Exercícios resolvidos - Critérios de Divisibilidade1) Se um número natural n for dividido por 27, o resto desta divisão será igual a 7.

Se dividirmos o número n + 50 também por 27, qual será o resto obtido?

O resto da divisão de 50 por 27 é igual a 23.Já o resto da divisão de n por 27 é igual a 7.Ao somarmos 23 com 7 obtemos 30, o resto da divisão de 30 por 27 é igual a 3.Você pode também pensar da seguinte forma:Originalmente como o resto era igual a 7, isto significa dizer que para se obter o próximo número divisível por 27, era necessário que se acrescentasse 20 a ele, como foi acrescentado 50, que é igual a 20 + 27 + 3, pode-se dizer que ao acrescentarmos 20, o resultado obtido era divisível por 27, ao acrescentarmos mais 27, obviamente o número ainda continuou divisível por 27, mas ao finalmente ao acrescentarmos 3, este passou a ser o resto da divisão de n + 50 por 27.Portanto:

Ao dividirmos o número n + 50 por 27 o resto obtido será igual a 3.

2) Qual é o menor número que devemos subtrair de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9?

Um número que ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9, é divisível tamtém por 5 . 9, ou seja, é divisível por 45.O número 61577 seria divisível por 45 se o resto da divisão fosse igual a zero, como não é, o que precisamos fazer então é subtrair de 61577 este resto, para que ele se torne um número divisível por 45.Você poderia ter interpretado o enunciado deste exercício como sendo: Qual é o resto da divisão de 61577 por 45?61577 dividido por 45 é igual a 1368, com um resto de 17.Logo:

Devemos subtrair 17 de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9.

3)  Qual é o menor número que devemos adicionar a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7?

Este problema é semelhante ao anterior, mas há uma pequena diferença.25013 dividido por 21, o produto de 3 por 7, é igual a 1191, com um resto de 2.Se subtrairmos 2 de 25013, o resultado será um número divisível por 21, mas o enunciado diz que devemos adicionar e nãosubtrair, então devemos acrescentar 19, que é o resultado de 21 - 2, para obtermos o próximo número após 25013, que assim como ele também será divisível por 21.Assim sendo:

Devemos adicionar 19 a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7. 

4) Qual valor devemos atribuir a x, o último dígito do número 38748x para que ele se torne um número divisível por 6, mas não divisível por 2?

Sabemos que todo número divisível por 6, é também divisível por 2.Portanto:

Tal valor não existe, pois todo número divisível por 6 é também divisível por 2.

5) Qual é o menor número com dois dígitos que somado a 12345 o tornará um número divisível por nove?

Ao somarmos 1 + 2 + 3 + 4 + 5, os algarismos de 12345, obtemos 15, que dividido por nove tem um resto de 6. Isto quer dizer que 12345 dividido por seis apresenta o mesmo resto.Devemos então encontrar o menor múltiplo de nove com dois dígitos, que ao ser subtraído em seis unidades ainda continue com dois algarismos.Quando falamos em número com dois dígitos, obviamente estamos falando em algarismos significativos, já que 06, por exemplo, possui dois dígitos, mas o primeiro deles não é significativo.Este número é o número 18, que menos 6 é igual a 12.Então:

6) Sendo x e y algarismos do número 32x84y, qual deve ser o menor valor atribuído a cada uma destas variáveis, tal que 32x84y seja simultaneamente divisível por 3 e por 5?Para que seja divisível por 5, y deve ser igual a 0 ou a 5. Obviamente escolheremos 0 pois é o menor.Somando os algarismos conhecidos temos: 3 + 2 + 8 + 4 + 0 = 17Após 17, o próximo número divisível por três é o 18, portanto devemos atribuir 1 a x.Logo:

x = 1, y = 0.

Para que seja divisível por 5, y deve ser igual a 0 ou a 5, mas como o número precisa ser par, para que seja também divisível por seis, só nos resta o dígito 0.Temos então o número 1x0. Como 1 + 0 = 1, o maior dígito que podemos somar a ele de sorte a obtermos um número divisível por três e consequentemente por seis já que y é par, é o dígito 8.Portanto:

x = 8, y = 0.

8) Qual é o menor número ímpar com cinco dígitos que é divisível por 50?Todos os múltiplos de 50 são pares, pois podemos expressar cinquenta como 2 . 25.Portanto:

Não existe um número natural ímpar, qualquer que seja a sua quantidade de algarismos, que seja divisível por 50.

9) Qual é o maior número com três dígitos que é divisível por 4 e também por 5?Os números divisíveis por quatro e também por cinco são todos terminados em 00, 20, 40 e 80.Como não importa o primeiro dígito, o maior número com três dígitos, obviamente significativos, é o número 980.Portanto:

980 é o maior número com três dígitos que é divisível por 4 e também por 5.

10) Um número é divisível por 9 e por 5. Se somarmos 315 a este número ele ainda continuará divisível por 9 e por 5?

Sabemos que se a um número a divisível por n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, o número resultante continuará sendo divisível por n. Como 315 também é divisível por 5 e por 9, tal soma não afetará em nada a divisibilidade por tais números.Portanto:

Sim, se adicionarmos 315 a este número ele ainda continuará sendo divisível por 9 e por 5.

11) Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60.

Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32:1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.

12) Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?

Resposta: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante, etc.

13) João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?

Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.

14) Quando possível, complete o espaço entre parênteses com números naturais.

5×( ) = 20

( )×3 = 18

4×( ) = 10

( )÷2 = 8

3÷( ) = 4

( )÷3 = 4

Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 produza 10 e não existe número natural que divide o número 3 e tem por resultado o número 4.

15) Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:

1 ovo = R$ 6,00

2 ovos = R$ 11,00

3 ovos = R$ 15,00

4 ovos = R$ 18,00

Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.

Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos?

Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos?

Sem promoção, quanto ele pagaria

a mais pela compra dos 177 ovos?

Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3.Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00. Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: 177=4×44+1Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.

16) Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos:

(a) 49

(b) 37

(c) 12

(d) 11

Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores são o número 1 e eles mesmos. 49 não é primo porque é múltiplo de 7. 12 não é primo porque é múltiplo de 2, 3, 4 e 6.

17) Qual é o menor número primo com dois algarismos?Resposta: O número 11.

18) Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20?

Resposta: 11, 13, 17 e 19.

Números Decimais: Notação Decimal..Basicamente o que diferencia um número decimal de um número natural é a existência da virgula.

.Por exemplo: Entre os números 9 e 10 não existe nenhum número natural, para resolver este problema foram criados os números decimais, que neste caso poderia ser 9,5 ou outro número qualquer com virgula entre 9 e 10. 

Exemplos de ordens do sistema de numeração decimal maiores que a unidade: dezena, centena, milhar e assim por diante.

.Exemplos de ordens decimais menores que a unidade: décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimos e assim por diante.

.Operações Matemáticas Com Números Decimais:

.Adição:

.Nas operações de adição com números decimais é necessário organizar os números de modo que as unidades de mesma ordem se correspondam, colocando a virgula no lugar correto.Resumindo: As vírgulas devem ficar uma exatamente em baixo da outra.

.Exemplo Prático: 12,50 + 2525,36 + 1,30 =

.1 2 , 5 0

+ 2 5 2 5 , 3 61 , 3 0

2 5 3 9 , 1 6

.Subtração:

.O procedimento é semelhante ao da adição, onde o minuendo deverá ser colocado embaixo do subtraendo, de modo que as unidades de mesma ordem se correspondam.Resumindo: As vírgulas devem ficar uma exatamente em baixo da outra.

.Exemplo Prático: 1234,45 - 925,30 =

.

_ 1 2 3 4 , 4 59 2 5 , 3 0

3 0 9 , 1 5.

Multiplicação:.

Para multiplicar números decimais devemos agir como se fossem números inteiros, desconsiderando a virgula em um primeiro momento. Depois de concluída a operação, separamos com vírgula, a partir da direita do resultado final, tantas casas decimais quantas tenham o multiplicando e o multiplicador juntos.

.Exemplo Prático: 253,66 x 2,34 =

.

x 2 5 3, 6 62, 3 4

+1 0 1 4 6 47 6 0 9 8

5 0 7 3 2

5 9 3 5 6 4 4.

Colocando a virgula no local correto temos o número: 593,5644.

Divisão:.

Ao dividirmos dois números decimais devemos igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor, acrescentando zeros à direita do que tiver menor número de casas decimais. Depois as virgulas devem ser eliminadas e efetuamos a divisão como se fossem números inteiros.

.Exemplo Prático: 15,048 : 0,26 =

           .            

 15048       260   

  2048      578769 

,    2280                  2000                  1800                  2400                   060       

Dada a fração, diga que número decimal ela representa:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f)  Dado o número decimal, diga a que fração corresponde:a) 0,566b) 0,13c) 0,00098d) 0,077

1. Qual é a alternativa que representa a fração 9/2 em números decimais?2. a. 3,333

3. b. 4,25

4. c. 5,01

5. d. 4,5

6. Qual é a alternativa que representa a fração 35/1000 em números decimais?7. a. 0,35

8. b. 3,5

9. c. 0,035

10. d. 35

11.Qual é a alternativa que representa o número 0,65 na forma de fração?

12. a. 65/10

13. b. 65/100

14. c. 65/1000

15. d. 65/10000

16.Observe as frações e suas respectivas representações decimais.I. 3/1000 = 0,003

II. 2367/100 = 23,67III. 129/10000 = 0,0129IV. 267/10 = 2,67

Utilizando as igualdades acima, escolha a alternativa correta?

a. I e II

b. I e IV

c. I, II e III

d. I, II, III e IV

17.Qual é a alternativa que representa a soma dos números decimais 0,65 e 0,15?

18. a. 0,70

19. b. 0,77

20. c. 0,67

21. d. 1,00

22.Qual é a alternativa que representa a soma 4,013+10,182?23. a. 14,313

24. b. 13,920

25. c. 14,213

26. d. 14,083

27.Qual é a alternativa que é igual à subtração do número decimal 242,12 do número decimal 724,96?

28. a. 48,284

29. b. 586,28

30. c. 241,59

31. d. 482,84

32.Qual é a alternativa que representa a subtração 3,02-0,65?33. a. 2,37

34. b. 3,37

35. c. 1,32

36. d. 23,7

37.Para cada caso, somar o número de uma linha com o número de uma coluna. O resultado fica no cruzamento da linha com a coluna. Clicar sobre o botão para ver se você acertou a soma?

Soma

1,25

2,5

3,7

6,2

0,250,3

38.Para cada caso, subtrair o elemento de cada linha (cor verde) dos elementos das colunas (cor azul). Pressione os botões para ver se acertou.

Subtração 1,25 2,5 3,7 6,2 Resposta

s0,25        0,3        0,07        

39.O número decimal 0,03 pode ser escrito por extenso como:40. a. três décimos

41. b. três centésimos

42. c. três milésimos

43.Associar o número 15,435 à alternativa que o representa:44. a. Quinze inteiros e quatrocentos e trinta e cinco

centésimos

45. b. Cento e cinquenta e quatro e trinta e cinco centésimos

46. c. Quinze inteiros e quatrocentos e trinta e cinco milésimos

47.Assinalar a alternativa com a resposta da adição 4/7+2/7:48. a. 5/7

49. b. 6/14

50. c. 7/6

51. d. 6/7

52.Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro.

Qual alternativa representa a soma destas frações?

a. 5/8

b. 7/8

c. 9/8

d. 8/7

53.Qual é a fração que representa a parte colorida na figura?

a. 3/2

b. 6/1

c. 5/6

d. 6/5

54.Associar as frações 3/2, 9/2 e 1/2 com as letras, segundo os seus devidos lugares na reta numerada.

a. A = 1/2, B = 9/2, C = 3/2

b. A = 9/2, B = 3/2, C = 1/2

c. A = 3/2, B = 1/2, C = 9/2

55.Qual das faixas em azul, na tabela representa a fração 5/10?

a.        

b.        

c.        

56.57.Qual é a fração mais simples que equivale a 14/21?

58.Qual das alternativas representa a subtração 8/9-6/9?59. a. -2/9

60. b. 2/9

61. c. 14/9

62. d. 1/4

63.Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro.

Qual é a alternativa que representa a diferença destas frações indicada na figura?

a. 1/2

b. 3/4

c. 1/4

d. 4/4

64.Usando uma folha de papel ou um caderno, realizar as operações indicadas abaixo e confirmar as respostas indicadas.

65. a. 3,9 × 8,2 = 31,98

66. b. 2,315 × 6 = 13,89

67. c. 26,45 : 5 = 5,29

68. d. 58,24 : 2 = 29,12

69. e. 4/5 × 3 × 7 = 12/35

70. f. 6/7 × 5/3 = 10/7

71. g. 2/5 : 8/7 = 7/20

72. h. 7/9 : 3/16 = 112/27

73.Qual alternativa representa a dízima periódica 0,555... ?74. a. 5/3

75. b. 5/2

76. c. 5/4

77. d. 5/9

78.Quando calculamos 30% de 100, obtemos:79. a. 10

80. b. 20

81. c. 30

82. d. 40

83.Quando calculamos 3% de 120, obtemos:84. a. 36

85. b. 3,6

86. c. 0,36

87. d. 360

88.Qual é a alternativa que corresponde a 55% de $500,00?89. a. $250,00

90. b. $275,00

91. c. $300,00

92. d. $265,00

93.Qual é a dízima periódica representada pela fração 10/3?94. a. 0,333...

95. b. 1,111...

96. c. 3,0303...

97. d. 3,333...

98.Escrever a fração 5/3 na forma de um número decimal.99. a. 1,666...

100. b. 1,6060...

101. c. 1,0606...

102. d. 2,1010...

103. Qual é o sinal de desigualdade que deve ser posto em cada situação abaixo? Para verificar se você acertou a questão, pressione o botão que aparece em cada caso e constate que você sabe comparar números decimais?

0,29  0,21 8,9  9,2 1,03  10,2

10,01  9,99 2,09  1,9 0,901  9,01

104. Qual é a palavra: "maior" ou "menor" que ser posta entre cada par de frações, nas situações abaixo? Pressione o botão para cada caso e constate que você sabe comparar frações.

1/5  1/3 2/7  3/9 3/4  1/2

105. Após observar as desigualdades, indique qual é a alternativa correta.I. 10,001<9,99

II. 2,09>1,9III. 9,01<0,901

106. a. I e II estão certas

107. b. II está errada

108. c. I e III estão erradas

109. d. Todas estão erradas

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