Exercıcios de Probabilidade

Henrique Dantas NederProfessor Associado

Universidade Federal de Uberlandia

10 de novembro de 2014

1. Sabe-se que 80 % dos penaltis marcados a favor do Brasil sao cobradospor jogadores do Flamengo. A probabilidade de um penalti ser conver-tido e 40 a) Qual a probabilidade do penalti ser cobrado por um jogadordo Flamengo e ser convertido?s b) Qual a probabilidade do penalti serconvertido?

2. Marina quer enviar uma carta a Veronica. A probabilidade de queMarina escreva a carta e de 8/10. A probabilidade de que o correionao perca e de 9/10. A probabilidade de que o carteiro entregue e de9/10. Dado que Veronica nao recebeu a carta, qual e a probabilidadecondicional de que Marina nao a tenha escrito?

3. Duas maquinas A e B produzem 3000 pecas em um dia. A maquina Aproduz 1000 pecas, das quais 3 % sao defeituosas. A maquina B produzas restantes 2000, das quais 1 % sao defeituosas. Da producao totalem um dia uma peca e escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que e defeituosa. Qual e a probabilidade de que a peca tenha sidoproduzida pela maquina A?

4. Uma moeda equilibrada e jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos:A: cara na primeira jogada; B: cara na segunda jogada Verifique que Ae B sao independentes.

5. Um exame de laboratorio tem eficiencia de 95 % para detectar umadoenca quando essa doenca existe de fato. Entretanto o teste apontaum resultado “falso positivo” para 1 % das pessoas sadias testadas.Se 0,5 % da populacao tem a doenca, qual e a probabilidade de umapessoa ter a doenca dado que seu exame foi positivo?

6. Um juri de 3 pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cadaum) com probabilidade p e um terceiro jurado que decide por cara oucoroa. As decisoes sao tomadas por maioria. Outro juri tem proba-bilidade p de tomar uma decisao correta. Qual dos juris tem maiorprobabilidade de acerto?

7. Lanca-se um dado nao viciado ate a obtencao do terceiro 6. Seja X onumero do lancamentos em que isto ocorre. Calcule: a) P(X = 10); b)P(X ¿ 10); c) P(X = 10).

8. Aos numeros inteiros de 1 a n sao designadas probabilidades propor-cionais aos seus valores. Determine p(i) para i=1,..,n.

9. Uma moeda e um dado sao lancados e os resultados sao colocados naforma (x,y), onde x representa o resultado da moeda e y representa o

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resultado do dado. Determine o espaco amostral e a probabilidade dosseguintes eventos: a) A: ocorrer cara; b) B: ocorrer numero ımpar; c)C: ocorrer numero 3; d) D: ocorrer A ∪B; e) E: ocorrer A ∩B;

10. Considere A e B dois eventos quaisquer associados a um experimento.Se P (A) = 0, 3 ; P (A∪B) = 0, 8 e P(B)=p, para quais valores de p, Ae B serao: a. eventos mutuamente exclusivos? b. independentes?

11. A probabilidade de que o aluno A resolva um problema e de 2/3, e aprobabilidade de que B o resolva e de 3/4. Se ambos tentarem inde-pendentemente, qual a probabilidade de o problema ser resolvido?

12. Suponha que A, B e C sao acontecimentos tais que:

P (A) = P (B) = P (C) = 14; P (A ∩B) = P (B ∩ C) = 0; P (A ∩ C) = 1

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Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos acontecimentos A,Bou C ocorra.

13. Considere dois acontecimentos A e B tais que:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− 0, 1

P (A/B) = 0, 2

Determine P(B) e P (A/B)

14. Dados dois acontecimentos A e B, tais que:

P (A) = 14, P (B) = 1

3e P (A ∪B) = 1

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Determine

a) Se A e B sao independentes;

b) Se A e B sao mutuamente exclusivos;

c) P (A/B), P (A/B), P (B/A) , P (A/B)

15. Sejam A e B dois eventos independentes. Prove que o complementarde A e o complementar de B sao tambem eventos independentes.

16. Numa amostra constituıda por 100 indivıduos foram obtidos os resul-tados apresentados no quadro seguinte:

com bronquite sem bronquitefumante 40 20nao fumante 10 30

1. Diga justificando os eventos ”ser fumante” e ”ter bronquite” saoindependentes.

2. Calcule aprobabilidade de um individo que e fumante ter bronquite.

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17. Uma certa doenca aparece em cerca de uma pessoa em cada mil numadada populacao. Poe se em funcionamento um certo programa paradetectar a presenca da doenca, sendo utilizado um aparelho que mostraa presenca da doenca em 99 por cento para uma pessoa com a doencae em cinco por cento para uma pessoa sem essa doenca. Pretende sesaber qual e a probabilidade de que uma pessoa com um teste positivotenha realmente a doenca.

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