Existência de soluçõe quass e e assintoticamente quas ... · referências e atualidade sobrs oe...

Existência de soluções quase e assintoticamente quase periódicas para

equações funcionais abstraías do tipo neutro com retardamento não limitado

Maurício Luciano Pelicer

Orientador: Prof. Dr. Eduardo Alex Hernandez Morales

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática.

"VERSÃO REVISADA APÓS A DEFESA"

Data da Defesa: \ 8/08/2005

Visto do Orientador: < /

USP - São Carlos Agosto/2005

Aos meus pais,

Natal e Elia.

Agradecimentos

A DOAIS, que permitiu que caminhos difíceis fossem trilhados.

Ao meu orientador Prol'. Eduardo A. Hernandez Morales, pelo auxílio nas horas em que sua,

presença tanto se fez necessária..

A Capes, pelo suportei financeiro.

A todos meus colegas do 1CMC-USP, que (.ornaram esta caminhada mais agradável.

Abstract

In Ihis work wc study some cri teria for existence of sotutions ahnost periodic and asymplotically

alniost periodic for tbe si.stems of abstract jjeutral functional diffcrential equations wil.h unbounded

delay modelled in the fornis

l(.7;(/)+ /7(/., .r/)) = Ax(l.)+f(t, x,), t El- ( — 00, a], aí

XQ IP G B ,

!Ux'(t)+(](t,xt)) = Ax(t) + f(t,.xt), te 1 = {-00, a], dl

x() = p{(f,xt] ,.Tf,,,.. . ,xtn) e B,

.t'(0) = (j{ip,xti,xl2,...,xtll),

where /I is the infinitesimal generator of a (7()-seniigroup of linear operators 011 a Banach space X,

A is the infinitesimal generator of a cosine faniily of linear operators, the history xt : ( — 00. 0] —» X,

:i'i(0) --- ,r(t + 0), belongs to some abstract phase space B defined axiomatically, <7, / : I x B —> X,

p : Bn'~l > B and q : —> X are appropriate fimetions.

Resumo

Neste trabalho estudamos alguns critérios para existência de soluções quase e assinloticarncntc

quase periódicas para os sistemas de equações diferenciais funcionais neutras com retardo não

limitado modelados nas formas

•~-{x{l.)-\- <i(t,x<)) - Ax(t.)+f(l,x<), teT=--{-oo,a], dl

•''d = <i° G B,

~(x'(i) + g(t,xt)) = Ax(t) + f(L.Tt), te 1= (-00, a], ai

x0 ^ p{(f.xu,xh....,xt!1)eB,

:/;'(()) = q((p,xtl,xh,. . . ,xfJ.

onde A é o gerador infinitesimal de um Go-seinigrupo de operadores lineares sobre um espaço de

Banacli X, A 6 o gerador infinitesimal de uma família eosseno de opera,dores lineares, a história

: ( —oo,0] — > A'. xt{9) — x(í + 0), pertence a algum espaço de fase abstrato B definido

axioinatieauiente. g, f : I x B X, p : B" 11 -» B e q : B'l+l —> X são funções apropriadas.

imano

Introdução 1

1 Preliminares 7

1.1 Seinigrupos de Operadores Lineares 7

1.2 Família Cosseno do Operadores Lineares 12

1.3 Espaços de Fase Abstratos 15

1.4 Funções Quase e Assintotieamente Quase Periódicas 17

2 Existência de Soluções Quase e Assintotieamente Quase Periódicas para a

Equação Neutra de Primeira O r d e m 22

2.1 Introdução 22

2.2 Soluções Quase e Assintotieamente Qua.se Periódicas 23

2.3 Existência de Soluções Quase e Assintotieamente Quase Periódicas Via Equações

Limites 37

2.4 Aplicação 46

3 Existência de Soluções para a Equação Neutra de Segunda O r d e m 49

3.1 Introdução 49

3.2 Soluções sobre ( —oc. a] 50

3.3 Soluções Globais ti5

3.4 Soluções Assintotieamente Quase Periódicas 68

3.5 Exemplos 80

Bibliografia 84

A existência de soluções quase e assintoticanientc quase periódicas é um dos mais interessantes

tópicos na teoria qualitativa de equações diferenciais. Mais ainda, o estudo de funções quase e

assinloficanienle quase periódicas tem gerado uma, teoria própria, independente e com vários e

interessantes resultados. A esse respeilo, ver Yoshizawa [46], Corduncanu [52], Fink [53] Guérékata

[54] e Zaidman [43] entre, outros.

O problema de existência deste tipo de soluções tem sido estudado para diversos sistemas

diferenciais. Veja, entre outros, Yoshizawa [46] para equações ordinárias; Zaidman [41], Guérékata

[50], Cuevas [48], Diagana [49], Tijun [57] e Castillo & Henrique/, [58] para sistemas abstrai,os com

aplicações as equações diferenciais parciais, e Hino [19], [20], [21], Henriquez [30] para equações

diferenciais funcionais abstraias. Em relação a sistemas ordinários do tipo neutro citamos Yuan

[55] e N. Mini. Man & N. Van Minli [56].

Embora exista uma extensa literatura sobre soluções quase e assintoticamente quase periódicas,

o problema da existência deste tipo dc soluções para equações funcionais abstraias do tipo neutro

com aplicações as equações parciais é mu tópico não considerado. Este lato 6 a principal motivação

para a elaboração deste trabalho de tese.

Nesta tese estudamos a existência de soluções quase e assintoticamente quase periódicas para as

seguintes equações parciais abstraias do tipo neutro

~(x(t) + g(Lxt)) = /I.?;(/,) + /(/,, xt), /g/-[0,«], dt (1)

:Í:() = ip G B .

~(x'(i) + <j(t,xt)) - Ax(l.) + /(/., xt), t£ 1 = [0, a],

:Í;0 = p{ip,xLl .:i:h.... , . T , J G B, (2)

Nos sistemas anteriores, A e A são, respectivamente, os geradores infinitesimais de um Co-semigrupo

de operadores lineares e de uma, família cosseno de operadores lineares sobre um espaço de Banach

2

A'; a história X/ : (—00, 0) X, x/(fl) -- x(1. -f 0), pertence a um espaço de fase abstrato B definido

do maneira axiomática, o g,f • I x B —> X, p : Bn+l -> B, q : X são funções apropriadas.

Equações parciais abstraías do tipo neutro tem sido estudadas intensamente nos últimos anos

devido a. suas aplicações. Estes tipos de sistemas aparecem, por exemplo, nos trabalhos de Gurtin

k. Pipkin [7] e Nuwsiato [25] para a. descrição da condução de calor cm materiais com memória

amortecida. Na teoria de condução de calor, é assumido de maneira geral que a energia e o fluxo de

calor dependem linearmente da temperatura '//(•) e do gradiente Vu(-). Nestas condições, a clássica

equação do calor descreve de maneira satisfatória a. evolução da temperatura em diferentes tipos

de materiais, mas não em materiais com memória amortecida ( materiais with fading memory ).

Neste tipo de materiais, veja [7, 25], a energia interna do material e o fluxo de temperatura são

funcionais de u(-) e Vu(-) respectivamente. Um modelo muito usado para descrever o fluxo de calor

em materiais com memória amortecida ( veja [6, 22, 25] ) c o sistema diferencial

d dl

••1 c QU(Í,X)+ / K\(i — s)u(s,x)ds

1 —00

-i Cl Au(t, x) + / K2{t ~ s)Au{s, x)ds,

./—00

u(t,x)= 0, t> 0,xEdtt.

Neste sistema, Q é um aberto limitado com fronteira regular de R", (l ,x) G [0,00) x íl, «(•)

representa a temperatura em x no tempo í; cj,C2 são constantes positivas com significado físico e

K{ : IR —> IR, i = 1,2, são funções apropriadas.

Equações parciais do tipo neutro da segunda ordem também podem sei' deduzidas a partir da

teoria desenvolvida por Gurtin, veja. [7, 24] para mais detalhes. Baseados em evidências físicas, os

autores estabeleceram que a temperatura verifica a equação intcgro-diferencial

r ^ w M ^ * - rt2(0)V2«(/:,O dt2 ' Ot J o Ot

f f ^ - M J o

onde / j é a função de relaxação de energia, a é a função de relaxação de stress e o a densidade do

material. Assumindo que (j é suficientemente suave e que Vu(/,,£) é aproximadamente constante,

podemos reescrever a equação anterior na forma.

dt1 c - c Jo oi

A partir deste sistema, é natural pensar nos seguintes sistemas abstratos

~(x'(t) + g(t,xux'm = Ax(t) + f(t,xt,x'(t)), dt

^ ( x {i)+g^xtlx'm = Ax(t) + f(t,xt,x'(i)),

3

onde A 6 o gerador infinitesimal de uma família eosseno.

Outra, importante motivação para o desenvolvimento da teoria de equações funcionais do tipo

neutro tem sido o estudo de uma classe de equações parciais do tipo hiperbólico com certas condições

de fronteira não lineares que surgem 110 estudo de linhas de transmissão. Em relação a isto citamos,

Lopes [07, 68] e especialmente Halo [60] e Wu & Xia [59, 61] para detalhes relativos a história,

referências e atualidades sobre o tema. Em Wu and Xia, [59] é deduzida,, a, partir de uma equação

neutra do tipo ordinária, a, seguinte equação escalar do tipo neutro em dcrivada.s parciais definida

sobre a bola unitária

ua ^<píC(i-r,0}:C(S] :E)) .

,o

Neste sistema, k 6 uma constante positiva e (D(j>)(s) = <p(0)(s) ~ / [drj(0)](p(0)(s) onde ?/ é uma

função de variação limitada não atómica em zero. Esta equação neutra foi estudada por Halo cm

[60]. Neste artigo, Ilale estabelece uma pequena teoria para o sistema, considerando, existência

e unicidade de soluções, propriedades condcnsa.nfes do operador solução, bifurcação de Ilopf e

estabilidade de órbitas periódicas.

Equações diferenciais funcionais abstratas do tipo neutro da primeira ordem, tem sido

consideradas recentemente cm numerosas publicações, veja entre outros Wu [61], Dakto [62], Addimy

[63, 64, 65, 66] para sistemas com retardamento limitado e Hernandez & Henriquez [10, 11, 16, 17],

Hernández [12, 13, 14, 15] e Hernandez & Pelicer [18] para o caso de retardo não limita,do.

Mencionamos de modo especial os artigos de Hernández & Henriquez [10, 11] e Hernández [12]

trabalhos pioneiros no estudo do sistema neutro com retardo não limitado (1). Nestes trabalhos,

usando de maneira essencial a, teoria de semigrupos lineares, os autores estudaram a existência de

soluções fracas, fortes e periódicas para, sistemas neutros similares a (1). Estes últimos artigos foram

essenciais para a realização deste trabalho de tese.

A literatura associada a equações abstratas do tipo neutro de segunda ordem com aplicações

a, equações diferenciais parciais, é quase inexistente, e a respeito desta matéria somente citamos

Hernández & Henriquez [69]. E interessante observai" que alguns sistemas do tipo neutro similares

a (2) tem sido estudados recentemente em [1, 2], Nos artigos citados, os resultados são obtidos

assumido que A 6 o gerador de unia função eosseno de operadores (C(í))teR tal que C(t) 6 compacto

para cada /. > 0. De Travis & Weeb [39, pp.557] sabemos que esta propriedade é válida, se e somente

se, o espaço A é de dimensão finita. Consequentemente, os resultados em [1, 2] somente podem ser

4

aplicados cm sistemas ordinários. Destacamos este fato, pois o esquema técnico usado nesta tese

permite a, aplicação dos resultados abstratos no estudo de sistemas neutros em derivadas parciais,

e a fácil generalização dos resultados em fl, 2]. Assim, a contribuição de nosso trabalho vai além

da obtenção de resultados de existência de soluções quase e assintoticamente quase periódicas para

(2).

Uma vez (pie o sistema (2) possui condições nao locais, acha,mos conveniente comentar

brevemente a respeito deste; tema. Condições do tipo não locais aparecem na modelagem de

problemas físicos, muitas vezes com resultados mais satisfatórios que a clássica condição de início

«(()) «o. A literatura relacionada a equações abstraias de primeira ordem com condições não locais

é extensa, e variada. A respeito mencionamos os trabalhos iniciais de Byszewski [3, 4] e Byszewski [5].

0 estudo de sistemas de segunda ordem com condições não locais é mais restrito, como referências

citamos Stanck [35, 36, 37, 38] para sistemas ordinários e os trabalhos mais recentes Iíernández

[72] e Hernandez & Henriquez [71] para sistemas abstratos. Observamos também (pie o modelo

diferencial (2) é uma generalização ao contexto de equações parciais dos artigos [35, 36, 37, 38].

Nos próximos parágrafos comentamos os três Capitados que compõem a tese. Além da descrição

do trabalho, mencionaremos os novos resultados obtidos e consequentemente o nosso aporte a

literatura.

No capítulo 1, introduzimos diversos conteúdos que permitiram o estudo dos sistemas (1) e (2).

Consideramos, entre outros, elementos básicos das teorias de semigrupo de operadores lineares, de

funções cosseno de operadores, de espaços de fase e especialmente da teoria de funções quase e

assintoticamente quase periódicas em espaços de Bana.ch abstratos.

No capítulo 2, estudamos a existência de soluções quase o assintoticamente quase periódicas

para o sistema (1). Iniciamos a Seção 2.2 introduzindo os conceitos de solução fraca quase e

assintoticamente quase periódica para (1), e já em seguida, por meio do Princípio de contração e

do Teorema de ponto lixo de Schauders, estabelecemos vários resultados de existência de soluções

quase e assintoticamente quase periódicas. Especificamente, nos Teoremas 2.6 e 2.7 mostramos a

existência de soluções fracas globais e de soluções assintoticamente quase periódicas para o sistema.

No Teorema 2.13 provamos a existência de soluções quase periódicas. E relevante destacar, (pie os

resultados desta seção são resumidos em Hernández k Pelicer [18], artigo aceito para publicação

pela revista Applied Malhem atiçai Letters e já disponível online. Também observamos que as idéias

desenvolvidas na seção, permitiram a elaboração do artigo Iíernández, Carvalho & Pelicer [70]. Por

outro lado. na seção 2.3 estudamos a existência de soluções quase periódicas usando os conceitos de

solução limito o d<; solução /JC'-tolalme»t.o estável (BC -- TS). O principal resultado da, seção é o

Teorema 2.33, onde a partir da existência, de uma solução global limitada e a de uma, solução limite

/iC-totalmonte estável, mostramos a existência de; uma solução assintoticamente quase periódica.

Este resultado ê complementado pelo Teorema 2.30, onde é estabelecida a existência, de uma solução

quase periódica a partir da. existência de uma, solução assintoticamente quase periódica. O capítulo

é concluído, com unia aplicação onde estudamos a existência de soluções quase e assintoticamente

quase periódicas para, um sistema, neutro que aparece no estudo de sistemas de controle governados

por uma regra integro-diferencial. Este exemplo ê também parte do nosso artigo Hernándcz &

Pelicer [18]. Para finalizar, mencionamos como referências básicas para este capítulo, Henriquez &

Vasquez [30]; Hino, Murakami & Yosliizawa [20] e Hino & Murakami [21],

No capítulo 3 estudamos a existência de soluções locais, globais e assintoticamente quase

periódicas para o problema de Cauchy abstraio com condição não local (2). Eni geral os resultados

são obtidos usando resultados de ponto fixo para operadores condensantes c contraetivos. Iniciamos

o capítulo, seção 3.2, estudando a, existência de soluções fracas sobre intervalos da forma ( — oo,r;.].

Nos Teoremas 3.4 e 3.G mostramos a, existência de soluções fracas para o sistema com condições não

locais (2). Um trabalho similar é feito nos Teoremas 3.10 c 3.11 para o seguinte sistema mais geral,

±(x>(t) + <j(t,xi,.j:'(i))) = Ax(t) + f(/,xhx'(t)), /. G / = ( - o o , «], dt

•TQ = P ( < / V T Í ] I 2 , • • • ••''••/, J G B,

x'{0) ^ q((p,xLl,xh,...,Xi J.

Como mencionamos anteriormente, os resultados desta seção permitem a generalização daqueles cm

[1, 2, 35, 3G, 37, 38] ao contexto de equações parciais. No Teorema 3.12 da Seção 3.3, é provaria, a

existência, de soluções fracas globais para (2) em espaços de funções contínua,s com peso. O resto

do capítulo é dedicado ao («tudo da existência de soluções assintoticamente quase periódicas para

o sistema abstraio (2). Como a existência deste tipo de soluções é provada usando um conhecido

resultado de ponto fixo para operadores completamente contínuos, veja Lema 1.45, iniciamos a

seção 3.4 com vários resultados preliminares que estudam questões de compacidade em espaços de

funções assintoticamente quase periódicas. Mencionamos de maneira especial a Proposição 3.17, a

generalidade da Proposição 3.20 e os Corolários 3.21 e 3.22. Logo dos preparativos mencionados,

no Teorema 3.23, o principal deste capítulo, estabelecemos a, existência do soluções assintoticamente

quase periódicas para o sistema neutro (2). Concluímos a Seção 3.1 com um resultado onde

estabelecemos condições para as quais a derivada de uma solução assintoticamente quase periódica

G

c também assinfofieamonfe quase periódica, veja Proposição 3.2G. Finalizamos o capítulo fazendo

uma aplicação de nossos resultados abstratos.

Para finalizar esta introdução, achamos interessante mencionar que os tópicos e resultados

considerados neste trabalho de teses não são isolados, permitindo assim uma natural continuação.

Neste sentido, aparecem como especialmente atraentes o estudo deste tipo de soluções para sistemas

inlegro-diferenciais e a generalização dos resultados obtidos 110 contexto de soluções pseudo quase

periódicas, veja. [48, 49] entre outros.

C a p í t u l o 1

Neste capítulo, introduzimos as ferramentas que vão nos auxiliar no desenvolvimento deste

trabalho. Apresentamos aqui, cie forma sucinta, conceitos e propriedades básicas referentes a teoria

de semigrupos, funções eosseno, espaços de fases c funções quase periódicas em espaços de Banach.

Em todo este trabalho, X sempre denotará uni espaço de Banach.

1.1 Semigrupos de Operadores Lineares

Introduzimos a seguir, conceitos e propriedades básicas da teoria de semigrupos de operadores

lineares limitados em espaços de Banach ( ver [26] para mais detalhes ).

Def inição 1.1 Uma família de operadores (2'(<0)t>o e m C{X) é um semigrupo de operadores se

Definição 1.2 Um semigrupo de operadores lineares (T(/,))t>Q C chamado de fortemente contínuo

se para todo x G X, a função i ~> T(l)x c contínua em zero. O semigrupo 6 chamado uniformemente

contínuo se a função [0, oo) -> £{X); t —> '/'(/-) (' eontínua em zero.

Observação 1.3 Um semigrupo de operadores lineares fortemente contínuo em X será chamado

simplesmente um G'o-semigrupo.

Definição 1.4 Sejam (T(í))t>o urn semigrupo de operadores lineares em X e D (A) o conjunto

(i) T(0) = I(l.

(ii) T(i + .s) - T(i)T( /.,.s > 0.

D {A) = { x G X : lim

8

O operador linear /I : D (A) C X --)• X definido por

T(1)X - x d:]' Ax : , lini: = * <E D (A),

é chamado o gerador infinitesimal do scmiympo (7'('-))<>o-

No próximo resultado, resumimos algumas propriedades básica,s relativas a, Co-semigrupos (jue

vão nos auxiliar nos capítulos posteriores.

T e o r e m a 1.5 Sejam (T(í))t>o wn semigrupo fortemente contínuo dc operadores lineares limitados

em X e A sc.xi gerador infinitesimal. Então as seguintes propriedades são verificadas.

(a ) Existem constantes OJ > 0 e M > 1 tais que

|| T(t) ||< Mewí, t > 0.

( b ) Para todo t > 0 e iodo x G X, l inv>/ ,T(s )x — T(t)x. Mais ainda, se o semigrupo é

uniformemente, continuo então }irns_>iT(s) = T(t) em C(X).

1 (c ) Para todo x G X e iodo i. > 0, lim -- / T{s)x ds = T{i)x.

h->a h Jt

(d ) Para todo x G X e todo t> 0, / T{s)x ds G e A / T ( s ) z ^ = T{t)x - x. .lo ./o

(e) Para todo x G D [A) e iodo t > 0, T(t)x G D(A) e jjT{t)x = /1T(Í).t = T(t)Ax.

( f ) Para todo x G D (A), T{t)x - T(à>; = j T{r)Axd.r = j AT{r)xdr = A J T{r)xdr.

(g ) yl e linear, fechado e P){A) = AG

A])resentamos a seguir o famoso Teorema de Hille-Yosida. Este Teorema estabelece condições

necessárias e suficientes para que um operador linear fechado seja o gerador infinitesimal de um

semigrupo fortemente contínuo em X .

Def in i ção 1.6 Seja (T(i))t>o um CQ-semigrupo operadores lineares em X. Diremos (T(t))i>o é

um semigrupo de eontrações se || T(t) ||< 1 para todo t > 0.

Def in ição 1.7 Seja A : D(A) C X X um operador linear. O conjunto resolvenle de A, denotado

por p(A), é definido por

p(A) = {A G C; (M - A)~l existe e é contínuo}.

A função de p{A) cm C(X), definida por A e-> /?.(A : A) = (AI - A ) " 1 , é chamada resolvente de A.

9

Teorema 1.8 (Hille-Yosida) Um operador linear A : D (A) C X X c o gerador infinitesimal de

um CQ-semigrupo de cmitração se, e somente se.

(i) A é um operador fechado e D (A) -- X,

(ii) p(A) D (0,oc) e || l,'(A : A) ||< A > 0.

A seguir, fizemos um breve comentário a respeito de semigrupos compactos e analíticos,

incluímos, de forma, sucinta, algumas propriedades de potências fraeionárias associadas ao ger ador

de um semigrupo analítico. Para mais detalhes a respeito desses assuntos sugerimos Pazy [20].

Def inição 1.9 Um Co-semigrupo, (T(i))í>o> de operadores lineares é compacto para t > t0, se para

todo t > í0 o operador T(t) é compacto. O semigrupo (T[i))t>o é chamado compacto, se é compacto

'para lodo t > 0.

Notemos que se X é um espaço de dimensão finita então todo Co-semigrupo de operadores

lineares 6 compacto. Mais ainda, um Co-semigrupo (T(í))t>o é tal que T(t) é compacto para t > 0

se e somente se A" é de dimensão íinita.

Teorema 1.10 Seja (T(t))t>o um Co-semigrupo de operadores lineares em X. Se T(t) é compacto

para t > to, então a função (to,oo) —> C(X)\ t —> T(t) é contínua.

O próximo teorema caracteriza quando um Co-semigrupo é compacto.

Teorema 1.11 Seja (T(Í))I>Q Co-semigmpo de operadores lineares limitados em X c A seu gerador

infinitesimal. Então (T(t))t>o c compacto se e somente se « função (0, oo) £(X); t —> T(t) c

contínua e Hf A : A) c compacto para iodo A G p(A).

Estabelecemos agora, o conceito de semigrupo analítico.

Def inição 1.12 Seja A = {z £ C : fa < arg(z) < fo, <fi < 0 < fc}. Uma família de operadores

lineares limitados (T(z))z^ em X é um semigrupo analítico em A, se as seguintes condições são

verificadas.

(i) A função z T(z) é analítica em A ;

(ii) 7{0) = I(, e lim T{z)x = x, para todo x G X;

(iii) T(z\ \ z.) - T{Z^T{Z2), para todo z}, € A.

Teorema 1.13 Seja (71(/))(>o um Co-scmigrupo uniformemente limitado de operadores lineares e

A seu gerador infinitesimal. Suponha que 0 G p(Á). As seguintes afirmações são equivalentes:

(a) T(l) pode. ser estendido a, um semigrupo analítico em um setor A,5 — {z : \argz\ < (5} e

|| T(z) || c uniformemente limitado em cada sub-sclor Ap> < <5, de A,5.

(b ) Existe uma constante. (J tal que. para cada a > 0. 7 0

|| U{a+iT : A) ||< \T\

(c) Existe 0 < 6 < \ e M > 0 tal que

p(A) D E + = {A G C : 0 T(l) 6 diferenciúvel para l > 0 e existe uma constante C tal que

II A'l\t) ||< j , t > 0.

Para estabelecermos o conceito de potência fracionária de um operador A onde —A c o gerador

de um semigrupo analítico admitiremos a seguinte condição.

(H) Seja A um operador fechado tal que D (A) — X e

p{A) D E = {A G C : 0 < w < \arg\\ < ir} U V

onde V é uma vizinhança da origem, e

Definição 1.14 Para um operador A verificando (H) c a > 0 definimos

A~(x = — I z' ft(A — zJ)"[dz 2 7W Jc

onde o caminho C varia no conjunto resoluenie de A de ooe~w a oce%v, u> < v < 7r, evitando o eixo

real negativo e a origem c z~a é tomado com partes reais positivas de z.

Definição 1.15 Seja A um operador satisfazendo (H) com w < Para cada fv > 0 definimos

An = (A-°)-\

T e o r e m a 1.16 Seja Aa como ria Definição 1.15. An seguintes propriedades sao válidas.

(a) An é um operador fechado com D (A") - Im{A~ ").

(b) Para o: > f:í > 0 lemos D (A") G D{A-").

(c) jf(Aa) X para cada a > 0.

(c) An+'jx -- AnAfix para cada x G D(A^) onde 7 = max{ (v , f i ,n + fi}.

T e o r e m a 1.17 [26, pg.7J,] Seja —A o gerador infinitesimal de um .semigrupo analítico T(t) e

0 < 7 < ?/ < 1. Se 0 € p(A) e Xn é o espaço D (A") munido da norma do gráfico, então as

seguintes propriedades são verificadas.

(a) Xv c um espaço de Ikmach, Xv C X 7 c Xv '—> X^.

( b ) A função s —> ( — A)''T(.s) c continua sobre (0,00) na topologia uniforme de operadores, e

existem constantes Cv > 0 lais que || {—A)v7\t) ||< para todo t > 0.

(c ) Para todo t > 0 e lodo a > 0, T(t)(X) C D(Aa) Mais ainda, para l > 0 e lodo x € D (A")

temos que T{t)A"x = AaT(t)x.

(d) Para cada a G (0,1] existe Ca > 0 tal que

IS T(t)x - x ||< Cat° II li, £ D(An), t > 0.

Para estudar, 110 capítulo 2. a existência de soluções quase e assintotieamente quase periódicas

para sistemas de primeira ordem, precisamos dos conceitos de estabilidade que apresentamos a

seguir.

Def inição 1.18 Dizemos que um semigrupo fortemente contínuo ('i '(0)í>o é

(a) uniformemente exponencialmente estável, se existe e > 0 tal que lim e":l || T(t) ||= (J. 1000

(b) uniformemente estável, se lirn || T(t) ||= 0.

(c) fortemente estável, se lim || T(t)x || — 0 para iodo x G X. t ->oo

Teorema 1.19 [Jf5. Proposition 5.1.2] Seja {T(l))r>o um semigrupo fortemente contínuo. Então

as seguintes condições são equivalentes:

1 2

(a) (T('!•))t>o (' uniformemente, exponencialmente estável.

( b ) ( 7 ' ( / . ) ) f > ( j é uniformem eu te estável.

(c ) Existe, c > O tal que lini e'1 || T(1)x ||-- O para lodo x G X. OO

Finalizamos esta seção fazendo algumas considerações a respeito do problema de Cauchy abstraio

não homogéneo

u'(t) = Au(i) + f(t), t > 0, (1.1)

u{ 0)=x, (1.2)

onde A é o gerador infinitesimal de um CVsemigrupo (71(í))/>0 0111 X e / é uma função apropriada.

Entende-se ])or solução clássica do sistema (].1)-(1.2), toda função u : [0,r) X tal que

u G CA ([0, r ) : X), u{t) G D {A) para todo t £ (0 ,r ) e satisfaz (1.1 )-(1.2) em [0,r).

Para o problema ( l . l ) - ( l . 2 ) temos o seguinte resultado.

T e o r e m a 1.20 [26, Corollary 2.2] Seja f G L'([0, T) : X) e x G Então, o problema de valor

inicial (1.1)-(L2) tem no más/imo uma solução clássica em [0,r). Além disso, se «(•) é solução

clássica de (1.1)-(1.2), então

u(i)=T(t)x+ f tT(i~s)f(s)ds, t. G [0, r) . (1.3) ./o

E conhecido que unia solução «(•) da equação integrai (1.3) não é em geral uma solução clássica

do problema (1.1)-(1.2). Isso motiva a seguinte deiinição.

Def in ição 1.21 Seja f G Z/1 ([0, r] : X). Dizemos que -uma função u G C([0,r] : X) é uma solução

fraca de (L1)-(L2) se.

u(t) = T(t)x + / T(t - s)f(s)ds, t G [0, r], ./o

1.2 Família Cosseno de Operadores Lineares

Nesta seção introduzimos algumas propriedades da teoria de famílias cosseno de operadores

lineares limitados em espaço de Banach.

Def in ição 1.22 Dizemos que uma família {C(í)}<e?. cm C(X) é. uma família cosseno fortemente

contínua se, e somente se,

(a) <7(.s -I t) -1 0(1 - ,s) = 2C(s)C(i) para iodo s,t G 1 ,

(b ) <7(0) - / .

(c ) Para cada x G A , i —> C(t)x é fortemente contínua em R.

Neste trabalho, {6'(/-)}tcR sempre representará uma famííia eosseno fortemente contínua em X.

Chamamos do família seno associada, a {G'(/)}/.£R, a família de operadores lineares limitados

{S{i)}i.eE definidos por S{i)x -- / C(s)xd.s, t G IR, .%' G A7 ./o

As pro])riedades que apresentamos a seguir são bem conhecidas e referimos [40] para as

demonstrações e maiores detalhes.

P r o p o s i ç ã o 1.23 Seja {C(/)}íeR uma família eosseno fortemente contínua em X. Então as

seguintes propriedades são válidas:

(a) C(t) = C(-i) e S(i) = S(-i) para iodo t G IR,

(b) C(s), S(s), C{t) e S{t) comutam para todo s,t G M;

(c) Para cada x G X, t —> S(t)x é contínua cm M,

(d) S(s + /.) 4- S(s - t) = 2S(s)C(t) paru lodo s, t C- IR,

(e) S(i s) S(s)C(l) 4- 5( í )C(s) para lodo s,t G K,

(f) Existem constantes K > 1 e u> > 0 tais que || C(t) ||£(A-)< para todo t G IR,

(g) II S(í) - S(.s) llr.(.Y)<^ J l ^ d - , para todo t G IR.

O gerador infinitesimal de uma família eosseno fortemente contínua {C(í)}/,elB ó o operador d2

A : D (A) C X —> X definido por Ax = —,-Ctt))x onde D (A) é o conjunto de todos x G X tais que di-

C(:)x G C2(R : X).

Afim de apresentarmos mais propriedades denotaremos por E o conjunto definido por

E = {.7; G X : C{-)x G Cl (IR : X) } . (1.4)

Teorema 1.24 Seja {C(i)}tQH uma família fortemente contínua em X com gerador infinitesimal

A. Então as seguintes propriedades são verificadas:

M

(a) D(A) á denso cm X e. A é um operador fechado em X,

(b) Se. x G A' C ,s G IR'., Z f S{r)xd.r G D (A) e. Az G '(S):Í; - C(r)x,

(c) Se x G A" c r, A- G JR, então z : =

(d) ,S'e G A7, então S(t)x G E,

(e) Sc a; C entôo 6 D(j4) c ~C{i)x = dl.

d2

(e) Se a; G £>(>1), euíaV; 6'(/.)x G iJ(yl) c ~r^C{t)x = AC{t)x = C{t)Ax, at.

(f) Se x. G E, então l im^o AS(l)x = O,

i2 (g) Se .1: G E, en/ào G D {A) e. —:S{i.)x - AS{t)x,

dl/

(h) Se x G D (A), enlão S{t)x G D (A) e AS(t)x = S(t)Ax,

(i) C(i + s) - C(l. - s) = 2AS(t)S(s) para todo s, i G M.

O resultado seguinte estabelece uma condição necessária e suficiente para que a função t —> C(t) de

K em C(X) seja contínua em t — 0.

Teorema 1.25 Seja {C(£)}tg& uma família cosseno fortemente contínua em X com gerador

infinitesimal A. As seguintes condições são equivalentes:

(a) lim C{t.) I em L{X). 1 ,0

S(1.)

( b ) l i m - - = I em C(X).

(c) A G C(X).

(d) C{t){X) C E para todo a<t,<ft.

(e) S^KA') C D {A) e. AS{t) é fortemente, contínua para todo a' < t. < /?'.

Apresentamos a seguir uni resultado que estabelece condições para as quais 11111 operador linear

é o gerador infinitesimal de uma família cosseno fortemente contínua, d i tamos [28] para a, prova

deste resultado.

C (a)C (r)xdadT G D {A) e. o ./ o

T e o r e m a 1.26 Um operador fechado A é. o (/orador infinitesimal de uma família co.sse.no fortemente

contínua {C/(<)}'cE .satisfazendo 1.2S-{i) se, e, somente, se, Ji(\2;A) existe no semiplano Rc\ > LO

e || (A/?,(A2; A))n |j< Kn\(IieA - w)- ( 'H n 6 N.

Soja B o conjunto introduzido cm (1.4). Sabemos de Kisinsky [32] que B munido com a norma

Ml/-; - ÍMi sup \\AS(t):r.\\, x c B, ()</.< 1

é um espaço de Banaeb. Mais ainda, a família de operadores G(t) — C{t) S{t)

AS(t) C(i) 6, um grupo de

operadores lineares fortemente contínuo sobre o espaço E x A', gerado pelo operador A 0 I

A 0 definido sobre D (A) x E. Deste modo segue-se que AS(1.) : E —» X 6 um operador linear limitado

e ejue AS(t)x —> 0, t —> 0, para cada x G E. Portanto, se x : [0, oo) —>• X é localmente integrável

então y(t)

fato que

S(t — s)x(s)d..s define uma função contínua sobre E. Isto é uma consequência do

G(t - ,) X\S)

ds - ./o.

L ./O

S{t - s)x(s) ds

C(t - s)x{s) ds

define uma função contínua sobre E x X.

1.3 Espaços de Fase Abstratos

Neste trabalho, assumimos que o espaço das histórias B C um espaço linear munido de uma

seminorma || • composto por funções ij) : (—oc,0] —> A". Assumimos ainda que B verifica os

axiomas seguintes, os quais são similares aos usados em [19]:

(A) Se x : ( — oc,cr a) -> X, a > 0, é contínua sobre [a, a + a) e € B, onde xa{0) : = x(a + 6),

então para cada t G [a, a + a), as seguintes condições são válidas:

(i) xt G B ,

(H) II -7:(í) || [0,oo), /<"(•) contínua e M(- ) localmente

limitada e H,K e M são independentes de .T(-).

l ( i

( A l ) Para a função .?:(•) om (A) , t -4 xt 6 urna função contínua do [cr, a + a) sobro B.

(B) O espaço B é completo.

Dos axiomas do espaço 23, é fácil ver que a família de operadores S(i) '• B -> B, i > 0, definidos

por

í </?(()), --/ < f l<0, P O J W H (1.5)

[ < p ( H - 0 ) , - 0 0 <0<-i,

6 um semigrupo fortemente contínuo de operadores lineares sobre 23.

Para obter alguns dos nossos resultados, precisaremos de propriedades adicionais para o espaço

de fase 23, a saber:

(C2) Se )„.(.:n é uma sequência uniformemente limitada cm B fl Ci,((—00, 0] : X) tal que tpn —> 00.

Se. 23 verifica, (C2) sabemos de [19, Pi'oj)osi(,ion 7.1.1 ], que Ct((—00, 0] •' X) está continuamente

incluso em 23. Em particular, existe uma, constante L > 0 tal que

II (0) ||, <p E Cb{{-cxgO];X). (l.C) ( - 0 0 , 0 ]

Def in ição 1.27 Dizemos que B é um espaço com, memória amortecida se. os axiomas (A) , ( A l ) ,

(B) e (C2 ) são satisfeitos e. S(t)(p 0, quando t 00, para iodo € B tal que ip(0) = 0.

T e o r e m a 1.28 [19, Pro-position 7.1.3] Suponha que 23 satisfaz o axioma (B) . Então o espaço B

c uma espaço com memória amortecida se, e. somente se, |[ 17 0 quando t, —> 00 sempre que

x : R —> A" satisfaz a condição xa E B para algum cr, x é contínua sobre [cr, 00) e x(t) —> 0 quando

t --> 0 0 .

Como complemento, apresentamos um típico exemplo de espaço de fase.

O e spaço Cr x E2(h,X). Seja h : ( - 0 0 , -r) -4 K uma função positiva e Lebesgue integrável.

Assuma que existe urna, função localmente limitada 7 : (—oo,G) (0,oc) tal que

h(i H- 0)< 7 ( 0 h(0),

para todo ( < 0 e todo 0 E (-00, - r ] \ Nç, onde Nç Ç ( - 0 0 , - r ] é um conjunto de medida nula.

Definimos o espaço 23 - . Cr x ]?(h,X) como o espaço das funções ip : ( - 0 0 , 0 ] —> A' tais que

_____ . 1 7

LP é Lobçsgue integrável sobre ( - 0 0 , r ] e ¥>|[_no] € (7(f—?•,()];A"). Sobre o espaço CR x L2(!I,X)

consideramos a semi-norma || • ||p definida por

1,(0)11^0)11^10) ! suj, -00 / 0e[-r,0]

Suponha que h veriíica as condições (h — 5), (h — G) e (//. — 7) em [19. Theorein 1.3.8]. Nestas

condiçoes, o par (B, || • ||B) é um espaço com memória amortecida ( ver [19, Example 7.1.8] ). Mais

ainda, se r = 0 temos que 11 = 1, M(i) = 7 ( - í ) i e K (/.) = j + (^j h{r)ch

1.4 Funções Quase e Assintotieamente Quase Periódicas

A seguir, definimos e apresentamos algumas propriedades de funções quase periódicas e

assintotieamente quase periódicas que são usadas ao longo deste trabalho. Nas definições e

propriedades abaixo (Z, |j • (PP, || • |jn') são espaços de Banach e G'o([(), oo); Z) ó o subespaço

de (7([0, 00); Z) formado por funções que se anulam 110 infinito.

Definição 1.29 Dizemos que um conjunto V C E c relativamente denso se, c somente se, existe

í > 0 tal que [«, a + í ] n ? / 0 para lodo a G IR.

Definição 1.30 Dizemos que um,a função F G C'(IR; Z) é quase periódica se para cada e > 0 existe

um subconjunto relativamente denso 7í(e, F, Z) de IR tal que

||F(Í + 0 - F(t)\\z < e, ( í , 0 G M x M(e,F,Z).

Definição 1.31 Dizemos que uma função F G C'([0, 00); Z) é assinto tiaimenle. quase.•periódica se

existe uma função quase periódica g e w G 6 0 ( [ 0 , 00); Z) tal que F = g + w.

Denotamos por AP(Z) e AAF(Z) os espaços

AF(Z) = {F G C'(IR; Z) : F ó q u a s e p e r i ó d i c a }

AAF(Z) = {F 6 6 ' ( [ 0 , o o ) ; Z) : F é a s s i n t o t i e a m e n t e q u a s e p e r i ó d i c a }

m u n i d o s c o m as n o r m a s jj U \\,\P{z)= SUP,S-CR II n 0 s ) \\z e II u \\A.M>{Z) = SUP,S>O II u ( s ) ÍU

respectivamente. Sabemos de Zaidman [43] que AP(Z) e AAP(Z) são espaços de Banach.

Para espaços de funções quase e assintotieamente quase periódicas temos os seguintes resultados.

Teorema 1.32 [Jr'l] Se / ( • ) G AP(Z) e g(-) G AF(W) então ( / ( • ) , < / ( • ) ) G AF(Z x W).

i 8

T e o r e m a 1.33 [43, Propcrty P.7J Sc /(•) <E AP(Z) , então f c. uniformemente contínua.

T e o r e m a 1.34 [43, Th corem 5.2] Seja f G AAP(Z) e. suponha que f existe, e. é uniformemente

contínua sobre [O.OC). Então f G AAP(Z).

Os dois Teoremas que apresentamos a .seguir caracterizam as funções quase e assintoticamente

quase, periódicas atr avés da compacidade de famílias de funções bem especiais que definimos a

seguir. Seja E : R -> Z uma função e a G IR. Definimos UaE{-) : IR Z a função dada

por HaE{t.) — F(t + o). Similarmente, se G : [0,oo) —> Z é uma função e a > 0, definimos

HaG(-) : [0, oo) —> Z a função dada por HaG(l) - G(i + a).

T e o r e m a 1.35 [43, Capítulo 4] Seja f : K —> Z uma função contínua. Então f G AP(Z) se, e

somente se, o conjunto {Htf : í £ R} é relativamente compacto em C'j,(R; Z).

T e o r e m a 1.36 [43, Capítulo 5] Seja f : [0, oo) —> Z uma função contínua. Então f G AAP(Z)

se, e somente se, uma das seguintes condições são verificadas:

(a) O conjunto {Htf : t > 0} e relativamente compacto em Cf,([0, oo): Z).

( b ) Existe p G AP{Z) e q G C0([0, oo); Z) tal que f(t) = p(t) + q(t) para todo t > 0.

L e m a 1.37 [43, Theorem 5, pp. 46] Uma função f G C;;(M : Z) é assintoticamente quase periódica

cm Z se, c. somente se, para cada e > 0 existe E(e.f) > 0 e um subconjunto relativamente denso

de [0, oo), que denotamos por T(e,f), tal qtie

!!/(/• + O - / M b < e, Para cada i > L(e, f ) e todo Ç G 7~(e, / )•

Os próximos resultados tem relação com a composição de funções quase c assintoticamente (juase

periódicas. Previamente incluímos algumas definições.

Def in ição 1.38 Seja íl um conjunto aberto de W.

(a) Dizemos que. uma função contínua F : R X S] —» Z ( resp. F : [0, oo) xft-t Z ) é pontualmente

quase periódica, ( resp. pontualmente assintoticamente quase periódica ) se F(-,x) G AP(Z)

( resp. F(-,x) G AAP(Z) ) para. cada x G Q.

( b ) Dizemos que uma função contínua F : IR x tt -> Z é uniformemente quase periódica, se para

cada e > 0 E cada compacto K C Q. existe um subconjunto relativamente denso de R, que

denotamos por H{e, F. K, Z), tal que

|| F{t + Ç,y) - F{l,y)\\z < e, para cada {t.,Ç,y) E l x y.{e,F,K,Z) x K.

1 9

(o) Dizemos que. uma função contínua F : [O, oo)xí2 —> Z é uniformemente assintoticamente quase

periódica, se para cada E > O e cada compacto K c íl existe um subconjunto relativamente

denso de (0,OG). que denotamos por T(e, F. K, Z). e L(e, J'\ K, Z) > O tal que

|]-I- C,y) - F(t., y)\\z<e, para cada t > L(E, ]<\ K, Z) e todo (£, Y) G T(E, F, K, Z) X K.

Para detalhes relativos as propriedades no próximo Lema, veja os comentários bibliográficos em

[:«)].

Lema 1.39 Seja il C IV um conjunto aberto. Então as seguintes propriedades são válidas.

(a) Sc F G G*(1K x il] Z) ( resp. F G £'([(), oo) x íl\Z) ) é pontualmente quase periódica ( resp.

•pontualmente assintoticamente quase periódica ) c satisfaz uma condição Lipschitz local em

x £ í}, uniformemente em t, então F c uniformemente quase, periódica ( resp. uniformemente

assintoticamente quase periódica ).

(b ) Se x e AP{X) e B satisfaz (C2), então l xL G AP(B). Além disso, se B c um espaço com

memória amortecida e z G C(R; X) c tal que ZQ G B e z G AAP(X), então t zt, G AAP(B).

(c) Se F G C(R x U; Z) ( resp. F G C([0,oo) x íi; Z) ) é uniformemente quase periódica ( resp.

uniformemente assintoticamente quase periódica ) c y G AP(W) ( resp. y G AAP{W) ) é tal

que {?/(/;) : t G R } " C íí, então F{t,y(t.)) C AP{Z) (resp. F{t,y{t)) G AAP(Z) ).

Os resultados que apresentamos a segui)' são consequências diretas das definições de funções

uniformemente quase e uniformemente assintoticamente quase periódicas.

L e m a 1.40 [Jt2, Lemma 1] Sejam Zi, Z-z espaços de Banach. e K um subconjunto compacto de. Z\.

Se F G C(!R x Z\; Z-z) é uniformemente quase periódica, então existe unia sequência de números

'reais (íYn)UÊN> com <*n 00 quando n —> oo, tal que F(t + rru, x) —> F(t., x) uniformemente sobre

R x K.

Lenia 1.41 Sejam Z\, Z-z espaços de Banach e. K C Z\ compacto. Se F G G'([0, oo) x Z\; Z-z)

c uniformemente assintoticamente. quase periódica, então existe unia sequência de números reais

(re„)„c.H C [0, oo), com o>, oo quando n -> oc, tal que F(t + a„, x) F(1:,x) uniformemente

sobre [(Voo) x K.

Apresentamos a seguir alguns critérios do (.ipo Arzelà-Ascoli para os espaços C'o(Z). AP(Z) c

AAP(Z).

Lema 1.42 Um. conjunto W Ç Cq(Z) é relativamente compacto se, e somente se, as seguintes

co11 (li Ç õe s s ã o s a t isfe i t as:

(a) W c equicontínuo;

(b ) :;:(/,) O, t. -- > oo, uniformemente para x G W;

( c ) As órbitas W (/.) são relativamente compactas em X, paru iodo t > 0.

T e o r e m a 1.43 [43, Theorems 6.3, 6.4] Um conjunto V Ç AP(Z) é relativamente compacto se, e

somente se, as seguintes propriedades são verificadas:

(a) V é uniformemente equicontínuo sobre [0, oo) ;

(b ) V é equi-quase periódica. Isto é, para cada e > 0 existe, um conjunto relativamente denso

Pc C [0, oo) tal que

\\x(T + T) — £•(/,)|| < e, x G V, T G Pt.

(c) Para cada t > 0, V(i) é relativamente compacto em Z.

A partir do Teorema anterior ó possível deduzir o próximo resultado.

T e o r e m a 1.44 Um conjunto V Ç AAP(Z) c relativamente compacto se, e somente se, as seguintes

propriedades são verificadas:

(a) V c uniformemente equicontínuo sobre [0, oo) ;

( b ) V é equi-assintolicamente quase periódica. Isto é, para cada e > 0 existe T( > 0 e um conjunto

relativamente denso Pt C [0,oo) tal que

||a-(í + r) - x{t) || < e, G V, t > Tc, r G

(c ) Para cada t > 0, V(t) c relativamente compacto em Z.

Para finalizar este capítulo, apresentamos dois resultados de ponto fixo que serão essenciais para

estabelece,!' alguns de nossos resultados.

L e m a 1.45 [29, Theorem 6.5.4] ( Leray-Schauder Alternative ) Seja D um subconjunto convexo

fechado de um espaço de Banaeh X e assuma que 0 G D. Seja F : D -> D uma aplicação

completamente contínua. Então o conjunto {:;; G D : x = XF(x), 0 < A < 1} é não limitado ou a

aplicação F possui, um ponto fixo em D.

2 1

Lema 1.46 [2%, Corollary 4-3.2] Seja D um subconjunto convexo, limitado e fechado de um espaço

de liana,eh Z. Se B, C : D Z são funções continuas tais que:

(a) Bz. Cz G D para todo z C- Z;

(b) ("(D) é compacto;

(c) Existe. O < 7 < 1 tal que j| Bz — Bw ||< 7 || z w || para todo z,w t D.

Então existe u G D tal que Bu + Cu — u.

Capítulo 2

Existência de Soluções Qrase e

Assintotieamente Quase Periódicas

para a Equação Neutra de Primeira

Ordem

2.1 Introdução

Neste capítulo, estudamos a existência de soluções quase e assintotieamente quase periódicas

para a equação abstraia do tipo neutro com retardamento não limitado

Jf {x{t) + cj(t,xt)) = Ax(t) + f(L,xt), i e M , (2.1)

onde A 6 o gerador infinitesimal de um Co-semigrupo de operadores lineares sobre A" e

(], f : K x B —>• A" são funções apropriadas.

Seja J C R. Ao longo deste capítulo, denotamos por Cj,(J : X) o espaço das funções contínuas

e limitadas u : J -4 X munido da norma || u ||c't(j;A')= snp |[ «(/,) ([. Quando J = [0,oo), ÍGJ

empregamos a jíotação || « ||oo— sup || «(<) |j. Escrevemos 6'o([0,oo) : A') para. representar o 0 < í < oc

subespaço das funções u £ C'&([(), oo) : A') tais ciue «(/.) -> 0 quando /. -> oo.

2 3

2.2 Soluçoes Quase e Assintoticamente Quase Periódicas

Nesta seção, assumimos que o semigrupo (T(í))<>o é assintoticamente estável. Assim, a o M

serão constantes positivas tais que

|j ?'(/.) ||< M(rnt, para, todo /, > 0.

Assumimos ainda, que as funções K(-), M(-) do axioma (A) [ ver página 15 ] são uniformeme.nte

limitadas e denotamos por .K e M seus respectivos supremos, Em todo este trabalho, ([/J>(/1)], || • ||/i)

denotará o espaço D (A) munido da, norma. || x ||/t"|| x || + j| Ax || e. para, cada r > 0 escreveremos

B r (0, i?) — {ij> G B : || '<!> ||fc-< ?'}. Mais ainda, se Z é um espaço métrico, usaremos a notação

Br(z, Z) para a bola de raio r > 0 c centro z em Z.

Para iniciar, introduzimos o conceito de solução fraca para o problema de Cauchy abstraio

~{x{t) + g(t, Xt)) = Ax(t) + f(t, xt), t G K a), (2.2)

xa = 0, e uma solução fraca do problema

de Cauchy (2.2)-(2.3) sobre ÍA, A), se. x„ = <p, .TI € C{[<t, a) : X). a função s AT(t — s)G(s,xs) ![(T,«) c integrável sobre [cr, i) para todo t G [a, a), e a seguinte equação integral c verificada

x(t) = T(t - a ) M O ) + <p)) - <•/(/, x,) - f AT(1. - s)g(s, x,)ds J a

+ I T { t - s ) J { s , x s ) d " , t e [a,a). ( 2 , 1 ) •la

No estudo que fizemos do sistema (2.1), assumimos que (Y, || • ||y) é um espaço de Banacli

continuamente incluso em À" onde se verificam a seguint.es condições:

(Hi) As seguintes proposições são válidas.

(a) Para cada y G Y, a função s T(s)y G C([0, oo); Y) f] C((0, oo); [D{A)}).

(b ) A imagem de g está contida ern Y e g : M x B ->• Y é contínua.

(e) Existe uma constante positiva iv e uma função não crescente H : [0, oo) —> (0, oo) tal que

e-atH{t) G £ ' ( [0 ,oo)) e

\\ AT(S) \\C{Y:X] < H(s)e-™,

para todo ,s > 0.

Observação 2.2 K interessante justificar a condição (Hi ) . Sabemos que em geral, a função

t ->• AT (ti) não c integrável em intervalos da forma (0,a). Se (Hj ) é válida e x(-) é uma função

como no axioma (A) , então do critéiio de Dochner para funções integráveis e a estimativa

|| AT(t - s)g(s,xs) ||<jj AT(i - s) \\C[Y..X) || g(s,xs) ||y

deduzimos que s ~> AT(t — s)g(s,.?:,<) é integrável em [0, /.) paro lodo t > 0, o que c essencial no

nosso problenni de obter existência de soluções fracas de (2.2)-(2.'J). Mencionamos como exemplo

de espaços que verificam as condições de Y, os espaços XQ introduzidos no Lema 1.17. Outros

exemplos podem ser achados cm Lunanli [74] e líankin [7o].

Observação 2.3 Nesle trabalho, toda propriedade admitida para g será em relação ao espaço Y.

Poi- exemplo, quando dizemos que g verifica uma condição do tipo Lipschilz ou que t —> g(i,'-':i)

c quase periódica significa que g verifica uma condição Lipschilz com relação ao espaço Y e que

t -> g(l,xt) é quase, periódica em Y.

O próximo resultado 6 fundamental para obtermos nossos resultados de existência.

Lema 2.4 Seja G G AAP(Y) e u : [O.oo) —> A' a função definida por

u(l) - I AT(i - s)G(s)ds. J o

Então u G AAP(X).

Prova: Notemos inicialmente que, pela Observação 2.2, a função u(-) está bem definida e é contínua

em [0,oo). Para mostrar o resultado usaremos o Perna 1.37. Dado e > 0 sejam e' = ~ , onde roo

ij = / e wslI(s)ds c T(e',G), L = L(e',G) como no Lema 1.37. Lixemos Li > 0 tal que ./o

Íwfs. — Lí minta,w} \\ n \\ „ ^ ^ Me I! Cr ||..1.4/'(V) r] <

Para /; > L(s', G) + L\ e £ G T V , G), obtemos

|| u(l + O - u(t) || < r || AT(t + ^ - s)G(s) || ds + /' II AT(t - s) (G(s + O - G(s)) || ds ./o J o

- h{t,i) + h(t,O-

Agora., estimaremos cada termo /,(/.. . £) separadamente. Para o primeiro termo temos que

/ . ( / , 0 < ii G ||,u/'(V) r \\AT(l -H- s)\\c{y:X]ds J o

< || G W A A P ( Y ) FCE^L+^IL(T + C-S)DS J o

< e~wt |i G l[Áp{Y) re-^-shl(Z-s)ds, J o

e consequentemente

teT(<r. ' , f j ) . (2.5)

Por outro lado, para o .segundo termo vemos que

h.(i, 0 < I' I! AT(t - 8) (G(s f 0 G(s)) II ds + I' |j AT(i - s)(G(s + 0 - G(s)) || ds ./o .//.

ri.

-t

T(t - L) llll - .<0 ||£(r:X)|j r ; ( , -I- o - G(s) ||r ds

+ f L li m t - -•>•) IL(V:A')II (G(S + O - G(s)) ||r ds

< 2M II G \\AAF{Y) £ e - v ' ^ H ( L s)ds + e' j' || AT(i - ,) ||£0,A.) ds

< 2M || G \\AAP{Y) + e'rh

e portanto

/ 2 ( / , 0 < | . + í e T V . G ) . (2.G)

Das desigualdades (2.5)-(2.G) temos que

\\u(t + 0-u(i)\\<£, t>L + Lu UT(e',G),

o que nos permite; concluir, pelo Lema 1.37, que ?./,(•) G AAl'(X). A prova está agora completa, ia

Observação 2.5 Procedendo como na demonstração do Lema anterior, concluímos que se

G G AAP(X) então a função u(t) = / T(t — s)G(s)ds é lambem assintoticamente quase periódica J o

em X.

listamos agora em condições de estabelecer o nosso primeiro resultado de existência de soluções

para (2.2)-(2.3).

T e o r e m a 2.6 Assuma que as seguintes condições são verificadas:

(a) Existem funções contínuas não decrescentes Nf,Na : [0, oo) — > [0, oo), com Nj(0) = Ng(Q) = 0,

lais que

II /(V</>í) - / ( í , ^ 2 ) ||< Nf { r ) II ií'i - ||s,

jj g{t,iln) - g(t,tjr2) ||y< Ng{r) || ^ - V'2 ||s

para todo t > 0 e. toda ?/;, £ Br(0,5), i = 1,2.

2 6

(b) ./'(/, 0) ^ <•/(/,, 0) = 0 'pura todo i > {).

Então, existe c > 0 tal que para. toda <p Ç- Bt(0,B), existe uma solução fraca x(-,<p) G (7j,([0, oo); JY)

de (2.2)-(2.3) sobre [0,oo). Sc além disso, B possui memória amortecida e. f, g são pontualmente

assintolicamente quase periódicas, então x(-,ip) G AAE(X).

Prova: Sejam r > 0 a A G (0, I) tais que

+(r'MN/((K + MX)r){K-\ MA) < 1.

Seja 0 } . É fácil ver que

D é um subconjunto fechado de C{,([0, oo); X). Definimos o operador T : D C( [0 ,oo) ;X) por

Px(í) = T ( í ) ( p ( 0 ) + 5 ( 0 , y > ) ) - < ? ( * , £ / ) - I AT{t - s)g{s,xs)ds J o (2.7)

onde .7 : M A' é tal que ,7Q = ip c .7; = x sobre [0, oo). Afirmamos que F é uma conlração de D em

D. Conforme argumentamos antes, na Observação 2.2, a função t AT(t. — s)g(s,xs) é integrável

em [0, t) para todo t > 0, o que permite concluir que Tx está bem definida e que Pa; G C([0, oo) : X).

Mostraremos agora que T(D) C D. Se x G D e t > 0, dos axiomas do espaço cie fase obtemos

que || xt ||ò'< 1\ || a; JU +M || p> |\b< (K d- MX)r e então

|| Yx(t) || < M [HXr+ || fi !|£(v-:A-) Ny(Xr)Xr] + || ld ||£(™) Ng((K + MX)r)(K + MX)r

+ /' li AT(t - ,s) ||£(r:A-)|| g(s,xs) ||y ds + f || T(t - s) |||| f(s,xs) || ds J o -h

< M [H\r+ II El ll/'.(Y":A") iV,(Ar)Ar] + || Id j|£(y:A.) Ng((K + MX)r)(K + MX)r

(-) : M f i / T l U , ||r,(y-:A') N^Xr^Xp

< M \ll+ |l El I\c(Y-.x) Ng{Xr)} Ar d

II J-d II£(V:.V) + re-wsH(s)ds J o

|| Id II/",(v':.v) d- r erwsH(s)ds\Nfl((K + MX)r)(K + MX)r H ./o

a~lMNf{{K + MX)r)(K + MX)r

< Br,

2 7

o que mostra que || P«( í ) ||< r para todo t > 0, ou seja, T(D) C D.

Para mostrar que P c uma oontração, fixemos x,y G 1). Da definição do operador P temos que

|| Tx(1.) - Ty(í) || < || g(t,x,) - g(Lyt) || -| /' || AT{1 s) H^-^H r/(,,í,) - g(s,ys) ||r ds

4 í || T ( / . - . s ) ( / ( . s , i , ) - / ( « , ? ; , ) ||r/.s ./o

< !í >d ||r.(V:A) A ' , ( ( ^ 4 M\)r)K || - ?y |U FOO

-I- N,j{{K -I- M A ) r ) K / <:' ""'77 (,s)r/.s || x - y |U J o

4 (y -]MNf{{K + M\)r)K || - y

< (") II - V II co

o que mostra que P(-) ó uma contração. Portanto, P(-) possui um único ponto fixo u G D que é

uma solução fraca de (2.2)-(2.3) sobre [0,oo) tal que UQ - cp.

Suponhamos agora que B 6 um esj>aço com memória amortecida e que / e g são pontualmente

assintoticamente quase periódicas. Se x G D fl AAP(X), dos Lemas 1.39 e 2.4, e. Observação 2.5,

segue-se que Fx G A A P ( X ) pois T(-)(<p(0) + <7(0, <p)) G (70([0, OO); X). Mais ainda, do exposto

anteriormente é evidente que P : D fl AAP(X) —> D fl AAP(X) 6 ainda uma contração o que prova

que existe uma solução fraca u G AAP(X) de (2.2)-(2.3) sobre [0,oo). A prova está completa. •

A prova do próximo resultado é similar a prova do Teorema 2.G, por isto será resumida

convenientemente.

T e o r e m a 2.7 Suponha as seguintes condições são satisfeitas.

(a) Existem constantes positivas Nj,Ng tais que

|| f(t,^i)-f(t,^) \\<Nf\\i/H-ih\\lh

II <7M>|) - 9 { Í M !lv< ^ II Vi - V ' 2 h ,

para iodo i > 0 e toda -(/-'( G B, i — 1,2.

(b) As funções || f(t, 0) || e || g(t, 0) jjy são limitadas sobre [0, oo) e

K (j| Id \\C{Y..X) Ng + Ng eEU!í> H (s)ds + a^MN^ < 1.

Então, para cada <p e B existe uma única solução fraca u(-,<p) G G'j,([0, oo) : X ) de (2.2)-(2.3) sobre

[0. oo). Se. além disso, B é um espaço memória amortecida e f , g são pontualmente assintoticamente

quase periódica, então u{-.yp) G AAP(X).

2 8

Prova: Seja </> G B e D ^ {x G <7,i([0,oo) : X) : x(0) = </>(())}. Para .t G D, definimos Fr/:

eomo em (2.7). Da prova do Teorema 2.G, segue-.se facilmente que P.r está bem definida e que

P.7; G 6'(J([0,oo) : A'). Mais ainda, uma simples estimativa usando os axiomas do espaço B permite

mostrar que

|[ Vv(/:) - IX/) ||< K (|| hl IIC(Y,X) Na + Nn ^ c.~"'s E (s)ds + a^MN^ || u - v |U„

o que prova que P é uma eontração sobre D. Isto mostra que existe uma única solução

'//. G Cf,([0, oo) : A") de (2.2)-(2.3). Arguindo como no Teorema 2.G, dos Lemas 1.39 e 2.4, e

Observação 2.5 inferimos que P : D H AAP(X) —> D fl AAP(X) é uma eontração o que prova

a existência de uma única solução u G AAP(X) de (2.2)-(2.3). A prova do Teorema está completa.

B

Para finalizar esta primeira seção, estudaremos a existência de soluções quase periódicas de

(2.2)-(2.3). Com este objetivo consideramos o seguinte resultado.

L e m a 2.8 Seja u G C'Í,(E : A ) e suponha que t > g{t,ut), l -> / ( Í , « T ) são funções limitadas.

Então u verifica a equação

x{i) = -g(t, xt) - f AT(t - s)<j(s, xs)ds + I T{t - s)f(s, xs)ds, t G R. (2.8) J — oo J — oo

se, e. somente se, para cada a G R e t > cr,

u(t) = T(t - a)(ufa) + g(a, ua)) - g(t, v,) - I AT(t - s)g(s, us)ds •I a

+ f l T(t — s)f(s,v.s)ds. (2.9) J (T

Prova: Suponha que •;/,(•) verifica (2.8). Então para cada a G M e /, > a lemos que

?/(/.) - —g(t,ut) — I AT(t — cr)T{a - s)g{s,us)ds - I AT{t - s)y{s,us)ds

J - oo n

+ 1° T(t. - a)T(a - .s)/(.s: us)ds + I T(t - s)f(sxas)ds

g(t. v.j) + T(t - a) ( - 1° AT {a - s)g(s,us)ds + I T(o - s)f{s,us)ds\ V ./ - oo J - co / -oo

- Í AT{1- s)g(spu.H)ds + I T(i — s)f(s, iis)ds J a J u

T{t - ÍT)(U(CT) + g{a, U(T)) - g{t, ut) - / AT(t - s)g{s, us)ds <> o

+ I' T{t- s)f{s,us)ds,

0 que prova que «(•) verifica (2.9). A prova da reciproca é óbvia e será omitida. B

Lembramos que se B verifica o axioma (C2) ( ver página 16 ) existe uma constante £ > 0 tal

que

II tf J|e< c sup II •>/>(()) II, V V> e C'i((-oo, 0]; A ) . (2.10) ('-«3,0]

Isto será um ponto cl)ave da prova do nosso próximo resultado.

P r o p o s i ç ã o 2.9 Assuma que B satisfaz o axioma (C2) e que. /(/,, 0) — </(/., 0) -- 0 para iodo

1 G E. Suponha que existem funções continuas não decrescentes Nj,Ng : [0, oo) —> [0, oo), com

Nf(0) = N(J (0) = 0, tais que

ll/MiWMs) II< Nj{r) || Vj ~Í'2 ||«,

II í/M->i) - !l(t^h) ||y< N,,(r) || Vi - IU

para todo t G E c •i1bl G Br(0,B), i = 1,2. Então existe uma solução «(•) G 6'(,(E;A') de (2.8).

Prova: Definimos F : Cf,(E; X) -> C(R; X) por

Tx(t) - -g(1,, xt) - f AT(t - s)g(s, xs)ds + f T(t - .s)/(.s, xs)ds. (2.11)

J — oo — oo

Seja x G 6&(R; X ) e £ a constante em (2.10). Como B verifica o axioma (C2) temos que x t G B

para todo t £ E c que || xt ||«< £ || x ([oo. Usando a estimativa na Observação 2.2 podemos

mostrar facilmente Tx G C/,(E; A"). Fixemos agora r > 0 tal que

e : = £ (j| Id 11£(v:A') Ng(Cr) + Ng(£r) Ç e~W!<H(s)ds + alMNf(£r)^j < 1. (2.12)

Afirmamos que F 6 uma contração de Br(Q, Cf,(R; X)) em Br(0, C/,(M; Ar)). De fato, para t G E e

u G C(,(E; X) temos que || ut \\B< £ sup || u(t + 6) || < £r e então — oo < 0 < 0

II I M O II < II h || £ (V:A' ) Na{Cr) II ut ||B +Ng{Cr) I R r w ^ H ( l - .S) || u, ||B ds •I — oo

+MNf(Cr) f || us ||B ds J — OG

rOO < II Id \\c(Y-.x) N,j(£r)£r + Ng{£r)£r / e~wsH{s)ds + a~lMNf{Cr)Cr

• ' O

< Qr,

portanto, Tu G Br(0. Q,(E; A ) ) . Mais ainda, usando que g e / são Lipschitz obtemos que

3 0

1 u(t) - rv{1.) II < II Ia \\Ciy,x) N,,{Cr) || - vt \\B

-\-N,j{Cv) í ^H (1. - ,s) j| u, - vs ds . / - - C O

>) /' e - " ^ \\ ux ~ vs \\B ds • oo

< h íír.(r:A-) Ng{Cr) + Ng(Cr) / <r™}-l(s)ds J o

\a~~lMNj(Cr) || u-v

~ V IICYÍK: 'I, (K: A')

< B || U - H[q,(E:A-)

o que prova que I'(-) c unia contração eni Br({), X)). Isto completa a demonstração da

Proposição. El

P r o p o s i ç ã o 2.10 Assuma que B satisfaz o axioma (C2) e que as aplicações l —> / ( í , 0), t ~> g{t, 0)

são limitadas em Xe Y respectivamente. Suponha que existem consta nies NF, Ng tais que

I I / M M - / M 2 ) II < Nf || tpi — ip2 ||B,

\\g(i,in)-g(t^2)\\v < NgW^-^h,

para lodo t G R, toda 'f , G B, i = 1, 2 c que.

£ (|| Id \\C[Y:X) Ny + Ng j™ erws 11 (s)ds + a ^MN^j < 1.

Então a equação (2.8) possui urna única solução u(-) G C';;(1R : X).

Prova: Soja P : C'i,{IR; X) 6'/,(IR; X) a aplicação definida na prova da Proposição 2.9. Claramente

Pa: G C(R]X) para cada x G C{,(R; X). Mais ainda, da estimativa

||r.x(/;)|| < || Id ||£(r,v) Ng || Ut ||B +Ng f cr^i-shl(t-s)\\us\\pds J — oo

+MNf /' e-^-^H us\\Bds J — oo

< £ (j| I(l ||£(y:A-) Ng + Ng I* e~wsII(s)ds + a^MN^j || a; IU

concluímos que Tx. G C/,(IR: X). Procedendo como na parte íinal da prova da Proposição 2.9, pode-sc

mostrar que P é uma conlração e portanto, que existe uma única sedução de (2.8). •

3 ]

Corolár io 2.11 Suponha que as hipóteses da Proposição 2.10 são verificadas e. que para cada. Y definidas por fv(t) :=-•- f(t, tp), g^(t) := g(t., <p) são p,-periódicas.

Então existe uma. única solução p-periódica de (2.8).

Prova: Seja u(-) o ponto fixo da aplicação P definida na prova do Teorema 2.10 e definamos

-/;(/) u(t H- //), t 6 E. Da unicidade de soluções do (2.8), é suficiente mostrar que v e solução de,

(2.8). Para todo t G R temos y(l,vi) — g(i /i.,«H. /t), / ( / . T//,,iv) = / ( / "I /', '«H/J e então

'«(/-) = u(i + /i) "t+n rt+i,

' — CO J — OO

= + /í,'"/) - / - s)fl(.s + //,, 7/,,+/t)fI.S + / T( í - « ) / ( « + /Í, ux+ll)ds

/"£+/'• rt+11. -g(t + / I , ul+li) - / AT(t + / Í - S)ÊÍ(S, us)ds + / T(Í + / I - US)RIÒ'

•/ — OO J — OO

J — oo J — oo nt rt

= -g(i, Vt) - / 4T(í - ^(.s, vs)f/.s + / T(í - s)/(.s, J —oo j—oo

Portanto, v é solução de (2.8). fsto completa a prova. H

Definição 2.12 Dizemos que. uma função u(-) G Ci,(R;Àr) c uma solução quase periódica de (2.1)

se «(•) G y l P ( X ) c

•u(í) = T(< - a ) ( ? / , (a ) + r/(a, u , ) ) - </(/,, u t ) - í AT(t - ^ « / ( s ,

rt Ja (2.13) + / T(l-s)f(s,us)ds,

J cr

para cada a G R C todo i > o.

Teorema 2.13 Suponha válidas as hipóteses da Proposição 2.9. Se f : RxB —> X e g : RxB->Y

são pontualmente quase periódicas, então existe urna solução quase periódica de (2.1).

Prova: Do Lema 1.39 vemos facilmente que l-+f{i,xi) eAP(X) e l->g{L,xt) G AP(Y) Pi AP(X)

quando x G AP(X). Seja r > 0 e P como na prova da Proposição 2.9. Afirmamos que P é uma

eontração de /?,.((), AP(X)) em B r ( 0 , A P ( X ) ) . Seja e > 0 e x G A P ( X ) . Do Teorema, 1.32 temos

que a função ((t) = {f(1.,xt),g{t,xt)) G AP(X x 7 ) . Se r G H(e,t,X xY) o, te R obtemos que

II Vx(l -I- r) - Vx(l) II < II Id ||£(v:A')!! fl{t + T, Xt+r) - g(t. Xt) ||>-

+ / II ÁT(t - s) L:(V,V) lí í/(.s + T, xs,t T) - g(s, X.s) || y ds J —oo

+ I' Me-"(í-5) II /(.s + r, xs+T) - f(s, xs) || ds • ' — oo

< (l! Id llr.(V:A') + JQ00 c-wsH(s)ds + c,-lM^j e,

o que mostra que Yx G AP(X). Da prova da Proposição 2.9 deduzimos que P é uma contração em

tír(l),AP(X)). Portanto, existe uma solução u G AP(X) de (2.1). A conclusão é agora consequência

do Lema 2.8. A prova está completa. E

Para um tipo particular de equações diferenciais ordinárias, um resultado de Coppel [44] mostra

que a existência de; uma solução assintoticamente quase periódica implica a, existência de uma solução

quase periódica. Estabeleceremos aqui uni resultado similar para o caso de equações neutras. Para

isto usaremos a propriedade seguinte a qual ê consequência direta dos Lemas 1.32, 1.39 e da Definição

1.30.

Lema 2.14 [J,2] Sejam Z, W espaços de Banach, T : R x Z -» W uma função uniformemente,

quase periódica c w : IR —> Z uma função quase periódica. Então existe uma sequência de números

reais {hk)} estritamente crescente com hk —> oo quando k —> oo, tal que w(i H- /;,/,) w(t) e

êF{t + hklw(t 4- /(-/„•)) —> T(t,V)(t)) quando k —> oo uniformemente em IR.

Definição 2.15 Dizemos que uma função tt(-) G C(,(R; X) c uma solução assintoticamente quase

periódica de (2.1) se ?/,(•) verifica (2.13) para todo a G IR e U| ^ G AAP(X).

Propos i ção 2.16 Assuma que B possui memória amortecida c que /(•) e g(-) são pontualmente

quase periódicas e localmente Lipschtiz cm ip G B, uniformemente para 1. G IR. Suponha que

existe uma solução :;;(•) assintoticamente quase periódica de (2.1). Então existe u/ma solução quase

periódica de ( 2 . 1 ) .

Prova: Seja :/;(•) = p(-) 4- <"/(•) onde ;;(•) G A1'{X) e q(-) 6 uma função contínua de IR em X tal que

q(l) —> 0 (juando i —4-oo. Dos Lemas 1.32 e 1.39 deduzimos que a função (/(•), </(•)) : IRxB —> XxxY

ó uniformemeiife quase periódica.. Do Lema 2.14 sabemos que existe uma sequência de números

reais (/;,/.)k com hk —> oo, tal que

II p(t + hk)-p(t) ||

\\f{t + hk,Vl+hk)~f(tppt) ||

II <j{t + hk,pt+hk) - g{t,pt) IIv

(guando k oo uniformemente sobre IR. Como B possui memória amortecida, obtemos que

II f(t + h'ki Vt+hk + qt+llk) ~ f(t,Pt) II 0, (2.17)

II <j(t + hk.Pl, „ , 4- ql+,J ~ fli^Pi) ||r —> 0 (2.18)

0,

-> 0,

-> o,

(2.14)

(2.15)

( 2 . 1 6 )

para cada 1, G IR;, pois qi\i,k —> 0 quando k —> oo ( ver Teorema 1.28 ).

Usando as convergências anteriores, vemos que para t G IR

.7;(/• + /;/,) = V(t 4 hk) 4q(t 4hk) rt+hk

r-: ~fl(i + h;PH In.: + <li 1 /»*) - / ÂT(t 4 hk - - s)g(s)P, 4 (Js)ds •' — oo

I / hk- s)f(s,P;,Pq,)ds J - oo

= -g(t + hk,pt+hk + qi+hk) - I AT(t - s)g{s + hk,ps+hk + qs+hk)ds J -- oo

+ / T(i - s)f{s + /i, -I- qs+hM", J - o o

o que nos permite concluir, por (2.14) — (2.18) e o Teorema da Convergência Dominada, que

p{t) = -g(t,Pl) - I AT(t - s)g(s,ps)ds + I T(t - s)f(s,Ps)ds, f G IR. J—oo J- oo

Agora, a conclusão é consequência do Lema 2.8. A prova está completa. E!

Até o final desta seção, assumiremos válidas as seguintes condições:

(Fi) A função / : IR x B —> A satisfaz as condições de Caratheodory:

(i) / ( / , •) : 2? —> X é contínua para quase todo í G K;

(ii) Para cada G B, a função f(-,ip) • M —> X é fortemente mensurável.

(F2) Existem funções mf : [0, oo) [0, oo) com e0^mf(-) G 7"v1([0, oo) : X) eWj : [0, oo) [0, oo)

contínua, não decrescente tais que:

II/(*,¥>) II < rnf(t)Wf(\\ip\\B), (t,<p)eRxB.

Apresentamos a seguir, o Teorema do Valor Médio para a integral de Boclmer. Ele será muito útil

para estabelecer nosso próximo resultado.

Lema 2.17 [23, Lemma 2.1.2] Seja Z um espaço de Banach e F : IR —-> Z uma função integrável.

Então

(jí - A ) - 1 / F{r)dT G CO({F(T) : « < R < / 3 | ) , a,fi G IR, com a < ft, • I n

onde co(-) denota a envollória convexa.

3 4

T e o r e m a 2.18 Assuma que B possui memória amortecida, //(•) e pontualmente assintoticamente

quase periódica e que /(•) é uniformemente assintoticamente quase periódica. Suponha que c:

seguintes condições são verificadas:

(a) Para cada r > 0 e e > 0 existe um conjunto compacto Wc,r C X tal que T(e)f(sptp) C We r

para todo s > 0 e toda ij> G Br(Q,B),

(b) Existe uma função N,, : [0, oo) —> [0, oo) contínua, não decrescente, com N(J(Q) — 0 tal que

\\ i > M > i ) - l l v < N g ( r ) II Vi - i h llfí

para todo t> Oc^G Br{ 0, B), i = 1, 2,

Wfír) r°° (c) q(t. 0) = 0 para todo t > 0 e lim / ensrrif(s)ds < 1.

>'->° r J o

Então existe e > 0 tal que, para toda 0 e A G (0,1) tais que

6 := M[H+\\Id\\c{Y..x)Ng(\r)}\ + roo

II h \\c(Y,x) + / e~™H{s)ds ./o

MW({K + MX)r)

Ng((K + M X)r)(K + M À)

cn'smr(s)d,s < 1. " O O

..CÍS

I J 0

Sejam e = A'/', ()}. Deíinimos

F : D -->• C([0, oo); X) por

r x { t ) = T{i)(tp{0) + .9(0, </?)) - g(t, Xt) - / ATit - s)g(s, xs)ds •h

+ I T(t-s)f(s,xx)ds, t > 0, J o

onde x : IR —> A' é tal (pie xq = (p c x = x sobre [0, oo).

Por ( H i ) é fácil ver que P:/; G C([0, oo); X). Mais ainda, dos Lemas 1.39 e 2.4 e Observação 2.5

obtemos que Tx G AAP(X). Agora, se x G D, da estimativa

II ||b< Kr + M II <p ||b-< {K + MA)7-,

3 5

temos que

Fr,;(/.) || < M [U\r-\- || Jd ||f(r:.v) Ng(Xr)Xr\ -f || hl ||/;.(r:,v) Ng{{l< 1 MA)r)( / ( M X)r

\ I || AT(t - .s) \\C{Y:X)\\ .(/(«>às) !!r <1* -I / ' II T(i - .s) |||| / ( * , £ , ) || 7o ./o

< M []JXr+ II Id U^y^v) N;i(Xr)Xr} || ]d ||r(1,:_v) Ng((K 4 MX)r){K MX)r

I N I J ( ( K -]- M X ) R ) ( K + M X ) R I A - ,S)Í/,S ./o

+MW({K + MX)r) j e - a ( í - í ) m / ( s ) d s ./o

< M [ / / + ||/ri ||£(r:A-) A^(Ar)]Ar + /" CO

/rf lkr:A') + / C~WSH(s)ds •/o

+ MX)r){K + +

roo MW((K + MX)r) / easmf(s)ds

./o < Br,

o que mostra que P.v; £ D.

Mostraremos agora, que P ê um operador condeusante sobre D. Para. isto, introduzimos a

decomposição P = P1 P2 onde P1 e T2 são operadores definidos por

T]x(t) = T(t)(<p(Q)+g(0,ip))-g(t,xt)- íAT(t - s)g(s,xs)ds, í>0, ./o

P2.X'(-Í) = I T(t — s)f(s, xs)ds, t>0. J o

Da prova do Teorema 2.6 seguc-se que F1 é uma contração de D em IJ. Mostraremos agora que F2

é completament(! contínua de AAP(X) sobre Co([0,oo) : X). Da estimativa

r oo li it'2 „ii\ \\s ,,—nlixr í / TX , n/r\\„.\ / „cr« < cralWf((K + MA)r) / c™Mf{s)ds, x G .D, (2.19)

Jo

inferimos que F2:r(í) 0 quando t -4 oo e assim, F ' { D ) C Co([0,oo) : A) . Mais ainda, é claro

desta estimativa que a convergência é uniforme para x G D. Por outro lado, a continuidade de F2

ê consequência do teorema da Convergência Dominada e do lato que nj(-) G C1 ([(), oo)).

Provaremos agora que V2(D)(t) — {T2x(t) : x G D} e relativamente compacto em A' para todo

t > 0. O caso t -- 0 ê obvio. Seja 0 < S < i <T < oo. Do Lema, 2.17 ternos que

,/.-, 5 rt P ~x(L) = / T{t-S-s)T{ô)f{ii,us)d» + / T(i — s)f(s,us)dx

./o Jt-S

G (í - ó)^(Oj^ro<T< í, X G W r ^ T ) + MWf{r*) / mf(s)ds, Jt-S

3 6

onde »•* = (K 4 MA)»-. Como Ws>r* 6 compacto o (T(t ) ) t > í ] 6 fortemente, contínuo, obtemos que

c.o({T(6)x : 0 < 0 < /., x 6 H^,,-}) é relativamente compacto em À'. Assim, para cada S > 0

existem Cí compacto em A" e D?> C A', com Diam(Ds) —> 0 quando õ —> 0, tais que

F2(D)(t) c Cs + Ds,

o que prova que VD( t ) é totalmente limitado e ]>or tanto ítda.t.ivãmente compacto em A'.

Para finalizai' a demonstração, vamos provar que {P:/: : x G D} é equicontínuo sobre [0,a] para.

a > 0. Seja, 0 < ô < t < a < oo. Usando que o semigrupo é fortemente contínuo o que W&r- é

compacto, podemos fixar 0 < < S tal que

|| T(s)x - x ||< <5, G Wg>r., r* = (IC + MX)r.

quando 0 < s < í j . Assim, para x G D e 0 < h < <5 temos que

rt-ô || r 2 J ; ( í + h ) _ V2x{f) jj < / || T{t + h _ s ) / ( a . ~ ) _ T{t _ s) f{s^s) || ds

J 0

+ í || T(i + h ~ s)f(s, xs) - T(t - s)f(.S, xs) II ds Jt-S ft+h

+ I II T{t + h-s)f{s,xs) II ds

< f 5 II T(i - S - s)(T(h) - I)T(S)f(s,x,) II ds ./o

rt rt + h +2MWf{r*) / mf(s)ds + MWf(r*) / mf(s)ds

Jt-S Jt ri _ r l + h

< {l.-S)M6 + 2MWf{r*) / mf{s)dsds + MWf{r*) / jnf{s)ds Jt-S Jt

o que prova que V2D 6 equicontínuo à direita de t, uma vez que S 6 arbitrário e Mj é integrável. De

maneira similar, podemos provar que T2D é equicontínuo à esquerda de t e equicontínuo em t = 0.

Portanto T 2 D é equicontínuo sobre cada intervalo da forma [0,a].

Do exposto anteriormente, concluímos que F2 é um operador completamente contínuo de D

em AAP(X). Portanto, P é condensante de D em D. A existência de uma solução fraca

assintoticamente quase periódica, para (2.1) é agora consequência do Lema 1.4G. A prova está

completa li

3 7

2.3 Existência de Soluções Quase e Assintotieamente Quase

Periódicas Via Equações Limites

Nesta seção estudamos a existência de soluções quase e assintotieamente quase periódicas para

o sistema (2.1) por meio do estudo dos sistemas limites associados e do conceito de solução 13 C-

totabnente estável. No que segue-se, B sempre será um espaço com memória amortecida, separável

e que verifica as seguinl.es condições.

(H2) O semigrupo (l\t.))r>o é compacto, ic : Y —> X é compacta e existe uma função

II G ^„£.([0,oo)) tal que |j AT(1.) lj/r.(^:A')< H{t) para cada t > 0.

(H3) As funções / : R x B — > X e g : R x B —> Y são uniformemente quase periódicas o existem

funções Nf,Ng : [0,oo) (0,oo) tais que || /(£,</;) ||< Nj{r) e || g(t,(j>) ||y< Ng{r) para todo

(t.,<f>) E E + X Br(0, B).

(H4) Existe uma solução fraca u G C&(R : X) de (2.1) sobre [0, 00). Mais ainda, t g(i,ut) ó

uniformemente cquicontínua sobre M+.

Assumindo as condições (II2), (#3) o

(g^) S(-ja <*p G B, y : (-00,T] ->• A a função definida por y(t) = T(t)ip(0) para t > 0 e y(t) = ip(t)

para t < 0. Seja S(T) o espaço S(T) = {x : ( - 0 0 , T ] X : xQ = 0; x G C([0,T] : A ) }

munido da norma da convergência uniforme. Dizemos que o sistema (2.1) verifica a condição

g^ se para todo conjunto limitado Q C S(T), o conjunto de funções {t —> g(t,xt + yt) : x € Q}

é equicontinuo sobre [0,2'],

Hernández [9] provou a existência de soluções fracas para o sistema (2.1) definidas em ( — 00, T]

( veja também [11] e [12] para detalhes adicionais ). Os resultados em [!.!], são obtidos usando o

Lema 1.45. Para justificar nossas hipóteses, 110 próximo resultado estabelecemos condições para

existência de soluções fracas globais ( definidas sobre [0, 00) ) de (2.1).

L e m a 2.19 Assuma (H 2 ) , (H 3 ) , (g v ) e que. existe w > 0 tal que erwLII(t) G ^{[O.oo)) e

II AT(l) ||y.x)< e~v'1 II(/.). Seja v(-,ip) uma solução fraca máximal de (2.1) e suponha que existem

constantes Cu i — 1,2, e funções mf. [0,oo) —> [0, 00), Wj : [0, 00) —> (0,oo), sendo mj contínua

c Wf crescente, tais que

II r y ( M / > ) I Iv < C 1 ! II v ||B + C 2 , ( í , V ) G [ 0 , 0 0 ) X B,

||/(V0)|| < mf(t)Wf(\\i)\\B), (t,il>)£[Q,oc)xB.

3 8

Se. K r j , , , ds

mf(.s)ds < /' ./o ./, Wj(sy

onde p. - 1 - KC\ (1 -I / e "'7/(.s)f/.s) > O e "OO

'0

K/J" M(C\ + 11) -I- CAM 1 d- / C wsll(s)ds + M i o v IIP

( 1 +M-I- ^ <rwsIl(s)ds ) ,

cnláo v(-,ip) está definida sobre [O,oo).

Prova: Suponha que v(-,tp) está definida sobre [0, ímax)• Por [11, Proposição 2.2], é suficiente

mostrar que e limitada sobre [Ogfniax ). Se t G [0,í inax) temos que

||u(í)|| < || T{t) || (H || tp ||f? + || .<7(0, <p) ||) + Cj || vt \\B +C2

+ I e.-w^s\H(t - ,s) [C\ || vs ||B +C2)ri.s + / ' mf(s)Wf(\\ vs ||B)ds •lo ./()

< (li + C\K (l + J crws.ll(s)d,^J II V \\t + J mf(s)Wf(K |j v ||, d-M || ip ||B)ds

onde

di = roo

M (Ci +H) + CiM ( 1 + I e~ws H(s)ds 0 temos que

«(/.) < c • / nif(s)Wf(a(s))ds. 11 J o

Denotando por (3(i) o lado direito da última desigualdade, obtemos que

ft'(t) < jmf(t)Wf(/3(t)),

e assim

r m d.s K f , N , f00 ds < — / m,r(s)ds <

Jc Wf(s)~p,J o Jr Wf(s)'

o que permite concluir que /?(•) é limitada sobre [0, ímax)- Portanto v(-,) é limitada e

consequentemente, definida sobre toda a reta. A prova está completa. B

Coro lár io 2.20 .Assuma as condições do Lema 2.19 e suponha que mj G £ ] ( [0 , oo ) ) e Wj é r^ ds

contínua. Se / —r^-r = oo, então v(-,<p) está definida sobre [0, oo). J o

Pa.ni. prosseguir com nosso estudo, precisamos do seguinte Lema.

L e m a 2.21 [20, hemma 1] Seja B um espaço com memória amortecida. Se S C B é compacto,

T C. G'([0, oo) : X) é uniformemente equiconiínuo e o conjunto R{íF) — {x(l) : t d [0,oo), x £ J~)

6 relativamente compacto em X, então o conjunto

V(S,T)^{xl : I c [ ( ) ,oo) , xudS, x \[()i00)e J-'}

é relativamente compacto em B.

0 seguinte Lema é essencial para estabelecer nossos próximos resultados.

L e m a 2.22 Se as condições (H2)-(H4) são satisfeitas, então o conjunto C u := {«(<) : /. > 0}

é compacto em X, u(-) é uniformemente contínua sobre R+, ^ R+ := {ut : t > 0} c compacto em

B et —» ut c uniformemente contínua sobre E+.

Prova: Vamos provar primeiro que o conjunto C?„ R + é relativamente comi>acto em X. Para fazer

isto, para ?/ > 0, consideramos a decomposição <9U R+ = On U Or] onde Ov = {«(/.) : t > 7/} e

O = {u(t) : [)</.< rj}. Se a(-) é a medida de não compacidade de Kuratowski, veja [23], então

a(Ou¥;+) = m a x { a { O v ) , a ( Õ v ) } . Seja 0 < v < min{l,??} e M = sup |[ T ( r ) ||. Para t > rj, temos 0 < r < ]

que

u(t) = T{u){T{t - u){u{0) + r;(0, «o))) - g(t, ut) - I AT(t - s)g(s, us)ds J o

+ Í ' T(l - s)/(.s, ?i,)f/.s - f AT(t - s)g(s, us)ds + f T(l - s)f(s, us)d» J0 Jt-v J l-v

= T{v) (t(í -- i/)(u(0) + .9(0, uQ)) - g(t - v, ut-v) - ^ AT(l - v - s)g{s, us)ds

+ I T(t - v - s)f(s,us)ds^ + T(v)g(t, - u, ut-v) - g(t, ut)

- f AT(l - s)g(s, u>)ds f T(t - s)f(s, us)d* Jt-v J l-v

= T(v)(u(t, - //) + g(l - V, Ut-,,)) - g{t, ut)

- f AT(t - s)g(s. ns)ds + I T(t - s)f(s, u,)rls Jt-v Jt-v

e de (1.6), obtemos que

a(Orl) < Nq(C II U ||CVK:A-)) / I! A T ( S ) lk(V':A') ds + MNj(C II U \\Cll{R-.X)> J 0

pois os conjuntos T{u){u(i - v) + </(/. - jv, «,_„) : t > ?/} c {r / ( f , « t ) : i E IR} são relativamente

compactos em A". Fazendo 7/ —> 0 deduzimos que a(0 7 / ) ----- 0. Portanto O v é relativamente compacto

em A . Como o conjunto On é compacto em X obtemos a ( O u ? + ) = 0, o que mostra que Ou R+ é

relativamente compacto em A'.

Vejamos agora a continuidade uniforme de -«(•). Fixemos e > 0. Da compacidade dos conjuntos

Oup:\ e {g(l, 1/./.) : l G IR} e de que /. 7'(/.) é fortemente contínuo, existe 0 < 6 < 1 tal (pie

sup {|| T(6)u(s) - '(7,(5) ||: .s > 0} < e, 0<4<í sup {|| T{0)g{s,us) -g{s,us) ||: a > 0} < e.

0 <0<S

Se 0 < .s < t < .s 4- ô temos que

|| u{1.) - u(,s) || < || T(i - s)M(.s) - || + || - ,)//(•% - </(*,'«,) ||

+ II ic IL:(y-,v)ll us) ~g{i,u,) ||v- +J M || f(r,uT) || dr

+ f \\ AT(t-r) ||£(v:A-)|| g(r,uT)\\ydr

< || T(t - s)u(s) - u(s) || + || T(t ~ s)g(s, us) - g(s, us) ||

+ II «C IU(r:A-)ll 9{s,us) -g{t,ut) ||y

+Ng(C || u \\Cb{R,x)) Jl H{i-r)dr + MN}{C || u \\cb{R:X))(t ~ s)

< 2e + (Ng{C || u ||f. (E:A.} J'll(t - T)dr + MNf(C || u \\ch(R:X))í

+ II V ll/J.(>-:A-)ll í){»d>h) ~ í){l;Ut) ||v

O qual, de (H4), nos permito concluii' que ÍÍ(-) É uniformemente contínua sobre M"' .

A compacidade de X u n + é agora consequência do Lenia 2.21.

Para mostrar a. continuidade uniforme de t, — u i sobre IK+, consideremos a decomposição

ut = yt + S(t)(uo - u(0)x) onde y(t) = u(t) para t > 0, y(t) - u(0) para t < 0 e = 1

para todo 9 < 0. Claramente y(-) é uniformemente contínua sobre R e como

II yt-- h - yi 11 < £> s»P II v(t + h + o) - y(t + 0) ||, — o o < 0 < 0

inferimos que /; —> yt É uniformemente contínua sobre IR. Agora, como S(Í)(UQ —'ÍÍ(O)X) —> 0 quando

t —> 00, concluímos que « t é uniformemente contínua sobre IR+. A prova está agora completa. •

Para considerar equações limites, é necessário introduzir alguns conceitos de convergência em

espaços de funções assim como algumas notações adicionais.

4 1

Def in ição 2.23 Seja Z um espaço de Banach. Dizemos que uma sequência { i ^ } ^ em — fô y

C(R x B; Z) converge para F Bohr-nniformemente. sobre IR x B, a qual denotamos por Fk —F, se.

Fk(t,<j>) F(l,(l>) em Z, uniformemente sobre R x W para iodo compacto W C B.

Sejam Z o. W espaços de Banach. Para. F G G(KxB: Z), v e C(R; Z) e r Ç R usamos anotação

FT, vT para as funções F1 (f.) = F{t 4- /.), v7 (t) = v(t + /.). Usamos ainda, para A C C ( R x B\ Z),

a notação para representar o fecho do conjunto com relação a topologia gerada a partir do

conceito de convergência Bohr-uniforme. Similarmente, para U C GY(R; Z), rej)res(!ntanxos por V'

o fecho de U na topologia da, convergência uniforme em compactos.

Def in i ção 2.24 Sejani Z\, Z-2 espaços de Banach. Para F G C(R x B : Z\), v € C(R : Z\) e

G 6 C(R x B : Z'i) definimos os seguintes conjuntos:

H ( v )

H(F/ZX)

Í1(F, Zx)

H(v,F, Z,)

n(v,F,zl)

H{v,F,G,ZuZ2)

Í7(t>, F, G, Z], Zo)

Def in i ção 2.25 Sejam ./' G Il(f.X) eg<E lí{g,Y). A equação neutra

~(v(t) +V(t,vt)) = Av(t) +7 ( tdo i ) , i G M (2.20) dt

é. chamada de equação na envoltório, da equação (2.1). Se / G íl(f,X) e g G Q(g,Y), dizemos que

(2.20) é uma equação limite de (2.1).

O seguinte resultado pode ser encontrado em [40],

L e m a 2.26 Sejam Z\ e Z2 espaços de Banach, Z\ separável, e F G C (R x Z\; Z-z) uniformemente

quase, periódica. Então, para ioda sequência de números reais (h'k)k existe uma suhseqúênci.a (hk)k

e uma função G G C (R x Z\;Z-z) tal que F{t hk,<t>) "» G{t,(j>) uniformemente sobre IR x S, para

todo S C Z\ compacto, quando k oo. Além disso, G é uniformemente quase periódica.

A partir do Lema 2.2G obtemos o seguinte resultado.

= { 7 t " 7 V g ~ I R ) ;

= ^ T T e l f ^ 1 ;

= (F G H(F, Zi): 3 r„ oo, tal que FT» F}]

= {(v\FT): r E R p * 7 * ' * 1 ;

= { ( v j ) E Hii^FZ,) : 3 rn oo, tal que (vT\FTn) (v,F)};

= { ( ^ , Fr, G ^ T T ê l p X T B , Z l XT"'Z'2; Í F X R ; : 7 , X Tij Y^

= {(v,F,G) : 3rn -> oo, tal que {vTn , FT», GTn) ^ "2{v,F,G)}.

42

L e m a 2.27 Seja {/.',}„ uma sequência de números reais tal que i'u -> oo quando n --> oo. Então

existe uma, subsequência {/.„}„ e junções j e n{f,x), g e n(g.Y) e u G C\,(1R : A ) tais (que

fl" H ./', gl" g e «'"(/.) —> u(t) uniformemente sobre compactos em ]R. Neste caso, u é uma

solução limitada da equação limite (2.20).

Prova: Como / , g são uniformemente quase periódicas, dos Lenias 2.22 e 2.26 existe unia.

subsequcncia { / „ } „ de {t'n}n e funções f G C'(E x B ; X ) , g G C(R x B; Y) e u G Cb(R : X )

tais que fL" / , g'n Q g e ul" -> u uniformemente em compactos de R. Mais ainda, é claro

que g'" —> g. Como B verifica a condição (C2) , temos que ~> Ul em B para cada t G R, de

onde concluímos que /( / . + ln-,'"-t+in) ^ f{t,ut) em X e g(t d- Í „ , ! Í M ;„) -> y{L,ut) em Y para

cada l G IR, quando n, —> oo. Agora, da equação

u{t + tn) = T{t)(u{tn) + g{ln:u,J)-g{t + tn,uMtJ - í AT(t - s)g{s + í„,uH,n)ds J o

+ / T(t - s)f(s + tn,us+tn)ds, i + tn > 0, ./o

e do Teorema da Convergência Dominada, concluímos que

u{t) = T(t){u{Q)+g{0,uo))-g{t,ut)- [ AT{i - s)g{s,us)ds J o

+ / T{t-s)J{s,us)ds, Í G l l J o

o que mostra que «(•) ê uma solução fraca da equação limite (2.20). A prova está completa. H

Para mostrar nosso próximo resultado precisamos do seguinte Lema.

L e m a 2.28 [43, Thcorem 5.3.4, 5.3.5] Seja Z um espaço de Banach. Se G G AAP(Z) então, para

toda sequência {t.'n} C [0, oo), com t'n —> oo quando n ->• oo, existe uma subsequcncia { í n } tal que

G(t. + t.n) é uniformemente convergente sobre [0,oo) em Z.

Observação 2.29 Se Z = IR", Yoshizawa provou em [46, pg. 20-30] que a recíproca do Lema 2.23

6 verdadeira. Por outro lado, Hino, Murakami k Yoslrizawa observaram em [20, pg. 139] que a

recíproca ainda é válida se Z é. um espaço dc Banach separável e {g(t) : í > 0} c relativamente

compacto.

No próximo Teorema deduzimos a existência de uma solução quase periódica para (2.2)-(2.3) a

partir de uma solução assintoticamente quase periódica.

4 3

T e o r e m a 2.30 Sc «(•) e AAP(X), cntao existe uma solução finca quase periódica de (2.1).

Prova: Assuma que u — p + q onde p e AP(X) e q e Co([0,oo) : X). Como as funções / , g são

uniformemente quase periódicas, pelo Lema 2.27 existe uma sequência (rn)H6N, com r„ -> oo, tal

que fTn / e yTn y . Agora, do Lema 2.27 concluímos que p(-) 6 solução da equação limite

(2.20) com / — / e y = <y. A prova está completa. •

Def inição 2.31 Dizemos que a solução u(-) d.e (2.2)-(2.3) é. d3C-totalmente estável (BC - TS)

se para todo e > 0 existe S(e) > 0 com a seguinte propriedade: Se ()> 6 Ci ( ( — oo,0] : X), h,\ 6

C o ( [ 0 , o o ) ; X ) e h2 £ Cb([0, oo)]Y) sao lais que || 'íí() - <,/; | | c i ( ( - o o , 0 ] : A ' ) < S U P !! M / ; ) !l< < G [ 0 , O O )

c sup || h'2(/•) ||r< então te[o,oo)

II u(t) - u(t, 0,0,/ + hug + h2) II< £, para t > 0,

onde u.( •, 0, 4>, / + hj ,g + I12) denota a solução do sistema

4 (v(t) + g(t, vt) + h2(t)) = Av(t) + f(t,Vt) + /M (t), t > 0, dt. v0 = (j).

A prova do resultado seguinte é obtida com simples modificações da prova de [20, Teorema f].

Decidimos incluí-la para tornar esta seção um pouco mais completa.

T e o r e m a 2.32 Seja X um, espaço de Banach separável. Se. «(•) é BC — TS, então u(-) 6 AAP(X).

Consequentemente existe uma solução fraca quase, periódica de (2.1).

Prova: Para toda sequência {r^.} tal que r'k —> 00 quando k —> 00, existe uma subseqiiência { r } de

{TJ(.} e funções }\g tais que fTk / , gTk g e u(t + R/C) —> v(t) uniformemente sobre compactos

em E. Afirmamos que u(t. + r*) é uniformemente convergente sobre R1 . Suponhamos que uTk não

ê uniformemente convergente sobre R + . Então, para algum e > 0 existem sequências {kj} e

{m7-}, com kj -> 00, m.j —> 00 quando j —> 00, tais que

II u(rk] + tj) - u(rmj + ij) || - e V j, (2.21)

|| U(RKJ + t.) - U(T,UJ + /,) || < e sobre cada [0, t3). (2.22)

Definimos yi{t) : = u(rkj + t) e wj{t) := u{Tnij + t) para todo t £ R. Como {v](t,)} e {w'( / , )}

convergem para v(t.) uniformemente sobre compactos de R, podemos assumir que

00 I 1 'II i

; - ] 2 ( 1 + || Vq — WQ II;) 3

_ 44

onde || vl - WQ lh= sup || vJ(0) - wJ(0) ||. Para cada j G N c r G JRT1", definimos uma função

7p<r por

í '(Pm -?• quando r oo. (2.24)

Suj)onliamos que (2.24) não se verifica. Então existe CQ > 0 e sequências {jk}k, W}/.- eom rk —> oo

quando k —> oc, tai: que || vjj*''* — v^ ||e> cq. Seja '<//' = vjf"'n' - wjj*. Claramente {'i/1'"'}*; é uma

seqiiência uniformemente limitada Ci(( — oo,0] : A") que converge para a função nula uniformemente

sobre cada conjunto compacto cm IA . Pelo axioma (C2) obtemos que || ij)k 0 quando k —> oo,

o que é uma contradição.

Usando que iP'r(/,) -> v(t) quando j -> oo, uniformemente para (t,r) G J x IR+ para todo

intervalo compacto J em R, a compacidade de ( veja Lema 2.22 ) e o fato que v30 G A u R+,

podemos mostrar que {V^VQ1 : j G N, r G R + } é relativamente compacto em B. Usando agora que

j V (/,), v^r(t) : j G N, G E + , í G IR4 } está contido no compacto e o Lema 2.21 segue-se que

o conjunto W := {v'l,vj'' : j G N, r G K",_,Z G 1R+} 6 relativamente compacto em B. Assim,

sup{|| f(t + r,, <'p) - J(t, <p) ||: í G R, </> G W) -> 0

«up{|| ,9(í + r, , </;) - ?y(í, <!>) ||y: /, G IR, </; G 1E} 0

quando /,; —> oo.

Definimos phr : R+ X e (f'r : IR"1 -> Y por

(2.25)

p-(t) f(i + Tkj,vl)-f(t + rmj,(v^)t), 0 < t < ij

p'>(íy), tj<t

</(t + Tkj,ví) -íj(tYTmjAv:i'r)i), 0<t<íj

ér{tj), tj < 1,

Como

II {vj,r)t - vj 11 B< Aí II v:kr - vl Us, te K + i e N ,

])c4o a.xioma ( A l ) e (2.24) obtemos c]ue

sup{|| J(/• 4- t^, vj) - J(í , (COí ) ||: í e R + , j G N} 0

sup{|| g(t + Tk, vj) - ( ^ O i ) ||y: t G R + , J G N} —> 0 (2.2G)

quando r -)• oo. Portanto, por (2.25) o (2.2G) podemos escolher jo — j o(e) e N c r = r(e) G N de

modo que

»»PÍII r>''r{>) l : i > : i í h t c E + } < s ( f / T ) / 2

suP{|| q^(t) WY:j>:,{hteM:i}<6(e/2)/2

onde 5(-) é o número da BC-TS estabilidade, de «(•). Fixemos agora para este r, um inteiro j > j{)

tal que j > Então de (2.23), vemos que

II K - vl ||r /[!+ || ml - v{ ||r] < (>{wÍ4) < TrS(e/2)/[l + í ( f / 2 ) ] ,

0 que implica que

II A - llr< <5(E/2) ou II vl'r - W30 ||C;,((-oo,0]:À-)< ^(e/2).

E fácil mostrar que v3'r é solução fraca, de

Jt (x{i) + (j{i + T1UJ , Xt) + q]S(i)) = Ax{t) + f{i -i Tmj, Xt) + ji'r{i) (2.27)

sobre t G [0,íy], e como e urna solução BC-TS de

+ (){t + rmj, xt)) = Ax(t) + / ( / . + Triíj, xt) (2.28)

com o mesmo <$(•) tomado para u(t), do fato que sup |j p7'7 (/,) ||< ó"(e/2) e sup || q3'1 (i) ||y-< 5(e/2) í>o í>0

segue-se que j| {vj'r)(t) - w:i (t) ||< e/2 sobre [0,/j]. Em particular, temos || (v:i'r)(tj) - 'uP(íj) ||< e

ou || (vJ)(tj) — w:'(tj) |J< e, o que contradiz (2.21). Portanto, u(l + rk) é uniformemente convergente

sobro 1 R + .

Pela observação 2.29 segue-se que u G AAP(X). Finalmente, do Teorema 2.30 concluímos que

u. G AP{X). a

A prova do próximo resultado também é obtida com simples modificações da prova do Teorema

1 em [21], Por isto, a prova será resumida convenientemente.

T e o r e m a 2.33 Seja X um espaço de Banach Separável. Assuma que «(•) é unia solução BC-TS

da equação limite. (2.20). Então u(-) G AAE(X). Consequentemente, existe uma solução quase

periódica de (2.1).

Prova: Como (%f,g) € Cl{u, f.g, X,Y), existe uma sequência {r*}* com rk -> oo quando k oo,

tal que fTk —> / e gTk g e u(t 4- Tk) — u ( t ) uniformemente sobre compactos em 1R+. Arguindo

4(j

como 0111 [2], Teorema 1], podemos mostrar que u(t. + 7*) 6 uniformemente convergente a u sobre

ltt' . Mais ainda, da prova do Teorema 2.32 deduzimos que u(-) G AAP(X). Consideremos agora

uma sequência {s'k}k tal que s'k —> oo quando k oo e fixemos uma subsequcncia de modo

que ,s> — T/. =: /ik -> oo quando /«; —»• oo. Assumindo que u(i fi/;) converge uniformemente sobre

R ' , concluímos que u(l + si-) — «(£ + 7/,. d /'/,-) é também uniformemente convergente sobre R 1 , o

que mostra que '»(•) G AAP(X). A existência de uma solução quase periódica segue de Teorema,

2.30. Agora a prova está completa. te

2.4 Aplicação

Nesta seção, apresentamos uma aplicação para alguns de nossos resultados abstratos.

Previamente, introduzimos os elementos técnicos necessários. Seja X = L2([0,7r] e definimos o

operador A : D (A) C AA Ar definido por Aw(£) = « "de

D (A) = M - ) G L2([0,tt]) : !//'(•) G L2([(), 7r]), ?,J(0) = w{ir) = 0}.

E conhecido que A é o gerador infinitesimal de um semigrupo analítico e compacto (T(í))t>o sobre

AG Além disso, A possui espectro discreto, os autovalores são —n2, n G TN, com autovefores i 1 /9

associados z1L(t) — sin(nÇ) o as seguintes propriedades são verificadas:

(a) {zn : 7i G IN} é uma base ortonormal de X, CO

(b) Se w G D [A) então Aw = - ^ n 2 < w,zn > zn, 71=1

(X)

(c ) Para w G X, T(l)w = ^ e " ' r í < w, zn > zn. Em particular, vemos que T(-) é um semigrupo 71 = 1

uniformemente estável com || T(t) ||< c"1 para t > 0, oc ^

(d ) Para cada w G X e todo o: G (0,1), temos que (-A)~aw — <w,zn > zn. Em r?,=i n

particular, || ( - A ) - 1 / " |j= f,

(e) Para cada tv G (0,1) e w G D{(-A)A), (-A)°w = ri2'1 < w,zn > zn. Mais ainda, 7í=-l

D((-A)n) j™ G X : f^n2n < w,zn > zn G X j .

Como espaço de fase, escolhemos o espaço B = L2(lr, X ) apresentado 11a, seção 1.3. Assumimos

também que h verifica as condições (li-5)-(h-7) na nomenclatura de [1.9], Sob estas condições, B é

um espaço com memória amortecida e K(-) and Aí(-) são funções limitadas.

4 7

Considere o sistema diferencia]

J b(t~,prhOu(^v)drid.H] - 0 + «o(0 '<4, 0 d" «1 C-, -t

u{s - i)u(n,(,)ds, i > (),£ G [0, tt] (2.29)

1/, '.(/., 0) - '« (/,, 7r) — 0, í > 0, (2.30)

- 0 < ( U g [ O , 4

Assumimos agora, que as seguintes condições são válidas,

(i) A função b(-) 6 mensurável e

(ii) A função T pb (9 , i ) , ( ) c mensurável; b(9,rj,n) = b(6, r), 0) = 0 e

f° a2(ff) (iii) A função a(-) é mensurável com L / ^ °°> a f u l l t a o £ para cada 7 - o o 'H"/

t G R e «.()(•) é contínua com C = sup |ao(C)I*"• 0<Ç<7r

(iv) A função (p definida por : = <J>(9,£) pertence a B.

Definimos / , <7 : [0, oo) x B — X por

/M')(0 - 1° a(0)^(0^)d0 + h(t)(O, •I — oo

g(t,m) = / ° í WhVmvWldO, ./-oo -/o

onde h(t)(£) = aj(í , £). Sob as condições acima afirmamos que g(t.ip) G D(( —yl)J/"2) e

l i ( - A ) 1 4 / ( / , 7 / , l ) - | | < | j V n - V ' ' 2 b .

De fa,to, da condição (ii) temos que

1 7 2 \ 1 / 2

(g{t,i{>),zn) = - - (A(tp), cos(n;*)), n \7r/

f" d ond<! A(0) := / / -—b(6.y,()ij)(9,ij)d'rjd0. Ainda de (ii) obtemos que A : $ —> A' é um operador

7-oc 7o lineal' limitado com |j A j[< Ari, o que conclui nossa afirmação.

4 8

Seja Y --• X i ( os espaço — A) ) munido da norma do gráfico ). Usando as propriedades do

semigrupo (T(/.))t>0, segue que Y verifica a condição (Hj ) . Mais ainda, neste caso,

_ i II (-A)hXt)\\<-^~, para /•>().

Do exposto acima, podemos modelar o sistema. (2.29)-(2.81) como (2.2) — (2.3). Mais ainda, y é

uma, função com valores em Y. Além disso, temos que g(t, •) : B — > Y , /(/, •) : B —> X são lineares,

contínua,s e || g(U-) \\c0-x)< , II / ( V ) llr,(A')< (C 4 L ) ' / 2 -

O j>róximo resultado é consequência direla do Teorema, 2.7 o Proposição 2.10. Observamos que

a constante £ pode ser escolhida igual a K ( ver [19, Proposition 7.1.5] ).

Propos i ção 2.34 Assuma que l a\(í, •) c quase periódica ( resp. assintoticamente quase

periódica ) em X. Sc

K (N, + ^ J™ el-WH-^ds + (C 4 L)1^ < 1,

então existe uma solução fraca u(-) G AP(X) ( resp. ?/,(•) G AAP(X) ) ele (2.29)-(2.31).

Capítulo 3

Existência de Soluções para a Equação

Neutra de Segunda Ordem

3.1 Introdução

Neste capítulo estudamos a existência de soluções fracas para equações diferenciais de segunda

ordem com condições não locais. Especificamente, estamos interessados em sistemas diferenciais

(pie podem ser modelados como algum dos seguintes problemas de Cauchy abstraio com condições

não locais

ft[x'(t)+y(t,zt)] - Ax(t) + f (i,xt), t£l (3.1)

:;:0 p(<p,xtl,xh,...,xtn), (3.2)

:/;'(()) = q(ip,xll,xÍ2,...,xln)) (3.3)

4[:';'(í) + 9(1, xt, :r'(/))] = Ax(t) + f(t, xt, x'(t)), i G /, (3.4) dt

XQ - p{<p,xll,xt2,...,xtn), (3.5)

,-c'(0) = q(ip, xtl,xh,. .. ,xin). (3.6)

Aqui, A é o gerador infinitesimal de uma função eosseno fortemente contínua de operadores limitados

definida sobre um Banach A'; I é um intervalo da forma ( - o o . o ] ou R; t\, /;-2, •.. , in £ t £ I são

números previamente fixados; p(-) : Bn+1 —> B e q(-) : B'l+l —> X são funções apropriadas; B e um

espaço fase verificando os axiomas (A), ( A l ) , (B) e <p £ B é dado.

5 0

Assumimos também que existem constantes K e M tais que K{t) < K e M(t) < M para todo

t. Ç I. Para material adicional sobre espaço de; fase citamos [19].

Este capítulo possui quatro seções. Na seção 3.2 discutimos a existência de soluções para algumas

equações diferenciais parciais de segunda ordem com condições não locais em intervalos da forma

(—oo,«], a > 0. Na seção 3.3 estudamos a. existência de soluções globais e na 3.4 estabelecemos a

existência de soluções assintoticamente quase periódicas para (3.1)~(3.6).

A maioria das notações e conceitos técnicos usados neste capítulo foram introduzidas no Capítulo

1. Lembramos ainda., que a notação Br(z, %) representa a bola aberta de centro 2 o raio r num

espaço métrico Z, c que para uma função limitada £ : [0,/;] —> [0,oo), 0 < t < b, empregamos a

notação (t — sup{£(s) : s G [0, í]}.

3.2 Soluções sobre ( — 0 0 , a]

Nesta seção, apresentamos resultados de existência de soluções para os sistemas (3.1)- (3.3) e

(3.4)-(3.6) sobre intervalos da forma I = ( - 00 , a]. Assumimos que N > 1 e N,NI > 0 constantes

tais que ||C(í)jj < N, HS^í)!! < N e ||AS(t)\\C(EtX) < Ni para todo t E J = [0,a], Mais ainda,

denotamos por C(J.X) o espaço das funções contínuas u : J —> X munido com a norma da

convergência uniforme |j • J|ÍT e por BC O espaço das funções u : / X tais que ÍÍQ G B e

u| G C(J,X) munido com a norma || u IjecHI uo ||b 4- || u| |ju. Omitimos o símbolo | quando

sua ausência não gerar confusão.

O Lema seguinte é uma consequência direta das propriedades do espaço B. Por isto omitiremos

a prova.

Lema 3.1 Uni amjuiilo W E BC é relativamente com/pacto se, e somente se, Wo — {'«o : u € W}

c relativamente) compacto em B e Wj; = {«| : u G W} c relativamente compacto em C(J,X).

Iniciamos esta seção estudando o problema de Caucby abstraio com condição não local

Jt[x'(t)+0(^x1)] = Ax(t) + f(t,xt), tei,

XQ = p(<p,xll,xt2,...,xln),

:i;'(0) = q(<p,xtl,xt.i,...,xtn),

onde ]>{•) : £?'l+1 B c q(-) : B'lil —> X são funções contínuas que transformam conjuntos

fechados e limitados em conjuntos limitados. Os números Np(r) e Nq(r) são definidos por

5 1

Np(r) = sup{||p(VOIIfí : V' G i?r(0, e A ^ r ) = sirp{1 k/(VO11 : e 5,.(O, S n + 1 ) } .

Quando p(-) e q(-) são limitada,s utilizamos as notações Np — s\ip{||p(V->)||/? : ij) G fí,t+1} e

Nq = sup{\\q(ip) || : fi G Bn+l}. Além disso, assumimos que /(•) e ry(-) cumprem as seguintes

propriedades gerais.

(Hi ) As funções / , g : I x B —> X sat isfazem as seguintes condições do tipo Caratheodory:

(i) / ( / , , •), (/(/., •) : B -> X são contínuas ])a,ra quase todo t G .7;

(ii) Para cada, i/> G B, as funções /(•, fi) | j > //('i V;) | j J X são fortemente mensuráveis.

(H2) Existem funções integráveis inf,mg : J —> [0,00) e funções contínuas não decrescentes

Wf,Wg : [0, 00) - » (0,oo) tais que

Para simplificarmos o desenvolvimento de nossos resultados tornaremos W = m a x { W j , W g } .

Observação 3.2 Sc u(-) c uma solução de classe C2 do sistema (3.1)-(3.3) tal que t f(t, Ut) e

t —> (j(t,iit) são integráveis e í - ) g(t,u{) c suficientemente regular, ternos que

u(t) = C{t)p{<p,utl,ut2,...,utn){0)+S{t)q{<p,ut1,ut2,...,utn)- / S(t — s)—-g(s,us)ds

u{t.) = C{t)p(ip, ut), uh, • • • , u,„ ) (0) + S(t) [q(<p, uh , u,2,. .. , uln) + g(0,p(<p, uh , uh'«,.„))]

Considerando a observação anterior, introduzimos o seguinte conceito de solução fraca para

Definição 3.3 Diremos que uma Junção x : I X é uma solução fraca do problema (3.1)-(3.3)

se x-o = p{<p, xh • xtn) e

II f{t,ip) II < rnf(i)Wf(\\fi\\B), (t.pij)) e J x B,

\\g(t,fi)\\ < vig(t)Wg(\\fi\\B), (t,ip) £ d x B.

o que implica,

(3 .1) - (3 .3) .

x{t) = C(t)p{ip, x t l x l n ) (0) + S{i)[q(<p, xtl,..., xtn) + fl(0, p(ip, xh,..., xtJ)} (3.7)

- / C{t - s)g{s,xs)ds + / S(t — s)f(s,xs)ds, t G J.

Estamos agora, cm condições de estabelecer nosso primeiro resultado de existência.

T e o r e m a 3.4 Assuma que as condições ( H i ) c (H 2 ) são verificadas. Suponha, além disso, que as

seguintes condições são válidas.

(a) Para cada 0 < /' < t e r > 0, os conjuntos U{i, i',r) = {S[t') f {s,'f>) : s G [ ( ) , / ] , || fi ||FC-< r} e

(/)(/.//') {<j{s,fi) : S C [ 0 , / , ] , || ij) ||Y< ' / ' } sao relativamente compactos em X;

(b ) A junção p(-) é limitada e completamente contínua.

(c ) A função q(-) é limitada e o conjunto V(t,r) = {S(i)q(tp) : ip G B r (0, B'1"11)} é relativamente

compacto em X para cada t G J e todo r > 0.

Se

na ds K ^ Í N , + N,„/W) „,<l — . 0.8)

onde c --- (KNII + M)Np + KN(Nq -1- c0) , com c0 = sup{||ír/(O,'0)|| : MB < Np}, então existe

uma solução fraca de (3.1)-(3.3).

Prova: Seja T : BC -> BC a aplicação definida por

p{ip,xtl,...,xtn){t), t G (-OO, 0]

Tx(i) = (3.9) C(t)p{<p, xtl, • • • ,xtn){0) + S(i)[q((p, ) + (j(0,p{f,xtl,... ,3;,J)]

- / C(t- s)g(s, xs) ds + I S(t - s)f(s, xs) ds, i G J. J o J o

É claro de (Hi ) , (H 2 ) que F está bem definida. Mais ainda, T é contínua. De fato, seja {xk}k uma

sequência em BC tal que || xk — x 0. Dos axiomas do espaço Be a continuidade da função

p(-) obtemos que p(tp, x^ ,..., ) p{<p, xtl,..., xtn) e q(<p, x^ x$n) -> q(<p, xh, • • • , xtn) em

B quando k —> oc. Além disso, para cada l G J obtemos que

II -rz(í) II < NII ||p(<p,xkh,...,<) -p(<p,xtl,...,xtn) ||B

+N II q{ip, xktl,. . . , Xktn) - q(ip, xti,..., xtn) ||

4 , Xf , . . . , Xfr

+N Í II g(s,xk)-g(s,xs) || ds J o

+N I II f{s,xk) - f(s,xs) || ds, J o

5 3

o que nos permite concluir, a partir do Teorema da Convergência. Dominada de Lebesgue, que

Fun —» Pí/. em C(J : X). Isto prova que T é contínua.

Afim de aplicar o Lema 1.45, fizemos estimativas a priori para as soluções da equação integral

x -- AP(x), A £ (0,1). Seja ,xA <E BC uma solução de xx — AP(a;A), A G (0,1). Usando as notações

anteriores, para l G .7 obtemos que

|| ,:A(/.) || < NHNp + N(Nq+ || g(0,p(<P, 4 < ) ) II)

+ / (Nmq(s) + Nmf(s))W{\\ ,?:A \\B)ds. (3.10) ./o

Dos axiomas do espaço B e (3.10) concluímos que

II^HB < (KNH + M)Np + KN(Nq+\\9(0,p(<P,4>--->xtn))\\)

+K I {Nms{s) + Nmf{s))W{\\ \\B)ds. J o

Denotando por f3\(t) o lado direito da última desigualdade, encontramos que

P'x{t) < K{Nmg{t) + Nmj(t))W(Px{t)).

Em vista que (0) < c obtemos

l m - L m - L i N " " { s ) + W m , ( s ) ) " s < l m -

o (piai nos permite concluir que o conjunto : A. G (0,1)} é uniformemente limitado sobre [0,a]

e portanto que o conjunto {.ta : A G (0,1)} é limitado em C(J,X). Da limitação da função /;(•),

concluímos agora que {xx : A £ (0 ,1) } é limitado em BC.

Agora, provaremos que F é completamente contínua. Para este fim, consideremos a aplicação

Pj : BC —> BC definida por

TMt)

0, t G ( -00 ,0 ] ,

I C{t- s)g(s,us)ds + I S(t - s)f(s, us)ds, t G J. .1 o J o

Vemos facilmente, que nossas hipóteses implicam que (P - Pi) é completamente contínua. Para

concluir que T é completamente contínua basta provar que Ti (Br(0, BC)) é relativamente compacto

em BC para todo r > 0. Seja r > 0, r* = (K + M)r e Br = B r (0 , f íC) . Como [YiBr)0 = {0 } , é

suficiente provar que Piii r| , 6 relativamente compacto em C(J : X).

Mostrare mos inicialmente que o conjunto F]/?r|; é equicontínuo sobre J. Fixemos t £ J e seja

c- > 0. Da continuidade forte de C(-) e condição (a) existe 6 > 0 tal que

II (C(i + h - ,s) - c{t - .s))fl(.s, VO ||< f , II •>!> ||k< 7-*, .s e [0,/.],

quando |/i.| < ó. Além disso, usando que a função Seno é Lipsclutz sobre J, para x £ Br o |/t| < 6

com /. + //, £ J obtemos que

II + II ft rlXh

< J II (C(t, + h - s) - C(i - ^O-V^) II ds + N I II g(s, xs) || ds

fL _ /'H-/i + /o II S(í + ^ - s) - 5(í - 5) IIII f(s,xs) II ds + N I II f(s, xs) II ds

pt+h pi _ rt+k < ct + NWn{r*) / mfl(s)ds + NhWj(r*) / rnf(s)ds + NWf{r*) / mf(s)ds,

h Jo Jt

0 cjue mostra que TiB r c uniformemente equicontinuo sobre J.

A seguir provamos que o conjunto TyB1.(/,) = {Fia;(í) : x £ Br] é relativamente compacto em A',

para cada t £ J. Fixemos t £ J e seja e > 0. Como U] (í ,r) é um conjunto relativamente compacto

em e C(-) é fortemente contínua, temos que [72(/;,r*) = {C(t - s)g(s, ip) : 0 < .s < /, || ||B< ?'*}

é relativamente compacto em X.

Fixemos agora 0 < í < a e pontos 0 = sj < s2 < ••• < sk = t tais que sm-i - Sj < ô para cada

1 = 1,. .. , k. Assim, para x £ Br obtemos que

'+1[S{s) - S{Si)]f(t - s,xt-s)ds || < ÔNWf(r*) í" mf(s)ds.

Dessas observações e aplicando o Lenia 2.17 obtemos que

F l X { t ) = - I C{t-s)g{s,xs)ds + í S(si)f{t-s,xt-s)ds Jo J=] JSi

+ E lS'+\s(s)-S(si))f(t-s,xl-s)ds

k-i £ t co(U2(Lr^Y) + J2(si+1 - Si)co(U(t,Si,r*)) + jB}(0,X),

i—l

onde co(-) denota a envoltória convexa e 7 = ÔNWf(r*) J0" ?nj(s) . Como ô é arbitrário, concluímos

que r,7? r( / ) é um conjunto totalmente limitado e portanto relativamente compacto em X.

Do Teorema de Arzelá-Ascoli inferimos que F]7ir|; é relativamente compacto em C{J, X) o que

completa a prova que F é completamente contínua.

Finalmente, o Lema 1.45 permite concluir cpie existe uma solução fraca de (3.1)-(3.3). A prova

está completa. IS

Na maioria das situações de interesse prático a função seno é compacta. Esta é a motivação

para o próximo resultado, o qual é uma. consequência direla do Teorema 3.4.

Corolário 3.5 Assuma que (Hi) e (H2) são satisfeitas, que S(t.) é compacto para lodo t G R e

que as seguintes condições se verificam.

(a) A função f transforma conjuntos limitados e fechados em conjuntos limitados e que para todo

0 < t < a e r > 0 o conjunto U\(t,r) = {(]{*, fi) s G [0, í],|| ij'> ||g< r } é relativamente

compacto em X;

(b ) As funções p(-) e q(-) são limitadas e p(-) é completamente contínua.

Se a desigualdade (3.8) é verificada, então existe uma solução fraca de (3.1)-(3.3).

No próximo resultado, removemos as condições que/;(•), q(-) são limitadas cp(-) é completamente

Teorema 3.6 Assuma que (Hi) e (H2) estão satisfeitas c que as condições seguintes são

(a) Para cada 0 < i! < t e r > 0, o conjunto U(t,t',r) = {S(t')f{s, fi) : s G [0, í],|| fi ||B< r ) é

relativamente compacto em X;

(b ) Existem constantes positivas Lg e Lp tais que

(c) A função q(-) c localmente limitada e para cada t G 1 e cada r > 0 o conjunto

V(t,r) = {S{1.)q(ij)) •• fi G Br(0, Bn+l)} é relativamente compacto cm X.

contínua.

vem

I! r/Ml) - g(tfi2) II < Lg |j - fi'2 lis, t G 1, lÍH G B,

Se

(.Ka + Ma) + NH + NLg)Lp + NaLgj +

~ í N (r) VI {Ka + Ma)N {n + 1) lim inf + lim mf -

7' —> + oc r r —> + cxi

Wf ( r ) f a 1 w A / mf(s)as J o J

< l

então existe, uma solução fraca de.

Prova: Soja P a aplicação definida na prova do Teorema 3.4. Afirmamos que; existe r > 0 tal que

R(Br(0, BC)) C Br(0,BC). Provemos esta afirmação por absurdo. Neste caso, para cada r > 0

existe xr £ B r (0 ,BC) tal que || r.7;?' \\BC> R, o que implica que

r <1! (^r)<> ||« + II r v ||„

< nLv{K„ H- Mu)r+ || 0, • • • , 0) \\B +NH[iiLl,(Kll + M„)?H- || p{<p, 0,. .. , 0)

+NNg{{n + 1) m a x { { K a + Mn)r, || <p ||p}) d- NLg{nLp(Ka + Ma)r+ || p(<p, 0 , . . . , 0) \\B]

+N || .9(0, 0) || + NLga(Ka + Ma)r + N I || g(s, 0) |j ds + NWf((Ka + Ma)r) ílrifis) ds. J o ./o

Portanto, segue-se que

1 < n{Ka + Ma) (1 + NH + NLg)Lp + Na{Ka + Ma)Lg

+N(n + l){Ka + Ma) liminf ^ ^ + N(Ka + Ma) lim inf í mf(s)ds,

r—> + oo r r-> + oo r J o

o que contradiz nossa hipótese.

Agora consideremos a aplicação Ti : BC —> BC definida por 0, t £ (-00,0].

l\x(t) = { ri (3.11) S(t)q{<p,xtl,...,xtn) + I^ S{t-s)f(s,xs)ds, t £ j .

Seja ?'o > 0 tal que T(i?ro(0, BC)) C Bro(0, BC). Arguindo como na prova do Teorema 3.4, podemos

provar que P] é uma aplicação completamente contínua. Além disso, se Py := T — T], da estimativa

r2U - P2t' ||bc < (Ka + Ma) [n(l + NII + NLg)Lp + NaLg u - V ll^f;

concluímos que P2 é uma eontração sobre Bro{0, BC). Assim, P], P2 verificam as condições do Lema

1.46 sobre Bro(0,BC), o que nos permite concluir que existe unia solução fraca de (3.f)-(3.3). A

prova está agora completa. E

Prosseguindo com nosso trabalho, discutiremos a existência de soluções para o problema de

Cauchy abstrato (3.4)-(3.6). Em vista que os resultados são similares àqueles estabelecidos na

primeira parte desta seção as demonstrações serão convenientemente resumidas. Para estudar este

problema introduzimos as seguintes condições técnicas.

(H3) A função f\ IxBxX-^X satisfaz as condições do tipo Caratheodory:

(i) A função /(/,, •) : B x X -» X é contínua para quase todo t £ ,7;

(ii) Para cada (ip, x) £ B x X, a função f{-,ilb,x)\j é fortemente mensurável sobre ,/:

5 7

(iii) Existe unia função integrável m / : J ->• [0, oo) e uma função não decrescente

Wf : [0, oo) ---> (0, oo) tal que

II / M v - 0 l l< MJ(T)WJ( II FI llfí + || .x II), M v r ) G J X B X X .

(H4) A função (J : 1 x B x A' -•» AA é contínua, / / ( / x B x X --> A7) G E o verifica as seguintes

condições do tipo Caratheodory:

(i) A função g(t, •) : B x X E é contínua para quase todo i G J;

(ii) Para cada x) G B x X a função </(-,^,.T)| é fortemente mensurável sobre J.

(iii) Existe uma função integrável 'ing : ,7 — > [0, 00) e unia função contínua não decrescente

Wa : [0,oo) ~> (0, 00) tal que

\\g(t,fi,x)\\E < m,g(t)Wg(\\fi\\B + || x ||), (l,^,x)eJxBxX.

(iv) Existem constantes positivas C\, 6*2 tais que

II g(t, VA x) || < Q (|| ip + || .T ||) + C2, (t, 4', x) eJxBxX.

(H5) As funções p(-) : Bn+l —> B e q(-) : Bn+l -> X são contínuas e transformam conjuntos

fechados e limitados em conjuntos limitados. Mais ainda, para cada ip G £ ? N + 1 , p{ip){0) G E,

a função p( ' ) (0) : Bn+] —> E que associa ip —> ú contínua e transforma fechados e

limitados em limitados.

Como mencionamos anteriormente, Np(r) — supd lp^ l l f í : fi G Br(0,Bn+])} e Nq(r) =

sup{||ç('</>)|| : fi G I3r{í),Bn+1)}. Escrevemos também N ^ r ) = sup{||7;(^)(0)||/.; : V G Br{0,Bn+])}.

Se p(-) c q(-) são limitadas, representamos por Np e Nq os supremos de ||P(-)||b c lk(')ll)

res])ectivamente. Lembramos que A^ > 0 é tal que || AS(t) \\C{E-.X)< M P a r a T G J.

Até o fim desta seção, Y = BC x C(J : X) está. munido da norma || (u,v) ||y = |i u IIBC + II v IL-

P a r a s impl i f i car a n o t a ç ã o , e s c reveremos BR = BR(0,Y), W = m a X { W F , W G } , MP = MA.X{NP,NP},

p{ti,V,u) =p{(p,xitl,ut2,...,utn) e q{ti,<p,u) = q{tp, utl, ut-2,... , utn).

Para obter alguns de nossos resultados usamos o seguinte Lema.

L e m a 3.7 [31, Lema 1.1] Seja h : [0, a] -> E urna função integrável e continua em X. Então a

função v definida por v(t) = / C(t - s)h(s) ds é continuamente diferenciável, s --> AS{t - s)h(s) Jo

é integrável de [0,/,] em X e

v'(t) = h{t) +A I S{t - s)h{s) ds = h{t) + ( AS(t - s)h(s) ds. J 0 Jo

5 8

Introduzimos o seguinte conceito de solução fraca.

Definição 3.8 Diremos que uma função x : 1 -> À' é solução fraca de (3Jf)-(3.6) se x:o — ? > ( / . , x ) ,

x | ÇC\J:X) c I.I

x(í) = C(t)p(U, <A :/:)(()) + S(t)[q(t-i,<P, + </((),p(ii:<p, x),x'(0)} - Í C(i - s)<j(s, 3:S) x'(s)) ds ./()

+ I S(t — s) f(s, xs, x'(s)) ds, teJ. (3.12) Jo

Pela. definição 3.8, se «(•) c uma solução fraca, de (3.4)-(3.6) e as condições (H 4 ) - (Hs) são

satisfeit.as, então das propriedades da, função eosseno e Lema 3.7 obtemos que .tj £ C] (J : X) e

que

x'(t) = AS(í)p(ti, (p, a;)(0) + C(i)[q(ti, ip, x) + y(Q,p(ti, ip, x), .?;'(()))] — g(t, xg, x'(t))

- í As(l-s)g(s,xs,x'(s))ds + í C(t~s)f(s,xs,x'(s))ds, í £ J. Jo Jo

Estamos agora em condições de estabelecer nosso próximo resultado de existência.

Teorema 3.9 Assuma que as condições (H3), (H4) e (H5) são satisfeitas. Suponha também que

as seguintes propriedades são válidas.

(a) Para cada r > 0, os conjuntos Ur = f(J x Br(0,B x A")) c Vr = g{J x Br(0,B x A ) ) são

ivÀatiarncnte compactos em X e E respectivamente.

(b) As funções p(-) : Bn+l B, p(-){0) : Bn+l E c q(-) : Bn+l -> A são limitadas e

completamente contínuas.

(c) A função g : I x B x A" —> X é completamente contínua e para cada r > 0, o conjunto de

funções {t —> g(t,xt ,v(t)) : x £ BC, v £ C(J : A ) } é equieontínuo sobre J.

Se fl := 1 - C\ (1 + N + KaN) > 0 e

d f a f°° ds -J (mg(s) + mf(s))ds<J& ^

i'

onde c = [MaMp + Ka(NAfpH + N{Nq + C\Áfp + C2)) + (1 + N^Up + N(Nq + C{MP + C2))]

e d = Ka(N P N) + (1 + N){Ni + N), então existe uma solução fraca de (:iJ,)-(3.6).

5 9

Prova: Sobre o espaço Y — BC x C(.J : X), definimos P : Y Y ])or P (u ,v) — (Pi (u,'/;), PsC»-, ?•>))

onde

[ v , v ) ( l . )

p{ti,ip,u){t), Í C ( - - o o , 0 ] ,

C(í)p(U,<p,u)(()) 4 S(i)[q(U,^u) + !j(0,p(U,f,u),v(0))}

- C ' ( t - s ) f f ( s ,u , , v ( s ) )ds - l - / S ( i - s ) J ( s , u , , v ( s ) ) d s , /. c J , ./o ./o

P2(n, «)('•) = AS(t)p(t,: cp, u)(0) + C(1.Mti,<p, u) + g(0,p(U, ip, u),,;(()))] - a(t, uL)v(t))

- í AS(t - s)<,{s, uK,v(s))ds + I c(t - s)f(s, ux,v{s))ds, t G J. (3.14) Jo ./o

Como p(ti,ip,u) G 7í e <y : / x B x X —> E é contínua, segue-se que P ( I Í , I I ) é contínua sobre J e

P(« , V) G Mais ainda,, usando que a família de operadores AS(t) é fortemente contínua sobre E,

])odemos provar usando o Teorema da Convergência Dominada que P é contínua.

Suponha agora que ( u x , v x ) é uma solução da equação integral (u,v) = ÀP(i/,,u), A G (0,1). Da

definição de P, para t G J temos que

I! ux{t) |[ < NJ\fpH 4- N[Nq 4- Cj (|| p(tu ux) ||g + || i>A(0) ||) + C2]

N I mg(s)W(Ka || ux ||, +Ma || ux ||B + || vx(s) ||)(/,s Jo

+N í m}{s)W(Ka || ux ||, +Ma || \\B + || vA(.s) \\)ds Jo

< NMplí + N{Nq + C}MV + C2) + NC\ || vx ||t

+ I\NVI(I(S) + Nrnf(s)}W(Ka || ux ||s + M „ || ux \\B + || vx ||,)ds Jo

II v\t) II < sup II AS(s) ||£(1':A-)II p(ti,ip,ux)(0) IIE +N[Nq 4- CX{NP+ || vx(0) ||) + C2] se./

+C$Ka || ux ||í +Ma || uA ||fí + || vx(t) ||) + C2

+ T II AS(t - s) \\C(Y-.X)\\ 9(s,ux,vx(s)) ||i£ ds Jo

+ f Nmj{s)W{Ka II uX II, +Ma || ux ||B + || t;A(.s) \$ds Jo

< Ah Mv + N{Nq + Ci Afp + C2) + C2

+C\(Ka II vx II,. +Ma || ^ ||B + (1 + N) || ||t)

+ í [Ari nig(s) 4- Nmf(s)}W(Ka || ux ||s +Ma |j ux \\B + (1 + N) || t>A \\s)ds Jo

G O

Observando que || u^ Mp e usando a notação ax(i) = M„Arp + Ka || ux ||,s +(.1 + N) || vx ||.s,

obtemos a partir das desigualdades anteriores que

ax{t) < MaNv -I- Ku [NMpII + N{Nq + C7,Mp + C2)} + K„C, Nax(/.)

-VK„ I [Nu,„{») d MH;(sp'(rvA(.s))r/.s d- (1 + N)[NiAíp d N(Nq + C\Aíp + C2) d C2] ./o

4(1 + N)Cl(yx{t) + (1 + N) [ [/Vj?n9(.s) + Nmf{s)}W (ax {s))ds Jo

< M„Arp d Ka [NAfpII d- N(Nq d- C, Aíp d- C2)\

d-(l + K)[N\AÍV d- N(Nq + ChMp + C2) d C2] + (1 + N d- / ( „Af)C 1 ( t A ( í )

+Ka í [Nvig(s) + Nrnf(s)]W(ax(s))ds Jo

+ (1 + N) I [Nprigis) + Nmf{s)}W{ax{s))ds Jo

de onde concluímos que

ax{t) < - + - I K ; ( s ) + mf{s)}W{ax{s))ds, t e J, (3.15) /'• ll Jo

])ois //. = 1 - Cl (1 d- N + I\aN) > 0.

Denotando por fi\(t) o lado direito de (3.15) obtemos que

o que implica

i m < - K ( í ) + " 7 ( 0 ) ^ ( ^ ( 0 ) ,

"/3a(í) ds d f" f°° ds < - / rrig(s) +rrif{s)ds <

JMo) ~ llJo ^ ^ ( s ) '

o qual permite inferir que {/?AW : G (0,1), t £ J } é limitado. Portanto, {( ' Í Ía ,?;a) : A £ (0,1)} c

limitado cm Y.

Para aplicar o Lema 1.45, resta mostrar que P é completamente contínua. Da prova do Teorema

3.4 é fácil concluir que Pj é completamente contínua. Para estudar a função P2, introduzimos a

decomposição r 2 = r 2 + P2 d- P2 onde

rl{u,v){t) = A5(í)p(íI,^,íi)(0) + c(í)[(/(íI,(p,ti) +4(0,^,^)^(0))] -g{t,uuv{t)),

1 i{u,v){t) = - AS(t - s)g(s, us,v(s))ds, Jo

T32(u,v)(t) = I C(t-s)f(s,us:v(s))ds. Jo

6 1

A partir das propriedades de g, ]>,(], podemos deduzir facilmente que l'.] é completamente contínua.

Vejamos agora que r f e também completamente contínua. Sejam e > 0, r > 0, 13r = Br(§,Y) e

r* = (Ka d- Ma d- l)r. Usando que Vr* = g(J x Br*(0,B x X)) é relativamente compacto em Eco

fato que a família AS(t) é fortemente contínua sobre E, podemos fixar ô > 0 tal que

|! AS{t)x - AS(.s)x j|< f, x C? Vr*

quando \t - ,v| < Ó e i,s € J. Assim, para 0 < \h\ < ó, l e J c h tais que 0 < /, + h < S < < a

obtemos ciue

r min {t,1 + h}

II 1 i(u,v)(í + h) - Vl{u,v){t) || < / || (AS(i + h - s) - AS(i s))g(s,us,v(s)) || ds J o

rinaxjí ,t-\- h]

d- / sup II AS{0) ||£(yiA')|| g{s,us,v{s)) 11/5 ds Jmm{l,t+h) 0 C [ 0 , « ]

rt+h

< ea d- N\W{r*) J mg{s)ds,

o que prova que o conjunto { l ^ : (u,v) £ B r ] é uniformemente contínuo sobre J.

Por out.ro lado, usando novamente que a família AS(t) 6 fortemente contínua em E e que Vr é

relativamente compacto em E, inferimos que o conjunto {AS(t)x : t £ J, x £ VT) é relativamente

compacto em X . Agora, pelo Lema 2.17 temos que

rl{u,v){t) £ tco({AS(s)x : s £ J~x £ Ur»f),

o que prova que {P?2(u,v)(t) : (u,v) £ i?r(0, F ) } é relativamente compacto em X.

Do exposto anteriormente, concluímos que P2 é completamente contínua.

Usando os mesmos argumentos que no estudo de P^, podemos mostrar que FÍj é completamente

contínua. Omitiremos os detalhes desta parte da prova.

Finalmente, uma aplicação do Lema 1.45 prova a existência de um ponto fixo para I1 e

consequentemente a existência de uma solução fraca para (3.4)-(3.6). A prova está completa. •

Seja •//-' £ B tal que i/>(0) £ E. No que segue-se, escrevemos || ip = i/> d- ||

Teorema 3.10 Assuma que a condição (H3) é satisfeita. Suponha, além disso, que as seguintes

propriedades são válidas:

(a) Para cada r > 0, o conjunto U(r) = f(J x Br(0,B x X)) é relativamente compacto em X.

6 2

(b ) As funções p(-)(0) e <j assumem valores em E, p(-)(0) : 5 " 4 1 E c contínua c limitada,

(} : J x B X X E c contínua e existem constantes IJp, Eq c J,g tais que

71+1 II p{-f> 1, '02, • • •, 1) - K ò , 6 , • • • ,6<+i ) IUv-:

II <y('</;J>V'2,• • • ,Vòh i ) - 9 ( 6 , 6 , • • • , 6 , < 7,

4 E II - Ci Ib

II '0/ - 6' IIB i-.l

.<?(*, TL > ) - .</(*, •'•'2) II/.; < '01 - V'2 ||B + II ''d - X-2

para iodo tpi^i G fí e todo x, G

5e

0 := n( 1 + iVj + TV/Í) (/-ífl + M„)LP + + M„)L f /

+ [Àr + N + a(N + N}){Ka + Afa + 1 )}Lg + ti(JV + N)(Ka + Ma)L„Lg

('•) r r w ^ 1 — / uifisjds < 1

+ (W + J V ) ( / < r „ + M f l + l ) l i m i n f

então existe uma, solução fraca de (3(3.6).

Prova: Seja P : Y —> Y o operador definido 11a prova do Teorema 3.9. Usando os mesmos

argumentos da prova do Teorema 3.9 concluímos que P(ti,t') G Y e que P é contínua. Afirmamos

que existe 7- > 0 tal que r (Z? r (0 ,y) ) Ç B,-(0.Y). Para mostrar nossa afirmação argumentamos por

absurdo. Suponha que para cada r > 0 existe (u1, v r ) G Dr(0,Y) tal que || T{ur,vr) ||y> r. Nestas condições temos que

II Ti(«>'") hc = ||p(í^,^r)llz? + ||ri(u',7;r)||a n

< ^ ( E l K ^ + l l v l l ^ + H ^ ' 0 ' 0 ) ^

+NII

+N

+NL

• M E K H* + H«)+ II 0,0) |U i=i

n

L „ ( E II uU b + I M ! s ) + I U ( ^ , 0 , 0 ) II i=i

l p Y 1 11 «ii HB +11 v 2=1

+ / NLg(|| < ||B + || vr(s ,7 o

+ /" ^/(sjWdl u'- ||b + || vr{s) 11)d,s J o

+ N || g(Q,p(tl, 0, 0), 0) II

ofs.0,0) II ds

3

u(l + NH)Lp(Kn + M0)r 4 (1 4- NIl)Lp || <p ||tí 4 (1 4 NI]) || ?;(/,, 0,0) \\B

+nNLq(Ka 4- Ma)r + NLq || y, ||« -|-N || </(/,-, 0,0) ||

+nNLaLj,(Ka 4- Ma)r + NLgr 4- N || r / ( 0 , ^ , 0 , 0), 0) ||

+ NaLg{Kn + Ma + l)r + N f j| ry(.s,0,0) || ds JO

-\N]V{{Ka-\-Mu + l)r) / ;nf(s)ds Jo

(3.10)

L\{UR,VR) ||„ < s u p |( AS(T) \\c(E:X)\\p(U,<P,URM 0 < í < a

+N - M E li + li 0(kA0) || i=i

+NL0 LpJ2 II O + 11 v r(o) II í=i

+ N\\g(0}p(tiA0),0) ||

+Lq(\\ « [ \\B + II vr(i) II) 4- sup / II AS(t - s) ||£(/,;:A-)|| g(s,V^tf(s)) || K ds 0<t<uJ0

4-N j" II f(s,ursy(s)) II ri, Jo

< nN\Lp(Ka 4- Ma)r + Nv [Lp || cp ||B + || p(tu 0, 0) (0) + nNLq(Ka + Ma)r

+N[Lq || <p \\B + || ^,0,0) ||] + nNLgLp(Ka + Ma)r + NLgr

+N || g(0,p(ti,0,0), 0) || +Lg(Ka + Ma + 1 )r 4- NiaLg{Ka + Ma + 1 )r

+N\ I 1 || g(s, 0, 0) ||K ds + NW((Ka 4- Ma + l)r) I mf{s)ds. Jo Jo

Das desigualdades anteriores obtemos

r < II r ] ( í í r , ? / ) \\BC + II i W , t / ) lia

< C + n{ 1 4- Nx + NIi)(Ka + Ma)Lpr + nN{Ka 4- Ma)Lqr

+ [N + N + a{N + iVi)(Ka 4- Ma + 1 )}Lgr + n{N + N)(Ka + Ma)LpLgr

+ (N + N)W((K + M + l)r) I mf{s)ds, Jo

onde C e uma constante independente de r > 0. Tomando limite na última desigualdade obtemos

que

1 < n( 1 + Ni + NH)(Ka 4- Ma)Lp + nN(Ka 4- Ma)Lq

+ [N + N 4- a{N + iVi)(tf„ 4- M„ 4- 1 )}Lg + n(N + N){Ka + Ma)LpLg

W(r) Ia + (N + N)(K + M + 1) lim inf — / 'nij{s)ds,

r ->oo r ,7o

(li

o qual e absurdo.

Seja. ?•() > 0 la! que P(Bril (0. Y)) C Bra(0, Y) o consideremos a. decomposição F = F1 + P2

onde r 1 ^. , v) = (r}(u,v),rl(u,v)), (T](v.,v))o = p(t.u<p,u), T2(u,v) = (r'f (u,v), P2(u, v)),

(r'í(u,v))0=Oc

F] (u, v)(l.) =•• C(t)p(tj,ip, u)(0) S(t)[q(t,,ip, v) + <,(() ,p(tu ip, u), ,;(0))]

- / C{i- s)g{s,us,v{s))ds, 1- G J, Jo

r'i(u,v)(i.) - [s(t-s)f(s,us,v(s))d,,tej, Jo

rl(u,v)(t) = AS(t)p(ti,v,u)(0) + C(tMU,<p,u) +g(0,p(u,<p,u),v(0))]

-g{t, ut, v(t)) - í AS(t - us, v(s))d», i <E J, Jo

F l (u ,v) { t ) = I C(t-s)f(s,us,v(s))ds, te d. Jo

Da prova do Teorema 3.4 sabemos que F2 = (F2, T^) é completamente contínua em Y. Por outro

lado. usando as condições Lipschitz de p, q e g obtemos

II r1^,,?;) - r 1 ^ ) Ur = II r l (u ) W ) - r \ ( u , v ) \\BC + II r ^ u . v ) ||q

< (1 + NIí) \\p(ti,<p,u)-p(U,V,u) I IB+nNL q (K a + Ma) \\u-u\\BC

+NLg(\\ p(ti,ip,u) -p{ti,(p,u) ||e + \\v - v ||„)

+NaLg[{Ka + Ma) || u - u \\BC + \\v-v ||„]

4-sup || AS(t) \\c(E:X)\\p(U,V,um -p(tuy,ú)(0) |U; íe j

+nNLq(Ka + Ma) || ÍÍ - u ||KC

+NLa{\\p{tu<p,u) -p{tUip,u) ||B + || v - v ||a)

+Ly[(Ka + Ma) || u - u \\BC + || v - v ||a]

4-sup / || AS(t - s) H ^ ^ Lq[{Ka 4- Ma) || u-u \\BC + II v-v ||a]ds te./ Jo

< n{ 1 + N, + NH)(Ka + Ma)Lp || (u,v) - (u,v) ||y

+nN{Ka + Ma)Lq || {u,v) - (u,v) ||y

+ [N 4- N + a{N + N^Ka + Ma + 1 )]Lg || (u, v) - ( « , v) ||y

+n(N + N){Ka + Ma)LpLg || (u, v) - (u,v) ||y < e II (u,v) - (u,v)

o que prova que F1 6 uma contração de B r o (0 ,Y) em B r o (0 ,Y) . A existência de uma solução fraca

_

é agora, unia consequência do Lm na 1.4G. A prova está agora completa. Cá

A existência de soluções pode ser estabelecida usando uma condição de compacidade sobre q.

Corno a prova do próximo resultado é análoga a do Teorema anterior, decidimos omitida.

Teorema 3.11 Assuma que. as condições (H3), (H 4 ) e (H5) são saiisfe.Uas. Suponha além disso

que as condições seguintes são verificadas:

(a) Para cada r > 0 o conjunto U(r) = f(] x Br(Q,B x A")) é relativa.nie.ntc compacto cm X.

(b) A função q(-) é completamente contínua e ]>(•)({)) é limitada em E.

(c) Existe urna constante Lg > 0 tal que

II <)(tAl> 1,3--]) - / v M ' 2 , s 2 ) ||i< Lg{II Vt - V2 He + || Si - II), A XiE X.

(d) Existe uma constante Ep > 0 tal que

7 1 + 1

l b ( 6 > Ò , - • • , 6 1 + 1 ) - P Í ^ i . V - ' 2 , - • • , V ã H - i ) l l B < L p Y L H & ~ G B -

7=1

Se

[n(l + NII)LP + (1 + a + Na)Eg + (n + 1 )(N + N)EpEg)(Ka + Ma + 1) N}. (r) ~ Nn(r)

+ (n + 1 )(Ka + Ma d- 1) lim inf + (n d- l)(Ka + Ma + 1)(N + JV) lim inf r— >+00 r > + 00 r

Wr(r) fa + {Ka + Ma + 1) {N d- N) lim inf / r n f ( s ) ds < 1,

r—> + co V J o

então existe uma solução fraca de (3.Jt)-(3.6).

3.3 Soluções Globais

Nesta seção discutiremos existência de soluções globais para o problema não local (3.1)-(3.3).

Até o final desta, consideraremos J = [0, oc). || C{t) ||< N e || S(t) ||< N, para todo t > 0.

Assumiremos que as funções M(-),K(-) são limitadas, respectivamente, pelas constantes M, K e

que as funções p(-) : Bu + ] -¥ B c </(•) : Bn+l —> X são contínuas e limitadas. Como antes

Np = sup{||p('0)||B : G Bri+A) e TV, - sup{||^)|| : V> e Bn+I},

e introduzimos C = (KNPI d- M)NP + KN(NQ + c0), onde c0 = sup{||.ç(0, VOII : U\\B < NP}.

GG

Para mostrar nossos resultados, as condições (H'i) e ( II 2 ) são referidas a J = [0, oo) e

assumiremos que as funções m/,mg : J J são somente localmente integráveis. Além disso,

abreviaremos a notação escrevendo W = INÍIX{WF,WFÍ}. Similarmente à definição 3.3, diremos que

uma função x : IR ->• A' é unia solução fraca do problema (3.2)-(3.3) se XQ — p(<p, x^,...,&•{) e

(3.7) é verificada sobre [0, oo).

Seja h : [0, oo) -•> (0, oo) uma função contímia não decrescente com /t(0) = 1 e tal (jue h(i) —> oo,

quando / —> oo. Denotareinos ]>or Cjj(X) o espaço formado por funções contínuas x : [0, oo) —> X

tais que ^ * .L')....íl —> o /, - » <x> munido com a norma ||.'rjj/, — sup f > 0 - ' [ e por CQ (X) O espaço h{i) •• h,{l)

formado por funções contínuas x : [0, oo) X que se anulam no infinito munido da norma da

convergência uniforme. Nesta seção BCH denotará o espaço de funções u : K -> X tais que u0 6 B e uj £ Ch(X), munido com a norma |j u ||bc\ = || uO ||b + II l|/r Similarmente, BCft será o

subespaço formado por todas as funções x £ BC/,, tais que h~lx £ Go(X) .

No próximo resultado a aplicação 7 : [0, 00) —» [0, 00) é definida por 7(6') = NRIIG(s) + Nmf(s).

T e o r e m a 3.12 Assuma que as condições ( H i ) e (H2) são verificadas e que as condições seguintes

são satisfeitas:

(a) Para cada t £ ./, t' < t e r > 0 os conjuntos {S(i')f(s,tp) : 0 < s < t, \\il)\\s < r) e

{g{s,tp) : 0 < « < í, ||V;||B < r } são relativamente compactos em X;

(b ) As funções p(-) : B"+ 1 B e S(t)q(-) : B" + 1 -)• X são completamente contínuas, para cada

t > 0 ;

1 /•' (c ) Para cada L >0, / m(s)W(Lh(s)) ds 0, quando t 00.

h{t) Jo

Se 1 1 ^

lim sup - sup — - / j{s)W({K + M)rh(s)) ds < 1, 7'—>00 r 0 0 h\t) Jo

então existe uma solução fraca x(-) £ BCj} de

Prova : Para cada x £ BC" definimos Tx(t) como cm (3.9). Para cada í > 0 obtemos

| |P .T(Í) | | < NH\\p{<p,xh,... + N{\\q{ip,xtí,. • • ,ARF„)|| + \\g(0,p{^,xu ,.. .,xu

+ I '[Nmg(s) + Nrnf(s))W(\\xs\\B)ds. J o

6 7

Como Ha He < (K + M) || X [|BCH H(S) para cada S > 0, da expressão anterior resulta que

"TI^T"^ - -I- ^(\\(L(LP,'-I:LL,,...,XTII)\\ + 11.9(0 ,P{<P,XL S , . . . ,XL L I

+ ~ j\Nmg(s) + Nmf(s)}W((K + M) || z ||BC:h h(S)) ds, (3.17)

r*(<) II h(l)

Para ])rovar a continuidade de P, lixemos uma sequência (it");iC-pj que converge a. u em BCir

e aplicando (c) segue-se que. —JJ^— converge a zero quando /. —> 00. Isto mostra, que P G BCf .

Claramente, g{s,it,") -4 g(s,us), f(s,'ii™) —> f(s,us) para quase todo ,s > 0 quando n —> 00, e

\\f(s,u:)\\<nif(s)Wfms)), s > 0,

\\g(s,u'l)\\ <mg{s)Wg{(3h{s)), s > 0,

onde ft = (K + M)L e L > 0 é uma constante tal que ||u"||Bch < L, n <E IN, e ||u||Bch < L.

Como as funções à direita nas desigualdades acima são integráveis sobre [0,/;], concluímos que

|| Yun(t) — Vu(t) ||—> 0, quando n —> 00, uniformemente para t sobre intervalos limitados. Por

outro lado, desde que {u" : n G IN} ó uni conjunto limitado, o conjunto { I V ' : n G IN} também é , ' , II r v ( / ) - Tu(t) ||

limitado, o que nos permite inferir que para cada c > 0 existe /,Q de modo que TJt) ~

para todo n G IN ct> to- Reunindo estas propriedades, obtemos que r« n P u em Cjj(X) quando

n -4 oc. Assim, T é contínua.

Por outro lado, se x.x G BC® é uma solução da equação XT(xx) = xx, para 0 < A < 1,

encontramos que || ||e<|| (T2;A)o ||< Np. Repetindo as estimativas da prova do Teorema 3.4 e

usando a notação Ng = sup{|| g{0,p{fi)) ||: tp G Bn+l}, para t > 0 temos que ||.xA(í)|| < NHNp + N(Ncl + \\g(Q,p(<p,xl,...,xl))\\)

+ [ (Nmfis) + Nmf{s))W((K + M) || xA \\BCh h(s)) ds. J o

Isto implica que

M M s + ^ ^i[s)w((K + M n j h c h m i s

xX hch < Np(M + Nll) + N(Nq + Ng)

+ sup-J-r r,(s)W((K + M) || xA \\BCh h(s))ds. T>O N(T) JO

6 8

Se assumirmos que o conjunto {|j \\B(:,,'- 0 < A < 1 , } é não limitado, podemos tomar uma

sequência rn =|| xx" U^r/,,, 0 < A„ < 1, com rn —> oo, e obter que

1 < lim sup - - sup í <y(s)W({K 4 M)rh(.s)) rf.s, 71—1' ' t>0 ll\l) Jo

o que é um absurdo. Assim, o conjunto {|| :í:a \\BCH' 0 < A < 1, } é limitado.

Vamos provai' a;1,ora que r(./•?»•) é relativamente compacto no espaço BCj' para cada r > 0,

onde Bv = Br(U, BCjj). Como p é completamente contínua, é suficiente mostrar que r(/? r)Jy é r T

relativamente compacto em C ° ( A ) . Vejamos agora que { — : x G Br} é equicontírmo sobre [0,oo).

Corno {Fa; : x. G Br} é limitado sobre intervalos limitados, o argumento usado na demonstração do

Teorema 3.4 também serve para mostrar que {^Fs : x G Br) é equicontínuo sobre intervalos do tipo

[0, íoj- Mais ainda, vemos de (3.17) que ^ ^ —> 0, quando t —> oo, uniformemente para x em subconjuntos limitados de BC^, o que nos permite inferir que para cada e > 0 existe to > 0 tal que

F x (/) II — I I < e, para todo x G Br e todo t > íq. Estas duas propriedades implicam a equicontinuidade

h(t)

de {-j- : x G Br}.

Aplicando as hipóteses (a) e (b) e arguindo como na prova do Teorema 3.4, podemos concluir

que {F.T(Í) : x G Br} é relativamente compac to em X. Vx

Portanto, o conjunto { — : x G Br) cumpre as condições do Lema 1.42 o que implica que

este conjunto é relativamente compacto em Co(A) e, consequentemente que r(J5r)| é relativamente

compacto cm Cjj(X). Finalmente, a existência de uma solução fraca de (3.1)-(3.3) decorre do Lema

1.45. •

3.4 Soluçoes Assintotieamente Quase Periódicas

Nesta seção, estudaremos a existência de soluções assintotieamente quase periódicas de (3.1)-

(3.3). Continuaremos assumindo as mesmas condições e notações estabelecidas para as funções

eosseno, seno, rrif(-), mg(•), p e q na seção 3.3. Denotaremos por (Cft(A), || • ||oc) o espaço

de Banach formado por funções contínuas e limitadas de [0, oo) em X munido com a norma de

convergência uniforme. Modificamos levemente a definição do espaço AP(X), introduzido no

Capítulo 1. Especificamente, AP(X) é o espaço formado por funções x : [0, oo) X que são

quase periódicas sobre [0,oo), munido com a norma da convergência uniforme. Nesta seção BCb

denotará o espaço formado por funções u : R -> X tal que «o G B e «| G Ci(X) munido da norma

|| u ||BC(j=|| Uq j|s 4- || ?í[ ||oo e APs(X) e AAP$(X) serão os subespaços de BCb formado pelas

6 9

funções u tais que it| G AP(X) e u| G AAP(X) respectivamente.

Definição 3.13 Sejam Z, M7 espaçou de Banaeh. Dizemos que uma fauçâo fortemente continua

F : [0, oo) C(Z, W) ('fortemente, quase periódica separa cada z G Z a função F(-)z : [0, oo) — W

é quase periódica. Dizemos ainda que, F é uniformemente quase periódica, se F é quase periódica,

na norma em C(Z. W). Similarmente, definimos os conceitos de função fortemente assintoticamente

quase periódica e uniformemente assintoticamente quase periódica.

Como referências, citamos [30] e [27] para caracterizações de funções seno e cosseno quase

periódicas, respectivamente. A saber, Hernán e Vasquez [30] provaram o seguinte resultado.

Lema 3.14 [30, Theorem 3.2] A função S(-) c fortemente quase periódica se, c somente se, C(-)

é fortemente quase periódica e 0 (f: cr (A).

Aplicando o Lema 1.34, podemos obter facilmente um resultado mais simples que o Lenia

anterior.

Lema 3.15 Se. a função C(-) ó uniformemente limitada e S(-) é fortemente quase periódica, então

a função cosseno C(-) é fortemente quase periódica.

O próximo resultado é consequência direta do Teorema 1.43.

Lema 3.16 Sejam Z, W espaços de Banaeh, U C Z compacto e F : [0, 00) —> C(Z,W) continua e

limitada. Se F é fortemente quase periódica, então V = {F{-)z : z G U} é relativamente compacto

em AP{W).

Para a função seno, podemos obter o resultado anterior com condições mais fracas.

Propos i ção 3.17 Seja U Ç X c assuma que S(-) é, fortemente quase, periódica. Se o conjunto

{S(t)x : x G U, t > 0} c relativamente compacto em X, então V — {S(-)x : x. G U} é relativamente

compacto em AP{X).

Prova: Pelo Lenia 3.16, inferimos que o conjunto Vs = {S(-)S(S)x : x G U}, S > 0, é relativamente

compacto em AP(X). Por outro lado, como {S(t)x : x G U, t > 0} é relativamente compacto em

X, para cada e > 0 existe 5 > 0 tal que |j (I - C(s))S{t)x ||< e para todo 0 < s < 8, x G U e todo

t > 0. Segue-se que

|j S(t.)x - ~S{t)S{ô)x || = || \ í { I - C{s))S{t)xds |j< e, x G U, t. > 0. à à J o

7 0

Agora, da decomposição

S(t)x - + ($(i)x ~ ]s(i)S(6),;)

concluímos que

V C ~.VÕ + B({0,Ch{X)), o

o que prova que V7 é totalmente limitado em AP(X). A prova está completa. •

Em relação a compacidade do conjunto {S(í):>: : x G U, t > 0} estabelecemos o seguinte

resultado.

Propos i ção 3.18 Seja U C X e suponha que S(-) é limitada e fortemente quase periódica . Se

uma das seguintes condições são satisfeitas:

(a) U é relativamente compacto;

(b ) S(t) c compacto para cada t > 0, S(-) c uniformemente quase periódica e U é limitado.

Então V = {S{t)x •' x G U, l > 0} c relativamente compacto cm X.

Prova: Suponhamos que (b) é verificada e seja S(tn)xn uma sequência em V. Como S(-) é

uniformemente quase periódica, podemos assumir que existe T 6 C(X) tal que S(tn) —> T em

£{X). Como cada S(ln) é compacto concluímos que T é compacto. Portanto, podemos assumir

que Txn y quando n —>• cx>, para algum y G X. Assim

SI s(t.n)xn - y II < II S(tn)xn - Txn II + II Txn - y ||

< || S{in) - T |||| xn || + || Txn - y ||,

o que prova que F é relativamente compacto em X. A prova de (a) é similar. •

Da teoria de funções assintoticamente quase periódicas sabemos que cada / £ AAP{X) possui

uma única decomposição f — j\ + f2, com /1 £ AP{X) e f2 £ CQ{X) ( ver [43, Proposition 5.1] ).

Portanto, do Lema 1.42 e dos Teoremas 1.43 e 1.44 temos o seguinte resultado.

Lema 3.19 Um conjunto V C AAP(X) é relativamente compacto em AAP(X) se, e somente se,

V] = {fi : f G V} é relativamente compacto em AP(X) e V2 = {f2 : f G V} é relativamente

compacto em CQ(X).

7 1

A seguinte propriedade será frequentemente usada nos próximos resultados.

Propos i ção 3.20 Sejam (Zi, || • \\zt),t — 1,2,3, espaços de Banaeh e V C £'([(), oo), Z\). Suponha

que Fi : [0, oo) —> C(Z\, Zy) c F2 : [0,oo) C(Z%, Zn) são funções fortemente contínuas c que as

seguintes condições são verificadas:

/

•oo

7'j (s):i:(ys)ds —> 0 cm Z2 quando L —> oo, uniformemente para x G V;

(b ) Para cada t > 0, o conjunto {:;;(s) : x G V, 0 < s < /} é relativamente compacto cm Z\.

Então, o conjunto W = ( J W{t), onde W(l) = { f Fi(s)x{s)ds : x G F } , t > 0, e e 0 < í < o o relativamente compacto em Z2- Além disso, se F2 é uniformemente limitado sobre [0, oo) e para rt-\h todo t G [0, oo), / E\{s)x{s)ds —> 0 quando h —> 0, uniformemente para x G V, então o conjunto

'OO

Fi(s)x(s)ds, é relativamente compacto em

Co(Z-s).

Prova: Afim de estabelecer a primeira afirmação, vamos tomar t > 0. Pela condição (b ) existe

um subconjunto compacto Ki de Z\ tal que {^(ó1) : x G V, s G [0, t}} Ç Kt• Como i<\ é fortemente

contínua temos que Kt = {Fi(s)y : y G Kt, 0 < s < t} é relativamente compacto em Z2. Por outro

lado, para cada e > 0 existe uma constante L > 0 tal que

/

OO

Fi (s)x(s)ds\\z2 < e, x G V.

Pelo Lema 2.17 obtemos que W(L) Ç Lco{Ki). Agora, como co(KL) e compacto e

W C Lco{K]f) + B( {0, Z2), inferimos que W é relativamente compacto em Z2.

Para mostrar a última afirmação, aplicaremos o Lema 1.42. A hipótese (b ) do Lema 1.42 é

consequência de (a) e do fato que F2 é uniformemente limitada. Além disso, procedendo como no /•OO

início da prova é fácil ver que para cada í > 0 o conjunto Wi{t) = { / Fi(s)x(s)ds: x G V} é

/

OO

P\(s)x(s)ds : x G V) é relativamente compacto em Z3.

Finalmente provaremos que U é equicontínuo. Para este fim, fixemos t > 0. Para s > 0 é claro

que roo roo

|| F2(t + s) / I<\ [O-xiO dí - F2(t) / Fi (Ç)x(O di || Jt+x Jt

< sup{|| F2(t + s)z-F2(t)z\\: z G W[(t)}+ || F2(t + 5) |||| j F, ( 0 ^ ( 0 d( || .

7 2

Como W\(t) é relativamente compacto, o conjunto de funções {F-2(-)z : z G W\(t)} é equicontínuo

sobre [0,/,], o que nos permite concluir que U 6 equicontínuo à direita de /, G [0, oo). Usando um

argumento similar, podemos mostrar que U é equicontínuo à esquerda de t G [0,oo). Portanto U é

equicontínuo. Finalmente, pelo Lema 1.42, U c relativamente compacto em Co(Zs). •

Nos próximos result ados, para uma função integrável x : [0, oo) X, representaremos por

Zy, yx : [0, oo) > X as funções definidas pelas expressões

zx{t) = / C(i-s)x(s)ds e yx(t) = I S{t - s)x{s) ds, t > 0. J o J o

Corolário 3.21 Assuma que S(-) é fortemente quase periódica e que V C £ 1 ( [ 0 , oo ) ,X ) c um

conjunto com as seguintes propriedades:

roo (a) / ||a;(i')||(is —> 0 quando L —> oo, uniformemente para x G V;

rt+s

(b ) / (O II 0; quando s —> 0, uniformemente para x G V e t > 0,

(c) Para cada t > 0, o conjunto U(t) = {.T(.S) : 0 < ,s < í, x G V} c relativamente compacto.

Então os conjuntos {yx : x G V} c {zx : x G V} são relativamente compactos cm AAP(X).

Prova: Para cada x G V, podemos escrever

yx(t) = S(t) í1 C(s)x(s) ds - C(t) [tS(s)x(s)ds J 0 J 0

roo roo = S{t) C{s)x{s)ds - S{t) C(s)x(s) ds

./ o Jt roo r oo

-C{t) S(s)x(s)ds 4- C(t) / S{s)x{s)d.s. Jo Jt

Do Lema 3.15, obtemos que C(-) é fortemente quase periódica. Por isso, o primeiro e terceiro termo

no lado direito da iqualdade acima definem funções quase periódicas, enquanto que o segundo e

quarto termo são funções que se anulam no infinito, pois S(t), C(t) são uniformemente limitadas

sobre [0,oo). Assim, yx G AAP(X). roo r OO

Da Proposição 3.20, as integrais / C(s)x(s)ds e / S(s)x(s)ds, x G V, estão incluídas em um Jo Jo

subconjunto compacto de X o que, do Lema 3.16, nos permite concluir que o conjunto de funções

r OO r oo {£(•) / C{s)x{s)ds - C(-) / S(s)x(s)ds : x £V}

Jo Jo

7 3

é relativamente cornj)acto em AP(X). Alem disso, da mesma Proposição inferimos que o conjunto

de funções / 'OO / 'OO

{/. —> C{t) I S{s)x{s)ds - S{t) I C(s)x(s)ds : x EV\

c relativamente compacto em CQ(X). Isto mostra que {yx : x EV}é relativamente compacto em

AAP(X).

Agora, provaremos que o conjunto {zx : x G V} é relativamente compacto em AAP(X). Para

provar que zx G AAP(X), do Teorema 1.34 é suficiente provar que zx c uniíõrmenieiite contínua

sobre IR. Primeiramente, fixemos L > 0. Como C(-) é fortemente quase periódica, para cada x G X,

a função t —> C(t)x 6 uniformemente contínua sobre M.

Isto nos permite concluir que

\\C(t + s)x - C{i)x|| -> 0, x G U(L),

quando s ~> 0 e que a convergência é uniforme para t G [0, oo) e x G U(L). De fato, se a propriedade

é falsa, existem x G X e sequências tn, sn em IR e xn G U(L) tais que sn -> 0, xn —y x e

II c{tn + sn)xn - C(tn)xn II> e, n G N. (3.18)

Por outro lado, para n G N, tem-sc que

|| C(tn + sn)xn - C(tn)xn || < || C(tn + sn)(xn - x) || + || G(t Tl I C(tn)x ||

+ 11 C(tn)(xn-x) ||

< 2N || xn - x || + || C(tn + sn)x - C{tn)x ||,

/

OO

II x ( 0 II dÇ < e- P a r a x 6 K e o

t > L temos que

\zx(t + s) - Zx(t) II < r l|C(í + S - - C(t - OxiOM J o

rt+s

+ || j C(t + s-0x(t)dt||

< j L sup ||C(í + s - Ox{í) - C(t - tMOM .10 t> o

xev roo rt + s + 2 N j ||a.-(OII <%+ N j t I W O I K -

7 4

Assim,

lkr(í 4- .s) - 2,;(/.)|| < [ L sup + + e ./O f>0

•T G Í / ( / 4

V t O K , / • > £ • (3-19)

Similarmente, para G V e í G [O, //] temos que

\\zx{t 4" s) — zx(t)\\ < I sup \\C{0 + s)x-C{0)x\\d0 Jo ee[o,i]

xQU(L)

+N \\x(mdí- (3.20)

Das condições (a) e ( b ) e desigualdades (3.19), (3.20) concluímos que zx{-) é uniformemente

contínua sobre [0,oo). Assim, G AAP(X). Além disso, as estimativas (3.19), (3.20) mostram

que as funções zx, x G V, são uniformemente equieontínuas sobre [0, oo).

Por outro lado, segue da Proposição 3.20 que {zx(t) : x G V} é relativamente compacto, para

todo t > 0. Finalmente, vamos estabelecer que {zx : x G V) é equi-assintoticamente quase periódica. roo

Dado e > 0, aplicando (a) podemos lixar Lc > 0 tal que / ||a;(s)||cZs < e/6N, para todo x G V. J Lc

Além disso, pelo Lema 3.16 e Teorema 1.43, o conjunto {C(-)x : x G U(L6)} é equi-quase periódica.

Assim, existe um conjunto relativamente denso PE Ç [0, oo) tal que

\ m + T)x-C(0x\\<£-, £>0, xeU(Lt), r e p .

Portanto, para /; > LC e r G P, obtemos que

I\zx(t + r) - zx(t) II < í II C(t + T - s)x(s) - C(t - s)x(s)\\ds Jo rt+r

+ 11 J C{t + T ~ s)x{s)dsII

< [ l c IIC{t + r - s)x{s) - C{t - ,s).T(,s)|jds Jo + /' ||C(/. + r -s)x(s) -C(t-s)x(s)\\ ds

lL t rt-\-r

+N / || x(s) || ds

f L t < / \\C{t + T - s)x{s)-C{t~s)x{s)\\ds Jo

roo + 3 A r / II 3;(.s) II ds

J Le

< e.

o que mostra que {zx : x G V} é equi-assintoticamcntc quase periódica. Coni])Ietamos a,

demonstração aplicando o Teorema 1.44 sobre o conjunto {zx : x G V } . •

Procedendo como na prova do Corolário 3.2.1, podemos estabelecer outro resultado de

compacidade para o conjunto {yx : x G V} .

Corolário 3.22 Assuma que S(-) é uniformemente quase periódica, que V Ç C1 ([(), oo), X) c

uniformemente limitado e as seguintes propriedades:

roo

(a) / || x(s) || ds —> 0, quando L —> oo, uniformemente para x G V ;

rt+s

(b) / \\x(0\\ d( —> 0, quando a —> 0, uniformemente para t > 0 e x G V;

(c) Para cada t, ô > 0, o conjunto {S(ô)x(s) : 0 < s < t, x G V} é relativamente compacto em X.

Então {yx : x G V} é relativamente compacto em AAP(X).

Prova: Da prova do Corolário 3.21, sabemos que

yx(i) - S(t) ftC(s)x{s)ds - C(t) f S(s)x(s)ds J o J o

roo r oo roo roo S(t) / C{s)x{s)ds - S{t) / C(s)a;(s)ds

J o Jt roo roo

-C{t) S{s)x{s)ds + C(t) S{s)x{s)ds J o

= E i / i ( o -í=I

Primeiramente, vamos provar que o conjunto

/

oc

S{s)x{s)ds : x G > 0}

é relativamente compacto em X. Pela propriedade (a) é suficiente mostrar que para cada L > 0 o

conjunto U = { J S(s)x(s)ds : x G V, t G [0,L]} é relativamente compacto em X. Para mostrar

isto, fixemos E > 0 c pontos 0 = Si < «s2 < . . . < sn = L com s i + ] - st < e. Seja t G [0, L) e fixemos roo

Si tal que < t < Se p = sup / || x{s) || ds, nestas condições temos que xev Jo

jLS{s)x{s)ds = í 1+1 S{s)x{s)ds d- í S{s)x{s)ds Jt Jt j SL +1

82

j^iSis)-- S{s1))x(s)ds 4 S(sl):i;(s)ds

Jl\s(s)~S(sJ))x(s)ds + E l'^1 S(sj)x(s)ds

G 2NeD„(0, A ) + (,sí+] -Ti — J

+ E (-Vi' - -s e [0,L], .r e l Õ T j-^i-i 1

G 2N£Bp(0, X ) + [0, L] x : G [0,7.], 3; £ E } ) 7 1 - - ]

+ E M x : * G ~ M , z G j=i+l

o que prova nossa afirmação, pois os números ,Sj não dependem de t.

Procedendo como 11a prova do Corolário 3.21 obtemos que {y?r : x G V} é relativamente compacto

em AAP(X) e que { y x : x G Vj é relativamente compacto em Co(X).

Das condições (a), (c) e a relação,

/

oo r L p oo

C(s)x(s)ds= I C(s)S(t)x(s) ds + S(t) J C(s)x(s)ds

concluímos que os conjuntos {y\{t) '• x G V}, {y^(t) : x G V} são relativamente compactos em X.

E fácil ver agora, a partir do Lema 1.42, que {y\ : x G V] é relativamente compacto cm Co (A) .

Finalmente, como S(-) é uniformemente quase periódica temos que {y\ : x G V} é um conjunto

equi-assintoticamente quase periódico. Mais ainda, é obvio que este conjunto é uniformemente

continuo sobre [0, 00). Portanto, {ylx : x G V} é relativamente compacto em AAP(X). A prova está

agora completa. •

Agora estamos em condições para estabelecer o resultado principal desta seção. Neste resultado

assumimos que p(-) : Bn+1 B, q(-) : Bn+l X c, p(-){0) : Bn+1 -> E são funções contínuas

e limitadas. Como antes, Np e Nq denotam os limites superiores de j| p(-) ||g and || q(-) ||,

respectivamente.

Teorema 3.23 Assuma que S(-) é uniformemente quase periódica e que as condições ( H i ) e (H2)

são verificadas com funções rrif(-), mg(-) G £1([0,oo) : A ) . Assuma, além disso, que as seguintes

condições são satisfeitas:

(a) Para cada t, t! > 0 e cada constante r > 0 os conjuntos {S{t') f (s^p) : 0 < .s < /;, H^llfí < ?"} c

{g(s, •?/;) : 0 < ,s < /;, \\IIJ\\B < são relativamente compacto em X;

(b) A função p(-) é limitada e completamente continua;

7 7

(c ) /I função q(-) é. limitada c, para cada r > O o conjunto {S(t)q('tj>) : t > O, ip £ B r (0 , B n + 1 ) } c

relativamente compacto em X.

Sc

K(Nmg(s) I Nvij(s))ds < j™ (3.21)

cnlao existe uma solução fraca ?/,(•) Ç AAPB(X) de (d.l)-(d.d).

Prova : Para cada x £ AAPy(X) definimos Tx £ BC por

f jj(ip,xtl,...,xln)(t), t £ ( - o o , 0]

^ ^ C{1.)p(ip, xtl,..., xtn){Q) d- S{t)[(](ip, xh ,..., xtn) d- g{0,p{tp, xtl,..., xtll))} ^ ^

- / C{t- s)g(s, xs) ds + í S(t. — s)f(s, xs) ds, t £ J. Jo Jo

Consideremos agora a decomposição F = Pj d- P2 onde (F]x)o = p(ip,xtl,... ,xín) e

lAx(t) = C{t)p(tp, x t l x t n ) ( 0 ) + S(t)[q(<p, xLl,..., xtn) d- g{Q,p{<p, xtl,..., xt J)], t £ J,

P2a;(<) = ~ í C{t - s)ff(s,xs) ds + í S(l - s)f{s,xs) ds, i £ J. Jo Jo

E obvio que Tia; £ AAPB{X) e da prova do Corolário 3.21 temos que P2a; £ AAPB(X). Mais ainda,

do Lema 3.10 e Corolários 3.21 e 3.22 temos que os conjuntos {TI-T : x £ Br(Q, AAPg(X))} e

{ IYr : X £ 13,(0, AAPB{X))} são relativamente compactos em AAPB(X).

Seja xx £ BC uma solução de x = Arx, A £ (0,1). Das estimativas a priori 11a prova do

Teorema 3.4 deduzimos que para cada T > 0 existe MT > 0 tal que

II xx{t) ||< Mr, A £ ( 0 , 1 ) , t £ [0,T],

Mais ainda, é fácil inferir a partir da prova do Teorema 3.4 e da condição (3.21), que Mj- é

independente de T. Assim, concluímos que {x,A : A £ (0, 1)} é limitado em BC.

Assim, para aplicar o Lema 1.45, falta mostrar que T é contínua. Seja (xn)n uma sequência

em AAPis(X) que converge a x. Então S(t - s)f{s,x^) -4 S(t - s)f(s,xs) o C(t - s)g(s,x'sl) -4

C(t-s)g(s, xs), quando n -4 00, para quase todo s £ [0, /.]. Seja L = STI]){[|.x||^<r:ò, LH<'" \\BC:b : n £ IN}

e (] = (K + M)L. Das desigualdades

\\C(t~s)g(s,x;:)-C(t-s)g(s,xs)\\ < 2Nmg(s)Wg{fi),

\\S{t-s)f{s,xns)-S{t-s)f{s,xs)\\ < 2 Nmf(s)Wf(P),

7 8

e usando a integrabilidade de rrij(-) e rnfl(-) concluímos que || Txn — P.t 0 quando n —> oo, e

que esta convergência c uniforme sobre [0, oo). Como || p(<p, xf ) - p(<p, xtj,... , xtn) ||B-> 0

quando k —> oo concluímos que F é uma aplicação contínua.

Finalmente, pelo Lema 1.45 existe um ponto fixo para F e portanto, unia solução

assintoticamente quase periódica para (3.1)-(3.3). A prova está completa. es

Apresentamos agora um resultado de. regularidade para soluções assintoticamente quase

periódicas fracas de (3.f)-(3.3). Para isto, precisamos estabelecer os seguintes resultados.

Lema 3.24 [43, Example 5.1] Seja X um espaço de Banaeh, f £ C'(M : X) c &'(•) : IR —>• C{X) um rco

grupo tal que, para cada x £ X, t —> G(t)x c quase periódica cm X. Se / || f (s) [[ ds < oo, então J o

u(t) - G(í)w(0) + / G(t- s)f(s)ds, t > 0, J o

é assintoticamente quase periódica em X.

Lema 3.25 Assuma que S(-) é (quase periódica em X. Então as seguintes propriedades são

satisfeitas:

(a) S{-)x £ AP{E) para cada x £ X ( aqui, E está munido com a topologia induzida por || • \\e )•

(b) Se AS(-) : IR —> C{E,X) é uniformemente limitado, então o grupo G é quase periódico. Além

disso, se para uma função u : [0,oo) —> X existe y £ D (A) tal que u — Ay £ Cl ([0, oo), X ) ,

então a função w\ dada por W{(t) — / C(t — s)u(s) ds é assintoticamente quase periódica em J o

X e se para urna função v : [0, oo) —> E existe z £ E tal que v — z £ /^([O, oo), E), então a

função W2 dada por (t) = / AS(t — s)v(s) ds é assintoticamente quase periódica em X. J o

Prova: Seja x £ X. Como C(-)x e S{-)x são funções quase periódicas em X, do Lema 1.32, temos

que (C(-)x, S(-)x) é quase peródica em X xX. Assim, dado e > 0, existe um conjunto relativamente

denso Pc tal que

\\C(t. + T)X — C(t.)x\\ d- \\S(t + T)X — 5(í)x|| < e, t > 0, r £ Pc.

Usando que C(-) é uniformemente limitado e

C{t d- s)x = C(t)C(s)x + AS(t)S(s)x (3.23)

7 9

obtemos

||ó'(í + T)a: - S(l)x\\,, = ||,S(í + r).7;-5(/,).7:|| + sup ||yl5(/t)[5(í 4 T)X - 5(/-)a;]|| 0<h<l

< c sup |jC{t + h + T)X - C(h)C{t + T)x + C(t)C(h)x - C{t 4- h)x\\ 0</i<l

< c+ sup \\C{h,)\\\\C{i + r)x - C{t)x\\ + K"]) \\C{1. + h + T)x-C(i+h)x\\ 0 </;. < 1 0</(<l

< (N + 2)c,

para todo /, > 0 e r G P(, o que prova o afirmação (a).

Como a função S(-) c quase periódica em X, pelo Lema 3.15, C(-) ó quase periódica em X.

Além disso, para todo y £ E obtemos que

||AS(t + h)y - AS(t)y\\ < \\AS(t)\\c{EiX)\\(C(h) - I)y\\E + ||C(í)||||AS(%||, t > 0.

Se assumirmos que ^^( /^^(y^A') c limitado sobre R, segue da desigualdade acima, que a função

A,S(-)y 6 uniformemente contínua sobre [0, oo) e, desde que AS(-)y é a derivada da função quase

periódica C(t)y, pelo Teorema 1.34, inferimos que AS(-)y é quase periódica em X. Assim,

concluímos que o grupo G dado preliminarmente ( ver página 15 ) é uma aplicação quase periódica.

Finalmente, desde que as funções v — z V 0

= - A 0 0 z

0 0 y — - A

y

u — Ay ii 0

G Cl{[^oo),E x X)

G £ 1 ( [0 ,oo) , i í x A') as afirmações sobre wi e são 0 J

consequências do Lema 3.24. •

Consideramos no próximo resultado que AS(-) : IR —> £(E,X) fortemente contínua.

P r o p o s i ç ã o 3.26 Assuma que S(-) é quase periódica em X e que a aplicação t —>• AS(t)

é uniformemente limitada de R sobre C(E,X). Seja «(•) uma solução fraca de (3.1)-(3.3)

assintoticamente quase periódica em X. Suponha que p(ip,utl,ut2,... ,utn) G E e que as condições

seguintes são satisfeitas:

(a) Existe y G D (A) tal que a função [0, oo) —> A', t -> f(t,ut) — Ay, é integrável;

(b ) A função [0, oo) —> X, t, —> g(t,ut), é assintoticamente quase periódica em X, g(t,,ut) G E e

existe z G E tal que s -> g{s,us) - z G Cl{[0,oo),E).

Então u\ é. continuamente diferenciável e sua derivada é assintoticamente quase periódica em X.

Prova: Do nossas hipóteses e Lema 3.7 obtemos que u e continuamente diferenciável e que

u'(t) - AS(t)p{cp, uh , uln) (0) + C{L) {(1{<p, utl,..., uln) + .9(0, « t j , . . ., <«,J)

- < / ( / • , » • / ) - • / A 9 ( / . - . S ) Í / ( . S , ? Í . , ) Í / . S -I- / C(l. - . s - ) / ( . s , 'ÍÍS)C/.S, /. > 0 . i o ./o

Pelas jjropriedades de integrabilidade de f(s,us), fi(s,us) e aplicando o Lema 3.25, concluímos a

prova da proposição. B

3.5 Exemplos

Consideremos o problema de valor inicial

—g-f— + / a(s)u{t + s, i)ds

d2u(t f)

= + / ^ . s M í + ^ K s , ( / ,£) G / x [0,vr], (3.24)

u( í ,0) = U ( Í , 7 R ) = 0, í G / , (3.25) n

u { 6 , 0 = a < p ( e , 0 + Y , a M U + G,Ç), ( 0 , 0 G ( - o o , 0 ] x [0, vr], (3.26)

= Í Ci(sMU + s,0ds, (3.27) v —00 ^ ^ —oo

onde I = (—oo, a], a, a; G R os números 0 < íi < t2 < • • • < tn < a são previamente fixados e as

funções a, 6, c e Cj são contínuas de R em R. Mais ainda, assumiremos que as seguintes expressões sao números reais.

-oo

- m • n

NP = M + E I I ' i = l

Para modelar o sistema anterior como problema de Cauchy abstrato (3.1)-(3.3), consideramos

X — L2([0,7r]) e B = L2(h,X), onde h verifica as condições (h-5)-(h-7) na nomenclatura de [19]

( ver seção 1.3 ). Lembramos que nestas condições B é um espaço com memória amortecida e

podemos considerar, no axioma (A), / / = 1, K(-) e M( - ) constantes.

Para alcançar o objetivo acima, consideramos A : D{A) C X —.> X, o operador definido por

A.f(0 = f"(0 onde

D {A) = {/(•) G /í2(0,7r) : /(O) = / (tt) = 0}.

Sabemos que A 6 o gerador infinitesimal de uma família eosseno de operadores fortemente contínuo

(C(í))/eK sobre A". Além disso, A possui espectro discreto, os autovalores são — nl, n G IN, com

autovalores associados 2„ ( f ) = 1//2 sin(?t£), e as seguintes propriedades são verificadas:

(a) {zn : n G IN} é uma base ortonormal de A , oo

(b) Se cp G D (A) então Atp = — < (p,zn > zn, n—l

oo (c) Para 99 G A , C(t)(p — E cos(ní0 < <P,zn > zn. Segue desta esprcssão que ||C(í)|| = 1 e que

Tl — 1

v—\ siri(rit) . o(i)(p = ) < ip,zn> zn, t G 1K. Isto implica que b(t) e compacto para t > 0 e que z—•' n

7 1 = 1

||5(í)|| — 1) para cada t G IR. Mais ainda, S(-) é assintotieamente quase periódica.

Definimos as funções de substituição / , g, p e q por

f(t,m) = í° a(s)iP(s,0ds, J—00

sMXO = f b(s)fi(s,0ds, J—00

n

i=1 /•O « /-O ry('0, Vh , V-2, • • • , V'n)(0 = / c ( s ) # s , + E / ^ M í * . J — 00 j = j J —00

E fácil mostrar a partir das nossas hipóteses que as funções anteriores estão bem definidas. Além

disso, obtemos que

II f(t,^l)-f(t,4>2) II < Na II lf)\ — 1p2 Us, A e B,

\\g{t,\h) ~g{t,ip2)\\ < N[> || ip\ — ip2 llfíi ipi £ B,

n+l

i=l n + l

\\q{'ll>l,lJj2,---,1pn+l)-q{íu£,2T--Ãn+l)\\ < Nq ^ II tpi ~ & HíJ, ^úíi^B. i=l

O seguinte resultado é unia consequência direta do Teorema 3.6.

Propos i ção 3.27 Assuma que as condições anteriores são verificadas. Se

(Ka -I Mu)[n{2 + Na)Np + o.Na} < 1,

então existe uma solução fraca de (,d.2Jl)-(3.27) em [0,a].

Agora, passamos a estudar a existência de soluções assintoticamente quase periódicas para o

problema de valor inicial

d di.

du(t, 0 f° , s , — + a(t,s)u(t + s,t)ds

d2u(l £) í°

= + I b(t, s)u(t + s, Ods, (/,,£) G / x [O.TT], (3.28)

u(t, 0) = u(t,7T) = 0, t e l , (3.29)

u(Q,0 = <p(6,0, ( « ) e ( - M , 0 ] x [ 0 , f ] , (3.30)

= Ql<p(o,Z)Mh,t)Mt2,0,---Mtn,ti), ÍE[O,VR], (3.31)

onde 0 < íi < < . . . < tn < a , ip G B são fixos e Q : R , l + 1 I c u m a função cont ínua e

l imitada.

Para estudar este exemplo, X, B e A são como no exemplo anterior. Além disso, assumiremos

que as funções a, b são contínuas e que

, , f f 0 a2 (t, 6 ) ^ 1/2

oo

»'<«>- ( L W ' sao funções integráveis sobre M.

Sejam / , g, p, q as funções definidas por

,o g(t^)(0 = / a{t,s)r{>{s,()ds,

J — oo

f{t,m) = 1° b(t,s)i/is,Ods, J — oo

(MS Vd, , • • •, VÓO ( O = Q{<P{ o, 0 IH, O, • • •, ^ (TN, O ) •

Nas condições anteriores, p : Bn+l B, q : Bn+l —> X são funções contínuas, p é completamente

contínua e q é limitada. Mais ainda, j| <y (/.,'</•>) j|< m(J{t) || ij) \\B e || / (M/O ||< "'-/(í) II V; I\B P a r a

cada G M x B.

8íi

O próximo resultado 6 uma consequência direla do Teorema 3.23. Somente observamos (pie /,<X! ds

neste caso, / —- = oo para todo c > 0. ./,: Wf(«)

Proposição 3.28 Nas condições anteriores, existe unia solução assintoticamente. quase periódica

84

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Vol. 16, Dirkhàauser Verlag, Basel, 1995.

Existência de soluçõe quass e e assintoticamente quas ... · referências e atualidade sobrs oe...

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