Existência e Concentração de Solução para o p-Laplaciano...

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEM.Á.TICA ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Tese de Doutorado Existência e Concentração de Solução para o p-Laplaciano com Condição de Neumann Autor: Everaldo Souto de Medeiros Orientador: Prof. Dr. Yang Jianfu 03 de outubro de 2001

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEM.Á.TICA ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Tese de Doutorado

Existência e Concentração de Solução para o p-Laplaciano com Condição de Neumann

Autor: Everaldo Souto de Medeiros

Orientador: Prof. Dr. Yang Jianfu

03 de outubro de 2001

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Existência e Concentração de Solução para o p-Laplaciano com Condição de Neumann

Banca Examinadora:

1-Yang Jianfu (orientador) 2-0rlando Francisco Lopes 3-Elves Alves de Barros e silva 4-0limpio Hiroshi Miyagaki 5-Claudianor Oliveira Alves.

Este exemplar corresponde à redação final da tese devi­damente corrigida e defen­dida por Everaldo Souto de Medeiros e aprovada pela comissão julgadora.

Campinas, 3 de outubro de 2001

Pro f. r.: Yang Jianfu Orientador

Tese apresentada ao Insti­tuto de Matemática, Es­tatística e Computação Científica, UNICAMP, como requisito parcial do Título de Doutor em Ma­temática.

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HCHACATALOGRÁnCAELABORADAPELA BffiLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Medeiros, Everaldo Souto de

M467e Existência e concentração de solução para o p-laplaciano com

condição de Neumann I Everaldo Souto de Medeiros -- Campinas, [S.P.

:s.n.], 2001.

Orientador : Y ang Jianfu

Tese (doutorado) -Universidade Estadual de Campinas, Instituto

de Matemática, Estatística e Computação Científica.

1. Equações diferenciais parciais. 2. Equações diferenciais

elípticas. I. Jianfu, Y ang. II. Universidade Estadual de Campinas.

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III.

Título.

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Tese de Doutorado defendida em 03 de outubro de 2001 e aprovada

Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

CISCO LOPES

Prof (a). Dr (a).

Prof(a). Dr (a). ELVES ALVES DE BARROS E SILVA

(a). CLAUDIANOR OLIVEIRA ALVES

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In memória de: -Maria de Lourdes(mãe) -Rosa(tia) -Francisco da Luz(Títico)

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Agradecimentos

Quero agradecer primeiramente ao meu orientador Prof. Dr.Yang Jianfu pela ori­entação e paciência em todos os momentos que o procurei.

Especialmente, agradeço as minhas tias: Alzira, Adélia, Filomena e Francisca e aos meus imãos, especialmente a Ediglei, que me proporcionaram esta oprtunidade única em minha vida.

Ao prof. Djairo que sempre esteve a minha disposição em todos os momentos que o procurei, que Deus o ilumine nesta luta intensa na orintação de tantos jovens ma­temáticos.

Gostaria de agradecer aos profs. Orlando Lopes, Elves, Olimpio, e Claudianor por terem aceito fazer parte da banca examinadora.

Meus sinceros agradecimentos aos prof. Olando Lopes e Claudianor pelas inúmeras sugestões em nosso trabalho.

Quero expressar o meu agradecimento ao prof. João Carlos que foi o principal res­ponsável pela minha entrada no doutorado e ao prof. Vandik que teve a coragem de acreditar em mim no começo da minha graduação.

À Lucélia pelo companherismo. Aos colegas da pós-graduação do IMECC: Leonardo, Sófia, Odair, Zé Carlos, Amauri,

entre tantos. Agradeço ao Emerson, pelos conselhos e discusões que foram muitos proveitosas para

o meu crescimento matemático. Aos professores e funcionários(Cidinha, Tânia e Ednaldo) do IMECC. Aos colegas Roberto Cabrales, Fernando e PC pelo esclarecimento das minhas dúvidas

do Latex. À capes pelo suporte financeiro, sem o qual este trabalho não seria possível.

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Resumo

Neste trabalho, vamos estudar a existência de solucão de energia mínima e fenômeno de concentração para o seguinte problema de Neumann quasilinear perturbado:

em D em D

sobre an,

onde, -.6.P é o operador p-Laplaciano, E é um parâmetro positivo, 1 < p < N, p < q :::; p* := /:!.P, D C IRN um domínio limitado suave e 77 é o vetor normal unitário exterior à fronteira de D.

No caso subcrítico, p < q < p* := /:!:P vamos usar métodos variacionais para obter a existência de uma solução u€ com energia mínima. Para mostrar que esta solução é não trivial, vamos comparar a energia de u€ com a energia do ground state do problema limite

Primeiro vamos mostrar a existência de um ground state para este problema, e usando argumento de blow up estudamos o comportamento assintótico de u€ e mostramos que o máximo de u€ é assumido em um ponto P€ que tende para F E 80, o ponto onde a curvatura generalizada é máxima.

No caso crítico, ou seja, quando q = p* usamos uma desigualdade devido a Cher­rier [14] para provar uma versão do Lema de concentração de compacidade. Usando este resultado juntamente com argumento de minimização, vamos mostrar a existência de uma solução com energia mínima e estudar o comportamento assintótico da solução por argumento de blow up.

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Abstract

In this work, we study the existence of least energy solutions and phenomenon of concentration for the following Neumann perturbated Quasilinear problem:

m D in D

on âD,

where -t:::.P is the p-Laplacian operator, E is a positive parameter, 1 < p < N, p < q ::; p* := !/!.P' D c IRN is a bounded smooth domain and TJ is the outer unit normal to âD.

In the subcritical case p < q < p* := !/!:P we use variational methods to obtain the existence of solution u< with the least energy. To prove that u< is not trivial, we compare the energy of ué with the energy of ground state of the limit problem

First we show the existence of a ground state for this problem, and then using blow up argument, we study the asymptotic behavior of u< and show that the maximum of ué is assumed at point Pé which tends to P E âD, the point where generalized curvature maximizes.

In the criticai case, that is, when q = p* we use an inequality due to Cherrier [14], to prove a version of the compactness of concentration Lemma. Using this result together with the minimizing method we show the existence of a least energy solution and study the asymptotic behavior of the solution by the blow up argument.

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-NOTAÇOES

Neste trabalho usaremos as seguintes notações: S1: domínio de JRN,

• : fim de uma demonstração,

Br ( x): bola aberta com centro x e raio r,

n : fecho do conjunto n,

---+: convergência forte,

~: convergência fraca,

w;·P(S1) := {u E W1·P(S1): u(x) = u(lxl)},

JS11: denota a medida de Lebesgue do conjunto D,

fn f: denota fn f(x)dx,

lfls := (Jn lf(x)Jsdx)~, O< s ~ oo,

P* ·= Np 1 < p < N, . N-p'

A( h) := o(lhl) desde que I~~~) I ---+O, Ih i ---+O,

A( h) := O(lhl) desde que I~~~) I é limitado, lhl ---+O,

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Conteúdo

Introdução 1

1 Existência de um Ground State 9 1.1 Introdução . 9 1.2 Prova do Teorema Principal 12

2 Caso Subcrítico 17 2.1 Introdução . ... . . 17 2.2 Existência de Solução Positiva . 21 2.3 Uma Estimativa para c€ .. 24 2.4 Uma Estimativa Uniforme para u€ . 30 2.5 Concentração da Solução . 35 2.6 Prova do Teorema 2.3 . 37 2.7 Apêndice . 44

3 Caso Crítico 51 3.1 Introdução . ... . . 51 3.2 Preliminares . .. 53 3.3 Existência de Solução Positiva . 56 3.4 Comportamento Assintótico de U>.. • 61 3.5 Regularização da Solução . 64 3.6 Apêndice. ... 67

Bibliografia 79

Vll

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vi i i CONTEÚDO

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Introdução

Neste trabalho, vamos estudar a existência de solução de energia mínima e o fenômeno de concentração para o problema de Neumann Quasilinear Perturbado

I -E.Ó.pU + uP-1 - uq-1 em n

(QN)€ u > o em n fJu

OrJ o sobre an,

onde N

-.6.pu := -div(l\i'ujP-2\i'u) =-""' 0° (j\7ujP-2

0°u)

L x· x· i=l ~ ~

é o operador p-Laplaciano definido para uno espaço de Sobolev W1·P(Q), E é um parâmetro positivo, 1 < p < N, p < q :::; p* := N~p, n c JRN um domínio limitado suave e 7J é o vetor normal unitário exterior à fronteira de n.

O p-Laplaciano é um operador quasilinear elíptico que aparece em vários problemas da Física e Mecânica, tais como: Glaciologia, Climatologia e Fluidos não-Newtonianos. Por exemplo, no estudo de sensitividade de um modelo estacionário não-linear que apa­rece em climatologia com relação a variação da constante solar (ver Arcoya-Diaz-Tello [9] e suas referências).

De uma forma mais rigorosa, o p-Laplaciano é o operador não-linear -.6.P : W1·P(Q) H­

w-l,p' (n), ~ +? = 1 definido por

Por ser um operador não-linear definido em um espaço de Banach, os problemas que envolvem este tipo de operador apresentam várias dificuldades tais como: unicidade, re­gularidade, degeneracidade, etc.

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No caso semilinear, ou seja, quando p = 2 o problema correspondente

{

-E.6.u + u = uq-l

u > o au = o 3T)

em D em D

sobre an,

Introdução

com 2 < q ~ 2* := J:!_2 , tem sido objeto de extensa pesquisa nos últimos anos. O recente progresso no estudo de problemas com condição de fronteira de N eumann, tem atraído menos atenção por parte dos pesquisadores em contra-partida com o problema de Diri­chlet Semilinear. Uma explicação para isto, talvez seja o fato de que qualquer solução para o problema de Neumann é instável quando vista como uma solução da equação parabólica correspondente. Entretanto, o estudo de (SN)€ é motivado pelo fato do pro­blema aparecer em vários modelos em biologia. Na verdade, (SN)€ é equivalente a um sistema de equações que aparece no estudo de um problema de agregação chemotactic, de um modelo proposto por Keller e Segal [23]. Ele pode também ser visto como um shadow-systems de algum sistema do tipo ativador-inibidor (ver Li-Ni-Takagi [25]).

Outro ponto importante, tem sido o progresso no estudo de simulação numérica, e tem-se observado um fenômeno conhecido como ponto de condensação, isto é, a solução tende a zero quando E -t O, exceto para um número finito de pontos. Assim, torna-se importante conhecer não somente a existência de solução para (SN)€ mas também o comportamento assintótico da solução.

Para o problema semilinear (SN)€, os primeiros resultados de existência no caso subcrítico, ou seja, 2 < q < 2* são devido a Ni-Takagi [31]. Após este trabalho, despertou­se um grande interesse no estudo de problemas elípticos com condição de Neumann. Com relação a este tipo de problema, existe uma extensa literatura da qual destacamos: Lin­Ni-Takagi [25], Ni-Takagi [31], Del Pino-Felmer [15]. Nestes trabalhos, eles mostraram a existência e o comportamento assintótico da solução de energia mínima. Em seus métodos, foi fundamental conhecer a existência de um ground state para o problema limite

-.6.w + w = wq-l u >O em JRN ' '

ou seja, uma solução radial positiva w, tal que w e suas derivadas de primeira ordem têm decaimento exponencial.

Em 1991, Adimurthi-Mancini [3] e Wang [48] obtiveram, em trabalhos independentes, os primeiros resultados de existência para o problema semilinear (SN)€ para o caso crítico. A grande diferença entre o caso subcrítico e o caso crítico, está na falta de compacidade da imersão de Sobolev

H 1 (D) <-t L2' (D).

Na tentativa de usar minimização no caso crítico, as estimativas do tipo Brezis­Nirenberg [13] não são suficientes pelo fato de estarmos minimizando em H 1(D). En-

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Introdução 3

tretando, o grande mérito de Wang [48] e Adimuthi-Mancini [3], foi certamente ter per­cebido a contribuição da fronteira nestas estimativas, tornando estas bem diferentes das estimativas do problema de Dirichlet correspondente obtidas por Brezis-Nirenberg [13].

Em [32], Ni-Pan-Takagi usaram uma desigualdade tipo Harnack e estudaram o com­portamento da solução de energia mínima para o mesmo caso. Por outro lado, usando um argumento de blow up, Adimurthi-Pacella-Yadava [4] mostraram a influência da geo­metria da fronteira na existência e no comportamento da solução de energia mínima.

Ao tentar adaptar estas técnicas para operadores mais gerais como o p-Laplaciano (p =f. 2), surge naturalmente inúmeras dificuldades de ordem bastante técnicas, essen­cialmente pelo fato do operador não ter estrutura hilbertiana. Na verdade, a questão mais delicada é certamento o fato de não se conhecer a unicidade de solução positiva. Outra grande diferença está no argumento de blow up usado no caso semilinear onde foi fundamental a regularidade C2 da solução, ao contrário do nosso caso onde a solução é somente C 1,a.

Aqui, entendemos por uma solução de (QN)€, uma função u E W 1,P(O) tal que

1 (Ej\i'ujP-2\i'u\i'cp + jujP-2ucp) -1Ju/ª-2ucp = 0, 'V cp E W 1'P(f2).

Motivado pelas imersões de Sobolev

surge naturalmente a necessidade de estudar separadamente o caso subcrítico, que cor­responde aos valores de q na faixa 1 < q < p* e o caso crítico, que corresponde ao maior valor para qual esta imersão existe, ou seja, q = p* que é o expoente crítico de Sobolev. No caso subcrítico, usando técnicas variacionais, mais especificamente o Teorema do Passo da Montanha, vamos obter uma solução u€ de ( QN)€ como sendo um ponto crítico do funcional energia J€ : W 1,P(D) 1--7 IR definido por

J€(u) = ~ r (éj\7ujP + jujP)- ~ r jujª. P Jn q Jn

Como veremos, o bem conhecido Teorema do Passo da Montanha de Ambrosetti-Rabinowitz [5] implica que

c€ := inf max J€(g(t)) gEr o::;t:SI

é um valor crítico positivo do funcional J€, onde

r:= { g E C([O, 1], W 1'P(O)) : g(O) =O, g(1) =e} e e O é uma função em W 1,P(fl) tal que J€(e) <O. Além disso, por uma caracterização de c€ (veja Lema 2. 5), ele é o menor valor crítico positivo de J€. Dessa forma, u€ é chamada de solução de energia mínima.

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4 Introdução

Notando que ü = -1, ü =O e ü = 1 também são soluções de (QN)€, a primeira difi­culdade é mostrar que a solução obtida pelo Passo da Montanha é diferente dessas. Para isto, vamos adaptar as técnicas usadas em Ni-Takagi [31 J. A idéia é usar a caracterização do nível c" e comparar com a energia I ( w) de uma solução radial positiva do problema limite

-!:lpw + wP-1 = wª- 1 em IRN, (1)

onde I: W 1,P(JRN) r-+ IR é o funcional energia associado, definido por

Para fazer esta comparação é necessário conhecer a existência de um ground state, ou seja, uma solução radial w com energia mínima tal que w e suas derivadas tenham de­caimento exponencial.

Quando q = p*, após um reescalonamento da forma v (QN)€ é equivalente ao problema

E- 1/(p*-p)u, o problema

(QN)>,

em O em O

sobre 80,

onde À = 1/ E. A principal dificuldade nesse caso é a falta de compacidade da imersão de Sobolev

W 1'P(O) y LP. (n).

Nesse caso, soluções de (QN)À são pontos críticos do funcional energia definido por

JÀ(u) := ~ r (j\7ujP + ÀjujP)- ~ r jujP*. P Jn p* Jn

Pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange, o problema (QN)>. é equivalente ao seguinte problema de minimização

fn(!VujP + >.jujP) Un JujP*)P!P*

Uma outra dificuldade surge pelo fato de estarmos minimizando em W1,P(f2). Entretanto, adaptando as técnicas de Wang [48] vamos obter uma comparação entre SÀ e a constante ótima da imersão de Sobolev n;'P(fl) y v· (fl)' onde n;'P(O) é o completamento de C~(n) na norma do gradiente, ou seja,

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Introdução 5

Usando uma desigualdade devido a Cherrier [14], vamos obter uma versão do Lema de concentração de compacidade e provar a existência de um minimizador paraS>.,. Observação: De agora em diante, vamos nos referir a (QN)<- para o caso subcrítico e (QN)>.. para o caso crítico. Nosso trabalho foi escrito em três capítulos e está organizado da seguinte forma:

No capítulo 1, vamos utilizar técnicas de simetrização de Schwarz para estabelecer a existência de um ground state para o problema (1). Uma dificuldade está no fato de que as soluções das equações que envolvem o operador p-Laplaciano não serem clássica. O principal resultado obtido neste capítulo, estende um resultado devido a Strauss [38] que trata o caso em que p = 2. Precisamente, mostramos o seguinte resultado

Teorema 0.1 O problema (1) possui uma solução radial positiva w tal que : i) O < I ( w) :::; I ( u) para toda solução u de ( 1), ii) existe r0 >O tal que w'(r) :::; O para r;:::: r 0 e w E C 2 (r0 , oo), iii) w juntamente com suas derivadas de primeira ordem tem decaimento exponencial, ou seya, existem C > O, 6 > O tais que

para Jo:J :::; 1.

Portanto, do Teorema 0.1 fica estabelecido a existência de um ground state para o pro­blema (1).

No capítulo 2, vamos usar o ground state obtido no capítulo 1 para obter uma solução de energia mínima u€ para o problema quasilinear (QN)<-. Em nosso primeiro resultado de existência provamos

Teorema 0.2 Existe E0 > O tal que o problema (QN)e possui ao menos uma solução positiva não trivial u€, para qualquer E E (0, E0 ). Além disso, a solução satisfaz a seguinte estimativa

c€ = J€(ue) :::; /f; { ~I(w)- 0:1~ +o(~)}, onde a= (N- 1)H, H a curvatura média em algum ponto da fronteira de n e

Adaptando o método de iteração de Moser, vamos obter uma estimativa uniforme para u€ quando E -t O. Em seguida, usando argumento de blow up estudamos o comportamento assintótico de Ue e mostramos que o máximo de Ue concentra-se, após passagem para uma subsequência em algum ponto P da fronteira de n, ou seja, temos o seguinte resultado

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6 Introdução

Teorema 0.3 Seja Uç a solução de energia mínima obtida no Teorema 0.2 e PE um ponto de máximo de Uç em D, então

dist(PE, 8D) =O( y;E). (2)

Em particular, PE -t p E an, após passagem para uma subsequência.

Como no caso semilinear, poderíamos indagar se Pé o ponto da fronteira que tem curva­tura média máxima. Uma grande dificuldade para responder este tipo de pergunta, esta no uso das técnicas ultilizadas no caso semilinear, onde foi fundamental a unicidade de solução positiva do problema limite. Além disso, no nosso caso não existe um resultado do tipo Gidas-Ni-Nirenberg [21] para o problema quasilinear (1), ou seja, não sabemos se toda solução positiva de (1) é radial. Entretanto, usando uma técnica devido a Del Pino e Felmer [15] vamos introduzir a curvatura generalizada(veja introdução do capítulo 2) e mostrar o seguinte resultado

Teorema 0.4 Seja P E 8D o ponto limite obtido no Teorema 0.3. Então

c€ =e ~f { ~I(w)- y;€1-l(P) +o( y;E) },

onde 1-l é a curvatura generalizada. Em particular,

1-l(P) = max 1-l(z). zEôíl

(3)

(4)

No caso particular em que 1 < p < 2, um resultado recente devido a Serrin e Tang [39] mostra que toda solução positiva do problema (1) é radial. Nesse caso, a curvatura ge­neralizado(como veremos) coincide com a curvatura média.

No capítulo 3, vamos estudar o problema (QN);... Nesse capítulo, mostramos uma versão do Lema de concentração de compacidade, e com auxílio desse Lema vamos usar argumento de minimização para provar a existência de uma solução u;.. com energia mínima, porém para À grande. Mais precisamente,

Teorema 0.5 Existe Ào >O tal que para À> Ào o problema (QN)>... admite uma solução positiva não-trivial w;,. Além disso, a solução de energia mínima obtida satisfaz a se­guinte estimativa

(5)

Observemos que o argumento de iteração usado no caso subcrítico não se aplica para o caso crítico. Entretanto, adaptando um argumento de blow up devido a Adimurthi­Pacella-Yadava [4], vamos estudar o comportamento assintótico deu;.. e mostrar que nesse caso o ponto de máximo também se concentra em algum ponto da fronteira de D. Temos então o seguinte resultado

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Introdução

Teorema 0.6 SejaM>..= ma..;x:u>..(x) = U>..(P>..), então xEll

i) M>.. ---+ oo quando .À ---+ +oo, N

ii) dist(P>.., 8D) = 0(1/M!), quando .À --t oo. Em particular, após passagem para uma subsequência, P>.. ---+ P E 8D.

7

Finalmente,· nos Apêndices dos capítulos 2 e 3 apresentamos as provas de alguns re­sultados técnicos que foram usados no decorrer desses capítulos.

Para facilidade da leitura desse trabalho, resolvemos repetir os enunciados dos teore­mas na introdução de cada capítulo.

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8 Introdução

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Capítulo 1

Existência de um Ground State

1.1 Introdução

Neste Capítulo, vamos estabelecer a existência de uma solução radial positiva para o problema quasilinear

(1.1)

onde -.6.Pw := -div(/'Vw/P-2\i'w) é o operador p- Laplaciano, 1 < p < q < p* := !:!.P e 1 < p < N. No caso particular em que p = 2, o problema semilinear

(1.2)

foi bastante estudado, e existe uma extensa literatura referente a este problema. No trabalho pioneiro de Strauss [38], usando técnicas de simetrização de Schwarz, ele mostra que a imersão

2N wrl,2(JRN) <-+ Ls (JRN), 2 < s < 2* := N- 2

é compacta. Usando argumento de minimização, ele mostra a existência de uma solução conhecida na literatura por ground state, ou seja, uma solução radial positiva w com energia mínima tal que w e suas derivadas de primeira ordem tem decaimento exponen­cial.

Em [11] Berestycki e Lions, fizeram um estudo mais completo do problema (1.2) tornando-se assim, uma das principais fonte de referências para este tipo de problema.

Em muitos trabalhos, o ground state tem sido fundamental no estudo de vários pro­blemas com características variacionais, onde a idéia é comparar a energia do problema considerado com a energia de algum problema limite.

Na literatura, não conhecemos este tipo de resultado para p =J 2. Nosso objetivo aqui, é provar a existência de um ground state para o problema (1.1). Para isto, seja

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10 CAPÍTULO 1. EXISTÊNCIA DE UM GROUND STATE

I: W 1,P(fflN) -t mo funcional energia associado ao problema (1.1)

Entendemos por uma solução fraca de (1.1), uma função w E W 1,P(JRN) tal que

para toda 'P E W 1,P(JRN), ou seja, w é um ponto crítico de I. Em contraste com o caso semilinear, não existe um resultado do tipo Gidas-Ni­

Nirenberg [21] para o problema (1.1), ou seja, não sabemos se toda solução positiva de (1.1) é radial. Entretanto, em [40] Serrin e Zou estabelece uma condição suficiente para que toda solução positiva de uma classe de problemas quasilineares mais gerais que (1.1) sejam radiais. Mais precisamente, se uma solução positiva tem um único ponto crítico, então a solução é radial. Em [39] Serrin e Tang, estudaram um problema mais geral da forma

onde a não-linearidade f satisfaz as seguintes hipóteses: (H1)f é contínua em (0, oo), com f(u) ~O em (0, b] e f(u) >O para u > b, (H2)f E C 1 (b, oo) com g(u) := uf'(u)/ f(u) não-crescente,

(1.3)

para algum b > O. Neste trabalho, eles mostraram que o problema quasilinear (1.3) admite no máximo uma solução radial positiva. Em particular, a não-linearidade

f(u)=uq-up, p<q,

satisfaz as hipóteses acima, pois

' (q- p)2uq-p-l g (u) =- (uq-p- 1)2 <O, u > 1.

Portanto, o problema (1.1) tem unicidade no espaço das funções radiais. Entretanto, eles não mostraram existência de solução.

Quanto ao decaimento de w, usando o método de iteração de Nash-Moser, Li [26] provou a seguinte estimativa

Teorema 1.1 ( Teorema 1.1 em {26)} Seja w E W 1,P(JRN), uma solução fraca do pro­blema:

-6.pw + lwJP-2w = f(w), em JRN

onde, 1 < p < N, p* := J:!:P e f satisfaz: (]I) f E C(JR, IR) e

lim lf(t)i/itlP =O; t-+0

(1.4)

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1.1. INTRODUÇÃO 11

(h) Existe uma constante b ~ O tal que

lim lf(t)l/lt!P*-l = b. t-+oo

Então, w E L 00 (!RN) e existe C independente de R tal que,

(1.5)

Em particular, limrxl-+oo w ( x) = O.

Como consequência da estimativa (1.5), Li e Yan [27] obtiveram o seguinte resultado, que dá o decaimento exponencial de w

Teorema 1.2 (Teorema 3.1 em [27}) Seja w E W 1·P(JRN) uma solução fraca de {1.4), então w tem decaimento exponencial, ou seja, existem C > O, p > O e R > O tais que

!w(x)! ~ Ce-J.Lixl para lxl ~R.

Recentemente, Rabier e Stuart [37] também obtiveram os mesmos resultados do Teo­rema 1.2. Entretanto, para provar o decaimento exponencial das derivadas, eles supõem que o operador seja fortemente elíptico. Para operadores mais gerais como o p-Laplaciano, nós não conhecemos nenhum resultado nesta direção. A dificuldade está no fato de que em geral, a solução não é clássica. Entretanto, conhecendo que w é radial, vamos mostrar que w E C2(r 0 , oo), e como consequência disto, mostraremos que a derivada também tem decaimento exponencial.

Nosso principal resultado neste capítulo é o seguinte

Teorema 1.3 O problema (1.1) tem uma única solução radial positiva w E C 1•a(JRN)n Wr1·P(JRN) tal que: i) existe T0 > 0 tal que w'(r) ~ 0 para r~ T 0 e W E C 2 (r 0 , oo); ii) w juntamente com suas derivadas de primeira ordem tem decaimento exponencial, ou seja, existem C> O, S > O tais que

(1.6)

para !ai :S 1. iii) Além disso, w é uma solução com energia mínima, ou seja,

O< I(w) ~ I(v) (1.7)

para qualquer solução v de (1.1).

Assim, do Teorema 1.3 fica estabelecido a existência do ground state para o problema quasilinear (1.1).

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12 CAPÍTULO 1. EXISTÊNCIA DE UM GROUND STATE

1.2 Prova do Teorema Principal

Nesta seção, vamos apresentar a prova do Teorema 1.3. Antes de provar o teorema, vamos relembrar alguns fatos que são cruciais na prova

desse resultado.

O primeiro é sobre simetrização de Schwarz para funções em W1,P(JRN)

Teorema 1.4 (veja Teorema 2. 7 em [7}) Seja u 2: O e u* a simetrizada de Schwarz de u. Se u E W 1,P(JRN), então u* E W/,P(JRN). Além disso, u* satisfaz as seguintes propriedades: (pl) para s > 1, JJRN iu*ls = JJRN luis. (P2) JJRN. l\7u* IP :S JJRN l\7ujP.

Observação 1.5 Na verdade este fato foi primeiro mostrado por Sperner em [41}.

Finalmente, vamos relembrar o seguinte resultado (veja Teorema II.1 em Lions [29]) que generaliza o resultado de Strauss. A imersão

(1.8)

é compacta. Utilizando estes fatos e um argumento de minimização vamos mostrar a existência de um ground state para o problema (1.1).

Prova do Teorema 1.3: A prova desse Teorema será feita em vários passos:

Passo 1: Existência Considere o seguinte problema de minimização

onde

M := { u E W 1'P(JRN); LN iulq = 1 }·

Afirmamos que existe U0 E W/,P(JRN) tal que

(1.9)

(1.10)

De fato, considere uma sequência minimizante ( un) para C00• Pelo Lema 7.6 em [18],

l\7lun(x)ll = j\7un(x)l q.t.p em JRN. Consequentemente, podemos supor que Un 2: O, pois (iunl) também é uma sequência minimizante para C00

• Agora, seja u~ a simetrizada de Schwarz de Un. Sendo ( un) limitada, pelo Teorema 1.4 temos

llu~llp = r l\7u~lp + r lu~lp ::; llunllp ::; c. JJRN JJRN

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1.2. PROVA DO TEOREMA PRINCIPAL 13

Assim, podemos assumir que u~ ___;. U0 E w;,P(JRN). Pela semicontinuidade fraca da norma temos,

(1.11)

Por outro lado, por (1.8)

u~ ~ Uo em Lq(JRN) e r luolq = 1. JJRN

Logo, pela definição de coo

(1.12)

Portanto, de (1.11)-(1.12) temos (1.10). Além disso, u 0 ~O. Pelo Teorema dos Multipli­cadores de Lagrange temos

(1.13)

para toda cp E W 1,P(JRN). Após um reescalonamento, obtemos que w = (C00)

1f(q-p)u0

satisfaz

para toda cp E W 1,P(JRN), ou seja, w = (C00)

1f(q-p)u0 é uma solução fraca de (1.1). Além disso, pelo Teorema 1.1, w E L 00 (JRN) e por uma desigualdade tipo Harnack(veja Teorema 1.1 em Trundiger [45]) w >O.

Passo 2: Energia Para mostrar que w é uma solução com energia mínima, ou seja, que (1.7) vale, observe que

I(w) = (~- ~)(C00 )qfq-p. p q

Por outro lado, se v é uma solução fraca de (1.1),

(1.14)

Agora, seja v* a simetrizada de Schwarz de lvl. Pelas propriedades de simetrização de Schwarz e (1.14) temos

(1.15)

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14 CAPÍTULO 1. EXISTÊNCIA DE UM GROUND STATE

Da definição de coo e (1.15) decorre que

r (l\7v*IP + lv*IP) coo < J JRN < ( r I v* Iª r-pjq

- ( r lv*Iª)PIª - JmN ' lm.N

ou seja,

Consequentemente,

I(v) = (-- -) lvlª 1 1 1 p q JRN

Portanto, (1. 7) vale.

Passo 3: Sinal da Derivada Afirmamos que existe r0 >O tal que w'(r) :::; O para r~ r0 • De fato, pelo Teorema 1.2 w tem decaimento exponencial. Sendo p < q, existe R1 > O tal que

(1.16)

para toda O:::; cp E Wr1'P(O, +oo) tal que supp cp C (R1 , oo). Agora, tome r 0 > R1 + 1 e suponha que exista r 1 ~ r0 tal que, w'(r1) > O. Sendo w' contínua, exite o > O tal que w'(r) >O para r E (r1- o, r 1 +o). Agora, considerando a função teste

l'(r)={ o w(r1 + 6) ( s:)

26 r- r 1 + u

w(r)

em (1.16) temos

se

se

se

O :::; r :::; r 1 - 6,

r 1 - 6 < r :::; r 1 + 6,.

r~ r 1 + 6

irl+õ

rN-llw'IP-2w'(r) <O, r1-õ

o que é uma contradição. Portanto, w'(r) :::; O para r~ r0 •

Passo 4: Decaimento da Derivada Afirmamos que w' tem decaimento exponencial. De fato, sendo w radial, pela formulação fraca do problema temos

(1.17)

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1.2. PROVA DO TEOREMA PRINCIPAL 15

onde, f(r) = rN- 1(wª- 1(r)- wP- 1 (r)). Por outro lado, definindo u(r) := froo f(s)ds temos que u'(r) = - J(r). Consequente­mente, se v(r) = rN-1 Iw'(r)IP-2w' u(r) temos

100

v(s)cp'(s)ds = 0, 'i/ cp E w;'P(O, oo).

Portanto, pelo Lema VIII.1 em [12] existe uma constante C tal que

rN-11w'IP-2w' =C+ u(r). (1.18)

Afirmamos que C = O. De fato, suponha que C =I= O. Pelo decaimento exponencial de u e (1.18), existe uma constante C1 > O tal que para r grande

rN-llw'(r)lp-1 ~C- ce-Or ~ Cl,

ou seJa,

lw'(r)l ~c~, r

(1.19)

onde a= ~~11 > 1 e r >O. Integrando (1.19) de R a r e usando o fato de que w'(r) :::::; O para r~ r 0 , obtemos

c1 1 1 -w(r) + w(R) > --(-- -). - 1 - a ra-1 Ra-1

(1.20)

Fazendo r tender a infinito em (1.20) obtemos

(R) c1 1 w > --- (a- 1) Ra-l

para R arbitrário, o que contradiz o decaimento exponencial de w. Portanto,

(1.21)

De (1.21), decorre que w' tem decaimento exponencial. Além disso, w E C2 (r0 , oo). O que prova o Teorema 1.3. •

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16 CAPÍTULO 1. EXISTÊNCIA DE UM GROUND STATE

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Capítulo 2

Caso Subcrítico

2.1 Introdução

Neste capítulo, vamos usar técnicas variacionais para estabelecer a existência e o compor­tamento de solução de energia mínima para o problema de Neumann quasilinear pertur­bado:

(QN)€ ôu {

-Ef:..pU + iuiP-2u = iulª-2u em Sl

ÔrJ = o sobre an,

onde !:..pu := div(i'VuiP- 2\lu) é o operador p- Laplaciano de u , p < q < p* := /:!:P' 1 < p < N, E> O é um parâmetro e D c IRN é um domínio limitado e suave.

Aqui, entendemos por uma solução de (QN)E, uma função u E W1,P(D) tal que

1 Ei'VuiP-2\lu\7~ + 1iuiP-2u~ -1iuiª-2wp 0, V ~E W 1,P(D).

Consideremos o espaço de Sobolev W 1,P(D) munido da norma

e seja J€ : W 1,P(D) -+ IR o funcional de Euler-Lagrange associado ao problema ( QN)€ definido por

Pelas imersões de Sobolev temos que J€ está bem definido. Além disso, usando técnicas usuais do cálculo das variações é fácil verificar que J€ E C 1 (W1,P(D); IR) e

17

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18 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Consequentemente, pontos críticos do funcional J€ são soluções fracas de (QN)€.

Usando técnicas variacionais, mais especificamente o Teorema do Passo da Montanha, vamos mostrar a existência de uma solução u€ para o problema (QN)E. Entretanto, observe que ü = 1, ü = O e ü = 1 também são soluções (denominadas de soluções triviais) de (QN)E. Usando uma caracterização do nível do passo da montanha, vamos mostrar que u€ é positiva. Para mostrar que u€ =f=. 1, usamos o fato de que

JE ( 1) = ( ~ - ~)I DI' p q

e o ground state w do problema limite

-.6.pw + wp-l = wq-l

como função teste na caracterização do nível do Passo da Montanha, para obter uma estimativa superior para J€ ( u€), mostrando que

para é pequeno.

Em nosso primeiro resultado, vamos estabelecer a existência de uma solução para (QN)E quando é> O é suficientemente pequeno.

Teorema 2.1 Existe é 0 > O tal que o problema ( QN)€ possui ao menos uma solução positiva não trivial u€ para qualquer é E (0, é 0 ). Além disso, a solução satisfaz a seguinte estimativa

onde a= (N- 1)H, H a curvatura média em algum ponto da fronteira de rl e

I:= N 1 r lw'IPzNdz, z = (z', ZN ). + 1 JJRN

+

Adaptando o método de iteração de Moser para o operador p-Laplaciano, obtivemos uma estimativa uniforme em é para u€. Usando esta estimativa e um argumento de blow up, provamos que a solução de energia mínima tem o seguinte comportamento assintótico quando é -+ O,

Teorema 2.2 Seja u€ a solução de energia mínima obtida no Teorema 2.1 e P€ um ponto de máximo de uE em s1, então

(2.1)

Em particular, P€ -+ P E ôrl, após passagem para uma subsequência, se necessário .

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2.1. INTRODUÇÃO 19

Como no caso em que p = 2, poderíamos indagar: Pé único? Pé o ponto da fronteira de S1 onde a curvatura média é máxima? Para responder tais perguntas usando as técnicas existente, somos levados a velha questão: Toda solução positiva de (1.1) é radial? Que ainda é um problema em aberto. Entretanto, usando uma técnica devido a Del Pino­Felmer [15] vamos provar que Pé o ponto cuja curvatura generalidada é máxima. Mais precisamente, considere o problema limite

(2.1)+

{ -b, w +wp-I wq-1 em IR~,

w(O) =m~w, w > o em IR~, âw o sobre âiR~, ÔTJ

-

Observe que dada uma solução w de (2.1)+ podemos construir por reflexão uma solução de (1.1). Além disso, as soluções de (2.1)+ podem ser caracterizadas como pontos críticos do funcional energia

sobre o espaço W1·P(IR~).

Denotemos por S o conjunto de todas as soluções do problema (2.1)+ que são de energia mínima com valor crítico dados por:

Além disso, arguindo como no Lema 2.5 adiande, temos

onde N := { u E W 1·P(IRN)\{O}: I~(u)u =O}

é uma variedade de Nehari.

Usando argumento de concentração de compacidade (veja Lema 2.18), vamos mostrar que Sé um subcojunto não vazio e compacto (a menos de translação) de W1·P(IR~).

Para definir a noção de curvatura generalizada , vamos fazer as seguintes considerações sobre o domínio S1: Dado z E âSl, após uma rotação e translação podemos supor que z = O e que existe uma vizinhança V de z de modo que n n V = { ( x', x N) E V : x N > G ( x')}, onde G : Br5(0) r-+ IR, é uma função suave definida na bola B8(0)subsetJRN-l e tal que

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20 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

G(O) =O e G' (O) =O. Como em Del Pino e Felmer [15], para cada w E S vamos definir a densidade restringida pondo

E(w,x') := (~(fV'w(x',O)fP+ fw(x',O)fP)- ~fw(x',O)Iq), para x' E JRN-l (2.2)

e a curvatura generalidada em z E âD. como sendo o seguinte número

1-l(z) := max -21 f (x', G"(O)x')E(w, x')dx',

wES }JRN-1 (2.3)

onde G"(O) denota a matriz Hessiana de GemO. Sendo, S um conjunto compacto temos que 1-l ( z) está bem definida. Além disso, podemos verificar que 1-l ( z) não depende da particular escolha de G, mas somente de z.

No caso particular em que S consiste somente de soluções radiais, verificaremos que

1-l(z) = iH(z), (2.4)

onde - ·- 2N- 1 1 I 'IP d r .- N wN-2 w zN z, + 1 JRN

+

(2.5)

e 1

H(z) := N tr( G" (O)), -1

(2.6)

é a curvatura média de an em z. Usando esta noção de curvatura generalizada introduzida por Del Pino e Felmer [15], vamos mostrar que o ponto limite P obtido no Teorema 2.2 tem a seguinte propriedade

Teorema 2.3 Seja P o ponto limite obtido no Teorema 2.2. Então

(2.7)

onde 1-l é a curvatura generalizada definida como acima. Em particular,

1-l(P) = max1-l(z). zEôfl

(2.8)

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2.2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO POSITIVA 21

2.2 Existência de Solução Positiva

Para garantir a existência de um ponto crítico para o funcional J€, vamos verificar que J€ tem a Geometria do Passo da Montanha, ou seja,

Lema 2.4 O funcional J€ satisfaz: i) J€(0) = O e existem r, p > O tais que J€( u) >r > O para [[u[[ = p; ii)Existe e E W 1,P(Q) com J€(e) <O e [[e[[ > p; iii) J€ satisfaz (PS).

Prova: Pelas imersões de Sobolev,

1 1 1 1 Je(u) = -[[u[[P- -[u[~ 2 -[[u[[P- -c1[[u[[q 2 c[[u[[P; O< [[u[[ < 6.

p q p q

Agora, se <.p E W1,P(Q), r.p 2 O; r.p =/=.O temos

J€(tr.p) = tP r (E[\7r.p[P + r.pP)- tq r i.pq P Jn q Jn

sendo, p < q temos que J€(tr.p) -+ -oo quando t-+ oo. Portanto, existe t0 > O tal que Je(t0 r.p) <O. Escolhendo e= t0 r.p temos (ii).

Para verificar (iii), vamos proceder como em Silva-Soares [43] . Seja (un) uma sequência em W 1,P(Q) tal que

e 11 E[\7un[P-2\7Un \7r.p + fnlun[P- 2unr.p -fn[un[q-2Uni./)l < E[[r.p[[,

V r.p E W 1,P(Q). De (2.9)-(2.10) temos

(~- ~)[[un[[P = JE(un)- ~J;(un).un :s; M + [[un[[. p q q

(2.9)

(2.10)

Consequentemente, (un) é limitada. Assim, podemos assumir que Un ~ u em W1,P(f2), e Un-+ u em Lr(n) para 1 <r< p*. Tomando i./)n = Un- u em (2.10) e observando que [[r.pn[[ :s; C temos

lim { r E[\luu[P-2\lun \7(un- u) + r ([un[P- 2un -[un[q-2Un)(Un- u)} 0 (2.11) n-700 ln ln

Por outro lado, observe que

llun[ª-2Un -[un[P-2unl :s; [un[q-l + [un[P-1 :s; [un[q-1 + (1 + [un[)q-1

:s; C1 + C2[un[q-1.

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22 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Logo, pela desigualdade de Hc>lder

11 (Junlp- 2Un -lunlq-2Un)(un- u)[ ::; C3jjun- ujjq + C4Jiunllr1 Jiun- ujjq

::; CsJiun- ujjq.

Assim, de (2.11)

Da convergência fraca de ( un), decorre que

De (2.12)-(2.13) temos

(2.12)

(2.13)

lim r E(j\7unlp-2\7un -j\7ujP-2\7u)(\7un- \7u) = 0. (2.14) n-roo Jn

Se p ~ 2, para todo a, b E JRN (ver Simon [42]) temos

Assim, de (2.14)

Se 1 < p < 2, existe uma constante CP independente de a e b tal que (ver Simon [42])

(I lp-2 jbjP-2b) ( ) C ia- bj2 a a- . a- b ~ P (jaj + jbj)2-p.

Logo, de (2.14) temos lim r I \7 ( Un - u) 12 = o

n-roo Jn (j\7unl + j\7uj)2-P ·

Por outro lado, usando a desigualdade de Holder e a limitação de ( un) temos

Consequentemente,

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2.2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO POSITIVA 23

Portanto, JE satisfaz (PS). •

Definindo,

onde, r:= { g E C([O, 1], W1,P(D)); g(O) =O g(l) =e},

pelo Teorema do Passo da Montanha de Ambrosetti-Rabinowitz [5] temos que existe uma solução não nula u€ no nível c€.

Para provar que u€ é positiva, vamos primeiramente relembrar a seguinte caracte­rização do nível crítico c€

Lema 2.5 Seja N := { u E W 1,P(D)\{O}: J~(u)u =O},

então c* := inf max JE(tv) c€ c0 := inf J€,

vEWl,p(fl)\{0} t?:O N

onde c€ é o nível do Passo da Montanha. Prova: Sendo, u€ uma solução, temos que maxt>o J€(tu€) = JE(u€) c* ::; c€. Suponha que c* < c€. Assim existe v* E Mfi,P(D) tal que,

c€. Portanto,

Mas, da geometria de J€ decorre que existe um número t* > O tal que J€( e*) = O, onde e*= t*v*. Agora considere o subconjunto

v+:= {>.e+ pe*: >., p ~O}

do subespaço V de W 1,P(D) gerado por e, e*, onde e é definido pelo Lema 2.4 . Seja S um círculo em V de raio R de modo que, R> max{Jiell, lle*il} e JE(v)::; O em v+ n S. Observe que um tal círculo sempre existe. De fato, as normas em dimensão finita são equivalentes.

Agora considere, a curva g que consiste do segmento reto [O, ~~:jll, o arco S n v+ e o

R e segmento [W, e]. Claramente, temos g E r. Além disso, observe que

max JE(g(t)) = maxJE(tv*) < c€. 099 (:::o

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24 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

O que é uma contradição com a definição do nível do Passo da Montanha.

Para verificar a segunda igualdade, note que C0 :S Ce, pois N contém todos os pontos críticos de J€. Por outro lado, dado u E N, maxt>O Je(tu) = Je(u). Consequentemente, c* :S c0 . Portanto, c0 = c€ = c*. •

Proposição 2.6 Seja u€ a solução de (QN)€ obtida pelo Teorema do Passo da Montanha, então uE é positiva.

Prova: Denotando por u: = max( ue, O) e u-; = min( u0 O) temos que Ue = u: - u-;. Agora, suponha que u: O e u-; =/= O. Defina h : [0, oo) -+ IR pondo,

h+(t) := JE(tun = tP f (E!\7u:IP + !u:!P)- tq f !u:!q. P Jn q Jn

Sendo, u€ uma solução fraca de (QN)e temos maxh+(t) = h+(1). Analogamente, se t?;O

h-(t) := J€(tu-;) tem-se, maxh-(t) = h-(1). Por outro lado, pelo Lema 2.5 temos t::::o

c€ = J€(ue) = JE(u:) + JE(u-;) = h+(1) + h-(1) = maxt?:O h+(t) + maxt?:O h-(t) ~ Ce + c€ = 2c€.

O que é uma contradição. Portanto, uE não muda de sinal. Agora, note que se J;(ue) =O, então J' ( -ue) = O. Assim, podemos supor u€ ~ O.

Para mostrar que Ue > O, observe que

ou seJa,

Sendo, g(t) = tP-l uma função não-decrescente tal que g(O) O e

t 1 lo (g(s)s)-"Pds = oo,

o Princípio do Máximo devido a Vasquez ([47], Teorema 5) implica que ué > O.

2.3 Uma Estimativa para cE

Obser:vando .. que u = 1 é uma solução positiva de (QN)€, vamos proceder como em Ni­Takagi [31] para obter uma estimativa assintótica do nível crítico c€, para mostrar que a

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2.3. UMA ESTIMATIVA PARA Cf. 25

solução obtida acima satisfaz Uç ~ 1.

Agora, usando a caracterização de ué dada pelo Lema 2.5 e o ground state w do problema limite (1.1) obtido no Capítulo 1, vamos construir uma função comparação adequada para comparar Cç com I ( w), onde

Para fazer isto, seja P E éJQ um ponto arbitrário da fronteira de r2, após uma translação e uma rotação, podemos supor sem perda de generalidade que P = O (origem) e que o eixo.:.xN coincide com a normal interior a éJQ em P, pois o operador p-Laplaciano é equivariante, ou seja, a formulação fraca é invariante por uma transformação ortogonal. Sendo n suave, existe uma função suave 'ljJ: BRJO) n {xN O}-+ IR tal que i) '1/J(O) =O e \7'1/J(O) =O; ii) an n BRo(O) = { (x',xN)/xN = '1/J(x')} e n n BRo(O) = { (x',xN) E BRo(O);xN >

'1/J(x') }, onde (x1, ... xN) = (x', XN ).

Para y E IRN com JyJ suficientemente pequeno, defina a aplicação 1? : IRN -+ IRN pondo 1?(y) = (1?1(y), ... , 1?N(Y)) = x, onde

1? ·(y) = { Yj- YN g~ (y') para J YN + '1/J(y') se

j = 1, ... ,N -1

j=N.

Sendo \7'1/J(O) = O, é fácil verificar que D1?(0) = I, onde D1?(0) denota a matriz jacobiana de 1? e I é a matriz identidade. Portanto, 1? tem uma inversa y = 1?-1 (x) para Jxl < 8'. Denotemos por \ll(x) = (w1(x), ... , WN(x)) = 1?-1(x) = y. Fixemos, 11, > O suficiente­mente pequeno de tal forma que 1? esteja definida em B3,.,.

Para p > O, defina a função truncamento f,p : [0, +oo) -+ IR por

Seja w o ground state do problema limite

se se se

obtido no Capítulo 1, e w* a função definida por

o~ t ~ p, p < t ~ 2p, t > 2p.

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26 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Além disso, denote por DJ := 1>(Bjk) para j = 1, 2.

Onde B: = Br n IRf_. Note que D1 c D2 c n. Agora, defina a função comparação cp€ como segue:

( ) _ { w*(w(x)/ y!E) cp€ X - 0

se x E D2, caso contrário.

Pela caracterização de c€ estabelecida no Lema 2.5, c€ :=:; max JE(tcp€). Por outro lado, t;::o

da geometria do funcional J€, existe ta = ta (E) > O tal que

c€ :::; t~ r (JV'cp<JP + ~) _ tâ r cp~. P ln q ln (2.15)

Para calcular o lado direito em (2.15), vamos usar os seguintes lemas técnicos que pro­varemos no Apêndice deste capítulo. De agora em diante, w sempre denotará o ground state obtido no Capítulo 1.

Lema 2.7 Para 1:::; j:::; N- 1, temos

e

onde

Lema 2.8 w satisfaz

Além disso,

k:: Jw'JP-2 (z)(~~fzNdz = 1 ;

1 ,1 1 N + 1 l-wP - -wª)zNdz = 21 - --

m:; P q P

Lema 2.9 Quando E -7 O, temos

1 cp;(x)dx = EN/p{ LN wr(z)(1- ay/EzN)dz + 0(E21P) }, +

onde a= .6.'1/!(0).

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2.3. UMA ESTIMATIVA PARA C€ 27

Lema 2.10 Quando E -+ O,

Como consequência dos Lemas acima temos o sequinte resultado:

Proposição 2.11 Seja h€: [0, oo)-+ IR definida por hé(t) := Jé(trp€). Então para cada E> O suficientemente pequeno, h€ atinge seu máximo em um único ponto t0 = t 0 (E) >O. Além disso,

to= 1 + ;Jy/E +o( \IE) quando E-+ O, onde /3 é uma constante.

Prova: Se hE : [0, oo) -+ IR é definida por, hé(t) := JE(t'l/J€) temos que h~(to) = O se, e somente se, to = O ou,

E 1/\7rpEJP + 1 <P: = t~-p 1 rp~. Consequentemente, h€ atinge um único máximo em t0 = t0 (E) > O. Para mostrar que t 0 = 1 + /3 :e/E+ o( :e/E), ponhamos s = :e/E e defina

ou seja,

Portanto, pelos Lemas 2.9 e 2.10 temos

a(s, t) = tP-1 r (/w'/P + wP)- tª-1 r wª- tP-1(N + 1- p)o:rs Jm~ Jm~

+s LN (tP-lwP- tª-1wª)zNo: + O(s2).

+

Agora, observe que a(O, 1) =O e

O"t(O, 1) = (p- 1) r (/w'jP + wP)dz- (q- 1) r wª = (p Jm~ Jm~

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28 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Pelo Teorema da Função Implícita, existe t(s) definido em sE [0, s**) tal que o-(s, t(s)) = O e t(O) = 1. Além disso, quando E--+ O

t(E) = t(O) t'(O)y/E +o( y/E) = 1 + t'(O)y!E +o( y/E) = 1 + ;1y!E +o( y!E).

Notando que h~(t) 0 (s)) = sN o-(s, t0 (s)) =O temos t 0 (E) = 1 + j1y/E +o( y!E). O que prova a Proposição 2 .11. •

Agora estamos pronto para provar o principal resultado desta seção

Proposição 2.12 Para E suficientemente pequeno,

c€:::; /f; { ~I(w)- O:(~+ o(~)}·

Prova: Pela caracterização de c€ dada pelo Lema 2.5 temos

Cç :S: maxJ<(tr.p€) = J<(tor.p<) = t~ r (EIV'r.pEIP + <pn- tb r <p~. (2.16) t;:::o p ln q ln

Agora, vamos calcular o lado direito de (2.16). Usando fórmula de Taylor, Lema 2.9 e Proposição 2.11 segue

= E%(1 + (/1 + o(1))y!E)q{ LN wq(1- o:~zN)dz + 0(E21P)} +

=E !f; ( 1 + q(/1 + o(1))y/E + 0(E2/P)) { r N Wq(1- O:~ZN )dz + 0(E2/P) }· }IR+

Pelo decaimento exponencial de w, obtemos

Analogamente,

Por outro lado,

= E%((1 + p(/1 + o(1))y!E + 0(E2/P)){ LN iw'IP- (N + 1- p)o:r~ + 0(E21P)} +

=E% { LN iw'IP + p/1~ LN iw'IP- (N + 1- p)o:r~ + o(E11P) }· + +

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2.3. UMA ESTIMATIVA PARA C€

Consequentemente,

O fato de w ser radial implica em

r (~(fw'fP + wP)dz- ~wq)dz = ~J(w). JJRN p q 2

+

Além disso,

21 ([w'[P + wP- wq)dz IR !f_

= r ([\i'w[P + wP- Wq)dz JJRN

Pelo Lema 2.8,

Portanto,

a -[(N+1-ph p

= r ([\i'w[P-2\i'w\i'w + wP- Wq)dz = Ü. JJRN

+ r wPzN- E r wqzN] JJR!j_ q JJR!j_ a 1 wP wq = -[(N + 1- P)! + p (-- -)] p ~ p q a = - [ ( N + 1 - p h + ( 2p - ( N + 1) h] p

=a,.

c€:::; //; { ~I(w)- a1f/E +o( f/E)}· O que prova a proposição 2.12.

Prova do Teorema 0.2: Sendo, u€ uma solução de (QN)€ temos

1 é[V'u€1p-2V'u€V'<p + fnru€rp-2u€<p = fnru€rq-2u€<p, 'rf <p E W1,P(f2).

Escolhendo, <p = u€ obtemos

Consequentemente, pela estimativa de c€

29

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30 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

N

Por outro lado, JE(u) = (~- ~)JOJ. Assim, escolhendo E tal que C0EP < (~- ~)JOJ, temos que uE =I= u. O que prova o Teorema 2.1. •

2.4 Urna Estimativa Uniforme para uE

Baseado no método de iteração de Moser, vamos obter uma estimativa uniforme para a solução de energia mínima uE. Sobre a regularidade do problema (QN)E temos a seguinte observação:

Observação 2.13 Seja uE a solução obtida no Teorema 2.1. Como consequência do Lema3.12 e Teorema 2 em Lieberman [24} uE E C1,a(f2)

Proposição 2.14 Seja uE a solução de energia mínima do problema (QN)E obtida no Teorema 2.1, então existe C0 = Co ( N, p, q) tal que

(2.17)

Em particular, uE -7 O em medida em n quando E -7 O. Além disso, existe uma constante C1 > O,C1 = C1(p,q,N) tal que

(2.18)

Prova: Da prova do Teorema 2.1 temos (2.17). Para mostrar a estimativa (2.18), vamos usar o método de iteração de Moser. Fixado E0 >O, para v E W 1·P(Q) e E E (0, E0 ), segue dos teoremas de imersão de Sobolev que

( fnlvJP*) ?- :::; ,-pE-k ( 1 EjV'vJP + JvJP) dx, (2.19)

onde K = N~;::P), e 1 depende somente de N e E0 •

De fato, seja nE := {y; f/Ey E n}. Definindo cp(y) :=v( f/Ey) com y E nE temos

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2.4. UMA ESTIMATIVA UNIFORME PARA U€ 31

Agora, observe que a constante de imersão 1€ depende somente de N e da propriedade do cone. De fato, pelo Lema 5.14 e Corolário 5.16 em Adams [1], 1€ não depende do volume de n€. Portanto, fE é uniforme para é E (0, éo]·

Para obter uma estimativa uniforme para u€, note que

Em particular, tomando cp = u~s-l)p+l E W1,P(n); (s 2: 1) segue

((s- 1)p + 1)s-P l é/\7u:JP + 1 u? = l u~+(s-l)p. (2.20)

Fazendo v= u~ em (2.19) temos

(2.21)

Note que se s 2: 1 e p > 1, então ((s- 1)p + 1) 2: s, ou seja, ((s- 1)p + 1)s-P 2: s-P+1. Assim, (2.20) - (2.21) implica que

:::; ,-pcK ( l (/\7u~JP + u!P))

:::; ,-pé-K ( sP-l 1 (sP~l/\7u~JP + sP-lu~P))

:::; ~-pé-K Sp-l ( 81-p 1 (é/\7u!JP + u:P))

:::; ,-pcKsp-l(((s -1)p+ 1)s-P l (é/'lu!JP + u?))

< -p -K p-lj q+(s-l)p _ 1 é s u€ n

Consequentemente, para s 2: 1 temos

Agora vamos definir duas sequências, (sj)j?:.O e (Mj)j?:.O pondo

{ q + ( 8 0 - 1 )p = p*, q + (sj+l- 1)p = p*sj,

e

{

(2.22)

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32 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Sendo, p < q < p* temos Sj > 1 e Sj --t oo. De fato,

q-p Sj+l- Sj =

p*- p

Afirmação:

e 1 uq+(sJ-l)p < M./f;

€ - J ' n

M· < emSj-l J- '

'V . >o ]_

para algum m >O. De fato, por (2.19) e (2.17) para E E (0, E0 ) obtemos

:s; ( ,-pcK r (E/\7ue/P + U~)) "i Jn .

:s; ( ,-pcKC0 Elf) %-!f.._K i:_ !:!.. = Mo (E P ) P = M0 E P •

ou seja, (2.23) vale para j = O. Por indução segue que

De modo que (2.23) vale.

Para mostrar (2.24), defina f.i,j := lnMj. Logo,

MJ+l = lnMj+l = ln(1-Psr1Mj)"i = ~ ln(1-Psr1Mj) = P; {ln Mj + ln( ,-p s:;-l)} = P.:...u. + (J· p r] ]'

onde J.Lj = ln Mj e (Jj --:- ln( ,-p sr1) "i. Consequentemente,

(Jj = P; ln(ArPsr 1) = P; [ ln(ArP) +In s:;-1

]

= c1 + c2 ln Sj.

Sendo S 0p = p* - q + p, temos S 0 p* = '? (p* - q + p). Logo,

So(P* - p) p*

=-(p* q+p)-(p*-q+p) p p* * = - [ (p - q + p) - p] + q p ~ p ( * ) =- p -q +q-p. p

(2.23)

(2.24)

(2.25)

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2.4. UMA ESTIMATIVA UNIFORME PARA U€

De modo que

Usando indução temos

Portanto, de (2.25)-(2.26) obtemos

onde c*(p*,N,"(,p,q,A).

Defina (Tj)j20 pondo,

p* . CJj :S c1 + c3ln(- )1+1 :::; c*(j + 1),

p

{ To = f-lo,

Tj+l = p; Tj + c*(j + 1).

Observe que /-lj :::; Tj para j ~ O. Além disso,

p* * * * T1 = -To + c =? PT1 = p f-lo + pc

2 * P* * * e p TI = -!-lo + p c .

p p

Assim, p* p * p

T1 = -(!-lo + c ) - c*. p p*- p p*- p

Usando indução encontramos que Tj é dada explicitamente por

p* . p p* Tj=(-)1(!-lo+ c*)-pc*(p*)-1[j+ ].

p p*- p p*- p

Consequentemente,

Por outro lado, de (2.26) obtemos

Sj-1 ~ (p* - p)-1(p* )j (p* - q) ~ C2Tj, p

ou seja, /-lj = ln Mj :::; Tj :::; msj_1.

Logo, Mj :::; emsj-l, o que mostra (2.24).

Agora, vamos mostrar a estimativa (2.18). De (2.24)-(2.25) segue que

~ m~ = ep• E•J-lP .

33

(2.26)

(2.27)

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34 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Fazendo j -+ oo, obtemos lluEfloo ~ e;;, o que mostra (2.18). •

Como consequência do resultado acima, vamos obter a seguite estimativa em Lr (D) para r~ p- 1.

Lema 2.15 Seja uE a solução de energia mínima obtida no Teorema 2.1, então

k u: ~ C(N,p, q)E% para r~ p 1.

Prova: Pela Proposição 2.12 temos que

1 u~ ~CoE% e

Dessa forma, para r ~ q encontramos

1 u: = 1 u:-qu~ ~ C2Elf.

Por outro lado, sendo uE solução

1 (Ei'VuEiP-2\7uE\7<p + u~- 1 so) = 1 u~- 1 <p,

para toda <p E W 1,P(D). Em particular, escolhendo <p = 1 obtemos

1 u~-1 = 1 u~-1· Observando que p- 1 < q- 1 < q, temos q- 1 = (t- 1)(p- 1) + tq. Assim, pela desigualdade de Hõlder

ou seja, 1 u~-1 ~ 1 u~. Portanto, 1 u: ~ C(N,p,q)E% para r~ p -1 > 1,

o que prova o Lema.

(2.28)

(2.29)

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2.5. CONCENTRAÇÃO DA SOLUÇÃO 35

2.5 Concentração da Solução

Usando um argumento de blow up vamos mostrar que se a solução de energia mínima Ue atinge seu máximo local em PE E n ' então PE vive perto da fronteira de n quando E é suficientemente pequeno. Vamos iniciar com um resultado que compara a solução constante ü = 1 com a solução de energia mínima Ue

Lema 2.16 Se Ue atinge um máximo local em Xo E n, então

Ue(Xo) 2: Ü.

Prova: Suponha que ue(xo) < 1. Sendo, p < q temos -f':lpu€ ::; O no sentido fraco. Se Xo E n, considere uma bola B(xl, R) c n tal que Xo E âB(xi, R). Pelo príncipio do máximo em Vasquez [47] obtemos ôuá~xo) <O, que é uma contradição com o fato de que

Y'ue(Xo) =o. Se Xo E an, novamente pelo príncipio de Vasquez segue-se que ôuá(xo) < o . ry

o que contradiz a condição de fronteira. Portanto, o lema é válido. •

Agora estamos pronto para provar o Teorema 2.2

Prova do Teorema 2.2: Suponha que (2.1) não ocorre, ou seja, existe uma sequência decrescente Ej --+O tal que

Pj := dist(Pj, âD)j y!Ej--+ +oo, j--+ +oo,

onde Pj é a abreviação de Pej. Definindo, Vj em BPj por

temos

(2.30)

Além disso, observe que vj(O) = Uej(Pj) 2: 1. Agora, note que pela Proposição 2.14 Vj é uniformemente limitada. Fixado R> O arbitrário, existe j 0 (R) tal que BR(O) C BPj para j > j 0 (R). Pelo Teorema 2 em Lieberman [24] ou Teorema 1 em Tolksdorf [44], existem C> O, que depende somente de B,p, N e a E (0, 1) tais que

Vj E C1'a(f3) e llvjllcl,a(.B) :S C 'ij 2: Jo·

Consequentemente, pelo Teorema de Ascoli-Arzelá existe v E C1·a(f3) e uma subsequência de (vj)(que vamos continuar indicando também por Vj) tal que

Vj --+v em C1(B).

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36 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Passando o limite em (2.30) obtemos

r l\i'viP-2\i'v\i'r.p + r vP-lr.p- r vq-lr.p =o, v r.p E CC:(BR)· JsR JsR JsR

Além disso, observando que

O ::; v ::; 1 e v(O) = 1,

segue do princípio do máximo de Vasquez [47] que v> O. Usando um argumento diagonal obtemos

ou seja, v é uma solução fraca do problema

Pelo Teorema 1.2, v tem decaimento exponencial, ou seja, existe f-l > O e C0 > O tal que,

Fixe R arbitrariamente grande e seja, ER := e-f.Ll}. Então, existe jR tal que se j > jR então Pi 2: 2R e

pois Vj -t v em C 1. Sendo,

1 1 i 1 1 !:Li 1 1 !:Li c€j = (-- -) u~j(x)dx 2: (-- -)Ej u~j = (-- -)EJ vj(z)dz,

p q 11 p q lx-Pjl<~ p q izi<R

temos

onde,

r vq(z)dz} JsR

Ei := (~- ~) r (vj(z)- vq(z))dz. P q JsR

Pelo Teorema do valor Médio temos

vj(z)- vq(z) = q(v(z) + 8(v(z)- Vj(z)))q-l(v(z)- Vj(z)).

Mas, pela Proposição 2.14 ( Vj) é uniformemente limitada. Portanto,

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2.6. PROVA DO TEOREMA 2.3

Agora, observe que

(-- -) vª(z)dz = I(v)- (-- -) vª(z)dz. 1 1 1 1 1 f p q BR p q /z/>R

Logo, pelo decaimento exponencial de v temos

O < (- - -) vª(z) ::; C3e-~tR. 1 1 1 P q !zi>R

Consequentemente,

C . > E lf; {I(v) - Ce-MR} €J - J '

onde C e J.L1 independe e de j e R. Por outro lado, pela Proposição 2.12

c€J :S /j { ~I(w)- o:r{IE +o( {!E)}·

N

Escolhendo o: > O, para E suficientemente pequeno temos c€j < E f~ I ( w). Mas, pelo Teorema 1.3 temos que I(w)::; I(v). Portanto,

37

Fazendo R tender a infinito, obtemos uma contradição. Portanto (2.1) vale e o Teorema esta provado. •

2.6 Prova do Teorema 2.3

Para provar o Teorema 2.3 vamos inicialmente estabelecer alguns lemas para justificar a boa definição da curvatura generalizada.

Lema 2.17 Suponha que S consiste somente de soluções radiais, então

1-l(z) = :YH(z), (2.31)

onde H é a curvatura média e

(2.32)

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38 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Prova: De fato, se w é radial

LN-l (x', G"(O)x')E(w,x')dx' 100

N-2 ~ 2 = WN-2 r L Gii(O)r E(w, r)dr o i=l

= (N- 1)wN-2H(z) 100

rN E(w, r)dr = :YH(z),

(2.33) onde

:Y = (N -1)wN_2100

rNE(w,r)dr.

Portanto, pelo Lema 2.8 temos

- ( N - 1) 1 I 'IP r= 2 N WN-2 w ZNdz. +1 N IR+

• Agora, vamos usar um argumento de concentração de compacidade para provar o se­guinte

Lema 2.18 A menos de translaão, S é um conjunto compacto e não vazio.

Prova: De fato, seja ( un) em S. Denotemos também por ( un) a reflexão de ( un) para JRN. Pela definição de S e imersões de Sobolev segue que

//unJJP = r /VunJP + /unJP = r /un/q ~ c/lun/lq, JJRN J JRN

ou seja, /lun /1 ~ C > O, onde C independe de n. Sendo,

I+(un) = Cf e I~(un) =O,

obtemos que ( un) é limitada.

Afirmamos que existe um 6 >O tal que

lim SUp r lunJP > 6. n-+oo yEJRN J B(y,l)

De fato, suponha que (2.34) não ocorre, ou seja,

sup r lun/p --+ o, n--+ oo. yEJRN J B(y,l)

(2.34)

Seja p < s < p* e u E W 1,P(JRN). Pela desigualdade de Hõlder e imersão de Sobolev temos

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2.6. PROVA DO TEOREMA 2.3

onde À = 8.-P p*. Escolhendo, À = pjs obtemos

p -p s

r luis$ cslulrp(~(:,l) r (i\7uiP + iuiP). J B(y,l) J B(y,l)

39

Agora, cobrindo JRN por bolas de raio 1 de tal forma que cada ponto de JRN esteja contido no máximo em N + 1 bolas, temos

1 ( 1 ) (1->..)s/p 1 luis S (N + 1)c8 sup luiP (IV'uiP + luiP).

IRF yEJRN B(y,l) B(y,l)

Portanto, Un --tO em L 8 (JRN). Por interpolação temos que Un--tO em Lr(IRN), p <r< p*. Em particular, Un --tO em Lª(JRN). Dessa forma,

O< Cf = I(un) = (~- ~) r !uniª --t,O P q lmN

o que é uma contradição. Assim, (2.34) ocorre. Consequentemente, podemos extrair uma subsequência (Yn) c JRN tal que

r iunlp > 6/2. } B(yn,l)

(2.35)

Definindo, Vn(x) := un(x + Yn) temos lvnlp = iunlp· Sendo (un) limitada em W 1'P(JRN), podemos assumir, indo se necessário para uma subsequência

Vn ~V em W 1,P(JRN), Vn --t V em Lzoc(JRN), p S r< p*, Vn --t v q.t.p em JRN.

Por (2.35) v i= O. Além disso, pelo pelo Teorema 1 em Yang-Zhou [50] temos que v E S. Sendo, Cf = (~- ~)llvniiP e Cf = (~- ~)llviiP temos, limn-+oo llvnll = llvll· Pelo Lema de Brézis-Lieb (veja Lema 4.6 em [22]) temos Vn --t v em W 1,P(JRN). Portanto, (S) é compacto.

Afirmamos que S é não vazio. De fato, considere o subgrupo de O(N) definido por G := O(N- 1) x {id}. Defina a ação de G em W 1,P(fl) pondo

gu := u(gx', XN ).

Para N ~ 3, temos que IRIJ. = JRN-l x R+ é compatível com G, ou seja,

lim m(y, r, G) = oo, IYI --t oo, dist(y,IR/;_) S:r

onde m(y, r, G) := sup{n E> O: j i= k =? B(gjy, r) n B(gky, r)= 0}.

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40 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Denotemos por W<~/(R~), o subespaço de W1,P(R~) constituídos das funções que são invariantes por G, ou seja,

Wá:P(R~) := { u E W1'P(R~) : gu = u }.

A mesma prova do Teorema 1.24 em Willem [49] implica que a imersão

Wi;'P(R~) <-t Lª(R~) p < q < p*,

é compacta.

Por outro lado, pelo Teorema do Passo da Montanha temos que o funcional h : Wi;'P(R~) -+ R tem um ponto crítico w no nível c+ definido como acima, ou seja, I+(w) =c+ e

r IVwiP- 2 \7w\7cp + r lwiP- 2w<p = r lwlª-2wcp, \::f<p E Wi;'P(R~). j IR:: j IR:: j IR::

Usando uma versão do Princípio de Criticalidade Simétrica para espaços de Banach devido a Demengel e Hebey [16], obtemos que w+ é uma solução em W1,P(R~), ou seja,

r l\7wiP-2 \7w\7cp + r lwiP-2wcp = r lwlª-2wcp, \::fcp E W1'P(R~). J IR:: J IR:: J JR!j_

Fazendo uma reflexão com relação ao hiperplano XN = O, obtemos uma solucão fraca w em _mN. Além disso, pelo Teorema 1.2 w tem decaimento exponencial. Consequen­temente, podemos supor que maxan w(x) = w+(O). Usando a mesma prova como na Proposição 2.6, obtemos que w > O. •

Prova do Teorema 2.3 :

Primeiramente, vamos obter uma estimativa inferior para cé. Para isto, seja Pé E 80. um ponto onde ocorre o máximo de ué em 80.. Pelo Teorema 2.2, I F€- FI/ -{!'E é limitada. Sejam n€ := ~(0.- P€) e v€ : né 1--t .m definida por

v€(y) = u€(P€ + \(Êy).

Usando o mesmo argumento como na prova do Teorema 2.2 obtemos

v€-+ w em C1~~(R~),

onde w resolve

{

-llpw + wP- 1

ow 07]

o em _mN +

em~.

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2.6. PROVA DO TEOREMA 2.3 41

Além disso, pelo Teorema 1.2 w tem decaimento exponencial, ou seja, existem cons­tantes positivas c e e tais que w(y) ::.::; ce-81YI. Portanto, da convergência c~~~ temos v€ (y) :::; ce-Biyl para y E D.

Seja \!;; uma vizinhança de Pe Após uma rotação uma translação, podemos supor sem perda de generalidade que P€ = O e existe uma parametrização local da fronteira em p€ tal que G€(0) =O, G~(O) =o e n n \!;; = {(x',xN) : XN > GE(x')}. Além disso, podemos supor que G E --+ G em C2 , onde G é uma parametrização local da fronteira em P.

Denotemos por JA, a restrição de J€ ao conjunto A. Pela caracterização de c€ temos

para todo t > O. Agora, note que

YN = GE(y') := G€( \!Ey')/ \!E

(2.36)

é uma parametrização DE na origem. Considere Ve := \/;;/f/E e estenda v€ para IRf_ n Ve da seguinte forma

Assim,

onde,

se se

O~ G(cy'), O< G(cy').

J1 := -J(n,nV.)\IR/:. (tv€) e J2 := J(JRNnV.)\n. (tV).

(2.37)

Escolhendo t€ tal que J mN (tv€) atinge o seu máximo em t€ e usando a definição de Cf +

temos lmNnV. (tEvE) = lmN(tEv€)- lmN\V. (tEv) > Cf- lmN\V. (tEv)

+' + +'- +' = ~coo- JIR!f.\V.(tEv).

(2.38)

Mas, pelo decaimento exponencial de w temos

(2.39)

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42 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

para algum a > O. De fato, primeiramente, note que tE = 1 + !3\IE +o( f/E). Por outro lado, considerando r_p E C1 (D; IR) definida por:

r_p(x) :={ ~ se se

lxl <R, lxl > 2R

com O ::; r_p ::; 1, I \7 r_p I ::; 1 I R e escolhendo uEcpP como função teste temos

11'VuJPcpP::; p 11'Vulp-ll\7r_plcpP-l + 11f(u)lr_pP,

onde f(u) = uq- uP. Usando a desigualdade de Young obtemos

11\7uiPr_pP::; é 11\7uiPr_pP +c( E) 1l\7r_piPuP + 11f(u)lr_pP,

ou seja,

r I'VuiP ::; cl R1 r uP + c2 r I!( u) lcpP. Jnn{JxJ>2R} P Jn Jn

Usando o decaimento exponencial de vE obtemos a afirmação anterior. Portanto,

Por outro lado,

J1 : = -Jcn.n"\i.)\IRt (tvE)

=- r dy' r (~(l\7(tEVE)IP+ (tEVE)P)- ~(tEvfY)(y',yN)dyN, JB, la.(~y')-1~ P q

onde BE = {IY'I < 6 I f/E}.

Por outro lado, pela Proposição 2.11,

Pela fórmula de Taylor e o decaimento exponencial de vE obtemos

J1 : = Jcn.nV.)\IR'f.. (tvE)

= r dy' r (~(l\7vE(y',yN)IP+v/(y',yN))- ~vEq(y',yN))dyN+0(e-!3l~), JB, la,(~y')-1~ P q

onde f+= max{f, O} e f-= min{f, 0}. Similarmente,

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2.6. PROVA DO TEOREMA 2.3 43

Agora, observe que

Gé(y') = vE (y' G"(O) ')+O(~) yE 2 'E y E.

Desde que G E -+ G em cl~C' pelo Teorema da convergencia dominada obtemos

N-1

~L r G~j(O)y~yj(~([\7w(y',O)IP +wP(y',O))- ~wq(y',o))dy' .. JJRN-1 p q t)

= -2

1 r (y', G"(O)y')E(w, y')dy' :S 1-l(z). JmN-1

(2.40) Portanto, de (2.36) - (2.40) obtemos

(2.41)

Para obter a estimativa superior, seja w uma função onde 1-l atinge o seu máximo em s e w a extensão de w para JRN. Dado z E an, pela caracterização de CE temos

(2.42)

onde v(x) := w(x~n- Considere G: Bs-+ IR uma parametrização como no caso anterior e observe que pelo decaimento exponencial de w

N

= EP In. (tw)

=/i Icn.nv")(tw) + Icn.nvn(tw)}

=/f; Icm:(.nv8 )(tw) + Icn.nv8 )\IR:(.(tw)- I(JRNnv8 )\n.(tw) + O(e-al~)} :S /f Im:: (tw) + Icn.nv5 )\IR:(. (tw)- Icm:(.nvmn. (tw) + O(e-al ~)}

onde v;, é uma vizinhança da origem em n<. Portanto,

onde

r:= ~ (- Icn.nv&)\IR:(.(tw) + I(IR:(.nvõ)\0.. (tw)).

Procedendo como no caso anterior obtemos

N-1

JE -+ ~L r G~j(O)y~yj ( ~([\7w(y', O) lp + wP(y', O)) - ~wq(y', O) )dy' .. JmN-l P q ZJ

-2

1. r (y', G"(O)y')E(w, y')dy' = 1-l(z). J JRN-l

(2.43)

(2.44)

(2.45)

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44 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Portanto, de (2.42)-(2.45) obtemos

1-l(z) ~ 1-l(z) (2.46)

para todo z E 80., o que prova o Teorema. •

2. 7 Apêndice

Nesse Apêndice, vamos proceder como em Ni-Takagi [31] para estabelecer alguns resul­tados técnicos que foram usados nesse capítulo. Iniciemos com Prova do Lema 2. 7: Vamos introduzir o sistema de coordenadas polares:

Note que

z1 = rsen()N_ 1sen()N-2···senB2senB1 ,

z2 = rsenBN-1sen()N-2···senB2 cos B1,

z3 = rsenBN_ 1sen()N_2 ... cosB2, ... ,

ZN = r COS ()N_ 1.

IR~= {(r, B1, ... , ()N-1)/r >O, O:::; B1 < 211, O:::; ()j :::; 11,j = 2, ... , N- 2, O:::; ()N-1 < ~ }.

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2. 7. APÊNDICE 45

onde fi = 17r senJede, j = 1, ... , N- 3.

âw(z) w'(r)zN Por outro lado, sendo ~ ( ) = obtemos

UZN Z r

Portanto

onde,

De maneira análoga tem-se

1 )lp-2(âw 2 - . -IV'w(z ~) ZN- /, J - 1, ... , N- 1. IR!(. UZj

• Prova do Lema 2.8: Sendo w solução radial

r IV'wlp-2\i'wV'~ + r wp-1~ = r wq-1~, 'í/ ~E wl,P(JRN). }IR!(. }IR!(. }IR!(.

Em particular, se ~ = z'fv lz: temos

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46 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Por outro lado, integrando por partes e usando o decaimento exponencial de w segue que

1 () wª wP 2 = -(---)zN

JRN OZN q p

1 + [ 100 wª wP wª wP j oo] = dx' - 2 (- - ZNdZN + (- - -)zÃr

JRN -1 0 q p q p O

1 wª wP = -2 (- -)zNdz IR!j. q p

(2.48) Consequentemente, de (2.47)-(2.48) obtemos

ou seja,

Portanto,

Além disso, sendo tz% = w'zN/r temos j\7w(z)j = Jw'(r)J. Portanto,

• Para provar o Lema 2.9, vamos inicialmente relembrar o seguinte resultado

Lema 2.19 Sejam W, 1> e 'ljJ como definidas na seção 2.3. Para IYI--+ O, temos:

detD1?(y) = 1- ayN + O(jyj 2); (2.49)

N-1

I

Y 1

2 "'"' YiYj 2 -

1 1

Dw(1?(y)) = 1 + 2yN ~ 1/Jij-J J2 + O(jyj ), y . . 1 y

t,)=

(2.50)

onde a= ~1/J(O) e 1/Jij = ( 8~;2

txj ). Prova( veja Lema A.1 no Apêndice de [31] ).

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2. 7. APÊNDICE

Prova do Lema 2.9: De fato, pela definição de <p€

Introduzindo a mudança de variável y = :iff-z e fazendo R= ~' de (2.49) obtemos

r <p: = //; r w:(z){l- CY.vEZN + 0(E2/Pjzj 2}dz ln lBtR

N

= (r;(Jl + 12)

onde, 11 é a integral sobre B~ e 12 é a integral sobre BiR \ B~. Observando que, {lER= 0(1) temos

jl- CY.:ifÉZN + O(jE21Pzj2) :::; C0 , 'i/ z E BiR,

47

onde Co independe de R. Agora, note que w* :::; w. Consequentemente, pelo decaimento exponencial de w

12 = r w:(z){l- CY.vEZN +O(( f/Eizl) 2)}dz :::; cRN-le-Tfl-R lBtR\B~

:::; CRN-1~'-;-r-:::­

= O(E).

Por outro lado, sendo w* = w em B~

11 = r' wr(lzl){l- CY.vEZN + 0(E2/Pjzj2)}dz jBJi

= r Wr(jzj){l- CY.vEZN + 0(E2/Pjzj 2)}dz + r Wr(jzj){l- CY.vEZN + 0(E2/Pjzj 2)}dz. 1m~ Jm~\B~

Usando o decaimento exponencial de w obtemos

I r wr(lzl){l- CY.vEZN + E21PJzl2)}dzl :::; c r>O SN-lwr(s)(l + af.(Ês + CE2/Ps2) lmN\B~ }R

= 0(E2/P),

e

Consequentemente,

h = r wr(lzi)(l- CY.vEZN )dz + CE2/p r wrjzj 2dz, Jm~ Jm~

= r N wr(lzl){l- CY.vEZN }dz + O(E2/P). Jm+

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48 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Portanto,

• Prova do Lema 2.10: Observe que

Introduzindo a mudança de variável y = \(Êz e R= k/ \(Ê, pelo Lema 2.19 segue que

= Elf; l+ lw:IP/I:IDw(<I>(\I'Ez)/P detD<I>(\I'Ez)dz 2R

= ''f li" lw: IP ( 1 + 2 0%, '1/J•; ~~; ZN + O( 01 zl)4

) ~ (1 - a0zN + O ( 10zl2)dz

Observando que, (1 + t) ~ = 1 + ~t + o(t2 ) para t suficientemente pequeno, encontramos

d 1(1) ' . t 1 B+ 1(2) ' . l B+ \B+ on e, R e a m egra em R e 2R-R e a mtegra em 2R R.

Pela definição de r.p€ temos Çk(lzl) = -R-1 em BiR \B~. Em virtude do decaimento exponencial de w',

lw:(z) IP = lw'(lzi)ÇR(Izl) + w(lzi)Ç'(Izl) IP ~ 2P[Iw'(lzl) IP + wP(izi)R-P] ~ Cexp{ -p,ulzl},

para todo z E BiR \B~. Observando novamente que \lER= 0(1) quando E-+ O, obtemos

N-1

1 + (p :L t/Jij ~:~; - a)\I'EzN + 0( \I'Eizl) 2 ~ Co, V z E B2R· ],~=1

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Portanto,

12R 12R 1

1!(2 ) I < C rN-le-PJ-Lr < C e-PJ-LR rN- 1dr < C- = 0(E21P). 2R-R - o - o - R2

R R

Por outro lado, do decaimento exponencial de w temos

LN lw'(lzi)IPizl 2 < oo

e f lw'(izi) IP(1 + lzl) 2

:::; Cexp( -MR) = 0(E2/P). 1JRN\BR

Notando que w* = w em B R encontramos

N-l

1~ 1 =h. lw'(z)IP {1 + (p t=, 1/J;; ~:~; - <>)f'<zN + 0(<2/Pizl 2)}dz

N-l

= 1 N iw'(z)iP{1 + (p ?= 1/Jij zi:z1

; - o:)f/ÊzN + 0(E2/Pizl 2 )}dz IR+ J,t=l

N-l

+ 1 N + iw'(z)iP{1 + (p L 1/Jij z,:z,;- o:)f/ÊzN + 0(E2/Pizl 2)}dz IR+ \B R j,i=l

N-l

= 1 N w'P {1 + (p ?= Wij z,:zi~ - o:)f/ÊzN + 0(E2/Pizl 2)}dz + 0(EPI2),

IR+ J,t=l

pois

Por outro lado, sendo w radial temos

Logo,

I~) = f iw'IP(z)dz + pf/Êo:r- o:{/Ê f iw'iP(z)zNdz + 0(E21P) 1m~ 1m~

= f N iw'IP(z)dz + pf/Êo:r- o:f/Êr(N + 1) + 0(E21P). 1m+

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50 CAPÍTULO 2. CASO SUBCRÍTICO

Portanto,

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Capítulo 3

Caso Crítico

3.1 Introdução

Neste capítulo, vamos usar minimização para estudar o problema de Neumann quasilinear perturbado:

(QN)>. em n,

sobre 8S1,

onde -!:lpu := -div(j\7ujP-2\7u) é o operador p-Laplaciano deu, p* = /:!.P é o expoente crítico de Sobolev, 1 < p < N, À> o é um parâmetro e n c JRN é um domínio limitado suave.

1

Observemos que u =O e u = ÀP*-p são as únicas soluções constantes não-negativas de (QN)>., denominadas triviais. Nosso objetivo aqui, será aplicar o método de Concen­tração-Compacidade para estabelecer a existência de uma solução não trivial W>. para (QN)>. e usar argumento de blow up para estudar o comportamento assintótico de W>. quando À -+ oo. Em 1991, Adimurthi-Mancini [3] e Wang [48], independentemente, obtiveram soluções positivas para o problema de Neumann semilinear:

{ -b:.u + Àu - uª em n,

(N)>. u > o em n,

ou 07] - o sobre 8S1,

onde q = 2* - 1. Usando técnicas de minimização vamos proceder para mostrar a existência de uma

solução de energia mínima. Para isto, considere J>. : W 1,P(f2) --+ IR o funcional de

51

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52 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

Euler-Lagrange associado ao problema ( Q N)>... definido por

Agora, vamos apresentar o nosso principal resultado de existência de solução para (QN)>... quando ,\ é suficientemente grande.

Teorema 3.1 Existe ,\0 >O tal que para,\> ,\0 o problema (QN)>... admite uma solução positiva não- trivial W>.. E C1·a(n). Além disso) a solução de energia mínima obtida satisfaz a seguinte estimativa:

(3.1)

Aqui, como no caso subcrítico vamos usar um argumento de blow up para estudar o comportamento assintótico deU>... No caso subcrítico, tínhamos que u~ era uniformemente limitada. No entanto tal fenômeno não ocorre no caso crítico. Dessa forma, os mesmos argumentos usado no caso subcrítico não se aplica para o caso crítico. Usando um procedimento devido a Admurthi-Pacella-Yadava [4], vamos mostrar o seguinte resultado.

Teorema 3.2 SejaM>..= ma_xu>..(x) = u>..(P>..)) então xES1

(i) M>.. --+ oo) quando ,\--+ +oo)· (ii)A menos de subsequência P>.. --+ P0 E âfl) quando À--+ oo.

Observação: (1) Por um reescalonamento, (QN)>... é equivalente a:

em n).. em n)..

{

-/:;pu+ luiP-;~ > ~ulp"-2u

ân sobre âfl>..,

onde n).. := {x E IRN: À-P~ 1 X E 0.}.

De fato, se u é uma solução de ( Q N) >.., então

O'(u)(x) := ,\-l/(p*-p)u(,\-l(p-l)x)

é uma solução de (QN)>... (2) A menos de translação podemos supor O E 0. e assim 0.00 = JRN

Definindo

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3.2. PRELIMINARES 53

temos que S(D>J corresponde a constante ótima da imersão de Sobolev W 1·P(D.:\) Y

LP* (D.:\)· Dessa forma, os teoremas citados acima, dá a existência de funções estremais e comportamento destas. Além disso, (veja Proposição 3.8) vamos mostrar que

lim S(D.:\) = 2

5/N.

Ã-++oo P

Para a demonstração dos resultados acima necessitamos de alguns lemas técnicos

3. 2 Preliminares

Como.sabemos, ao contrário do caso subcrítico, a principal dificuldade para estudar o problema(QN).:\ é a falta de compacidade da imersão de Sobolev no caso crítico. Seja

onde,

M = { u E W1'P(D) : fn1uiP* = 1} · Se u.:\ é um minimizador para S.:\, pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange temos

1

que W;\ = sr-puÀ é uma solução para (QN).:\. Por outro lado, considerando

temos que

Agora defina c* := inf max J.:\(tu)

uEWl•P(S1)\{0} t2;:0

e observe que

N

. 1 ( ~ I \7 u IP + À ~ I u IP) p 1 !:!.. max J (tu) = - n n > - S P •

t2:0 .:\ N UnluiP*)fo - N .:\'

Consequentemente, 1 !:!.. -SP <c* N À - •

u# O.

(3.2)

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54 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

Seja S a constante ótima da imersão de Sobolev

com, [2 Ç JRN, OU seja

onde, D~·P(D) é o completamento de c:(n) na norma do gradiente. Sabemos, veja Talenti [46] que S é independente de S1 e depende somente de N. Além disso, quando n = IRN o ínfimo acima é atingido pelas funções

que são as únicas soluções radiais positivas ( a menos de translação ) do problema:

Como consequência disso, temos que

onde

K1 5= N-p'

KN 2

Kl := r I\7Uelp e K2 := r IUelp·. lmN lmN

(3.3)

O próximo lema estabelece uma relação entre a constante ótima de Sobolev S e funções de W1·P(S1).

Lema 3.3 Para qualquer b >O, existe c(b) >O tal que para u E W1·P(D)

Este Lema é devido a Cherrier [14]. Para a prova veja Teorema 2.30 em [2]. O próximo lema, desempenha um papel crucial na prova do Teorema 3.1

Lema 3.4 (Lema principal) Para À > O, tem-se a seguinte estimativa:

(3.4)

(3.5)

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3.2. PRELIMINARES 55

Prova: Por (3.2), basta mostrar a seguinte afirmação.

Afirmação 3.5 1 N

c*:= inf maxh,(tu) < -SP. uEWl,p(fl)\{0} t?:O 2N

(3.6)

Veja prova no apêndice desse capítulo.

No próximo resultado vamos estabelecer com auxílio da desigualdade de Cherrier, uma versão do Lema de concentração de compacidade. Esse Lema será de fundamental importância na prova da existência de um minimizador paras),_.

Lema 3.6 (Concentração-Compacidade) Seja (un) uma sequência que converge fraco em W 1•P(Sl) para algum u, e suponha que para alguma subsequência existem duas medidas limitadas f.L, v em n tais que lunlp* e IVuniP converge fraco no sentido das medidas para v e f.L, respectivamente. Então, existe no máximo um conjunto enumerável J, de pontos distintos (xj)jEJ E n e números reais /.Lj >o, Vj >o tais que:

{ (3.7)

Além disso, se Xj E n,

e se Xj E éJD,

E portanto, sempre temos:

Prova: Pela desigualdade de Sobolev

e Lema 1.2 em Lions [28], temos a representação das medidas acima. Suponha que Xi E int n, considere õ > o tal que B(xi, õ) c n e c.p E C00 (D) tal que supp c.p c B(xi, õ). Pelas imersão de Sobolev temos

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56 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

Tomando o limite em n na desigualdade acima e usando o fato de que lunlp· ___,;. dv e l\7uniP ___,;. df-l no sentido das medidas, obtemos

(3.8)

Em particular, tomando <pé:= <p(X7i) em (3.8), onde rp E cgo(n) é tal que o:::; rp:::; 1,

<p(x)={ ~ se lx - x ·I < §.. z 2' se lx-x·l>b z - '

e fazendo é -+O, obtemos

slfp ( hx;} dv) 1/p* :::; ( hx;} d{L) 1/p'

pois <pé -+ X{x;} q.t.p em n, onde X{x;} é a função característica de Xi· Consequentemente, .1!...

Sv{ :::; /Lj·

Agora, suponha que X i E an. Pelo Lema 3.3, dado b > o existe c( b) tal que

Primeiro vamos assumir que Un __..;. O. Tomando o limite em n na desigualdade acima obtemos

Fazendo, é-+ O e usando a mesma idéia do caso anterior obtemos

S VfiP* /Li 2: 2P/N i .

Para o caso u O, aplicamos o raciocínio acima para a sequência de funções ( vn) dada por Vn := Un - u.

3.3 Existência de Solução Positiva

Nosso objetivo nesta seção, será provar o Teorema 3.1. Para isto, iniciemos com a seguinte

Proposição 3. 7 SejaS>. definido como na seção anterior, então S>. é atingido.

Prova: Para todo À> O, pelo Lema principal

s O < S>. < ---:E:·

2N (3.9)

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3.3. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO POSITIVA 57

Agora, seja (ui) uma sequência minimizante paraS;.., ou seja,

S;.. o(1) = 11\7ui1P +À 11ui1P; llujllp· = 1. (3.10)

De (3.10) decorre que (uj) é limitada em W 1,P(S1). Sendo, W 1,P(S1) um espaço reflexivo, pelas imersões de Sobolev obtemos:

em W 1,P(S1), em V(S1).

Agora vamos usar o Lema 3.3 para mostrar que u ;;'=. O. De fato, suponha que u = O. Dado 6 >O, pelo Lema 3.3 existe C(6) tal que para todo u E W 1,P(S1):

2-N llull~· ::; ( S + 6)ll\7ull~ + C(6)iiull~- (3.11)

Mas, de (3.9) podemos escolher 6 > O tal que

2.1:!_ (; +6)s;..::;a<l. (3.12)

Por outro lado, de (3.10) - (3.12) temos que

2.1:!_ r 1::; (; + 6) ( S;.. + o(1)- À Jn iujiP) + C(6)ilujii~-

Sendo, llujiiP-+ O temos 2-N

1 ::; ( S + 6) S >. ::; a < 1.

O que é uma contradição. Portanto, u ;;'=.O. Como uma consequência disso temos que

1iuip* =a E (0, 1].

Suponha que a=/= 1. Sendo lluillp· = 1, se v é o limite fraco de lujip*, como no Lema 3.6 temos

ou seja,

Além disso, usando o fato de que

Lvj = 1- a> O. jEJ

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58 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

e chamando de t-t o limite fraco de I \7 Uj IP, pelo Lema 3.6 temos

Assim,

Mas, pelo Lema 3.6 e Lema 3.4 segue que

L /-tj ~ 2~N L(vj)PIP* > S>. L(vj)PIP*. jEJ jEJ jE

Logo,

L (vj )PIP*). jEJ

Agora, note que

1 = (1- L Vj +L vj)PIP* :::; (1 _L vj)PIP* + L(vj)PIP*.

Portanto,

Pela definição de S >.,

jEJ jEJ jEJ jEJ

L Vj)pfp* = S>,o:pfp*. jEJ

11\i"uiP +À 11uiP ~ S>.(11uiP*)?­

De (3.13)-(3.14) decorre

o que é uma contradição. Logo, llullp· = 1. Consequentemente,

Sendo a norma fracamente semicontínua inferiormente na topologia fraca, temos

(3.13)

(3.14)

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3.3. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO POSITIVA 59

ou seJa,

• Como consequência da Proposição 3.7, temos que a função S>.. tem as seguintes pro­priedades.

Proposição 3.8 A função S>.. é contínua, concava e não-decrescente para todo À > O. Além disso,

lim S >.. O e lim S >.. = ~ . À-+Ü À-+00 2 N

Prova: Usando as funções constantes, temos que S>.. -+ O quando À -+ O. Observando que

temos (1- t)S>.. 1 + tS>..2 :::; S(l-t)>.. 1 +t>..z· Portanto, S>.. é uma função concava. Além disso, S>.. é não-decrescente. Em particular, S>.. é continua. Pelo Lema principal, se Àn -+ oo, existe ( un) C W 1,P(D) tal que

Seja limn-+oo S>..n = 5 00 e suponha que 5 00 < ~. Escolha 6 > O tal que 2N

Pelo Lema 3.3,

Consequentemente,

ou seja,

l\7unl~ + Ànlunl~ = s)..n !uni~·

< Sooet + 6) l\7uni~ + Sooc(6) i uni~ < aJ\7unl~ + Sooc(5)iuni~,

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60

O que é uma contradição. Portanto,

CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

lim s).. = ~. À-+oo 2N

• Prova do Teorema 3.1: Seja U).. um minimizador de s).. dado pela Proposição 3.7. Pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange temos

(3.15)

1

para toda cp E W 1,P(D). Após um reescalonamento, obtemos que W)\ = sr-pu).. é uma solução de (QNh. Além disso,

1

Por outro lado, U).. = ,\p•-p tem energia

Escolhendo, s

À~--..,-(2IDI)N'

obtemos que a solução é não constante. Além disso, notando que lu)..! também é um minimizador de S>., podemos assumir que W).. ~O. Consequentemente,

Assim,

6.pW).. ::::; ÀW~- 1 .

Pelo Lema de regularidade (veja Lema 3.12 desse capítulo) e Teorema 2 em Lieberman [24] ou Teorema 1 em Tolksdorf [44] temos que U>. E C1,a(f2). Agora note que a função g(s) = ÀsP-1 é não-decrecente, g(O) =O e

= CXJ.

Portamo, Teorema 5 em Vasquez [47] implica que U).. > O. O que prova o Teorema 3.1.

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3.4. COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO DE U>. 61

3.4 Comportamento Assintótico de uÀ

Nesta seção vamos usar um argumento de blow up para estudar o comportamento da solução de energia mínima do problema ( QN)>., para tanto vamos provar os seguintes lemas.

Lema 3.9 SejaM>.= m_?,XU>.(x), então M>.-+ +oo quando À-+ oo. n

Prova: Sendo U>. solução de (QN);.. temos

11\7u>-lp-2\7uÀ V'cp +À 1 u~- 1 cp = 1 uÇ-1cp Vcp E W1,P(f2).

Em particular, se cp = 1 temos

1 (Àu~-1- uÇ-1) =O.

Consequentemente, se U>. =/=. ü = À l/p* -p existe X0 E O tal que

ou seja,

Portanto, lim M>. = +oo. .À-+00

\ p-1( ) p*-1( ) o /\UÀ X 0 - UÀ X 0 < ,

À -p < U>,(Xo) ~ maxu>.(x) = M>,. xEO

O próximo Lema é fundamental para a prova do Teorema 3.2

Lema 3.10 Seja V>. E W1,P(f2) tal que Q>.(v>.) ~ 2~ e

O< lim lv>-lp· ~ lim lv>-lp• < oo, À-+oo À-+oo

então

Em particular, se U>. é a solução de energia mínima, então

Prova: Pela Proposição 3.8 segue-se que

lim S>. = ~. À-+oo 2N

(3.16)

Por hipótese, (v>.) é limitada em W1,P(f2). Portanto, podemos assumir que existe v E W1,P(f2) tal que

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62 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

V>.j __;.v, em W 1,P(Sl) V>.j -+v, em LP(st).

Observando que (.\/v>.j /~) é limitada, temos que v- O. Por outro lado, pelo Lema 3.3

< 2N , /V'v>./~ /v>./~ 1 _ ( -

5 , 6)

1 1

p + c ( 6) -1

-,p . V>. p* V>. p*

Consequentemente,

ou seja, . /Vv>./~ S

hm P = ~ lim Q>.(V>.) >.-too /v>. /p· 2N >.-too

Logo, lim >./v>./~= O. Além disso, se V>.= U>. temos À-+00

Portanto,

o que prova o lema. • Prova do Teorema 3.2: Observe que (i) foi provado no Lema3.9. Suponha que (ii) não ocorre, então existe uma subsequência (>.n) tal que

N

lim dist(P>.n' âSl)MJ = 00. Àn-+00 n

Pelo Lema3.9,

Assim, podemos supor P>.n -+ P0 , ÀnE~n -+a. Definindo,

N-p

Ü>.(x) :=E>. v u>.(Ep-S-x + P>.) em Sl>.,

onde Sl>. := (Sl- {P>.})/E>. temos Ü>. satisfaz

üp*-l em Sl>., < 1, em n

=O sobre âst, (3.17)

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3.4. COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO DE U>. 63

Agora, observando que maxu>,(x) = U>,(O) :::; 1 para À > o e X E [2>,, do Teorema 1 de [44] temos U>. E C1~~(D>.)· Mas,

lím dist( orl, P>.) = oo. À-+00 t)..

Logo, para todo R > O, 3 À0 > O tal que B(x0 , R) C rl>.o para Xa E rl>.o, ou seja, [J00 = JRN. Consequentemente pelo Teorema 1 de [44]

(3.18)

Pelo Teorema de Arzelà-Ascoli e (3.18) existe uma função w E C 1 (Q) e uma subsequência U>. . tal que U>.n -7 w em C 1 (fh).

nJ J

Passando o limite em (3.17) obtemos

Além disso, observando que O :::; w :::; 1, w(O) = 1,

pelo Princípio do Máximo de Vasquez [47] w >O. Usando um argumento diagonal

Donde, pela Identidade de Pohozaev para o p-Laplaciano (ver Pucci e Serrin [35]), a= O. Assim,

(3.19)

Por outro lado, pelo Lema de Fatou

De (3.19) e Lema 3.10 temos

O que é uma contradição. Portanto, ii) ocorre.

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64 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

3.5 Regularização da Solução

Nosso objetivo nessa seção, é provar a regularização da solução fraca do problema (QN)>... Para isso, pelo resultado de regularidade devido a Lieberman [24] ou Tolksdorf [44], basta mostrar uma estimativa L00

• Como a solução está em W 1,P(S1) vamos primeiramente estabelecer o seguinte resultado.

Lema 3.11 Denote E= B1 n {xN > h(x')}, onde B1 = B(O, 1) é a bola unitária em JRN, h(x') é uma função definida em {x' E JRN;Ix'J < 1} com h(O) =O e \lh(O) O, então (1) se h= O, então

(3.20)

(2) Para todo E> O, existe 6 >O dependendo somente de E, tal que se l\lhl ::::; 6, então

r r pjp· j B l\luJP 2: (2-p/N S-E) ( j B JuJP+ldx) . (3.21)

Prova: Seja u(x', XN) := u(x', -XN) se XN < o. Portanto,

11 -= 2 _ i"'Vuidx

1 B(ll • ) pjp* 2: -S _ luiP dx

2 B1 r pjp· = 2-2

/N S ( J B iulp* dx) .

Considerando a transformação de coordenadas y' = x', YN = XN- h(x'), temos que (3.21) decorre imediatamente da desigualdade acima. •

Lema 3.12 Seja u E W 1,P(S1) uma solução fraca não-negativa do problema

{

-6.pu = a(x)uP-l

ou = o on

no qual a E LNIP(Sl). Então u E L00 (S1).

em n, sobre an,

Prova: Fixados /3 > 1 e k >O, defina Gk E C1 ([0,+oo),JR) fazendo: Gk(t) = tf3 para O::::; t::::; k e Gk(t) = kf3-lt para t > k. Seu é uma solução de(*), então Gk(u),G~(u) e Fk(u) = fou IGk(s)IPds pertencem a W 1,P(S1). Agora, observe que Gk e Fk tem as seguintes propriedades: i) Fk(u) :S uF~(u) = uiGk(u)JP,

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3.5. REGULARIZAÇÃO DA SOLUÇÃO

ii) uP- 1Fk(u) :::; C1GHu), onde C1 independe de k, iii) G~(u)u < f3Gk(u). Sendo, u solução de (*) temos

65

(3.22)

Em particular, tomando v = Fk(u)rl em (3.22), onde 77 será escolhido posteriormente temos

De ii) e (3.23) temos

Usando a desigualdade de Young e i) obtemos

:S jJ\7ujP-l7f- 1 l\777J(uJG~JP)

:<:: 1 (<I 'V ui''!" + c(<) IV' ryl'u') IG~ I' =E jl\7ujPJG~IP'TJP +c( c) 1l\777IPuPJG~IP

:0: < 11V'ui'IG~IPif + c(<)f3' 1IV'ryi'IG•IP,

onde na última desigualdade usamos iii). De (3.24)-(3.25) temos

(3.25)

1j\7ujPJG~(u)JP'TJP :S C2(3P 1I\777JPG~ + C31ja(x)j(Gk77)P. (3.26)

Agora, observe que

= 1IG~ V(u77) + Gk V77IP

:S C 1j\7ujPJG~JP'TJP +C 1J\777JPG~. (3.27)

Assim, de (3.26)-(3.27) temos

1j\7(Gk'TJ)JP :S C3(3P 1I\777JPGP + C41ia(x)I(Gk'TJ)P. (3.28)

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66 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

Por outro lado, fixado Xo E n, seja 7] 2: o uma função suave com supp 7] c B(xo, J) e ry(x) = 1 para x E B(x0 , ~), onde J é escolhido suficientemente pequeno de modo que Lema 3.11 implica

(3.29)

para toda v E W 1,P(D) com supp v c B(xo, J) n n. Desde que a E LNIP(D), podemos escolher J suficientemente pequeno de modo que

s JJaJJLNIP(B(x0 ,8)) s; SC

4'

usando a desigualdade de Hõlder e (3.29) obtemos

1ja(x) JPG~ryP s; lla!ILNIP(B(x0 ,8) !IGkrJ) ~~~· 1

s; 204 1!\7(GkrJ)II~·

Portanto, de (3.28) e (3.30) obtemos

hl\7uJPjG~JPryP s; C3f3P 1j\7ryjPG~ + ~ hi\7(GkrJ)!P,

ou seja,

11\7(Gkry)JP s; Cf3P 1j\7ryJPG~, onde C independe de J e k. Consequentemente, de (3.29) e (3.32) obtemos

(1 (Gkry)P')PIP* s; Cf3P 1J\7ryJPG~.

Fazendo k -+ oo em (3.33) obtemos

pois f3 > 1. Sendo Xo E n arbitrário, obtemos

(1 uf3P')PIP" s; Cf3P 1 uf3P, para f3 > 1.

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.35)

Agora, defina a sequência f3i = (p* / p) i para i 2: 1. Observe que (!3í) é uma sequência crescente e f3i -+ oo quando i -+ oo. Além disso, usando indução é fácil verificar que (3.35) implica

(3.36)

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3.6. APÊNDICE

onde M = llull~: · Portanto,

lluiiL,Sip*(n) .::; M 11p" cUh+ ... +f3i)/f3ip* (/31) = l!ullp·Cai (f31)bi'

p(i/31 +(i- 1)/3r + ... + 1/3n f3fp*

i .

67

(3.37)

onde ai= (/31 + f3f + ... + {3t)jp*f3I e bi =L *J~_ 1 . Observando que /31 > 1, e fazendo j=1 p /31

i--+ oo em (3.37) obtemos llulloo.::; C1 Jiullp·, o que prova o Lema. •

3.6 Apêndice

Nosso objetivo nesse Apêndice, é provar a Afirmação 3.5 usada na prova do Lema 3.4

Sendo, o p-Laplaciano invariante por translação e equivariante, no sentido de que a formulação fraca do problema é invariante por uma transformação ortogonal, podemos supor sem perda de generalidade que Xo =o E an e n c {xn > 0}. No que segue, vamos assumir que em uma vizinhança da origem, a fronteira de n seja representada por

N-1

XN h(x') =~L aixf + o(jx'j2), V x' = (x1, ... XN- 1) E D(O, 6), i=1

(3.38)

onde D(O, 6) = B(O, 6)n{xN =O} e ai> o são as curvaturas principais de an em Xo =o. No que segue ué denota a função

e

N-1

g(x') := ~L aixf.

Prova da afirmação 3.5: Fixado À > O, afirmamos que

para E> O suficientemente pequeno (que é suficiente para provar (3.5)). De fato, sendo 1 < p < N temos dois casos a considerar:

i=1

(3.39)

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68 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

1º- caso: p2 :::; N, 2º- caso: p2 > N.

Agora vamos proceder para mostrar o lema para o 1º- Caso: Com efeito, para p2 :::; N temos Cálculo de K 1(E)

Kl(E) = r N l\7uEIPdx- r dx t(x') l\7uEiPdxn +O(/'·~) j IR+ j D(0,8) lo

pois,

De fato,

1oc --L+N-1 1oo N-p rp-1 N-p 1 N-p

:::; C(N,p)E P .E!!... dr = C(N,p)E P <N- 1) dr = O(E P ),

15 rp-1 15 r p-1

desde que 1 < p < N. Agora, note que se definirmos

(3.40)

onde IR!/.= JRN n{ (x', XN ); XN > 0}, temos que (Kl) independe de E. Consequentemente,

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3.6. APÊNDICE 69

pois,

!:!..=J2.1 'lg(x') JxJí& = C(N, p )E P dx _:e_ dxn

JRN-1\D(O,ó) O (E+ JxiP- 1 )N

N-p 1 1g(x') 1 < C(N,p)E P dx' _:e_ dxn - JRN-1\D(O,ó) o (E+JxJp-1)N-l

!:!..=J2.1 1g(x') 1 < C(N,p)E P dx' _:e_ dxn - JRN- 1\D(O,ó) O (E+ lx'IP- 1 )N-1

desde que P(;_~1 ) - N > 1 , ou seja p < Nil que é verdade sempre que 1 < p2 ::; N. De fato, 2p- 1 < p2

::; N.

Agora observe que

I(E) := r dx'lg(x') IVu€JPdxN JJRN-1 0

(N- p)P !:!..=J2.1 'lg(x') JxJí&

= E P dx _:e_ dx N p-1 JRN-1 o (E+JxJp-1)N

E.=.l

(N- p)P 1 '1€ p g(y') JyJí&

= dy _:e_ dyN. p- 1 JRN-1 o (1 + IYip-1 )N

(3.41)

Assim,

l . I( E) - (N- p)P 1 IY'lp- g(y') d I 1m --1 - _:e_ y

€--+0 Ep; p- 1 JRN-1 (1 + IY'Ip-1 )N

ou seja, E.=.l

I(E) = O(E p ).

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70 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

Além disso,

!i:::E. I j 'lh(x') jxjz;-S- I = C(N, p)E P dx _L _L dxn D(O,t5) g(x') (E+ jxjp-1 )(E+ jxjp-1 )N-l

!i:::E. j lh(x') ::; C ( N, p) E P dx'

I D(O,t5) g(x') (E

< C(N ) !i:::E. j jh(x') - g(x') I d , _ ,pé P _L X. D(O,t5) (E+ jx'j p-1 )N -1

Sendo, h(x') = g(x') + o(jxj 2) temos

z=.l h(E) = C(N,p)aE P

para a pequeno. Consequentemente,

Portanto,

z=.l = ~K1 - I( E)+ o( E P ),

(3.42)

desde que, N;p - P;l > O {:::} N + 1 > 2p. Mas, 1 < p2 ::; N sempre implica na

desiqualdade N + 1 2:: p2 + 1 > 2p.

Cálculo de K2(E):

K2(E) = 1 juEjp* - r dx' rh(x') juEip* dxn +O( E%) IR'j_ J D(O,t5) lo

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3.6. APÊNDICE

onde

Sendo,

1 ' 1g(x') • N 1 1g(x') 1

II(E) := dx u~ dxn = EP dx' _p_ dxn IR.N- 1 O IR_N-1 O (E+ lxl P- 1 )N

temos,

E.::l

1 1E p g(y') 1

= dy' _p_ _ dyn JRN-1 o (1 + IYip-1 )N

E.::l II(E) = O(E p ).

Usando a mesma estimativa como em I 1(E) temos

E--+ 0.

Portanto,

pois li- p-l >O se, e somente se, N > p- 1 que é sempre verdade. p p

Cálculo de K3(E):

Para p2 < N temos

= uP < uP = E p dx 1 1 !:!.::::::P_1 1

íl E - JRN E IR (E+ lxi~)N-p

N ( 11 rN-l Joo rN-l ) = WNE7 0

_p_ dr + _p_ dr (E+ lrlp-1 )N-p 1 (E+ lrlp-1 )N-p

N-p = O(t. P )

E.::l = o(t. P ),

71

(3.43)

(3.44)

(3.45)

pois N-p - E.::l. > O se, e somente se, N - p > p - 1, ou seja, N > 2p - 1. Mas, p p

N > p2 > 2p - 1 para todo N > p2 > 1.

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72 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

Para p2 = N, considerando B(O, R) :) D temos

= uP < uP =E P 1 1 !:!.::::.E.l 1 S1 € - B(O,R) € B(O,R) (E+ lxl

E=.!.

1R/E P N-1 s = WNEp-

1 ...E._ ds

o (1 + I si p-l )N-p

( E=.!. ) = CEP-1 1-log(E p)

E=.!. ( (p-1)2 E=.!. ) =EP~E P -E-P-log(EP)

=o(E p ).

Portanto, para 1 < p2 ::::; N temos

(3.46)

Sendo p* > p, existe t€ > O tal que

Agora das estimativas (3.42)-(3.45) e (3.6), existem Eo >O, K', K" tais que

para todo E E (0, E0 ). Consequentemente, t€ é uniformemente limitado em (0, E0).

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3.6. APÊNDICE

E.=-!. Sendo, K 3 (E) = o( E p ) para p2 ::::; N temos

Afirmação 3.13 Kl(E) .E. E.=-!.

_ __;_N..:._--p < 2- N S +O( E P ),

K2(E) N

que é suficiente para mostrar (3.39).

De fato, por (3.3) temos S = ~iP. Portanto, (3.47) é equivalente a Kz

ou seja,

K 1 E.=-!. = -f K ~ +O( E P ),

(9)

K N-p K ( 2) N 1 !:!..=J!. K1(E) 2 < 2K2(E) N

E.=-!. o( E p ).

De (3.42)-(3.45) temos

K K N-p K K N-p

( 1 ) ( 2) N 1( 2 E.=-!.) N E.=-!. 2-J(E) 2 <2 2

-JJ(E)+o(EP) +o(EP).

Agora, observe que, para t -+ O e a > O temos

(1-t)cx = 1- at+o(t).

Em particular, para E.=-!.

II(E) + o(E P )

t= & ' 2

73

(3.47)

(3.48)

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74 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

temos

(K2

2 ~) II(E)+o(EP)

Assim, (3.48) é equivalente a

K2 N-p (N- p K1 K2) 7!- ~ -I(E)(-) N <- )-(- II(E) + o(E P ). 2 N 2 2

~ Sendo, I I( E) = O( E p ) temos

I(E) (N- p) K1 II(E) > N K

2 + o(1).

Portanto, (3.47) é equivalente a

Mas, de (3.41) e (3.44) temos

l. I( E) 1m-­

t--+0 I I( E) 1 I 1" g(y') IYI ~

dy _p_ dyn - (N-p)p . JRP-1 o (1 + IYip-1 )N - p-1 hm ~

é--+0 1 1" p g(y') 1 dy' d _p_ Yn

JRN-1 o (1 + IYI p-1 )N

1oo rN+~

_p_ dr = (N-p)P O (1 + p-1 )N

p-1

1oo rN

_p_ dr O (1 + p-1 )N

(3.49)

(3.50)

Agora vamos calcular (3.50). Para obtemos

::::; j3 ::; P(~-=._1{+1, e usando integração por partes

100 r/3-~ p(N- 1) 100 r!3

_p_ dr = _p_ dr. 0 (1 + p-1 )N-1 (p- 1)/3- 1 0 (1 + p-1 )N

(3.51)

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3.6. APÊNDICE

Por outro lado, observe que

r!3 r13-~ 1 ---_:p_::--- - _:p_ ( 1 - _:p_ ) ' (1 + p-1 )N (1 + p-1 )N-1 1 + p-1

logo r>O r!3 roo r/3-~ {00 r{3-~

lo (1 + r~)N =lo (1 + p- )N-l -lo (1 + r~)N · De (3.51) e (3.52) temos

( (N- 1)p ) { 00 r!3 { 00 r/3-~

1- (p- 1),8- 1 lo (1 + r~)N =-lo (1 + r~)N'

ou seJa,

75

(3.52)

100 r!3 (p- 1),8- 1 100 r13-~

(3.53) o (1 + r~)N (N- 1)p- (p- 1),8 + 1 o (1 + r~)N.

De (3.50) e (3.53) com ,8 = N + p~l temos

lim !(E) = (N- p)P(p -1)(N + 1) = (N- p)P N + 1 (3.54) E-70/l(E) p-1 N-2p+1 (p-1)P-1N-2p+1"

Por outro lado, de (3.40) e (3.43)

1oo N+_:p_-l r p-1

_:p_ dr

(N- p) K1 _ (N- p) o (1 + p-1 )N (N- p)P

N K2 - N 100 rN-1 p- 1 . _:p_ dr

O (1 + p-1 )N

Fazendo ,8 = N + p~l - 1 em (3.53) obtemos

N-p (p-1)((N-1)+~) (N-p)P

- N ( N - 1 )p - (p - 1) ( ( N - 1) + P~ 1 ) p 1 - (N- p)P

N-p(K1) N K2 (3.55)

- (p- 1)P-1.

Sendo N + 1 > N- 2p + 1, temos de (3.54)-(3.55) que (3.49) é verdadeiro. Portanto a afirmação esta provada no caso em que 1 < p2 :::; N.

2Q Caso: Suponha que p2 > N e seja B(O, R) ::> n. Observe

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76 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

Consequentemente, N-p

K3(E) = O(E p ). (3.56)

Agora, escolhendo O < a :::; A < oo tal que alx'l 2 :::; h(x') :::; Alx'l 2 para x' E D(O, J) temos

..J!_ ..J!_ Por outro lado, sendo lxiP- 1 2: lx'IP- 1 temos

1 1ajx'l 2 f 1ajx'l2 1 'I..J!_ N-p X p-l

dx' j\7uEIPdxN > E P dx' ..J!_ dxN. D(O,c5) O - D(O,c5) O (E+ lx/p-l )N

..J!_ ..J!_ Mas, para 5 < 1 temos E+ lxJP-1 :::; C( E+ jx'jP-1 ). Consequentemente

I '12 ..J!_ 2 ..J!_ l:i:=.:E.1 '1ax lx'lp-l !!-=.E.! ajx'Jix'lp-l 1 E p dx ..J!_ dxN > c1E p ..J!_ dx

D(0,6) O (E+jxlp-1 )N - D(0,6) (E+jx'IP- 1 )N

Agora, observe que

N-p 1 alx'l 2 /x'l~ E p ..J!_ dx'

D(o,6) (E + lx' 1 p-1 )N

..J!_+N sp-l ..J!_ ds

(1 + sp-1 )N E=!

N-p 2p-N-1 16/E P 1

> E P E P ..J!_ ds - 1 (1 + sP- 1 )N

E=!

16/E P

N-p 2p-N-1

2: C2E P E P

1

1 1?.!:!_ ds,

SP-l

onde na última igualdade acima usamos o fato de 1 + s~ :::; s~ + s~. Agora, definindo

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3.6. APÊNDICE

temos 1 N-p N-p

Kl(é):::; 2Kl- C2é p f(é) + O(é p ).

Para estimar K 2 (é), observe que

Mas,

Portanto,

Seja t€ tal que

Alx'l 2

r dx'l urdx J D(O,ó) O

sup J€(tu€) = J€(t€u€). t>O

De (3.56) - (3.58) t€ é uniformemente limitado para é E (0, é 0 ). Assim,

Afirmamos que

K1(~ <2-NS-O(éN;p), K2(é) P

77

(3.57)

(3.58)

(3.59)

para é pequeno( que é suficiente para mostrar a afirmação 3.5). De fato, por (3.57)-(3.58), (3.59) é equivalente a mostrar que

Sendo, S = ~;P temos K2

(3.60)

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78 CAPÍTULO 3. CASO CRÍTICO

pois lim.,-+0 f( c) = oo. Portanto, (3.59) vale. Com isso fica provado afirmação 3.5 no caso em que p2 > N. •

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