F I Conjuntos - dt.fee.unicamp.brtiago/courses/otimizacao_nao_linear/Cap2... · F un c oes F un c...
Transcript of F I Conjuntos - dt.fee.unicamp.brtiago/courses/otimizacao_nao_linear/Cap2... · F un c oes F un c...
c� PAVF �
Fundamentos I
� Conjuntos
� Fun�c�oes
� N�umeros reais
� Seq�u�encias
� Fun�c�oes cont��nuas
� Fun�c�oes diferenci�aveis
c� PAVF �
Conjuntos
No�c�oes primitivas
� Conjunto� cole�c�ao� fam��lia
� Elemento� membro
Seja A um conjunto e x um elemento� Ent�ao
x � A � x pertence a A� x est�a contido em Ax �� A � x n�ao pertence a A
Sejam A�B conjuntos� Ent�ao
� Se x � A implica que x � B� diz�se que A est�a contidoem B� ou que B cont�em A� ou que A �e um subconjuntode B
A � B ou B � A
� A � B se e somente se A�B cont�em os mesmos elementosA � B implica A � B e B � A�
� Se A � B e A �� B� ent�ao A �e um subconjunto pr�opriode B
c� PAVF �
Conjuntos
Descri�c�oes de conjuntos
�� Listando�se seus elementos
� Especi�cando�se uma propriedade comum aos elementosdo conjunto
A �� fx � P�x�g ou A �� fx � S � P�x�g
isto �e� todos os elementos de A satisfazem a propriedadeP
Conjuntos especiais
�� Conjunto dos n�umeros naturais N �� f�� �� �� � � �g � Conjunto dos n�umeros inteiros Z �� f����������� � � �g�� Conjunto dos n�umeros racionais
Q �� fm�n � m�n � Z e n �� �g
�� Conjunto dos n�umeros reais� R
c� PAVF �
Conjuntos
Exemplos
a�
A �� f�� �g�� fx � N � x� � �x � �g
b�
A �� f�� �g�� fx � N � � � x� � ��g�� fx � N � x� � �� � � �g�� fy � N � y � � x� x � � ou x �g
c� Naturais pares�
A �� fy � N � y � �x� x � Ng
�� f�x � x � Ng nota�c�ao abreviada�
d� Teorema de Fermat�
A �� f�� �g
�� fn � N � xn yn � zng� x� y� z � N
c� PAVF �
Conjuntos
Conjunto vazio� �
N�ao possue elementos� Se A �e qquer conjunto� � � A
Opera�c�oes
Uni�ao�
A � B �� fx � x � A ou x � Bg �ou� inclusivo�
Interse�c�ao�
A B �� fx � x � A e x � Bg
Se A B � �� ent�ao A e B s�ao disjuntos
Complemento� de B relativo a A�
AnB �� fx � A � x �� Bg
AnB � A �menos� B� A� B� A B�
c� PAVF �
Conjuntos
Propriedades
Idempot�encia�
A A � A� A �A � A
Comutatividade�
A B � B A� A � B � B �A
Associatividade�
�A B� C � A �B C�� �A � B� � C � A � �B � C�
Distributividade�
A �B � C� � �A B� � �A C�A � �B C� � �A � B� �A� C�
Leis de DeMorgan�
An�B � C� � �AnB� �AnC�An�B C� � �AnB� � �AnC�
c� PAVF �
Conjuntos
Nota�c�oes especiais�
�i�I
Ai ��n�i��
Ai �� A� �A� � � � � �An
�i�I
Ai ��n�i��
Ai �� A� A� � � � An
I � conjunto de ��ndices
MATLAB
A���a���b���c���d���e���f���g���h���i���j���k���l��
�m���n���o���p���q���r���s���t���u���v���w���x��
�y���z����
ismember��a��A�
ans � �
ismember����A�
ans �
B���a���e���i���o���u��� C���k���w���y���
BuC�union�B�C�� AcB�setdiff�A�B�� AcC�setdiff�A�C��
L�setdiff�A�BuC�
L � bcdfghjlmnpqrstvxz
R�intersect�AcB�AcC�
R � bcdfghjlmnpqrstvxz
An�B � C� � �AnB� �AnC� �
c� PAVF �
Conjuntos
Produto carteziano
Sejam A e B conjuntos n�ao�vazios� O produto cartezianoA � B de A e B �e o conjunto formado por todos os paresordenados �a� b�� com a � A e b � B
A
B
�a� b�
a
b
A� B
Exemplos�
a� A �� f�� �� �g� B �� f � �g
A � B � f��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��g
b� A �� fx � R � � � x � �gB �� fx � R � � � x � �g
A � B � f�a� b� � � � a � �� � � b � �g
c� PAVF �
Fun�c�oes
Fun�c�ao
� Nos prim�ordios� referia�se a f�ormulas do tipo
f�x� �� x� �x ou f�x� ��Z x
��e�t
�
dt
� A cada x � R associa�se um �unico f�x� � R
� Algumas fun�c�oes n�ao s�ao exatamente f�ormulas
f�x� �
���������������������
�� se x � �
�� se x � �
��� se x � �
� Generaliza�c�ao uma fun�c�ao f de A para B �e uma regraque atribui a cada x � A um �unico elemento f�x� de B
� Regra �e um conceito difuso� Fun�c�ao pode ser melhor de��nida em termos de conjuntos e conceitos associados
c� PAVF �
Fun�c�oes
Fun�c�ao
Sejam dois conjuntos A�B� Uma fun�c�ao de A para B �e umconjunto f de pares ordenados �a� b� em A � B tal que paracada a � A existe um �unico b � B com �a� b� � f � isto �e�
�a� b� � f e �a� b�� � f b� � b
� A �e o dom��nio da fun�c�ao� D�f�
� O conjunto de todos os elementos de B que ocorrem comosegundos elementos de f �e o range de f � R�f�
a
b
f
�a� b�
A
B R�f�
c� PAVF ��
Fun�c�oes
Nota�c�ao�
f � A � B
� f �e uma fun�c�ao de A para B� f �e um mapeamento de A em B� Se �a� b� � f � costuma�se escrever b � f�a�� onde b �e ovalor ou imagem de a sob f
Transforma�c�ao
Representa�c�ao geom�etrica de uma fun�c�ao
a b
f
b � f�a�
A B
R�f�
Representa�c�ao �util� principalmente se A e B n�ao s�ao subcon�juntos do plano
c� PAVF ��
Fun�c�oes
MATLAB
fplot�f��xmin xmax��
f � express�ao simb�olica de f em termos de xxmin� xmax � valores m��nimo e m�aximo de x
Exemplo� f�x� �� sin �x��� x � ��� ���
fplot��sin�x������ � pi���
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
f
R�f�
Alternativa
x�linspace��� pi����
f�sin�x�����
plot�x�f��
c� PAVF ��
Fun�c�oes
Exemplo� Subplots de
f��x� �� x�� f��x� �� sin �x�� cos �x�
f��x� �� sin �x���x e f��x� �� e�x�
no intervalo ����� ���
x�linspace����pi���pi����
f�x�� subplot������ plot�x�f� grid
f��sin�x����cos�x��eps� subplot������� plot�x�f�� grid
f �sin�x�������x�eps� subplot����� � plot�x�f � grid
f��exp��x���� subplot������� plot�x�f�� grid
−10 −5 0 5 10−300
−200
−100
0
100
200
300
−10 −5 0 5 10−40
−20
0
20
40
−10 −5 0 5 10−1
−0.5
0
0.5
1
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xx
xx
f�
f�
f�f�
c� PAVF ��
Fun�c�oes
Imagens direta e inversa
Sejam f � A � B� E � A e H � B
Imagem direta�
f�E� �� ff�x� � x � Eg
y� � f�E� � �x� � E � y� � f�x��
Imagem inversa�
f���H� �� fx � A � f�x� � Hg
x� � f���H� � y� �� f�x�� � H
Exemplo
Sejam f�x� �� x� e E �� fx � � � x � �g� Ent�ao
f�E� � fy � � � y � g
Entretanto
f���f�E�� � fx � �� � x � �g �� E
c� PAVF ��
Fun�c�oes
Fun�c�ao injetiva
f � A � B �e injetiva se sempre que x� �� x� obt�em�sef�x�� �� f�x��� ou seja� f�x�� � f�x�� implica x� � x� paratodos x�� x� � A
Fun�c�ao inversa
Seja f � A � B uma fun�c�ao injetiva� Se g �� f�b� a� �B�A � �a� b� � fg� ent�ao g � R�f�� A �e a fun�c�ao inversade f � denotada por f��
Exemplo
Seja A �� fx � R � x �� �g� Ent�ao f � A � B de�nida por
f�x� ���
x
�e injetiva� O range de f �e R�f� � fy � R � y �� �g e a inversade f �e
f���y� ��
y
Nota� f � A � B �e sobrejetiva se R�f� � B e bijetiva se aomesmo tempo �e injetiva e sobrejetiva
c� PAVF ��
Fun�c�oes
Fun�c�ao composta
Sejam as fun�c�oes f � A � B e g � B � C� A fun�c�aocomposta g � f �e a fun�c�ao g � f�x� �� g�f�x��� x � A� de Apara C
f gA B C
R�f�
R�g�
g � f
Exemplos
a� f�x� �� x �� g�x� �� x�� x � R� como D�g� � R eR�f� � R� D�g � f� � R e
g � f � g�f�x�� � �x ��� � x� �x �
b� f�x� �� �� x�� g�x� ��px� x � R� a fun�c�ao
g � f � g�f�x�� �p�� x�
est�a de�nida somente em fx � R � �� � x � �gf�x� � ��
c� PAVF ��
N�umeros reais
Axiomas de campo
Sobre R est�ao de�nidas duas opera�c�oes bin�arias� ��� e � � ��adi�c�ao e multiplica�c�ao� que satisfazem as propriedades abaixopara todos x� y� z � R
�� x y � y x
� �x y� z � x �y z�
� Existe um elemento � � R tal que � x � x
�� Para cada x � R� existe �x � R tal que x ��x� � �
�� x � y � y � x
� �x � y� � z � x � �y � z�
�� Existe um elemento � �� � tal que � � x � x
�� Para cada x � R� x �� �� existe ��x � R tal que x����x� � �
�� x � �y z� � �x � y� �x � z�
c� PAVF ��
N�umeros reais
Axiomas de ordem
Existe um subconjunto R� � R� chamado de conjunto den�umeros positivos� tal que
�� Se x� y � R�� ent�ao x y � R�
� Se x� y � R�� ent�ao xy � R�
� Se x � R�� ent�ao �x �� R�
�� � �� R�
De�ni�c�oes de �� �� � e �
x � y y � x � R�
y � x x � y
x � y x � y ou x � y
y � x x � y
Teorema Sejam x� y� z � R� Ent�ao
a� Se x � y e y � z� ent�ao x � z
b� Ou x � y� ou x � y� ou x � y �ou� exclusivo�
c� Se x � y e y � x� ent�ao x � y
c� PAVF ��
N�umeros reais
Valor absoluto
O valor absoluto de x � R �e de�nido como
j x j ��
���������������������
x� se x � �
�� se x � �
�x� se x � �
Propriedades � Para quaisquer x� y � R�
a� j x j � �� j x j� � � x � �
b� j �x j� j x jc� j xy j� j x j j y jd� j x j � c � �c � x � c �c � ��
e� � j x j � x � j x j
f� j x y j � j x j j y j Desigualdade Triangular�
g� jj x j � j y jj � j x� y jh� j x� y j � j x j j y j
c� PAVF �
N�umeros reais
Reta real
� � � �������
� j x j� x � R �e a dist�ancia de x �a origem �
� j x�y j �e a dist�ancia entre elementos x� y � R quaisquer
Vizinhan�ca
Seja a � R e � � �� A ��vizinhan�ca de a �e o conjunto
V��a� �� fx � R � j x� a j� �g
Se x � R� ent�ao
�� � x� a � � � a� � � x � a �
aa� � a �
c� PAVF ��
N�umeros reais
Supremo
� b � R �e um limitante superior de S � R se
x � b para todo x � S
� Se S �e limitado superiormente� ent�ao b �e o supremo deS se n�ao existe limitante superior para S menor do que b
Nota�c�oes� sup S� supx�S x ou sup fx � x � Sg
�In�mo
� a � R �e um limitante inferior de S � R se
a � x para todo x � S
� Se S �e limitado inferiormente� ent�ao a �e o ��n�mo de Sse n�ao existe limitante inferior para S maior do que a�
Nota�c�oes� inf S� infx�S x ou inf fx � x � Sg
S
inf S sup S
c� PAVF ��
N�umeros reais
Conjunto limitado
Um conjunto S � R �e limitado se possui limitantes superiore inferior� e ilimitado� caso contr�ario
Axioma de completividade
Todo conjunto n�ao�vazio de n�umeros reais que possui umlimitante superior inferior� possui um supremo ��n�mo�
Exemplo � Seja o conjunto
S �����
�
�
��� � � � �
��
�
n
�n� � � �
onde��
�
n
�n� ����� � � � � e quando n��� Ent�ao
supS � e� inf S � �
Notas
� supS � e �� S� S n�ao possui um menor limitante superior racional
c� PAVF ��
N�umeros reais
Intervalos
Sejam a� b � R tais que a � b
Aberto
�a� b� �� fx � R � a � x � bg
Fechado
�a� b� �� fx � R � a � x � bg
Semi�abertos Semi�fechados�
�a� b� �� fx � R � a � x � bg�a� b� �� fx � R � a � x � bg
In�nitos �Raios��
�a��� �� fx � R � x � ag���� a� �� fx � R � x � ag�a��� �� fx � R � x � ag
���� a� �� fx � R � x � ag
a� b � pontos extremos
R �� ������
c� PAVF ��
N�umeros reais
Intervalos limitados�
�a� b�� �a� b�� �a� b�� �a� b�
Se I �e qquer intervalo limitado�
inf I � a� sup I � b
Intervalos ilimitados�
�a���� ���� a�� �a���� ���� a�
Possuem apenas supremo ou ��n�mo
M�aximo e M��nimo
Se x � sup S e x � S� ent�ao x �e o m�aximo de S� Damesma forma� se x � inf S e x � S� ent�ao x �e m��nimo de S
Nota�c�oes�
max S� maxx�S
x ou maxfx � x � Sg
min S� minx�S
x ou minfx � x � Sg
c� PAVF ��
Seq�u�encias
Seq�u�encia em R
Uma seq�u�encia em R �e uma fun�c�ao com dom��nioN e rangecontido em R
�xk�� �xk� k � N�
Limite de �xk�
x � R �e um limite de �xk� se para todo � � �� existe umK��� � N tal que
j xk � x j� � para todo k � K���
Nota�c�oes�
lim �xk� � x� limk��
xk � x ou xk � x
� Se �xk� possui um limite� ent�ao �xk� �e convergente� casocontr�ario� �xk� �e divergente
� Se x �e um limite de �xk�� ent�ao �xk� converge para x
c� PAVF ��
Seq�u�encias
Unicidade do limite
Uma seq�u�encia pode ter no m�aximo um limite
Prova� Sejam x� �x limites de �xk� x �� �x�� Escolhe�se � � �tal que
� ��
�j x� �x j
Ent�ao V��x�V���x� � �� SejamK� fK � N tais que xk � V��x��se k � K e xk � V���x�� se k � fK� FazendoK� � max�K� fK��ent�ao xk � V��x� e xk � V���x�� se k � K�� contradizendoV��x� V���x� � �� Portanto� x � �x �
Exemplos
a� lim ���k� � �� De fato
j ��k � � j� ��k
e dado qquer � � �� determina�seK � ���� Ent�ao ��k � �para todo k � K
b� �����k� n�ao converge para � ou para ���� De fato� sex � � e � � �� n�ao existe K � N tal que
j ����k � � j� � para todo k � K
c� PAVF ��
Seq�u�encias
Seq�u�encia limitada
�xk� �e limitada se existe um real M � � tal que j xk j �Mpara todo k � N
Teorema
Uma seq�u�encia convergente �e limitada
Prova� Assuma lim �xk� � x e � � �� Ent�ao existe K � K���tal que j xk � x j� � para todo k � K� isto �e�
j xk j� j x j � para todo k � K
Se M �� sup fj x� j� j x� j� � � � � j xK�� j� j x j �g� ent�aoj xk j � M para todo k � N �
Opera�c�oes
Sejam �xk� e �yk� seq�u�encias e � � R� De�ne�se
Soma� �xk�� �yk� �� �xk � yk�
Produto� �xk� � �yk� �� �xkyk�
M�ultiplo� � �xk� �� ��xk�
Quociente� �xk���yk� �� �xk�yk� �yk �� �� k � N�
c� PAVF ��
Seq�u�encias
Subseq�u�encia
Seja �xk� e r� � r� � � � � � rk � � � � uma seq�u�encia estri�tamente crescente em N� A seq�u�encia
�xrk� � �xr�� xr�� � � � � xrk � � � � �
�e chamada de subseq�u�encia de �xk�
Exemplos � Seja �xk� k � N�� S�ao subseq�u�encias de �xk�
a� �xrk�� r� � �� r� � �� r� � �� � � � � rk � �k � �� � � �
b� �xrk�� r� � �� r� � � r� � � � � � � rk � �k� � � �
c� �xrk�� r� � �� r� � �� r� � ��� r� � ��� � � �
Teorema
Se �xk� converge para x � R� ent�ao qquer subseq�u�encia de�xk� converge para x
Crit�erio de Diverg�encia� Se alguma subseq�u�encia n�ao con�vergir para x� ent�ao a seq�u�encia n�ao converge para x
c� PAVF ��
Seq�u�encias
Exemplo � A seq�u�encia �xk� cujo termo geral �e
xk �� �� e�k���
�e tal que xk � x � �
� � �
k
�
�
� Quaisquer que sejam r� � r� � � � � � rk � � � �
�xrk� � ��� e�r����� �� e�r����� � � � �
tamb�em converge para x � �
� �xrk� pode ser vista como resultado da remo�c�ao de termosde �xk�� Os termos restantes constituem uma subseq�u�enciaconvergente para x � �
c� PAVF �
Seq�u�encias
Teorema �Bolzano�Weierstrass�
Uma seq�u�encia �xk� limitada possui uma subseq�u�encia con�vergente
Notas
� Uma seq�u�encia ilimitada pode possuir subseq�u�encias con�vergentes� Exemplo�
�xk� �� ����
�� ��
�
� � � � �
� Uma seq�u�encia limitada pode possuir subseq�u�encias con�vergindo para diferentes limites� Exemplo�
�����k� k � N�� k par xk � ��� k impar xk � ���
� Pode possuir subseq�u�encias que n�ao convergem� Exemplo�
�����k� k � N�� k � �� �� �� �� �� � � �
Teorema
Seja �xk� uma seq�u�encia limitada tal que toda subseq�u�enciaconvergente de �xk� converge para x � R� Ent�ao �xk� convergepara x
c� PAVF ��
Seq�u�encias
Seq�u�encia de Cauchy
�xk� �e uma seq�u�encia de Cauchy se para todo � � �� existeK � K��� tal que
j xn � xm j� � para todos n�m � K
� Exige que os termos de �xk� se aproximem qdo k ��� N�ao envolve a utiliza�c�ao de limites de seq�u�encias
Teorema
�xk� �e convergente se e somente se �xk� �e uma seq�u�encia deCauchy
Exemplo� Seja �xk� �� ���k�� Dado � � �� existe K � K���tal que K � ���� Portanto� se n�m � K� tem�se ��n � ��K���m � ��K e
�n ��
m
� �
n
�
m� �
K� � para todos n�m � K
Conclui�se que ���k� �e uma seq�u�encia de Cauchy e� peloTeorema� que ���k� �e convergente
c� PAVF ��
Seq�u�encias
Ponto limite
x � R �e um ponto limite de �xk� se para todo k � N etodo � � ��
j xn � x j� � para algum n � k
Notas
� Se existir� o limite de �xk� �e um ponto limite da �xk�
� A seq�u�encia �����k� n�ao possui limite� mas possui doispontos limites �� e ��
Teorema
x � R �e um ponto limite de �xk� se e somente se existe umasubseq�u�encia de �xk� que converge para x
Nota
� Se �xk� converge para x � R� ent�ao qquer subseq�u�enciade �xk� tamb�em converge para x� Portanto� x �e o �unicoponto limite de �xk�
c� PAVF ��
Fun�c�oes cont��nuas
Ponto de acumula�c�ao
Seja A � R� Diz�se que x� �e um ponto de acumula�c�ao deA se toda ��vizinhan�ca V��x�� �� �x�� �� x� �� de x� cont�emao menos um ponto de A distinto de x�
Limite de f em x�
Sejam A � R� f � A � R e x� um ponto de acumula�c�aode A� Diz�se que L �e um limite de f em x� se� para qquerV��L�� existe V��x�� tal que se x � A V��x��� x �� x�� ent�aof�x� � V��L�
���V��L�
���V��x��x�
L
x
f�x�
f
Atrav�es de modi�ca�c�oes convenientes� pode�se caracterizarlimites de f �a esquerda x� x�� � e �a direita x� x�� � de x�
c� PAVF ��
Fun�c�oes cont��nuas
Continuidade
Sejam A � R� f � A � R e x� � A� Diz�se que f �econt��nua em x� se� para qquer V��f�x���� existe V��x�� talque se x � A V��x��� ent�ao f�x� � V��f�x���
���V��f�x���
���V��x��x�
f�x��
x
f�x�
f
� Se x� � A �e um ponto de acumula�c�ao� ent�ao f �e cont��nuaem x� se e somente se f�x�� � lim
x�x�f�x�
� Se x� � A n�ao �e um ponto de acumula�c�ao� ent�ao x� �e umponto isolado e f �e cont��nua em x�
� Se f �e cont��nua em cada ponto de A� ent�ao diz�se que f�e cont��nua em A
c� PAVF ��
Fun�c�oes cont��nuas
Exemplo
N�ao s�ao cont��nuas em x� � ��
a� f�x� � sign �x�� porque limx��
sign �x� n�ao existe
b� f�x� � ��x� porque n�ao est�a de�nida em x � �
c� f�x� �
��� �� se x � ��� se x �� �
� porque f��� �� limx��
f�x�
a�� b� e c� s�ao cont��nuas para todo x �� �
Teorema
Sejam A � R� f � A � R e x� � A� Ent�ao as seguintescondi�c�oes s�ao equivalentes
a� f �e cont��nua em x�
b� Para qquer � � �� existe � � � tal que� para todo x � Acom j x� x� j� �� obt�em�se j f�x�� f�x�� j� �
c� Se �xk� for qquer seq�u�encia emA convergindo para x�� ent�ao�f�xk�� converge para f�x��
c� PAVF ��
Fun�c�oes cont��nuas
Opera�c�oes
Sejam A � R� f � A � R� g � A � R e � � R� Se f e gs�ao cont��nuas em x� � A� ent�ao f g� f � g� fg� �g e f�gg�x� �� �� x � A� s�ao tamb�em cont��nuas em x� � A
MATLAB
Sejam f�x� �� x� � � g�x� �� x� � e � � ���
x�sym��x��� f�x����� g�x����� alfa����
subplot�������� ezplot�f�g�� grid�
� � �
−5 0 5
−200
−100
0
100
200
300
−5 0 5
−6000
−4000
−2000
0
2000
4000
6000
−5 0 5
−100
−50
0
50
100
−5 0 5
−6
−4
−2
0
2
4
6
xx
xx
f g fg
�f f�g
c� PAVF ��
Fun�c�oes cont��nuas
Fun�c�ao limitada
f � A � R �e limitada em A se existe M � � tal quej f�x� j �M para todo x � A
Exemplo
a� f�x� � sin �x� � cont��nua e limitada para qquer A � R
b� f�x� � ��x � cont��nua e ilimitada em A �� ��� ��
c� f�x� � sign �x� � descont��nua em x� � �� mas limitadaqquer que seja A � R
f �e limitada sse R�f� �e um conjunto limitado
Teorema
Seja I �� �a� b� um intervalo fechado e limitado e f � I � Ruma fun�c�ao cont��nua em I� Ent�ao f �e limitada em I
Exemplo
a� f�x� � sin �x� � cont��nua e limitada em A �� ����� ���
b� f�x� � ��x � cont��nua e limitada em A �� ��� ��
c� f�x� � ex � cont��nua e limitada em A �� ���� ��
c� PAVF ��
Fun�c�oes cont��nuas
M��nimo global
Seja A � R� Diz�se que f � A � R possui um m��nimoglobal em A se existe x� � A tal que
f�x�� � f�x� para todo x � A
f�x�� � min f�A� � minx�A
f�x�
M�aximo global
Seja A � R� Diz�se que f � A � R possui um m�aximoglobal em A se existe x� � A tal que
f�x�� � f�x� para todo x � A
f�x�� � max f�A� � maxx�A
f�x�
Exemplo � Seja f�x� � ��x e os dom��nios A
��� �� � nem m��nimo� nem m�aximo
��� �� � m��nimo e m�aximo
����� � m�aximo� mas n�ao m��nimo
c� PAVF ��
Fun�c�oes cont��nuas
Teorema
Sejam I �� �a� b� e f � I � R cont��nua em I� Ent�ao fpossui um m��nimo global e um m�aximo global em I
Notas
� Algumas fun�c�oes apresentam m��nimos e m�aximos globaisem conjuntos ilimitados� Exemplo� f�x� � sin �x�
� Outras podem apresentar apenas m��nimos ou m�aximos�Exemplo� f�x� � x� possui m��nimo global em R
� M��nimos ou m�aximos podem n�ao ser �unicos� Exemplo�f�x� � x� possui dois m�aximos globais em I �� ���� ��
Teorema
Sejam I �� �a� b� e f � I � R cont��nua em I� Ent�aof�I� �� �m�M �� onde m �� min f�I� e M �� max f�I�
Exemplo
Se I �� ��� ��� e f�x� �� sin �x��� ent�ao m � ��� M � � ef�I� � ���� ��� Note que f�I� �� �f���� f����� � ��� sin � ����sin � ��� � �������
c� PAVF �
Fun�c�oes diferenci�aveis
Derivada
Sejam I � R um intervalo� f � I � R e x� � I� Diz�se quef �e diferenci�avel em x� se o limite
lim���
f�x� ��� f�x��
�existe
Notas
� Quando existe� o valor do limite �e a derivada de f em x��denotada por f ��x��
� Fica impl��cito que x �� x� � � I� Se o limite existe�obt�em�se a de�ni�c�ao alternativa
f ��x�� � limx�x�
f�x�� f�x��
x� x�
� O dom��nio de f � �e o subconjunto de I no qual f � existe� �Econveniente tratar f � como fun�c�ao de x�
Teorema
Se f � I � R �e diferenci�avel em x� � I� ent�ao f �e cont��nuaem x�
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Nota�c�ao o
Uma fun�c�ao de�nida para valores arbitrariamente pequenosde � �e do tipo o��� para �� �� se
lim���
���
�� �
Diz�se que �e de ordem menor do que �� no sentido deque tende a � mais r�apido do que �� Nota�c�ao ��� � o���
Aplica�c�ao
Suponha que f � I � R �e diferenci�avel em x� � I e de�na
f�x� ��� f�x��
�� f ��x�� �� ���
Note que ��� � � qdo � � �� De�na ainda ��� ������� Ent�ao para �� ��
f�x� �� � f�x�� f ��x��� o���
pois ��� � o���� Forma alternativa para x �� x� � �I� x� x��
f�x� � f�x�� f ��x���x� x�� o�x� x��
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Opera�c�oes
Sejam I � R um intervalo e x� � I e sejam f � I � R eg � I � R diferenci�aveis em x�� Ent�ao �f� � � R� f g� fge f�g se g�x�� �� �� tamb�em s�ao diferenci�aveis em x� e
��f���x�� � �f ��x��
�f g���x�� � f ��x�� g��x��
�fg���x�� � f ��x��g�x�� f�x��g��x��
�f
g
���x�� �
f ��x��g�x��� f�x��g��x��
�g�x����
Regra da cadeia
Sejam I�J intervalos� f � I � R e g � J � R tais quef�I� � J e x� � I� Se f e g s�ao diferenci�aveis em x� e f�x���ent�ao g � f �e diferenci�avel em x� e
�g � f���x�� � g��f�x���f��x��
Nota�c�ao d�dx
d
dx�f�x�g�x�� �
df
dx�x�g�x� f�x�
dg
dx�x�
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
M��nimo local
f � I � R possui um m��nimo local em x� � I se existeV��x�� tal que
f�x�� � f�x� para todo x � I V��x��
M�aximo local
f � I � R possui um m�aximo local em x� � I se existeV��x�� tal que
f�x�� � f�x� para todo x � I V��x��
Extremo local
Um m��nimo ou m�aximo local �e denominado de extremo lo�cal de f em I
Teorema �Extremo local interior�
Seja x� um extremo local de f � I � R e um ponto interiorde I� Se f � existe em x�� ent�ao f ��x�� � �
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Ilustra�c�ao
a b xx�
f
f ��x�� � �
Exemplo
a� Se f�x� �� x� ent�ao x� � � �e um m��nimo local e x� � � �eum m�aximo local de f em ��� ��� mas f � n�ao se anula emnenhum ponto
b� Se f�x� �� j x j� ent�ao x� � � �e um m��nimo local de f em���� �� mas f � n�ao existe em x� � �
c� Se f�x� �� x�� embora f ���� � �� o ponto x � � n�ao �e umextremo local de f em ���� ��� pois para V���� � ���� ���obt�em�se
f�x� � f��� � �� se x � V���� e x � �� e
f�x� � f��� � �� se x � V���� e x � �
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Nota
� Se x� �e um extremo local de f cont��nua� em I e um pontointerior de I� ent�ao f ��x�� � � ou f ��x�� n�ao existe� qquerx � R �e um ponto interior de I �� R � ������
Teorema do Valor M�edio
Seja f cont��nua em I �� �a� b�� tal que f � exista em cadaponto de �a� b�� Ent�ao existe ao menos um �x � �a� b� tal que
f�b� � f�a� f ���x��b� a�
a b�x
f
Existe um ponto cuja tangente �e paralela ao segmento dereta ligando �a� f�a�� e �b� f�b��
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Teorema �Condi�c�oes su�cientes�
Seja f cont��nua em I �� �a� b� e x� um ponto interior de I�Assuma f diferenci�avel em �a� x�� e �x�� b�
a� Se existe uma vizinhan�ca �x� � �� x� �� � I tal que
��� f ��x� � �� se x � �x� � �� x�� ef ��x� � �� se x � �x�� x� ��
ent�ao x� �e um m��nimo local de f em I
b� Se existe uma vizinhan�ca �x� � �� x� �� � I tal que
��� f ��x� � �� se x � �x� � �� x�� ef ��x� � �� se x � �x�� x� ��
ent�ao x� �e um m�aximo local de f em I
Prova� Se x � �x� � �� x��� pelo TVM existe �x � �x� x�� talque f�x�� f�x�� � f ���x��x�x��� Como f ���x� � �� conclui�seque f�x� � f�x�� para todo x � �x���� x��� Mesma conclus�aose x � �x�� x� ��� Item b� provado de forma an�aloga� �
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Teorema �Pontos extremos�
Seja f cont��nua em I �� �a� b� e x� um ponto de I� Assumaf diferenci�avel em �a� b�
a� Se existe �a� a �� � I tal que
f ��x� � �� se x � �a� a ��
ent�ao x� � a �e um m��nimo local de f em I� Se existe�b� �� b� � I tal que
f ��x� � �� se x � �b� �� b�
ent�ao x� � b �e um m��nimo local de f em I
b� Se existe �a� a �� � I tal que
f ��x� � �� se x � �a� a ��
ent�ao x� � a �e um m�aximo local de f em I� Se existe�b� �� b� � I tal que
f ��x� � �� se x � �b� �� b�
ent�ao x� � b �e um m�aximo local de f em I
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
MATLAB
As instru�c�oes abaixo ilustram o uso da fun�c�ao fmin�f�a�b�
para obter m��nimos locais de f�x� �� sin��x��x no intervaloI �� ����� ���
f��sin�x�����x�eps��� fplot�f���� pi�� pi��� grid�
x��fmin�f��� pi���� � x��fmin�f��������
x��fmin�f����� � x��fmin�f�����
x��fmin�f����� � x��fmin�f���� pi��
x��x� x� x� x� x� x��
x �
������ ��� ������� � ������ ������
−6 −4 −2 0 2 4 6−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
f
� M�aximos locais s�ao obtidos fazendo�se f � �f
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Derivadas de orden n
� Se f � existe num intervalo contendo x� e �e diferenci�avel emx�� a derivada resultante �e representada como f ����x��
� Se f �n��� satisfaz as mesmas condi�c�oes� obt�em�se f �n��x���a derivada de ordem n de f em x�
MATLAB
O c�alculo simb�olico de derivadas pode ser realizado atrav�esde diff�f�n�� onde f �e a fun�c�ao e n �e a ordem da derivada�Considere f�x� � ���� cos �x�� de�nida em R
x�sym��x���
f������� cos�x���
f��diff�f���
f� � ������ cos�x���� sin�x�
f��diff�f����
f� � ������� cos�x���� sin�x���������� cos�x����
cos�x�
f��diff�f����
f� � �������� cos�x���� sin�x����������� cos�x����
sin�x� cos�x�������� cos�x���� sin�x�
� Note que f��diff�f�����diff�f���
c� PAVF �
Fun�c�oes diferenci�aveis
−5 0 5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−5 0 5−1
−0.5
0
0.5
1
−5 0 5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
−5 0 5
−3
−2
−1
0
1
2
3
xx
xx
f f �
f ��
f ���
Polin�omios de Taylor
Se f �n� existe em x�� ent�ao o polin�omio de Taylor
pn�x� � f�x�� f ��x���x� x�� �
��f ���x���x� x��
� � � �
� � � �
n�f �n��x���x� x��
n
�e tal que
pn�x�� � f�x�� e p�k�n �x�� � f �k��x��� k � �� �� � � � � n
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Teorema de Taylor
Sejam n � N� I �� �a� b� e f � I � R tais que f� f �� � � � � f �n�
sejam cont��nuas em I e que f �n��� exista em �a� b�� Se x� � I�ent�ao para qquer x � I� existe �x entre x e x� tal que
f�x� � f�x�� f ��x���x� x�� �
��f ���x���x� x��
� � � �
� � � �
n�f �n��x���x� x��
n �
�n ���f �n�����x��x� x��
n��
Notas
� O Teorema de Taylor �e a extens�ao do Teorema do ValorM�edio para uma ordem n qualquer
� F�ormula de Lagrange para o resto
rn�x� �� f�x�� pn�x� ��
�n ���f �n�����x��x� x��
n��
� O valor de rn indica a qualidade da aproxima�c�ao de fatrav�es de pn num ponto qquer x � R
� A F�ormula de Taylor em x� � � �e tamb�em chamada deF�ormula de MacLaurin
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Exemplo � Usos do Teorema de Taylor
a� Ordem n dada� Suponha f�x� �� ex� x � R e n � �� Emx� � ��
f�x� � � xx�
�x�
r��x�
onde
r��x� �x�
� ex
para �x entre x e �� Se x � �� ent�ao � � �x � � e comoex � �� r���� � ��� � ������
b� �Limitar rn� Para que rn��� � ����� deve�se impor que
rn��� ��
�n ���ex � ����
Como � � �x � � e ex � �� determina�se n tal que �n ��� � �� ���� O menor n �e �
b� �Desigualdades� Da discuss�ao acima�
ex � � x r��x�
onde r��x� � � para qquer x � R� Portanto�
ex � � x para todo x � R
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
MATLAB
Polin�omios de Taylor s�ao obtidos atrav�es de taylor�f�x�n��onde n indica que o grau do polin�omio �e n � �� Instru�c�oesreferem�se �a fun�c�ao f�x� �� ex
x�sym��x��� p��taylor�exp�x�����
p� � ��x���� x������ x������� x������� x��
����� x������� x��
format long
x��� e�eval�p��
e � ����������������
Aproxima�c�oes de f�x� �� sin �x� em ����� ���
−6 −4 −2 0 2 4 6−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
sin �x�
x
x� �x�
x� �x� �
���x�
rn�x�� � quando n�� para todo x � R
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Teorema
Seja I um intervalo� x� um ponto interior de I e n � ��Assuma f �� f ��� � � � � f �n� cont��nuas numa vizinhan�ca de x� e quef ��x�� � f ���x�� � � � � � f �n����x�� � �� mas f �n��x�� �� �
a� Se n �e par� ent�ao x� �e um m��nimo local de f em I sef �n��x�� � �� e um m�aximo local de f em I se f �n��x�� � �
b� Se n �e impar� ent�ao x� n�ao �e nem m��nimo nem m�aximo localde f em I
Prova� Para x � I� a f�ormula de Taylor de f em x� fornece
f�x�� f�x�� � rn���x� ��
n�f �n���x��x� x��
n
� Se f �n��x�� �� �� ent�ao f �n��x��� f�n��x� e f �n���x� possuem
mesmos sinais num intervalo J contendo x�
� Se n �e par e f �n��x�� � � f �n��x�� � ��� ent�ao rn�x� �� rn�x� � �� para x � J � Logo� f�x� � f�x�� f�x� �f�x��� para x � J e x� �e um m��nimo m�aximo�
� Se n �e impar� rn���x� ter�a sinais opostos �a direita e �aesquerda de x�� e assim x� n�ao �e m��nimo nem m�aximo
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Exemplo
a� f�x� �� x�� x � R� Ent�ao f ���� � f ����� � � e f ������ � �Logo� n �e impar e x� � � n�ao �e nem m��nimo nem m�aximolocal de f em R
b� f�x� �� x�� x � R� ent�ao f ���� � f ����� � f ������ � �e f ������ � � � Como n �e par e f ������ � �� f�x� � x�
possui um m��nimo local em x� � �
Exemplo
Considere
f�x� ��x�
�� �x� �x �� x � R
Condi�c�ao necess�aria� f ��x� � �
f ��x� � x� � x � � � x� � � e x� � �
Condi�c�oes su�cientes� f ���x� � �x�
f ���x�� � � x� m�aximo local de f em R
f ���x�� � � x� m��nimo local de f em R
c� PAVF ��
Fun�c�oes diferenci�aveis
Ilustra�c�ao
−1 0 1 2 3 4 5−6
−4
−2
0
2
4
6
8
x
f�x�
� Se o intervalo I �� ���� �� for considerado� f exibir�a umm��nimo local em x� � �� e um m�aximo local em x� � �
� O m��nimo global de f em I �e x� � ��� o m�aximo globalde f em I �e x� � �