Exercícios Geometria Analítica

7/26/2019 Exerccios Geometria Analtica

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Ministrio da Educao

UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN

Departamento Acadmico de Matemtica - DAMAT

1a. LISTA DE EXERCCIOSMA571B GEOMETRIA ANALTICA E LGEBRA LINEAR

Turmas S02 e S61 - 1o. semestre de 2013

Professor Responsvel: Rodolfo Gotardi Begiato

[email protected] http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato

1. Efetuar, quando possvel, os clculos indicados:

A=

2 2

1 3

1 0

B=

1 2 3

2 0 0

1 1 0

C=

1 1 1

2 1 1

0 1 0

D=

2 1

0 2

E=

2 2 1

1 1 0

(a) BA

(b) BC

(c) CB

(d) AB

(e) BACt

(f) ED

(g) DA

(h) EA+D

(i) AE+ 3Ct

(j) AtBt

2. SeA =

1 2 1

3 1 04 4 1

,calcularA3.

3. Mostrar trs elementos de cada um dos conjuntos abaixo:

(a) S1 = {A M33|aij =aji , 1 i, j 3}(matrizes simtricas33).

(b) S2 = {A M33|aij+aji = 1, 1 i, j3}.

(c) S3 = {A M33|aij =aji , 1 i, j3}(matrizes antissimtricas33).

(d) S4 = {A M44|4

i=1

aii= 0, 1 i, 4}(matrizes44de trao zero).

(e) S5 = {A M34|Atem alguma linha nula}.

(f) S6 = {A M33|aij >0, sei > j}(matrizes triangulares superiores33).

Observao:o trao de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal.

I


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4. Dadas as matrizesA =

1 3 2

1 1 1

7 7 5

eB =

2 1 1

0 1 1

3 3 3

,determine:

(a) o coeficientec23

de C=AB;

(b) a terceira linha deAB;

(c) a terceira coluna deBA

(d) o coeficiented23de D = ABA;

Dica: observe que voc no precisa realizar toda a multiplicao de matrizes para achar o que foi pedido.

5. Sabendo que a operaoAB(C+ A)Cest bem definida, o que se pode dizer do tamanho das matrizesA,

B e C?

6. Considerando o sistema linear:

x1 + 2x2 + x3 = 2

x1 + 3x2 x4 = 0

2x1 + 3x3 + x4 = 1

Qual das seguintes 4-uplas so solues do sistema? E quais so solues do sistema linear homogneo

associado?

(2, 2, 1, 0), (1, 1, 4, 0), (0, 0, 0, 0), (2,5/3, 10/3,7), (1, 1/3, 1/3, 0), (1,2, 3,7).

7. Determinar, se existir, os valores deaebpara que(2,2, 1)seja soluo de:

x1 + 2ax2 + x3 = 2

ax2 bx3 = 0

bx1 + x2 + (2ab)x3 = 1

II


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8. Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas lineares abaixo e diga se o sistema determinado,

indeterminado ou incompatvel:

(a)

x1 + 2x2 + x3 = 2

2x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 + 2x3 = 0

(b)

x + y + z = 2

2x y + z = 3

3x + 3y + 4z = 6

(c)

x1 x2 + 2x3 = 0

2x1 + 3x2 x3 = 0

x1 + 2x2 + 4x3 = 0

(d)

x1 x2 + 2x3 = 2

2x1 + 3x2 x3 = 1

x1 + 2x2 + 4x3 = 11

(e)

2x + y z = 0

x y + z = 0

5x + y z = 0

(f)

2x + y z = 8

x y + z = 1

5x + y z = 17

(g)

2x + y z = 3

x y + z = 2

5x + y z = 5

(h)

2x1 2x2 + 4x3 2x4 = 6

6x1 + 2x2 4x3 + 2x4 = 42

2x1 + 3x2 6x3 + 3x4 = 23

(i)

3x + 4y z = 6

2x y 2z = 10

x y = 3

x + y 3z = 10

(j)

2x1 2x2 + 4x3 2x4 = 6

6x1 + 2x2 4x3 + 2x4 = 42

2x1 + 3x2 6x3 + 3x4 = 23

(k)

x2 + x3 x4 + 4x5 = 19

x1 x2 + 2x3 + x4 3x5 = 8

2x1 + 3x3 x4 + x5 = 12

2x3 + 3x4 + 5x5 = 13

x1 + x2 + 2x3 + 7x4 + 3x5 = 8

2x1 + x2 + 6x3 + 10x4 + 10x5 = 44

9. ResolverAX=b onde:

(a) A=

1 2

0 1

eb =

1

0

(b) A=

1 1 2

0 1 1

1 1 0

eb =

0

3

4

(c) A=

1 2

0 1

eb =

1 0

0 1

III


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10. Decidir quais das seguintes matrizes so inversveis. Determinar a inversa quando existir:

(a) A=

1 0

0 1

(b) B=

3 0

0 3

(c) C=

1 2

0 1

(d) D=

1 2

1 2

(e) E=

2 1 1

0 1 1

3 1 1

(f) F =

2 1 1

0 1 1

2 0 0

(g) G=

1 1

0 2

(h) H=

1 1

0 2

(i) G+H

11. SejaA =

1 3 2

0 1 1

1 0 1

.Decidir seA1 soluo de:

1 5 4

1 1 0

X=

1 2 0

0 1 1

.

12. Encontrar os valores deaebpara os quais(2, 0,1) a nica soluo do sistema:

2x1 ax2 + 2x3 = 2

x1 + x2 bx3 = 3

2x2 3x3 = 3 .

13. SejaA =

5 1 2

2 1 3

3 2 1

ec =

a

a3

a+ 1

determinar os valores dea para os quais o sistemaAx = c

compatvel.

14. Encontrar os valores deaebpara os quais o sistema cuja matriz ampliada :

A=

1 a 1 1

a 1 2 +a 2a

1 a a b

.

determinado, indeterminado ou incompatvel.

IV


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15. Resolver o sistema para todos os valores deb:

x1 + bx2 + 2x3 x4 = b+ 2

x1 + bx2 2x3 = 2

3x1 + 3bx2 + 2x3 2x4 = b .

16. Calcular o determinante das seguintes matrizes:

A =

2 0 5

4 0 1

0 0 7

, B =

2 1 1

2 2 4

0 0 0

, C =

2 0 0

4 1 0

0 2 5

, D =

2 0 5 1

0 2 4 2

0 0 1 5

1 3 3 0

,

E=

3 0 0 0

4 0 6 0

5 8 1 0

2 3 0 6

, F =

2 0 1 0 4

0 0 0 6 3

5 4 0 0 20 7 0 0 0

0 0 0 2 0

e G=

1 0 0 0 0 0

0 2 0 0 0 0

1 2 3 0 0 0

1 4 1 4 0 0

1 0 3 2 1 0

2 0 4 2 1 1

.

Dica: utilizar as propriedades de determinantes para determinar facilmente o determinante das matrizesB,CeG.

17. SejaA =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,tal quedet(A) = 7. Calcular:

(a)

a13 a11 a12

a23 a21 a22

a33 a31 a32

(b)

a11 a12 a111

a21 a22 a21

a31 a32 a31

(c)

a11 2a12 a13

a21 2a22 a23

a31 2a32 a33

(d)

a11 a12 a13

a21+ 3a11 2a22+ 3a12 a23+ 3a23

ka31 ka32 ka33

(e) det(2A)

(f) det((3A)1)

(g) det(3A1)

Dica: utilizar as propriedades de determinantes para determinar facilmente o determinante dos itens (e), (f) e (g).

V


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18. SejamA=

1 0 3

0 2 1

0 0 1

eB =

2 1 1

0 1 8

0 0 11

.

Calcular:det(A), det(B), det(AB), det(A+B), det(A10)edet(A5BA5).

19. Determinar os valores dek para os quais as matrizes so inversveis:

(a)

x+ 1 2

2 x2

(b)

2 3 2

1 2 4

1 x x+ 1

. (c)

x+ 1 1 3

2 1 2

2 1 x4

.

20. SejaA =

1 0 3

0 2 11 1 1

eb =

0

34

,encontre a soluo de:

Ax4x= b

Ax= x

21. Sex1 soluo deAx = b e x2 soluo do sistema homogneo correspondente, mostre que x1+ x2

soluo deAx= b.

22. Sex1, x2so solues do sistema linear homogneoAx= 0, mostre que, para quaisquer nmeros reaise

, tem-se quex1+x2tambm soluo desse sistema. O mesmo vale para o sistema no homogneo?

23. Seja A M33. Se

1

3

1

e

0

1

2

so solues de Ax =

1

4

5

, achar mais 4 solues de

Ax=

1

4

5

.

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