Determinação de Domínio

Existem algumas restrições no domínio, são elas:

i - Não existe raiz quadrada de número negativo (e nenhuma outra raiz de índice par);

ii - Não existe divisão por zero;

iii - Não existe logaritmo de número negativo ou de zero;

iv - Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1;

v - Não existe tangente de 90° nem de 270°.

De todas estas restrições para o domínio, as mais importantes e mais pedidas, com certeza são as duas primeiras.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:

SOLUÇÃO:

Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào:- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,então f(-3)=19- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1

- f( )=2.( )²+1, então f( )=11Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}

2. Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine:

a) O Domínio:

b) A imagem

c) f(5)

d) f(12)

SOLUÇÃO: a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, esta é barbadaD={5, 12, 23}.

b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há

relacionamento com o Domínio, então:Im={7, 14, 25}

c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5. f(5)=7

d) Como no exercício anterior: f(12)=14.

3. UCSal - Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:a) -5 b) -4 c) 0 *d) 4 e) 5

SOLUÇÃO: Como f(x) = 2x -3, podemos escrever: f[g(x)] = 2.g(x) - 3 = - 4x + 1Logo, 2.g(x) = - 4x +4 g(x) = -2x + 2Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4.Logo, a alternativa correta é a letra D.

4. Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:Podemos escrever:5 = 2.a + b-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)15 = - a a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:5 = 2.(- 15) + b b = 35. Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

5. Considere três funções f, g e h, tais que:A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.A função g atribui a cada país, a sua capitalA função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:a) f, g e h b) f e h c) g e hd) apenas he) nenhuma delas

Solução:Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 x2 f(x1) f(x2) .Logo, podemos concluir que:

f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.

6. Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais tal quef(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).

Solução:Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:x - 5 = u x = u + 5

Substituindo agora  (x - 5)  pela nova variável u  e  x por (u + 5), vem:f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40

7. UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2,para todo x R, pode-se afirmar que b/a é igual aa) 2  b) 3/2   c) 1/2   d) -1/3   e) -3

Solução:Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2,  vem, igualando:

a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:2ax2 + a + b = -2x2 + 2

Então, poderemos escrever:  2a  = -2  a = -2 /2 = -1E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3

Logo, o valor procurado a/b será  a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

8. Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3Explicitando y em função de x, vem:2y = x - 3 y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.

9. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).Teremos:gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3Observe que fog gof .

10. O gráfico a seguir, representa uma função e a sua inversa.

Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

11. A função f: R R , definida por f(x) = x2 :a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = xb) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - x*c) não é inversíveld) é injetorae) é bijetora

SOLUÇÃO:Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa.Ora, a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.

Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é igual a R. A alternativa correta é a letra C.

12. Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:*a) b(1 - c) = d(1 - a) b) a(1 - b) = d(1 - c) c) ab = cd d) ad = bc e) a = bc

SOLUÇÃO:Teremos:fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b fog(x) = acx + ad + bgof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d gof(x) = cax + cb + d

Como o problema exige que gof = fog, fica:acx + ad + b = cax + cb + d

Simplificando, vem:ad + b = cb + dad - d = cb - b d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. .

13. Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:a) 2 - 2x b) 3 - 3x c) 2x - 5 *d) 5 - 2x e) uma função par.

SOLUÇÃO:Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.

Substituindo, fica: f(u) = 2(2 - u) + 1 f(u) = 5 - 2uPortanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.