Exercicios e Resumos

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Probabilidades e Combinatória - Exercícios saídos em exames (12º ano) - pág. 1

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática - 12º ano

Probabilidades e Combinatória - Exercícios saídos em Exames (1996-1999) 1. Numa caixa estão 12 Bolas de Berlim de igual aspecto exterior. No entanto 5 não têm creme. Retirando da caixa 3 desses bolos ao acaso, a probabilidade de que apenas um deles tenha creme é: [A] 7/12 [B] 7/66 [C] 35/264 [D] 7/22 (Prova Modelo 96) 2. Uma das provas de um campeonato de atletismo é a estafeta 4x100 metros planos em que cada equipa participa com 4 atletas. O clube “Pés Voadores” vai participar na prova, dispondo de 10 atletas para formar a equipa de estafeta. a) Quantos conjuntos diferentes é possível construir para formar a equipa de estafeta deste clube? b) Formada a equipa, é necessário estabelecer a ordem de participação dos atletas que a constituem. Por razões tácticas escolheu-se o João Rui para iniciar a prova, podendo os restantes atletas da equipa participar em qualquer posição. De quantas formas diferentes se pode organizar esta equipa? c) Ao todo vão competir na prova 6 equipas de clubes diferentes. A colocação das equipas pelas 8 pistas é feita por sorteio. Qual é a probabilidade de que a equipa dos “Pés Voadores” corra na pista 1 não ficando nenhuma equipa na pista 2? (Prova Modelo 96) 3. Dos ouvintes de uma estação radiofónica, 37% ouvem o programa X, 53% ouvem o programa Y e 15% ouvem ambos os programas. Ao escolher aleatoriamente um ouvinte desta estação, qual é a probabilidade de que: a) Escute apenas um dos referidos programas? b) Não escute nenhum destes 2 programas? (Exame Nacional 96, 1ª chamada) 4. Pretende criar-se uma nova grelha de programação para o período que decorre entre as 7h e as 8h30m da manhã, dispondo-se para o efeito de 2 programas de 1 hora - um musical e o outro sobre desporto - e de 3 programas de 30 minutos - um de informação e 2 musicais. Escolhendo ao acaso uma das possíveis grelhas de programação, qual a probabilidade de que ela contenha apenas programas musicais? Nota: A mudança de ordem de programas origina diferentes grelhas. (Exame Nacional 96, 1ª chamada) 5. Um comerciante foi informado de que tem 4 embalagens premiadas entre as 20 que adquiriu de um certo produto, mas não sabe quais são. Dispondo as 20 embalagens em fila, na montra, por uma ordem qualquer, qual a probabilidade de que as embalagens premiadas fiquem todas juntas no início ou no fim da fila? (Exame Nacional 96, 2ª chamada)

6. Os 4 primeiros números de certa linha do triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165; então os 3 últimos números da linha seguinte são: [A] 36, 24 e 12 [B] 66, 12 e 1 [C] 220, 66 e 12 [D] 24, 12 e 1 (Exame Nacional 96, 2ª fase) 7. Um quadro de palavras cruzadas, constituído por 5 linhas e 5 colunas, tem 9 quadrículas a cheio. Destas, sabe-se que 5 ocuparão os 4 cantos e o quadrado central, podendo as restantes ocupar qualquer outra posição. a) Quantos quadros diferentes se podem obter satisfazendo as condições indicadas? b) Qual a probabilidade de que, ao escolher ao acaso um dos quadros possíveis, este tenha pelo menos uma das diagonais com quadrículas a cheio? (Exame Nacional 96, 2ª fase) 8. No bar de uma escola estão à venda 5 tipos de pastéis (laranja, feijão, nata, coco e amêndoa). Quatro amigos, João, Maria, Paulo e Rui decidem comer um pastel cada um. O João escolhe pastel de laranja ou de feijão. A Maria não escolhe pastel de nata. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os pastéis? [A] 5C4 [B] 52+4+2 [C] 52x4x2 [D] 5A4 (Prova Modelo 97) 9. Num saco estão 4 bolas de igual tamanho, numeradas de 1 a 4. Tiram-se sucessivamente, sem reposição, as 4 bolas do saco. Qual a probabilidade de as bolas saírem por ordem crescente de numeração? [A] 1/24 [B] 2/3 [C] 1/4 [D] 1/6 (Prova Modelo 97) 10. 1997C100 + 1997C101 é igual a: [A] 1998C101 [B] 1996C100 [C] 1997C201 [D] 1998C201 (Prova Modelo 97) 11. Considere todos os nºs pares com 5 algarismos. Quantos destes nºs têm 4 algarismos ímpares? [A] 5 x 5C4 [B] 55 [C] 5! [D] 5 x 5A4 (Exame Nacional 97, 1ª chamada) 12. Lançam-se simultaneamente 2 dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6 e multiplicam-se os 2 nºs saídos. A probabilidade do acontecimento “o produto dos nºs saídos é 21” é: [A] 0 [B] 1/36 [C] 1/18 [D] 21/36 (Exame Nacional 97, 1ª chamada)

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13. Seis amigos entram numa pastelaria para tomar café e sentam-se ao acaso numa mesa rectangular com 3 lugares de cada lado, como esquematizado na figura junta. Determine a probabilidade de 2 desses amigos, a Joana e o Rui, ficarem sentados em frente um do outro. (Exame Nacional 97, 1ª chamada) 14. Foram oferecidos 10 bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com 12 rapazes e 8 raparigas. Ficou decidido que o grupo, que vai ao teatro, é formado por 5 rapazes e 5 raparigas. De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo? [A] 12C5 x 8C5 [B] 12A5 x 8A5 [C] 12 x 8 x 5 [D] 12! x 8! / 5! (Exame Nacional 97, 2ª chamada) 15. Uma empresa de cofres atribui ao acaso um código secreto a cada cofre que comercializa. Cada código secreto é formado por 4 algarismos, por uma certa ordem. Escolhendo-se um cofre ao acaso, qual a probabilidade de o código ter exactamente 3 zeros? [A] 0,0004 [B] 0,0027 [C] 0,0036 [D] 0,004 (Exame Nacional 97, 2ª chamada) 16. Uma roda gigante de um parque de diversões tem 12 cadeiras, numeradas de 1 a 12, com um lugar cada uma (ver figura ao lado). Seis raparigas e seis rapazes vão andar na roda gigante e sorteiam entre si os lugares que vão ocupar. Qual é a probabilidade de rapazes e raparigas ficarem sentados alternadamente, isto é, cada rapaz entre 2 raparigas e cada rapariga entre 2 rapazes? Apresente o resultado na forma de percentagem. (Exame Nacional 97, 2ª chamada) 17. Abre-se, ao acaso, um livro, ficando à vista 2 páginas numeradas. A probabilidade de a soma dos nºs dessas 2 páginas ser ímpar é [A] 0 [B] 1/3 [C] 1/2 [D] 1 (Exame Nacional 97, 2ª fase) 18. Na figura ao lado estão representados: o rio que atravessa certa localidade; uma ilha situada no leito desse rio; as 8 pontes que ligam a ilha às margens. H representa a habitação e E a escola de um jovem dessa localidade. Para efectuar o percurso de ida (casa-ilha-escola) e volta (escola-ilha-casa), o jovem pode seguir vários caminhos, que diferem uns dos outros pela sequência de pontes utilizadas. Indique quantos caminhos

diferentes pode o jovem seguir, num percurso de ida e volta, sem passar 2 vezes pela mesma ponte. [A] 5 x 3 + 4 x 2 [B] 5 x 4 x 3 x 2 [C] 5 + 4 + 3 + 2 [D] 52 x 32 (Exame Nacional 97, 2ª fase) 19. Uma embalagem contém 12 pastilhas com igual aspecto exterior, sendo 3 de ananás, 3 de cereja, 3 de laranja e 3 de morango. Esvaziando a embalagem após a compra e retirando 4 pastilhas ao acaso, qual a probabilidade de retirar uma de cada sabor? (Exame Nacional 97, 2ª fase) 20. Pretende-se colocar, sobre um tabuleiro situado à nossa frente, como o representado na figura, 9 peças de igual tamanho e feitio, das quais 4 são brancas e 5 são pretas. Cada casa do tabuleiro é ocupada por uma só peça. a) Mostre que existem 126 maneiras diferentes de as peças ficarem colocadas no tabuleiro. b) Supondo que as peças são colocadas ao acaso, determine a probabilidade de uma das diagonais ficar só com peças brancas. (Prova Modelo 98) 21. O penúltimo nº de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 10. Qual é o 3º nº dessa linha? (A) 11 (B) 19 (C) 45 (D) 144 (Exame Nacional 98, 1ª chamada) 22. Um dado é lançado 5 vezes. Qual é a probabilidade de que a face seis apareça pelo menos uma vez?

(A) ( )5611− (B) ( )56

51− (C) ( )5615

1C (D) ( )5655

1C (Exame Nacional 98, 1ª chamada) 23. Uma turma de uma escola secundária tem 27 alunos: 15 raparigas e 12 rapazes. O delegado de turma é um rapaz. Pretende-se constituir uma comissão para organizar um passeio. A comissão deve ser formada por 4 raparigas e 3 rapazes. Acordou-se que um dos 3 rapazes da comissão será necessariamente o delegado de turma. a) Quantas comissões diferentes se podem constituir? b) Admita que os 7 membros da comissão, depois de constituída, vão posar para uma fotografia, colocando-se uns ao lado dos outros. Supondo que eles se colocam ao acaso, qual é a probabilidade de as raparigas ficarem todas juntas? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas. (Exame Nacional 98, 1ª chamada) 24. Lançou-se 3 vezes ao ar uma moeda equilibrada, tendo saído sempre a face coroa. Qual é a probabilidade de, num 4º lançamento, sair a face cara? (A) 1/4 (B) 1/2 (C) 2/3 (D) 3/4 (Exame Nacional 98, 2ª chamada) 25. O código de um cartão multibanco é uma sequência de 4 algarismos como, por exemplo, 0559.

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a) Quantos códigos diferentes existem com um e um só algarismo zero? b) Imagine que um amigo seu vai adquirir um cartão multibanco. Admitindo que o código de qualquer cartão multibanco é atribuído ao acaso, qual é a probabilidade de o código desse cartão ter os 4 algarismos diferentes? Apresente o resultado na forma de dízima. (Exame Nacional 98, 2ª chamada) 26. Colocaram-se numa urna 12 bolas indistinguíveis pelo tacto, numeradas de 1 a 12. Tirou-se uma bola da urna e verificou-se que o respectivo nº era par. Essa bola não foi reposta na urna. Tirando ao acaso outra bola da urna, a probabilidade do nº desta bola ser par é (A) 1/2 (B) 1/4 (C) 5/12 (D) 5/11 (Exame Nacional 98, 2ª fase) 27. Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores. Supondo que participaram no torneio 10 jogadores, o nº de partidas disputadas foi (A) 10C2 (B) 10A2 (C) 10! (D) 10 × 9 (Exame Nacional 98, 2ª fase) 28. Um fiscal do Ministério das Finanças vai inspeccionar a contabilidade de 7 empresas, das quais 3 são clubes de futebol profissional. A sequência segundo a qual as 7 inspecções vão ser feitas é aleatória. Qual é a probabilidade de que as 3 primeiras empresas inspeccionadas sejam exactamente os 3 clubes de futebol? Apresente resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. (Exame Nacional 98, 2ª fase) 29. Considere 2 linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem alguns elementos: ... 36 a 126 ... ... 120 b ... Indique o valor de b. (A) 164 (B) 198 (C)210 (D) 234 (Prova Modelo 99) 30. Admita que tem à sua frente um tabuleiro de xadrez, no qual pretende colocar os 2 cavalos brancos, de tal modo que fiquem na mesma fila horizontal. De quantas maneiras diferentes pode colocar os 2 cavalos no tabuleiro, respeitando a condição indicada? (A) 8×8C2 (B) 64C2 (C) 64C2/8 (D) 8A2 (Prova Modelo 99) 31. Lança-se três vezes um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6. Indique, justificando, qual dos 2 acontecimentos seguintes é mais provável: • nunca sair o nº 6; • saírem números todos diferentes (Prova Modelo 99) 32. Lança-se quatro vezes consecutivas um dado com as faces numeradas de 1 a 6. No primeiro lançamento sai face 1 e no segundo sai face 2. Qual é a probabilidade de os números saídos nos quatro lançamentos serem todos diferentes?

(A) 6 5 4 364

× × × (B) 6 564× (C) 6 5

62× (D) 4 3

62×

(Exame Nacional 99, 1ª chamada) 33. a b c d e f g representa uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras. Qual das seguintes igualdades é verdadeira? (A) c=6C3 (B) c=6C2 (C) c=7C2 (D) c=7A2 (Exame Nacional 99, 1ª chamada) 34. A Joana tem na estante do seu quarto 3 livros de José Saramago, 4 de Sophia de Mello Breyner Andresen e 5 de Carl Sagan. Quando soube que ia passar as férias a casa da sua avó, decidiu escolher 6 desses livros, para ler durante este período de lazer. A Joana pretende levar 2 livros de José Saramago, um de Sophia de M. Andresen e 3 de Carl Sagan.

a) De quantas maneiras pode fazer a sua escolha?

b) Admita agora que a Joana já seleccionou os 6 livros que irá ler em casa da sua avó. Supondo aleatória a sequência pela qual estes 6 livros vão ser lidos, qual é a probabilidade de os 2 livros de J. Saramago serem lidos um a seguir ao outro? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. (Exame Nacional 99, 1ª chamada) 35. O João tem num bolso do casaco uma moeda de 50$00, 2 moedas de 100$00 e 3 moedas de 200$00. Retirando 2 moedas ao acaso, qual é a probabilidade de, com elas, perfazer a quantia exacta de 250$00? (A) ½ (B) 1/3 (C) ¼ (D) 1/5 (Exame Nacional 99, 2ª chamada) 36. Uma nova gama de gelados oferece, em cada gelado, um de 3 bonecos: Rato Mickey, Peter Pan ou Astérix. Sete amigos vão comprar um gelado cada um. Supondo que os 3 bonecos têm igual probabilidade de sair, qual é a probabilidade de o Rato Mickey sair exactamente a 2 dos sete amigos?

(A) ( ) ( )52

27

32

31C (B)

72

7C!

(C) ( ) ( )25

27

32

31C (D)

72

7A!

(Exame Nacional 99, 2ª chamada) 37. Na figura estão representados 2 polígonos: um pentágono [ABCDE]; um quadrilátero [FGHI]. Dos 9 vértices representados, não existem 3 colineares. a) Determine quantos triângulos têm como vértices 3 dos 9 pontos, de tal modo que 2 vértices pertençam a um dos polígonos e o terceiro vértice pertença ao outro polígono. b) A Sandra e o Jorge escolheram cada um, e em segredo, um dos 9 vértices representados. Qual é a probabilidade de os 2 vértices, assim escolhidos, pertencerem ambos ao mesmo polígono? Apresente o

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resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. (Exame Nacional 99, 2ª chamada) 38. De quantas maneiras se podem sentar 3 raparigas e 4 rapazes, num banco de 7 lugares, sabendo que em cada um dos extremos fica uma rapariga? (A) 120 (B) 240 (C) 720 (D) 5040 (Exame Nacional 99, 2ª fase) 39. Acabou o tempo de um jogo de basquetebol, e uma das equipas está a perder por um ponto, mas tem ainda direito a 2 lances livres. O Manuel vai tentar encestar. Sabendo que este jogador concretiza, em média, 70% dos lances livres que efectua e que cada lance livre concretizado corresponde a um ponto, qual é a probabilidade de o jogo terminar empatado? (A) 0,14 (B) 0,21 (C) 0,42 (D) 0,7

(Exame Nacional 99, 2ª fase) 40. Para representar Portugal num campeonato internacional de hóquei em patins foram seleccionados 10 jogadores: 2 guarda-redes, 4 defesas e 4 avançados. a) Sabendo que o treinador da selecção nacional opta que Portugal jogue sempre com 1 guarda-redes, 2 defesas e 2 avançados, quantas equipas diferentes pode ele constituir? b) Um patrocinador da selecção nacional oferece uma viagem a 5 dos 10 jogadores seleccionados, escolhidos ao acaso. Qual é a probabilidade de os 2 guarda-redes serem contemplados com essa viagem? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. (Exame Nacional 99, 2ª fase)

Internet: roliveira.pt.to ou sm.page.vu


(Exames Nacionais 2000)

41. Cada uma de 6 pessoas lança um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Qual é a probabilidade de os números saídos serem todos diferentes? (A) 66

6! (B) 661 (C) !6

1 (D) 61

(Prova Modelo) 42. Uma caixa contém 5 bolas brancas e 5 bolas pretas, indistinguíveis ao tacto. Tiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, 2 bolas da caixa. Considere os seguintes acontecimentos: B1-a bola retirada em 1º lugar é branca; B2-a bola retirada em 2º lugar é branca. Qual é o valor da probabilidade condicionada P(B2|B1)? (A) 9

421 × (B) 9

521 × (C)

94 (D)

95

(Prova Modelo) 43. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro.

Sabe-se que: um dos vértices do octaedro é a origem O do referencial; a recta ST é paralela ao eixo Oz; o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox; o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy; a aresta do octaedro tem comprimento 1. Escolhidos ao acaso 2 vértices do octaedro, qual é a probabilidade de estes definirem uma recta contida no plano de equação x=y? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(Prova Modelo)

44. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B 2 acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S). Prove que P(A)+P(B)+P(A ∩B )=1+P(A∩B)

(Prova Modelo) 45. Seja A um acontecimento possível, cuja probabilidade é diferente de 1. Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A|A)? (A) 0 (B) 1 (C) P(A) (D) [P(A)]2

(1ª chamada) 48. Considere todos os nºs de 6 algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. Destes nºs, quantos têm exactamente um algarismo 4? (A) 85 (B) 95 (C) 6×85 (D) 6×8A5

(2ª chamada) 49. O António escolhe, ao acaso, uma página de um jornal de 8 páginas. A Ana escolhe, ao acaso, uma página de uma revista de 40 páginas. Qual é a probabilidade de ambos escolherem a página 5? (A) 1/320 (B) 3/20 (C) 1/48 (D) 5/48

(2ª chamada)

50. a) Um estudo feito a uma certa marca de iogurtes revelou que: se um iogurte está dentro do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,005; se um iogurte está fora do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,65. Considere que, num certo dia, uma mercearia tem 10 iogurtes dessa marca, dos quais 2 estão fora do prazo. Escolhendo ao acaso um desses iogurtes, qual é a probabilidade de ele estar estragado? b)(adaptação) Numa aula de Matemática, a professora propõe um problema à turma: Uma caixa tem 12 compartimentos para colocar iogurtes.

De quantas maneiras diferentes podemos colocar 7 iogurtes (C)



nessa caixa, sabendo que 4 iogurtes são naturais (e portanto indistinguíveis) e os restantes 3 são de frutas (um de morango, um de banana e um de ananás)? O João e a Joana são os 1ºs a responder: 12C7×7A3 e 12C4 ×8A3 (respectivamente). Ambas as respostas ao problema proposto estão certas. Numa pequena composição (15 a 20 linhas, aproximadamente) explique o raciocínio de cada um dos 2 alunos.

(2ª chamada)

51. Três rapazes e duas raparigas vão dar um passeio de automóvel. Qualquer um dos 5 jovens pode conduzir. De quantas maneiras podem ocupar os 5 lugares, 2 à frente e 3 atrás, de modo a que o condutor seja uma rapariga e a seu lado viaje um rapaz? (A) 36 (B) 120 (C) 12 (D) 72

(2ª fase) 52. Lança-se 2 vezes 1 dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja X o nº de vezes que sai a face 6 nos 2 lançamentos. Qual é a distribuição de probabilidades de variável X? (A)

xi 0 1 2 P(X=xi

) (5/6)2 2×1/6×5/6 (1/6)2

(B) xi 0 1 2

P(X=xi)

(1/6)2 2×1/6×5/6 (5/6)2

xi 0 1 2 P(X=xi

) 5/6 1/6×5/6 1/6

(D) xi 0 1 2

P(X=xi)

1/6 1/6×5/6 5/6

(2ª fase) 53. a) Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam E1 e E2 2 acontecimentos possíveis (E1⊂S e E2⊂S). Prove que P( 1E ∪ 2E )=1-P(E1)×P(E2|E1) b) Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas por 4 naipes de 13 cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. De um baralho completo extraem-se, sucessivamente e sem reposição, 2 cartas. Qual é a probabilidade de pelo menos 1 das cartas extraídas não ser do naipe espadas? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. Nota: se o desejar, utilize a igualdade referida na alínea anterior; neste caso, deverá começar por caracterizar claramente os acontecimentos E1 e E2, no contexto da situação apresentada. c) Num certo jogo de cartas, utiliza-se um baralho completo e dão-se 13 cartas a cada jogador. Imagine que está a participar nesse jogo. Qual é a probabilidade de, nas 13 cartas que vai receber, haver exactamente 6 cartas do naipe de espadas? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

(2ª fase)


54. Admita que, numa certa escola, a variável “altura das alunas do 12º ano de escolaridade” segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 170 cm. Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 12º ano dessa escola. Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável? (A) A sua altura é superior a 180 cm (B) A sua altura é inferior a 180 cm (C) A sua altura é superior a 155 cm (D) A sua altura é inferior a 155 cm

(Prova Modelo) 55. Seja S o conjunto de resultados (com um nº finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B 2 acontecimentos, contidos em S, nenhum deles impossível, nem certo. Sabe-se que A⊂B. Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira. (A) P(A)>P(B) (B) P(A∩B)=0 (C) P(A∪B)=1 (D) P( A )≥P( B )

(Prova Modelo)

56. O AUTO-HEXÁGONO é um stand de venda de automóveis. a) Efectuou-se um estudo sobre as vendas de automóveis nesse stand, o qual revelou que: -15% dos clientes compram automóvel com alarme e com rádio; -20% dos clientes compram automóvel sem alarme e sem rádio; -45% dos clientes compram automóvel com alarme (com ou sem rádio). Um cliente acaba de comprar um automóvel. a1) A Marina, empregada do stand, que nada sabia das preferências desse cliente e não tomou conhecimento do equipamento do automóvel que ele tinha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas não tinha alarme. Qual é a probabilidade de a Marina acertar? Apresente o resultado na forma de percentagem. a2) Alguém informou depois a Marina de que o referido automóvel vinha equipado com alarme. Ela apostou, então, que o automóvel também tinha rádio. Qual é a probabilidade de a Marina ganhar esta nova aposta? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.



b) O stand, de forma hexagonal, tem uma montra que

se situa num dos lados do hexágono. Pretende-se arrumar 6 automóveis diferentes (2 utilitários, 2 desportivos e 2 comerciais), de tal forma que cada automóvel fique junto do vértice do hexágono. Supondo que se arrumam os 6 automóveis ao acaso, qual é a

probabilidade de os 2 desportivos ficarem junto dos vértices que se encontram nas extremidades da montra? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(Prova Modelo) 57. Capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita dá o mesmo nº. Por exemplo, 75957 e 30003 são capicuas. Quantas capicuas existem com 5 algarismos, sendo o 1º algarismo ímpar? (A) 300 (B) 400 (C) 500 (D) 600

(1ª chamada) 58. Uma caixa tem 5 bombons, dos quais apenas 2 têm licor. Tira-se da caixa, ao acaso, uma amostra de 3 bombons. Considere que X designa a variável “nº de bombons com licor existentes nessa amostra”. Qual das seguintes distribuições de probabilidades pode ser a da variável X? (A)

xi 0 1 2 P(X=xi

) 1/5C3 6/5C3 3/5C3

(B) xi 0 1 2

P(X=xi)

3/5C3 6/5C3 1/5C3

(C) xi 1 2 3

P(X=xi)

1/5C3 6/5C3 3/5C3

(D) xi 1 2 3

P(X=xi)

3/5C3 6/5C3 1/5C3

(1ª chamada) 59. Num saco existem 15 bolas, indistinguíveis ao tacto. Cinco bolas são amarelas, 5 são verdes e 5 são brancas. Por cada uma das cores, as bolas estão numeradas de 1 a 5. a) Retirando todas as bolas do saco e dispondo-as, ao acaso, numa fila, qual é a probabilidade de as bolas da mesma cor ficarem todas juntas? Apresente o resultado na forma de dízima, com 7 casas decimais. b) Suponha agora que, no saco, estão apenas algumas das 15 bolas. Nestas novas condições, admita que, ao retirarmos, ao acaso, uma bola do saco, se tem:

• a probabilidade de essa bola ser amarela é 50% • a probabilidade de essa bola ter o nº 1 é 25% • a probabilidade de essa bola ser amarela ou ter o nº

1 é 62,5% Prove que a bola amarela nº 1 está no saco.

60. Num curso superior existem 10 disciplinas de índole literária, das quais 3 são de literatura contemporânea. Um estudante pretende inscrever-se em 6 disciplinas desse curso. Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, 2 disciplinas de literatura contemporânea? (A) 3C2+7C4×7C3 (B) 3C2+7C4+7C3 (C) 3C2×7C4×7C3 (D) 3C2×7C4+7C3

(2ª chamada) 61. Seja E o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B 2 acontecimentos (A⊂E e B⊂E). Tem-se que: P(A∩B)=10%; P(A)=60%; P(A∪B)=80%. Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A|B)? (A) 1/5 (B) ¼ (C) 1/3 (D) 1/2

(2ª chamada) 62. Três casais, os Nunes, os Martins e os Santos, vão ao cinema. a) Ficou decidido que uma mulher, escolhida ao acaso de entre as 3 mulheres, paga 3 bilhetes, e que 1 homem, escolhido igualmente ao acaso de entre os 3 homens, paga outros 3 bilhetes. Qual é a probabilidade de o casal Nunes pagar os 6 bilhetes? Apresente o resultado na forma de fracção. b) Considere o seguinte problema: Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesma fila e em lugares consecutivos, as 6 pessoas distribuem-nos ao acaso entre si. Supondo que cada pessoa se senta no lugar correspondente ao bilhete que lhe saiu, qual é a probabilidade de os membros de cada casal ficarem juntos, com o casal Martins no meio? Numa pequena composição, com cerca de 15 linhas, explique por que razão 24/6! é uma resposta correcta a este problema. Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos:

• referência à Regra de Laplace; • explicação do nº de casos possíveis; • explicação do nº de casos favoráveis.

(2ª chamada) 63. Num certo país existem 3 empresas operadoras de telecomunicações móveis: A, B e C. Independentemente do operador, os nºs de telemóvel têm 9 algarismos. Os nºs do operador A começam por 51, os do B por 52 e os do C por 53. Quantos nºs de telemóvel constituídos só por algarismos ímpares podem ser atribuídos nesse país? (A) 139630 (B) 143620 (C) 156250 (D) 165340

(2ª fase) 64. Considere: - uma caixa com 9 bolas, indistinguíveis ao tacto, numeradas de 1 a 9; - um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Lança-se o dado e tira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Qual é a probabilidade de os nºs saídos serem ambos menores que 4? (A) 1/9 (B) 1/6 (C) 5/27 (D) 5/54

(2ª fase)



(1ª chamada) 65. Uma turma do 12º ano é constituída por 25 alunos (15 raparigas e 10 rapazes). Nessa turma, vai ser escolhida 1 comissão para organizar 1 viagem de finalistas. A comissão será formada por 3 pessoas: 1 presidente, 1 tesoureiro e 1 responsável pelas relações públicas. a) Se o delegado de turma tivesse obrigatoriamente de fazer parte da comissão, podendo ocupar qualquer 1 dos 3 cargos, quantas comissões distintas poderiam ser formadas? b) Admita agora que o delegado de turma pode, ou não, fazer parte da comissão. b1) Quantas comissões mistas distintas podem ser formadas? Nota: Entenda-se por comissão mista uma comissão constituída por jovens que não são todos do mesmo sexo.

b2) Suponha que a escolha dos 3 elementos vai ser feita por sorteio, da seguinte forma: Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As 25 folhas são dobradas e introduzidas num saco. Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, 3 folhas de papel. O 1º nome a sair corresponde ao do presidente, o 2º ao do tesoureiro, e o 3º ao do responsável pelas relações públicas. Sejam A, B e C os acontecimentos: A: “o presidente é 1 rapariga”; B: “o tesoureiro é 1 rapariga”; C: “a comissão é formada só por raparigas”. Indique o valor da probabilidade condicionada P(C|(A∩B)) e, numa pequena composição, com cerca de 10 linhas, justifique a sua resposta. Nota: Não aplique a fórmula da probabilidade condicionada. O valor pedido deverá resultar exclusivamente da interpretação de P(C|(A∩B)), no contexto do problema.

(2ª fase)


66. Um saco contém 5 cartões, numerados de 1 a 5. A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os 5 cartões do saco e alinha-os, da esquerda para a direita, pela ordem de saída, de maneira a formar um nº de 5 algarismos. Qual é a probabilidade de esse nº ser par e de ter o algarismo das dezenas também par? (A) 5C2/5A2 (B) 5C2/5! (C) 2×3!/5A2 (D) 2×3!/5!

(1ª chamada) 67. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é:

Qual é

o valor de a? (A) 1/5 (B) ¼ (C) 1/3 (D) ½

(1ª chamada) 68. 1. Seja S o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B 2 acontecimentos possíveis (A⊂S e B⊂S). Prove que: P(A∩B )=P(A )-P(B)+P(A|B)×P(B) 2. Das raparigas que moram em Vale do Rei, sabe-se que: a quarta parte tem olhos verdes; a terça parte tem cabelo louro; das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes. a) Escolhendo aleatoriamente uma rapariga de Vale do Rei, qual é a probabilidade de ela não ser loura nem ter olhos verdes? Sugestão: se lhe for útil, pode utilizar a igualdade enunciada na alínea 68.1 para resolver o problema. b) Admita agora que em Vale do Rei moram 120 raparigas. Pretende-se formar uma comissão de 5 raparigas, para organizar um baile. Quantas comissões diferentes se

xi 1 2 3 P(X=xi

) a 2a a

69. Na figura estão representados os gráficos de 2 distribuições normais. Uma das distribuições tem valor médio a e desvio padrão b. A outra distribuição tem valor médio c e desvio padrão d. Os gráficos são simétricos em relação à mesma recta r. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) a=c e b>d (B) a=c e b<d (C) a>c e b=d (D) a<c e b=d

(2ª chamada) 70. O João utiliza, por vezes, o autocarro para ir de casa para a escola. Seja A o acontecimento: “O João vai de autocarro para a escola”. Seja B o acontecimento: “O João chega atrasado à escola”. Uma das igualdades abaixo indicadas traduz a seguinte afirmação: “Metade dos dias em que vai de autocarro para a escola, o João chega atrasado”. Qual é essa igualdade? (A) P(A∩B)=0,5 (B) P(A∪B)=0,5 (C) P(A|B)=0,5 (D) P(B|A)=0,5

(2ª chamada) 71. Considere todos os números de 4 algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. 1. Escolhe-se, ao acaso, um desses números. a) Determine a probabilidade de o nº escolhido ter exactamente 2 algarismos iguais a 1. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. b) Determine a probabilidade de o nº escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior do que 9800. Apresente o resultado na forma de dízima, com 3 casas decimais. 2. Considere o seguinte problema: “De todos os números de 4 algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as 3 condições



podem formar com exactamente 2 raparigas louras? (1ª chamada)

seguintes:

começam por 9; têm os algarismos todos diferentes; a soma dos 4 algarismos é par. Quantos são esses números?” Uma resposta correcta a este problema é 3×4×4A2+4A3. Numa pequena composição, com cerca de 20 linhas, explique porquê.

(2ª chamada) 72. Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, 6 livros, dois dos quais são de Astronomia. De quantas maneiras diferentes o podemos fazer, de tal forma que os 2 primeiros livros, do lado esquerdo, seja os de Astronomia? (A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 60

(2ª fase) 73. Na figura está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esquematizada na figura B.

Lança-se este dado 2 vezes. Considere as seguintes variáveis aleatórias, associadas a esta experiência: X1: nº saído no 1º lançamento. X2: quadrado do nº saído no 2º lançamento. X3: soma dos nºs saídos nos 2 lançamentos. X4: produto dos nºs saídos nos 2 lançamentos.

Uma destas 4 variáveis tem a seguinte distribuição de probabilidades:

Qual delas? (A) X1 (B) X2 (C) X3 (D) X4

(2ª fase) 74. Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas por 4 naipes de 13 cartas cada: Espadas, Copas, Ouros e Paus. Cada naipe tem 3 figuras: Rei, Dama e Valete. a) Retirando, ao acaso, 6 cartas de um baralho completo, qual é a probabilidade de, entre elas, haver um e um só Rei? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas. b) De um baralho completo extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, 2 cartas. Sejam E1, C2 e F2 os acontecimentos: E1: sair Espadas na 1ª extracção; C2: sair Copas na 2ª extracção; F2: sair uma figura na 2ª extracção; Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P((F2∩C2)|E1). Numa pequena composição, com cerca de 10 linhas, explicite o raciocínio que efectuou. O valor pedido deverá resultar apenas da interpretação do significado de P((F2∩C2)|E1), no contexto da situação descrita.

(2ª fase)

(Exames Nacionais 2003) 75. Seja E o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A⊂E e B⊂E). Tem-se que: P(A)=0,3 e P(B)=0,5. Qual dos números seguintes pode ser o valor de P(A∪B)? (A) 0,1 (B) 0,4 (C) 0,6 (D) 0,9 (1ª chamada) 76. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa. Seja X o maior dos números saídos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória ?

(1ª chamada)

77. No balcão de uma geladaria existe um recipiente com dez compartimentos, cinco à frente e cinco atrás, para colocar gelado. Em cada compartimento só é colocado um sabor, e nunca existem dois compartimentos com o mesmo sabor. Num certo dia, a geladaria tem sete sabores disponíveis: cinco são de fruta (morango, ananás, pêssego, manga e framboesa) e os outros dois são baunilha e chocolate. a) De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente? b) De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente, de tal forma que os cinco de fruta preencham a fila da frente? (1ª chamada) 78. Considere duas caixas: caixa A e caixa B. A caixa A contém duas bolas verdes e cinco bolas amarelas. A caixa B contém seis bolas verdes e uma bola amarela. Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair face 1, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa A. Caso contrário, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa B. Considere os acontecimentos: X: Sair face par no lançamento do dado Y: Sair bola verde Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P(Y|X) e, numa pequena composição (cinco a dez linhas), justifique a sua resposta. Nota: comece por indicar o significado de P(Y|X), no



contexto da situação descrita. (1ª chamada)

79. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19600. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20876. Qual é o terceiro número da linha seguinte? (A) 1275 (B) 1581 (C) 2193 (D) 2634 (2ª chamada) 80. Um saco contém bolas azuis, brancas e pretas. Tira-se, ao acaso, uma bola do saco. Sejam os acontecimentos: A - a bola retirada é azul B - a bola retirada é branca Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A e B são contrários (B) A e B são contrários (C) A e B são incompatíveis (D) A e B são incompatíveis (2ª chamada) 81. O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos: A, B, AB e O. Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o factor Rhésus. Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhésus positivo (Rh+); se não possui este factor, diz-se Rhésus negativo (Rh-). Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respectivos Rhésus estão repartidos da seguinte forma:

a) Escolhido um português ao acaso, qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneo não ser o O? Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às unidades. b) Escolhido um português ao acaso, e sabendo que é Rhésus negativo, qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneo ser o A? Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às unidades. (2ª chamada) 82. Considere o seguinte problema: Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá, verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos em cada uma delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente, cinco jovens irão ficar sem bilhete. Qual é a probabilidade de uma das filas ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas? Uma resposta correcta para este problema é: 12 13

25C C

C10 10

20

2 10 ! 10 !

20 !

× × × ×

×

Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: • referência à Regra de Laplace; • explicação do número de casos possíveis; • explicação do número de casos favoráveis. (2ª chamada) 83. Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o 2º elemento é 35. Escolhem-se, ao acaso, 2 elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de esses 2 elementos serem iguais? (A) 35

2

19C

(B) 362

35C

(C) 352

1C

(D) 362

18C

(2ª fase) 84. A Patrícia tem 1 caixa com 5 bombons de igual aspecto exterior, mas só 1 é que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, 1 bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor. Seja X a variável aleatória “nº de bombons sem licor que a Patrícia come”. Qual é a distribuição de probabilidades da variável X?

(2ª fase) 85. De um baralho de cartas, seleccionam-se 6 cartas do naipe de espadas; Ás, Rei, Dama, Valete, Dez e Nove. Dispõem-se as 6 cartas, em fila, em cima de uma mesa. a) Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que as 2 cartas do meio sejam o Ás e o Rei (não necessariamente por esta ordem)? b) Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que o Rei não fique ao lado da Dama? (2ª fase) 86. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B 2 acontecimentos possíveis (A⊂S e B⊂S). Sabe-se que: P(A∩B)=0,1; P(A∪B)=0,8; P(A|B)=0,25. Prove que A e A são acontecimentos equiprováveis. (2ª fase)




87. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) A soma das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1 (B) O produto das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1 (C) A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1 (D) O produto das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1

(1ª fase) 88. Uma pessoa vai visitar cinco locais, situados no Parque das Nações, em Lisboa: o Pavilhão de Portugal, o Oceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o Pavilhão do Conhecimento. De quantas maneiras diferentes pode planear a sequência das cinco visitas, se quiser começar na Torre Vasco da Gama e acabar no Oceanário? (A)6 (B) 12 (C) 24 (D) 120

(1ª fase) 89. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro moedas de 50 cêntimos. O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso. a) Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X, apresentando as probabilidades na forma de fracção irredutível. b) Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de que elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresente o resultado sob a forma de fracção irredutível.

(1ª fase)

90. De quantas maneiras distintas podem ficar sentados três rapazes e quatro raparigas num banco de sete lugares, sabendo que se sentam alternadamente por sexo, ou seja, cada rapaz fica sentado entre duas raparigas? (A) 121 (B) 133 (C) 144 (D) 156

(2ª fase) 91. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A⊂S e B⊂S). Sabe-se que: P(A)=0,3 ; P(A∩B)=0,1 ; P(A∪B)=0,8. Qual é o valor de P( B )? (A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4

(2ª fase) 92. Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. a) Considere os acontecimentos A e B: A- «sai face par»; B-«sai um número menor do que 4». Indique o valor da probabilidade condicionada P(B|A). Justifique a sua resposta. b) Considere agora que o dado é lançado três vezes. Qual é a probabilidade de a face 6 sair, pela primeira vez, precisamente no terceiro lançamento? Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às décimas.

(2ª fase) 93. Considere o seguinte problema: Um saco contém doze bolas, indistinguíveis ao tacto: três bolas com o número 1, cinco bolas com o número 2 e quatro bolas com o número 3. Retiram-se, do saco, três bolas, ao acaso. Qual é a probabilidade de a soma dos números saídos ser igual a cinco? Uma resposta correcta para este problema é

Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: * referência à Regra de Laplace; * explicação do número de casos possíveis; * explicação do número de casos favoráveis.

(2ª fase)




94. Seja Ω o espaço de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam X e Y dois acontecimentos (X⊂Ω e Y⊂Ω). Apenas uma das afirmações seguintes não é equivalente à igualdade P(X∩Y)=0. Qual? (A) X e Y são acontecimentos incompatíveis. (B) X e Y não podem ocorrer simultaneamente. (C) Se X ocorreu, Y não pode ocorrer. (D) X e Y são ambos impossíveis.

(1ª fase) 95. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela

(a e b designam números reais). A média da variável aleatória X é igual a 1. Qual é o valor de a e qual é o valor de b ? (A) a = ½ b = ¼ (B) a = 3/5 b = 1/5 (C) a = 2/3 b = 1/6 (D) a = ½ b = 1/6

(1ª fase) 96. Num saco, estão três bolas pretas e nove bolas brancas, indistinguíveis ao tacto. Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as doze bolas do saco. Determine: a) A probabilidade de as duas primeiras bolas extraídas não serem da mesma cor. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. b) A probabilidade de as três bolas pretas serem extraídas consecutivamente (umas a seguir às outras). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(1ª fase) 97. Considere um prisma regular em que cada base tem n lados. Numa pequena composição, justifique que o número total de diagonais de todas as faces do prisma (incluindo as bases) é dado por 2(nC2 − n) + 2n

(1ª fase)

98. Considere 2 caixas, A e B, cada uma delas contendo 4 bolas numeradas, tal como a figura abaixo ilustra.

Extraem-se, ao acaso, duas bolas da caixa A e uma bola da caixa B. Multiplicam-se os nºs das 3 bolas retiradas. Qual é a probabilidade de o produto obtido ser um nº par?

(A) 0 (B) 1 (C) 4 42 12 1C C××

(D) 3 1

4 42 1

2 1

C CC C

××

(2ª fase)

99. Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas 4 figuras (as figuras são círculos ou quadrados e estão pintadas de branco ou de preto). Para cada opção, considere:» a experiência que consiste na escolha aleatória de uma das 4 figuras; » os acontecimentos: X: «a figura escolhida é um quadrado»; Y: «a figura escolhida está pintada de preto». Em qual das opções se tem P(X|Y)=1/2?

(2ª fase)

100. O João tem 14 discos de música ligeira: 6 são portugueses; 4 são espanhóis; 3 são franceses; 1 é italiano. a) O João pretende seleccionar 4 desses 14 discos. a1) Quantos conjuntos diferentes pode o João fazer, de tal modo que os 4 discos seleccionados sejam de 4 países diferentes, ou seja, um de cada país? a2) Quantos conjuntos diferentes pode o João fazer, de tal modo que os 4 discos seleccionados sejam todos do mesmo país? b) Considere agora a seguinte experiência: o João selecciona, ao acaso, 4 dos 14 discos. Seja X a variável aleatória: «nº de discos italianos seleccionados». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fracção irredutível.

(2ª fase)



(Testes intermédios e exames 2005/2006) 101. Três raparigas e os respectivos namorados posam para uma fotografia. De quantas maneiras se podem dispor, lado a lado, de modo que cada par de namorados fique junto na fotografia? (A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48

(Intermédio 1) 102. Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas em 4 naipes (Espadas, Copas, Ouros e Paus). Em cada naipe há um Ás, três figuras (Rei, Dama e Valete) e mais nove cartas (do Dois ao Dez). A Joana pretende fazer uma sequência com seis cartas do naipe de Espadas. Ela quer iniciar a sequência com o Ás, quer que as três cartas seguintes sejam figuras e quer concluir a sequência com duas das nove restantes cartas desse naipe. Quantas sequências diferentes pode a Joana fazer? (A) 416 (B) 432 (C) 528 (D) 562

(Intermédio 1) 103. De uma certa linha do Triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois primeiros é 21. Qual é o maior termo dessa linha? (A) 169247 (B) 175324 (C) 184756 (D) 193628

(Intermédio 1) 104. Considere a função f, de domínio R, definida por

f(x)=x2−9. No gráfico desta função, considere os pontos cujas abcissas são −4, −2, 0, 2 e 4. Escolhem-se, ao acaso, dois desses cinco pontos e desenha-se o segmento de recta que tem por extremidades esses dois pontos. Qual é a probabilidade de esse segmento intersectar o eixo das abcissas? (A) 0,4 (B) 0,5 (C) 0,6 (D) 0,7

(Intermédio 1) 105. Na figura está representado um hexágono regular com os vértices numerados de 1 a 6.

Lança-se três vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Em cada lançamento, selecciona-se o vértice do hexágono que corresponde ao número saído nesse lançamento. Note que, no final da experiência, podemos ter um, dois ou três pontos seleccionados (por exemplo: se sair o mesmo número três vezes, só é seleccionado um ponto). Qual é a probabilidade de se seleccionarem três pontos que sejam os vértices de um triângulo equilátero? (A) 1/18 (B) 1/16 (C) 1/14 (D) 1/12

(Intermédio 1)

106. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e vai adicionar os números saídos. De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próxima? (A) 20000 (B) 21000 (C) 22000 (D) 23000

(Intermédio 1) 107. Admita que a variável peso, em quilogramas, das raparigas de 15 anos, de uma certa escola, é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 40. Sabe-se ainda que, nessa escola, 20% das raparigas de 15 anos pesam mais de 45 Kg. Escolhida, ao acaso, uma rapariga de 15 anos dessa escola, qual é a probabilidade de o seu peso estar compreendido entre 35 Kg e 40 Kg ? (A) 0,2 (B) 0,25 (C) 0,3 (D) 0,35

(Intermédio 1) 108. Seja C o conjunto de todos os números naturais com três algarismos (ou seja, de todos os nºs naturais de 100 a 999) a) Quantos elementos do conjunto C são múltiplos de 5? b) Quantos elementos do conjunto C têm os algarismos todos diferentes?

(Intermédio 1) 109. a) Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A⊂Ω e B⊂Ω), com P(A)>0. Sejam A e B os acontecimentos contrários de A e de B, respectivamente. Seja P(B|A) a probabilidade de B, se A. Mostre que: ( ) ( )

( ) 1 ( | )P B P A B

P A P B A− ∩

= −

b) Próximo de uma praia portuguesa, realiza-se um acampamento internacional de juventude, no qual participam jovens de ambos os sexos. Sabe-se que: a quarta parte dos jovens são portugueses, sendo os restantes estrangeiros; 52% dos jovens participantes no acampamento são do sexo feminino; considerando apenas os participantes portugueses, 3 em cada 5 são rapazes. No último dia, a organização vai sortear um prémio, entre todos os jovens participantes no acampamento. Qual é a probabilidade de o prémio sair a uma rapariga estrangeira? Apresente o resultado na forma de percentagem. Nota: se o desejar, pode utilizar a igualdade da alínea anterior (nesse caso, comece por identificar claramente, no contexto do problema, os acontecimentos A e B); no entanto, pode optar por resolver o problema por outro processo (como, por exemplo, através de uma tabela de dupla entrada ou de um diagrama em árvore).

(Intermédio 1) 110. Uma caixa, que designamos por caixa 1, contém duas bolas pretas e três bolas verdes. Uma segunda caixa, que designamos por caixa 2, contém duas bolas pretas e uma bola verde. a) Considere a seguinte experiência: retirar, ao acaso, uma bola de cada caixa. Seja X a variável aleatória «número de bolas verdes que existem no conjunto das duas bolas retiradas».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na

114. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos



forma de fracção irredutível. b) Considere agora que, tendo as duas caixas a sua constituição inicial, se realiza a seguinte experiência: ao acaso, retiram-se simultaneamente três bolas da caixa 1 e colocam-se na caixa 2; em seguida, novamente ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas da caixa 2. Sejam os acontecimentos: A: «as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»; B: «as duas bolas retiradas da caixa 2 são de cores diferentes». Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, determine o valor de P(B|A), apresentando o seu valor na forma de fracção irredutível. Numa pequena composição, explique o raciocínio que efectuou. O valor pedido deverá resultar da interpretação do significado de P(B|A), no contexto do problema, significado esse que deverá começar por explicar. c) Considere agora que, na caixa 2, tomando como ponto de partida a sua constituição inicial, se colocam mais n bolas, todas amarelas. Esta caixa fica, assim, com duas bolas pretas, uma bola verde e n bolas amarelas. Considere a seguinte experiência: ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas dessa caixa. Sabendo que a probabilidade de uma delas ser amarela e a outra ser verde é 5/39, determine o valor de n.

(Intermédio 1) 111. Todos os alunos de uma turma de uma escola secundária praticam pelo menos um dos dois desportos seguintes: andebol e basquetebol. Sabe-se que: metade dos alunos da turma pratica andebol; 70% dos alunos da turma pratica basquetebol. Escolhe-se ao acaso um aluno dessa turma e constata-se que ele é praticante de andebol. Qual é a probabilidade de ele praticar basquetebol? (A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4

(Intermédio 2) 112. Na figura está representado um dado equilibrado, bem como a respectiva planificação.

Lança-se este dado duas vezes. Seja X a variável aleatória: soma dos números saídos nos dois lançamentos. Indique o valor de k tal que P(X=k)=1/9 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(Intermédio 2) 113. Considere, num referencial o.n., um octaedro regular em que cada um dos seus vértices pertence a um dos eixos coordenados (dois vértices em cada eixo). Escolhendo, ao acaso, três vértices desse octaedro, qual é a probabilidade de eles definirem um plano perpendicular ao eixo Oy? (A) 1/3 (B) 2/3 (C) 1/5 (D) 2/5

(Intermédio 2)

(A⊂Ω e B⊂Ω). Sabe-se que P(A)=0,3. Apenas um dos acontecimentos seguintes pode ter probabilidade inferior a 0,3. Qual deles? (A) A∪B (B) A∪B (C) A∩B (D) A B∩

(1ª fase) 115. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

Indique o valor de a. (A) 2005C99 (B) 2005C100 (C) 2006C99 (D) 2006C100

(1ª fase) 116. a) Uma coluna com a forma de um prisma hexagonal regular está assente no chão de um jardim. Dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, dourado, encarnado e verde) para pintar as sete faces visíveis (as seis faces laterais e a base superior) desse prisma. Admita que se pintam de verde duas faces laterais opostas. Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas as restantes cinco faces, de tal modo • que duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes • e que duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor. b) Considere um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das suas bases está contida no plano de equação z = 2. Escolhendo ao acaso dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de eles definirem uma recta paralela ao eixo . Oz? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(1ª fase) 117. De uma caixa com dez bolas brancas e algumas bolas pretas, extraem-se sucessivamente, e ao acaso, duas bolas, não repondo a primeira bola extraída, antes de retirar a segunda. Considere os acontecimentos: A: «a primeira bola extraída é preta»; B: «a segunda bola extraída é branca». Sabe-se que P(B|A)=1/2. Quantas bolas pretas estão inicialmente na caixa? Numa pequena composição, justifique a sua resposta, começando por explicar o significado de P(B|A), no contexto da situação descrita.

(1ª fase) 118. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é

(a designa um número real). Qual é o valor médio desta variável aleatória? (A) 1,1 (B) 1,2 (C) 1,3 (D) 1,4

(2ª fase)

119. Quatro raparigas e quatro rapazes entram num 121. Uma turma de 12.º ano é constituída por raparigas, umas



autocarro, no qual existem seis lugares sentados, ainda não ocupados. De quantas maneiras diferentes podem ficar ocupados esses seis lugares, supondo que ficam dois rapazes em pé? (A) 3560 (B) 3840 (C) 4180 (D) 4320

(2ª fase) 120. Numa sala de Tempos Livres, a distribuição dos alunos por idades e sexo é a seguinte:

a) Escolhem-se dois alunos ao acaso. Qual é a probabilidade de a soma das suas idades ser igual a 12? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. b) Escolhe-se um aluno ao acaso. Sejam A e B os acontecimentos: A: «o aluno tem 7 anos»; B: «o aluno é rapaz ». Indique, justificando, o valor da probabilidade condicionada P(A|B). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. Nota: no caso de utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, explicite os valores das duas probabilidades envolvidas nessa fórmula.

(2ª fase)

de 16 anos e as restantes de 17 anos, e por rapazes, uns de 17 anos e os restantes de 18 anos. Os alunos dessa turma estão numerados consecutivamente, a partir do número 1. Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa turma e regista-se o número, a idade e o sexo desse aluno. Em cada uma das opções seguintes estão indicados dois acontecimentos, X e Y, associados a esta experiência aleatória. Opção 1: X: «O aluno escolhido tem idade superior ou igual a 17 anos» Y: «O aluno escolhido tem 16 ou 17 anos» Opção 2: X: «O número do aluno escolhido é par» Y: «O número do aluno escolhido é múltiplo de 4» Opção 3: X: «O aluno escolhido tem 18 anos» Y: «O aluno escolhido é rapariga» Opção 4: X: «O aluno escolhido é rapaz» Y: «O aluno escolhido tem 17 anos» Em apenas uma das opções acima apresentadas os acontecimentos X e Y são tais que são verdadeiras as três afirmações seguintes:

Qual é essa opção? Numa pequena composição, explique por que é que rejeita as outras três opções (para cada uma delas, indique, justificando, qual é a afirmação falsa).

(2ª fase)

(Testes intermédios e exames 2006/2007) 122. Pretende-se fazer uma bandeira com cinco tiras verticais, respeitando as seguintes condições: • duas tiras vizinhas não podem ser pintadas com a mesma cor; • cada uma das três tiras centrais pode ser pintada de vermelho ou de amarelo; • cada uma das duas tiras das extremidades pode ser pintada de branco, de azul ou de verde. De acordo com estas condições, quantas bandeiras diferentes se podem fazer? (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 32

(Intermédio 1) 123. Dois rapazes e três raparigas vão fazer um passeio num automóvel com cinco lugares, dois à frente e três atrás. Sabe-se que:• apenas os rapazes podem conduzir; • a Inês, namorada do Paulo, tem de ficar ao lado dele. De acordo com estas restrições, de quantos modos distintos podem ficar dispostos os cinco jovens no automóvel? (A) 10 (B) 14 (C) 22 (D) 48

(Intermédio 1) 124. No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma 2006Ck . Quantos elementos desta linha são menores do que 2006C4? (A) 8 (B) 6 (C) 5 (D) 3

(Intermédio 1)

125. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A⊂Ω e B⊂Ω) tais que 0<P(A)<1 e 0<P(B)<1. Sabe-se que A⊂B. Qual é o valor de P[(A∪B)∩ B ]? (A) 0 (B) P(A) (C) P(B) (D) 1

(Intermédio 1) 126. Um saco contém um certo número de cartões. Em cada cartão está escrito um número natural. Tira-se, ao acaso, um cartão do saco. Considere os acontecimentos: A: «o cartão extraído tem número par» B: «o cartão extraído tem número múltiplo de 5» C: «o cartão extraído tem número múltiplo de 10» Sabe-se que: P(C)= 38 e P(B|A)= 1516 . Qual é o valor de P(A)?

(A) 15 (B) 25 (C) 13 (D) 23 (Intermédio 1)

127. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

(a e b designam números reais positivos). Sabe-se que o valor médio da variável aleatória X é 2,4. Qual é o valor de a ? (A) 3 (B) 2,5 (C) 2 (D) 1,5

(Intermédio 1)

128. Admita que a variável altura, em centímetros, dos rapazes de 13 anos de um certo país, é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 140. Escolhido, ao

132. Um saco contém vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Ao acaso, extraem-se simultaneamente três bolas do saco e anotam-se os respectivos números. Qual é a probabilidade de



acaso, um rapaz de 13 anos desse país, sabe-se que a probabilidade de a sua altura pertencer a um determinado intervalo [a,b] é igual a 60%. Quais dos seguintes podem ser os valores de a e de b ?

(Intermédio 1)

129. Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas em 4 naipes (Espadas, Copas, Ouros e Paus). Em cada naipe há 13 cartas: um Ás, três figuras (Rei, Dama e Valete) e mais 9 cartas (do Dois ao Dez). a) Utilizando apenas o naipe de paus, quantas sequências diferentes de 13 cartas, iniciadas com uma figura, é possível construir? b) Retirando ao acaso, sucessivamente e sem reposição, seis cartas de um baralho completo, qual é a probabilidade de, entre elas, haver um e um só Ás? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.

(Intermédio 1) 130. Um saco contém dez bolas. Quatro bolas estão numeradas com o número 1, cinco com o número 2 e uma com o número 3. a) Extrai-se, ao acaso, uma bola do saco. Seja X o número da bola extraída. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na forma de dízima. b) Do saco novamente completo, tiram-se simultaneamente, ao acaso, duas bolas. Determine a probabilidade de essas duas bolas terem o mesmo número. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. c) Considere, uma vez mais, o saco com a sua constituição inicial. Tira-se, ao acaso, uma bola do saco, observa-se o número e repõe-se a bola no saco juntamente com mais dez bolas com o mesmo número. Seguidamente, tira-se, ao acaso, uma segunda bola do saco. Sejam A e B os acontecimentos : A: «sair bola com o número 1 na primeira extracção» B: «sair bola com o número 1 na segunda extracção» Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique, na forma de fracção, o valor de P(B|A). Numa pequena composição, explique o seu raciocínio, começando por referir o significado de P(B|A), no contexto da situação descrita.

(Intermédio 1) 131. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A⊂Ω e B⊂Ω). Sabe-se que A e B são acontecimentos independentes, que P(B)= 23 e que P(A∩B)= 12 . Determine o valor de P(A∪B). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(Intermédio 1)

o maior desses três números ser 10?

(Intermédio 2)

133. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam A e B dois acontecimentos (A⊂Ω e B⊂Ω), ambos com probabilidade não nula. Sabe-se que P(A∪B)=P(A)+P(B). Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A|B)? (A) 0 (B) 1 (C) P(A) (D) ( )

( )P AP B

(Intermédio 2) 134. O Jorge tem seis moedas no bolso. Ele retira, simultaneamente e ao acaso, duas dessas seis moedas. Seja X a quantia, em cêntimos, correspondente às duas moedas retiradas. Sabe-se que a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é

Quais poderiam ser as seis moedas que o Jorge tinha inicialmente no bolso?

(Intermédio 2)

135. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um paralelepípedo rectângulo. Qual é a probabilidade de que esses dois vértices sejam extremos de uma aresta?

(1ª fase)

136. As cinco letras da palavra TIMOR foram pintadas, cada uma em sua bola. As cinco bolas, indistinguíveis ao tacto, foram introduzidas num saco. Extraem-se, aleatoriamente, as bolas do saco, sem reposição, e colocam-se em fila, da esquerda para a direita. Qual é a probabilidade de que, no final do processo, fique formada a palavra TIMOR, sabendo--se que, ao fim da terceira extracção, estava formada a sucessão de letras TIM?

(1ª fase)

137. Considere todos os números de três algarismos que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. a) Escolhe-se, ao acaso, um desses números. Sejam os acontecimentos:

140. Lançaram-se dois dados, ambos com as faces numeradas de um a seis. Sabe-se que a soma dos números saídos foi quatro. Qual é a probabilidade de ter saído o mesmo número, em ambos os dados?



A: «O número escolhido é múltiplo de 5»; B: «O número escolhido tem os algarismos todos diferentes». Averigúe se A e B são, ou não, acontecimentos independentes. b) Considere o seguinte problema: De entre todos os números de três algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em quantos deles o produto dos seus algarismos é um número par? Uma resposta correcta a este problema é: 9A3 − 5A3 . Numa pequena composição explique porquê.

(1ª fase) 138. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A, B e C três acontecimentos (A⊂Ω, B⊂Ω e C⊂Ω) tais que (A∪B)∩C=∅. Sabe-se que P(A)=0,21 e que P(C)=0,47. Calcule P(A∪C), utilizando as propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das probabilidades.

(1ª fase) 139. Dois cientistas, que vão participar num congresso no estrangeiro, mandam reservar hotel na mesma cidade, cada um sem conhecimento da marcação feita pelo outro. Sabendo que nessa cidade existem sete hotéis, todos com igual probabilidade de serem escolhidos, qual é a probabilidade de os dois cientistas ficarem no mesmo hotel? (A) 17 (B) 27 (C) 57 (D) 67

(2ª fase)

(A) 15 (B) 14 (C) 13 (D) 12 (2ª fase)

141. De um baralho de cartas, seleccionaram-se 16 cartas (4 ases, 4 reis, 4 damas e 4 valetes). Dividiram-se as 16 cartas em dois grupos: um com os ases e os reis e outro com as damas e os valetes. Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada grupo (sem reposição). Qual é a probabilidade de obter um conjunto formado por um ás, um rei, uma dama e um valete, não necessariamente do mesmo naipe? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(2ª fase) 142. Considere um espaço de resultados finito, Ω, associado a uma certa experiência aleatória. A propósito de dois acontecimentos X e Y (X⊂Ω eY⊂Ω), sabe-se que P(X)=a, P(Y)=b e X e Y são independentes. a) Mostre que a probabilidade de que não ocorra X nem ocorra Y é igual a 1−a− b+ a × b b) Num frigorífico, há um certo número de iogurtes e um certo número de sumos. Tiram-se do frigorífico, ao acaso, um iogurte e um sumo. Sabe-se que a probabilidade de o iogurte ser de pêssego é 15 e a probabilidade de o sumo ser de laranja

é 13 .Admita que os acontecimentos «tirar um iogurte de pêssego» e «tirar um sumo de laranja» são independentes. Utilizando a expressão mencionada em a), determine a probabilidade de, ao tirar, ao acaso, um iogurte e um sumo do frigorífico, o iogurte não ser de pêssego e o sumo não ser de laranja. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(2ª fase) Soluções: 1. D 2. 210; 6; 1/28 3. 60%; 25% 4. 2/9 5. 4,13x10-4 6. B 7. 4845; 61/969 8. C 9. A 10. A 11. B 12. A 13. 1/5 14. A 15. C 16. 0,216% 17. D 18. B 19. 0,1(63) 20. 2/21 21. C 22. B 23. 75075; 0,114 24. B 25. 2916; 0,504 26. D 27. A 28. 3% 29. C 30. A 31. 1º 32. D 33. B 34. 120; 1/3 35. D 36. A 37. 70; 51% 38. C 39. C 40. 72; 2/9 41. A 42. C 43. 2/5 45. B 46. B 47. 3628800; 103680; 1/15 48.C 49. A 50. 0,134 51. A 52. A 53.16/17; 4% 54. C 55. D 56. 35%; 1/3; 1/15 57. C 58. A 59. 0,0000079 60. D 61.C 62. 1/9 63. C 64. B 65. 1656; 10350; 13/23. 66. D 67. B 68. 7/12; 64084800 69. B 70. D 71. 6%; 0,006 72. C 73. D 74. 0,336; 1/17 75. C 76. A 77. 604800; 2400 78. 6/7 79. A 80.C 81. 58%; 44% 83. D 84. A 85. 48; 480 87. C 88. A 89. 2/5, 8/15, 1/15; 1/7 90. C 91. D 92. 1/3; 11,6% 94. D 95. C 96. 9/22; 1/22 98. B 99. B 100. 72; 16; xi: 0 e 1; pi: 5/7 e 2/7 101. D 102. B 103. C 104. C 105. A 106. B 107. C 108. 180; 648 109. 0,42 110. xi: 0, 1, 2 e pi: 4/15, 8/15, 1/5; 8/15; 10 111. D 112. B 113. C 114. C 115. B 116. 60; 1/11 117. 11 118. A 119. D 120. 81/253; 2/9 121. 4 122. B 123. B 124. A 125. A 126. B 127. C 128. C 129. 1437004800; 0,34 130. xi: 1, 2 e 3; 0,4, 0,5 e 0,1; 16/45; 7/10 131. 11/12 132. D 133. A 134. D 135. A 136. C 137. Sim 138. 0,68 139. A 140. C 141. 16/49 142. 8/15

As Probabilidades e a Combinatória na Literatura (http://www.prof2000.pt/users/roliveira0/Literat0.htm) “Entre irmãos, há 25% de probabilidade de os tecidos [da medula óssea] serem compatíveis (...) ”

AS CHAVES DA RUA, Ruth Rendell “O Dr. Kilvan [explicou que] relativamente aos americanos, o risco de contrair cancro do pulmão para um fumador de quinze cigarros por dia durante vinte anos é dez vezes maior do que para um não-fumador. No caso de dois maços por dia, o risco é vinte vezes maior, e no caso de três (...) o risco é vinte e cinco vezes maior ”

O JÚRI, John Grisham “O homem inseriu a placa no leitor de cartões e ligou o instrumento. - Experimenta todas as combinações possíveis – explicou. ”

O TERCEIRO GÉMEO, Ken Follet “O rótulo do novo factor dizia qualquer coisa acerca de menos de um por cento de probabilidade de se contrair sida.”

VENCENDO AS LÁGRIMAS, Jeanne White e Susan Dworkin “(...)sem contar com a argúcia e a experiência da gente pedinchante, sempre que é preciso recorrer ao cálculo de probabilidades, mínimas neste caso.”

O EVANGELHO SEGUNDO JESUS CRISTO, José Saramago



“(...)por isso a mulher foi-se. Ou morreu, ou divorciou-se, por isso eu tinha cinquenta por cento de probabilidades de acertar.” JOGO MORTÍFERO, Lee Child

“Por fim, a selecção do alvo pode ser específica ou aleatória. É óbvio que o terramoto mataria muita gente indiscriminadamente, portanto é aleatória.”

O MARTELO DO PARAÍSO, Ken Follet ”No jogo da roleta da pena de morte, uma hipótese de cinquenta porcento era quase uma certeza.”

A CÂMARA, John Grisham ” (...) mas que as probabilidades de sermos bem-sucedidos se ficam pelos cinquenta porcento. E as de sairmos ilesos são ainda mais baixas.”

SOMBRAS SOBRE A BABILÓNIA, David Mason

”- Põe-te mais na vertical, Jeff – instruí-o – Nesse ângulo, o teu peso empurra-te os pés para o lado e tens mais probabilidades de escorregar.” STINGER, John Nichol

”Provavelmente verá a rapariga da mão paralisada, logo à noite, na sala de jantar, é uma probabilidade, como também o são o homem gordo, o magro de luto, as crianças pálidas e seus pletóricos pais[...]” ”[...]Não estou a brincar, aliás, não percebo esse espanto, se um homem vai para a cama com uma mulher, persistentemente, são muitas as probabilidades de virem a fazer um filho, foi o que aconteceu neste caso [...]”

O ANO DA MORTE DE RICARDO REIS, José Saramago ”-Portanto, ele introduziu na nota, ao acaso, frases soando a estrangeiro a fim de nos despistar.” ”Uma das câmaras de vídeo estava apontada aos olhos de Czisman e fazia continuamente testes à retina para análise das ‘probabilidades de verdade’, ou seja, para detecção de mentiras.” ”-Tenho tentado ampliá-la para lhe ver o rosto. Tenho noventa por cento de certeza de que ele é branco.” ”A seguir a esta frase, o computador inseria combinações de letras extraídas dos fragmentos de cinza. Acabara de acrescentar a letra i a seguir ao R. Outra estava já a formar-se à frente dessa.”

A LÁGRIMA DO DIABO, Jeffery Deaver ”Dez dígitos. Sophie calculou relutantemente as probabilidades criptográficas. Dez mil milhões de escolhas possíveis. Mesmo que pudesse usar os mais potentes computadores de processamento em rede da DCPJ, precisaria de semanas para decifrar o código.” ”- Como vê – continuou Sophie -, a única maneira de obter a informação é conhecer a senha, com cinco letras. E com cinco anéis, cada um deles com vinte e seis letras, temos vinte e seis elevado à quinta potência. – Fez rapidamente as contas. – Cerca de doze milhões de possibilidades.”

O CÓDIGO DA VINCI, Dan Brown ”Em Abulafia a palavra de ordem podia ser de sete letras. Quantas combinações de sete letras se podiam dar com as vinte e cinco letras do alfabeto, calculando também as repetições, porque nada impedia que a palavra fosse ‘cadabra’? Existe uma fórmula em qualquer parte, e o resultado devia ser de seis biliões e qualquer coisa. Tendo uma calculadora gigante, capaz de encontrar seis mil milhões de combinações a um milhão por segundo, teria porém de comunicá-la a Abulafia uma a uma, para as experimentar, e já sabia que Abulafia demoraria cerca de dez segundos para pedir e depois verificar o password. Portanto, sessenta mil milhões de segundos. Como um ano tem pouco mais de trinta e um milhões de segundos, façamos trinta para arredondar, o tempo de trabalho seria de cerca de dois mil anos. Nada mau.” ”- Experimenta, escreve I, H, V, H, quando te pedir o input, e põe o programa a trabalhar. Talvez fiques mal: as combinações possíveis são só vinte e quatro. - santos Serafins! E o que fazes tu com vinte e quatro nomes de Deus? Julgas que os nossos sábios não fizeram já o cálculo? Mas lê o Sefer Jerisah, décima sexta acção do capítulo quatro. E não tinham calculadoras. ‘Duas Pedras constroem duas Casas. Três Pedras constroem seis Casas. Quatro Pedras constroem vinte e quatro Casas. Cinco Pedras constroem cento e vinte Casas. Seis Pedras constroem setecentas e vinte Casas. Sete Pedras constroem cinco mil e quarenta Casas. Daqui para diante vai e pensa no que a boca não pode dizer e a orelha não pode ouvir.’ Sabes como é que se chama hoje a isto? Cálculo factorial. E sabes porque é que a Tradição te avisa que daqui para diante é melhor desistires? Porque se as letras do nome de Deus fossem oito as combinações seriam quarenta mil e se fossem dez seriam três milhões e seiscentas mil, e as combinações do teu pobre nome seriam quase quarenta milhões, e agradece a Deus por não teres a middle initial como os americanos, senão chegarias a mais de quatrocentos milhões. E se as letras do nome de Deus fossem vinte e sete, porque o alfabeto hebraico não tem vogais, mas sim vinte e dois sons mais cinco variantes – os seus nomes possíveis seriam um número de vinte e nove algarismos. Mas deverias calcular também as repetições, porque não se pode excluir que o nome de Deus seja Alef repetido vinte e sete vezes, então o factorial já não te chegaria e terias de calcular vinte e sete à vigésima sétima: e terias, julgo eu, quatrocentos e quarenta e quatro biliões de biliões de biliões de possibilidades, ou pelo menos, de qualquer modo, um número de trinta e nove algarismos.”

O PÊNDULO DE FOUCAULT, Umberto Eco ”Nesta expedição em busca do capitão Grant a soma de probabilidades parecia aumentar todos os dias.” ”Visto que a presença de Harry Grant se tornara um facto indiscutível, as consequências da expedição podiam ser grandes. Aumentava o número de probabilidades favoráveis.” ”Diz-se que entre um carcereiro que vela e um preso que quer fugir, as probabilidades são a favor do preso.”

OS FILHOS DO CAPITÃO GRANT, Jules Verne ”- Use uma média! – gritou Fichter, que se precipitou para o quadro e começou a colocar valores nos cálculos de probabilidades.” ”Era só uma probabilidade, tão aleatória como a probabilidade anterior de infiltração no programa do reactor nazi. E essa operação resultara em cheio.”

A EQUAÇÃO HIMMLER, William P. Kennedy ”Cheirava a urina – um cheiro comum numa cidade onde os bares excediam os urinóis públicos numa proporção de vinte para um.”

ANJOS E DEMÓNIOS, Dan Brown

O professor: RobertOliveira

Internet: roliveira.pt.to

Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (12.º ano B) - pág. 1

Escola Secundária de Francisco Franco Matemática B – 12.º ano

Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em Exames (2006) 1. Suponha que, com o objectivo de angariar fundos, o presidente de uma instituição de solidariedade social lhe propõe que invente um jogo de dados, cujos lucros revertam a favor da instituição. Neste jogo, a realizar-se na sede da instituição, deverão participar dois jogadores, apostando cada um deles uma determinada quantia por jogada. O prémio de cada jogada será a soma das duas quantias. Em cada jogada, é lançado um par de dados, numerados de um a seis, e registada a soma dos números saídos. O jogo deverá obedecer ainda às seguintes restrições: » o jogo terá de ser justo, isto é, os dois jogadores deverão ter igual probabilidade de ganhar; » para que o jogo seja mais emotivo, deverão ocorrer situações em que ninguém ganha, transitando o valor do prémio para a jogada seguinte; » uma vez que a instituição terá de ganhar dinheiro, deverá ocorrer uma situação (embora com probabilidade mais pequena do que a probabilidade de cada um dos jogadores ganhar) em que o prémio reverta a favor da instituição. Numa curta composição, com cerca de dez linhas, apresente uma proposta de um jogo que obedeça a tais condições. Deverá fundamentar a sua proposta indicando, na forma de percentagem, a probabilidade de, em cada jogada: » cada um dos jogadores ganhar; » a instituição ganhar. Sugestão: comece por elaborar uma tabela onde figurem todas as somas possíveis (no lançamento de dois dados).

(Exemplos Gave)

2. Numa festa de aldeia, foi montado um palco para a realização de um espectáculo. Em frente deste, colocou-se uma plateia, com um total de 465 cadeiras, dispostas em filas. Em cada fila, as cadeiras foram encostadas umas às outras, sem intervalos entre elas. A plateia tem 15 filas. A organização do espectáculo decidiu distribuir, ao acaso, os 465 bilhetes para os lugares sentados. A Nazaré recebeu um bilhete. Ela sabe que, em cada fila, os dois lugares situados nas extremidades (um em cada ponta) têm má visibilidade para o palco, pelo que gostaria que não lhe calhasse um lugar desses. Qual é a probabilidade de a Nazaré ver satisfeita a sua pretensão? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(Exame 1ª fase)

3. A empresa de telecomunicações TLV efectuou um estudo estatístico relativo a todos os modelos de telemóveis já vendidos pela empresa. Este estudo revelou que o número n, em milhares, de unidades vendidas, depende do preço p (em euros) de cada telemóvel, de acordo com o seguinte diagrama de dispersão.

a) Admita que a empresa possui um ficheiro com os nomes de todos os clientes e, para cada um deles, o preço do telemóvel adquirido (cada cliente adquiriu apenas um telemóvel). Para assinalar o seu aniversário, a TLV resolveu sortear uma viagem entre os seus clientes. Qual é a probabilidade de a viagem sair a um cliente que tenha comprado um telemóvel por um preço inferior a 180 euros? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. b) Recorrendo à sua calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre as variáveis p e n. Apresente o valor pedido arredondado às centésimas. Explique como procedeu, reproduzindo na sua folha de prova as listas que introduziu na calculadora. Tendo em conta o diagrama de dispersão apresentado na figura acima, interprete o valor obtido. c) A TLV vai lançar um novo modelo de telemóvel. Com base no estudo efectuado, bem como noutros indicadores, esta empresa prevê, relativamente ao modelo que vai ser lançado, que a relação entre n (número, em milhares, de telemóveis que serão vendidos) e p (preço de cada telemóvel do novo modelo) estará de acordo com a expressão n = 0,03p + 10 Seja q a quantia (em euros) que a empresa prevê vir a receber pela venda dos telemóveis do novo modelo. Escreva uma expressão que dê a quantia q, em função do preço p de cada telemóvel. Apresente essa expressão na forma de um polinómio reduzido.

(Exame 1ª fase)

4. Num certo concelho do nosso país, uma empresa de informática vai facultar um estágio, durante as férias do Verão, aos alunos do 11.º ano, das escolas desse concelho, que tenham obtido classificação final superior a 15 valores, quer a Matemática, quer a Informática. As classificações finais nas disciplinas de Matemática e de Informática obtidas pelos 50 alunos desse concelho que satisfaziam as condições requeridas foram tratadas estatisticamente. Desse tratamento resultaram os gráficos apresentados a seguir.

a) Depois de ter calculado, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações, a Ângela comentou: «As médias das classificações a Matemática e a Informática são iguais, mas o mesmo não se passa com os desvios padrão».



a1) Conclua que a Ângela tem razão na sua afirmação, calculando, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações. a2) O Pedro, que estava a tratar os dados em conjunto com a Ângela, comentou: «Quando me disseste que as médias eram iguais, eu, observando os gráficos, concluí logo que os desvios padrão eram diferentes». Tendo em conta que o desvio padrão mede a variabilidade dos dados relativamente à média, explique como poderá o Pedro ter chegado àquela conclusão. b) Sabe-se que, dos alunos que obtiveram 20 a Informática, metade obteve também 20 a Matemática. A empresa vai sortear um prémio entre os alunos que obtiveram classificação igual ou superior a 19, na disciplina de Matemática.

Qual é a probabilidade de o prémio sair a um aluno que obteve 20 nas duas disciplinas? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(Exame 2ª fase)

5. A Ana e a Fátima têm de ler, para a disciplina de Português, um livro com 255 páginas numeradas, da página 1 (primeira página do livro) à página 255 (última página do livro). Escolhida, ao acaso, uma das 255 páginas numeradas do mesmo livro, qual é a probabilidade de o número dessa página ter, pelo menos, dois algarismos e começar por 2? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

(Exame 2ª fase)

Exercícios saídos em Exames (2007) 6. Dispõe-se de dois dados perfeitos, um tetraedro e um cubo, com faces numeradas de 1 a 4 e de 1 a 6, respectivamente. Considere a experiência aleatória que consiste em lançar, simultaneamente, os dois dados e registar a soma do número da face que fica voltada para baixo, no caso do tetraedro, com o número da face que fica voltada para cima, no caso do cubo. a) Construa o modelo de probabilidades associado à experiência aleatória considerada. Apresente as probabilidades na forma de fracção. Nota: Construir um modelo de probabilidades consiste em construir uma tabela, associando aos resultados da experiência aleatória a respectiva probabilidade. b) Com base na experiência aleatória descrita, a Ana e o João decidem fazer um jogo. A Ana lança o tetraedro e o João lança o cubo. A Ana sugere que as regras do jogo consistam no seguinte: • ganha o João se a soma dos números saídos for ímpar; • ganha a Ana se a soma dos números saídos for par. Porém, o João diz que as regras não são justas, afirmando que a Ana tem vantagem, uma vez que existem mais somas pares do que ímpares. Num pequeno texto, comente o argumento do João, referindo se ele tem, ou não, razão. Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta: • uma análise do argumento do João, referindo o número de somas pares e o número de somas ímpares; • o valor da probabilidade de «sair soma par»; • o valor da probabilidade de «sair soma ímpar»; • conclusão final, referindo se o João tem, ou não, razão.

(Nacional 1ª fase)

7. A evolução da massa salarial de um conjunto de trabalhadores é, por vezes, explicável através de modelos matemáticos. Numa dada empresa, fez-se um estudo comparativo da evolução dos vencimentos (em euros) de dois trabalhadores, A e B, entre 1998 e 2006. Relativamente ao trabalhador A, o valor do vencimento mensal em cada ano, no período compreendido entre 1998 e 2006, é apresentado na tabela seguinte e reproduzido num diagrama de dispersão.

Utilizando a sua calculadora, indique um valor aproximado do coeficiente de correlação linear entre as variáveis descritas na tabela (anos/salário) referente ao trabalhador A. Apresente o resultado com duas casas decimais. Interprete esse valor, tendo em conta o diagrama de dispersão correspondente.

(Nacional 2ª fase)

8. À entrada para o recinto do jogo [de um campo de futebol de um dado clube], cada espectador, sócio ou não sócio, recebeu um cartão numerado para se habilitar a um sorteio. Estavam presentes 6825 espectadores, dos quais 40% eram não sócios. Foram sorteados, simultaneamente, dois números. Qual a probabilidade de ambos os contemplados serem sócios? Apresente o resultado final com aproximação às centésimas.

(Nacional 2ª fase)



9. O Dino e a Custódia compraram vários discos compactos de categorias diferentes, a saber:

Clássica Jazz Pop Dino 2 5 3 Custódia 3 3 7

Escolhe-se um disco comprado ao acaso. Qual é a probabilidade de esse disco ter sido comprado pelo Dino e não ser de musica Clássica? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

(Escola 2ª fase) 10. O Hélio contou as várias vezes que o autocarro que utiliza chega atrasado e elaborou um gráfico com os minutos que o autocarro chega atrasado e as respectivas probabilidades:

a) Calcule a probabilidade de o autocarro se atrasar mais de dois minutos. b) Justifique que k = 0,1. c) Recorrendo à sua calculadora, determine o valor médio (arredondados às décimas). Explique como procedeu, reproduzindo na sua folha de prova as listas que introduziu na calculadora. Interprete o valor obtido no contexto do problema.

(Escola 2ª fase)

Exercícios saídos em Exames (2008) 11. O «jogo da moedinha» consiste no seguinte: cada jogador (num conjunto de dois ou mais) esconde zero, uma, duas ou três moedas, numa das suas mãos. Seguidamente, cada um dos jogadores tenta adivinhar o número total de moedas «escondidas». O David e o Pedro jogam com frequência o «jogo da moedinha». Admita que cada um deles escolhe, aleatoriamente e com igual probabilidade, o número de moedas, entre zero e três, que vai esconder na sua mão. a) Seja Y a variável aleatória «número total de moedas escondidas pelo David e pelo Pedro». Construa a tabela de distribuição de probabilidade da variável aleatória Y. Indique se é mais provável que o número total de moedas escondidas pelo David e pelo Pedro seja menor do que dois ou maior do que três. b) Considere X a variável aleatória «número de vezes por semana que os dois amigos se encontram para realizar o referido jogo». Admita que a seguinte tabela corresponde à distribuição de probabilidade da variável X.

Determine o valor de a e calcule o valor médio da variável aleatória X.

(Nacional 1ª fase)

12. Admita agora que, no tanque, existem 300 robalos e 200 trutas. a) Vai ser pescado, ao acaso, um peixe do tanque. Admita que cada peixe tem igual probabilidade de ser pescado. Qual é a probabilidade de se pescar um robalo? b) Foram retirados do tanque doze robalos. Os valores dos respectivos comprimentos e pesos são os que constam da seguinte tabela.

Recorrendo à calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre as variáveis a e p, arredondado às centésimas. Interprete o valor obtido, tendo em conta a nuvem de pontos que pode visualizar na calculadora.

(Nacional 2ª fase)



Exercícios saídos em Exames (2009) 13. Numa determinada região, existe um parque natural no qual vivem diferentes espécies de animais, cada uma no seu habitat. Uma empresa pretende instalar uma unidade fabril nessa região, a sul do parque natural, e, para tal, aguarda decisão das entidades responsáveis. Para apoio dessa decisão, foi elaborado um estudo de impacto ambiental. De acordo com esse estudo, prevê-se que o nível de concentração diário de um poluente, em partes por milhão (p.p.m.), originado pelo escoamento de águas residuais, siga uma distribuição normal, N (8, 2), de média μ = 8 e desvio padrão σ = 2. O estudo refere que o nível de concentração desse poluente não deverá exceder o equilíbrio ecológico aceitável de 10 p.p.m. Determine a probabilidade de, num certo dia, o nível de concentração do poluente exceder esse valor. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

(1.ª fase) 14. No Casino ALEA, em LA PLACE, um dos jogos de sorte preferidos é a «Roleta das Somas». A roleta está dividida em oito sectores iguais, numerados, como mostra o esquema da figura 1. Cada jogador executa duas jogadas. Cada jogada consiste em fazer girar a roleta e, quando esta parar, registar o número indicado. Admita que, em cada jogada, cada sector tem a mesma probabilidade de sair. A pontuação que cada jogador obtém é a soma dos números saídos nas duas jogadas. a) Seja X a variável aleatória «Soma dos números saídos nas duas jogadas». Complete a tabela de distribuição de probabilidades de X, apresentando os valores exactos de probabilidades, na forma de dízima. Para responder, copie a tabela para a sua folha de prova e preencha-a.

b) Em cada noite de jogo no casino ALEA, a «Roleta das Somas» é usada dezenas de vezes. Para efeitos de controlo pelas autoridades competentes, os serviços do casino registam o número total de jogadas realizadas em cada noite, especificando quantas vezes sai cada um dos três números diferentes registados nos sectores (1, 2 e 3). Este procedimento é utilizado, principalmente, para se verificar que a roleta não está viciada. Numa certa noite, os serviços do casino registaram 820 jogadas efectuadas com a roleta. Na tabela seguinte, apresentam-se as frequências relativas correspondentes ao número de vezes que cada um dos três números diferentes saiu nas 820 jogadas.

Determine a média dos números saídos nas 820 jogadas efectuadas naquela noite.

(2.ª fase) 15. Um baralho de cartas tem quatro naipes: Paus, Espadas, Ouros e Copas. De cada naipe, foram seleccionadas apenas as cartas com os números 3, 4, 5, 6 e 7, obtendo-se, assim, um baralho reduzido, constituído por vinte cartas, sendo cinco de cada naipe. Três amigos, a Ana, a Beatriz e o Carlos, inventaram o jogo seguinte: «Extrai-se, ao acaso, do baralho reduzido, uma carta, regista-se o respectivo número e repõe-se a carta no mesmo baralho. Depois, retira-se, ao acaso, uma segunda carta, da qual também se regista o respectivo número. Antes de se extraírem as cartas, cada jogador efectua, obrigatoriamente, apenas uma das três apostas seguintes, relativamente aos números das duas cartas que vão ser retiradas do baralho reduzido. Aposta A): os números são ambos ímpares. Aposta B): um dos números é ímpar e o outro é par. Aposta C): os números são ambos pares.» No início do jogo, a Ana fez a Aposta A); a Beatriz, a Aposta B); e o Carlos, a Aposta C). a) Verifique que a probabilidade de a Ana ganhar é 0,36. b) Qual dos jogadores tem maior probabilidade de vencer o jogo? Justifique.

(especial)



Exercícios saídos em Exames (2010) 16. O Diogo recolheu, através do inquérito que realizou, informação sobre alguns indicadores socioeconómicos de turistas que visitaram Portugal. A partir da informação obtida, concluiu que, no grupo de turistas que responderam ao inquérito, o valor do vencimento mensal individual auferido, em euros, seguia, aproximadamente, a distribuição normal, N(2400, 300), de média μ = 2400 e desvio padrão σ = 300 Admita que se selecciona, ao acaso, um elemento do referido grupo de turistas. Será mais provável que o valor do seu vencimento mensal individual seja superior a 2900 euros ou que seja inferior a 2000 euros ? Justifique. Se recorrer à sua calculadora, apresente cada valor obtido arredondado às centésimas.

(1.ª fase) 17. No casino ALEA, em LA PLACE, um dos jogos favoritos é o «Riscar, Pintar e Ganhar». Cada apostador compra um boletim de jogo, tal como o que se representa na Figura 9. Para preencher o boletim e efectuar, assim, a respectiva aposta, cada apostador deve riscar um número da tabela, seleccionando um número de 1 a 5, e pintar o círculo referente a um número da parte inferior do boletim, seleccionando um número múltiplo de 5, de 10 a 25. Depois de feitas as apostas, os funcionários do casino realizam uma experiência aleatória que consiste em dois sorteios: primeiro, sorteiam um número de 1 a 5 e, depois, sorteiam um número múltiplo de 5, de 10 a 25. a) Quantos são os casos em que o produto dos números sorteados é um número par? Justifique. b) Neste jogo, são atribuídos três prémios, de acordo com os seguintes critérios: • o primeiro prémio é atribuído aos apostadores que acertem simultaneamente nos dois números; • o segundo prémio é atribuído aos apostadores que só acertem no número de 1 a 5; • o terceiro prémio é atribuído aos apostadores que só acertem no número múltiplo de 5, de 10 a 25. Considere que, em cada um dos sorteios, os números têm igual probabilidade de serem sorteados. O Albertino, que conhece este jogo, decidiu calcular o valor da probabilidade de um apostador obter o segundo prémio e o valor da probabilidade de obter o terceiro prémio. Chegou à seguinte conclusão: «A probabilidade de um apostador obter o

segundo prémio é 15

e a probabilidade de um apostador

obter

o terceiro prémio é 14

.»

Justifique que nenhum dos valores das probabilidades apresentados pelo Albertino está correcto. Na sua resposta, elabore uma pequena composição, na qual refira os seguintes aspectos: • explicação do número de casos possíveis da experiência aleatória; • apresentação do valor da probabilidade correspondente ao segundo prémio, com a devida explicação do número de casos favoráveis a este prémio; • apresentação do valor da probabilidade correspondente ao terceiro prémio, com a devida explicação do número de casos favoráveis a este prémio.

(2.ª fase) 18. O Duarte verificou que, actualmente, em Portugal, no Ensino Superior Público, apenas é possível obter a licenciatura em Astronomia no Curso de Astronomia, leccionado na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, e encontrou alguns dados estatísticos de candidaturas a esse Curso, relativos a anos anteriores. Nesses registos, constatou que, nos últimos dois anos, relativamente à percentagem, arredondada às décimas, de candidatos admitidos no Curso de Astronomia dessa Universidade, se verificou o seguinte: • em 2008, foram admitidos 21,1% dos candidatos ao Curso; • em 2009, foram admitidos 18,2% dos candidatos ao Curso. a) Determine o número de candidatos ao Curso de Astronomia, no ano de 2009, sabendo que, nesse ano, foram admitidos 32 dos candidatos ao Curso. b) No ano de 2008, foram admitidos 31 candidatos, de ambos os sexos, no Curso de Astronomia. Admita que, desses 31 candidatos, se escolheram, ao acaso, sucessivamente, dois deles para a entrega de prémios numa gala da Universidade: um candidato para entregar o primeiro prémio e um outro candidato para entregar o segundo prémio. Seja X a variável aleatória: «Número de candidatos do sexo masculino escolhidos para entregar os dois prémios». Na tabela seguinte, encontra-se representada a distribuição de probabilidades da variável aleatória X

b1) Indique o valor de a e determine o valor de b b2) Determine o número de candidatos do sexo masculino que foram admitidos no Curso de Astronomia, no ano de 2008.

(especial)



Exercícios saídos em Exames (2011) 19. Um dos jogos mais populares da feira anual de Vila Nova de Malmequeres é a Roda da Fortuna. Neste jogo, cada jogada consiste em girar, aleatoriamente, uma roda que está dividida em três sectores circulares com áreas diferentes e numerados de acordo com o esquema da Figura 1. Para jogar, uma pessoa tem, previamente, de se inscrever, de indicar o número de jogadas que pretende realizar e de efectuar o respectivo pagamento. Sempre que a roda é posta a girar, quando esta pára, o ponteiro indica um sector. O prémio a receber em cada jogada corresponde ao valor, em euros, registado no sector indicado pelo ponteiro, no instante em que a roda pára. Seja X a variável aleatória «número registado no sector indicado pelo ponteiro no instante em que a roda pára, numa jogada». A tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é

onde a representa um número real. a) Mostre que a = 0,13 b) Na Roda da Fortuna, um jogador terá lucro apenas se o valor total que receber em prémios nas jogadas que realizar for superior ao valor total pago pela inscrição efectuada. O Ivo inscreveu-se para realizar duas jogadas e pagou 4 euros por essa inscrição. Mostre que a probabilidade de o Ivo obter lucro, com a realização das duas jogadas, é 0,1417

(1.ª fase) 20. O professor Alfredo lecciona a disciplina de Matemática B na Escola Secundária Boavista. Numa das suas aulas, propôs duas tarefas aos alunos, no âmbito do tópico «Distribuição de Probabili-dades». a) Para a primeira tarefa, o professor mostrou aos alunos um dado cúbico, equilibrado, cuja planificação se representa na Figura 7. No quadro, o professor apresentou uma tabela incompleta, que se reproduz a seguir, referente à distribuição de probabilidades da variável aleatória Y, que representa o «produto dos números saídos em dois lançamentos do dado cúbico».

O professor Alfredo pediu aos alunos que completassem a tabela. Apresente a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória Y com os valores das probabilidades na forma de fracção. b) Para a segunda tarefa, o professor Alfredo considerou a variável aleatória X, «altura, em centímetros, de um aluno da Escola Secundária Boavista, escolhido ao acaso». A variável aleatória X segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio 170 centímetros. Na Figura 8, está representada a curva de Gauss referente à variável aleatória X Posteriormente, o professor registou no quadro as afirmações que se seguem e pediu aos alunos que classificassem cada uma delas como verdadeira ou como falsa. III) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, é mais provável a sua altura ser inferior a 1,60 metros do que ser superior a 1,80 metros. III) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,60 metros e 1,70 metros ou de ser superior a 1,80 metros é maior do que 0,5 III) Se, escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura ser superior a 1,84 metros for cerca de 2,275%, então pode concluir-se que o valor, arredondado às unidades, do desvio padrão da variável aleatória X é 7 centímetros. O Diogo, um dos alunos da turma, classificou as afirmações I) e II) como falsas e a afirmação III) como verdadeira. Elabore uma pequena composição, na qual justifique que o Diogo classificou correctamente as afirmações I), II) e III), explicitando para cada caso uma razão que fundamente essa classificação.

(2.ª fase) 21. Todos os alunos de uma turma do 11.º ano do Curso de Artes Visuais frequentam as disciplinas de Geometria Descritiva A e de Matemática B. Na tabela seguinte, estão registadas as classificações, numa escala de 0 a 20 valores, obtidas pelos alunos dessa turma na disciplina de Matemática B, no final do 1.º período.

Pretende-se seleccionar, aleatoriamente, dois alunos para responderem a dois inquéritos distintos. Um aluno responderá apenas a um inquérito, e o outro aluno responderá apenas ao outro inquérito. Determine a probabilidade de serem seleccionados dois alunos, de modo que a média das respectivas classificações na disciplina de Matemática B, no final do 1.º período, seja exactamente 10 valores. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.

(especial)



Exercícios saídos em Exames (2012) 22. Uma das atividades da festa consistia em, após o lançamento de um dado cúbico equilibrado, colocar uma bola numa caixa ou retirar uma bola dessa caixa. Em cada uma das faces do dado está desenhado um triângulo ou um quadrado, como ilustra a planificação do dado representada na Figura 3. Para realizar esta atividade, uma criança lança uma única vez o referido dado. Se na face que ficar voltada para cima estiver representado um triângulo, a criança coloca uma bola na caixa. Se na face que ficar voltada para cima estiver representado um quadrado, a criança retira uma bola da caixa. Antes do lançamento do dado, a caixa contém duas bolas. Considere a variável aleatória X: «número de bolas que ficam na caixa após a criança ter realizado a atividade». Determine o valor médio da variável aleatória X. Apresente o resultado arredondado às décimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, duas casas decimais.

(1.ª fase) 23. No âmbito de um trabalho para a disciplina de Matemática B, um grupo de alunos realizou, junto das turmas do ensino básico da sua escola, uma sondagem, com o objetivo de estudar alguns dos hábitos dos alunos daquele nível de ensino. Para o efeito, elaborou-se um inquérito que foi aplicado a uma amostra constituída por 200 alunos. a) Duas das questões incluídas no inquérito foram: • questão A: «Costumas ir à praia?» • questão B: «Costumas ir ao cinema?» Todos os alunos inquiridos responderam ou «Sim» ou «Não» a cada uma destas questões, e verificou-se que: • 150 alunos responderam «Sim» à questão A; • 140 alunos responderam «Sim» à questão B; • 20 alunos responderam «Não» às duas questões. Foi selecionado, ao acaso, um aluno de entre os que responderam «Sim» à questão A. Determine a probabilidade de esse aluno ter respondido «Sim» à questão B. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.

b) Na Figura 5, está representada graficamente a função F, função cumulativa cuja variável independente, x, representa a idade, em anos, expressa em números inteiros, aquando da aplicação do inquérito, dos 200 alunos que constituíram a amostra da sondagem. Admita que, dois anos após a aplicação do inquérito, todos os alunos inquiridos continua-vam na mesma escola. Determine o desvio padrão das idades que, dois anos após a aplicação do inquérito, teriam os 200 alunos que constituíram a amostra da sondagem. Apresente o resultado final arredondado às centésimas.

(2.ª fase) 24. Na noite em que se realizou a peça de teatro, cada uma das pessoas que assistiram à peça ocupou um dos lugares da plateia e apenas 10 lugares ficaram livres. Admita que a altura, em metros, das pessoas que assistiram à peça de teatro seguia uma distribuição normal de valor médio 1,68 e de desvio padrão 0,08. a) Estime o número de pessoas que assistiram à peça de teatro cuja altura era superior a 1,76 metros. b) Escolhendo, ao acaso, uma das pessoas que assistiram à peça de teatro, a probabilidade, arredondada às centésimas, de a sua altura estar compreendida entre 1,56 metros e 1,80 metros é 0,87. Qual é a probabilidade, arredondada às décimas, de, escolhida, ao acaso, uma das pessoas que assistiram à peça de teatro, a sua altura ser inferior a 1,80 metros? Justifique a sua resposta apenas com base nas propriedades da curva de Gauss. Em cálculos intermédios, não efetue arredondamentos.

(especial)



Exercícios saídos em Exames (2013) 25. Francis Galton foi um matemático inglês que, entre outras investigações, se dedicou ao estudo da distribuição normal. Galton é o autor de uma experiência, considerada clássica em Estatística, que se realiza num dispositivo que designou por Quincunx. Esse dispositivo é uma placa plana com pregos fixos, todos iguais, uniformemente espaçados e alinhados. A primeira linha tem 1 prego, a segunda linha tem 2 pregos, e assim sucessivamente, até à enésima linha, que tem n pregos. Na base da placa, existem n + 1 cavidades, numeradas de 1 a n + 1, da esquerda para a direita, todas com a mesma largura e separadas umas das outras. A Figura 1 ilustra uma Quincunx com sete linhas.

A experiência consiste no seguinte: deixam-se cair bolas do centro da parte superior da placa; cada uma dessas bolas desce sempre em contacto com a placa; em cada linha, a bola toca apenas num dos pregos dessa linha e desce, aleatoriamente, pelo espaço situado imediatamente à esquerda ou pelo espaço situado imediatamente à direita desse prego, tocando no prego da linha seguinte imediatamente abaixo desse espaço, e assim sucessivamente, acabando por se depositar numa das cavidades da base. a) Admita que, numa Quincunx com apenas duas linhas, como a que se representa na Figura 2, se deixa cair uma bola do centro da parte superior da placa. Considere que a probabilidade de a bola descer pelo espaço situado imediatamente à esquerda de cada prego é igual à probabilidade de a bola descer pelo espaço situado imediatamente à direita do mesmo prego. Qual é a probabilidade de a bola acabar por se depositar na cavidade central? Justifique a sua resposta. b) Na experiência descrita, quando a quantidade de bolas e a quantidade de linhas da Quincunx são suficientemente elevadas, o número da cavidade em que uma bola acaba por se depositar pode ser modelado por uma distribuição normal. Considere que a experiência se vai realizar numa Quincunx com 151 linhas, deixando-se cair 5000 bolas do centro da parte superior da placa. Seja X a variável aleatória «número da cavidade em que uma bola acaba por se depositar».

Admita que X pode ser modelada por uma distribuição normal N (76,5 ; 6,1). Assim, por exemplo, P(4,5 < X < 5,5) dá, aproximadamente, a probabilidade de uma bola acabar por se depositar na cavidade 5. Determine, de acordo com o modelo apresentado, quantas bolas, aproximadamente, acabarão por se depositar entre a cavidade 60, inclusive, e a cavidade 83, inclusive. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, quatro casas decimais.

(1.ª fase) 26. Uma escola secundária está a reorganizar a ludoteca. A chave que abre a porta da ludoteca está num porta-chaves, juntamente com outras duas chaves que não abrem essa porta. Um professor tem esse porta-chaves e quer abrir a porta da ludoteca, mas não sabe qual das três chaves deve usar. Na primeira tentativa para abrir a porta, escolhe, ao acaso, uma das três chaves; se esta chave não for a que abre a porta, coloca-a de parte e, numa segunda tentativa, escolhe, ao acaso, uma das outras chaves; se esta chave também não abrir a porta, coloca-a de parte e, finalmente, usa a terceira chave para abrir a porta. a) Na primeira tentativa, o professor não escolheu a chave que abria a porta da ludoteca. Qual é a probabilidade de abrir a porta à segunda tentativa? Justifique a sua resposta. b) Seja X a variável aleatória «número de chaves usadas pelo professor até abrir a porta». Determine o desvio padrão da variável aleatória X. Apresente o resultado arredondado às décimas. Na sua resposta, deve apresentar a tabela de distribuição da variável aleatória X Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.

(2.ª fase) 27. O telefone é um dos meios de comunicação mais utilizados na atualidade. Entre outras funções, permite realizar chamadas e enviar mensagens escritas. Uma operadora de telecomunicações publicitou novos tarifários para telemóveis. Num dos tarifários dessa operadora, destinado a utilizadores individuais, a realização de uma chamada com uma duração inferior ou igual a 3 minutos tem um custo de 30 cêntimos, e a realização de uma chamada com uma duração superior a 3 minutos tem um custo de 1 euro. Admita que a duração, em segundos, de uma chamada efetuada por um cliente que aderiu a esse tarifário é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal, de valor médio 140 segundos e desvio padrão 20 segundos. Escolhe-se, ao acaso, uma chamada efetuada por esse cliente. Determine a probabilidade de o custo dessa chamada ser igual a 1 euro. Apresente o resultado arredondado às milésimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, quatro casas decimais.

(especial)

Soluções: 2. 29/31 3. 9/19; -0,97; q=-30p2+10000p 4. Mat(18 e 1,2), Inf(18 e 1,6); 7/16 5. 26% 6. Não tem razão 7. 0,99 8. 0,36 9. 8/23 10. 0,7; 0,1; 2,8 11. P(X<2) = 3/16; P(X>3) = 6/16; 0,3 e 2,15 12. 3/5; 0,94 13. 16% 14. 0,25/0,25/0,3125/0,125/0,0625; 1,7 15. Beatriz 16. menos de 2000 17. 14 18. 176; 1 e 14/31; 21 20. -1; 0; 1;1/3; 11/36; 13/36 21. 2% 22. 2,3 23. 73%; 1,15 24. 61; 0,9 25. ½; 4359 26. 0,5; 0,8 27. 0,023

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Probabilidades e Combinatória. História. Actividades (12.º ano) - pág. 1/2

Escola Secundária de Francisco Franco Matemática A e B – 12.º ano

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PROBABILIDADES. UM POUCO DE HISTÓRIA. ACTIVIDADES

1.ª parte

O cálculo das probabilidades nasceu devido aos jogos de azar na Idade Média. No entanto, os jogos de dados já eram muito populares na Grécia e em todo o Império Romano muito antes da túnica de Cristo ter sido jogada à sorte. O desenvolvimento desta ciência foi devido a uma série de cartas trocadas entre dois matemáticos e pensadores notáveis, Blaise PASCAL (1623-1662) e Pierre de FERMAT (1601-1665), sobre problemas com apostas de jogo (moedas e dados) – mais precisamente, sobre um problema de divisão de apostas proposta pelo cavaleiro De Méré: Começando a ser conhecido, o novo domínio das Matemáticas despertou o interesse de muitos matemáticos e físicos através das obras A arte de conjecturar (Jacques BERNOUILLI: 1654-1705), Teorema de Bayes (Thomas BAYES), A doutrina das chances (Abraham de MOIVRE: 1667-1775) e Teoria analítica das probabilidades (Pierre Simon de LAPLACE: 1749-1827), entre outras. A teoria das probabilidades é hoje um ramo da Matemática bem estabelecido com os seus axiomas, definições e teoremas e com vastas aplicações a todas as ciências e à vida corrente. Embora continue a ter muita importância a sua aplicação ao estudo da equidade dos jogos e dos respectivos prémios, o seu principal campo de aplicação é a Estatística Indutiva, não só na definição da amostra, como na extensão dos resultados à população e ainda na previsão de acontecimentos futuros. Governos e empresas recorrem a gabinetes altamente especializados em estudos probabilísticos no campo económico, social, político e das mais variadas ciências. Daí que se estudem as chamadas Experiências Aleatórias (experiências em que, quando ocorrem, não é possível prever o resultado, embora se saibam todos os resultados possíveis). Por outro lado, nas experiências deterministas, conhecem-se sempre os resultados que vão ocorrer. 1. Lançamento de um pionés Lança um pionés, pelo menos, 50 vezes. Juntamente com os totais de todos os colegas, indica qual dos acontecimentos seguintes é o mais favorável: Contagem Teu total Total turma B: “O bico está para baixo” ( ) C: “O bico está para cima” ( )

Assim, podemos afirmar que, quando se lança um pionés, a probabilidade de ele cair com o bico para cima parece ser igual a __________ e a probabilidade de ele cair com o bico para baixo parece ser ___________.

Cada jogador pôs sobre a mesa 32 pistolas [a moeda da época] e jogou-se um dado várias vezes. Eu apostei no n.º 6 e o meu adversário no n.º 5. Todas as 64 pistolas seriam ganhas por quem tivesse três vezes o número apostado. No entanto, o jogo teve de ser interrompido quando eu já tinha duas saídas e o meu adversário uma. Assim, eu acho que tenho direito a 48 pistolas e ele 16 mas ele diz que não, que eu fico com dois terços e ele um terço. Como fazer?

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Probabilidades e Combinatória. História. Actividades (12.º ano) - pág. 2/2

2.1. Aposta no Pentágono (Simulação com dados) Considera a experiência de se lançarem 2 dados (não viciados) e anotar a soma das suas pintas. Considera ainda os seguintes acontecimentos: A: Se a soma das pintas dos dados for igual a 6; B: Se a soma for igual a 9; C: Se a soma for igual a 7 ou a 8; D: Se a soma for igual a 3, a 4 ou a 10; E: Se a soma for igual a 2, a 5, a 11 ou a 12.

Se lançares 50 vezes (pelo menos) os dados, qual dos acontecimentos anteriores será o mais provável de acontecer? Tenta “apostar” nele e depois verifica se o teu palpite foi o melhor. Para isso, preenche o quadro em baixo. Entretanto, indica: O teu nome: E o teu palpite:

Assim, o acontecimento mais provável será, em princípio, o _____

O professor: Roberto Oliveira

Acontec. Contagem Totais

A B C D E

A

B

C

E

D

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