Explorando alguns conteúdos de

Geometria Espacial com o GeoGebra 3D

Profa. Dra. Flávia Souza Machado da Silva

Profa. Dra. Ermínia de Lourdes Campello Fanti

Profa. Dra. Évelin Meneguesso Barbaresco

Departamento de Matemática, IBILCE, UNESP

E-mails: flavia@ibilce.unesp.br, fanti@ibilce.unesp.br, evelin@ibilce.unesp.br,

XXVII Semana da Matemática

2015

1

Sumário

Introdução ................................................................................................................................... 2

1. Noções Básicas do GeoGebra ................................................................................................ 3

2. Interpretação Geométrica de Sistemas Lineares com 3 incógnitas .......................................... 5

3. Construções de alguns sólidos no GeoGebra ....................................................................... 12

3.1. Construção de cubos ...................................................................................................... 12

3.2. Construção de Prismas ................................................................................................... 15

3.3. Construção de Pirâmides ................................................................................................ 18

3.4. Construção de Esferas.................................................................................................... 19

4. Alguns exercícios de Geometria Espacial .............................................................................. 21

Referências Bibliográficas ......................................................................................................... 22

2

Introdução

O Objetivo deste minicurso é apresentar uma introdução ao GeoGebra 3D visando

utilizá-lo no ensino aprendizagem de certos conteúdos de Geometria Espacial. Trabalharemos a

interpretação geométrica de sistemas lineares com 3 incógnitas, bem como a construção e

manipulação de alguns sólidos, como cubo, prismas, pirâmides e esferas, analisando algumas

de suas propriedades. Pretende-se também discutir alguns exercícios de geometria espacial

através de resolução “geométrica” utilizando-se as ferramentas do GeoGebra. Este trabalho faz

parte das atividades do Projeto de Extensão "Laboratório de Matemática-2015” da PROEX –

UNESP e conta com a colaboração dos bolsistas do projeto Denis César Faria Junior e Rhaissa

Rogéria Rodrigues e alguns alunos bolsistas BAAE I, voluntários do projeto (Aparecido Giovani

Mariano da Silva, Heitor Arroyo Sciorilli, Felipe Feitoza dos Santos, Débora Gabriela de Moura

Moraes e Danielly Leonel de Oliveira).

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1. Noções Básicas do GeoGebra

O programa GeoGebra foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, professor da

Universidade de Salzburg, com o intuito de dinamizar o estudo da Matemática. Ele é um

software livre que pode ser encontrado com facilidade em sites de busca ou no endereço:

www.geogebra.org.

Ao abrir a área de trabalho do GeoGebra, nos deparamos com uma página (tela de

trabalho), nesta página, podemos notar a presença de uma barra de menus (Arquivo, Editar,

Exibir, Opções, Ferramentas, Janela, Ajuda) e um pouco abaixo uma barra de ferramentas,

ferramentas estas que permitem a geração de construções. A barra de ferramentas é composta

de caixas, cada uma delas indicada por um quadradinho com uma figura, e é composta de

várias ferramentas.

Para iniciar um trabalho selecione a(s) janela(s) de interesse (se não estiverem

habilitadas ao abrir a tela), para isso clique em Exibir, na barra do menu, e selecione a(s)

janela(s). Temos interesse na Janela de Álgebra, na Janela de Visualização e na Janela de

Visualização 3D.

Para ter acesso a uma das ferramentas (comandos ou opções) dentro de uma caixa de

ferramentas, mantenha o botão esquerdo do mouse pressionado sobre a caixa de ferramenta

(quadradinho) e vá deslizando para baixo até à ferramenta de interesse, ou clique na setinha

localizada abaixo, à direita, em cada caixa de ferramentas.

Para fins didáticos enumeraremos as caixas de ferramentas da Barra inicial da Janela de

Visualização de 1 a 12 (da esquerda para a direita), como na figura abaixo:

Figura 1: Caixas de Ferramentas do GeoGebra na Janela de Visualização.

E as caixas de ferramentas da Barra inicial da Janela de Visualização 3D também serão

numeradas de 1 a 14 (da esquerda para a direita), conforme mostra a figura 2:

4

Figura 2: Caixas de Ferramentas do GeoGebra na Janela de Visualização 3D.

Para uma melhor visualização, podemos alterar a cor dos objetos construídos, para isso

clique com o botão direito do mouse sobre o objeto, selecione “Propriedades”, clique na aba

“Cor” e escolha uma cor de sua preferência.

As construções feitas na tela do GeoGebra podem ser copiadas e coladas num arquivo

do Word, ou Paint, por exemplo. Isso pode ser feito abrindo o arquivo desejado do GeoGebra,

clicando em Editar, depois na opção Selecionar Tudo e em seguida clicando em Arquivo,

Exportar, Copiar para a Área de Transferência (Ctrl+Shift+C). Depois no arquivo que se

pretende copiar (Word, por exemplo) use Ctrl+V para colar.

Não apresentaremos aqui mais detalhes sobre as ferramentas e o funcionamento do

software GeoGebra, iremos descrever algumas delas no decorrer do texto. E gostaríamos de

observar que o software GeoGebra tem passado constantemente por atualizações, sendo

assim, o modo de visualização ou a utilização de alguns comandos ou ferramentas podem

variar de uma versão para outra.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5

2. Interpretação Geométrica de Sistemas Lineares com 3

incógnitas

Podemos usar o GeoGebra para interpretar sistemas lineares (com soluções no conjunto

dos números reais ℝ) de n equações com três incógnitas uma vez que cada equação de tais

sistemas representa um plano no espaço (ℝ3). A abordagem feita aqui com o GeoGebra é

similar a dada em Celline, Parreira e Fanti (2012) com o software Maple.

Sabemos que um sistema linear pode ser classificado em: possível determinado (o sistema

possui uma única solução); possível indeterminado (o sistema possui infinitas soluções) ou

impossível (o sistema não possui nenhuma solução).

Classificar um sistema linear com duas ou mais equações e com três incógnitas é o mesmo

que analisar a posição relativa dos planos que representam cada uma das equações do

sistema. É claro que para essa interpretação no software GeoGebra é necessário escolhermos

exemplos convenientes devido ao espaço na tela ser bastante limitado (dependendo das

equações envolvidas as soluções podem não ser visualizadas na tela). Para resolver

“geometricamente” este tipo de sistema linear com o auxílio do GeoGebra bastar seguir os

seguintes passos:

1) Abra o software Geogebra, clique em Exibir e selecione Janela de Visualização 3D.

2) Digite no campo de Entrada a 1ª equação do sistema e em seguida aperte a tecla Enter do

teclado. Aparecerá na tela do GeoGebra o plano correspondente.

3) Repita o passo 2 para as outras equações do sistema.

4) O conjunto solução do sistema é o conjunto dos pontos de interseção dos planos obtidos.

Para obter tal solução com o GeoGebra utilize a ferramenta Interseção de Dois Objetos na

caixa 2 da Janela de Visualização 3D.

Vamos analisar sistemas lineares de 2 equações e 3 incógnitas e sistemas lineares de 3

equações e 3 incógnitas, visto que os casos de n equações e 3-incógnitas se reduzem a estes.

No caso em que o sistema linear tem 2 equações e 3 incógnitas (ou seja, temos dois

planos) não temos a possibilidade de um sistema possível determinado e as únicas

possibilidades são:

1. Sistema Possível Indeterminado: temos as duas situações a seguir.

Situação 1. Planos transversais, a solução do sistema tem apenas uma variável livre e a

solução representa uma reta. Considere, por exemplo, o sistema:

6

S:

=

=

3y

0z-x

Figura 3: Dois planos transversais.

Situação 2. Os planos são paralelos coincidentes e nessa situação a solução do sistema tem

duas variáveis livres. Um exemplo dessa situação é o sistema:

S:

−=−+

−=+

20z48y4x

5z-2y x

Figura 4: Dois planos paralelos coincidentes.

2. Sistema Impossível: Os planos são paralelos distintos. Por exemplo,

S:

−=+

=+

1z2

1y

2

1-x

3zy-2x

7

Figura 5: Dois planos paralelos distintos.

Agora, se tivermos um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas podemos ter:

1. Sistema Possível Determinado: ocorre quando os três planos se cortam dois a dois

segundo três retas concorrentes; o ponto comum às três retas concorrentes é o único ponto

comum aos três planos e temos apenas um tipo de situação. Por exemplo, no sistema:

S:.

=+−

=

=

3zyx2

3y

0z-x

Figura 6: Três planos se cortam dois a dois segundo três retas concorrentes.

8

2. Sistema Possível Indeterminado: temos neste caso três tipos de situações.

Situação 1. Os três planos são distintos e se intersectam em uma única reta. Considere por

exemplo:

S:

=+

=+

=+−

5 3z4y -3x

1 z-2y x

3 z y 2x

Figura 7: Três planos que se cortam segundo uma reta.

Situação 2. Quando dois planos coincidem e um terceiro plano intersectando-os segundo uma

reta. Considere o sistema abaixo:

S:

=++

=++

=++

2

1 z y

2

33x

5 4z2y x

1 2z y 36x

9

Figura 8: Dois planos coincidentes e um terceiro plano intersectando-os segundo uma reta.

Situação 3. Quando os três planos coincidem. Uma situação desse tipo é dada, por exemplo,

no sistema:

S:

=+−

=+

=+

3 6z3y 3x

2 4z 2y -2x

1 2z y -x

Figura 9: Três planos paralelos coincidentes.

10

3. Sistema Impossível (temos neste caso quatro tipos de situações):

Situação 1. Quando os três planos estão se intersectando dois a dois, mas não existe

interseção dos três planos. Considere o sistema abaixo:

S:

=+

=++

=++

0 2zy

1 3z 2y x

2 z y x

Figura 10: Três planos que se cortam dois a dois segundo três retas paralelas.

Situação 2. Quando dois planos são paralelos distintos e o terceiro é transversal a ambos,

cortando-os segundo retas paralelas. Considere o sistema abaixo:

S:

=++

−=+

=+

2 z 2 3x

2zy-2x

3zy-2x

y

11

Figura 11: Dois planos paralelos e um terceiro plano está os intersectando.

Situação 3. Quando temos três planos paralelos. Considere o sistema abaixo:

S:

=−−

−=−−

−=−−

5 zy x

3 zy x

15 zy x

Figura 12: Três planos paralelos distintos.

Situação 4. Quando dois planos são coincidentes e o outro é paralelo (e distinto) a estes dois.

Uma situação desse tipo é dada, por exemplo, no sistema:

S:

=−−

−=−−

−=−−

9 2z2y 2x

30 2z 2y 2x

15 zy x

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3. Construções de alguns sólidos no GeoGebra

Apresentaremos a seguir as ferramentas do software GeoGebra que podem ser utilizadas,

bem como os passos, para a construção dos seguintes sólidos: cubo, prismas, pirâmides e

esferas. Para as construções que serão feitas a seguir será necessário após abrir o software

GeoGebra clicar no menu exibir e selecionar Janela de Visualização 3D.

3.1. Construção de cubos

Em geral, a construção de cubos no GeoGebra é feita a partir de dois pontos que

corresponderão aos extremos de uma das arestas do cubo. No entanto, na construção, deve-se

levar em conta a seguinte pergunta:

Dados dois pontos A e B (do espaço) quantos cubos existem

tendo o segmento AB como uma de suas arestas?

No GeoGebra a construção de Cubos pode ser feita por meio da ferramenta Cubo na caixa

9 da Janela de Visualização 3D ou digitando um dos seguintes comandos no campo Entrada:

“Cubo[ <Ponto>, <Ponto>]” ou

“Cubo[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto>]” ou

“Cubo[ <Ponto>, <Ponto>, <Direção>]”.

Apresentaremos os passos para a construção de um cubo, de aresta medindo 5, por meio

de cada um dos modos referidos acima. Em qualquer um desses modos devemos inicialmente

representar dois pontos A e B que sejam distintos e a medida do segmento AB seja 5. Por

exemplo, A=(0,0,0) e B=(5,0,0). Para isso, selecione Ponto na caixa 2 e clique na tela de modo

a obter os dois pontos com as condições desejadas. Outra maneira que também podemos

utilizar para representar um ponto é através do campo Entrada, utilizando suas coordenadas.

Por exemplo, para definir A=(0,0,0), basta digitar “A=(0,0,0)” no campo Entrada, e o mesmo

procedimento é válido para o ponto B=(5,0,0). Após representar os pontos A e B, siga um dos

passos descritos abaixo.

� PASSOS (utilizando a ferramenta Cubo da caixa 9 da Janela de Visualização 3D):

1) Selecione na caixa 9 a ferramenta Cubo, clique no ponto A e depois no ponto B.

Observação: Para utilizar a ferramenta Cubo da Janela de Visualização 3D basta selecionar

dois pontos ou clicar em um plano (opcional), e então em dois pontos.

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Figura 13: Construção com a ferramenta Cubo.

� PASSOS (utilizando “Cubo[ <Ponto>, <Ponto>]”):

1) Digite no campo Entrada: “Cubo[A,B]” e depois aperte a tecla Enter.

Figura 14: Construção com “Cubo[ <Ponto>, <Ponto>]”.

� PASSOS (utilizando “Cubo[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto>]”):

1) Represente o ponto C = (5, 0, -5). É necessário que a reta BC seja perpendicular à reta AB.

2) Digite no campo Entrada: “Cubo[ A, B, C]” e depois aperte a tecla Enter.

14

Figura 15: Construção com “Cubo[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto>]”.

� PASSOS (utilizando “Cubo[ <Ponto>, <Ponto>, <Direção>]”):

1) Represente os pontos X = (0,4,0) e Y=(0,4,-2). É necessário que os pontos X e Y sejam tais

que a reta XY é ortogonal à reta AB.

2) Construa o vetor u de origem em X e extremidade em Y. Para isso selecione a ferramenta

Vetor da caixa 3 e clique sobre o ponto X e depois sobre o ponto Y. Outra maneira que

também podemos utilizar para construir um vetor é através do campo Entrada, bastando digitar

“Vetor[ X, Y ]”. Note que o vetor u é ortogonal ao vetor AB.

3) Digite no campo Entrada: “Cubo[ A, B, u]” e depois aperte a tecla Enter.

Figura 16: Construção com “Cubo[ <Ponto>, <Ponto>, <Direção>]”.

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3.2. Construção de Prismas

Perguntas:

Qual o número mínimo de vértices para obter um prisma?

Quais são os elementos de um prisma?

Dado um polígono P e uma medida h, quantos prismas existem tendo como base o

polígono P e altura medindo h?

Para se construir um prisma no GeoGebra pode-se utilizar a ferramenta Prisma da caixa 9

da Janela de Visualização 3D ou digitar no campo Entrada um dos seguintes comandos:

“Prisma[ <Polígono>, <Ponto> ]” ou

“Prisma[ <Polígono>, <Altura> ]” ou

“Prisma[ <Ponto>, <Ponto>, ... ]”.

Apresentaremos abaixo exemplos de prismas triangulares e quadrangulares e os passos de

sua construção no GeoGebra utilizando um dos modos mencionados acima.

� PASSOS (utilizando a ferramenta Prisma da caixa 9 da Janela de Visualização 3D):

1) Represente os pontos A = (0, 2, 0), B = (3, 2, 0) e C = (0, 0, 1).

2) Represente o ponto F = (-4, 4, 0).

3) Selecione na caixa 9 a ferramenta ‘’Prisma’’, clique sobre os pontos A, B, C e novamente

sobre A e depois sobre o ponto F.

Figura 17: Construção com a ferramenta Prisma.

16

Observação: O prisma construído usando essa ferramenta é traçado de forma que o último

ponto representado e o primeiro ponto marcado no polígono serão os extremos de uma aresta

lateral do prisma.

� PASSOS (utilizando “Prisma[ <Polígono>, <Ponto> ]”):

1) Represente os pontos A = (-2, 1, 0), B = (2, 1, 0), C = (2, 4, 0) e D = (-2, 3, 0).

2) Construa o quadrilátero ABCD, para isso selecione a ferramenta Polígono na caixa 5, e

clique sobre os pontos A, B, C, D e novamente sobre o ponto A. Esse quadrilátero será rotulado

de “pol1” pelo GeoGebra.

3) Represente o ponto E = (0, 0, 4).

4) Digite no campo Entrada: “Prisma[pol1, E]” e depois aperte a tecla Enter.

Figura 18: Construção com “Prisma[ <Polígono>, <Ponto> ]”.

� PASSOS (utilizando “Prisma[ <Polígono>, <Altura> ]”):

1) Represente os pontos A = (-2, 1, 0), B = (1, 1, 0), C = (2, 4, 0) e D = (-1, 3, 0).

2) Construa o quadrilátero ABCD. Esse quadrilátero será rotulado de “pol1” pelo GeoGebra.

3) Escolha um número real h que será a medida da altura do prisma a ser construído. Vamos

escolher h=3.

4) Digite no campo Entrada: “Prisma[ pol1, 3 ]” e depois aperte a tecla Enter.

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Figura 19: Construção com “Prisma[ <Polígono>, <Altura> ]”.

� PASSOS (utilizando “Prisma[ <Ponto>, <Ponto>, ... ]”):

1) Represente os pontos A = (1, 0, 0), B = (-1, -1, 0), C = (1, -1, 1), F=(0,4,0).

2) Digite no campo Entrada: “Prisma[ A, B, C, F ]” e depois aperte a tecla Enter.

Figura 20: Construção com “Prisma[ <Ponto>, <Ponto>, ... ]”.

Observação: Para construir um prisma usando essa ferramenta é necessário representar todos

os vértices de uma das bases e um vértice da base oposta.

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3.3. Construção de Pirâmides

Perguntas:

Qual o número mínimo de vértices para obter uma pirâmide?

Quais são os elementos de uma pirâmide? Que tipos de polígonos são faces laterais de

uma pirâmide?

Dado um polígono P e uma medida h, quantas pirâmides existem tendo como base o

polígono P e altura medindo h?

A construção de pirâmides no GeoGebra, pode ser feita por meio da ferramenta Pirâmide

na caixa 9 da Janela de Visualização 3D ou por meio de um dos seguintes comandos

digitados no campo Entrada:

“Pirâmide[ <Polígono>, <Ponto> ]” ou

“Pirâmide[ <Polígono>, <Altura> ]” ou

“Pirâmide[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto>, <Ponto>, ... ]”.

Note que os comandos são parecidos com os comandos da construção de prismas.

Exemplificaremos aqui apenas um dos tipos de construção.

� PASSOS (utilizando “Pirâmide[ <Polígono>, <Altura> ]”):

1) Represente os pontos A = (4, 0, 0), B = (0, 4, 0), C = (-4, 0, 0), D=(-4,-4,0) e E = (0, -4, 0).

2) Construa o pentágono ABCDE. Esse pentágono será rotulado pelo GeoGebra de “pol1”.

3) Escolha um número real h que será a medida da altura do prisma a ser construído. Vamos

escolher h=6.

4) Digite no campo Entrada: “Pirâmide[ pol1, 6 ]” e depois aperte a tecla Enter.

Figura 21: Construção com “Pirâmide[ <Polígono>, <Altura> ]”.

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3.4. Construção de Esferas

Para a construção de esferas no GeoGebra existem duas ferramentas na caixa 10 da

Janela de Visualização 3D, a saber: “Esfera dados Centro e Um de Seus Pontos” e “Esfera

dado Centro e Raio”.

� PASSOS (utilizando “Esfera dados Centro e Um de Seus Pontos”):

1) Represente os pontos A = (0, 0, 0), B = (0, -2, 0).

2) Selecione na caixa 10 a ferramenta ‘’Esfera dados Centro e Um de Seus Pontos’’, clique

sobre o ponto A e depois sobre o ponto B.

Figura 22: Esfera com centro A=(0,0,0) e passando pelo ponto B = (0, -2, 0).

� PASSOS (utilizando “Esfera dado Centro e Raio”):

1) Represente o ponto A = (0, 0, 0).

2) Selecione na caixa 10 a ferramenta Esfera dado Centro e Raio, clique no ponto A, e depois

digite o número 4 na caixa que aparecerá e clique em OK, obtendo assim a representação

geométrica da esfera de centro A=(0,0,0) e raio 4.

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Figura 23: Esfera de centro A=(0,0,0) e raio 4.

Observação: A construção de esferas pode também ser obtida digitando no campo Entrada

um dos comandos abaixo (e inserindo os dados necessários como Pontos e Raio):

“Esfera[ <Ponto>, <Ponto> ]” ou

“Esfera[ <Ponto>, <Raio> ]”.

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4. Alguns exercícios de Geometria Espacial

A seguir estão propostos alguns exercícios de geometria espacial para serem resolvidos

com o auxílio das ferramentas do GeoGebra.

Exercício 1. Sabendo que a aresta de um cubo é 1 cm,

calcule a área do hexágono regular formado pelos pontos

médios das arestas, conforme mostra a figura ao lado. Com o

auxílio do GeoGebra, confira se a sua resposta está correta.

Exercício 2. Construa no GeoGebra um paralelepípedo retângulo de altura 5 e que tem como

base um retângulo ABCD de lados 2 e 6. Considere os pontos médios M, N, P e Q de cada um

dos lados do retângulo ABCD e construa um prisma reto cuja altura é 5 e que tem o polígono

MNPQ como uma de suas bases. Utilizando ferramentas do GeoGebra, conclua que o volume

do último prisma construído é metade do volume do prisma inicial. Justifique sua resposta.

Exercício 3. Construa no GeoGebra um prisma cuja base seja um quadrado de lado 3cm e que

tenha volume 63cm3.

Exercício 4. Construa no GeoGebra um pentágono qualquer. Em seguida, construa um plano π

que dista 5 do plano que contém o pentágono e que seja paralelo ao pentágono. Represente

um ponto Q qualquer no plano π e construa a pirâmide contendo Q como vértice. Observe o

volume V dessa pirâmide na Janela de Álgebra do GeoGebra. Quantas pirâmides existem

tendo como base o pentágono construído inicialmente e com o mesmo volume V mostrado?

Visualize isso no GeoGebra.

Exercício 5. No GeoGebra: construa uma pirâmide regular de altura 7 com base um hexágono

de lado 3 e represente um plano paralelo à base intersectando essa pirâmide. Calcule o volume

do tronco de pirâmide obtido.

Exercício 6. Determinar os pontos cuja distância até o ponto P(2, 3, 1) seja igual a 5 unidades

e que também satisfaça uma das seguintes condições:

a) Estão no eixo das abcissas.

b) Pertencem ao plano xy.

c) Estão no plano de equação z=-1.

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Referências Bibliográficas

BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2012.

BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica – um tratamento vetorial. 3 ed. São Paulo: Ed. Prentice Hall, 2005. CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H.; COSTA, R. C. F. Álgebra Linear e Aplicações. São Paulo: Atual, 1990. CARVALHO, P. C. P. Introdução à Geometria Espacial. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1999.

CELLINE, C. P., PARREIRA, R. de O., FANTI, E. L. C. Maple e Sistemas de Equações Lineares: Uma Introdução. Notas de Minicurso. IBILCE/UNESP. SJRP. Out/2012. DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Geometria Espacial. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar, v.10, São Paulo: Atual, 2005. DOS SANTOS, J.; TROCADO, A. GeoGebra 3D. Curso 1. MinhoMat 2013. Portugal: Instituto GeoGebra de Portugal. 2013.

GRAVINA, M. A. Geometria Espacial com o GeoGebra. Disponível em: <http://anpmat.sbm.org.br/simposio-nacional-2/images/gravina_geogebra3d.pdf>. Acesso em: 25 set. 2015. REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. 3a ed. Campinas: Ed. da UNICAMP, 2008. SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Coleção Cadernos do Professor: Matemática: Ensino Médio, 2ª Série, v.2. Secretaria da Educação; Coordenação geral, São Paulo, SEE, 2014. Site:<https://www.geogebra.org>.