em outras palavras,r i divisvel por 4.FEOFILOFF Isomorsmo 63DD 2.25Encontre uma caracterizao eciente de grafos no isomorfos. Emoutras palavras, encontre uma propriedade A que seja fcil de vericar e quetorne verdadeira a seguinte armao: Dois grafos G e H no so isomorfosse e somente se A.DD 2.26(ALGORITMO) Esboceumalgoritmorpidoqueresolvaopro-blema do isomorsmo (isto , decida se dois grafos dados so isomorfos).FEOFILOFF Isomorsmo 64Captulo 3Sntese de grafos com graus dadosUm grafo G realiza uma sequncia (g1, g2, . . . , gn) de nmeros naturais1se osvrtices do grafo so 1, 2, . . . , n e d(i) = gi para todo i.Umasequncia(g1, g2, . . . , gn)denmerosnaturaisgrcaseexisteum sequnciagrcagrafo que a realize.PROBLEMA DA SNTESE: Dada uma sequncia de nmeros naturais,decidir se ela ou no grca.Esse problema s vezes chamado de graph design problem.ExercciosE 3.1Considere as sequncias (2, 2, 0), (1, 1, 2, 2), (0, 3, 1, 0), (0, 1, 2, 2, 3),(3, 3, 2, 2, 1), (6, 6, 5, 4, 3, 3, 1) e (7, 6, 5, 4, 3, 3, 2). Quais delas so grcas?E 3.2Suponha que (g1, g2, . . . , gn) uma sequncia grca. Mostre que gi n 1 para todo i e que gi par. Formule a recproca; ela verdadeira?E 3.3Mostrequeumasequncia(g1, g2, . . . , gn)grcaseesomenteseasequncia(ng11, ng21, . . . , ngn1)grca. (Estefatopodeserusado como base de um algoritmo que reconhece sequncias grcas.)E 3.4Prove que para cada n 5 existe um grafo 4-regular com n vrtices.1O conjunto dos nmeros naturais 0, 1, 2, . . ..65FEOFILOFF Sntese de grafos com graus dados 66E 3.5 verdade que para cada nmeror existe um grafor-regular? ver-dadequeparacadapar(r, n)denmerostalquer [X[. Em outras palavras, X mximo se [X[ [X[ para todo con-junto estvel X.PROBLEMADOCONJUNTOESTVELMXIMO: Encontrar um con-junto estvel mximo num grafo dado. importante no confundir mximo com maximal. Um conjunto estvel X

maximal se no faz parte1de um conjunto estvel maior, ou seja, se no maximalexiste conjunto estvel X tal que X X

.2Eis uma variante do problema: Dado um grafo e um nmero natural k, en-contrar um conjunto estvel com k ou mais vrtices. ( claro que essa vari-ante nem sempre tem soluo.)O tamanho de um conjunto estvel mximo em um grafo G denotado por(G) .Em ingls, esse parmetro conhecido como stability number ou independencenumber. Quemsabedeveramoschamardendicedeestabilidadedografo.1Uma parte de um conjunto o mesmo que um subconjunto do conjunto.2A expresso 1 signica 1 subconjunto prprio de , ou seja,1 mas1 ,= .71FEOFILOFF Conjuntos estveis 72ExercciosE 5.1Mostre que o ndice de estabilidade invariante sob isomorsmo.Emoutras palavras, se G e H so grafos isomorfos ento (G) = (H).EF 5.2Encontre um conjunto estvel mximo em um Kn. Encontre um con-junto estvel mximo em um Kn.EF 5.3Exiba um grafo e um conjunto estvel maximal que no seja mximo.E 5.4No grafo da gura 5.1, exiba umconjunto estvel maximal que no sejamximo.r r r rr r r r````````````

Figura 5.1: Veja exerccio 5.4.EF 5.5Suponha que X e Yso conjuntos estveis maximais de um grafo. verdade que X e Yso disjuntos (ou seja, que X Y= )?EF 5.6Calcule um conjunto estvel mximo em um caminho. Calcule umconjunto estvel mximo em um circuito.E 5.7Encontre um conjunto estvel mximo na grade p-por-q.E 5.8Exiba um conjunto estvel mximo no cubo Qk.E 5.9Encontre um conjunto estvel mximo no grafo do cavalo.E 5.10Encontre um conjunto estvel mximo no grafo do bispo.E 5.11Encontre um conjunto estvel mximo no grafo da dama. (Em outraspalavras, disponha o maior nmero possvel de damas no tabuleiro de modoque elas no se ataquem mutuamente.)E 5.12Encontre um conjunto estvel mximo no grafo de Petersen.E 5.13Encontreumconjuntoestvel mximonografodeKneserK(n, k)(veja exerccio 1.16).FEOFILOFF Conjuntos estveis 73E 5.14Encontre um conjunto estvel mximo no grafo dos estados do Brasil(veja exerccio 1.17).E 5.15SejaG um grafo bicolorvel com bicolorao(U, W) e suponha que[U[ [W[. verdade que U um conjunto estvel mximo?EF 5.16SejaHumsubgrafodeumgrafoG. Qual arelaoentre(H)e (G)?EF 5.17SejamGe H dois grafos tais que VGVH= . Mostre que (GH) =(G) +(H).EF 5.18Seja Aa matriz de adjacncias de umgrafo G(veja exerccio 1.3). SejaX um conjunto estvel de G. Que aparncia tem a restrio de A a X X?E 5.19(ALGORITMO) Discuta o seguinte algoritmo para o problema do con-junto estvel mximo:dado um grafo G, examine cada um dos subconjuntos de \G;descarte os subconjuntos que no forem estveis;escolha o maior dos que sobrarem.DD 5.20(ALGORITMO) Inventeumalgoritmorpidoqueresolvaopro-blema do conjunto estvel mximo.Invente, pelo menos, um algoritmo queproduza um conjunto estvel grande.E 5.21Suponha que um grafoG admite bicolorao. verdade que todoconjunto estvel maximal de G mximo? E se G for uma rvore?EF 5.22(ALGORITMO) Construaumalgoritmoqueencontreumconjuntoestvel maximal emqualquer grafo dado. (Sugesto: use uma estratgia gu-losa: em cada iterao, escolha qualquer vrtice que seja razovel.3)E 5.23(ALGORITMO) Oseguintealgoritmoguloso(=greedy) recebeumgrafo G e devolve um conjunto estvel X:A H Genquanto \H ,= faaescolha em \H de modo que [NH()[ seja mnimo3De um modo geral, algoritmos gulosos abocanham o objeto que lhes parece mais sabo-roso na iterao corrente, sem medir as consequncias de longo prazo.FEOFILOFF Conjuntos estveis 74A A 7 NH()H H 7devolva Averdadequeessealgoritmodevolveumconjuntoestvelmximoparaqualquer grafo G dado? E se G for bipartido? E se G for uma rvore?E 5.24(BOM!) Prove que todo conjunto estvel maximalde qualquer grafoG tem pelo menos_n(G)(G) + 1_vrtices.4Deduza da que (G) n(G)(G)+1 para todo grafo G.E 5.25(BOM!) Prove que todo grafo G satisfaz a desigualdade(G)

vVG1d(v) + 1.Ou seja, prove que G tem um conjunto estvel com _ 1d(v)+1_ vrtices.E 5.26SejaGtografodadamat-por-t. Useoexerccio5.25paraesti-mar (Gt).E 5.27Seja X o conjunto estvel produzido pelo algoritmo do exerccio 5.23.Mostre que [X[ vVG1/(d(v) + 1).E 5.28Prove que todo grafo G satisfaz a desigualdade(G) n + 1,sendo n o nmero de vrtices, m o nmero de arestas, e a mdia dos grausdos vrtices de G.E 5.29Digamos que uma cobertura-por-caminhos de umgrafo G uma coleoP1, . . . , Pk de caminhos emGtal que VP1VPk= VG. Suponha que todacobertura-por-caminhos de um grafo G tem pelo menos k caminhos. Mostreque(G) k. Em outras palavras, mostre queG tem um conjunto estvelcom pelo menos k vrtices.4Por denio, ,r| o nico inteiro , tal que , 1 < r ,.FEOFILOFF Conjuntos estveis 75E 5.30(ALGORITMO) Esboceumalgoritmoecientequerecebaumgrafobipartido e devolva um conjunto estvel mximo.5E 5.31Seja G um grafo sem vrtices isolados. Mostre que (G) m(G)/(G) .Em outras palavras, mostre que G no tem conjuntos estveis com mais quem(G)/(G)| vrtices.6E 5.32Sejamn ea dois inteiros positivos. Sejak := n/a| er :=n ka.Seja H o grafo que resulta da unio de r cpias do Kk+1 e a r cpias do Kk(os conjuntos de vrtices das cpias so dois a dois disjuntos). Observe quen(H) = n, m(H) = r_k+12_ + (a r)_k2_e (H) = a .Mostre que (G)>(H) para qualquer grafo G tal que n(G)=n e m(G) (G). Mostre que para cada k existeum grafo G tal que (G) = k e (G) = 2.E 8.43SuponhaqueumgrafoGtemumconjuntoestvelcomkvrtices.Mostre que toda cobertura de VG por cliques usa pelo menos k cliques. De-duza da que (G) (G).E 8.44Suponha que um grafo G no tem subgrafo induzido isomorfo a umcaminho com 4 vrtices. Mostre que (G) = (G).E 8.45Suponha que um grafo G no tem subgrafo induzido isomorfo a K1,3nem a K4e. Mostre (G) (G) + 1.6Uma tal clique pode ser usada como certicadoda minimalidade de uma colorao.Reciprocamente, uma tal colorao pode ser usada como certicadoda maximalidade daclique.7Perfect Elimination Scheme.FEOFILOFF Colorao de vrtices 89E 8.46Seja G um grafo (no necessariamente bicolorvel) e seja R, S umapartio de VG. Suponha ainda que d(R) < k (ou seja, h menos que k arestascom uma ponta emR e outra emS). Suponha que os grafosG[R] eG[S]admitem coloraes de vrtices comk cores apenas. Mostre queG admiteuma colorao de vrtices com k cores.EI 8.47(TEOREMA DE GALLAI E ROY8) Para qualquer orientao acclica9Dde um grafo G, seja l(D) o comprimento de um caminho orientado10mximoem D. Ento(G) = 1 + minDl(D) .DD 8.48(ALGORITMO) Inventeumalgoritmorpidoqueresolvaopro-blema da colorao de vrtices.Colorao com nmero dado de coresSe o nmero de cores disponveis estiver xo, temos a seguinte variante doproblema da colorao:PROBLEMA DA COLORAO COM NMERO DADO DE CORES: Dadoumnmero natural k e umgrafo G, encontrar uma k-colorao de G.evidentequeoproblemanemsempretemsoluo. Oproblemada2-colorao, por exemplo, equivale ao problema de decidir se um dado grafo bicolorvel (veja exerccio 4.14).E 8.49O seguinte algoritmo recebe um grafo G e promete devolver uma bi-colorao deG. Cada iterao comea com um par(X1, X2) de conjuntosestveis; a primeira pode comear com X1=X2= . Cada iterao consisteno seguinte:CASO 1:A1 A2= \G.Devolva A1, A2 e pare.CASO 2:A1 A2 ,= \G.Escolha um vrtice em \G(A1 A2).8Publicado em 1966 por Tibor Gallai e em 1967, independentemente, por Bernard Roy.9Uma orientao de um grafo consiste na substituio de cada aresta n pelo par orde-nado (, n) ou pelo par ordenado (n, ). Um tal par ordenado chamado arco. O resultado um grafo dirigido. Um grafo dirigido1 acclico se no tem circuitos orientados. Umcircuito orientado se todos os seus arcos so dirigidas no mesmo sentido.10Um caminho orientado se todos os seus arcos so dirigidas no mesmo sentido.FEOFILOFF Colorao de vrtices 90Escolha i em1, 2 tal que Ai estvel.Comece nova iterao com Ai no papel de Ai.O algoritmo cumpre a promessa (ou seja, produz uma 2-colorao dos vrti-ces do grafo)?E 8.50O seguinte algoritmo guloso recebe um grafoG e promete devolveruma 3-colorao de G.Cada iterao comea com conjuntos estveis X1, X2eX3; aprimeirapodecomearcomX1=X2=X3= . Cadaiteraoconsiste no seguinte:CASO 1:A1 A2 A3= \G.Devolva A1, A2, A3 e pare.CASO 2:A1 A2 A3 ,= \G.Escolha um vrtice em \G(A1 A2 A3).Escolha i em1, 2, 3 tal que e Ai estvel.Comece nova iterao com Ai no papel de Ai.O algoritmo cumpre o prometido?E 8.51Considere o seguinte algoritmo guloso, que recebe um grafo G e pro-mete devolver uma 3-colorao de G:\ \Genquanto \ ,= faaescolha n em \i 1enquanto N(n) Ai ,= faa i i + 1Ai Ai n\ \ Aidevolva A1, A2, A3O algoritmo cumpre o que prometeu?E 8.52Mostre que o grafo de Petersen (gura 1.6) no admite 3-colorao.E 8.53Quantasarestasnomximopodeterumgrafocomnvrticesqueadmite uma 3-colorao dos vrtices?E 8.54Imagine uma grade em que todos os vrtices exceto um esto colo-ridos. Cada vrtices colorido tem uma de 3 possveis cores. Invente umaheurstica da troca de cores em componentes bicoloridas (compare com oexerccio 12.20) para obter, a partir da colorao parcial dada, uma coloraode todos os vrtices com apenas 3 cores.FEOFILOFF Colorao de vrtices 91E 8.55Sejam I e J conjuntos estveis num grafo G e suponha I J= . SejaXo conjunto dos vrtices de um componente do grafo bipartidoG[I J].Mostre que o conjunto I X estvel no grafo G.E 8.56(ALGORITMO) Descreva uma heurstica11de colorao de vrtices ba-seadano exerccio8.55. (Noincio decadaiterao temosumacoloraoparcial dos vrtices; cada iterao escolhe um vrtice no colorido e procuraatribuir a ele uma das cores j usadas.)DD 8.57Como se sabe, grafos 2-colorveis so caracterizados pela ausnciade circuitos mpares. Invente uma boa caracterizao dos grafos 3-colorveis.Invente uma boa caracterizao dos grafos k-colorveis.DD 8.58(ALGORITMO) Inventeumalgoritmorpidoqueresolvaopro-blema da 3-colorao de vrtices.12DD 8.59(ALGORITMO) Seja k um nmero natural maior que 3. Invente umalgoritmo rpido que resolva o problema da k-colorao de vrtices.Colorao de grafos planaresGrafos planares podem ser coloridos com poucas cores.E 8.60Mostreque(G) 6paratodografoplanar G. (Vejaosexerc-cios 1.277 e 8.30.)E 8.61Mostre que (G) 5 para todo grafo planar G. (Veja exerccios 1.277,8.54 e 8.56.)E 8.62(ALGORITMO) Construa umalgoritmo que produza uma 5-coloraodos vrtices de qualquer grafo planar dado.EDD 8.63(TEOREMA DAS QUATRO CORES13) Mostre que todo grafo planaradmite uma colorao de vrtices com 4 ou menos cores. Em outras palavras,11SegundoWilf (emAlgorithms andComplexity, Prentice-Hall, 1986), heursticas somethods that seem to work well in practice, for reasons nobody understands.12No se conhece um algoritmo rpido que decida se um grafo 3-colorvel. Em termostcnicos, esse problema de deciso NP-completo. Veja observao na pgina 5.13Demonstrado em 1976 por Kenneth Appel e Wolfgang Haken. Demonstrao simpli-cada em 1997 por Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul D. Seymour e Robin Thomas. Vejaas pginas The four color theorem e Four-Color Theorem.FEOFILOFF Colorao de vrtices 92mostre que(G) 4para todo grafo planar G.EF 8.64Mostre que existem grafos planares que no admitem colorao devrtices com 3 cores apenas.E 8.65Seja G o grafo dos estados do Brasil (veja exerccio 1.17). Mostre que(G) = 4.EDD 8.66(ALGORITMO) Construa um algoritmo que produza uma4-colorao dos vrtices de qualquer grafo planar dado.E 8.67Mostre que(G) 14n(G)para todo grafo planarG. (Seria muitointeressante ter uma prova desse fato que no dependesse do teorema dasquatro cores, exerccio 8.63.)Colorao versus minorsEstude antes o captulo 19 (Planaridade).ED 8.68Prove que aseguinte conjecturade Hajs14 falsa: ParatodografoG, se(G) k entoG tem um minor topolgico (veja seo 1.15)isomorfo a Kk.E 8.69Seja G um grafo tal que (G) 3. Mostre que G tem um minor (vejaseo 1.15) isomorfo a K3. (Compare com o exerccio 8.38.)E 8.70SejaG um grafo tal que(G) 4. Mostre queG tem um minorisomorfo a K4.EDD 8.71SejaG um grafo tal que(G) 5. Mostre queG tem um mi-nor isomorfo aK5. (Isto equivalente ao teorema da Quatro Cores, exerc-cio 8.63.)DD 8.72(CONJECTURADE HADWIGER15) Para todo nmero natural k 2e todo grafo G, se (G) k ento G tem um minor isomorfo a Kk. (Esta uma profunda generalizao do teorema da Quatro Cores, exerccio 8.63.)14A conjectura foi proposta por G. Hajs, em 1961.15A conjectura foi proposta por H. Hadwiger, em 1943.FEOFILOFF Colorao de vrtices 93Colorao de grafos aleatriosE 8.73Seja um nmero real positivo. Mostre que(G) >12 +nlog2npara quase todo grafo G em((n). (Veja a seo 1.17.)ED 8.74Seja um nmero real positivo menor que 2. Mostre que(G) [M[. Acardinalidade de umemparelhamento mximo numgrafoG denotada por

(G) .A propsito, um emparelhamento M

maximal se no faz parte de um em-parelhamento maior, ou seja, se no existe um emparelhamentoMtal queM M

.O problema do emparelhamento um caso particular do problema do con-junto estvel (veja o exerccio 9.14). Embora no saibamos como resolver esteltimo de maneira eciente, sabemos como resolver o primeiro.UmemparelhamentoMperfeito(=perfectmatching)secadavrticedografopontadealgumelementodeM. Eisumaespecializaointeres-sante do problema acima: Encontrar umemparelhamento perfeito numgrafodado. claro que nem todo grafo tem um emparelhamento perfeito; a di-culdade do problema est em decidir se o grafo dado tem ou no tem umemparelhamento perfeito.A seguinte terminologia til no estudo de emparelhamentos:95FEOFILOFF Emparelhamentos 961. Um emparelhamento M satura um vrtice v se (v) M ,= , ou seja, sealguma aresta de M incide em v.2. Um emparelhamento M satura um conjunto X de vrtices se M saturacada vrtice em X.3. Um caminho alternante (= alternating) em relao a um emparelha-mento Mse suas arestas esto alternadamente em Me fora de M. (svezes cmodo dizer M-alternante no lugar de alternante em rela-o a M.)4. Umcaminhodeaumento(=augmentingpath) paraumemparelha-mento M um caminho alternante de comprimento no nulo cujos ex-tremos no esto saturados por M.ExercciosEF 9.1Seja M um conjunto de arestas de um grafo G. Seja H o grafo (VG, M).Mostre que M um emparelhamento em G se e somente se dH(v) 1 paratodo vrtice v de H.EF 9.2Quantas arestas tem um emparelhamento mximo num grafo com-pleto com n vrtices?EF 9.3Quantas arestas tem um emparelhamento mximo em um grafo bi-partido completo?EF 9.4Calcule um emparelhamento mximo em um caminho. Calcule umemparelhamento mximo em um circuito.EF 9.5Suponha que um grafo G tem um emparelhamento perfeito. Mostreque n(G) par.E 9.6Calcule um emparelhamento mximo em um grafo3-regular dotadode circuito hamiltoniano (veja captulo 15).EF 9.7 verdade que todo grafo regular tem um emparelhamento perfeito?EF 9.8Encontre um emparelham