1Anlise Vetorial

1. Dados os vetoresM = 10~ax + 4~ay 8~az e N = 8~ax + 7~ay 2~az, encontre:

a) um vetor unitrio na direo de M + 2N ;

b) a intensidade de 5~ax +N 3M;

c) |M||N |(M +N ).

2. Os trs vrtices de um tringulo esto localizados em A(1, 2, 5), B(4,2,3) e C(1, 3,2).

a) Encontre o valor do permetro do tringulo.

b) Encontre um vetor unitrio direcionado do ponto mdio do lado AB at o ponto mdio do lado

BC.

c) Mostre que esse vetor unitrio multiplicado por um escalar igual ao vetor de A para C, e que o

vetor unitrio , portanto, paralelo a AC.

3. O vetor direcionado da origem at o ponto A dado como (6,2,4), e o vetor unitrio posicionadona origem com direo ao ponto B

13(2,2, 1). Se os pontos A e B esto afastados de 10 unidades,

encontre as coordenadas do ponto B.

4. Um crculo centrado na origem e com raio de 2 unidades pertence ao plano xy. Determine o vetor

unitrio em componentes cartesianas que pertence ao plano xy, tangente ao crculo em (

3, 1, 0) e

est na direo e no sentido dos valores crescente de y.

5. Um campo vetorial especificado comoG = 24xy~ax + 12(x2 + 2)~ay + 18z2~az. Dados dois pontos

P(1, 2,1) e Q(2, 1, 3), encontre:

1

2 Captulo 1. Anlise Vetorial

a)G em P;

b) um vetor unitrio, em Q, direcionado no sentido deG ;

c) um vetor unitrio direcionado no sentido de Q para P;

d) a equao da superfcie na qual |G | = 60.

6. Se ~a um vetor unitrio em uma dada direo, B uma constante escalar e ~r = x~ax + y~ay + z~az,

descreva a superfcie ~r ~a = B. Qual a relao entre o vetor unitrio ~a e o escalar B para essasuperfcie? (DICA: considere primeiro um exemplo simples com ~a = ~ax e B = 1 e, ento, considere

quaisquer ~a e B).

7. Dado o campo vetorialE = 4zy2 cos 2x~ax + 2zy sen 2x~ay + y2 sen 2x~az para a regio |x|, |y| e |z|

menores que 2, encontre: a) as superfcies nas quais Ey = 0; b) a regio na qual Ey = Ez; c) a regio na

qualE = 0.

8. Demonstre a ambiguidade que surge quando o produto vetorial utilizado para se calcular o ngulo

enre dois vetores, tentando encontrar o ngulo entreA = 3~ax 2~ay + 4~az e B = 2~ax + ~ay 2~az.

Essa ambiguidade tambm surge quando o produto escalar utilizado?

9. Dado um campoG =

25x2 + y2

(x~ax + y~ay), encontre:

a) um vetor unitrio na direo deG no ponto P(3, 4,2);

b) o ngulo entreG e ~ax em P;

c) o valor da seguinte integral dupla no plano y = 7: 4x=0

2z=0

G ~ay dxdz

10. Expressando diagonais como vetores e utilizando a definio de produto escalar, encontre o menor

ngulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo, no qual cada diagonal conecta vrtices diametral-

mente opostos e passa pelo centro do cubo.

11. Dados os pontos M(0, 1;0, 2;0, 1), N(0, 2; 0, 1; 0, 3) e P(0, 4; 0; 0, 1), encontre:

a) o vetorRMN ;

b) o produto escalarRMN RMP.

c) a projeo escalar deRMN em

RMP;

d) o ngulo entreRMN e

RMP.

12. Mostre que os campos vetoriaisA = cos ~a + sen ~a + ~az e

B = cos ~a + sen ~a ~az

so perpendiculares entre si em qualquer ponto do espao.

13. a) Encontre a componente vetorial deF = 10~ax 6~ay + 5~az que paralela a G = 0, 1~ax + 0, 2~ay +

0, 3~az. b) Encontre a componente vetorial deF que perpendicular a

G . c) Encontre a componente

vetorial deG que perpendicular a

F .

314. Mostre que os campos vetoriaisA =

sen 2r2

~ar +2 sen r2

~a eB = r cos ~ar + r~a so paralelos um em

relao ao outro em todos os pontos do espao.

15. Trs vetores que partem da origem so dados como ~r1 = (7, 3,2), ~r2 = (2, 7,3) e ~r3 = (0, 2, 3).Encontre:

a) o vetor unitrio que perpendicular a ambos os vetores ~r1 e ~r2;

b) o vetor unitrio perpendicular aos vetores ~r1 ~r2 e ~r2 ~r3;

c) a rea do tringulo definido por ~r1 e ~r2;

d) a rea do tringulo definido pelas pontas dos vetores ~r1, ~r2 e ~r3.

16. O campo vetorialE =

B~a, onde B constante, deve ser transladado de foram que se origine na reta

x = 2, y = 0. Escreva a forma transladada deE em componentes cartesianas.

17. O ponto A(4, 2, 5) e os dois vetores RAM = (20, 18,10) e RAN = (10, 8, 15) definem um tringulo.

a) Encontre um vetor unitrio perpendicular ao tringulo.

b) Encontre um vetor unitrio no plano do tringulo e perpendicular aRAN .

c) Encontre um vetor unitrio no plano do tringulo que divide o ngulo interior de A em duas

partes iguais.

18. Transforme o campo vetorialH =

A~a, onde A uma constante, de coordenadas cilndricas para

coordenadas esfricas.

19. a) Expresse o campoD =

x~ax + y~ayx2 + y2

em componentes e variveis cilndricas; b) CalculeD no ponto

onde = 2, = 0, 2pi e z = 5, expressando o resultado em componentes cilndricas e cartesianas.

20. Um cilindro de raio a, centrado no eixo z, gira em torno do eixo z numa velocidade angular rad/s.

A direo de rotao anti-horria quando se olha na direo positiva de z.

a) Utilizando componentes cilndricas, escreva uma expresso para o campo de velocidade ~v, que

fornece a velocidade tangencial em qualquer ponto do cilindro;

b) converta o resultado encontrando na parte a) em componentes esfricas;

c) converta em componentes cartesianas.

21. Expresse em componentes cilndricas:

a) o vetor de C(3, 2,7) a D(1,4, 2);

b) um vetor unitrio em D direcionado no sentido de C;

c) um vetor unitrio em D direcionado no sentido da origem.

22. Uma esfera de raio a, centrada na origem, gira em torno do eixo z numa velocidade angular rad/s.

A direo de rotao horrio quando se olha na direo positiva do eixo z.

4 Captulo 1. Anlise Vetorial

a) Utilizando componentes esfricas, escreva uma expresso para o campo de velocidade ~v, que

fornece a velocidade tangencial em qualquer ponto dentro da esfera;

b) converta em componentes cartesianas.

23. As superfcies = 3, = 5, = 100, = 130, z = 3 e z = 4, 5 definem uma superfcie fechada.

a) Calcule o volume dentro dessa superfcie fechada;

b) calcule a rea total da superfcie fechada;

c) calcule o comprimento total das 12 arestas da superfcie;

d) calcule o comprimento da linha reta mais longa que se encontra totalmente dentro do volume.

24. Expresse o campoE =

Ar2~ar em a) componentes cartesianas; b) componentes cilndricas.

25. Dado o ponto P(r = 0, 8; = 30; = 45) e E = 1r2

(cos ~ar +

sen sen

~a

); a) encontre

E em P; b)

encontre |E | em P; c) encontre um vetor unitrio na direo de E em P.

26. Expresse o campo vetorial uniformeF = 5~ax em a) componentes cilndricas; b) componentes esfricas.

27. As superfcies r = 2 e 4, = 30 e 60 identificam uma superfcie fechada.

a) Calcule o volume dentro dessa superfcie fechada;

b) calcule a rea total da superfcie fechada;

c) calcule o comprimento da linha reta mais longa que se encontra totalmente dentro da superfcie

fechada.

28. Expresse o campo vetorialG = 8 sen ~a em: a) componentes cartesianas; b) componentes cilndricas.

29. Expresse o vetor unitrio ~ax em componentes esfricas no ponto: a) r = 2, = 1 rad, = 0, 8 rad; b)

x = 3, y = 2, z = 1; c) = 2, 5, = 0, 7 rad, z = 1, 5.

30. No ponto B(5, 120, 75) um campo vetorial tem o valor A = 12~ar 5~a + 15~a. Calcule a compo-nente vetorial de

A que : a) normal superfcie r = 5; b) tangente superfcie r = 5; c) tangente ao

cone = 120. d) Calcule um vetor unitrio que seja perpendicular a A e tangente ao cone = 120.

2Lei de Coulomb e Intensidade deCampo Eltrico

1. Quatro cargas positivas de 10 nC esto posicionadas na plano z = 0, nos vrtices de um quadrado de

8 cm de lado. Uma quinta carga positiva de 10 nC est posicionada em um ponto a 8 cm de distncias

das outras cargas. Calcule a intensidade da fora total sobre essa quinta carga para = 0.

2. Duas cargas pontuais de Q1 coulombs cada esto posicionadas em (0, 0, 1) e (0, 0,1). Determine olugar geomtrico das posies possveis de uma terceira carga Q2, onde Q2 pode ser qualquer valor

positivo ou negativo, de forma que o campo totalE = 0 em (0, 1, 0). Qual seria o lugar geomtrico se

ad duas cargas originais fossem Q1 e Q1.

3. Cargas pontuais de 50 nC cada esto posicionadas em A(1, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0) e D(0,1, 0), noespao livre. Encontre a fora total na carga em A.

4. Oito cargas pontuais idnticas de Q C cada esto posicionadas nos vrtices de um cubo com lado de

comprimento a, com uma carga na origem e com as trs cargas mais prximas em (a, 0, 0), (0, a, 0) e

(0, 0, a). Encontre uma expresso para o vetor da fora em P(a, a, a), assumindo espao livre.

5. Seja uma carga pontual Q1 = 25 nC posicionada em P1(4,2, 7) e uma carga Q2 = 60 nC posicionadaem P2(3, 4,2).

a) Se = 0, encontreE em P3(1, 2, 3).

b) Em qual ponto no eixo y tem-se Ex = 0?

6. Trs cargas pontuais, 5 109 C cada, esto posicionadas no eixo x em x = 1, 0 e 1, no espao livre.

5

6 Captulo 2. Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Eltrico

a) EncontreE em x = 5.

b) Determine o valor e a localizao da carga pontual nica equivalente que produziria o mesmo

campo em distncia muito grandes.

c) DetermineE em x = 5 usando a aproximao de b).

7. Uma carga pontual de 2 C est posicionada em A(, 4, 3, 5) no espao livre. Encontre E, E e Ez em

P(8, 12, 2).

8. Um dispositivo rudimentar para medir cargas consiste em duas pequenas esferas isolantes de raio a,

uma das quais mantm uma posio fixa. A outra pode se mover ao longo do eixo x e est sujeita a

uma fora restritiva kx, onde k uma constante de elasticidade de uma mola. As esferas descarregas

esto centradas em x = 0 e x = d, sendo a ltimo fixa. Se s esferas so dadas cargas iguais e de sinais

opostos de Q coulombs, obtenha a expresso pela qual Q possa ser encontrada como uma funo de x.

Determine a carga mxima que pode ser medida em termos de 0, k e d, e determine a separao entre

as esferas. O que acontece se uma carga maior for aplicada?

9. Uma carga pontual de 100 nC est posicionada em A(1, 1, 3), no espao livre.

a) Encontre o lugar geomtrico de todos os pontos P(x, y, z) em que Ex = 500 V/m.

b) Calcule y1 se P(2, y1, 3) fizer parte desse lugar geomtrico.

10. Uma carga de teste positiva utilizada para mapear o campo de uma carga pontual nica Q em

P(a, b, c). Se a carga de teste colocada na origem, a fora nesta tem a direo de12(~ax

3~ay), e

quando a carga de teste movida para (1, 0, 0), a fora na direo de 0, 6~ax 0, 8~ay. Encontre a, b e c.

11. Uma carga Q0 posicionada na origem produz um campo para o qual Ez = 1KV/m, no espao livre, no

ponto P(2, 1,1). Calcule:

a) Q0.

b)E em M(1, 6, 5) em coordenadas cartesianas.

c)E em M(1, 6, 5) em coordenadas cilndricas.

d)E em M(1, 6, 5) em coordenadas esfricas.

12. Eltrons encontram-se em um movimento aleatrio numa certa regio do espao. Durante qualquer

intervalo de 1 s, a probabilidade de encontrar um eltron em uma sub-regio de volume 1015 m2

0,27. Qual densidade volumtrica de carga, apropriada para tais duraes de tempo, deve estar

associada e qual essa regio?

13. Uma densidade volumtrica de carga uniforme de 0, 2 C/m3 est presente em uma casca esfrica que

se estende de r = 3 cm a r = 5 cm. Se v = 0 em qualquer outra regio, calcule:

a) a carga total presente na casca.

7b) r1 se metade da carga total estiver localizada na regio 3 cm < r < r1.

14. A densidade carga varia com o raio em um sistema de coordenadas cilndricas segundo v =0

(2 + a2)2C/m3.

Dentro de que distncia, a partir do eixo z, encontra-se metade da carga total?

15. Um volume esfrico cujo raio de 2 m contm uma densidade volumtrica uniforme de carga de

1015 C/m3.

a) Qual a carga total interna ao volume esfrico?

b) Assuma agora que uma grande regio contenha uma dessas pequenas esferas em cada vrtice

de uma estrutura cbica de 3 mm de lado, e que no existam cargas entre as esferas. Qual a

densidade volumtrica de carga mdia nessa grande regio?

16. Dentre de uma regio no espao livre, uma densidade de carga dada como v =0ra

C/m3, onde 0

e a so constantes. Calcule a carga total presente dentro de

a) a esfera r 6 a;

b) o cone r 6 a, 0 6 6 0, 1pi.

c) a regio r 6 a, 0 6 6 0, 1pi, 0 6 6 0, 2pi.

17. Uma linha de cargas uniforme de 16 nC/m est posicionada ao longo da reta definida por y = 2,z = 5. Se = 0:

a) calculeE em P(1, 2, 3);

b) calculeE no ponto do plano z = 0 no qual a direo e o sentido de

E dado por

13(~ay 2~az).

18. Uma linha de cargas uniforme e infinita L = 2 nC/m posiciona-se ao longo do eixo x, no espao livre,

enquanto cargas pontuais de 8 nC esto posicionadas em (0, 0, 1) e (0, 0,1).

a) CalculeE em (2, 3,4).

b) Para qual valor de L deve ser mudado para fazer queE seja zero em (0, 0, 3)?

19. Uma linha de cargas uniforme de 2 C/m posiciona-se no eixo z. CalculeE em coordenadas cartesia-

nas em P(1, 2, 3) se a carga existir em:

a) < z < ;

b) 4 6 z 6 4.

20. A poro do eixo z na qual |z| < 2 possui uma densidade de cargas no uniforme de 10|z| nC/m,enquanto L = 0 nos outros pontos. Determine

E no espao livre em:

a) (0, 0, 4);

b) (0, 4, 0).

8 Captulo 2. Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Eltrico

21. Duas linhas de cargas uniformes idnticas, com L = 75 nC/m, localizam-se em x = 0, y = 0, 4 m, noespao livre. Qual fora por unidade comprimento cada linha de cargas exerce na outra?

22. Duas lminas de cargas uniformes idnticas com S = 100 nC/m2 localizam-se em z = 2, 0 cm, no

espao livre. Qual fora por unidade de rea cada lmina exerce na outra?

23. Dada a densidade superficial de cargas S = 2 C/m2 existente na regio < 0, 2 m, z = 0, sendo zero

fora dessa regio, calculeE em:

a) PA( = 0; z = 0, 5);

b) PB( = 0; z = 0, 5).

24. Para o disco carregado do problema 23, mostre que:

a) o campo ao longo do eixo z se reduz quele de uma lmina de cargas infinita para pequenos

valores de z;

b) o campo no eixo z se reduz quele de uma carga pontual para grandes valores de z.

25. CalculeE na origem se as seguintes distribuies de cargas estiverem presentes no espao livre: carga

pontual, 12 nC, em P(2, 0, 6); densidade linear de cargas uniforme, 3 nC/m, em x = 2, y = 3;densidade superficial de carga uniforme 0,2 nC/m2 em x = 2.

26. Um dipolo eltrico consiste em duas cargas pontuais de valores absolutos iguais, mais sinais opostos

Q, separadas por uma distncia d. Com as cargas ao longo do eixo z, nas posies z = d2

(com

a carga positiva na regio positiva do eixo z), o campo eltrico em coordenadas esfricas dado porE (r, ) =

Qd4pi0r3

(2 cos ~ar + sen ~a), onde r d. Utilizando coordenadas cartesianas, determineexpresses para o vetor de fora em uma carga pontual de valor q:

a) em (0, 0, z);

b) em (0, y, 0).

27. Dado o campo eltricoE = (4x 2y)~ax (2x+ 4y)~ay, calcule:

a) a equao da linha de fora que passa pelo ponto P(2, 3,4);

b) um vetor unitrio que especifique a direo e o sentido deE em (3,2, 5).

28. Tem-se o campoE = 2xz2~ax + 2z(x2 + 1)~az. Encontre a equao da linha de fora que passa pelo

ponto (1, 3,1).

29. SeE = 20e5y(cos 5x~ax sen 5x~ay), calcule:

a) |E | em P(pi

6,

110

, 2)

;

b) um vetor unitrio na direo deE em P;

c) a equao da reta que passa por P e possui a mesma direo deE .

930. Para campos que variam com z em coordenadas cilndricas, as equaes da linhas de fora so obtidas

resolvendo-se a equao diferencialEE

=dd

. Encontre a equao da linha que passa pelo ponto

(2, 30, 0) para o campo E = cos 2~a sin 2~a.

3Densidade de Fluxo Eltrico, Lei de Gausse Divergncia

1. Uma lata de tinta vazia colocada em uma mesa de mrmore, a tampa removida e ambas as partes

so descarregadas, conectando-as terra. Um fio isolante de nilon colado no centro da tampa e trs

moedas, de 1 centavo, 5 centavos e 10 centavos, so coladas no fio, de modo que no se toquem.

moeda de um centavo dada uma carga de +5 nC, e as outras moedas permanecem descarregadas.

Essa montagem colocada dentro da lata de modo que as moedas fiquem penduradas sem encostrar

nas paredes e a tampa esteja bem presa. A parte de fora da lata momentaneamente conectada terra,

de novo. A montagem cuidadosamente desfeita com luvas e ferramentas isolantes.

a) Que cargas so encontradas em cada uma das cinco partes metlicas?

b) Se moeda de 1 centavo fosse dada uma carga de +5 nC, moeda de 10 centavos uma carga de

2 nC e moeda de 5 centavos uma carga de 1 nC, qual seria a carga final do arranjo?

2. Uma carga pontual de 20 nC est posicionada em (4,1, 3) e uma linha de cargas uniforme de 25nC/m situa-se ao longo da interseo dos planos x = 4 e z = 6.

a) CalculeD em (3,1, 0).

b) Quanto fluxo eltrico deixa a superfcie de uma esfera de raio 5 centrada na origem?

c) Repita a parte b) se o raio da esfera for 10.

3. A superfcie cilndrica = 8 cm contm a densidade superficial de cargas S = 5e20|z| nC/m2.

a) Qual o valor da carga total presente?

11

12 Captulo 3. Densidade de Fluxo Eltrico, Lei de Gauss e Divergncia

b) Qual o fluxo eltrico que deixa a superfcie = 8 cm, 1 cm < z < 5 cm, 30 < < 90?

4. Em coordenadas cilndricas, sejaD =

~a + z~az4pi(2 + z2)1,5

. Determine o fluxo total deixando:

a) a superfcie cilndrica infinitamente longa = 7;

b) o cilindro finito = 7, |z| 6 10.

5. SejaD = 4xy~ax + 2(x2 + z2)~ay + 4yz~az C/m2, calcule as integrais de superfcie para encontrar a carga

total dentro do paraleleppedo retngulo 0 < x < 2, 0 < y < 3, 0 < z < 5 m.

6. No espao livre, uma carga volumtrica de densidade constante v = 0 existe na regio < x < , < y < e d

2< z 10 mm, encontre Dr em r = 20 mm.

10. Uma densidade volumtrica de cargas varia em coordenadas esfricas segundo v =0 sen(pir)

r2, onde

0 uma constante. Encontre as superfcies nas quaisD = 0.

11. Em coordenadas cilndricas, seja v = 0 para < 1 mm, v = 2 sen(2000pi) nC/m3 para 1 < 2 mm, v = 4 C/m3 para 1 < < 2 mm.

a) Calcule a carga total na regio 0 < < 1, 0 < z < L, onde 1 < 1 < 2 mm.

b) use a lei de Gauss para determinar D em = 0, 8 mm, 1,6 mm e 2,4 mm.

16. Em coordenadas esfricas, uma densidade volumtrica de cargas v = 10e2r C/m3 est presente.

a) CalculeD .

b) Verifique seu resultado da parte a) calculando D .

17. Um cubo definido por 1 < x, y, z < 1, 2. SeD = 2x2y~ax + 3x2y2~ay C/m2,

a) aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superfcie fechada do cubo.

b) Calcule D no centro do cubo.

c) Estime a carga total dentro do cubo, usando a Equao.

18. Determine se a divergncia dos seguintes campos vetoriais positiva, negativa ou zero:

a) o fluxo de energia trmica emJ

m2 s em qualquer ponto em um cubo de gelo em processo deresfriamento;

b) a densidade de corrente em A/m2 em um barramento que conduz corrente contnua;

c) a taxa de fluxo de massa emkg

m2 s abaixo da superfcie da gua em uma bacia, na qual a guaest circulando no sentido horrio quando vista de cima.

19. Uma superfcie esfrica de 3 mm de raio est centrada em P(4, 1, 5) no espao livre. SejaD =

x~ax C/m2. Use os resultados da Seo 3.4 para estimar o fluxo eltrico lquido que deixa a super-

fcie esfrica.

14 Captulo 3. Densidade de Fluxo Eltrico, Lei de Gauss e Divergncia

20. Suponha que uma densidade de fluxo eltrico em coordenadas cilndricas da formaD = D~a. Des-

creva a dependncia da densidade de cargas v com as coordenadas , e z se:

a) D = f (, z);

b) D =f (, z)

;

c) D = f ().

21. Calcule D no ponto especificado se:

a)D =

1z2[10xyz~ax + 5x2z~ay + (2z3 5x2y)~az] em P(2, 3, 5);

b)D = 5z2~a + 10z~az em P(3,45, 5);

c)D = 2r sen sen ~ar + r cos sen ~a + r cos ~a em P(3, 45,45).

22. a) Uma campo de densidade de fluxo dado comoF 1 = 5~az. Calcule o fluxo de

F 1 que sai de uma

superfcie hemisfricas r = a, 0 < 0, 08 m.

a) Calcule v para r = 0, 06 m.

b) Calcule v para r = 0, 1 m.

c) Que densidade superficial de carga poderia ser posicionada em r = 0, 08 m para fazer queD = 0

para r > 0, 08 m?

28. Repita o problema 8, mas use D = v e escolha uma integral volumtrica apropriada.

29. A regio do espao livre inclui o volume 2 < x, y, z < 3,D =

2z2(yz~ax + xy~ay 2xy~az C/m2).

a) Calcule o lado da integral volumtrica da equao do teorema da divergncia para o volume aqui

definido.

b) Calcule o lado da integral de superfcie da superfcie fechada correspondente.

30. SejaD = 202~a nC/m2.

a) Qual a densidade volumtrica de carga no ponto P(0, 5; 60; 2)?

b) Use dois mtodos diferentes para calcular a quantidade de carga dentro da superfcie fechada

limitada por = 3, 0 6 z 6 2.

31. Dada a densidade de fluxoD =

16r

cos 2~a C/m2, use dois mtodos diferentes para calcular a carga

total dentro da regio 1 < r < 2 m, 1 < < 2 rad, 1 < < 2 rad.

4Energia e Potencial

1. O valor deE em P( = 2, = 40, z = 3) dado como E = 100~a 200~a + 300~az V/m. Determine

o trabalho incremental necessrio para deslocar uma carga de 20 C por uma distncia de 6 m:

a) na direo de ~a;

b) na direo de ~a;

c) na direo de ~az;

d) na direo deE ;

e) na direo deG = 2~ax 3~ay + 4~az.

2. Um campo eltrico dado comoE = 10ey( sen 2z~ax + x sen 2z~ay + 2x cos 2z~az) V/m.

a) CalculeE em P

(5, 0,

pi

12

).

b) Quanto trabalho realizado para se mover uma carga de 2 nC por uma distncia incremental de 1

mm a partir de P pela direo de ~ax?

c) De ~ay?

d) De ~az?

e) De (~ax + ~ay + ~az)?

3. SeE = 120~a V/m, calcule a quantidade incremental de trabalho realizado na movimentao de uma

carga de 50 C por uma distncia de 2 mm de:

a) P(1, 2, 3) em direo a Q(2, 1, 4);

17

18 Captulo 4. Energia e Potencial

b) Q(2, 1, 4) na direo de P(1, 2, 3).

4. A energia despendida ao se deslocar uma carga de 4 C da origem at (x, 0, 0) ao longo do eixo x

diretamente proporcional ao quadrado do comprimento do caminho. Se Ex = 7 V/m em (1, 0, 0),

determine Ex no eixo x como uma funo de x.

5. Calcule o valor de PAG dL para G = 2y~ax com A(1,1, 2) e P(2, 1, 2) usando o caminho:

a) segmentos de linha reta A(1,1, 2) para B(1, 1, 2) para P(2, 1, 2);

b) segmentos de linha reta A(1,1, 2) para C(2,1, 2) para P(2, 1, 2).

6. Determine o trabalho realizado no deslocamento de uma carga de 2 C de (2, 1,1) at (8, 2,1) pelocampo

E = y~ax + x~ay ao longo da:

a) parbola x = 2y2;

b) hiprbole x =8

7 3y ;

c) linha reta x = 6y 4.

7. SejaG = 3xy2~ax + 2z~ay. Dado o ponto inicial P(2, 1, 1) e o ponto final Q(4, 3, 1), calcule

G dL

usando o caminho:

a) linha reta: y = x 1, z = 1;

b) parbola: 6y = x2 + 2, z = 1.

8. DadoE = x~ax + y~ay, calcule o trabalho envolvido no deslocamento de uma carga unitria positiva

por um arco circular do crculo centrado na origem, de x = a at x = y =a2

.

9. Uma densidade superficial de carga uniforme de 20 nC/m2 est presente na superfcie esfrica r = 0, 6

cm no espao livre.

a) Calcule o potencial absoluto em P(r = 1 cm, = 25, = 50).

b) Calcule VAB dados os pontos A(r = 2 cm, = 30, = 60) e B(r = 3 cm, = 45, = 90).

10. Expresse o campo potencial de uma linha de cargas infinita:

a) com zero de referncia em = 0;

b) com V = V0 em = 0;

c) O zero de referncia pode ser colocado no infinito? Por qu?

11. Seja uma densidade superficial de carga uniforme de 5 nC/m2 presente no plano z = 0, uma densidade

linear de carga uniforme de 8 nC/m posicionada em x = 0, z = 4, e uma carga pontual de 2 C presente

em P(2, 0, 0). Se V = 0 em M(0, 0, 5), calcule V em N(1, 2, 3).

12. Em coordenadas esfricas,E =

2r(r2 + a2)2

~ar V/m. Calcule o potencial em qualquer ponto, usando a

referncia:

19

a) V = 0 no infinito;

b) V = 0 em r = 0;

c) V = 100 V em r = a.

13. Trs cargas pontuais idnticas, de 4 pC cada, esto posicionadas nos vrtices de um tringulo equiltero

de 0,5 mm de lado, no espao livre. Quanto trabalho deve ser realizado para mover uma carga para um

ponto equidistante das outras duas e na linha que as une?

14. Dado o campo eltricoE = (y + 1)~ax + (x 1)~ay + 2~az, calcule a diferena de potencial entre os

pontos:

a) (2,2, 1) e (0, 0, 0);

b) (3, 2,1) e (2,3, 4).

15. duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada esto posicionadas em x = 1, z = 2, e em x = 1,y = 2, no espao livre. Se o potencial na origem vale 100 V, calcule V em P(4, 1, 3).

16. O potencial em qualquer ponto do espao dado, em coordenadas cilndricas, por V =k cos(b)

2V/m,

onde k e b so constantes.

a) Onde est o zero de referncia para o potencial?

b) Calcule o vetor intensidade de campo eltrico em qualquer ponto (, , z).

17. Densidades superficiais de carga uniformes de 6 e 2 nC/m2 esto presentes em = 2 e 6 cm, respecti-

vamente, no espao livre. Considere que V = 0 em = 4 cm e calcule V em:

a) = 5 cm;

b) = 7 cm.

18. Calcule o potencial na origem produzido por uma linha de cargas L =kx

x2 + a2que se estende ao longo

do eixo x de x = a at +, onde a > 0. Assuma o zero de referncia no infinito.

19. A superfcie anelar 1 cm < < 3 cm, z = 0, est carregada com a densidade superficial no uniforme

de carga S = 5 nC/m2. Calcule V em P(0, 0, 2 cm) se V = 0 no infinito.

20. Uma carga pontual Q est posicionada na origem. Expresse o potencial em ambas as coordenadas

cartesianas e cilndricas, e utilize a operao de gradiente em cada sistema de coordenadas para cal-

culara intensidade de campo eltrico. O resultado deve ser conferido, convertendo-o em coordenadas

esfricas.

21. Seja V = 2xy2z3 + 3 ln(x2 + 2y2 + 3z2) V no espao livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas

em P(3, 2,1): a) V; b) |V|; c) E ; d) |E |; e)~aN ; f) D .

20 Captulo 4. Energia e Potencial

22. Um certo campo potencial dado em coordenadas esfricas por V =V0r sen

a. Calcule a carga total

contida dentro da regio r < a.

23. Sabe-se que o potencial dado como V = 800,6 V. Assumindo as condies de espao livre, calcule:

a)E ;

b) a densidade volumtrica de carga em = 0, 5 m;

c) a carga total presente dentro da superfcie fechada = 0, 6; 0 < z < 1.

24. A superfcie definida pela equao x3 + y2 + z = 1000, onde x, y e z so positivos, uma superfcie

equipotencial na qual o potencial vale 200 V. Se |E | = 50 V/m no ponto P(7, 25, 32) sobre a superfcie,calcule

E .

25. Dentro do cilindro = 2; 0 < z < 1, o potencial dado por V = 100+ 50+ 150 sen V.

a) Calcule V,E ,D e v em P(1; 60; 0, 5) no espao livre.

b) Quanta carga est presente dentro do cilindro?

26. Consideremos uma placa muito fina, quadrada e condutora imperfeita, de 2 m de lado, posicionada

no plano z = 0 com um vrtice na origem, de modo que permanea totalmente dentro do primeiro

quadrante. O potencial em qualquer ponto da placa dado por V = ex sen y.

a) Um eltron entra na placa em x = 0, y =pi

3com velocidade inicial zero. Em qual direo est seu

movimento inicial?

b) Por causa de colises das partculas na placa, o eltron atinge uma velocidade relativamente baixa

e pequena acelerao (o trabalho que o campo exerce nele, em grande parte, convertido em calor).

O eltron se move, portanto, ao longo de uma linha de fora. Onde ele deixa a placa e em que

direo estar se movimentando nesse instante?

27. Duas cargas pontuais de 1 nC em (0; 0; 0, 1) e 1 nC em (0; 0;0, 1) esto no espao livre.

a) Calcule V em P(0, 3; 0; 0, 4).

b) Calcule |E | em P;

c) Agora trate as duas cargas como um dipolo na origem e calcule V em P.

28. Use a intensidade de campo eltrico de um dipolo, equaoE =

Qd4pi0r3

(2 cos ~ar + sen ~a), para

calcular a diferena no potencial entre pontos em a e b, cada ponto tendo as mesmas coordenadas r e

. Sob quais condies a resposta concorda com a equao V =Qd cos 4pi0r2

, para o potencial em a?

29. Um dipolo que tem um momento ~p = 3~ax 5~ay + 10~az nC m est posicionado em Q(1, 2,4) noespao livre. Calcule V em P(2, 3, 4).

21

30. Um dipolo para o qual ~p = 100~az C m est posicionado na origem. Qual a equao da superfciena qual Ez = 0 mas

E 6= 0?

31. Um campo de potencial no espao livre expresso como V =20xyz

V.

a) Calcule a energia total armazenada dentro do cubo 1 < x, y, z < 2.

b) Qual valor seria obtido caso fosse assumida uma densidade uniforme de energia igual ao valor no

centro do cubo?

32. a) Utilizando a EquaoE =

Qd4pi0r3

(2 cos ~ar + sen ~a), calcule a energia armazenada no campo do

dipolo na regio r > a. b) Por que no podemos deixar a se aproximar e zero, no limite?

33. Uma esfera de cobre de 4 cm de raio est carregada com uma carga total uniformemente distribuda de

5 C, no espao livre.

a) Use a lei de Gauss para acharD externo esfera.

b) Calcule a energia total armazenada no campo eletrosttico.

c) Use WE =Q2

2Cpara calcular a capacidade da esfera isolada.

34. Uma esfera de raio a contm uma densidade volumtrica de carga uniforme 0 C/m3. Encontre a

energia total armazenada aplicando:

a) Equao WE = 12vol vVdv;

b) Equao WE = 12volD E dv = 12

vol 0E

2dv;

35. Quatro cargas pontuais de 0,8 nC esto posicionadas, no espao livre, nos vrtices de um quadrado de

4 cm de lado.

a) Calcule a energia potencial total armazenada.

b) Uma quinta carga de 0,8 nC instalada no centro do quadrado. Novamente calcule a energia total

armazenada.

5Corrente e Condutores

1. Dada a densidade de correnteJ = 104[ sen (2x)e2y~ax + cos(2x)e2y~ay] kA/m2.

a) Calcule a correte total que atravessa o plano y = 1 na direo ~ay na regio 0 < x < 1, 0 < z < 2.

b) Calcule a corrente total que deixa a regio 0 < x, y < 1, 2 < z < 3 pela integrao deJ dS sobre

a superfcie do cubo.

c) Repita a parte b), mas utilizando o teorema da divergncia.

2. Uma certa densidade de corrente dada em coordenadas cilndricas comoJ = 100e2z(~a + ~az)

A/m2. Calcule a corrente total que passa por cada uma dassas superfcies:

a) z = 0, 0 6 6 1, na direo de ~az;

b) z = 1, 0 6 6 1, na direo de ~az;

c) cilindro fechado definido por 0 6 z 6 1, 0 6 6 1, na direo para fora.

3. SejaJ = 400

sen r2 + 4

~ar A/m2.

a) calcule a corrente total que flui pela poro da superfcie esfrica r = 0, 8, limita por 0, 1pi < 0 seja r = r1 = 3, enquanto r2 = 5, onde

x < 0. SeE1 = 80~ax 60~ay 30~az V/m, calcule: a) EN1; b) ET1; c) E1; d) o ngulo 1 entre E1 e uma

normal superfcie; e) DN2; f) DT2; g)D2; h)

P2; i) o ngulo 2 entre

E2 e uma normal superfcie.

6. O campo potencial em uma placa de material dieltrico para o qual r = 1, 6 dado como V = 5000x.

a) CalculeD ,E eP no material.

b) Calcule , b e t no material.

7. Dois dieltricos perfeitos possuem permissividades relativas r1 = 2 e r2 = 8. A superfcie plana entre

eles a superfcies x y+ 2z = 5. A origem situa-se na regio 1. Se E1 = 100~ax + 200~ay 50~az V/m,calcule

E2.

8. A regio 1 (x > 0) um dieltrico com r1 = 2, enquanto a regio 2 (x < 0) tem r2 = 5. SejaE1 = 20~ax 10~ay + 50~az V/m.

a) CalculeD2.

b) Calcule a densidade de energia em ambas as regies.

9. Sejam as superfcies cilndricas = 4 cm e = 9 cm, que envolvem dois dieltricos perfeitos em forma

de cunha, r1 = 2, para 0 < 2 e B = 0 nos outros pontos.

19. Dado o material para o qual m = 3, 1 e dentro do qualB = 0, 4y~az T, calcule: a)

H ; b) ; c) r; d)

M;

e)J ; f)

Jb; g)

JT .

20. CalculeH em um material onde:

a) r = 4, 2, existem 2, 7 1029 tomos/m3 e cada tomo tem um momento de dipolo de 2, 6 1030~ay A m2;

b)M = 270~az A/m e = 2 H/m;

53

Figura 9.2: Veja o Problema 6.

c) m = 0, 7 eB = 2~az T.

d) CalculeM em um material onde existem densidades superficiais de corrente ligada de 12~az A/m

e 9~az A/m em = 0, 3 e = 0, 4 m, respectivamente.

21. Encontre a intensidade de magnetizao em um material para o qual:

a) a densidade de fluxo magntico 0, 02 Wb/m2;

b) a intensidade de campo magntico 1200 A/m e a permeabilidade relativa 1,005;

c) existem 7, 2 1028 tomos/m3, cada um possuindo um momento de dipolo de 4 1030 A m2 namesma direo, e a susceptibilidade magntica vale 0,003.

22. Sob certas condies possvel aproximar os efeitos de materiais ferromagnticos assumindo lineari-

dade na relao entreB eH . Seja r = 1000 para um certo material do qual um fio cilndrico de raio

1 mm feito. Se I = 1 A e a distribuio de corrente uniforme, calcule: a)B ; b)

H ; c)

M; d)

J e e)

Jb dentro do fio.

23. Calcule valores para H, B e M em = c para um cabo coaxial com a = 2, 5 mm e b = 6 mm se pelo

mesmo circula uma corrente I = 12 A no condutor central, e = 3 H/m para 2, 5 mm < < 3, 5 mm,

= 5 H/m para 3, 5 mm < < 4, 5 mm e = 10 H/m para 4, 5 mm < < 6 mm. Use: a) c = 3 mm;

b) c = 4 mm; c) c = 5 mm.

24. Uma linha de transmisso coaxial tem a = 5 mm e b = 20 mm. Considere que seu centro esteja no

eixo z e que uma corrente contnua I circule na direo ~az no centro do condutor. O volume entre os

condutores contm um material magntico para o qual r = 2, 5, assim como ar. CalculeH ,B eM em

todos os pontos entre os condutores se H =600pi

A/m em = 10 mm, =pi

2e o material magntico

est posicionado em: a) a < < 3a; b) 0 < < pi.

25. Por um filamento condutor em z = 0 circula uma corrente de 12 A na direo ~az. Seja r = 1 para

< 1 cm, r = 6 para 1 < < 2 cm, e r = 1 para > 2 cm. Calcule: a)H em todos os pontos; b)

B

em todos os pontos.

54 Captulo 9. Foras Magnticas, Materiais e Indutncia

26. Duas lminas de corrente, K0~ay A/m em z = 0 e K0~ay A/m em z = d, esto separadas por duas tirasde material magntico, r1 para 0 < z < a, e r2 para a < z < d. Se r2 = 3r1, calcule a razo

ad

tal que

10% do fluo magntico total esteja na regio 0 < z < a.

27. Seja r1 = 2 na regio 1, definida por 2x+ 3y 4z > 1, enquanto r2 = 5 na regio 2 onde 2x+ 3y 4z 0, calcule: a) H(); b) B(); c) z > 0. d) Repita para z < 0. e) Calcule total .

34. Determine a energia armazenada por unidade de comprimento no campo magntico interno de um fio

retilneo infinitamente longo de raio a, pelo qual circula uma corrente I.

35. Os cones = 21 e = 159 so superfcies condutoras e neles circulam correntes totais de 40 A,

conforme mostra a Figura 9.4. As correntes retornam por uma superfcie esfrica condutora de raio 0,25

m.

a) CalculeH na regio 0 < r < 0, 25; 21 < < 159; 0 < < 2pi.

b) Quanta energia est armazenada nessa regio?

Figura 9.4: Veja o Problema 35.

56 Captulo 9. Foras Magnticas, Materiais e Indutncia

36. As dimenses do condutor externo de um cabo coaxial so b e c, onde c > b. Assumindo = 0, calcule

a energia magntica armazenada por unidade de comprimento na regio b < < c para uma corrente

total I uniformemente distribuda que circula em sentidos opostos nos condutores interno e externo.

37. Calcule a indutncia da configurao cone-esfera descrita no Problema 35 e na Figura 9.4. A indutncia

aquela oferecida na origem entre os vrtices do cone.

38. Um ncleo toroidal tem uma seo reta retangular definida pelas superfcies = 2 cm, = 3 cm,

z = 4 cm e z = 4, 5 cm. O material do ncleo possui uma permeabilidade relativa de 80. Se o ncleo

enrolado por uma bobina contendo 8000 espiras de fio, calcula a indutncia.

39. Por planos condutores no ar em z = 0 e z = d circulam correntes de K0~ax A/m

a) Calcule a energia armazenada no campo magntico por unidade de comprimento (0 < x < 1) em

uma largura w (0 < y < w).

b) Calcule a indutncia por unidade de comprimento dessa linha de transmisso por WH =12LI2,

onde I a corrente total em uma largura w em cada condutor.

c) calcule o fluxo total que passa pelo retngulo 0 < x < 1, 0 < z < d, no plano y = 0, e deste

resultado novamente encontre a indutncia por unidade de comprimento.

40. Um cabo coaxial tem um condutor de dimenses de 1 mm e 5 mm. A regio enter os condutores ar

para 0 < a

10. a)

V(z) =

0bz2

{[b+ 2r(d b)b+ r(d b)

] z

b

}, z < b

0b2

20

[d z

b+ r(d b)]

, z > b

b)

E =

0

{z b

2

[b+ 2r(d b)b+ r(d b)

]}~az, z < b

0b2

20

[1

b+ r(d b)]~az, z > b

11. a) 33,33 V b)EP =

1003~ax + 50~ay V/m

13. a) 1,01 cm b) 22,8 kV/m c) 3,15

14. r = 5, 31

69

15. a) V() = (2 104)+ 3, 78 103 V

b)E =

2, 0 104

~a V/m

c)D =

2, 0 1040

~a V/m

d) s =2, 0 104

C/m2 e) Q = 84, 7 nC

f) V() = 28, 7+ 194, 9 V;E = 28, 7

~a V/m

D = 28, 70

~a V/m s = 28, 70

C/m2

Q = 122 pC; g) C = 471 pF

16. a) V(z) =V0zd

V; b)E = V0

d~az V/m

c)5pia20V0

3d; d)

5pia203d

17. a) 12,5 mm b) 26,7 kV/m c) 4,23

19. a) 56, 31 b) 23,3 V

20. 1, 56~a kV/m;

b) Superfcie cnica em = 107.

21. a) V(r) = 833, 3r0,4 V b) V(r) = 833, 3r0,4 V

22.0a2

20V

23. V(3, 4) = 71, 9173 V

24. 12,5 V

25. 12,5 V

Captulo 8

1. a)Ha = 294~ax + 196~ay A/m;

b)Hb = 127~ax + 382~ay A/m

c)HT = 421~ax + 578~ay A/m

2.H =

9I2pi`

~ay A/m

3. a)H =

I2pi

(1 a

2 + a2

)~a A/m

b) a =13

4. a)H =

I2a~az A/m b) 1, 80a

6.H =

s2z

[a2 + 2z2(11+ a2/z2)

1+ a2/z2

]~az A/m

7. a) ~aH = 0, 53~ax + 0, 80~ay + 0, 27~az

b) 5, 73 A/m; c) ~a` = (~ax + ~ay ~az)

3

8.H =

I4pi

( sen 2 sen 1)~a

9.HP = 1, 50~ay A/m

10.

H =

I

2pir sen ~a, para r > a

0, para r < a

11.

H =

2, 0 A/m, para = 0, 5 cm

933 mA/m, para = 1, 5 cm

360 mA/m, para = 2, 5 cm

0, para = 3, 5 cm

12.

H =

0, z = 0, 2 m2~ax A/m, z = 0, 2 m3~ax A/m, z = 0, 4 m2, 5~ax A/m, z = 0, 75 m

0, z = 1, 2 m

14. a)HA = 0 b)

HB = 71, 4~a A/m

c)HC = 55, 6~a A/m; d)

HD = 0

15. a)J = 45e150~az kA/m2

b) I = 12, 6[1 (1+ 1500)e1500 ] A

c) H =2, 00

[1 (1+ 150)e150] A/m

16. a)

J =

I~az2pia2

A/m2, para 0 < < a

I~azpi(b20 b2i )

A/m2, para bi < < b0

I~az2pi(c20 c2i )

A/m2, para ci < < c0

70 Apndice A. Respostas dos exerccios

b)

H =

I4pia2

~a, 0 < < a

I4pi

~a, a < < bi

I4pi

[2(2 b2i )(b20 b2i )

1]~a, bi < < b0

I4pi

~a, b0 < < ci

I4pi

[1 (

2 c2i )(c20 c2i )

]~a, ci < < c0

c)

E =

V0 ln(bi/a)

~a, a < < bi

V0 ln(ci/b0)

~a, b0 < < ci

17. a)Hinterno = 2, 2 101~a A/m

eHexterno = 2, 3 102~a A/m

b) 3, 4 101~a A/m c) 1, 3 101~a A/m

d) 1, 3 101~az A/m

18.

H =

663 A/m, < 2 mm

2, 7 103 8 103

, 2 < < 3

1, 6 102

, > 3 mm

19. 0

20. a) 6 107 S/m b) 1, 3

21. H = 530~ax + 460~ay 148~az A/m2

22. a) 0~a A/m2 b)0a2

2(a2 2)~az A/m

23. a) 60~az A/m2 b) 40pi A c) 40pi A

24. 15pi

25. a) 259 A b) 259 A

26. a) 995, 8 b) 995, 8

27. a)2(x+ 2y)

z3~ax +

1z2~az A/m c)

18

A

28. a) 2, 73 kA b) 2, 73 kA

29. a) 1, 59 107~az A/m2

b)H = 7, 96~a MA/m

B = 10~a Wb/m2

d)H =

1pi

~a A/mB =

0pi

~a Wb/m2

30. a) 500(1+ 5 1053)~a A/m b) 2, 5 nWb

31. a) 0, 392 Wb b) 1, 49 Wb c) 27 Wb

32. a)

K =

60~a A/m, z = 1

60~a A/m, z = 4

b)Hfora = 0

Hdentro = 60 ~a A/m

c) 0, 92 Wb

34. a)

H =

162pi

~a, 0 < < 6

42pi

~a, 6 < < 10

0, > 10

c) 5, 9Wb

35. a) Vm = 40 A

b)A = 400 ln

(3

)~az Wb/m

36. b)AP = 6~ax + 12~ay

BP = 4~ax ~ay + 3~az Wb/m2HP = 3, 2~ax 0, 8~ay + 2, 4~az MA/m; J = 0

37. Vm = 120 400pi

A, para 0 < < 2pi

38. a)Az =0 I4pi

{senh1

(L z

) senh1

[(L+ z)

]}b)B =

0 I4pi

[1

1+ 2/(L z)2 +1

1+ 2/(L+ z)2

]~a

71

39. a)H = 30~ay A/m

b) Vm = 30y 6 A

c)B = 300~ay Wb/m2

d)A = 0(30x 3)~az Wb/m

41. a)B = 100~a Wb/m2 H = 100

0A/m

b)J = 200

0~az A/m2 c) 500 MA

43. Az =0 I96pi

[(2

a2 25

)+ 98 ln

(5a

)]Wb/m

Anlise VetorialLei de Coulomb e Intensidade de Campo EltricoDensidade de Fluxo Eltrico, Lei de Gauss e DivergnciaEnergia e PotencialCorrente e CondutoresDieltricos e CapacitnciaEquaes de Poisson e de LaplaceO Campo Magntico EstacionrioForas Magnticas, Materiais e IndutnciaCampos Variantes no Tempo e Equaes de MaxwellRespostas dos exerccios