EXERCÍCIOS DE PRODUTOS E MERCADOS DERIVADOS...

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EXERCÍCIOS DE

PRODUTOS E MERCADOS DERIVADOS

(OPÇÕES

FORWARDS

FUTUROS

& SWAPS)

João Duque

Junho de 2004

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Índice I - OPÇÕES FINANCEIRAS ........................................................................................3

Exercício 1 .............................................................................................................3 Exercício 2 .............................................................................................................4 Exercício 3 .............................................................................................................4 Exercício 4 .............................................................................................................4 Exercício 5 .............................................................................................................5 Exercício 6 .............................................................................................................5 Exercício 7 .............................................................................................................6 Exercício 8 .............................................................................................................6 Exercício 9 .............................................................................................................7 Exercício 10 ...........................................................................................................7 Exercício 11 ...........................................................................................................8 Exercício 12 ...........................................................................................................8 Exercício 13 ...........................................................................................................9 Exercício 14 ...........................................................................................................9 Exercício 15 .........................................................................................................10 Exercício 16 .........................................................................................................10 Exercício 17 .........................................................................................................11 Exercício 18 .........................................................................................................11 Exercício 19 .........................................................................................................12 Exercício 20 .........................................................................................................13 Exercício 21 .........................................................................................................13 Exercício 22 .........................................................................................................14 Exercício 23 .........................................................................................................14 Exercício 24 .........................................................................................................15 Exercício 25 .........................................................................................................15 Exercício 26 .........................................................................................................16 Exercício 27 .........................................................................................................17 Exercício 28 .........................................................................................................18

II - FUTUROS FINANCEIROS..................................................................................19 Exercício 1 ...........................................................................................................19 Exercício 2 ...........................................................................................................20 Exercício 3 ...........................................................................................................21 Exercício 4 ...........................................................................................................21 Exercício 5 ...........................................................................................................21 Exercício 6 ...........................................................................................................22 Exercício 7 ...........................................................................................................22

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I - OPÇÕES FINANCEIRAS

Exercício 1

Usando a informação que lhe é fornecida pelo quadro abaixo sobre as opções cotadas sobre a empresa Worldfoods responda às seguintes alíneas:

OPÇÕES DE COMPRA E DE VENDA SOBRE A WORLDFOODS Preço da acção a 2.54€ no dia 1 de Novembro

PREÇOS OPÇÕES DE COMPRA OPÇÕES DE VENDA DE DATAS DE EXPIRAÇÃO DATAS DE EXPIRAÇÃO

EXERCÍCIO JAN APR JUL JAN APR JUL 2.40€ 25 35 42 6 10 12 2.60€ 14 23 31 14 18 20 2.80€ 7 15 23 27 29 30 3.00€ 3 9 16 47 49 50

a) Quais as opções que estão in-the-money? b) Quais as opções de venda out-of-the-money c) Qual o Valor Intrínseco das opções que expiram em Abril? d) Qual o Valor Temporal das opções com preço de exercício 3.00€? e) Qual o rácio de moneyness das opções de compra com vencimento em Julho? f) Se a dimensão do contrato for de 100 acções, quanto deverá pagar se quiser

comprar um contrato de opções de venda com vencimento em Julho e preço de exercício de 2.80€?

g) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.00€ qual o valor da opção de compra com vencimento nessa data e preço de exercício de 2.60€?

h) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.00€ qual o valor da opção de venda com vencimento nessa data e preço de exercício de 2.60€?

i) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.15€ qual o resultado (lucro / prejuízo) obtido através da compra, hoje, de uma opção de compra com vencimento para essa data e preço de exercício de 2.60€? E se as acções estiverem a cotadas a 2.45€?

j) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.15€ qual o resultado (lucro / prejuízo) obtido através da compra, hoje, de uma opção de venda com vencimento para essa data e preço de exercício de 2.60€? E se as acções estiverem a cotadas a 2.45€?

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Exercício 2

Se as acções da PT estiverem hoje a cotar a 8,25€ e se você tem uma posição curta de 6 contratos sobre opções PT com vencimento dentro de 3 meses com preço de exercício 8,00€, quando as opções estiverem a cotar a 1,20€, qual deve ser o novo preço de mercado para essas opções e quantos contratos deve você comprar para fechar a posição curta se:

a) a empresa proceder a um aumento de capital por incorporação de reservas em que dá a cada accionista uma nova acção por cada 3 acções que detiver em carteira?

b) A empresa proceder a uma distribuição de dividendos através da atribuição de uma acção a cada accionista que detiver 6 acções em carteira?

Exercício 3

Usando a informação do exercício 1, e admitindo que a taxa livre de risco continuamente composta é de 4% mostre se há a possibilidade de criação de carteiras de arbitragem usando os seguintes activos:

a) Uma opção de venda com preço de exercício a 2.60€ e maturidade em Abril, admitindo que as opções são de estilo europeu;

b) Uma opção de venda com preço de exercício a 3.00€ e maturidade em Abril, admitindo que as opções são de estilo americano;

c) Uma opção de compra com preço de exercício a 2.40€ e maturidade em Julho, admitindo que as opções são de estilo europeu;

d) Uma opção de compra e outra de venda com maturidade em Janeiro e preços de exercício a 2.80€, admitindo que as opções são de estilo europeu;

e) Uma opção de compra com preço de exercício a 2.40€ e maturidade em Julho admitindo que as opções são de estilo europeu e admitindo ainda que vai pagar dividendos de 0.20€ em fins de Março.

f) Uma opção de compra e outra de venda com maturidade em Abril e preços de exercício a 2.60€, admitindo que as opções são de estilo americano;

Exercício 4

Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de uma opção de venda e uma opção de compra ambas com preço de exercício de 2.60€ e vencimento em Abril e desenhe os gráficos de resultados:

1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se: 1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€?

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1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€? 2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se:

2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?

3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia?

Exercício 5

Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de uma opção de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.40€ e venda de uma opção de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.80€, e desenhe os gráficos de resultados:

1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se: 1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?

2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se: 2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€?


Exercício 6

Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de uma opção de venda com preço de exercício de 2.60€ e vencimento em Abril e a compra de uma acção, e desenhe os gráficos de resultados:




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Exercício 7

Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de duas opções de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.40€ e a venda a descoberto de uma acção, e desenhe os gráficos de resultados:




Exercício 8

No mercado de opções estão cotadas calls e puts de estilo europeu sobre a PT com vencimento a 9 meses e preço de exercício a 9.00€. As taxas de juro instantâneas sem risco a 9 meses estão a 3,125% - 3,250% (taxas bid e offer, respectivamente). As acções da PT estão neste momento a cotar a 10,15€ - 10,25€ (preços de compra e de venda, respectivamente). A cotação das opções de compra e de venda estão apresentadas no quadro abaixo.

Cotação das Opções Compra (bid)

Venda (ask)

Opções de Compra 1,60€ 1,70€ Opções de Venda 0,10€ 0,15€

Assuma que os custos de transacção além dos spreads de preço apresentados são irrelevantes.

a) Se não houver qualquer pagamento de dividendos até ao vencimento das opções, acha que a relação de paridade Put-Call está quebrada?

b) Continuando a admitir que não vai haver pagamento de qualquer dividendo até ao vencimento das opções, qual será o limite para os preços de compra e de venda no mercado do activo subjacente para que se possam observar condições vantajosas de arbitragem?

c) Admitindo um pagamento de um dividendo de 0,50€ dentro de 6 meses, mas todos os restantes dados inalterados, acha que a relação de paridade Put-Call está quebrada?

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Exercício 9

Em 22 de Março de 2004 a Brisa estava cotada a 5.49€ e a sua empresa quer avaliar opções de compra e de venda sobre a Brisa usando para isso o modelo binomial. Assumindo que a taxa de juro instantânea sem risco está a 2,00% e que a Brisa não distribuirá dividendos até ao vencimento dentro de 6 meses (22 de Setembro de 2004), qual o preço teórico que propõe para as opções com preço de exercício de 5,00€ e usando 3 intervalos de tempo de 2 meses cada para a análise:

a) Se as opções a cotar forem opções de compra europeias? b) Se as opções a cotar forem opções de venda europeias? c) Se as opções a cotar forem opções de compra americanas? d) Se as opções a cotar forem opções de venda americanas?

Exercício 10

No departamento de avaliação de activos financeiros de uma instituição financeira desenvolveu-se a árvore binomial que se apresenta de seguida para estudar o valor de uma opção sobre a PT Multimédia e vencimento a 3 meses (por baixo dos valores em euros para o preço do activo subjacente em cada nódulo encontram-se os valores em euros para o preço do activo derivado em cada nódulo entre parênteses rectos). Como é facilmente observável, assume-se que não há pagamento de dividendos até ao vencimento da opção.

Com base nessa árvore responda às seguintes questões:

a) Que opção se está a valorizar? Defina o tipo de opção (de compra ou de venda) e o estilo (europeu ou americano)

b) Qual o preço de exercício desta opção? c) Qual a volatilidade que se usou nesta árvore? d) Qual a taxa de juro que se usou nesta árvore? e) Qual a probabilidade neutra face ao risco de subida e de descida do activo

subjacente?

23,782222,4480 [4,7822]

21,1887 [3,6057] 21,188720,0000 [2,5262] 20,0000 [2,1887][1,6917] 18,8780 [1,2112] 18,8780

[0,6702] 17,8189 [0,0000][0,0000] 16,8193

[0,0000]

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Exercício 11

As acções do BPI estão hoje cotadas a 3,00 € e você pretende calcular o preço de uma opção de compra americana at-the-money com vencimento a 6 meses. Assuma que a taxa de juro a 6 meses é 5% ao ano e que a empresa não vai pagar dividendos dentro do vencimento da opção. A volatilidade que o mercado espera que se venha a verificar nos próximos 6 meses é 25%, mas a volatilidade histórica dos passados 6 meses foi de 30% e a volatilidade histórica dos últimos 5 anos foi de 20%.

a) Calcule o preço da opção construindo uma árvore binomial com 2 intervalos de tempo.

b) Qual a probabilidade neutra face ao risco da opção se vencer in-the-money?

c) Qual o delta da opção? d) Sem construir uma nova árvore de preços, qual o valor que espera para o

preço da opção se a acção se valorizar instantaneamente 0,20€ e sem que se alterem quaisquer outros parâmetros?

e) Assumindo que vende uma dessas opções de compra e constrói uma carteira neutra face ao risco, qual seria hoje o valor dessa carteira?

Exercício 12

Assuma que as acções do BES estão a cotar a 14,00€ e que as alterações de valor mensais para estes preços são bem representadas por um processo de Wiener do tipo

tS δεδ = com (0,1)~ φε e tδ representando 1 mês (1/12 do ano). Adicionalmente assuma que a variável aleatória ε assume, sucessivamente os valores apresentados em cada um dos 5 meses que se seguem no calendário bolsista:

Dia ε 1 -0.525 2 +1.255 3 -2.435 4 +0.875 5 +0.355

a) Qual é o preço das acções BES no final do 1º período? b) Qual é o preço das acções BES no final do 5º período? c) Se em alternativa ao modelo anterior se tivéssemos assumido um processo

de Wiener generalizado com uma inclinação de 12% ao ano, qual teria sido o valor para o preço das acções BES ao fim do 1º período, assumindo as condições da alínea a)?

d) E qual teriam sido o valor para o preço das acções BES ao fim do 5º período, assumindo as condições da alínea b)?

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Exercício 13

Assuma que as acções do BCP estão a cotar a 2,00€ e que as alterações de valor mensais para estes preços são bem representadas por um processo de Ito do tipo

tStSS δεσδµδ += com (0,1)~ φε e tδ representando 1 dia (1/250 do ano). Adicionalmente assuma que a variável aleatória ε assume, sucessivamente os valores apresentados em cada um dos 5 dias que se seguem no calendário bolsista:

Dia ε 1 +0.125 2 +1.355 3 -2.005 4 -1.000 5 +0.555

a) Qual é o preço das acções BCP no final do 1º dia? b) Qual é o preço das acções BCP no final do 5º dia? c) Qual a probabilidade do preço das acções vir a estar acima dos 3 euros

dentro de 1 ano? d) Qual o valor esperado para o preço das acções BCP dentro de um ano?

Exercício 14

Assuma que se desenvolve um produto derivado cujo valor é igual ao quadrado do preço do activo subjacente:

2SG = Admite-se que o preço do activo subjacente segue um processo de Ito do tipo:

tdSdtdSSd εµ += e que está hoje cotado a 20,00€ (S=20). Assuma que os parâmetros do activo subjacente são: - 1,0=µ - 3,0=σ

a) Qual o valor esperado e o desvio padrão para as alterações de preço do activo derivado G? ( [ ]dGE ; [ ]dGVAR e [ ]dGSTD )

b) Qual o valor esperado e o desvio padrão para a rendibilidade do activo

derivado G? (

GdGE ;

GdGVAR e

GdGSTD )

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c) Admitindo que o processo é aplicável a observações diárias, qual seria o preço amanhã se a realização da variável aleatória ε fosse igual a +0,750?

Exercício 15

Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 € e maturidade dentro de 6 meses. Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As acções da PT estão hoje cotadas a 9.00 €.

a) Usando a equação de Black - Scholes determine o preço teórico de uma opção de compra europeia e de uma opção de venda europeia sobre a PT com as características acima descritas.

b) Se prevê que as acções PT vão pagar um dividendo de 0,5 € dentro de 3 meses, qual o valor teórico de uma opção de compra europeia sobre a PT?

c) Usando a aproximação de Black, qual seria o preço para a opção de compra americana assumindo que a acção vai pagar um dividendo de 0,5 € dentro de 3 meses?

d) Se possuir uma carteira de acções da PT e se estiver ligeiramente pessimista, prevendo apenas uma queda de 1 € nos próximos 9 meses, qual a estratégia estática que propõe para combinar com as acções para maximizar a rendibilidade da sua carteira?

e) Qual o delta da opção de compra europeia avaliada na alínea a)? f) Se as opções de compra avaliadas na alínea a) estiverem cotadas no mercado a

0,5 € o que sugere que se faça esquecendo agora que tem uma carteira de acções e que pretende apenas retirar vantagens do mercado de opções?

Exercício 16

Se as acções da Brisa estiverem cotadas a 5,70€, se a volatilidade histórica da Brisa for de 15%, se a estrutura temporal de taxas de juro for a que se observa no quadro abaixo e se quisermos cotar opções europeias at-the-money, com vencimento a 6 meses

Prazos Taxas 1 mês 2,25% 3 meses 2,75% 6 meses 3,25% 1 ano 3,50% 2 anos 3,50%

a) Qual a cotação que sugere usando o modelo de Black-Scholes assumindo que não vai haver pagamento de dividendos até ao vencimento da opção?

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b) Qual seria o resultado da alínea a) se em alternativa estivesse a cotar opções americanas usando os mesmos pressupostos?

c) Se no mercado se estiverem a transaccionar essas opções a 0,35€, acha que a volatilidade implícita no preço das opções é superior ou inferior à volatilidade histórica?

d) Se acredita que a volatilidade implícita se vai aproximar rapidamente dos níveis da volatilidade histórica, o que considera adequado fazer se quiser especular em opções?

Exercício 17

Uma instituição financeira tem na sua carteira de activos várias acções que replicam exactamente a composição do índice europeu EuroStoxx 50. O índice está neste momento nos 1500 pontos a instituição teme uma descida violenta no índice. A carteira de acções vale hoje 3 milhões de euros.

a) Se estiverem cotadas opções de compra e de venda sobre este índice, com vencimento para Dezembro e preço de exercício a 1500, estando as opções de compra cotadas a 120 pontos, e as opções de venda a 100 pontos, qual o valor destas opções no vencimento se o índice estiver nos 1600 pontos à data do vencimento?

b) Quanto teria ganho ou perdido um investidor que hoje tivesse comprado dois contratos de cada uma dessas opções assumindo que cada ponto de índice é valorizado a 10€?

c) Usando as opções referidas na alínea anterior, que posição sugere que a empresa tome por forma a cobrir o risco da carteira de acções de uma descida do índice?

d) Se o índice estiver nos 1600 pontos em Dezembro (na data de vencimento) e tendo seguindo a estratégia proposta na alínea anterior, quais os resultados financeiros que a empresa obteve nas operações do mercado de capitais (à vista e em derivados)?

Exercício 18

Suponha que um gestor de uma carteira de acções composta por activos europeus, deseja cobrir o risco dessa carteira com recurso a opções sobre o índice FTSE €Stars. O contrato está desenhado por forma a cada ponto do índice ser valorizado a 10€, sendo o preço das opções estabelecido em pontos de índice e valorizado do mesmo modo. O preço mínimo de variação é de 1/2 ponto (5€). O índice está neste momento nos 5500 pontos e existem opções de venda cotadas com vencimento a 3 meses e diversos preços de exercício.

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Preços de exercício Cotações K = 5000 37 pontos K = 5250 95 pontos K = 5500 185 pontos K = 5750 325 pontos K = 6000 510 pontos

a) Estando na disposição de arriscar um máximo de 10% do valor da carteira que

vale hoje 10.000.000€, qual a posição a tomar, assumindo um beta de 1,8 para a carteira (calculado tendo por base o índice €Stars). Especifique qual a posição (compra ou venda), o número de contratos e o preço de exercício a seleccionar.

b) Se no vencimento o índice estiver a 5200 pontos, qual teria sido a melhor solução? (especifique se teria sido tomar posição a futuro ou em que série de opções)

c) Se desejar modificar o risco sistemático da sua carteira passando-o para 1 e se, simultaneamente, quiser garantir uma desvalorização máxima de 10% do valor da carteira qual deve ser a posição a tomar em opções? Especifique qual a posição (compra ou venda), o número de contratos e o preço de exercício a seleccionar.

Exercício 19

Um fundo de investimento mobiliário detém em carteira 10 milhões de euros de valores mobiliários. Este montante está repartido do seguinte modo: 30% em acções da Portugal Telecom, 25% em acções do BCP e 45% em acções da EDP. Os respectivos betas esperados para o próximo ano sâo 1,5, 1,2 e 0,8. O gestor da carteira está apreensivo sobre a evolução do índice durante o Outono que se aproxima. O índice PSI-20 está neste momento cotado a 7800 pontos e estão cotadas opções europeias sobre o índice com vencimento dentro de 5 meses (para finais de Dezembro). As séries de opções disponíveis são: Opções de Compra Prémio Opções de Venda Prémio X = 7600 635 X = 7600 217 X = 7800 518 X = 7800 294 X = 8000 416 X = 8000 386 Assuma que a taxa de remuneração por via de dividendos (dividend yield) é de 0% até Dezembro

a) Suponha que a taxa livre de risco se situa nos 7% ao ano e que a volatilidade esperada para o índice PSI20 para o período decorrente até Dezembro é de 20%. Que posição deve o gestor da carteira tomar no mercado de opções (sinal e quantidade de contratos), se desejar cobrir 100% do valor da carteira de títulos nacionais de modo estático?

b) Se no dia seguinte o índice se mover para os 7810 pontos qual o valor global da carteira?

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c) Se o índice de acções PSI20 estiver nos 8100 pontos em Dezembro de 1996, que ganhos/perdas terão sido obtidos no mercado de opções e na carteira de acções se tivesse comprado opções de venda com preço de exercício X=7800?

d) Se o índice distribuísse um dividend yield de 3% qual seria o impacto na cotação das opções de compra?

Exercício 20

Uma determinada empresa tem sob sua gestão uma carteira de acções diversificada. O risco sistemático dessa carteira de acções é 1,5 e o gestor dessa carteira está expectante sobre uma possibilidade de descida de cotações (após as eleições legislativas). O índice PSI20 está hoje cotado a 10.200 pontos e a taxa de juro sem risco está nos 4% ao ano. O valor da carteira de acções, avaliada às cotações de hoje é de 10 milhões de euros. Não se espera que de hoje até Dezembro as empresas constituintes do índice venham a distribuir dividendos. Se estiverem cotadas opções sobre futuros com vencimento para Outubro e se a empresa quer minimizar o risco de preço para uma data próxima do final do mês de Outubro (após as eleições legislativas) a) Qual o preço teórico para uma opção de compra sobre futuros sobre o índice com

vencimento dentro de 6 meses e preço de exercício de 11.000 pontos? Assuma que o dividend yield é nulo para o prazo até ao vencimento que ocorrerá dentro de 3 meses e que o preço a futuro com vencimento para Outubro é de 10.545 pontos.

b) Se desejar cobrir o risco de preço com o recurso a opções, o que sugere que se faça perante a hipótese de tomar posições em opções com vencimento em Outubro (indique contrato, número de contratos e posição a tomar seleccionando a partir das seguintes opções)

Preço de Exercício Opções de Compra Opções de Venda X=9.000 1320 39 X=10.000 565 265 X=11.000 162 858

c) Se no vencimento o PSI20 estiver nos 9.500, qual o resultado da estratégia enunciada na alínea anterior quer no mercado de derivados, quer na carteira em que tem posição?

d) Comente a seguinte afirmação em não mais que 10 linhas: “O recurso a opções para cobrir o risco de preço não tem qualquer utilidade, uma vez que o risco medido através do desvio padrão das rendibilidades não é eliminado integralmente.”

Exercício 21

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Uma empresa importadora de materiais de construção foi recentemente facturada em libras esterlinas no valor de 1.000.000£. A empresa tem um prazo de pagamento a 90 dias e teme uma valorização da libra. A taxa de juro sem risco das aplicações a 90 dias em libras é de 7% e em euros de 3%. A cotação hoje da libra é de 1,545€/£.

a) Qual o valor teórico para uma opção de compra sobre libras ao preço de exercício de 1,500€/£?

b) Qual o valor teórico para uma opção de venda sobre libras ao preço de exercício de 1,500€/£?

c) Se estiverem cotadas as opções sobre libras referidas nas alíneas anteriores aos preços teóricos por si calculados, e em que cada contrato representa a compra de 10.000£, em quantos contratos deve a empresa tomar posição, qual o estilo de opções em que deve abrir posição (de compra ou de venda)?

d) Se a empresa executar o que sugeriu, calcule qual o valor total da factura admitindo que na data do vencimento da factura a libra estava a cotar a 1,450£/€.

Exercício 22

Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 € e maturidade dentro de 6 meses. Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As acções da PT estão hoje cotadas a 9.00 €.

a) Qual o delta das opções de compra e de venda? b) Qual o gama das opções de compra e de venda? c) Qual o vega das opções de compra e de venda? d) Qual o theta das opções de compra e de venda? e) Qual o rho das opções de compra e de venda?

Exercício 23

Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 € e maturidade dentro de 6 meses. Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As acções da PT estão hoje cotadas a 9.00 €. a) Se as acções subirem bruscamente 1€, quanto deverá passar a custar uma opção de

venda com as características referidas? b) Qual a posição (comprar / vender ) e qual a quantidade a tomar em acções e a se

tiver vendido 1000 opções de venda resolver cobrir o risco com acções subjacentes às opções (delta hedging)?

c) E se quiser cobrir a posição curta em 1000 opções de venda fazendo delta e gama hedging?

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Exercício 24

Um gestor de um Fundo composto por uma carteira diversificada que replica sensivelmente o índice PSI20, tem sob a sua administração um património no valor de 1.800.000€. O Índice está neste momento nos 13.500 pontos, tem uma volatilidade esperada para o próximo semestre de 12%, distribui em média 3% de dividendos e a taxa livre de risco a 6 meses está nos 11%. Cada contrato de opções é estabelecido com base no valor do índice multiplicado por 1€. No regulamento do Fundo define-se que as aplicações em derivados não podem exceder, avaliadas ao valor nominal dos contratos em que há posições abertas, 30% do valor do mesmo, quer para efeitos de cobertura de riscos quer para efeitos especulativos. O gestor do Fundo espera uma descida de cotações generalizada prevendo que em Dezembro o PSI20 venha a quedar-se pelos 11.500 pontos. Não é política do Fundo o desinvestimento nos títulos que detém em carteira. Assim parece mais razoável um investimento em opções. As cotações das séries disponíveis em opções com vencimentos para Dezembro são as seguintes:

Preço de Exercício

Opções de Compra

Opções de Venda

11 000 2880 2 13 000 1090 150 15 000 140 1055

a) Que estratégia sugere para o Fundo em causa tendo em vista uma

cobertura estática até Dezembro e supondo que se vêm a confirmar as expectativas do gestor do Fundo? Defina a posição (compradora/vendedora) a tomar, a série e o número de contratos.

b) Se pretender efectuar uma cobertura dinâmica (delta hedging), que estratégia aconselha? Defina a posição (compradora/vendedora) a tomar, a série e o número de contratos.

c) Como explica a existência de diferentes volatilidades implícitas em opções sobre o mesmo activo subjacente e com a mesma data de vencimento?

Exercício 25

Suponha que vai lançar um produto estruturado que está desenvolvido sobre o índice PSI20. O produto só permite o resgate no vencimento (dentro de 6 meses), o detentor deste produto (opção) recebe a diferença (contada em pontos de índice e convertida

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no mesmo número de euros), acima do preço de exercício (7.500 pontos) até ao limite de 8500 pontos. Isto é, se o índice estiver cotado a 9.000 pontos o titular desta opção só recebe 1.000 euros. A taxa de juro sem risco é de 6% ao ano e não se espera que as empresas constituintes do índice distribuam dividendos até ao vencimento. A volatilidade histórica dos últimos 6 meses foi de 25% ao ano, e o índice está neste momento nos 7.000 pontos. Assuma um ambiente semelhante e compatível com a equação de Black - Scholes.

a) Usando uma árvore binomial em que as variações temporais para avaliação correspondem a 2 meses (árvore com 3 desdobramentos e 4 nódulos finais) qual o valor da opção? b) Qual o delta da opção? c) Qual o Theta da opção? d) Se a opção fosse americana o valor seria diferente? (Se acha que sim, basta exemplificar com um nódulo) e) Se uma instituição financeira emitir um produto semelhante, mas com as bandas mais afastadas (por exemplo preço de exercício inferior de 7.200 pontos e preço de exercício superior de 8.800 pontos) qual das duas opções deverá ser mais cara? Justifique.

Exercício 26

Um intermediário financeiro vai lançar um produto estruturado que está desenvolvido sobre o índice IBEX35 e a que chamou Bullish Power. O Bullish Power só permite o resgate no vencimento (dentro de 2 anos). O titular deste produto (opção) recebe o dobro da diferença (contada em pontos de índice e convertida no mesmo número de euros), acima do preço de exercício (7.500 pontos) até ao limite de 8500 pontos. Isto é, se o índice estiver cotado a 9.000 pontos o titular desta opção só recebe 2.000 euros, mas se estiver cotado a 7.700 pontos o titular receberá 400 euros. A taxa de juro sem risco é de 5% ao ano. O índice está neste momento nos 7.000 pontos e realizaram-se 10.000 simulações para evolução do índice IBEX35 para os próximos dois anos. O quadro seguinte resume os valores obtidos para o índice ao fim de 2 anos.

Resultados Número de simulações

6 000 pontos 450 6.500 pontos 1.500 7.000 pontos 2.000 7.500 pontos 2.000 8.000 pontos 2.500 8.500 pontos 1.000 9.000 pontos 500 9.500 pontos 50 TOTAL 10.000

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a) Recorrendo à técnica de simulação de Monte Carlo calcule o valor do Bullish Power (opção).

b) Qual a probabilidade neutra face ao risco do Bullish Power (opções) não ter qualquer valor no final?

c) O seu avô quer oferecer-lhe um destes produtos, mas a instituição financeira que os emite tem outro produto também desenvolvido sobre o IBEX35: o El Niño. O El Niño paga, no vencimento (dentro de 2 anos), o valor da diferença (contada em pontos de índice e convertida no mesmo número de euros), acima do preço de exercício (6.500 pontos) até ao limite de 9.000 pontos. Isto é, se o índice estiver cotado a 9.000 pontos o titular desta opção recebe 2.500 euros, mas se estiver cotado a 6.700 pontos o titular receberá 200 euros. Qual e porquê pediria ao seu avô?

Exercício 27

1) Numa opção de compra americana: a) o titular obriga-se a vender o activo subjacente apenas na data de

vencimento da opção; b) o titular obriga-se a vender o activo subjacente em qualquer data até ao

vencimento da opção se entretanto esta for exercida; c) o titular pode comprar o activo subjacente em qualquer data até ao

vencimento da opção; d) o titular pode comprar o activo subjacente em qualquer data até ao

vencimento da opção se a opção estiver in-the-money. 2) Pagando em t0 um prémio de 2,00€ por uma opção de venda europeia com

vencimento em T e preço de exercício de 20,00€, então, para o comprador, o valor da opção no vencimento, é:

a) 0,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 18,00€; b) 2,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 18,00€; c) -2,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 18,00€; d) -4,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 16,00€.

3) Recebendo em t0 um prémio de 1,00€ por uma opção de compra europeia com

vencimento em T e preço de exercício de 12,00€, então, para o vendedor, o lucro deste investimento apurado no vencimento, sem ter em conta o custo de oportunidade do capital, é:

a) 0,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 12,00€; b) -1,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 13,00€; c) 0,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 13,00€; d) 0,00€ se o preço do activo subjacente estiver a 11,00€.

4) Uma empresa mineira que explora activamente uma mina de ouro, querendo

participar no mercado de opções com objectivo de cobertura de risco, deve: a) comprar opções de compra sobre ouro para garantir o preço de venda da

sua produção;

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b) comprar opções de venda sobre ouro para garantir o preço de venda da sua produção;

c) vender opções de compra sobre ouro para garantir o preço de venda da sua produção;

d) vender opções de venda sobre ouro para garantir o preço de venda da sua produção.

5) Um industrial de salsicharia ao comprar opções de compra sobre carcaça de vaca que usa como matéria-prima está a:

a) cobrir o risco de preço inerente à sua posição longa no activo subjacente: b) cobrir o risco de quantidade inerente à sua posição curta no activo

subjacente; c) cobrir o risco de preço inerente à sua posição curta no activo subjacente d) especular no preço da carne de vaca.

6) Se uma opção sobre acções BCP com preço de exercício a 2,00€ e vencimento

para Dezembro próximo está cotada a 0,25€, quando o activo subjacente está a cotar aos 1,80€, então:

a) a opção está in-the-money se for uma opção de compra; b) a opção está in-the-money se for uma opção de venda; c) a opção está out-of-the-money se for uma opção de compra; d) a opção está out-of-the-money se for uma opção de venda.

Exercício 28

1) Quais dos seguintes exemplos são formas mitigadas de opções financeiras? a) Warrants de compra, acções preferenciais e acções ordinárias; b) Direitos de subscrição de acções, warrants de venda e títulos de

participação; c) Obrigações do Tesouro, warrants de compra e Executive Stock Options; d) Warrants de compra, direitos de subscrição de acções, e obrigações

convertíveis. 2) Uma carteira composta por uma posição longa numa opção de compra e uma

posição curta noutra outra opção de compra, ambas com o mesmo vencimento, mas com preços de exercício diferentes, caracteriza-se por, no vencimento das opções: a) Se valorizar com as subidas do activo subjacente, mas com um ganho

potencial limitado; b) Se valorizar com as descidas do activo subjacente, mas com um ganho

potencial limitado; c) Se valorizar com as subidas do activo subjacente, mas com um ganho

potencial limitado, desde que o preço de exercício da opção em que estamos longos seja superior ao preço de exercício da opção em que estamos curtos;

d) Se valorizar com as descidas do activo subjacente, mas com um ganho potencial limitado, desde que o preço de exercício da opção em que estamos longos seja superior ao preço de exercício da opção em que estamos curtos.

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3) A compra de uma opção de venda permite:

a) Ganhos infinitos em descidas de preço do activo subjacente; b) Ganhos iguais às perdas que se obtenham numa posição longa do activo

subjacente; c) Ganhos iguais às perdas que se obtenham numa posição curta do activo

subjacente; d) Perdas infinitas em descidas de preço do activo subjacente.

4) Uma posição longa numa “Butterfly” permite:

a) Ganhar exposição a valorização significativas do preço do activo subjacente; b) Ganhar exposição a desvalorização significativas do preço do activo

subjacente; c) Ganhar quando o preço do activo subjacente não se altera; d) Ganhar quando o preço do activo subjacente se aproxima do preço de

exercício centra do conjunto de preços de exercício envolvidos. 5) Um processo de Markov é consistente com a teoria financeira porque?

a) Os matemáticos russos sempre foram bons a desenvolver modelos robustos; b) Os preços históricos são uma forma robusta de prever os preços futuros; c) Os preços históricos não são a forma mais apropriada para prever os preços

futuros; d) Os preços históricos não são a forma mais apropriada para prever os preços

num futuro afastado, mas são fidedignos para a previsão de preços de curto prazo.

6) Se o preço das acções do BCP a um ano seguissem um processo de Markov com

função densidade de probabilidade normal de média 2,00€ e de desvio padrão de 0,60€ então a função densidade de probabilidade para o preço das acções do BCP para daqui a 2 anos seria: a) Uma função de média 2,00€ e desvio padrão de 0,60€ b) Uma função de média 0,00€ e desvio padrão de €60,02x c) Uma função de média 2,00€ e desvio padrão de €60,02x d) Uma função de média 2,00€ e desvio padrão de €20,1

II - FUTUROS FINANCEIROS

Exercício 1

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Uma instituição financeira tem na sua carteira de activos várias acções que replicam exactamente a composição do índice europeu Stoxx 50. O índice está neste momento nos 1500 pontos a instituição teme uma descida violenta no índice. A carteira de acções vale hoje 3 milhões de euros. Existe um contrato a futuros sobre este índice com vencimento para Setembro cotado a 1550 e com vencimento para Dezembro cotado a 1600.

a) Se na data de vencimento dos contratos a futuro o índice estiver nos 1570 pontos qual o preço a futuro que se deve estar a praticar no mercado de futuros?

b) Supondo que cada ponto é avaliado em 10 euros qual a posição a tomar em contratos a futuro (vencimento do contrato, posição - compradora ou vendedora - e quantidade de contratos) por forma a que a empresa esteja segura que os resultados do exercício de 2000 não serão afectados por quaisquer variações nos preços a futuro?

c) Mostre, usando 2 cenários alternativos (por exemplo que o índice está nos 1400 pontos ou que está nos 1600 pontos) que tomando a sua indicação dada em b), os resultados da variação do índice não teriam quaisquer efeitos sobre os resultados financeiros da empresa.

Exercício 2

Um fundo de investimento mobiliário detém em carteira 10 milhões de euros de valores mobiliários. Este montante está repartido do seguinte modo: 30% em acções e 65% em Obrigações e 5% em numerário e Depósitos à Ordem. Do montante investido em acções 40% são de origem externa. Os restantes 60% constituem uma carteira diversificada com um Beta igual a 1,4. O gestor da carteira está apreensivo sobre a evolução do índice durante o “maldito Verão” que se aproxima. O índice PSI-20 está neste momento cotado a 4120 pontos e o preço dos futuros sobre o índice com vencimento para Dezembro de 1996, está cotado a 4400 pontos. 1) Que posição deve o gestor da carteira tomar no mercado de futuros (sinal e

quantidade de contratos), se desejar cobrir 50% do valor da carteira de títulos nacionais?

2) Qual a taxa de juro que o mercado está a assumir como taxa livre de risco, se considerar que a taxa de remuneração por via de dividendos (dividend yield) é de 0% até Dezembro?

3) Se o índice de acções PSI20 estiver nos 4000 pontos em Dezembro de 1996, que ganhos/perdas terão sido obtidos no mercado de futuros? De que modo terá sido compensado pelas variações de valor da carteira?

4) Caso o gestor da carteira pretenda alterar a composição da mesma, que estratégia deverá seguir usando futuros sobre índices e Obrigações do Tesouro por forma a obter uma composição de 20% de Obrigações e o remanescente de acções?

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Exercício 3

Suponha que a prata é transacionada nos mercados mundiais e que, num determinado momento o preço spot é de 5.90 USD/oz de prata e que o futuro sobre a prata com vencimento a um ano está cotado a 6.55 - 6.75 USD/oz de prata (compra - venda).

a) Que tipo de agente poderá estar interessado em comprar contratos a futuro sobre a prata? b) Se a taxa de juro sem risco estiver a 5% ao ano, haverá oportunidades de arbitragem (asuma que a convenience yield é nula)? Em caso afirmativo, explique qual a estratégia a montar para e qual o benefício líquido por cada onça a negociar.

Exercício 4

Suponha que um contrato forward sobre um activo financeiro se vence a um ano e estabelece um preço forward de 10.00 €. A taxa de juro sem risco é de 8%. Seis meses depois, novos contratos forward sobre o mesmo activo e com vencimentos a 6 meses estão a ser negociados ao preço de 12.00 €. Qual é o valor do contrato forward original, no momento inicial e passado os 6 meses?

Exercício 5

Um gestor gere uma carteira de acções no valor de 20 milhões de euros, tendo por base uma aproximação ao índice EuroStoxx 50. Este gestor acredita que o mercado vai descer durante o próximo mês e decide eliminar o risco durante esse período. Existe a seguinte informação disponível: • Contrato Futuros de Stoxx 50 para entrega a 1 mês estão cotados a 1084.50. • Dividendo yield da carteira em causa é de 2.1% ao ano. • O beta da carteira é de 1,75. • O índice Stoxx 50 hoje está hoje a 1081.40. • Cada ponto do índice vale 10,00 €.

a) Qual a estratégia de cobertura a realizar pelo gestor? b) Calcule a rendibilidade esperada a receber no próximo mês. Se necessário,

assuma alguns pressupostos.

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Exercício 6

A administração de uma empresa refinadora de petróleo enviou uma nota interna ao director financeiro, no sentido de estabelecer os procedimentos e rotinas apropriados à cobertura do risco. O director financeiro ficou inicialmente indeciso sobre que atitude tomar pois não estava especificado qual a natureza dos riscos a cobrir. a) Tratando-se do risco operacional, quais as medidas que em seu entender devem

ser tomadas para cumprir os desejos da administração? b) E tratando-se do risco de preço, sabendo-se que a empresa refina anualmente 1000

milhões de barris, cuja aquisição é feita trimestralmente em encomendas semelhantes, se a empresa estiver disposta a cobrir apenas 60% dessa quantidade, qual a política a seguir através de contratos a futuro? (explicite a quantidade de contratos, posição a tomar no mercado e respectivos vencimentos de acordo com os pressupostos que deve assumir no sentido de completar o problema)

c) Se o preço a futuro na data de hoje, para um contrato com vencimento em Dezembro, estiver a $US 18.20 o barril, e se o preço spot for de $US17.80, qual o movimento na conta margem da empresa que adoptou a política proposta na alínea anterior ao longo de um período de 5 dias, se as liquidações de ganhos e perdas forem feitas diariamente?

Data Preço de liquidação diário Posições abertas T 18.20 12.500 T+1 18.00 15.800 T+2 17.70 15.000 T+3 17.90 17.000 T+4 18.30 18.000 T+5 18.50 22.000

d) Pode considerar-se que a empresa apurou um ganho ou uma perda? e) Se a taxa de juro sem risco for de 5% ao ano, determine se existem oportunidades

de arbitragem no mercado do petróleo para os preços de hoje (condições da alínea c), e explique que procedimentos tomar para daí tirar as devidas vantagens.

Exercício 7

Uma determinada empresa tem sob sua gestão uma carteira de acções diversificada. O risco sistemático dessa carteira de acções é 1,5 e o gestor dessa carteira está expectante sobre uma possibilidade de descida de cotações. O índice PSI20 está hoje cotado a 10.200 pontos e a taxa de juro sem risco está nos 4% ao ano. O valor da carteira de acções, avaliada às cotações de hoje é de 10 milhões de euros. Não se espera que de hoje até Dezembro as empresas constituintes do índice venham a distribuir dividendos. Se estiverem cotados contratos a futuro com vencimento para Setembro e Dezembro e se a empresa quer minimizar o risco de preço para uma data próxima do final do mês de Outubro (após as eleições legislativas)

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a) Que sugere à empresa como actuação mais adequada? (Explicite posição a tomar, número de contratos e contrato a seleccionar em concreto, assumindo que a correlação entre a rendibilidade do índice e a do preço a futuro é de 0.85 e que a volatilidade de ambos estes preços é de 20%)

b) Se lhe sugerissem que cotasse o contrato com vencimento para Setembro, estando neste momento muito pessimista sobre a evolução das cotações nos próximos meses, qual o preço a futuro que proporia?

c) Se no vencimento o índice estiver a 11.000 pontos quanto é esperado que se tenha valorizado/desvalorizado a sua carteira e quanto ganhou/perdeu no mercado a futuro?

d) Em que medida o preço à vista e a futuro observados hoje, lhe sugerem a existência de uma convenience yield?

EXERCÍCIOS DE PRODUTOS E MERCADOS DERIVADOS...

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