1. Conjuntos1.1. Propriedades basicas

Notacao:

Representamos os conjuntos por letras maiusculas: A, B, C, . . . . Representamos os elementos dos conjuntos por letras minusculas: a,b, c, . . . .

Representamos coleccoes de conjuntos (ou seja, conjuntos cujos ele-mentos sao tambem conjuntos) por letras caligraficas: A , B, C ,. . . .

Dados conjuntos A e B, representamos por AB o conjunto dos pontosque estao em A mas nao em B.

Teorema 1.1. Dados um conjunto X e subconjuntos A,B X, temos:

(1) A B e equivalente a X B X A.(2) AXB H e equivalente a A X B.(3) AYB X e equivalente a X A B.

Definicao 1.1. Uma parametrizacao duma coleccao de conjuntos C e umafuncao sobrejectiva f : J Ñ C . Chamamos a J o conjunto dos ındices.Para cada α P J escrevemos fpαq Xα P C e representamos a coleccaoparametrizada por tXαuαPJ . Dada uma coleccao de conjuntos tXαu:

(1) podemos definir a uniao

x P¤αPJ

Xα ô Existe um α P J tal que x P Xα

(2) se C H, podemos definir a interseccao:

x P£αPJ

Xα ô Para qualquer α P J temos x P Xα

Teorema 1.2. Dada uma coleccao de conjuntos tXαu e um conjunto Y ,temos

(1) Y X Xα

pY XXαq.(2) Y Y

Xα

pY YXαq.(3) Y

Xα

pY Xαq.1.2. Funcoes

Definicao 1.2. Dada uma funcao f : X Ñ Y e um conjunto U X, repre-sentamos por fpUq Y o conjunto dos valores de f em U :

fpUq y P Y : existe um x P U tal que y fpxq(

Teorema 1.3. Dada uma funcao f : X Ñ Y e uma coleccao tUαu de sub-conjuntos de X temos

(1) f

Uα

fpUαq.(2) f

Uα

fpUαq, com igualdade se f for injectiva.

1

2

Definicao 1.3. Dada uma funcao f : X Ñ Y e um conjunto V Y , re-presentamos por f1pV q V o conjunto dos pontos cuja imagem esta emV :

f1pV q tx P X : fpxq P V uTeorema 1.4. Dada uma funcao f : X Ñ Y e uma coleccao tVαu de sub-conjuntos de Y temos

(1) f1

Vα

f1pVαq.(2) f1

Uα

f1pVαq.

(3) f1pVα Vβq f1pVαq f1pVβq. Em particular, para qualquer

V Y , f1pV cq f1pV qc

Teorema 1.5. Dada uma funcao f : X Ñ Y , e conjuntos U X e V Y :

(1) fpUq V e equivalente a U f1pV q.(2) fpUq X V H e equivalente a U X f1pV q H.(3) U f1

fpUq, com igualdade se f for injectiva.

(4) ff1pV q V , com igualdade se f for sobrejectiva.

1.3. Relacoes de equivalencia

Definicao 1.4. Dizemos que uma relacao num conjunto X e uma relacaode equivalencia se:

(1) x x para qualquer x P X.(2) x y se e so se y x.(3) Se x y e y z entao x z.

Chamamos classe de equivalencia dum ponto x P X ao conjunto rxs ty PX : y xu dos pontos equivalentes a x.

Teorema 1.6. Dados x, y P X, ou rxs rys ou rxs X rys H.

Demonstracao. Primeiro observamos que, se x y, entao rxs rys. Agora,se rxs X rys H, tomamos z P rxs X rys; entao z x e z y, logo x y,pelo que rxs rys.

Definicao 1.5. Chamamos particao de X a uma coleccao tAαu de subcon-juntos de X disjuntos dois a dois e tal que X

Aα.

Teorema 1.7. Seja X um conjunto.

(1) Dada uma relacao de equivalencia em X, a coleccao das classes deequivalencia formam uma particao de X.

(2) Reciprocamente, dada uma particao tAαu de X existe uma unicarelacao de equivalencia em X tal que tAαu e a coleccao das classesde equivalencia de .

3

1.4. Ordem

Definicao 1.6. Dizemos que uma relacao “ ” num conjunto X e umarelacao de ordem se:

(1) A relacao x x e falsa para qualquer x P X.(2) Se x y e y z entao x z (transitividade).(3) Para quaisquer x, y P X, ou x y, ou x y ou y x.

Se a condicao (3) nao se verificar, dizemos que ” ” e uma relacao de ordemparcial.

Repare que nunca podemos ter simultaneamente x y e y x pois nessecaso, pela transitividade, terıamos tambem x x.

Exemplo 1.1. A inclusao estrita de conjuntos e uma ordem parcial na co-leccao PpXq dos subconjuntos de X.

Definicao 1.7. Uma relacao de ordem num conjunto X diz-se uma boaordem se qualquer subconjunto nao vazio de X tiver mınimo. Um conjuntocom uma boa ordem diz-se bem ordenado.

Exemplo 1.2. O conjunto N com a ordem usual e bem ordenado. O produtoN N com a ordem do dicionario e tambem bem ordenado.

Lema 1.1 (Zorn). Seja X um conjunto parcialmente ordenado tal que qual-quer subconjunto A X totalmente ordenado e majorado. Entao X temum elemento maximal.

Antes de passarmos a demonstracao introduzimos alguma notacao. Dadoum conjunto A totalmente ordenado e x P A escrevemos SApxq ty P A :y xu. Escrevemos x ¡ A se para qualquer y P A tivermos y x.

Demonstracao. Vamos supor por absurdo que X nao tem nenhum elementomaximal: para qualquer x P X existe um y P X tal que y ¡ x. E entaopossıvel escolher, para cada conjunto A X totalmente ordenado, um ele-mento fpAq P X tal que A fpAq. Dizemos que um subconjunto T Xbem ordenado e uma torre se, para qualquer x P T , tivermos x f

ST pxq

.

Em particular, se x minT , temos x fpST pxqq fpHq.(1) Sejam T1, T2 duas torres, T1 T2. Vamos provar que, ou existe

um x1 P T1 tal que T2 ST1px1q, ou vice versa. Seja B y P

T1 X T2 : ST1pyq ST2pyq(. Entao fpHq P B. Como T1 T2,

podemos assumir que B T1. Primeiro observamos que, se y P B,entao ST1pyq B. Daqui segue que, se x minpT1 Bq, entaoST1pxq B, logo x fpBq P T1. Basta agora mostrar que T2 B. Caso contrario, repetindo o argumento, poderıamos concluir quefpBq P T2. Mas tal e impossıvel pois nesse caso terıamos fpBq P B.Concluimos que B T2 e portanto x fpT2q.

(2) Seja M a uniao de todas as torres em X. Vamos mostrar que M e

uma torre. E facil de ver que M e totalmente ordenado. Se C M

4

e nao vazio tomamos x P C. Entao x P T para alguma torre T etemos minpT X Cq minC.

(3) Falta apenas observar que M Y tfpMqu e uma torre, o que e umacontradicao.

Teorema 1.8. Qualquer conjunto possui uma boa ordem.

Demonstracao. Seja O o conjunto dos pares pA, q em que A X e euma boa ordem em A. Dizemos que pA1, 1q pA2, 2q se A1 A2 e 1 fora restricao de 2 a A1. Entao “” e uma ordem parcial em O que satisfazas condicoes do Lema de Zorn. Um elemento maximal e uma boa ordem emX.

1.5. Cardinalidade

Definicao 1.8. Dizemos que dois conjuntos X e Y tem a mesma cardina-lidade (ou que sao isomorfos) se existir uma funcao bijectiva f : X Ñ Y .Dizemos que um conjunto e numeravel se tiver a mesma cardinalidade queN. Dizemos que um conjunto e contavel se for finito ou numeravel.

Exemplo 1.3. O conjunto Z dos numeros inteiros e numeravel.

Teorema 1.9.

(1) Se A e B sao contaveis entao AB e tambem contavel.(2) A uniao dum numero contavel de conjuntos contaveis e contavel.

Teorema 1.10. Existe um conjunto bem ordenado, que representamos porSΩ, com as seguintes propriedades:

(1) SΩ nao e contavel.(2) Para qualquer a P SΩ, o conjunto tx P SΩ : x au e contavel.(3) Qualquer subconjunto contavel de SΩ e majorado.

Demonstracao. Dado um conjunto nao contavel X com uma boa ordem sejaΩ P X o mınimo do conjunto dos pontos a P X tais que SXpaq nao e contavel.Entao SXpΩq satisfaz as 3 propriedades indicadas.

Exercıcios

(1) Dados conjuntos A, B e C:(a) Mostre que, se A B e A C, entao A B X C.(b) Verdadeiro ou falso: se A B Y C entao A B ou A C.(c) Mostre que AX pB Cq pAXBq pAX Cq.

(2) De um exemplo de conjuntos A, B, C tais que AXBXC H mas AXB,B X C e AX C sao os tres nao vazios.

(3) Sejam I, J R intervalos. Verdadeiro ou falso:(a) I X J e um intervalo.(b) I Y J e um intervalo.(c) I J e um intervalo.(d) Se I e um intervalo aberto, RI e uma uniao de intervalos fechados.

5

(4) Sejam tUαu e tVαu coleccoes de conjuntos tais que Uα X Vα H paratodo o α. Mostre que

Uα

X Vα

H.(5) Dada uma funcao f : X Ñ Y e um conjunto U X:

(a) Existe alguma relacao entre fpX Uq e Y fpUq?(b) E se f for injectiva?(c) E se f for sobrejectiva?

(6) Dadas funcoes f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z e conjuntos A X e B Zmostre que pg fqpAq g

fpAq e pg fq1pBq f1

g1pBq.

(7) Prove os Teoremas 1 a 4.(8) Seja f : X Ñ Y uma funcao contınua. Mostre que, para quaisquer A X

e B Y , temos: B Y fpCq ô f1pBq X C.(9) Dado um conjunto X, verifique que a inclusao estrita e uma relacao de

ordem parcial na coleccao P dos subconjuntos de X.(10) Seja X um conjunto ordenado. Dado a P X, dizemos que b P X e um

sucessor de a se b ¡ a e o intervalo sa, br for vazio.(a) Mostre que o sucessor, se existir, e unico.(b) Mostre que se X for bem ordenado, qualquer a P X tem sucessor.

(11) Mostre que R nao e bem ordenado.(12) Mostre que qualquer subconjunto dum conjunto bem ordenado e tambem

bem ordenado.(13) Mostre que o conjunto tk p1nq : k, n P Nu R e bem ordenado.(14) Mostre que, se X e bem ordenado, qualquer a P X tem um sucessor, isto

e, um elemento b ¡ a tal que o intervalo sa, br e vazio.(15) Se X e bem ordenado, sera que qualquer elemento a P X tem um prede-

cessor?(16) Dados conjuntos ordenados X e Y , introduzimos a chamada ordem do

dicionario no produto X Y do seguinte modo: px1, y1q px2, y2q sex1 x2 ou x1 x2 e y1 y2.(a) Verifique que se trata duma relacao de ordem.(b) Considere o conjunto r0, 1sr0, 1s com a ordem do dicionario. Esboce

os intervalos abertos que contem o ponto p12, 12q.(c) Considere o conjunto X N r0, 1r com a ordem do dicionario.

Construa uma funcao bijectiva f : X Ñ r0,8r que preserva asrelacoes de ordem.

(d) Considere o conjunto X r0, 1r N com a ordem do dicionario.Mostre que qualquer a P X tem um sucessor.

(e) Mostre que, se X e Y sao bem ordenados, entao X Y e tambembem ordenado.

(f) Quais dos seguintes subconjuntos de R2 com a ordem do dicionariosatisfazem o axioma do supremo?

(a) r0, 1s r0, 1s (b) r0, 1s r0, 1r (c) r0, 1r r0, 1s

6

2. Topologia em Rn

Comecamos por recordar algumas nocoes topologicas em Rn. A distanciaentre dois pontos x, y P Rn e dada por dpx, yq x y. Dado um pontox P Rn e um numero real r ¡ 0, chamamos bola centrada em x de raio r aoconjunto Bpx, rq ty P Rn : dpx, yq ru. Dado um conjunto A Rn e umponto x P Rn, dizemos que:

(1) x e um ponto interior de A se existir uma bola centrada em x econtida em A.

(2) x e um ponto exterior de A se existir uma bola centrada em x quenao intersecta A.

(3) x e um ponto fronteiro de A se x nao for nem interior nem exteriora A.

(4) x e aderente a A se qualquer bola centrada em x intersectar A.(5) x e um ponto limite de A se qualquer bola centrada em x intersectar

A txu.(6) x P A e um ponto isolado de A se existir uma bola B centrada em x

tal que B XA txu.Chamamos interior, exterior, fronteira e aderencia (ou fecho) de A respecti-vamente aos conjuntos dos pontos interiores, exteriores, fronteiros e aderen-tes, e representamos estes conjuntos por intA, extA, frA e A. Repare queA intAY frA X extA e extA intpX Aq.

2.1. Conjuntos abertos e fechados

Para qualquer conjunto A temos sempre intA A A.

Definicao 2.1. Um conjunto A Rn diz-se aberto se para qualquer x P Aexistir uma bola centrada em x e contida em A, ou seja, se A intA.

Teorema 2.1. Para qualquer y P Bpx, rq temos By, rdpx, yq Bpx, rq.

Portanto as bolas sao conjuntos abertos.

Demonstracao. Dado um z P By, rdpx, yq temos dpz, yq rdpx, yq, ouseja, dpx, yq dpy, zq r. Queremos mostrar que z P Bpx, rq, ou seja, quedpx, zq r. Tal e uma consequencia imediata da desigualdade triangular :

dpx, zq ¤ dpx, yq dpy, zq .

Teorema 2.2. Seja tAαuαPJ uma coleccao de subconjuntos abertos de Rn.

(1) A uniaoAα e tambem um aberto.

(2) Se a coleccao tAαu for finita, a interseccaoAα e tambem um

aberto.

Demonstracao.

(1) Dado um ponto x P Aα, existe um β P J tal que x P Aβ. Como Aβe aberto, existe uma bola Bpx, rq Aβ. Mas entao Bpx, rq

Aαlogo x e um ponto interior de

Aα. Sendo x um ponto arbitrario,

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vemos que todos os pontos deAα sao pontos interiores pelo que

Aα e aberto.(2) Comecamos por mostrar que a interseccao de dois abertos e um

aberto. Dados conjuntos abertos A1 e A2 e um ponto x P A1 X A2,temos x P A1 e x P A2 logo existem bolas Bpx, r1q A1 e Bpx, r2q A2. Seja r mintr1, r2u; entao Bpx, rq A1 X A2 logo x e umponto interior de A1 XA2. Portanto A1 XA2 e aberto. O caso geralprova-se agora facilmente por inducao.

O proximo teorema diz-nos que o interior dum conjunto A e o maioraberto contido em A:

Teorema 2.3. O interior dum conjunto A Rn e a uniao de todos osconjuntos abertos contidos em A.

Demonstracao. Seja W a uniao de totos os abertos contidos em A. EntaoW e aberto e W A. Temos que provar duas coisas:

W intA : Se x P W , como W e aberto existe um r ¡ 0 tal queBpx, rq W A. Assim, x P intA.

intA W : Se x P intA entao existe um r ¡ 0 tal que Bpx, rq A.Como Bpx, rq e um aberto temos Bpx, rq W logo x PW .

Um conjunto A diz-se fechado se contiver a sua fronteira. Como extA intpX Aq (exercıcio), segue facilmente que:

Teorema 2.4. Um conjunto A e fechado sse o seu complementar for aberto.

Teorema 2.5. O fecho dum conjunto A Rn e a interseccao de todos osconjuntos fechados que contem A.

Demonstracao. E uma consequencia simples da igualdade intpX Aq X A.

2.2. Continuidade e limites

Recorde que uma sucessao pxnqnPN em Rn converge para um ponto a P Rnse para qualquer ε ¡ 0 existir um p P N tal que n ¡ p ñ xn a ε.A condicao xn a ε e equivalente a xn P Bpa, εq, pelo que podemosreescrever a definicao de limite duma sucessao em termos de bolas:

Uma sucessao pxnqnPN converge para um ponto a P Rn ssedada qualquer bola B centrada em a existir um p P N talque n ¡ pñ xn P B.

Uma funcao f : Rk Ñ Rn e contınua num ponto a P Rk sse para qualquerε ¡ 0 existir um δ ¡ 0 tal que, para qualquer x P Rk, temos x a δ ñ fpxq fpaq ε. Tal como para sucessoes, podemos reescrever estadefinicao em termos de bolas:

Uma funcao f : Rk Ñ Rn e contınua num ponto a P Rk ssepara qualquer bola B centrada em fpaq existir uma bola B1

centrada em a tal que fpB1q B.

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Dizemos que uma funcao f : Rk Ñ Rn e contınua se for contınua em todosos pontos a P Rk.

Teorema 2.6. Uma funcao f : Rk Ñ Rn e contınua se e so se dado qualqueraberto V Rn, o conjunto f1pV q Rk for um aberto.

Demonstracao. Assumimos, primeiro, que f e contınua. Dado um abertoV Rn, queremos mostrar que f1pV q e aberto. Seja a P f1pV q; entaofpaq P V . Como V e aberto, existe uma bola B centrada em fpaq tal queB V . Como f e contınua em a, existe uma bola B1 centrada em a tal quefpB1q B V . Mas entao B1 f1pV q.

Assumimos agora que para qualquer aberto V Rn, f1pV q e aberto.Queremos mostrar que f e contınua em qualquer ponto a P Rk. Seja Buma bola centrada em fpaq. Como B e aberta, f1pBq e aberto. Comoa P f1pBq, existe uma bola B1 centrada em a tal que B1 f1pBq, o quee equivalente a fpB1q B. Portanto f e contınua em a.

Assim, a continuidade duma funcao pode ser expressa duma maneira sim-ples apenas em termos da nocao de conjunto aberto.

2.3. Espacos metricos

Para definirmos continuidade e limite em Rn usamos a distancia dpx, yq x y. Nas demonstracoes que fizemos nao usamos qualquer propriedadenao trivial de d, com excepcao da desigualdade triangular usada na demons-tracao do Teorema 2.1. Todos os resultados que vimos podem ser facilmentegeneralizado a qualquer conjunto no qual esteja definida uma distancia:

Definicao 2.2. Dado um conjunto X, uma distancia (tambem chamada demetrica) em X e uma funcao d : X X Ñ R nao negativa tal que, paraquaisquer x, y, z P X, temos:

(1) dpx, yq 0 ô x y.(2) dpx, yq dpy, xq.(3) dpx, zq ¤ dpx, yq dpy, zq (a desigualdade triangular).

Exemplo 2.1. Representamos por `8 o conjunto das sucessoes limitadas emR. Definimos a distancia entre duas sucessoes pxnq, pynq P `8 por:

dpxnq, pynq sup

nPN|xn yn| .

Mais geral ainda que a nocao de espaco metrico e a nocao de espacotopologico, que estudaremos na proxima seccao.

Exercıcios

(1) Determine o interior, fronteira, exterior, aderencia, os pontos limites e ospontos isolados dos seguintes subconjuntos de R2:(a)

px, yq P R2 : y 0(.

(b) px, yq P R2 : y 0 e x ¡ 0

(.

9

(c) px, yq P R2 : y 0 e x ¡ 0

(.

(d) px, yq P R2 : y 0u Y tpx, yq P R2 : x ¡ 0

(.

(e) px, yq P R2 : xy ¡ 0

(.

(f) px, yq P R2 : x P Q

(.

(g) px, yq P R2 : x 0 e y ¤ 1x(.

(h) px, yq P R2 : x, y P Z

(.

(2) Dado um conjunto A Rn, mostre que:(a) intA A A.(b) Um ponto x P Rn esta na fronteira de A sse qualquer bola centrada

em x intersectar A e Rn A.(c) extA Rn A.

(d) frA AX pRn Aq.(e) intpRn Aq Rn A.(f) A intAY frA.(g) Seja A1 o conjunto dos pontos limites de A. Entao A AYA1.(h) A1 A, e o conjunto AA1 e o conjunto dos pontos isolados.(i) intpAAq H.

(3) Mostre que um conjunto A e aberto sse nao intersectar a sua fronteira.(4) Mostre que um conjunto A e fechado sse for igual ao seu fecho.(5) Dados conjuntosA,B Rn, decida, justificando, se as seguintes afirmacoes

sao verdadeiras ou falsas:(a) Se A B entao A B.(b) Se A B entao intA intB.(c) Se A B entao frA frB.(d) Se A B entao extA extB.(e) Se A B entao extA extB.

(6) Considere o espaco `8 introduzido no Exemplo 2.1.(a) Verifique que a funcao d e uma distancia.(b) Seja A `8 o conjunto das sucessoes que tendem para zero. Deter-

mine intA e A.(c) Seja B `8 o conjunto das sucessoes que sao iguais a zero a partir

de certa ordem. Determine intB e B.(7) Mostre que, partindo dum qualquer conjunto A Rn e aplicando suces-

sivamente as operacoes ou de fecho ou de passagem ao complementar,obtemos no maximo 14 conjuntos diferentes. De um exemplo dum con-junto A R em que o numero 14 seja atingido.

3. Espacos topologicosDar uma topologia num conjunto X e dizer quais dos subconjuntos de Xsao abertos.

Definicao 3.1. Uma topologia num conjunto X e uma coleccao T de sub-conjuntos de X (os abertos) tal que:

(1) H, X P T .

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(2) A uniao de qualquer coleccao de abertos tAαu e tambem um aberto.(3) A interseccao dum numero finito de abertos e tambem um aberto.

Chamamos espaco topologico ao par pX,T q.Observacao 3.1. Para mostrar que a propriedade (3) se verifica basta mostrarque a interseccao de dois abertos e um aberto: o caso dum numero finito deabertos segue facilmente por inducao.

Exemplo 3.1. A coleccao dos abertos em Rn formam uma topologia em Rn,a qual chamaremos a topologia usual. Mais geralmente, dado um conjuntoX com uma metrica d, seja T a coleccao dos conjuntos A X tais que,para qualquer x P A existe um ε ¡ 0 tal que Bpx, εq A. A coleccao T euma topologia em X. Chamamos a esta topologia a topologia da metrica.

Exemplo 3.2. Dado qualquer conjunto X:

(1) A coleccao de todos os subconjuntos de X e uma topologia em X,chamada de topologia discreta.

(2) A coleccao tH, Xu e chamada de topologia indiscreta.(3) A coleccao dos conjuntos A X cujo complementar X A e finito

ou igual a X e chamada de topologia cofinita.(4) A coleccao dos conjuntos A X cujo complementar XA e contavel

ou igual a X e chamada de topologia cocontavel.

Exemplo 3.3. Seja X um conjunto ordenado. Chamamos intervalo aberto aum subconjunto de X da forma tx P X : a x bu, ou tx P X : x ¡ auou tx P X : x bu (com a, b P X). Dizemos que um conjunto A X eaberto se para qualquer x P A existir um intervalo aberto I tal que x P Ie I A. Chamamos a esta topologia a topologia da ordem. Por exemplo,a recta acabada R R Y t8,8u tem uma topologia induzida pela suarelacao de ordem.

Definicao 3.2. Dado um conjunto X, e duas topologias T1, T2 em X,dizemos que a topologia T1 e mais fina que T2 se T2 T1.

Exemplo 3.4. Em R, a topologia discreta e mais fina que a topologia usual,que e mais fina que a topologia cofinita, que e mais fina que a topologiaindiscreta.

3.1. Nocoes topologicas

Definicao 3.3. Dizemos que um subconjunto F X dum espaco topologicoX e fechado sse X F for aberto.

Passando ao complementar as propriedades dos abertos obtemos de ime-diato:

Teorema 3.1. Seja X um espaco topologico. Entao:

(1) H e X sao fechados.(2) A interseccao de qualquer coleccao de fechados tFαu e tambem um

fechado.

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(3) A uniao dum numero finito de fechados e tambem um fechado.

Definicao 3.4. Dado um conjunto A X:

(1) O interior de A, que representamos por intA, e a uniao de todos osabertos contidos em A.

(2) O fecho, ou aderencia de A, que representamos por A, e a interseccaode todos os conjuntos fechados que contem A.

(3) Dizemos que um ponto x P X e um ponto limite de A se x P A txu.Algumas propriedades cuja demonstracao deixamos a cargo do leitor:

Teorema 3.2.

(1) Para qualquer conjunto A temos intA A A.(2) Um conjunto A e aberto se e so se A intA.(3) intA e o maior conjunto aberto contido em A, ou seja: se U e aberto

e U A entao U intA.(4) Um conjunto A e fechado sse A A.(5) A e o menor conjunto fechado que contem A, ou seja: se F e fechado

e A F entao A F .

Exercıcios

(1) Determine todas as topologias no conjunto X ta, bu e compare-as.(2) Seja X ta, b, cu. Decida, justificando, quais das seguintes coleccoes de

subconjuntos de X sao topologias em X:(a) T H, X, ta, bu, tcu((b) T H, X, ta, bu, tbu((c) T H, X, ta, bu, tb, cu((d) T H, X, tau, tcu((e) T H, X, tbu(

(3) Compare as topologias do exercıcio 2.(4) Determine o interior e o fecho do conjunto tcu em cada uma das topologias

do exercıcio 2.(5) Decida se a coleccao T de todos os intervalos abertos em R e ou nao uma

topologia.(6) Seja X um conjunto. Mostre que as seguintes coleccoes de subconjuntos

de X sao topologias em X, e compare-as:(a) A coleccao de todos os subconjuntos de X (a chamada topologia

discreta).(b) A coleccao tH, Xu (a chamada topologia indiscreta).(c) A coleccao dos subconjuntos de X cujo complementar e finito, mais

o conjunto vazio (a chamada topologia cofinita).(d) A coleccao dos subconjuntos de X cujo complementar e contavel,

mais o conjunto vazio (a chamada topologia cocontavel).(7) Dado um conjunto X infinito, decida, justificando, se a coleccao dos sub-

conjuntos de X cujo complementar e infinito, mais o X, e ou nao umatopologia em X.

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(8) Mostre que as seguintes coleccoes de subconjuntos de R sao topologiasem R:(a) A coleccao dos subconjuntos A R tais que 0 P A, mais o conjunto

vazio.(b) A coleccao dos subconjuntos A R tais que 0 R A, mais o conjunto

R.(c) A coleccao dos subconjuntos A R tais que, para qualquer x P A,

existe um ε ¡ 0 tal que rx, x εr A.(d) A coleccao dos intervalos da forma s8, ar, mais o conjunto vazio e

o R.(9) Determine o interior e o fecho dos conjuntos r0, 1s, s0, 1r e t1, 12, 13, 14, . . .u

em R nas topologias discreta, indiscreta, cofinita, cocontavel, e em cadauma das topologias do exercıcio 8.

(10) Sejam T1, T2 topologias num conjunto X com T2 mais fina que T1.Relacione o fecho dum conjunto A X nas topologias T1 e T2. Faca omesmo para o interior.

(11) Dada uma coleccao de espacos topologicos tXαuαPJ seja X αXα.

Dizemos que um conjunto U X e aberto sse para qualquer α P J oconjunto UXXα for aberto em Xα. Verifique que se trata duma topologiaem X.

(12) Seja X um conjunto ordenado com a topologia da ordem (Exemplo 3.3).(a) Verifique que a topologia da ordem e de facto uma topologia.(b) Mostre que os intervalos abertos sao conjuntos abertos.(c) Verifique que a topologia da ordem em R e a topologia usual.(d) Considere a recta acabada R com a topologia da ordem. Mostre que,

de facto, o fecho do conjunto R e R RYt8,8u (o que justificaa notacao usada para a recta acabada).

(e) Verifique que a topologia da ordem em N e a topologia discreta.(f) Dado a P X, mostre que o fecho do conjunto tx P X : x au esta

contido em tx P X : x ¤ au.(g) Mostre que, se X e bem ordenado, entao para qualquer a P X o

conjunto tx P X : x ¡ au e fechado.(13) Demonstre o Teorema 3.2.(14) Seja tAαu uma coleccao de subconjuntos dum espaco topologico X.

(a) Mostre queAα

Aα e de um exemplo em que nao haja igual-

dade.(b) Repita a alınea (a) para a interseccao. Qual das inclusoes se verifica?

(15) Dados A,B X, existe alguma relacao entre AB e AB?(16) Seja X um espaco topologico. Mostre que um conjunto A X sem

pontos limites e necessariamente fechado.(17) Mostre que um conjunto A X intersecta qualquer aberto nao vazio sse

A X.

13

(18) Seja X um conjunto e suponha definida na coleccao dos subconjuntos deX uma operacao A ÞÑ A satisfazendo as propriedades seguintes:

p1q H H p2q @AX

A A p3q @A,BX

AYB AYB p4q @AX

A A

Mostre que existe exactamente uma topologia em X para a qual esta e aoperacao de fecho.

(19) Munkres, pag. 100, exercıcio 7.

4. Bases4.1. Vizinhancas e bases locais; sucessoes

Definicao 4.1. Dizemos que um conjunto V X e uma vizinhanca dumponto x P X se V for aberto e x P V . Representamos a coleccao dasvizinhancas dum ponto x P X por Vx.

Em Rn, as bolas Bpx, rq sao vizinhancas de x mas x tem muitas outrasvizinhancas que nao sao bolas. No entanto, qualquer vizinhanca de x contemuma bola centrada em x: estas bolas formam o que chamaremos uma basede vizinhancas:

Definicao 4.2. Dizemos que uma coleccao de vizinhancas Bx Vx e umabase de vizinhancas de x se para qualquer vizinhanca U P Vx existir umB P Bx tal que B U .

Vamos agora generalizar para um espaco topologico X a definicao delimite duma sucessao:

Definicao 4.3. Dizemos que uma sucessao pxnqnPN num espaco topologicoX converge para um ponto a P X se, dada qualquer vizinhanca U de aexistir um p P N tal que n ¡ pñ xn P U .

Teorema 4.1. Seja X um espaco topologico, x P X um ponto e Bx umabase de vizinhancas de x. Entao:

(1) Uma sucessao pxnq converge para a sse para qualquer B P Bx existirum p P N tal que n ¡ pñ xn P B.

(2) Dado um conjunto A X, temos x P intA sse existir um B P Bx

tal que B A.(3) x P A sse qualquer B P Bx intersectar A.(4) x e um ponto limite de A sse qualquer B P Bx intersectar A txu.

Definicao 4.4. Dizemos que um ponto a P X e sequencialmente aderentea um conjunto A X se existir uma sucessao pxnq de termos em A comlimite a.

Um ponto a sequencialmente aderente a um conjunto A e aderente aA, pois qualquer vizinhanca U de a contem pontos da sucessao, pelo queU XA H. No entanto, o recıproco nao e necessariamente verdade.

14

Definicao 4.5. Dizemos que X tem o primeiro axioma de numerabilidadese todo o ponto x P X tiver uma base de vizinhancas contavel.

Exemplo 4.1. Num espaco metrico, a coleccao das bolas Bpx, 1nq(

nPNformam uma base contavel de vizinhancas do ponto x.

Lema 4.1. Seja X um espaco com o primeiro axioma de numerabilidade.Entao qualquer ponto x P X tem uma base de vizinhancas encaixadas, istoe, uma base tBnunPN tal que B1 B2 Bn .Demonstracao. Dada uma base contavel tUnunPN de vizinhancas, para cadan P N tomamos Bn U1 X X Un.

Podemos agora verificar que:

Teorema 4.2. Seja X um espaco topologico com o primeiro axioma denumerabilidade. Entao um ponto e aderente a um conjunto se e so se forsequencialmente aderente.

Demonstracao. Seja a P A e seja tBnu uma base local em a tal que B1 B2 Bn . Para cada n P N escolhemos um ponto xn P BnXA H. Entao xn P A e xn Ñ a (exercıcio), logo a e sequencialmente aderente aA.

4.2. Bases globais

Ja falamos de bases de vizinhancas num ponto x P X. Falaremos agora debases globais da topologia:

Definicao 4.6. Dado um espaco topologico X, uma coleccao de abertos Bdiz-se uma base da topologia se qualquer conjunto aberto puder ser escritocomo uma uniao de elementos de B.

Outra caracterizacao importante duma base e dada pelo proximo teorema.

Teorema 4.3. Uma coleccao de abertos B e uma base se e so se, dadoqualquer aberto A e qualquer ponto x P A, existir um B P B tal que x PB A.

Exemplo 4.2. Em Rn, a coleccao das bolas formam uma base da topologia.

Definicao 4.7. Dizemos que um espaco topologico X satisfaz o segundoaxioma de numerabilidade se X possuir uma base contavel B.

Exemplo 4.3. A coleccao B sa, br : a, b P Q(

e uma base contavel de R.

Dizemos que um conjunto A X e denso se A X. Um conjunto edenso sse intersectar qualquer aberto nao vazio. Dizemos que um espaco Xe separavel se contiver um conjunto contavel denso.

Teorema 4.4. Seja X um espaco com uma base contavel B. Entao:

(1) X tem o primeiro axioma da numerabilidade.(2) X e separavel.

15

(3) Na topologia da metrica, (2) e equivalente a existencia duma basecontavel em X.

Demonstracao.

(1) Basta observar que B XVx e uma base de vizinhancas de x.(2) Basta escolher um ponto em cada aberto B P B.(3) Se A e um conjunto contavel denso, vamos ver que a coleccao B

Bpa, rq : a P A, r P Q(

e uma base contavel de X. Seja y P Xe U P Vy. Entao existe um ε ¡ 0 tal que Bpy, εq U . Tomemosum ponto a P AX Bpy, 1

2εq. Entao Ba, ε dpa, yq Bpy, εq U .

Tomemos agora um r P Q tal que dpa, yq r ε dpa, yq. Entaoy P Bpa, rq U .

Exemplo 4.4. O espaco `8 nao e separavel (ver exercıcios).

Exercıcios

(1) Descreva as sucessoes convergentes e os seus limites nas topologias dis-creta e indiscreta.

(2) Seja X t1, 1u e seja xn p1qn. Descreva os limites da sucessao pxnqem todas as topologias de X (ha 4 topologias possıveis em X).

(3) Seja T uma topologia em R. Sabendo que B R, s8, 1r , s0, 1r , s1,8r(

e uma base de T :(a) Mostre que qualquer sucessao tem 1 como limite.(b) Calcule os limites da sucessao xn 1n nesta topologia.(c) Mostre que qualquer x P R possui uma base de vizinhancas com um

so elemento.(4) Se T e T 1 sao duas topologias num conjunto X tais que T 1 e mais

fina que T , que relacao existe entre a convergencia duma sucessao nastopologias T e T 1?

(5) Dadas duas topologias T e T 1 num conjunto X, mostre que se existiruma base B de T tal que B T 1, entao T 1 e mais fina que T .

(6) Encontre uma base, tao pequena quanto possıvel, para a topologia dis-creta.

(7) Mostre que a coleccao dos intervalos sa, br R com a, b P Q e uma baseda topologia usual em R.

(8) Decida quais dos axiomas de numerabilidade sao satisfeitos pelas seguin-tes topologias em R. Averigue tambem se o espaco e separavel:(a) A topologia indiscreta: T tH,Ru.(b) A topologia discreta.(c) A topologia T tA R : 0 P A ou A Hu.(d) A topologia T tA R : 0 R A ou A Ru.(e) A topologia T ts8, ar : a P Ru Y tH,Ru.

(9) Mostre que, se T e separavel e T e mais fina que T 1 entao T 1 tambeme separavel.

(10) Seja X um espaco topologico.

16

(a) Mostre que, se B e uma base da topologia, para cada x P X acoleccao tB P B : x P Bu e uma base local de vizinhancas de x.

(b) Mostre que, se para cada x P X, Bx for uma base local de vizi-nhancas de x, entao a uniao

xPX Bx e uma base da topologia de

X.(11) Considere as seguintes topologias em R: a topologia usual, a topologia

com base os intervalos ra, br com a, b P R, e a topologia com base osintervalos rp, qr, com p, q P Q.(a) Compare estas 3 topologias.(b) Determine o fecho dos intervalos

0,?

2

e?

2, 3

em cada uma dastopologias.

(12) Na recta acabada, encontre bases contaveis de vizinhancas de 8.(13) Mostre que uma sucessao pxnq converge para um ponto a sse dada qual-

quer vizinhanca U de a o conjunto tn P N : xn R Uu for finito.(14) Seja X um espaco topologico tal que quaisquer dois pontos distintos

tem vizinhancas disjuntas. Mostre que em X qualquer sucessao tem nomaximo um limite.

(15) Mostre que, na recta acabada com a topologia da ordem, uma sucessaode termos em R converge para 8 sse convergir no sentido usual.

(16) Considere o conjunto R com a topologia cofinita.(a) Mostre que, se uma sucessao pxnq convergir para um ponto a P R na

topologia usual, entao xn Ñ a tambem na topologia cofinita.(b) Mostre que a sucessao yn p1qn nao tem limite. Sugestao: consi-

dere os abertos R t1u e R t1u.(c) Seja xn 1n. Mostre que qualquer aberto A so nao contem um

numero finito de pontos de xn. Para que ponto (ou pontos) convergea sucessao pxnq?

(17) Seja X um espaco topologico com a topologia cocontavel (os fechados saoos conjuntos contaveis e o X).(a) Mostre que uma sucessao pxnq em X converge para um ponto a P X

sse existir um p P N tal que xn a para qualquer n ¡ p. Sugestao:se F for o conjunto dos termos da sucessao diferentes de a, entaoX F e uma vizinhanca de a.

(b) Calcule o fecho e o fecho sequencial dum conjunto A X.(18) Considere R R com a topologia da ordem do dicionario. Verifique que

a coleccao dos intervalos da forma spa, bq, pa, cqr, com b c, e uma baseda topologia.

(19) Sejam Tf e Tc respectivamente as topologias cofinita e cocontavel em R.(a) Averigue se Tf e Tc sao ou nao separaveis.(b) Mostre que Tf e Tc nao obedecem ao primeiro axioma de numera-

bilidade. Sugestao: assuma que existia uma base contavel tAku devizinhancas dum ponto a. Mostre que existe uma vizinhanca de aestritamente contida em

k Ak.

(20) Recorde que SΩ e um conjunto bem ordenado nao contavel tal que, paraqualquer a P SΩ, o conjunto tx P SΩ : x au e contavel. Acrescentando

17

um elemento maximo Ω a SΩ obtemos um comjunto bem ordenado SΩ SΩ Y tΩu. Damos a estes conjuntos a topologia da ordem.(a) Mostre que SΩ e SΩ nao sao separaveis. Sugestao: recorde que

qualquer subconjunto contavel C SΩ e majorado.(b) Mostre que SΩ satisfaz o primeiro axioma de numerabilidade.(c) Mostre que Ω P SΩ nao tem nenhuma base local contavel. Sugestao:

assuma que existia uma base local contavel tAku e considere o con-junto tminAkukPN.

(21) Recorde que R` e a topologia em R em que A R e aberto sse para todoo x P A existir um ε ¡ 0 tal que rx, x εr A (exercıcio 8 na pagina12).(a) Mostre que a coleccao dos intervalos da forma ra, br com a, b P R e

uma base da topologia.(b) Decida se a coleccao dos intervalos da forma ra, br com a, b P Q e ou

nao uma base da topologia.(c) Descreva as sucessoes convergentes em R`.(d) Mostre que R` satisfaz o primeiro axioma de numerabilidade.(e) Averigue se R` e ou nao separavel.(f) Mostre que R` nao satisfaz o segundo axioma de numerabilidade.

Sugestao: se B e uma base de R`, para cada x P R tem que existirum B P B tal que minB x.

(22) Seja X um espaco tal que qualquer conjunto com um so elemento txue fechado. Mostre que um ponto a e ponto limite dum conjunto A ssequalquer vizinhanca de a contiver um numero infinito de pontos de A(dizemos entao que a e um ponto de acumulacao de A). Sugestao: casocontrario U X pA tauq seria fechado.

(23) Seja X um conjunto ordenado com a topologia da ordem.(a) Mostre que a coleccao dos intervalos abertos e uma base da topologia.(b) Seja agora X um conjunto bem ordenado. Dado um x P X, mostre

que os intervalos da forma sa, xs, com a x, formam uma base devizinhancas de x.

(24) Complete a demonstracao do Lema 4.1.(25) Mostre que o espaco `8 nao e separavel. Sugestao: considere bolas de

raio 12 centradas em pontos pxnq com todas as coordenadas xn iguais a 0

ou 1.(26) Dado um espaco topologicoX, um conjunto V X diz-se uma vizinhanca

generalizada dum ponto x P X se x P intX. Seja Nx a coleccao dasvizinhancas generalizadas de x.(a) Mostre que, se no Teorema 4.1 substituirmos Bx por Nx, as con-

clusoes do teorema permanecem validas.(b) Mostre que Nx tem as seguintes propriedades:

(i) Para qualquer x P X temos Nx H.(ii) Se U P Nx entao x P U .

(iii) Se U P Nx e U V entao V P Nx.(iv) Se U, V P Nx entao U X V P Nx.

18

(v) Para qualquer U P Nx existe um V P Nx tal que, para qualquery P V temos U P Ny.

(c) Reciprocamente, dado um conjunto X e, para cada x P X, umacoleccao Nx de subconjuntos de X satisfazendo as propriedades (i)a (v), mostre que existe uma unica topologia em X tal que Nx e acoleccao das vizinhancas generalizadas de X.

(27) Munkres: pag. 100, exercıcio 18; pag. 194, exercıcios 3, 13.

5. SubespacosDado um espaco topologico X e um conjunto Y X, a topologia de Xinduz uma topologia em Y :

Definicao 5.1. Seja X um espaco topologico. Dado um subconjunto Y X, a topologia de subespaco em Y e a topologia cujos abertos sao os con-juntos da forma U X Y em que U e aberto em X.

Exemplo 5.1. A topologia de subespaco de R R2 e a topologia usual.

Exemplo 5.2. Chamamos esfera de dimencao n ao subespaco Sn tx PRn1 : x 1u Rn1. O “hemisferio norte” tpx, y, zq P S2 : z ¡ 0u eaberto pois e a interseccao de S2 com o conjunto tpx, y, zq P R3 : z ¡ 0u quee um subconjunto aberto de R3.

Teorema 5.1. Os conjuntos fechados em Y sao os conjuntos da forma FXYem que F e fechado em X.

Demonstracao. E uma consequencia da igualdade de conjuntos pX Uq XY Y pU X Y q:

(1) Seja G F X Y em que F e fechado em X. Seja U X F ; entaoU e aberto em X e F X Y pX Uq X Y Y pU X Y q. ComoU X Y e aberto em Y , G F X Y e fechado em Y .

(2) Reciprocamente, se G e fechado em Y , entao Y G e aberto emY , logo Y G U X Y , com U aberto em X. Mas entao G Y pU XY q pXUqXY . Portanto G e a interseccao com Y dumfechado em X, nomeadamente: F X U .

Teorema 5.2. Para qualquer A Y temos AY AXXY , em que AX e AY

representam os fechos de A nas topologias de X e de Y , respectivamente.

Demonstracao. Basta observar que o fecho de A e a interseccao de todos osfechados que contem A e aplicar o Teorema 5.1.

Um conjunto aberto A num subespaco Y X nao e necessariamenteaberto em X: o intervalo s0, 1r e aberto em R R2, mas nao e aberto emR2.

Teorema 5.3. Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco.

(1) Se A Y e aberto em Y e Y e aberto em X, entao A e aberto emX.

19

(2) Se A Y e fechado em Y e Y e fechado em X, entao A e fechadoem X.

Uma base dum subespaco Y X pode facilmente ser obtida a partirduma base de X:

Teorema 5.4. Seja X um espaco topologico com base B, e seja Y X umsubespaco. Entao a coleccao de conjuntos tB X Y : B P Bu e uma base deY .

Exercıcios

(1) SejaX ta, b, c, du e considere a seguinte topologia emX: T tau, tb, cu, ta, b, cu, X,H(.

Determine a topologia induzida nos subespacos ta, bu, tb, cu e tc, du.(2) Descreva a topologia de subespaco de Z R, em que R tem a topologia

usual.(3) Considere o subespaco Y r0, 1r Y t2u R. Indique justificando quais

dos conjuntos t0u, s0, 1r, r0, 1r, t2u e t0, 2u sao abertos em Y e quais saofechados em Y .

(4) Mostre que, se X tem a topologia discreta, a topologia induzida emqualquer subconjunto Y X e tambem a topologia discreta. Repitao exercıcio para as topologias cofinita e cocontavel.

(5) Seja X um espaco topologico, Y X. Mostre que se um conjunto A Yfor aberto (ou fechado) em X entao e tambem aberto (ou fechado) emY . De exemplos em que A e aberto em Y mas nao em X, e em que A efechado em Y , mas nao em X.

(6) Prove o Teorema 5.4.(7) Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco.

(a) Mostre que se X tiver o primeiro axioma de numerabilidade, Ytambem o tem.

(b) Mostre que se X tiver o segundo axioma de numerabilidade, Ytambem o tem.

(c) Mostre que se X for separavel e Y for aberto em X, entao Y tambeme separavel.

(8) Considere a topologia em R2 em que A e aberto sse para qualquer pontopx, yq P A existir um ε ¡ 0 tal que rx, x εr ry, y εr A.(a) Verifique que R2, com esta topologia, e separavel.(b) Determine qual a topologia induzida em tpx, yq P R2 : y xu e

verifique que esta topologia nao e separavel.(9) Sejam T e T 1 topologias num conjunto X tais que T 1 e mais fina que T .

Pode concluir alguma coisa sobre as topologias induzidas num subcon-junto Y X? Se T 1 T podera concluir que as topologias induzidastambem sao diferentes?

(10) Seja X um conjunto com a topologia induzida por uma distancia d econsidere um subconjunto Y X.(a) Verifique que d induz, por restricao, uma distancia em Y e que as

bolas em Y sao a interseccao com Y das bolas em X.

20

(b) Mostre que a topologia da metrica em Y e a topologia de subespaco.(11) Mostre que a topologia da ordem em r0, 1s R coincide com a topologia

de subespaco.(12) Prove o Teorema 5.3.(13) Verdadeiro ou falso: Dados A Y X, o interior de A na topologia de

Y e a interseccao de Y com o interior de A na topologia de X.(14) Seja X um espaco topologico, Y X. Mostre que uma sucessao pxnq em

Y converge para um ponto a P Y na topologia de Y sse convergir para ana topologia de X.

(15) Seja I r0, 1s. Compare as seguintes topologias no quadrado I I:a topologia da ordem do dicionario, a topologia induzida pela topologiausual em R2 e a topologia induzida pela topologia da ordem do dicionarioem R2.

(16) Seja X um conjunto com uma topologia T e seja A X com fecho A.Seja T 1 uma topologia mais fina que T tal que as topologias induzidasem A por T e por T 1 sao iguais. Mostre que o fecho de A na topologiaT 1 e igual a A (o fecho na topologia T ).

(17) Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco.(a) Mostre que se U, V Y sao abertos disjuntos (em Y ) os seus fechos

em X satisfazem U X V U X V H.(b) Mostre que, se Y U Y V e os fechos em X satisfazem U X V

U X V H entao U e V sao abertos em Y .(18) Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco. Encontre uma

formula relacionando o interior em Y dum conjunto A Y com o interiorem X dum certo conjunto B X que depende de A.

6. Continuidade6.1. Continuidade num ponto

Definicao 6.1. Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e contınua num pontoa P X se, para qualquer vizinhanca V de fpaq existir uma vizinhanca U dex tal que fpUq V .

A condicao fpUq V e equivalente a U f1pV q, pelo que f e contınuaem a se, para qualquer vizinhanca V de fpaq tivermos a P int f1pV q.Teorema 6.1. Dada uma funcao f : X Ñ Y e um ponto a P X, sao equi-valentes:

(1) f e contınua em a.(2) Dadas bases locais Ba e Bfpaq de a e de fpaq, para qualquer B P

Bfpaq existe um B1 P Ba tal que fpB1q B.

(3) Para qualquer conjunto C X, temos: a P C ñ fpaq P fpCq.Demonstracao. Vamos mostrar que 1 ñ 2 ñ 3 ñ 1

21

1 ñ 2 Seja B P Bfpaq. Como f e contınua em a, existe um U P Va tal que

fpUq B. Por definicao de base, existe um B1 P Ba tal que B1 Ulogo fpB1q B.

2 ñ 3 Seja C X tal que a P C. Queremos mostrar que fpaq P fpCq. Paraqualquer B P Bfpaq, existe um B1 P Ba tal que fpB1q B. Como

B1 X A H (pois a P C) e fpB1 X Aq fpB1q X fpAq B X fpAq,entao B X fpAq H, portanto fpaq P fpCq.

3 ñ 1 Vamos ver que, se (1) e falso entao (3) e tambem falso. Assumimosque existe uma vizinhanca V de fpaq tal que a R int f1pV q, o quee equivalente a:

a P X int f1pV q X f1pV q f1pY V q .

Seja C f1pY V q. Entao a P C mas fpCq fpf1pY V qq Y V . Como fpaq P V e V e aberto, temos fpaq R fpCq portanto(3) e falso, o que termina a demonstracao.

Teorema 6.2. Dada uma funcao f : X Ñ Y e um ponto a P X:

(1) Se f e contınua em A, para qualquer sucessao pxnq em X tal quexn Ñ a temos fpxnq Ñ fpaq.

(2) O recıproco e verdadeiro se X tiver o primeiro axioma de numera-bilidade.

Demonstracao.

(1) Seja pxnq uma sucessao em X que converge para a; queremos mostrarque fpxnq Ñ fpaq. Seja V uma vizinhanca de fpaq. Como f econtınua em a, existe um U P Va tal que fpUq V . Como xn Ñ a,existe um p P N tal que n ¡ p ñ xn P U . Mas entao n ¡ p ñfpxnq P fpUq V . Por definicao de limite, fpxnq Ñ fpaq.

(2) Assumimos agora que X tem o primeiro axioma de numerabilidade.Seja C X um conjunto tal que a P C. Entao existe uma sucessaopxnq em C tal que xn Ñ a, logo fpxnq Ñ fpaq. Como fpxnq P fpCq,concluimos que fpaq P fpCq.

6.2. Continuidade global

Definicao 6.2. Sejam X, Y espacos topologicos. Uma funcao f : X Ñ Ydiz-se contınua se para qualquer conjunto aberto A em Y , a imagem inversaf1pAq for um aberto em X.

Da definicao segue facilmente que:

Teorema 6.3. Se f : Y Ñ X e g : X Ñ Y forem funcoes contınuas entaof g tambem e contınua.

Teorema 6.4. Dada uma funcao f : X Ñ Y , sao equivalentes:

22

(1) f e contınua.(2) f e contınua em todos os pontos a P X.

(3) Para qualquer conjunto A X, temos fpAq fpAq.(4) A imagem inversa de qualquer fechado em Y e um fechado em X.

Demonstracao. Vamos mostrar que 1 ñ 2 ñ 3 ñ 4 ñ 1.

1 ñ 2 Seja x P X, e seja V uma vizinhanca de fpxq. Entao basta tomarU f1pV q, pois fpUq f

f1pV q V .

2 ñ 3 Sai de imediato do Teorema 6.1.3 ñ 4 Seja F Y um fechado e seja C f1pF q. Queremos mostrar que

C e fechado. Para tal basta ver que C C. Seja a P C. Entaofpaq P fpCq fpf1pF qq F F . Assim, fpaq P F o que eequivalente a a P f1pF q C.

4 ñ 1 Basta passar ao complementar: se A e aberto, Y A e fechado logof1pY Aq X

f1pAq e fechado, logo f1pAq e aberto.

6.3. Continuidade e Subespacos

Teorema 6.5. Seja Y X. Entao a inclusao i : Y Ñ X e uma funcaocontınua.

Demonstracao. Para qualquer U aberto em X temos i1pUq U XY o quemostra de imediato que i e contınua.

Teorema 6.6. Sejam X, Y espacos topologicos, f : X Ñ Y uma funcaocontınua.

(1) A restricao de f a um subespaco A X e contınua.

(2) Se Y Z, a funcao induzida pf : X Ñ Z e contınua.

(3) Se W Y e Im f W , a funcao induzida rf : X ÑW e contınua.

E frequentemente util definir funcoes por ramos:

Teorema 6.7. Dados espacos topologicos X e Y , subconjuntos fechadosA,B X tais que X AYB, e funcoes contınuas f : AÑ Y e g : B Ñ Ytais que fpxq gpxq para qualquer x P A X B, entao a funcao h : X Ñ Ydefinida por

hpxq #fpxq , se x P A ;

gpxq , se x P Be uma funcao contınua.

6.4. Homeomorfismos

Definicao 6.3. Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e um homoemor-fismo se f for contınua, bijectiva, e a sua inversa f1 : Y Ñ X for tambemcontınua. Dizemos entao que os espacos X e Y sao homeomorfos.

Exemplo 6.1. A funcao fpxq tanx e um homeomorfismo entre sπ2, π2re R.

23

Exemplo 6.2. A bola de raio um centrada em 0 P Rn e homeomorfa a Rn: afuncao f : Bp0, 1q Ñ Rn dada por fpxq xp1 xq e um homeomorfismocom inversa f1pyq yp1 yq.Exemplo 6.3. Seja p p1, 0, . . . , 0q P Rn1. Entao Sn tpu e homeomorfoa Rn. Seja Sn pt,xq P R Rn : t2 x2 1

(a esfera de dimensao n e

seja X Sn tp1,0qu. Entao a funcao f : X Ñ Rn definida por fpt,xq xp1 tq (chamada de projeccao estereografica) e um homeomorfismo cominversa g : Rn Ñ X dada por

gpyq y2 1

y2 1,

2y

y2 1

.

Definicao 6.4. Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e aberta se para qual-quer aberto U X, o conjunto fpUq for tambem aberto. Dizemos que fe fechada se para qualquer fechado F X, o conjunto fpF q for tambemfechado.

Uma funcao contınua e bijectiva e um homeomorfismo sse for aberta, ssefor fechada.

Definicao 6.5. Dizemos que uma funcao injectiva f : Y Ñ X e um mergulhose a funcao induzida f : Y Ñ fpY q for um homeomorfismo.

Repare que um mergulho e a composicao dum homeomorfismo com umainclusao.

Exercıcios

(1) Mostre que qualquer funcao constante e contınua.(2) Encontre dois subespacos A,B s0, 1s homeomorfos tais que A e aberto

mas nao fechado em s0, 1s e B e fechado mas nao aberto em s0, 1s.(3) De um exemplo duma funcao f : RÑ R (com a topologia usual) tal que:

(a) f e contınua, aberta e fechada.(b) f e contınua mas nao aberta.(c) f e fechada mas nao contınua.(d) f nao e nem contınua, nem aberta nem fechada.(e) f e contınua mas nao fechada.

(4) Considere as seguintes topologias no conjunto X ta, b, cu:T1

H, tau, ta, bu, X(e T2

H, X, ta, cu, tcu( .Mostre que os espacos topologicos pX,T1q e pX,T2q sao homeomorfos.

(5) Decida, justificando, se os seguintes conjuntos sao abertos ou fechadosem R2:(a) tpx, yq : x2 y2 1u.(b) tpx, yq : xy ¡ 1u.(c) tpx, yq : x4 y4 ¤ 1u.(d) tpx, yq : y x2u.

24

(6) Seja X ta, b, cu com a topologia T tau, tb, cu,H, X(. Quais sao as

funcoes contınuas f : X Ñ X?(7) Sejam X, Y espacos topologicos e seja a P X tal que o conjunto tau e

aberto. Mostre que qualquer funcao f : X Ñ Y e contınua em a.(8) Sejam T , T 1 duas topologias num conjunto X. Mostre que a funccao

identidade pX,T q Ñ pX,T 1q e contınua sse T for mais fina que T 1.(9) Dadas funcoes f, g : X Ñ R mostre que a funcao hpxq max

fpxq, gpxq(

e contınua. Sugestao: defina h por ramos.(10) Sejam a, b P R. Mostre que os seguintes subespacos de R. sao homeo-

morfos:(a) r0, 1s e ra, bs.(b) s0, 1r e sa, br.(c) r0, 1r e sa, bs.

(11) Seja B2 tpx, yq P R2 : x2 y2 ¤ 1u. Mostre que existe uma funcaocontınua r : R2 Ñ B2 tal que rpxq x para x P B2. Sugestao: fpxq xx.

(12) Mostre que R com a topologia gerada pelos intervalos ra, br com a, b P Re homeomorfo ao espaco R com a topologia gerada pelos intervalos sc, dscom c, d P R.

(13) Seja Opnq o conjunto das matrizes n n ortogonais (isto e, AAt 1.Damos a Opnq a topologia de subespaco identificando o conjunto das

matrizes n n com Rn2com a topologia usual.

(a) Identificando o conjunto das matrizes n n com Rn2, mostre que

Opnq e um subconjunto fechado de Rn2.

(b) Mostre que o determinante define uma funcao contınua f : Opnq Ñt1, 1u.

(c) Definimos SOpnq Opnq como o conjunto das matrizes de determi-nante 1. Mostre que SOpnq e aberto e fechado como subconjunto deOpnq.

(14) Mostre que uma funcao contınua f : R Ñ R pode ser prolongada porcontinuidade a recta acabada sse existirem, no sentido usual do Calculo,os limites de f em 8.

(15) Representamos por R` e Ru o conjunto R com a topologia com base osintervalos ra, br e o conjunto R com a topologia usual, respectivamente.Mostre que uma funcao f : R` Ñ Ru e contınua num ponto a P R sselimxÑa

fpxq fpaq.(16) Considere a funcao f : RÑ R tal que fpxq 1 para x P Q e fpxq 0 se

x R Q. Determine, em cada uma das seguintes topologias, em que pontose f contınua.(a) Topologia discreta.(b) Topologia indiscreta.(c) Topologia cocontavel.(d) Topologia usual.

25

(e) A topologia em que os abertos sao os conjuntos que contem o zero(mais o vazio).

(f) A topologia em que os abertos sao os conjuntos que nao contem ozero (mais o R).

(17) Considere a funcao f : r0, 2πr Ñ S1 definida por fptq pcos t, sin tq.(a) Mostre que f , apesar de ser bijectiva, nao e um homeomorfismo.

Sugestao: mostre que f1 nao e sequencialmente contınua no pontop1, 0q P S1.

(b) Mostre que a restricao de f a s0, 2πr e um mergulho. Sugestao:construa a inversa f1 por ramos.

(18) Prove as afirmacoes feitas no Exemplo 6.3.(19) Uma propriedade topologica P e uma propriedade que e invariante por

homeomorfismos; isto e, se X e Y forem espacos topologicos homeomor-fos, entao X tem a propriedade P se e so se Y a tiver.(a) Dizemos que um espaco topologico X e T1 se os conjuntos com um

so elemento forem fechados. Mostre que esta e uma propriedadetopologica.

(b) Averigue se a propriedade de ser limitado e uma propriedade to-pologica.

(20) Seja I p0, 0, zq P R3 : 1 ¤ t ¤ 1(

e seja X S2 Y I.

(a) Mostre que I e homeomorfo ao conjunto Y px, 0, zq P R3 : x2 z2 1, z ¥ 0

(.

(b) Mostre que X tp1, 0, 0qu e homeomorfo a uniao do plano xy comY . Sugestao: projeccao estereografica.

(21) Sejam X, Y conjuntos ordenados com a topologia da ordem.(a) Seja f : X Ñ Y uma funcao crescente e bijectiva. Dados intervalos

I1 X e I2 Y , mostre que fpI1q e f1pI2q sao intervalos.(b) Mostre que a recta acabada e homeomorfa ao intervalo r0, 1s.(c) Mostre que N r0, 1r com a topologia da ordem do dicionario e

homeomorfo a r1,8r.(22) Verdadeiro ou falso: dada uma funcao f : R Ñ R, a restricao f |r0,1s e

contınua sse f for contınua em todos os pontos x P r0, 1s.(23) Mostre que uma funcao f : X Ñ Y e contınua sse qualquer ponto x P X

tiver uma vizinhanca U tal que f |U e contınua.(24) Mostre que S1 s0,8r R3 e homeomorfo a R2 t0u. Sugestao:

considere a funcao f : R3 Ñ R2 definida por fpx, y, zq pzx, zyq.(25) Seja f : X Ñ Y uma funcao contınua num ponto a P X e seja g : Y Ñ Z

uma funcao contınua em fpaq. Mostre que g f e contınua em a.

7. Subbases. Topologia produtoDefinicao 7.1. Dizemos que uma topologia T e gerada por uma coleccaode conjuntos S se T for a topologia menos fina para a qual os elementosde S sao abertos. Dizemos entao que a coleccao S e uma subbase datopologia.

26

Se B e uma base de T , entao T e gerada por B, portanto uma base etambem uma subbase. Mas em geral, uma coleccao de conjuntos S nao euma base da topologia gerada por S . Para tal precisamos de impor algumascondicoes a coleccao de conjuntos.

Teorema 7.1. Seja X um conjunto, B uma coleccao de subconjuntos de Xtal que:

(1) A uniao de todos os elementos de B e X.(2) Para quaisquer B1, B2 P B, a interseccao B1 X B2 pode ser escrita

como uma uniao de elementos de B.

Entao existe uma unica topologia T em X tal que B e uma base de T .

Demonstracao. Definimos os abertos como as unioes dos elementos de B.Claramente unioes de abertos sao abertos. A propriedade (1) mostra que Xe um aberto. Para ver que a interseccao de abertos e um aberto usamos arelacao pαBαq X pβ Bβq

α,βpBα XBβq e a propriedade (2).

Teorema 7.2. Seja X um conjunto, S uma coleccao de subconjuntos deX. Entao a coleccao das interseccoes finitas de elementos de S :

B S1 X X Sk : S1, . . . , Sk P S , k P N

(Y tXue uma base da topologia gerada por S .

Demonstracao. Basta verificar que B satisfaz as condicoes do Teorema 7.1:a condicao (1) e imediata pois X P B e se B1, B2 P B, entao B1 X B2 P Bportanto a condicao (2) tambem e satisfeita.

Teorema 7.3. Sejam X, Y espacos topologicos, e seja S uma subbase datopologia de Y . Entao:

(1) Uma funcao f : X Ñ Y e contınua sse para qualquer S P S , oconjunto f1pSq for aberto em X.

(2) Uma sucessao pxnq em Y converge para um ponto a P Y sse paraqualquer S P S tal que a P S, existir um p P N tal que n ¡ pñ xn PS.

7.1. Produtos

Chamamos n-tuplo em X a uma funcao x : t1, 2, . . . , nu Ñ X. E costumerepresentar os valores da funcao por xp1q x1, . . . , xpnq xn. Um n-tuplo pode naturalmente ser visto como um elemento px1 . . . xnq P Xn ±nk1X. De maneira analoga, uma sucessao em X e uma funcao N Ñ

X que representamos por pxkqkPN px1, x2, x3, . . .q, e que podemos vercomo um elemento de

±8k1X X X X . Generalizando, dado

um conjunto de ındices J , um J-tuplo e uma funcao x : J Ñ X. Paracada α P J chamamos coordenada α de x a xpαq xα e representamoso J-tuplo por pxαqαPJ , ou simplesmente pxαq se o conjunto de ındices Jestiver subentendido. Representamos o conjunto dos J-tuplos por

±αPJ X

ou simplesmente por XJ .

27

Dada uma coleccao indexada de subconjuntos Xα X,1 definimos oproduto

±αPJ Xα XJ como o conjunto dos J-tuplos pxαq em X tais

que xα P Xα para qualquer α P J , ou seja, como o conjunto das funcoesx : J Ñ X tais que xpαq P Xα para qualquer α P J .

Teorema 7.4. Dadas coleccoes tUαu e tVαu de subconjuntos de X, temos±Uα

X ±Vα

±pUα X Vαq.Dada uma coleccao tXαuαPJ de espacos topologicos, vamos agora ver

como definir uma topologia no produto±αXα. Para cada β P J temos a

funcao projeccao pβ :±αXα Ñ Xβ que leva cada J-tuplo x pxαq para

a sua coordenada β: pβpxq xβ. Naturalmente queremos que cada pβseja uma funcao contınua: para qualquer β P J e qualquer conjunto abertoU Xβ, o conjunto p1

β pUq devera ser aberto.

Definicao 7.2. Chamamos topologia produto a topologia gerada pela co-leccao de conjuntos

S p1β pUq : β P J e U Xβ e aberto

(Teorema 7.5. Seja B a coleccao dos produtos

±Uα tais que para cada α

os conjuntos Uα Xα sao abertos e Uα Xα excepto para um numerofinito de ındices α. Entao B e uma base da topologia produto.

Demonstracao. Basta provar que a coleccao B e a coleccao das interseccoesfinitas de elementos de S . Para tal comecamos por observar que, dadoU Xβ, temos p1

β pUq ±αPJ Uα, em que Uα Xα para α β e Uβ U .

O resultado e agora uma consequencia simples do Teorema 7.4.

Exemplo 7.1. A topologia produto em X Y tem como base a coleccao dosprodutos U V em que U X e V Y sao abertos. No caso em queX Y R, a topologia produto coincide com a topologia usual em R2.

Teorema 7.6. Uma funcao f : Y ѱXα e contınua sse, para todo o α P J

as funcoes coordenadas fα pα f : Y Ñ Xα forem contınuas.

Demonstracao. Se f e contınua, pαf e tambem contınua. Reciprocamente,para ver que f e contınua basta mostrar que a imagem inversa de qualquerelemento da subbase S e um aberto em Y . Mas f1

p1α pUq ppα

fq1pUq que e aberto pois pα f e contınua.

Teorema 7.7. Uma sucessao pxnqnPN em±Xα converge para um ponto

x P±Xα sse as sucessoes coordenadas pαpxnq convergirem para pαpxq.Exercıcios

(1) Quais dos seguintes subconjuntos de Rω R R R sao abertosna topologia produto?

1Qualquer coleccao de conjuntos tXαu pode ser vista como uma coleccao de subcon-juntos dum conjunto X: nomeadamente, podemos tomar X

αXα.

28

(a) U pxnq P Rω : xn ¡ 0 para n par(.

(b) Uk pxnq P Rω : xk 0

(.

(c) Uk pxnq P Rω : xn 0 para qualquer n ¤ k

(.

(d) Uk pxnq P Rω : xn ¤ 0 para qualquer n k

(.

(e) U pxnq P Rω : xn en para qualquer n P N(.

(2) Seja X ta, b, c, d, eu. Descreva as topologias em X geradas pelas se-guintes subbases:(a) S2

ta, bu, tb, cu, tc, du(.

(b) S3 ta, b, cu, tc, d, eu, tdu(.

(c) S4 ta, bu, tcu, tdu, teu(.

(3) Dado um conjunto X, mostre que a coleccao dos conjuntos da formaX txu, com x P X, e uma subbase da topologia cofinita (ou seja, atopologia cofinita e a topologia menos fina em que os pontos sao conjuntosfechados).

(4) Mostre que a coleccao dos intervalos abertos ilimitados em R e uma sub-base da topologia usual. Generalize este resultado para uma topologiada ordem arbitraria.

(5) Sejam T1, T2 duas topologias num conjunto X. Mostre que, se S e umasubbase de T1 e S T2, entao a topologia T2 e mais fina que T1.

(6) Considere a topologia T H, t0u,R( no conjunto R. Descreva a topo-logia induzida no produto R R.

(7) Considere a topologia T em R2 em que os abertos sao os conjuntos daforma A R, com A R. A topologia T e o produto de que topologiasem R?

(8) Considere a funcao f : RÑ RN definida por

fptq cosp2πtq, sinp2πtq, cosp2πtq, sinp2πtq, . . .

(a) Mostre que a funcao f e contınua.(b) Para cada n P N seja xn fpnq. Decida, justificando, se a sucessao

pxnqnPN e ou nao convergente.(9) Dada uma coleccao de conjuntos tXαu e dados subconjuntos Uα Xα,

mostre que±

Xα

±Uα

p1α pXα Uαq.

(10) Seja K t1, 12 ,

13 ,

14 , . . .u R.

(a) Encontre uma base para a topologia gerada pelos intervalos da formasa, br, com a, b P R, mais o conjunto RK.

(b) Compare esta topologia com a topologia gerada pelos intervalos daforma ra, br, a, b P R, e com a topologia gerada pelos intervalos daforma sa, bs, a, b P R.

(11) Dados conjuntos X, Y com distancias dX e dY respectivamente, definimosuma distancia no produto X Y por

dpx1, y1q, px2, y2q

max dXpx1, x2q, dY py1, y2q

((a) Mostre que d e uma distancia.(b) Mostre que qualquer bola em X Y e o produto duma bola em X

com uma bola em Y .

29

(c) Mostre que a topologia da metrica em X Y e a topologia produto.(12) Dada uma funcao f : X Ñ Y chamamos grafico de f a G px, yq P

X Y : y fpxq(. Mostre que se f for contınua entao X e homeomorfoa G (com a topologia de subespaco).

(13) Seja X a uniao de dois subespacos fechados X1 e X2 tais que X1 XX2 tpu para um certo ponto p P X. Seja f1 : X1 Ñ X1 X2 a funcaodefinida por f1pxq px, pq e f2 : X2 Ñ X1 X2 a funcao definida porf2pyq pp, yq. Mostre que f1 e f2 definem um mergulho f : X Ñ X1X2.

(14) Seja tXαu uma coleccao de espacos topologicos. Mostre que se Bα euma base de Xα entao a coleccao de conjuntos da forma

±Bα, em que

Bα P Bα e Bα Xα excepto para um numero finito de ındices α e umabase da topologia produto em

±Xα.

(15) Verifique que a topologia produto em RR e a topologia usual induzidapela distancia.

(16) Sejam X, Y espacos topologicos, A X e B Y subespacos. Mostre quea topologia produto AB e igual a topologia induzida como subespacode X Y .

(17) Compare a topologia da metrica em `8 com a topologia induzida comosubespaco de R R com a topologia produto.

(18) Seja x0 P X. Mostre que a funcao f : Y Ñ X Y definida por fpyq px0, yq e um mergulho.

(19) Mostre que a projeccao p : X Y Ñ X e uma funcao aberta.(20) Seja R8 o conjunto das sucessoes que sao zero a partir de certa ordem.

Determine o fecho de R8 no produto RN.(21) Mostre que o produto dum numero nao contavel de copias de R nao tem o

primeiro axioma de numerabilidade. Sugestao: se tVnu for uma coleccaocontavel de vizinhancas dum ponto a, temos

n Vn ±

α Uα em queUα R excepto para um numero contavel de ındices α.

(22) Seja tTαu uma coleccao de topologias num conjunto X.(a) Mostre que

α Tα e uma topologia em X.

(b) Mostre que a topologia gerada por S α Tα e a interseccao de

todas as topologias em X que contem S .(23) Munkres: pag. 92, exercıcio 5.

8. Axiomas de separacaoDefinicao 8.1. Seja X um espaco topologico. Dizemos que X e

T1 se dados quaisquer pontos x, y P X existir um aberto U tal quex P U e y R U ;

de Hausdorff, ou T2, se dados pontos x, y P X existirem abertosdisjuntos U , V tais que x P U e y P V .

regular se dados um fechado F e um ponto x R F , existirem abertosdisjuntos U , V tais que x P U e F V ;

normal se dados fechados disjuntos F , G existem abertos disjuntosU , V tais que F U e G V .

30

Um espaco T1 e regular diz-se T3. Um espaco T1 e normal diz-se T4.

Teorema 8.1. Um espaco e T1 sse os conjuntos com um so elemento foremfechados. Assim, temos as implicacoes T4 ñ T3 ñ T2 ñ T1.

Demonstracao. Se X e T1, para qualquer x P X o conjunto Xtxu e abertopois dado y P X txu temos y x logo existe uma vizinhanca U P Vy talque x R U e entao U Xtxu. Reciprocamente, se os pontos sao fechados,dados x y o aberto Xtxu e uma vizinhanca de y que nao contem x.

Teorema 8.2. Num espaco de Hausdorff ha unicidade de limite de su-cessoes.

Demonstracao. Se xn Ñ x e xn Ñ y, x e y nao podem ter vizinhancasdisjuntas.

Teorema 8.3. A topologia da metrica e T4.

Demonstracao. Dados fechados disjuntos F,G X, para cada x P F existeum δx tal que Bpx, δxqXG H. Seja U

xPF Bpx, δx2q. Analogamente,seja V

yPY Bpy, δy2q, em que Bpy, δyq X F H. Claramente F Ue G V pelo que basta provar que U X V H, o que deixamos comoexercıcio.

Teorema 8.4. Um subespaco dum espaco de Hausdorff e tambem um espacode Hausdorff.

Demonstracao. Exercıcio.

Alternativamente, os axiomas de separacao podem ser expressos em ter-mos de abertos e seus fechos:

Teorema 8.5. Um espaco topologico X e:

(1) regular sse para qualquer x P X e qualquer U P Vx existir um V P Vx

tal que V U .(2) normal sse para qualquer fechado F e qualquer aberto U que contem

F , existir um aberto V tal que F V e V U .

Teorema 8.6 (Lema de Urysohn). Seja X um espaco normal, F,G Xfechados disjuntos. Entao existe uma funcao contınua f : X Ñ r0, 1s tal quefpxq 0 para x P F e fpxq 1 para x P G.

Demonstracao. Vamos definir, para cada racional p P Q, um aberto Up demodo a que

p q ñ Up Uq

Para tal comecamos por ordenar or racionais em r0, 1s: 1, 0, 12 , 1

3 , 23 , 1

4 , 34 ,

15 , . . . . Tomamos U1 X A e escolhemos U0 de modo a que A U0 e

U0 U1. Agora:

Como 0 12 1, escolhemos U12 de modo a que U0 U12 e

U12 U1.

31

Como 0 13 1

2 , escolhemos U13 de modo a que U0 U13 e

U13 U12.

Como 12 2

3 1, escolhemos U23 de modo a que U12 U23 e

U23 U1.

Prosseguindo recursivamente, definimos Up para todos os racionais em r0, 1s.Agora tomamos Up H para p 0 e Up X para p ¡ 1. Seja

fpxq inf p P Q : x P Up

(Agora:

Dado qualquer x temos x P Up para p ¡ 1 logo fpxq ¤ 1. Temostambem x R Up para x 0 logo fpxq ¥ 0. Assim 0 ¤ fpxq ¤ 1.

Se x P A entao x P Up ô p ¥ 0 logo fpxq 0. Se x P B entao x P Up ô p ¡ 1 logo fpxq 1.

Falta provar apenas a continuidade de f . Para tal observamos que:

(1) x P U r ñ fpxq ¤ r (2) x R Ur ñ fpxq ¥ r

Dado c P X vamos ver que f e contınua em c. Dada uma vizinhanca sa, br defpcq precisamos de encontrar uma vizinhanca U P Vc tal que fpUq sa, br.Para tal escolhemos racionais p e q tais que a p fpcq q b e tomamosU Uq Up. Entao:

U P Vc: claramente U e aberto; falta ver que c P U . Como fpcq q,por (2) temos c P Uq; como fpcq ¡ p, por (1) temos c R Up; assim,c P U .

fpUq sa, br: se x P U temos que ver que a fpxq b. Comox P Uq, por (1) temos fpxq ¤ q b; como x R Up, por (2) temosfpxq ¥ p ¡ a. Assim fpxq P sa, br.

Provamos que f e contınua, o que termina a demonstracao.

Exercıcios

(1) Mostre que um espaco e T1 sse os conjuntos com um so elemento foremfechados.

(2) Verifique quais dos axiomas de separacao sao satisfeitos pelas seguintestopologias em R:(a) A topologia discreta.(b) A topologia indiscreta.(c) A topologia cofinita.(d) A topologia usual.

(3) Mostre que um espaco X finito e T1 tem necessariamente a topologiadiscreta.

(4) Sejam T1, T2 topologias num conjunto X tais que T2 e mais fina que T1.Se X for Hausdorff numa das topologias, pode concluir que X e tambemHausdorff na outra?

(5) Mostre que a esfera Sn e um espaco normal.

32

(6) Seja X um espaco em que cada ponto possui uma base Bx de vizinhancasque sao tambem conjuntos fechados. Mostre que X e regular.

(7) Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco.(a) Mostre que se X e T1 entao Y e tambem T1.(b) Mostre que se X e Hausdorff entao Y e tambem Hausdorff.(c) Mostre que se X e regular entao Y e tambem regular.(d) Mostre que se X e normal e Y e fechado em X entao Y e tambem

normal.(8) Mostre que um espaco e T1 sse

UPVx

U txu para qualquer x P X.(9) Mostre que num espaco regular quaisquer pontos x y possuem vizi-

nhancas cujos fechos nao se intersectam.(10) Sejam F1, F2 fechados disjuntos num espaco normal. Mostre que existem

abertos U1, U2 tais que Fi Ui e U1 X U2 H.(11) Mostre que um espaco X e de Hausdorff sse para qualquer x P X se tiver

UPVxU txu.

(12) Mostre que um espaco X e regular sse dado um fechado F X e umponto x R F existir uma vizinhanca U P Vx tal que U X F H.

(13) Mostre que um espaco X e regular sse dado um fechado F X, se tiverF

U : U P T e F U(.

(14) Sejam X, Y espacos topologicos e seja f : X Ñ Y uma funcao contınuae injectiva. Mostre que se Y for de Hausdorff entao X e tambem deHausdorff.

(15) Seja TK a topologia em R gerada pelos intervalos sa, br com a, b P R, epor R t1, 1

2 ,13 ,

14 , . . .u. Mostre que, com esta topologia, R e Hausdorff

mas nao e regular. Sugestao: qualquer aberto que contem o conjuntot1, 1

2 ,13 ,

14 , . . .u e tambem aberto na topologia usual.

(16) Sejam X, Y espacos topologicos e seja f : X Ñ Y uma funcao contınuae injectiva. Mostre que se Y for de Hausdorff entao X e tambem deHausdorff.

(17) Mostre o Teorema 8.5.(18) Mostre que a topologia da ordem e sempre regular.(19) Sejam T1, T2 topologias regulares num conjunto X. Mostre que a topo-

logia gerada por T1 YT2 e tambem regular.(20) Seja X um conjunto bem ordenado. Mostre que X e normal com a

topologia da ordem. Sugestao: dados fechados disjuntos F e G, paracada x P F tome uma vizinhanca sa, xs que nao intersecta G e faca omesmo para os pontos de G.

(21) Seja X um espaco topologico, A X. O espaco obtido contraindo todosos pontos de A para um so ponto e, por definicao, o conjunto XA pX Aq Y tu com a seguinte topologia: dado U XA, se R U , entaoU X A e aberto sse for aberto em X; se P U , entao U e aberto ssepU tuq YX for aberto em X.(a) Verifique que se trata duma topologia.(b) Mostre que se XA for T1 entao A e fechado em X.

33

(c) Mostre que, se X for regular e A for fechado em X entao XA eHausdorff.

(d) Mostre que, se X for normal e A for fechado em X entao XA enormal.

(e) Quais dos axiomas de separacao sao satisfeitos por RpR t0uq?(22) Seja tXαu uma famılia de espacos topologicos.

(a) Mostre que se Xα e Hausdorff para todo o α entao±Xα e tambem

Hausdorff.(b) Mostre que se Xα e regular para todo o α entao

±Xα e tambem

regular.(23) Seja X um espaco normal e sejam A1, A2 X abertos tais que X

A1 Y A2. Mostre que existem fechados F1 A1 e F2 A2 tais queX F1 Y F2.

(24) Seja X um espaco de Hausdorff, Y X. Mostre que se existir umafuncao contınua r : X Ñ Y tal que rpyq y para todo o y P Y (r diz-seuma retraccao), entao Y e fechado em X. Sugestao: dado x P Y , assumaque rpxq x e use a continuidade de r em x.

(25) Mostre que um espaco topologico satisfaz o Lema de Urysohn sse fornormal.

(26) Mostre que um espaco X e de Hausdorff sse a diagonal ∆ px, xq : x PX( X X for um subconjunto fechado.

(27) Um espaco topologico X diz-se completamente regular se dado um pontox P X e uma vizinhanca U P Vx de x existir uma funcao contınua f : X Ñr0, 1s tal que fpxq 1 e fpxq 0 para qualquer x R U .(a) Mostre que um espaco T4 e completamente regular.(b) Mostre que um espaco completamente regular e regular.(c) Sera um espaco completamente regular necessariamente T3?(d) Mostre que um subespaco dum espaco completamente regular e tambem

completamente regular.(e) Mostre que um produto

±Xα de espacos completamente regulares

e tambem completamente regular.(28) Seja p : X Ñ Y uma funcao contınua e sobrejectiva.

(a) Mostre que p e fechada sse dado um ponto y P Y e um aberto Wcontendo p1

tyu, existir uma vizinhanca U de y tal que p1pUq W .

(b) Mostre que, se p for fechado e X for normal, entao Y e tambemnormal.

(29) Seja X um espaco de Hausdorff, A X, e seja f : A Ñ Y uma funcaocontınua. Mostre que o prolongamento por continuidade de f a A, seexistir, e unico.

(30) Sejam f, g : X Ñ Y funcoes contınuas, Y um espaco de Hausdorff. Mostreque o conjunto tx P X : fpxq gpxqu e fechado em X.

(31) Um conjunto diz-se um conjunto Gδ se for a interseccao contavel de aber-tos. Mostre que num espaco normal X, um conjunto A X e um

34

conjunto Gδ fechado sse existir uma funca contınua f : X Ñ R tal quefpxq 0 para x P A e fpxq ¡ 0 para x R A. Sugestao: imite a demons-tracao do Lema de Urysohn.

9. Espacos metrizaveisDefinicao 9.1. Dizemos que um espaco topologico X e metrizavel se existiruma distancia d em X tal que a topologia de X e a topologia induzida pord.

Exemplo 9.1. Um espaco X com a topologia discreta e metrizavel: definimosa distancia por dpx, yq 1 para x y e dpx, xq 0.

Teorema 9.1. Seja I r0, 1s R com a topologia usual. O espaco dassucessoes IN I I I com a topologia produto e metrizavel.

Demonstracao. Dadas sucessoes x pxnq, y pynq definimos a distanciadpx,yq supn |xn yn|n. Dado ε ¡ 0 representamos as bolas em I porBpx, εq I X sx ε, x εr. Seja k o maior inteiro tal que kε 1. Entao abola em IN e igual a:

Bdpx, εq Bpx1, εq Bpx2, 2εq Bpxk, kεq I o que mostra que as bolas sao abertos na topologia produto que e portantomais fina que a topologia da metrica. Deixamos o resto da demonstracaocomo exercıcio.

Lema 9.1 (Lema do Mergulho). Seja X um espaco T1 e seja f : X Ñ r0, 1sJuma funcao contınua com componentes fα tais que, para qualquer x P X equalquer U P Vx, existe um α P J tal que fαpxq ¡ 0 e fα 0 em X U .Entao f e um mergulho.

Demonstracao. A funcao f e claramente contınua e injectiva pelo que bastaver que a funcao f1 : fpXq Ñ X e contınua em todos os pontos b fpaq PfpXq. Dada uma vizinhanca U de f1pbq a existe um α tal que fαpxq ¡ 0e fα 0 em XU . Seja V r0, 1sJ o subconjunto dos pontos de coordenadaα positiva. Entao V e uma vizinhanca de b e f1pV q U .

Teorema 9.2. Um espaco topologico T3 e com uma base contavel e me-trizavel.

Demonstracao. A demonstracao tem dois passos. Comecamos por provarque X e T4. Seja B uma base contavel de X e sejam F1 e F2 fechadosdisjuntos. U1 tB P B : B X F2 Hu e de modo analogo definimosU2 tB P B : B X F1 Hu. U1 e U2 sao contaveis por isso podemosescrever U1 tUnunPN e U2 tVnunPN. Agora seja

U ¤n

Un pV 1 Y Y V nq

V

¤n

Vn pU1 Y Y Unq

Basta agora mostrar que F1 U , F2 V e UXV H. Seja x P F1. Entao,para qualquer k P N, x R V k. Como x P X F2, existe um W P Vx tal que

35

W X F2, logo W X F2 H. Tomando um elemento da base contidoem W vemos que existe um n P N tal que x P Un, o que mostra que x P U .Assim, F1 U . De igual modo se mostra que F2 V .

Provamos que X e T4. Vamos agora mostrar que X e metrizavel. E maisconveniente escrever agora a base B na forma tBnunPN. Seja J N N oconjunto dos pares pn,mq para os quais Bn Bm. Para cada pn,mq P Jo Lema de Urysohn garante a existencia duma funcao fn,m : X Ñ r0, 1s tal

que fn 1 em Bn e fn,m 0 em X Bm. As funcoes fn,m definem umafuncao contınua f : X Ñ r0, 1sJ , e como J e contavel, r0, 1sJ e metrizavel.Basta agora verificar que a coleccao pfn,mq esta nas condicoes do Lema 9.1.Seja x P X e U P Vx. Entao, como X e normal, existe um m P N tal quex P Bm e Bm U . Repetindo o processo, existe um n P N tal que x P Bne Bn Bm. Entao fn,mpxq 1 e fn,m 0 em X Bm X U . Istotermina a demonstracao.

Exercıcios

(1) Dado um conjunto X, mostre que a funcao d : X X Ñ R definida pordpx, yq 1 para x y e dpx, xq 0 e uma distancia que induz a topologiadiscreta em X.

(2) Mostre que um subespaco dum espaco metrizavel e tambem metrizavel.(3) Seja C o conjunto das funcoes contınuas f : r0, 1s Ñ R. Dados f, g P R

definimos

d1pf, gq » 1

0

fpxq gpxq e d8pf, gq supxPr0,1s

fpxq gpxq .(a) Mostre que d1 e d8 sao distancias em C.(b) Mostre que a sucessao de funcoes pfnq definida por fnpxq xn con-

verge para a funcao identicamente nula com a distancia d1, mas naocom a distancia d8.

(c) Mostre que d1pf, gq ¤ d8pf, gq. Qual das topologias induzidas porestas distancias e mais fina?

(4) Dados pontos x px1, . . . , xnq e y py1, . . . , ynq em Rn definimos

d1px,yq n

i1

|xi yi| d8px,yq maxi1,...,n

|xi yi|

(a) Verifique que d1 e d8 sao distancias.(b) Seja d2 a distancia usual em Rn. Mostre que d8px,yq ¤ d2px,yq ¤?

nd8px,yq. Conclua que Bd2px, εq Bd8px, εq Bd2px,?n εq.

(c) Mostre que as topologias induzidas por d1 e d8 em Rn sao a topologiausual.

(5) Seja X um conjunto com uma distancia d e seja dpx, yq min dpx, yq, 1(.

Verifique que d e uma distancia que induz a mesma topologia em X quea distancia d.

36

(6) Decida se a topologia em R gerada pelos intervalos da forma ra, br coma, b P Q e ou nao metrizavel.

(7) Quais das seguintes topologias em R sao metrizaveis: a topologia discreta,a indiscreta, a cofinita e a cocontavel?

(8) Decida se os espacos SΩ, SΩ e I2o sao metrizaveis.

(9) Decida se RJ e metrizavel com a topogia produto, em que J e um conjuntofinito, contavel ou nao contavel.

(10) Mostre que se X1 e X2 sao metrizaveis entao X1 X2 e metrizavel.Sugestao: sejam d1, d2 metricas para X1, X2 respectivamente e sejaDpx1, x2q, py1, y2q

max d1px1, y1q, d2px2, y2q

(; quais sao as bolas na

metrica D?(11) Seja tXnunPN uma coleccao de espacos metrizaveis. Generalize a demons-

tracao do Teorema 9.1 para mostrar que±Xn e metrizavel:

(a) Mostre que para cada n podemos escolher uma distancia dn queinduz a topologia de Xn e tal que dnpx, yq ¤ 1 para todo o x, y P Xn.

(b) Dados pxnq, pynq P ±Xn seja D

pxnq, pynq sup dnpxn, ynqn.Mostre que D e uma distancia.

(c) Mostre que a topologia induzida por D e mais fina que a topologiaproduto.

(d) Dado pxnq P±Xn e ε ¡ 0 e tomando k ¥ 1ε mostre que

BDpxnq, ε Bd1px1, εqBd2px2, 2εq Bdkpxk, kεqXk1Xk2

Conclua que a topologia produto coincide com a topologia da metricaD.

(12) Considere a topologia TK em R gerada pelos intervalos abertos e porR t1, 1

2 ,13 ,

14 , . . . u. Mostre que pR,TKq e Hausdorff e tem uma base

contavel mas nao e metrizavel.(13) Considere a topologia T` em R gerqada pelos intervalos da forma ra, br

com a, b P R. Mostre que pR,T`q e normal e separavel mas nao e me-trizavel.

(14) Seja T a topologia em R gerada pelos intervalos abertos e pelos conjuntosU Q. Mostre que T e metrizavel.

(15) Seja T a topologia em Z gerada pelos conjuntos Ai,k i kn : n P Z

(,

com i, k P Z. Mostre que T e metrizavel.(16) Seja X px, yq P R2 : y ¡ 0u e seja Y Q t0u R2. Seja T a

topologia em X Y Y gerada pelas bolas contidas em X e pelos conjuntos

Ux,ε tpx, 0qu YBpx, εq, ε

para x P Q e ε ¡ 0. Mostre que T e metrizavel.

10. CompactosDizemos que uma coleccao de abertos U e uma cobertura aberta dum con-junto A X se a uniao dos abertos de U contiver A. Em particular, Ue uma cobertura de X se a uniao for igual a X. Uma subcobertura e umasubcoleccao U 1 U que e ainda uma cobertura.

37

Definicao 10.1. Um espaco topologico X diz-se compacto se qualquer co-bertura aberta de X tiver uma subcobertura finita.

Teorema 10.1. Um subespaco Y X e compacto se e so se qualquercobertura U de Y por abertos de X tiver uma subcobertura finita.

Teorema 10.2. Seja X um conjunto ordenado satisfazendo o axioma dosupremo. Entao qualquer intervalo ra, bs X e compacto.

Demonstracao. Seja U uma cobertura de ra, bs. Seja A ra, bs o conjuntodos pontos x P ra, bs tais que ra, xr e coberto por um numero finito de abertosde U . Claramente a P A logo A H. Seja s supA.

(1) Tomemos um aberto U P U tal que a P U . Entao existe um x ¡ atal que ra, xr U , pelo que x P A, logo s ¡ a.

(2) Tomemos agora um aberto V P U tal que s P V . Como s ¡ a, existeum c s tal que sc, ss V . Como s e o menor dos majorantes, cnao e um majorante de A logo existe um x P A tal que x ¡ c. Entaoexistem U1, . . . , Uk P U tais que ra, xr U1 Y Y Uk, e comosc, ss V , temos ra, ss U1 Y Y Uk Y V .

(3) Para terminar a demonstracao basta observar que s b: casocontrario existiria um d ¡ s tal que rs, dr V donde seguiria quera, dr U1 Y Y Uk Y V logo d P A, o que e uma contradicao poiss supA.

Teorema 10.3. Seja f : X Ñ Y contınua, K X compacto. Entao fpKqe compacto.

Demonstracao. Dada uma cobertura aberta tUαu de fpKq tomamos umasubcobertura finita de f1pUαq.

Por exemplo, o cırculo S1 e compacto pois e a imagem de r0, 1s pela funcaocontınua fptq

cosp2πtq, sinp2πtq.Teorema 10.4. Seja X um espaco compacto. Entao qualquer subconjuntoF X fechado e compacto.

Demonstracao. Dada uma cobertura tUαu de F , a coleccao tUαuYtXF ue uma cobertura de X logo tem uma subcobertura finita.

Teorema 10.5. Seja X um espaco de Hausdorff, K X um compacto.Entao, dado um ponto a R K, existem abertos U , V disjuntos tais queK U e a P V .

Demonstracao. Para cada x P K tomamos vizinhancas disjuntas Ux P Vx

e Vx P Va. A coleccao tUxu cobre K pelo que podemos tomas uma subco-bertura finita tUx1 , . . . , Uxnu. Entao podemos tomar U Ux1 Y Y Uxn eV Vx1 X X Vxn .

Vamos ver agora varios corolarios.

Teorema 10.6. Seja X um espaco de Hausdorff, K X um compacto.Entao K e fechado em X.

38

Demonstracao. O Teorema 10.5 mostra que X K e aberto.

Teorema 10.7 (Weierstrass). Se X e um espaco compacto, qualquer funcaocontınua f : X Ñ R tem maximo e mınimo.

Demonstracao. O conjunto fpXq e compacto, logo e fechado. A coberturade fpXq pelos abertos da forma sn, nr tem uma subcobertura finita logofpXq e tambem limitado. Assim, fpXq tem maximo e mınimo.

Teorema 10.8. Um espaco compacto de Hausdorff e normal.

Demonstracao. Como os fechados em X sao compactos, o Teorema 10.5mostra que X e regular. Repetindo o argumento do Teorema 10.5, provamosque X e normal.

Teorema 10.9. Seja f : X Ñ Y uma funcao contınua, X compacto e Y deHausdorff. Entao:

(1) Se f for injectiva, f e um mergulho.(2) Se f for bijectiva, f e um homeomorfismo.

Demonstracao. Basta observar que f e fechada: se F X e fechado, entaoe compacto, logo fpF q e compacto, e portanto fechado.

Definicao 10.2. Dizemos que uma coleccao de conjuntos C tem a propri-edade de interseccao finita (ou PIF) se a interseccao dum numero finito deelementos de C for nao vazia.

Teorema 10.10. Um espaco X e compacto sse para qualquer coleccao tFαude fechados com a PIF se tiver

Fα H.

Demonstracao. Se X nao for compacto, existe uma cobertura tUαu semnenhuma subcobertura finita. Seja Fα X Uα. Entao tFαu tem a PIFmas

Fα H.

Reciprocamente, se tFαu tem a PIF masFα H, seja Uα X Fα.

Entao tUαu e uma cobertura aberta sem nenhuma subcobertura finita.

Exemplo 10.1. O subespaco r0, 1s X Q de R nao e compacto: a coleccao defechados tCnu definidos por Cn rx p1nq, x p1nqs XQ tem a PIF maspara x irracional,

Cn H.

10.1. O Teorema de Tychonoff

Teorema 10.11 (Tychonof). Dada uma famılia tXαu de espacos compac-tos, o produto

±Xα e tambem compacto.

Como corolario imediato temos:

Teorema 10.12. Um espaco X Rn e compacto sse for limitado e fechado.

Demonstracao. Se um conjunto K Rn e fechado e limitado e compacto,pois como K e limitado, esta contido num produto de intervalos ra, bsn quee compacto. Como K e fechado, concluımos que K e compacto. Recipro-camente, um compacto K R e fechado pois Rn e Hausdorff, e e limitadopois a cobertura

Bp0, nq( de K tem uma subcobertura finita.

39

Antes de passarmos a demonstracao de Teorema de Tychonof precisamosde introduzir a nocao de ultrafiltro:

Definicao 10.3. Dado um conjunto X, dizemos que uma coleccao U desubconjuntos de X e um ultrafiltro se se verificarem as seguintes condicoes:

(1) H R U .(2) Se A,B P U entao AXB P U .(3) Dado um conjunto S X, se para qualquer A P U se tiver SXA

H entao S P U .

Repare que um ultrafiltro tem a PIF: se A1, . . . , An P U , entao por (2)temos A1 X XAn P U logo, por (1), A1 X XAn H.

Lema 10.1. Qualquer coleccao de conjuntos C com a PIF esta contida numultrafiltro.

Demonstracao. Seja U o conjunto de todas as coleccoes de conjuntos A taisque C A e A tem a PIF. Inclusao de conjuntos define uma ordem parcialem U e o Lema de Zorn garante a existencia duma coleccao maximal U .Ou seja:

C U ; U tem a PIF; Se A R U entao U Y tAu nao tem a PIF. Dito de outro modo, se

para quaisquer C1, . . . , Ck P U se tiver AXC1X XCk H entaoU Y tAu tem a PIF logo A P U .

Vamos ver que U e um ultrafiltro.

(1) H R U , caso contrario U nao teria a PIF.(2) Se A,B P U entao, como U tem a PIF, temos

pAXBq X C1 X X Ck AXB X C1 X X Ck Hpara quaisquer C1, . . . , Ck P U logo AXB P U .

(3) Seja S X um conjunto tal que, para qualquer A P U , temosSXA H. Dados quaisquer C1, . . . , Ck P U , seja C C1X XCk.Entao S X C1 X Ck S X C H pois C P U por (2). AssimS P U .

Lema 10.2. Um espaco topologico X e compacto sse para qualquer ultrafiltrotCαu em X se tiver

Cα H.

Demonstracao. Se X for compacto, como tCαu tem a PIF segue de imediatoque

Cα H. Reciprocamente, qualquer coleccao de fechados tFαu com a

PIF esta contida num ultrafiltro tCαu e temosFα

Cα H pelo que

X e compacto.

Podemos agora demonstrar o Teorema de Tychonoff.

Demonstracao. Seja U um ultrafiltro. Entao, para cada α P J , a coleccao παpCq

(CPU

tem a PIF. Seja xα PCPU παpCq e seja x pxαqαPJ . Vamos

mostrar que x P CPU C.

40

(1) Seja S a subbase da topologia produto e seja S P S XVx. Primeiromostramos que S XC H para qualquer C P U : seja S π1

α pUq,com U Xα aberto; entao π1

α pUq X C H ô U X παpCq H,

que e verdade pois xα P παpCq.(2) Pela propriedade (3) dos ultrafiltros, S X Vx U . Seja agora

B a base da topologia produto obtida a partir de S . Entao, pelapropriedade (2) dos ultrafiltros, BXVx U . Como U tem a PIF,temos B X C H para qualquer B P B X Vx e qualquer C P U .Mas entao x P C, o que termina a demonstracao.

Exercıcios

(1) Quais os subespacos compactos de R na topologia discreta?(2) Decida quais das seguintes coberturas de s0, 1r tem uma subcobertura

finita. s0, 1r e compacto?(a)

sx 13 , x 1

3 r(xPs0,1r

(b) sx2, 2xr (

xPs0,1r

(c) sx 1

5 , 2xr(xPs0,1r

(d) sx 1, 1 xr (

xPs0,1r

(3) Mostre que R nao e compacto, encontrando uma cobertura de R semnenhuma subcobertura finita.

(4) Decida quais dos seguintes subespacos de Rn sao compactos:(a) A px, yq P R2 : y x2

((b) B s1, 0r Y s1, 2s(c) C B(d) D

0, 1, 12 ,

13 ,

14 ,

15 , . . .

((e) Sn px0, . . . , xnq P Rn1 : x2

0 x2n 1

((f) S1 A(g) fpS1q em que f : R2 Ñ R e a funcao fpx, yq sinpx cos yqcospy sinxq.(h) S1 S2 S3 RN.

(5) Sejam T , T 1 topologias num conjunto X tais que T T 1. Se Xfor compacto numa das topologias, o que pode concluir sobre a outratopologia?

(6) Considere a topologia em R gerada pelos intervalos s8, nr com n P Z.Mostre que um conjunto A R e compacto sse for majorado.

(7) Mostre que um espaco topologico com um numero finito de pontos ecompacto.

(8) Mostre que uma uniao finita de espacos compactos e compacta.(9) Seja X um conjunto ordenado com a topologia da ordem. Mostre que se

X e compacto entao X tem maximo e mınimo. Sugestao: se X nao tivermaximo, considere a cobertura pelos abertos Sa tx P X : x au, coma P X.

(10) Mostre que um conjunto X R tem fecho compacto sse for limitado.

41

(11) Considere a topologia em R cujos abertos, para alem de H e R, sao osintervalos s 8, ar. Mostre que um subespaco Y R e compacto ssetiver maximo.

(12) Considere a seguinte topologia em R: T tA R : 0 R A ou A Ru.Mostre que um subespaco Y R e compacto sse for finito ou contiver oponto 0.

(13) Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e localmente limitada se qualquerponto x P X tiver uma vizinhanca U tal que f |U e limitada. Mostre quese X e compacto, qualquer funcao localmente limitada e limitada.

(14) Dizemos que um conjunto A X e localmente finito se qualquer pontox P X tiver uma vizinhanca U tal que AXU e finito. Mostre que se X ecompacto, qualquer conjunto localmente finito e finito.

(15) Seja tUnunPN uma coleccao de abertos em X tais que

U1 U2 Un X ¤Uk .

Mostre que, dado qualquer compacto K X, existe um n P N tal queK Un.

(16) Seja pxnq uma sucessao convergente num espaco topologico X com limitea. Mostre que o conjunto txn : n P Nu Y tau e compacto.

(17) Sejam T , T 1 topologias num conjunto X tais que X e compacto deHausdorff em ambas as topologias. Mostre que, ou T T 1, ou T e T 1

nao sao comparaveis.(18) Seja B uma base de X. Mostre que X e compacto sse qualquer cobertura

de X por elementos de B tiver uma subcobertura finita. Sugestao: dadauma cobertura tUαu, para cada α e cada x P Uα tome um Bα,x P B talque x P Bα,x e Bα,x Uα.

(19) Seja X Rk um conjunto limitado e seja f : X Ñ Rn uma funcaocontınua. Mostre que f e fechada.

(20) Chamamos toro a S1S1 R2R2 R4. Mostre que a funcao f : R4 ÑR3 definida por fpx, y, z, wq p2xqz, p2xqw, y induz um mergulho

do toro em R3.(21) Mostre directamente que num espaco metrico X um conjunto compacto

A e fechado, do seguinte modo: dado um ponto a P A A, considere acobertura de A pelos abertos

X Bpa, 1nq(

nPN.(22) Um espaco X diz-se Lindelof se qualquer cobertura aberta de X tiver

uma subcobertura contavel.(a) Mostre que se f : X Ñ Y e contınua e A X e Lindelof, entao fpAq

e Lindelof.(b) Mostre que se X e Lindelof e A X e fechado entao A e Lindelof.(c) Mostre que, se B for uma base da topologia, X e Lindelof sse qual-

quer cobertura por elementos de B tiver uma subcobertura finita.(d) Mostre que se X tem uma base contavel B, entao X e Lindelof.

(23) Sejam Tf e Tc respectivamente as topologias cofinita e cocontavel em R.(a) Mostre que Tf e Tc sao Lindelof.

42

(b) Averigue se Tf e Tc sao compactas.(24) Mostre que um espaco compacto de Hausdorff X e metrizavel sse tiver

uma base contavel. Sugestao: para cada n P N cubra X por bolas de raio1n.

(25) Seja p : X Ñ Y uma funcao contınua e sobrejectiva.(a) Mostre que p e fechada sse dado qualquer y P Y e qualquer aberto

U X tal que p1tyu U existir uma vizinhanca V P Vy tal que

p1pV q U .(b) p diz-se uma funcao perfeita se for fechada e para cada y P Y ,

p1tyu for compacto. Mostre que se p for perfeita, entao X e com-

pacto sse Y for compacto. Sugestao: dada uma cobertura aberta Ude X, para cada y P Y seja Uy uma subcobertura finita de p1

tyue seja Uy a uniao dos abertos em Uy.

(c) Mostre que, se K for uma espaco compacto, entao a projeccao p : KY Ñ Y e uma funcao perfeita e portanto, o produto de dois espacoscompactos e compacto.

(d) Mostre que, se p e perfeita e X e Hausdorff, entao Y e tambemHausdorff.

(e) Mostre que, se p e perfeita e X e T3, entao Y e tambem T3.(26) Seja C Rn compacto e convexo (isto e, se x, y P C entao o segmento

entre x e y esta contido em C). Seja BC a fronteira de C. Assumindoque 0 P intC mostre que:(a) Qualquer semirecta com inıcio na origem intersecta BC em exacta-

mente um ponto.(b) A funcao f : BC Ñ Sn1 definida por fpxq xx e um homeomor-

fismo.(c) A funcao g : Bn Ñ C definida por gpxq xf1pxxq e um home-

omorfismo. Sugestao: para provar continuidade na origem comecepor mostrar que existe uma constante M tal que gpxq ¤Mx.

11. QuocientesDefinicao 11.1. Seja uma relacao de equivalencia num conjunto X. Cha-mamos quociente, e representamos por X, o conjunto das classes de equi-valencia. Chamamos projeccao a funcao p : X Ñ X tal que ppxq rxs.Dado um espaco topologico X com uma relacao de equivalencia dizemos queum conjunto U X e aberto sse p1pUq for aberto em X. Chamamos aX um espaco quociente.

Exemplo 11.1. Definimos uma relacao de equivalencia na esfera Sn dizendoque x y se e so se x y ou x y. Chamamos espaco projectivo aoquociente: Pn Sn.

Teorema 11.1. Seja X um espaco topologico com uma relacao de equi-valencia , e seja f : X Ñ Y uma funcao contınua tal que fpxq fpyq

43

sempre que x y. Entao a funcao f : X Ñ Y definida por frxs fpxq

e contınua.

Demonstracao. Seja p : X Ñ X a projeccao. Entao f f p. Dado um

aberto A Y , como f e contınua f1pAq p1f1pAq e aberto, logo

f1pAq e aberto. Assim, f e contınua.

Definicao 11.2. Uma funcao sobrejectiva f : X Ñ Y diz-se um quocientese tiver a seguinte propriedade: um conjunto A Y e aberto sse f1pAq foraberto.

Uma funcao sobrejectiva f : X Ñ Y induz uma relacao de equivalenciaem X: dizemos que x y sse fpxq fpyq. Entao a funcao f : X Ñ Y

definida por frxs fpxq e bijectiva.

Teorema 11.2. Uma funcao contınua e sobrejectiva f : X Ñ Y e um quo-ciente sse a funcao induzida f : X Ñ Y for um homeomorfismo.

Demonstracao. Dado um aberto A Y , f1pAq p1pf1pAqq pelo que

f1pAq e aberto sse f1pAq for aberto. Assim:

(1) Se f for um homeomorfismo, A e aberto sse f1pAq for aberto, ssef1pAq for aberto, pelo que f e um quociente.

(2) Se f for um quociente, A e aberto sse f1pAq for aberto, sse f1pAqfor aberto, pelo que f e um homeomorfismo.

Teorema 11.3. Seja X um espaco compacto, Y um espaco de Hausdorff.Entao qualquer funcao contınua e sobrejectiva f : X Ñ Y e um quociente.

Demonstracao. O espaco X ppXq e compacto e a funcao f e contınua

e bijectiva, logo f e um homeomorfismo.

Exemplo 11.2. Seja r0, 1s o quociente obtido identificando os pontos 0 e 1.A funcao fptq

cosp2πtq, sinp2πtq induz um homeomorfismo entre r0, 1se o cırculo S1. Assim, o toro S1 S1 e homeomorfo a r0, 1s r0, 1s,que e o quociente do quadrado r0, 1s r0, 1s obtido identificando os ladosopostos.

Exemplo 11.3. Seja B2 tpx, yq P R2 : x2 y2 ¤ 1u e seja f : B2 Ñ S2

a funcao definida por fpx, yq x, y,

a1 x2 y2

. A composicao de f

com a projeccao p : S2 Ñ S2 P2 induz um homeomorfismo entre oquociente de B2 obtido identificando os pontos de S1 B2 diametralmenteopostos e P2. Como B2 e homeomorfo ao quadrado r0, 1s r0, 1s, temos queP2 e homeomorfo a um quociente do quadrado obtido identificando os ladosopostos, mas esta identificacao e obviamente diferente da usada para obtero toro.

44

Exercıcios

(1) Seja X um espaco topologico, uma relacao de equivalencia. Mostreque o quociente X e T1 sse as classes de equivalencia forem conjuntosfechados.

(2) Considere a seguinte relacao de equivalencia em R: x y sse x λy,com λ 0. Descreva a topologia quociente em R.

(3) Considere a seguinte relacao de equivalencia em R: x y sse x y 0ou xy ¡ 0. Descreva a topologia quociente em R.

(4) Mostre que a funcao i : R3 Ñ R4 dada por ipx, y, zq px, y, z, 0q induzuma funcao contınua P2 Ñ P3.

(5) Seja p : R2 Ñ X o quociente de R2 pela relacao de equivalencia

px0, y0q px1, y1q ô x0y0 x1y1

(a) Mostre que a funcao f : R2 Ñ R definida por fpx, yq xy induz

uma funcao contınua f : X Ñ R tal que f p f .(b) Mostre que X e homeomorfo a R. Sugestao: use a funcao g : RÑ R2

definida por gptq pt, 1q para construir uma inversa.(6) Seja p : R2 Ñ X o quociente de R2 pela relacao de equivalencia

px0, y0q px1, y1q ô x20 y2

0 x21 y2

1

Mostre que a funcao f : R2 Ñ R definida por fpx, yq x2 y2 induz umhomeomorfismo entre X e um subespaco de R.

(7) Seja p : R2 Ñ X o quociente de R2 pela relacao de equivalencia

px0, y0q px1, y1q ô x0 y20 x1 y2

1

O espaco X e homeomorfo a um espaco familiar. Qual?(8) Mostre que o quociente de r0, 1s pela relacao de equivalencia 0 1 e

homeomorfo a S1. Sugestao: considere a funcao f : r0, 1s Ñ R2 definidapor fptq

cosp2πtq, sinp2πtq.(9) Mostre que o quociente de R pela relacao de equivalencia x y ô xy P

Z e homeomorfo a S1.(10) Considere a funcao f : CÑ C definida por fpzq z2.

(a) Mostre que f induz uma funcao g : S1 Ñ S1 que e um quociente.(b) Use g para mostrar que P1 e homeomorfo a S1.

(11) Dado um espaco topologico X, chamamos cone em X ao quociente deX r0, 1s pela relacao de equivalencia que identifica todos os pontos daforma px, 0q, com x P X.(a) Mostre que CSn e homeomorfo a bola fechada Bn1. Sugestao:

considere a funcao f : Sn r0, 1s Ñ Bn1 definida por fpx, tq tx.(b) Mostre que, se X for compacto, entao CX tambem e compacto.

(12) Mostre que a funcao f : S2 Ñ R6 definida por fpx, y, zq px2, y2, z2, xy, xz, yzqinduz um mergulho de P2 em R6. Conclua que P2 e Hausdorff. Generalizeeste resultado para Pn (n P N).

(13) Considere a funcao f : r1, 1s Ñ S1 definida por fpxq px,?1 x2q.

45

(a) Seja p : S1 Ñ P1 a projeccao. Mostre que pf e um quociente. Podeusar o resultado do exercıcio anterior.

(b) Mostre que P1 e homeomorfo a S1.(14) Dado um espaco topologico X, chamamos suspensao de X ao quociente

de X r0, 1s pela relacao de equivalencia que identifica todos os pontosda forma px, 0q e identifica tambem todos os pontos da forma px, 1q comx P X. mostre que a suspensao da esfera Sn1 e homeomorfa a Sn.

(15) Seja p : R2ztp0, 0qu Ñ X o quociente obtido identificando os pontos pelarelacao de equivalencia: px, yq pλx, λyq, para qualquer λ P Rzt0u. SejaA R t0u R2 o eixo dos xx.(a) Mostre que a funcao f : R2zAÑ R definida por fpx, yq xy induz

uma funcao contınua f : XzppAq Ñ R tal que f f p.(b) Mostre que f e um homeomorfismo. Sugestao: use a funcao g : RÑ

R2 definida por gptq pt, 1q para construir f1.(c) Mostre que X e compacto. Sugestao: mostre que a restricao de p a

S1 R2 e sobrejectiva.(16) Seja X rπ2, π2s R e considere as relacoes de equivalencia obtidas

a partir das seguintes particoes de X:(i) As rectas x π2 e os graficos das funcoes y tanx c, com

c P R.(ii) As rectas x π2 e os graficos das funcoes y p1 cosxq c, com

c P R.Mostre que apenas um dos quocientes e Hausdorff.

12. Espacos localmente compactosDefinicao 12.1. Uma compactificacao dum espaco topologico X e umespaco compacto de Hausdorff Y tal que X Y e X Y .

Mais geralmente, por abuso de linguagem, dizemos que um espaco com-pacto de Hausdorff Y e uma compactificacao de X se existir um mergulhof : X Ñ Y tal que fpXq Y .

Exemplo 12.1. O intervalo r0, 1s e uma compactificacao de s0, 1r. O cırculoS1 e tambem uma compactificacao pois temos um mergulho f : s0, 1r Ñ S1

dado por fptq cosp2πtq, sinp2πtq.

Definicao 12.2. Dizemos que um espaco topologico X e localmente com-pacto se para qualquer ponto x P X existir um compacto K X tal quex P intK.

Teorema 12.1. Seja X um espaco de Hausdorff localmente compacto (masnao compacto). Entao existe uma compactificacao Y de X tal que o conjuntoY X tem apenas um ponto.

Demonstracao. Tomamos Y X Y t8u e dizemos que um conjunto A Ye aberto se A X for aberto em X ou Y A for compacto.

46

Chamamos a Y a compactificacao de Alexandrov (ou one point compac-tification) de X. Esta compactificacao e unica a menos de homeomorfismo(ver exercıcios).

Exemplo 12.2. S1 e a compactificacao de Alexandrov de s0, 1r.

Exercıcios

(1) Descreva o fecho N de N na recta acabada e mostre que N e homeomorfoa compactificacao de Alexandrof de N.

(2) Mostre que a compactificacao de Alexandrof de N e homeomorfa a 0, 1, 1

2 ,13 ,

14 , . . .

( R.

(3) Seja T a topologia em R gerada pelos intervalos da forma s8, nr, comn P Z.(a) Mostre que pR,T q e localmente compacto.(b) Mostre que o unico aberto com fecho compacto e o conjunto vazio.

(4) Mostre que a compactificacao de Alexandrof de Rn e homeomorfa a Sn

(com n P N).(5) Mostre que os seguintes espacos topologicos sao localmente compactos:

(a) Um espaco com a topologia discreta.(b) R com a topologia em que os abertos sao os conjuntos que contem o

zero, mais o conjunto vazio.(c) Um conjunto ordenado obedecendo ao axioma do supremo, com a

topologia da ordem.(d) R com a topologia em que os abertos sao os intervalos s8, ar, mais

o conjunto vazio e o R.(6) Mostre que se X e compacto de Haudforff, a unica compactificacao de X

e o proprio X.(7) Mostre que Q nao e localmente compacto. Sugestao: tome x R Q e use a

propriedade da interseccao finita com os intervalos da forma rxε, xεs.(8) Seja X localmente compacto e f : X Ñ Y uma funcao contınua.

(a) Mostre que se f e aberta entao fpXq e localmente compacto.(b) Mostre atraves dum exemplo que em geral fpXq pode nao ser local-

mente compacto. Sugestao: fpXq Q.(9) Mostre que a compactificacao de Alexandrof de

px, yq P R2 : xy 1(

R2 e homeomorfa a uniao de dois cırculos em R2 com um ponto emcomum.

(10) Mostre que um espaco de Hausdorff e localmente compacto sse qualquerponto tiver uma vizinhanca cujo fecho e compacto.

(11) Mostre que um espaco localmente compacto de Hausdorff e regular.(12) Mostre que num espaco localmente compacto de Hausdorff, para qualquer

vizinhanca U dum ponto a existe uma vizinhanca V de a tal que V ecompacto e V U .

(13) Seja X um espaco metrico.(a) Mostre que X e localmente compacto sse para qualquer x P X existir

um δ ¡ 0 tal que a bola fechada ty P X : dpx, yq ¤ δu e compacta.

47

(b) Mostre que o espaco `8 das sucessoes limitadas com a topologia dametrica nao e localmente compacto.

(c) Seja X um espaco vectorial com um produto interno, e seja teαuuma base ortonormada. Mostre que X e localmente compacto ssetiver dimensao finita. Sugestao: se eα eβ 1 e xeα, eβy 0

entao dpeα, eβq ?

2.(14) Seja Y uma compactificacao de X tal que X e aberto em Y . Mostre que

X e localmente compacto.(15) SejaX um espaco localmente compacto de Hausdorff. Quais das seguintes

afirmacoes sao verdadeiras (comparar com o exercıcio 24 na pagina 42)?(a) Se X tiver uma base contavel entao e metrizavel.(b) Se X for metrizavel entao tem uma base contavel.(c) Se X tiver uma base contavel entao a sua compactificacao de Ale-

xandrof Y e metrizavel.(d) Se Y for metrizavel entao X tem uma base contavel.Sugestao: topologia discreta.

(16) Dizemos que uma funcao contınua f : X Ñ Y e propria se para qualquercompacto K Y , f1pKq for tambem compacto.(a) Sejam X, Y espacos localmente compactos de Hausdorff. Mostre

que uma funcao f : X Ñ Y e propria sse o prolongamento f : X Yt8Xu Ñ Y Y t8Y u as compactificacoes de Alexandrov definido por

fp8Xq 8Y for uma funcao contınua.(b) Mostre que uma funcao propria e bijectiva entre espacos localmente

compactos de Hausdorff e um homeomorfismo.(c) Mostre que um homeomorfismo f : X Ñ Y entre espacos localmente

compactos de Hausdorff pode ser prolongado as compactificacoes deAlexandrof.

(17) Mostre que um espaco topologico X possui uma compactificacao sse Xfor completamente regular. Sugestao: seja J o conjunto das funcoescontınuas de X para r0, 1s; use o Lema do mergulho.

(18) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff. Mostre que qual-quer subespaco de X que seja aberto ou fechado e tambem localmentecompacto de Hausdorff.

(19) Um espaco topologico X diz-se compactamente gerado se a seguintecondicao se verificar: um conjunto U X e aberto sse para qualquercompacto K X, K XA for compacto.(a) Mostre que um espaco localmente compacto e compactamente ge-

rado.(b) Mostre que um espaco que satisfaca o primeiro axioma de numera-

bilidade e compactamente gerado.(c) Mostre que, se X e compactamente gerado, uma funcao f : X Ñ Y

e contınua sse para qualquer compacto K X, f |K for contınua.(20) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, dado

um compacto K X e um aberto A K, existe uma funcao contınua

48

f : X Ñ R tal que fpxq 1 para qualquer x P K e tx P X : fpxq 0u A.

(21) Um espaco X diz-se Lindelof se qualquer cobertura aberta de X tiveruma subcobertura contavel. Mostre que um espaco localmente compactode Hausdorff X e Lindelof se e so se existir uma sucessao de compactospKnq tais que X

Kn e Kn Kn1 para qualquer n P N.(22) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, dado

um fechado F e um compacto K tal que F X K H existem abertosdisjuntos U e V tais que F U e K V .

(23) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, dadoum fechado F e um compacto K tal que F XK H existe uma funcaocontınua f : X Ñ r0, 1stal que f |F 0 e f |K 1.

(24) Seja tXαu uma coleccao de espacos topologicos nao vazios. Mostre que±Xα e localmente compacto sse cada Xα for tambem localmente com-

pacto e Xα for compacto excepto para um numero finito de ındices α.(25) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff e seja C0pXq o

conjunto das funcoes f : X Ñ R tais que, para qualquer ε ¡ 0, existe umcompacto K X tal que |fpxq| ε para x R K (dizemos que f temlimite zero no infinito).(a) Mostre que existe o prolongamento por continuidade de f a compac-

tificacao de Alexandroff de X.(b) Mostre que, dado um compacto K existe um aberto A tal que K A

e A e compacto.(c) Considere a topologia em C0pXq gerada por Bpf, εq

g P C0pXq :

sup |fpxq gpxq| ε(. Mostre que o conjunto CcpXq das funcoes f

que se anulam fora dum compacto e denso em C0pXq.(26) Munkres, pag. 199, 7c.

13. VariedadesDefinicao 13.1. Chamamos variedade de dimensao n a um espaco de Haus-dorff com uma base contavel em que cada ponto tem uma vizinhanca home-omorfa a Rn.

Qualquer bola aberta e homeomorfa a Rn: e facil de ver que qualquerbola e homeomorfa a bola Bp0, 1q e a funcao f : Bp0, 1q Ñ Rn dada porfpxq xp1 xq e um homeomorfismo entre Bp1, 0q e Rn com inversaf1pyq yp1 yq.Exemplo 13.1. Qualquer aberto U Rn e uma variedade de dimensao n.

Exemplo 13.2. A esfera Sn e o espaco projectivo Pn sao variedades de di-mensao n.

Exemplo 13.3. O produto de duas variedades e uma variedade. Por exemplo,o toro S1 S1 e uma variedade de dimensao 2.

Podemos construir novas variedades usando a chamada soma conexa:

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Definicao 13.2. Sejam X e Y variedades de dimensao n, e sejam φ : Rn ÑX e ψ : Rn Ñ Y mergulhos com imagem aberta. Seja Bn Rn a bolaaberta de raio um centrada na origem e seja Sn1 Rn a esfera de raio um.Chamamos soma conexa de X e Y ao quociente

X#Y X φpBnq²

Y ψpBnq ,

em que e a relacao de equivalencia que para cada t P Sn1 identifica ospontos φptq ψptq.Exemplo 13.4. Para qualquer variedadeX de dimensao n temosX#Sn X.

Teorema 13.1. Qualquer variedade compacta X pode ser mergulhada emRN , para N suficientemente grande.

Demonstracao. Para cada x P X tomamos uma vizinhanca Ux homeomorfaa Rn; seja gx : Ux Ñ Rn um homeomorfismo. Como X e normal podemostomar Vx,Wx P Vx tais que W x Vx e V x Ux. Seja Wx1, . . . ,Wxk umasubcobertura de X. Pelo lema de Urysohn existem funcoes φi : X Ñ r0, 1stais que φi 1 em W i e φi 0 em X Vi. Seja hi : X Ñ Rn a funcaodefinida por

hipxq #φipxqgipxq x P V i

0 x P X Vi

Entao a funcao f pf1, . . . , fk, λ1, . . . , λkq : X Ñ Rnkk e contınua e bijec-tiva. Como X e compacto e Rnkk e Hausdorff, a funcao f e um mergu-lho.

Chamamos suporte duma funcao f : X Ñ R ao conjunto supp f tx P X : fpxq 0u.As funcoes φi acima tem a propriedade que suppφi Ui e

°φipxq ¡ 0

para qualquer x P X. Se definirmos ψi φip°φiq entao suppψi Ui e°

ψi 1.

Definicao 13.3. Seja tU1, . . . , Unu uma cobertura aberta de X. Umaparticao da unidade subordinada a cobertura e uma coleccao de funcoesφ1, . . . , φn : X Ñ R tais que:

(1) suppφi Ui.(2) Para qualquer x P X,

°ni1φipxq 1.

Exercıcios

(1) Seja X e uma variedade de dimensao n. Mostre que qualquer vizinhancadum ponto x P X contem uma vizinhanca de x homeomorfa a Rn.

(2) Mostre que um ponto x P X tem uma vizinhanca homeomorfa a Rn ssex tiver uma vizinhanca homeomorfa a um aberto em Rn.

(3) Mostre que um subespaco aberto duma variedade e tambem uma varie-dade com a mesma dimensao.

(4) Mostre que qualquer variedade e localmente compacta.

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(5) Mostre que, se X e uma variedade de dimensao n, e Y e uma variedadede dimensao m, entao X Y e uma variedade de dimensao nm.

(6) Mostre que o grafico duma funcao contınua f : Rk Ñ Rn e uma variedadede dimensao k.

(7) Mostre que a esfera Sn tx P Rn1 : x 1u e uma variedade de di-

mensao n. Sugestao: considere as funcoesbx 2

0 x 2k1 x 2

k1 x 2n .

(8) Mostre que o plano projectivo Pn e uma variedade de dimensao n.(9) Mostre que qualquer variedade e metrizavel.

(10) Um espaco diz-se localmente n-euclideano se qualquer ponto tiver umavizinhanca homeomorfa a Rn. SejaX um espaco localmente n-euclideano.(a) Mostre que X e localmente compacto.(b) Mostre que, se X for compacto de Hausdorff, entao X e uma varie-

dade.(c) Seja Y um espaco nao contavel com a topologia discreta. Mostre

que X Y e localmente n-euclideano mas nao e uma variedade.(d) Mostre que X e Hausdorff sse for completamente regular.(e) Seja X o quociente de R t1, 1u pela relacao de equivalencia que

identifica, para x 0, os pontos px, 1q px,1q. Mostre que X elocalmente 1-euclideano e tem uma base contavel, mas nao e umavariedade.

(f) Mostre que o produto SΩ s0, 1s e localmente 1-euclideano e Haus-dorff, mas nao e uma variedade.

(11) Sejam X e Y variedades de dimensao n. Dados mergulhos φ : Rn Ñ X eψ : Rn Ñ Y considere a soma conexa X#Y .(a) Mostre que, se X Y Rn e φ e ψ forem a identidade entao X#Y

e homeomorfo a Sn1 R.(b) Mostre que X#Y e uma variedade de dimensao n.

(12) Mostre que num espaco normal, qualquer cobertura finita tem uma particaoda unidade a ela subordinada.

14. Espacos metricos completosUm espaco metrico e um par pX, dq em que d e uma distancia no conjuntoX. Recorde que, na topologia da metrica:

(1) Uma sucessao pxnqnPN num espaco metrico X converge para umponto a P X sse dpxn, aq convergir para zero.

(2) Uma funcao f : X Ñ Y entre espacos metricos X e Y e contınuanum ponto a P X sse para qualquer ε ¡ 0 existir um δ ¡ 0 tal que,se dXpx, aq δ, entao dY

fpxq, fpaq ε.

Definicao 14.1. Dado um espaco metrico X e um conjunto A X, cha-mamos diametro de A a diamA sup

dpx, yq : x, y P A(. Dizemos que A

e limitado se diamA 8. Dizemos que uma funcao e limitada se o seucontradomınio for um conjunto limitado.

51

Definicao 14.2. Uma sucessao pxnq num espaco metrico X diz-se umasucessao de Cauchy se para qualquer ε ¡ 0 existir um p P N tal que, paraquaisquer n,m ¡ p, temos dpxn, xmq ε.

Teorema 14.1. Qualquer sucessao convergente e de Cauchy, e qualquersucessao de Cauchy e limitada.

Mas nem todas as sucessoes de Cauchy sao convergentes:

Exemplo 14.1. Uma sucessao em Q com limite irracional e de Cauchy em R,pois e convergente, logo e de Cauchy em Q, mas nao e convergente em Q.

Definicao 14.3. Dizemos que um espaco metrico X e completo se todas assucessoes de Cauchy convergirem.

Teorema 14.2. Seja X um espaco metrico completo. Entao um subespacoY X e completo sse Y for fechado em X.

Teorema 14.3. Um subespaco dum espaco metrico completo e completo ssefor fechado.

Teorema 14.4. Para qualquer espaco metrico X existe um espaco metricocompleto Y tal que X Y e X Y . Chamamos a Y o completado de X.Y e unico a menos de isometria.

Teorema 14.5. Um espaco metrico X e completo sse para qualquer sucessaode conjuntos fechados encaixados F1 F2 F3 tais que diamFk Ñ 0,se tiver

k Fk H.

Demonstracao. Se X e completo, para cada k P N tomamos um pontoxk P Fk. A sucessao pxkq e de Cauchy, logo converge, e limxk P

Fk. Re-

ciprocamente, dada uma sucessao de Cauchy pxkq, seja Fk txk, xk1, . . .u.Entao diamFk Ñ 0 e tomando x P Fk temos limxk x.

Como corolario imediato temos:

Teorema 14.6. Rk e um espaco metrico completo.

Demonstracao. Dada uma sucessao de conjuntos fechados encaixados tFkutais que diamFk Ñ 0, tomamos um fechado Fn com diametro finito. EntaoFn e compacto e a coleccao tFn, Fn1, . . .u tem a PIF, logo

Fk H.

Definicao 14.4. Sejam X, Y espacos metricos. Dizemos que uma funcaof : X Ñ Y e contractante se existir uma constante c P s0, 1r tal que, paraqualquer x, y P X, d

fpxq, fpyq ¤ cdpx, yq.

Teorema 14.7 (Ponto fixo). Seja X um espaco metrico completo, f : X ÑX uma funcao contractante. Entao existe um unico x P X tal que fpxq x.

Demonstracao. A unicidade do ponto fixo sai de imediato de dfpxq, fpyq ¤

cdpx, yq. Para provar existencia definimos uma sucessao por recorrencia

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tomando um qualquer x0 P X e definindo xn1 fpxnq. Entao

dpxn1, xnq dfpxnq, fpxn1q

¤ cdpxn, xn1q¤ c2dpxn1, xn2q ¤ ¤ cndpx1, x0q

logo, para qualquer m ¡ n temos

dpxn, xmq ¤ dpxn, xn1q dpxm1, xmq

¤ cn cm1 ¤8

kn

ck cn

1 c.

Como cnp1 cq Ñ 0, segue facilmente que pxnq e Cauchy (ver exercıcios).Seja x limxn. Entao x limxn1 lim fpxnq fpxq.

Definicao 14.5. Dizemos que um espaco topologico X e um espaco de Bairese a uniao contavel de fechados de interior vazio tiver interior vazio.

Passando ao complementar vemos que um espaco X e de Baire sse ainterseccao contavel de abertos densos for densa.

Teorema 14.8 (Baire). Qualquer espaco metrico completo X e um espacode Baire.

Demonstracao. Seja pAnq uma sucessao de abertos densos. Dado um abertoU , vamos mostrar que U X

An H. Como A0 e denso, A0 X U H.

Entao regularidade implica que podemos tomar um aberto U1 tal que U1 A1 X U e diamU1 1. Prosseguimos recursivamente tomando Un1 comdiametro inferior a 1pn1q e tal que Un1 UnXAn. Entao UX

An

Un H o que completa a demonstracao.

Exercıcios

(1) Mostre que o diametro duma bola de raio r e menor ou igual a 2r.(2) Mostre que se diamA δ e x P A entao A Bpx, δq.(3) Considere as seguintes sucessoes em R. Usando a definicao de sucessao

de Cauchy, mostre que:(a) A sucessao xn n nao e uma sucessao de Cauchy.(b) A sucessao xn 1 e uma sucessao de Cauchy.(c) A sucessao xn p1qn nao e uma sucessao de Cauchy.(d) A sucessao xn 1n e uma sucessao de Cauchy. Sugestao: para

n ¡ k temos |xn xk| xk.(4) Calcule diamtxn, xn1, . . . u para xn 1n, xn p1qn e xn p1qnn.(5) De exemplos de conjuntos Fk R com F1 F2 F3 tais que:

(a) diamFk Ñ 0 eFk H.

(b) Os conjuntos Fk sao fechados eFk H.

(c) Os conjuntos Fk nao sao fechados, diamFk Ñ 0 eFk tem exacta-

mente um elemento.(6) Seja pxnq uma sucessao num espaco metrico tal que dpxn, xkq ¥ 1 para

quaisquer k n. Mostre que pxnq nao e uma sucessao de Cauchy.

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(7) Justifique que Q nao e completo e determine o seu completado.(8) Mostre que Z e um espaco metrico completo. Note que Z e a uniao

contavel de conjuntos com um so elemento. Porque e que isto nao con-tradiz o Teorema de Baire?

(9) Mostre que a uniao finita de conjuntos limitados e um conjunto limitado.(10) Indique justificando quais das seguintes sucessoes sao sucessoes de Cauchy

e quais sao convergentes nos espacos indicados:(a) xn n em s0,8r.(b) xn 1n em s0,8r.(c) xn 1n em Q.

(11) Seja X s0, 1s R.(a) Mostre que a sucessao xn 1n emX e de Cauchy mas nao converge,

e portanto X nao e completo.(b) Mostre que a funcao fpxq 1x restrita a X e um homeomorfismo

entre X e um subespaco completo de R.(c) Mostre que a sucessao fp1nq nao e de Cauchy.

(12) Seja X um espaco metrico completo, A X. Mostre que o completadode A e A.

(13) Seja pxnq uma sucessao tal que, para qualquer m ¡ n, dpxn, xmq ¤ yn, emque yn e uma sucessao em R com limite zero. Mostre que pxnq e Cauchy.

(14) Seja X um espaco metrico. Dado um ponto x P X e um subconjuntoA X, definimos dpx,Aq inftdpx, yq : y P Au.(a) Mostre que dpx,Aq 0 ô x P A.(b) Fixemos agora A X. Mostre que a funcao dpx,Aq e contınua.

(15) Seja X um espaco metrico, e seja pxnq uma sucessao convergindo paraum ponto a P X. Mostre que para qualquer ε ¡ 0 existe um n P N talque Bpxn, 1nq Bpa, εq.

(16) Prove o Teorema 14.1:(a) Mostre que uma sucessao convergente e de Cauchy.(b) Mostre que uma sucessao de Cauchy e limitada.

(17) Seja X um espaco metrico.(a) Mostre que se X for compacto entao X e completo.(b) Mostre que se existir um ε ¡ 0 tal que todas as bolas de raio ε tem

fecho compacto, entao X e completo.(c) De um exemplo dum espaco metrico localmente compacto que nao

seja completo.(18) Dizemos que uma funcao d : X X Ñ r0,8r e uma pseudo-metrica

se para quaisquer x, y, z P X se tiver dpx, xq 0, dpx, yq dpy, xq edpx, yq dpy, zq ¥ dpx, zq.(a) Mostre que a relacao x y sse dpx, yq 0 e uma relacao de equi-

valencia em X.(b) Mostre que d induz uma funcao d : X X Ñ r0,8r.(c) Mostre que d e uma metrica em X.

(19) Seja Z um espaco merico e seja A Z um subconjunto denso tal quequalquer sucessao de Cauchy em A converge em Z. Mostre que Z e

54

completo. Sugestao: dada uma sucessao de Cauchy pznq em Z, para cadan P N tome an P A tal que dpan, znq 1n.

(20) Seja X um espaco metrico. Vamos mostrar a existencia do completadode X.(a) Sejam pxnq, pynq sucessoes de Cauchy em X. Mostre que existe em

R o limite lim dpxn, ynq.(b) Seja Y o conjunto das sucessoes de Cauchy em X e dadas sucessoes

pxnq, pynq P Y seja Dpxnq, pynq lim dpxn, ynq. Mostre que D e

uma pseudo-metrica em Y .(c) Seja Y o quociente obtido identificando os pontos com distancia

zero entre si (exercıcio 18). Seja h : X Ñ Y a funcao que leva umponto x P X na classe de equivalancia da sucessao constante igual ax. Mostre que h e uma isomoetria (e portanto e um mergulho).

(d) Dada uma sucessao de Cauchy x pxnq P Y , mostre que limhpxnq x P Y (em particular, hpXq e denso em Y ). Sugestao:

Dhpxnq,x

limkÑ8

dpxn, xkq.(e) Mostre que Y e completo. Sugestao: exercıcio 19.

(21) Seja R o conjunto das funcoes f : r1, 1s Ñ R integraveis a Riemanne seja C R o subconjunto das funcoes contınuas. Dados f, g P Rdefinimos

dpf, gq » 1

1

fpxq gpxqConsidere a sucessao de funcoes pfnq em C definida por

fnpxq

$'&'%1 se 1 ¤ x ¤ 1nnx se 1n ¤ x ¤ 1n1 se 1n ¤ x ¤ 1

(a) Mostre que d e apenas uma pseudo-metrica (exercıcio 18), mas arestricao de d a C e uma distancia.

(b) Confirme que para cada n P N a funcao fn e contınua.(c) Mostre que, para cada x P R, a sucessao

fnpxq

converge. Note que

a funcao fpxq lim fnpxq nao e contınua.(d) Mostre que lim dpfn, fq 0.(e) Seja p : R Ñ R o quociente pela relacao f g ô dpf, gq 0 , e

considere a metrica induzida em R (exercıcio 18). Mostre que arestricao de p a C e uma isometria.

(f) Mostre que C nao e completo com a distancia d.(22) Mostre que, se f : X Ñ Y e contractante, entao para qualquer conjunto

A X temos diam fpAq ¤ cdiamA.(23) Mostre o Teorema 14.5:

(a) Mostre que uma sucessao pxnq e de Cauchy sse limk diamtxk, xk1, xk2, . . .u 0.

(b) Mostre que diamA diamA.

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(c) Mostre que, se qualquer sucessao de fechados encaixados com diametroa tender para zero tiver interseccao nao vazia, entao o espaco e com-pleto.

(d) Mostre o recıproco da alınea anterior. Sugestao: tome um ponto emcada fechado e mostre que a sucessao assim obtida e de Cauchy.

(24) Mostre que Q nao e topologicamente completo, ou seja, que nao existenenhuma metrica em Q para a qual Q seja completo. Sugestao: Teoremade Baire.

(25) Seja f : RÑ R uma funcao diferenciavel e seja k supx |f 1pxq|.(a) Mostre que se k 1 entao f e contractante (e portanto tem um

ponto fixo).(b) Mostre que se k ¡ 1 entao f nao e contractante. Sugestao: use a

definicao de derivada.(c) O que acontece se k 1?

(26) Mostre que um espaco topologico X e de Baire sse a interseccao contavelde abertos densos for densa.

(27) Mostre que se um espaco metrico completo X for contavel, tem que conterpontos isolados.

(28) Mostre que um espaco compacto de Hausdorff e um espaco de Baire.(29) Seja tfnunPN uma famılia de funcoes contınuas fn : RÑ R tais que, para

qualquer n P N e qualquer intervalo aberto nao vazio sa, br, existe umx P sa, br tal que fnpxq ¡ 0. Mostre que para qualquer intervalo abertonao vazio sa, br existe um x P sa, br tal que, para qualquer n P N, temosfnpxq ¡ 0.

(30) Seja f : R Ñ R uma funcao contınua tal que para qualquer a P r12 , 1s

limnÑ8

fpnaq 0. Mostre que limxÑ8

fpxq 0. Sugestao: aplique o Teo-

rema de Baire aos conjuntos

AN,ε "a P r1

2 , 1s : @n¥N

fpanq ¤ ε

*.

(31) Um espaco metrizavel X diz-se topologicamente completo se existir umametrica para o qual X e completo, ou seja, se X for homeomorfo a umespaco metrico completo.(a) Mostre que s0, 1r e t1, 1

2 ,13 , . . .u R sao topologicamente completos.

(b) Mostre que um subespaco fechado dum espaco topologicamente com-pleto e topologicamente completo.

(c) Mostre que o produto contavel de espacos topologicamente comple-tos e topologicamente completo (na topologia produto). Sugestao:use a metrica do exercıcio 11 na pagina 36; dada uma sucessao deCauchy, comece por mostrar que as sucessoes das coordenadas con-vergem.

(d) Mostre que um subespaco aberto Y dum espaco topologicamentecompleto X e topologicamente completo. Sugestao: considere o mer-gulho f : Y Ñ X R definido por fpxq

x, 1dpx,X Y q.

56

(e) Seja tUnu e uma coleccao contavel de abertos num espaco topolo-gicamente completo X. Mostre que Y

n Un e topologicamentecompleto. Sugestao: Considere o mergulho diagonal f : Y Ñ ±

Undefinido por fpxq px, x, . . . q.

(f) Mostre que RQ e topologicamente completo.(32) Pag. 270, exercıcio 10.(33) Pag. 298, exercıcios 1 a 4, 7 a 10 (Baire).

15. Compacidade em espacos metricosDizemos que uma sucessao pykq e uma subsucessao duma sucessao pxnq separa todo o k P N se tiver yk xnk , em que pnkq e uma sucessao estritamentecrescente de numeros naturais.

Definicao 15.1. Seja X um espaco topologico. Dizemos que:

(1) X tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass se qualquer subcon-junto infinito de X tiver um ponto limite.

(2) X e sequencialmente compacto se qualquer sucessao em X tiver umasubsucessao convergente.

Definicao 15.2. Dizemos que um espaco metrico X e totalmente limitadose para qualquer δ ¡ 0 pudermos escrever X como uma uniao finita deconjuntos de diametro inferior a δ.

Note que:

(1) Um espaco X e totalmente limitado sse para qualquer δ ¡ 0 puder-mos escrever X como uma uniao finita de bolas de raio δ.

(2) Um espaco totalmente limitado e limitado, pois e a uniao finita deconjuntos limitados, mas o recıproco nao e em geral verdade.

Teorema 15.1. Num espaco metrico X sao equivalentes:

(1) X e compacto.(2) X tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass.(3) X e sequencialmente compacto.(4) X e completo e totalmente limitado.

Demonstracao.

1 ñ 2: Seja A X um conjunto infinito sem pontos limite. EntaoA e fechado e para cada x P A podemos tomar uma vizinhanca Uxtal que Ux X A txu. A cobertura tUxuxPA Y tX Au nao temsubcoberturas finitas.

2 ñ 3: Seja X um espaco com a propriedade de Bolzano-Weierstrass.Seja pxnq uma sucessao e seja A txn : n P Nu o conjunto dostermos da sucessao. Se A e finito entao pxnq tem pelo menos umasubsucessao constante. Se A e infinito entao tem um ponto limite x.Vamos construir por recorrencia uma subsucessao pxnkq com limite x.Escolhemos n1 de modo a xn1 P Bpx, 1qX

Atxu. Assumindo que

57

ja escolhemos pontos xn1 , . . . , xnk1, seja F tx1, x2, . . . , xnk1

u txu; entao F e fechado. Seja U Bpx, 1kq F ; entao U e umavizinhanca de x logo podemos escolher um ponto xnk P UXpAtxuq;por definicao de U temos nk ¡ nk1. Como, para qualquer k P N,temos xnk P Bpx, 1kq, necessariamente xnk Ñ x.

3 ñ 4: Como X e sequencialmente compacto, qualquer sucessao deCauchy pxnqn tem uma subsucessao pxnkqk covergente. Entao limk dpxk, xnkq 0 (exercıcio) e da desigualdade

dpxk, xq ¤ dpxk, xnkq dpxnk , xqsegue de imediato que dpxk, xq Ñ 0 logo xk Ñ x. Assim, X ecompleto.

Se X nao e totalmente limitado, existe um δ ¡ 0 tal que X naopode ser coberto por um numero finito de bolas de raio δ. Cons-truimos entao recursivamente uma sucessao pxnq sem subsucessoesconvergentes. Comecamos por tomar um qualquer x1 P X. As-sumindo escolhidos x1, . . . , xn, tomamos entao xn1 R Bpx1, δq Y YBpxn, δq. A sucessao pxnq tem a propriedade que dpxi, xjq ¥ δpara quaisquer i j, pelo que nao pode ter nenhuma subsucessaoconvergente.

4 ñ 1: Provamos por absurdo. Seja X um espaco completo e total-mente limitado e seja U uma cobertura aberta de X sem subco-berturas finitas. Dizemos que um subconjunto A X e pequenose puder ser coberto por um numero finito de abertos de U ; casocontrario dizemos que A e grande. Comecamos por escrever X comouma uniao finita de conjuntos de diametro inferior a um. Pelo me-nos um desses conjuntos tem de ser grande, caso contrario X seriapequeno. Seja X1 esse conjunto. Escrevemos agora X1 como umauniao finita de conjuntos de diametro inferior a 1

2 e repetimos o ra-ciocınio. Obtemos assim uma sucessao pXnq de subconjuntos de Xtais que:

(i) Cada Xn e grande.(ii) X1 X2 X3 .(iii) diamXn 1n.Como X e completo e diamXn diamXn, existe um ponto x PXn H. Tomando um aberto U P U tal que x P U , tem que

existir um n P N tal que Xn U , contradizendo o facto de Xn sergrande, o que completa a demonstracao.

Definicao 15.3. Dizemos que um numero real δ ¡ 0 e numero de Lebesgueduma cobertura aberta U se qualquer conjunto de diametro inferior a δestiver contida num dos abertos de U .

Teorema 15.2. Seja X um espaco metrico compacto. Entao qualquer co-bertura aberta U de X tem numero de Lebesgue.

58

Demonstracao. Comecamos por tomar uma subcobertura finita tUiu de U .Seja rpxq maxi dpx,X Uiq. Para qualquer x P X existe um Ui P Utal que x P Ui logo rpxq ¡ 0. A funcao r e contınua (exercıcio) logo, peloTeorema de Weierstrass, possui um mınimo δ ¡ 0 que e numero de Lebesgueda cobertura.

Exercıcios

(1) Prove directamente a partir da definicao que um intervalo limitado em Re totalmente limitado.

(2) Mostre que o conjunto dos termos duma sucessao convergente e total-mente limitado.

(3) Mostre que um espaco metrico X e totalmente limitado sse para qualquerδ ¡ 0 o espaco X for a uniao dum numero finito de bolas de raio δ.

(4) Determine um numero de Lebesgue da cobertura do intervalo r0, 1s pelosintervalos da forma

14 i 1

3 ,14 i 1

3

com i 0, . . . , 4.

(5) Mostre que em qualquer espaco topologico X, compacidade e compaci-dade sequencial ambas implicam a propriedade de Bolzano-Weierstrass.

(6) Seja X um espaco metrico. Mostre que um conjunto A X e totalmentelimitado sse A for totalmente limitado.

(7) Mostre que um subespaco dum espaco totalmente limitado e tambemtotalmente limitado.

(8) Considere a topologia T em R cujos abertos sao o vazio mais os conjuntosU R tais que 0, 1 P U . Mostre que pR,T q tem a propriedade deBolzano-Weierstrass mas nao e compacto nem sequencialmente compacto.

(9) Considere a topologia T em R gerada pelos intervalos s8, ar com a P R.Mostre que pR,T q tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass mas nao ecompacto nem sequencialmente compacto.

(10) Seja X R t0, 1u em que R tem a topologia discreta e t0, 1u tema topologia indiscreta. Mostre que X tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass mas nao e compacto nem sequencialmente compacto.

(11) Mostre que r0, 1sN com a metrica uniforme e limitado mas nao totalmentelimitado.

(12) Mostre que um subespaco de Rn e limitado sse for totalmente limitado.(13) Mostre que um espaco T1 com o primeiro axioma de numerabilidade e se-

quencialmente compacto sse tiver a propriedade de Bolzano-Weierstrass.(14) Mostre, sem usar o Teorema 15.1, que:

(a) Um espaco metrico compacto e totalmente limitado.(b) Um espaco totalmente limitado satisfazendo o Lema do numero de

Lebesgue e compacto.(c) Um espaco compacto e completo. Sugestao: Propriedade da inter-

seccao finita.(d) Num espaco metrico sequencialmente compacto qualquer cobertura

tem numero de Lebesgue. Sugestao: prove por contradicao.

59

(15) Mostre que qualquer espaco topologico sequencialmente compacto obe-dece ao Teorema de Weierstrass.

(16) Dizemos que um espaco X e contavelmente compacto se qualquer cober-tura numeravel de X tiver uma subcobertura finita.(a) Mostre que um espaco contavelmente compacto tem a propriedade

de Bolzano-Weierstrass.(b) Mostre que um espaco sequencialmente compacto e contavelmete

compacto. Sugestao: dada uma cobertura numeravel tUnu sem sub-coberturas finitas, para cada n P N tome xn R U1 Y . . . Un.

(c) Seja X um espaco T1. Mostre que X e contavelmente compacto sseX tiver a propriedade de Bolzano-Weierstrass. Sugestao: adapte ademonstracao da alınea anterior.

(d) Seja X um espaco T1 com uma base contavel. Mostre que X e com-pacto sse X for contavelmente compacto, sse X tiver a propriedadede Bolzano-Weierstrass, sse X for sequencialmente compacto.

(e) Mostre que X e contavelmente compacto sse qualquer sucessao defechados encaixados C1 C2 nao vazios tiver interseccao naovazia.

(17) Mostre que SΩ e sequencialmente compacto mas nao e compacto.(18) Seja X o espaco das funcoes f : R Ñ t0, 1, . . . , 9u. Mostre que, na to-

pologia produto, X e compacto mas nao e sequencialmente compacto.Sugestao: seja fn : RÑ t0, . . . , 9u a funcao tal que fnpxq e a casa decimaln da expansao decimal de x.

(19) Seja X um espaco topologico, f : r0, 1s Ñ X uma funcao contınua, e Uuma cobertura de X. Mostre que existe uma particao 0 t0 t1 tn 1 do intervalo r0, 1s e abertos U1, . . . , Un P U tal que a imagem porf de cada intervalo rti1, tis esta contida em Ui.

(20) Seja pxnq uma sucessao num espaco metrico completo tal que o conjuntodos termos da sucessao txn : n P Nu e totalmente limitado. Mostre quepxnq tem uma subsucessao convergente.

(21) Mostre que a funcao r na demonstracao do Teorema 15.2 e contınua:(a) Mostrando que a funcao dpx,Aq e contınua para qualquer conjunto

A e usando o exercıcio 9 na pagina 24.(b) Mostrando que, se dpx, yq rpxq entao rpxq dpx, yq ¤ rpyq.

(22) Seja X um espaco com a propriedade de Bolzano-Weierstrass. Verdadeiroou falso:(a) Se f : X Ñ Y e contınua entao fpXq tem a propriedade de Bolzano-

Weierstrass.(b) Se f : X Ñ Y e contınua e injectiva entao fpXq tem a propriedade

de Bolzano-Weierstrass.(c) SeA X e fechado entaoA tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass.(d) Se Z e Hausdorff e X Z entao X e fechado em Z.(e) Se Z e Hausdorff e tem o primeiro axioma de numerabilidade, e

X Z, entao X e fechado em Z.

60

16. Funcoes uniformemente contınuasDefinicao 16.1. Sejam X, Y espacos metricos. Dizemos que uma funcaof : X Ñ Y e uniformemente contınua se, para qualquer ε ¡ 0, existir umδ ¡ 0 tal que, para quaisquer x, y P X, se dpx, yq δ entao dpfpxq, fpyqq ε.

Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e de Lipschitz se existir uma cons-tante K P R tal que dpfpxq, fpyqq ¤ Kdpx, yq para quaisquer x, y P X. Umcriterio util para uma funcao ser uniformemente contınua e o seguinte:

Teorema 16.1. Uma funcao de Lipschitz e uniformemente contınua.

Demonstracao. Exercıcio.

Teorema 16.2. Uma funcao uniformemente contınua preserva sucessoesde Cauchy.

Demonstracao. Seja pxnq uma sucessao de Cauchy em X e seja f : X Ñ Yuma funcao uniformemente contınua. Queremos mostrar que fpxnq e Cau-chy. Dado um ε ¡ 0, existe um δ ¡ 0 tal que dpx, yq δ ñ d

fpxq, fpyq

ε. Como pxnq e Cauchy, existe um p P N tal que n,m ¡ pñ dpxn, xmq δdonde se conclui que d

fpxnq, fpxmq

ε. Assim,fpxnq

e Cauchy.

Definicao 16.2. Um homeomorfismo uniforme e um homeomorfismo f : X ÑY tal que f e f1 sao ambas uniformemente contınuas. Chamamos propri-edades uniformes as propriedades preservadas por homeomorfismos unifor-mes.

Exemplo 16.1. A nocao de espaco metrico completo nao e uma nocao to-pologica: o espaco R e homeomorfo a s0, 1r, mas R e completo e s0, 1r naoe. Trata-se no entanto duma propriedade uniforme.

Teorema 16.3. Seja X um espaco compacto. Entao qualquer funcao f : X ÑY contınua e uniformemente contınua.

Demonstracao. Seja ε ¡ 0. Entao, para qualquer a P X existe um δa talque d

fpxq, fpaq ε2 para x P Bpa, δaq. Seja δ um numero de Lebesgue

da cobertura Bpa, δa2q

(aPX

. Entao, se dpx, yq δ temos x, y P Bpa, δaqpara algum a P X, donde segue que

dfpxq, fpyq ¤ d

fpxq, fpaq d

fpaq, fpyq ε2 ε2 ε .

Teorema 16.4. Dados espacos metricos X, Y com Y completo, e umafuncao uniformemente contınua f : A X Ñ Y , existe uma unica funcaouniformemente contınua f : AÑ Y tal que f |A f .

Demonstracao. Para cada x P A fixamos uma sucessao pxnq em A comlimxn x. Como f e uniformemente contınua, fpxnq e Cauchy. Definimos

fpxq lim fpxnq. A continuidade de f mostra que fpxq fpxq para x P A.

Vamos mostrar que f e uniformemente contınua. Seja ε ¡ 0. Como f euniformemente contınua, existe um δ1 ¡ 0 tal que, para quaisquer x, y P A

61

temos dpx, yq δ1 ñ dfpxq, fpyq ε3. Seja δ δ13. Dados x, y P A

com dpx, yq δ, seja n P N tal que

dpxn, xq δ, dpyn, yq δ, dfpxnq, fpxq

ε3, dfpynq, fpyq

ε3 ,em que pxnq e pynq sao as sucessoes usadas na definicao de f . Entao, peladesigualdade triangular, dpxn, ynq 3δ δ1, logo d

fpxn, fpynq

ε3.

Usando de novo a desigualdade triangular, obtemos dfpxq, fpyq ε.

Provamos assim que f e uniformemente contınua. Para mostrar unicidade doprolongamento, note que dado qualquer prolongamento contınuo g : AÑ Ytemos gpxq lim gpxnq lim fpxnq fpxq.

Exercıcios

(1) Mostre que uma isometria e uniformemente contınua.(2) Mostre que a funcao fpxq x2 nao e uniformemente contınua. Sugestao:

para x ¡ y ¡ 0, temos |x2 y2| ¡ 2y|x y|.(3) Mostre que a funcao fpxq 1x nao e uniformemente contınua.(4) Mostre que a funcao fpxq sinp1xq nao e uniformemente contınua.

Sugestao: seja xn p12π 2nπq1 e seja yn p1

2π 2nπq1; calculexn yn e fpxnq fpynq.

(5) Mostre que a composicao de funcoes uniformemente contınuas e unifor-memente contınua.

(6) Recorde que uma funcao f e Lipschitz se existir uma constante K P Rtal que dpfpxq, fpyqq ¤ Kdpx, yq.(a) Mostre que uma funcao de Lipschitz e uniformemente contınua.(b) Seja C

r0, 1s,R o espaco das funcoes contınuas f : r0, 1s Ñ R com

a metrica uniforme. Mostre que a funcao Int : Cr0, 1s,R Ñ R

definida por Intpfq ³10 f e uma funcao uniformemente contınua.

(c) Seja f : D RÑ R uma funcao diferenciavel com derivada limitada.Entao f e uniformemente contınua. Sugestao: Teorema de Lagrange.

(d) Seja f : R Ñ R uma funcao diferenciavel tal que limxÑ8

f 1pxq 8.Mostre que f nao e uniformemente contınua.

(e) De um exemplo duma funcao f : r0, 1s Ñ R uniformemente contınuacom derivada ilimitada.

(7) Sejam X, Y espacos metricos, f : X Ñ Y .(a) Mostre que se f e uniformemente contınua, entao para qualquer

A X a restricao f |A e uniformemente contınua.(b) Mostre que se X A Y B e se f |A e f |B forem uniformemente

contınuas entao f e uniformemente contınua.(c) Mostre que a funcao fpxq x2 e uniformemente contınua em qual-

quer conjunto limitado A R.(8) Mostre que a funcao sinp1xq e uniformemente contınua em qualquer

intervalo ra,8r com a ¡ 0. Sugestao: calcule f 1pxq.(9) Dados espacos metricos X, Y , considere o produto XY com a metrica:

dpx1, y1q, px2, y2q

max dXpx1, x2q, dY py1, y2q

(

62

(a) Mostre que as projeccoes sao uniformemente contınuas.(b) Mostre que a soma, como funcao Rn Rn Ñ Rn, e uniformemente

contınua.(c) Decida se o produto por um escalar, visto como uma funcao RRn Ñ

Rn, e ou nao uniformemente contınuo.(10) Dizemos que duas metricas d1, d2 num conjunto X sao uniformemente

equivalentes se a identidade pX, d1q Ñ pX, d2q for um homeomorfismouniforme.(a) Mostre que as metricas dpx, yq mintdpx, yq, 1u e d1px, yq dpx, yqdpx, yq

1

sao uniformemente equivalentes a d.(b) Decida se a propriedade de ser limitado e ou nao uma propriedade

uniforme.(c) Mostre que, se existirem m,M ¡ 0 tais que md1px, yq ¤ d2px, yq ¤

Md1px, yq entao d1 e d2 sao uniformemente equivalentes.(d) Mostre que as seguintes metricas em Rn sao uniformemente equiva-

lentes:

d1px,yq n

i1

|xi yi| d2px,yq gffe n

i1

|xi yi|2 d8px,yq maxi|xi yi|

(11) Mostre que as seguintes propriedades sao propriedades uniformes:(a) Um espaco ser completo.(b) Um espaco ser totalmente limitado.

(12) Seja L o espaco das funcoes limitadas f : r0, 1s Ñ R com a metrica uni-forme (este espaco e completo), e seja E L o subespaco das funcoes emescada, isto e, funcoes f para as quais existe uma particao 0 t0 t1 tn 1 de r0, 1s tal que f e constante igual a ci em cada intervalosti1, tir. Seja I : E Ñ R a funcao

Ipfq n

i1

cipti ti1q » 1

0fptqdt .

Mostre que existe o prolongamento por continuidade de I ao fecho de E .(13) Mostre que o espaco C

r0, 1s das funcoes contınuas f : r0, 1s Ñ R com

a metrica dpf, gq maxfpxq gpxq e separavel. Sugestao: considere

funcoes cujo grafico e uma linha quebrada, com vertices em pontos decoordenadas racionais.

17. Convergencia uniformeO conjunto das funcoes de X para Y pode ser visto como o produto Y X ±xPX Y pelo que ja encontramos a topologia produto em Y X . Vamos agora

ver mais duas topologias em Y X :

Definicao 17.1. Seja X um espaco topologico, seja Y um espaco metricoe seja Y X ±

xPX Y o conjunto das funcoes de X para Y .

63

(1) Para cada ponto a P X e cada aberto U Y seja

Spa, Uq tf P Y X : fpxq P UuA topologia produto e a topologia gerada pela coleccao

Spa, Uq(.

Dizemos que uma sucessao de funcoes converge pontualmente se con-vergir na topologia produto.

(2) Dada uma funcao f : X Ñ Y e um ε ¡ 0 seja

Bpf, εq g P Y X : sup

xPXdfpxq, gpxq ε

(A topologia uniforme e a topologia gerada pela coleccao

Bpf, εq(.

Dizemos que uma sucessao de funcoes converge uniformemente seconvergir na topologia uniforme.

(3) Dada uma funcao f : X Ñ Y , um ε ¡ 0 e um compacto K X seja

BKpf, εq g P Y X : sup

xPKdfpxq, gpxq ε

(A topologia da convergencia compacta e a topologia gerada pelacoleccao

BKpf, εq

(. Dizemos que uma sucessao de funcoes con-

verge uniformemente em compactos se convergir na topologia daconvergencia compacta.

Teorema 17.1. Seja f P Y X . Entao a coleccao BKpf, εq

(e uma base

local de vizinhancas de f na topologia da convergencia compacta e a coleccao Bpf, εq( e uma base local na topologia uniforme.

Demonstracao. Se f P BKpg, εq, seja δ ε supxPK

dfpxq, gpxq. Entao

BKpf, δq BKpg, εq.

Teorema 17.2. Seja fn : X Ñ Y uma sucessao de funcoes contınuas dumespaco topologico X para um espaco metrico Y que converge uniformementepara uma funcao f . Entao f e contınua. Se X for localmente compacto, umresultado analogo e valido na topologia da convergencia compacta.

Demonstracao. Seja a P X. Dado um ε ¡ 0 tomamos n P N tal que fn PBpf, ε3q e tomamos U P Va tal que d

fnpxq, fnpaq

ε3 para qualquerx P U . Entao, para x P U temos:

dfpxq, fpaq ¤ d

fpxq, fnpxq

dfnpxq, fnpaq

dfnpaq, fpaq

ε3 ε3 ε3 ε ,

portanto f e contınua em a.

Teorema 17.3 (Teorema de Tietze). Seja X um espaco normal, F Xum conjunto fechado. Entao:

(1) Qualquer funcao contınua f : X Ñ ra, bs pode ser prolongada a uma

funcao contınua f : X Ñ ra, bs.(2) Qualquer funcao contınua f : X Ñ R pode ser prolongada a uma

funcao contınua f : X Ñ R.

64

Teorema 17.4. Seja X um espaco compacto e seja pY, dq um espaco metricocompleto. Entao o espaco CpX,Y q das funcoes contınuas f : X Ñ Y com ametrica ρpf, gq max

xPXdfpxq, gpxq e completo.

Demonstracao. Dada uma sucessao de Cauchy pfnq, para cada x P X asucessao

fnpxq

e uma sucessao de Cauchy em Y , logo converge. Seja

fpxq lim fnpxq. Vamos provar que fn Ñ f uniformemente. Dado umε ¡ 0, existe um p ¡ 0 tal que m,n ¡ p ñ ρpfn, fmq ε2, logo, paraqualquer x P X temos d

fnpxq, fmpxq

ε2. Tomando o limite quando

m Ñ 8, temos dfnpxq, fpxq

¤ ε2, pelo que, tomando o supremo em

x P X, temos supx dfnpxq, fpxq

¤ ε2 ε. Concluimos que fn Ñ funiformemente. Entao f e contınua, o que completa a demonstracao.

17.1. Teorema de Ascoli-Arzela

Definicao 17.2. Seja X um espaco topologico e seja Y um espaco metrico.Dizemos que uma famılia tfαuαPJ de funcoes fα : X Ñ Y e equicontınuanum ponto a P X sse:

@ε¡0

DUPVa

@αPJ

x P U ñ dfαpxq, fαpaq

ε

Lema 17.1. Sejam X, Y espacos metricos e seja F uma coleccao defuncoes f : X Ñ Y . Se existir uma constante M ¡ 0 tal que |fpxq fpyq| ¤M |x y| para qualquer funcao f P F e quaisquer pontos x, y num abertoU X, entao F e equicontınua em qualquer ponto a P U .

Teorema 17.5. Seja X um espaco topologico, Y um espaco metrico, e sejaF uma famılia equicontınua de funcoes f : X Ñ Y . Entao no conjunto Fa topologia produto e a topologia da convergencia compacta sao iguais.

Demonstracao. A topologia da convergencia compacta e mais fina que atopologia produto pelo que so temos que mostrar que dado um conjuntoV F aberto na topologia da convergencia compacta, V e tambem abertona topologia produto. Dado um f P V , temos que mostrar que existe umW aberto na topologia produto tal que f PW V .

Comecamos por tomar um compactoK X e um ε ¡ 0 tal queBKpf, εq V . Como F e equicontınua, para cada a P K existe uma vizinhanca Ua P Va

tal que, para qualquer f P F temos x P Ua ñ dpfpxq, fpaqq ε3. ComoK e compacto, a cobertura tUau tem uma subcobertura finita que represen-tamos por tUa1 , . . . , Uaku. Seja W o conjunto das funcoes g P F tais quedpgpaiq, fpaiqq ε3 para i 1, . . . , k:

W Sa1, Bpfpa1q, ε3q

X X Sak, Bpfpakq, ε3q

.

Claramente f P W . Falta ver que W BKpf, εq V . Seja g P W . Dadoum x P K, temos x P Uai para algum i e entao:

dpgpxq, fpxqq ¤ dpgpxq, gpaiqq dpgpaiq, fpaiqq dpfpaiq, fpxqq ε3 ε3 ε3 ε .

65

Assim maxxPK dpgpxq, fpxqq ε, logo g P BKpf, εq, o que termina a de-monstracao.

Teorema 17.6 (Ascoli-Arzela). Seja X um espaco topologico, Y um espacometrico, e seja Y X o espaco das funcoes f : X Ñ Y com a topologia daconvergencia compacta. Seja F Y X uma famılia equicontınua tal que,para qualquer a P X, o conjunto F paq tfpaq : f P F u Y tem fechocompacto. Entao F esta contido num compacto.

Note que, se Y Rn, o conjunto F paq tem fecho compacto sse for limi-tado. Dizemos entao que a famılia F e pontualmente limitada.

Demonstracao. Dividimos a demonstracao em 3 passos:

(1) Considerando a topologia produto em Y X , temos:

F ¹aPX

F paq ¹aPX

F paq ¹aPX

F paq

que e compacto pelo Teorema de Tychonoff. Assim, o fecho de Fna topologia produto, Fp, e compacto.

(2) Vamos agora ver que Fp e equicontınua. Seja a P X. Dado ε ¡0, como F e equicontınua, existe uma vizinhanca U P Va tal quex P U ñ dpfpxq, fpaqq ε3 para qualquer f P F . Vamos mostrarque x P U ñ dpgpxq, gpaqq ε para qualquer g P Fp. Seja x P U e

g P Fp. Seja

W Spa,Bpgpaq, ε3qq X Spx,Bpgpxq, ε3qq.Entao W e uma vizinhanca de g logo podemos tomar um f P FXW .Entao

dpgpxq, gpaqq ¤ dpgpxq, fpxqq dpfpxq, fpaqq dpfpaq, gpaqq ε3 ε3 ε3 ε

o que termina a demonstracao.(3) Como Fp e equicontınua, a topologia produto coincide com a topo-

logia da convergencia compacta. Assim, Fp e compacto na topologiada convergencia compacta, o que termina a demonstracao.

Exercıcios

(1) Mostre que a topologia da convergencia compacta e mais fina que a to-pologia produto.

(2) Mostre que a topologia uniforme em Y X e mais fina que a topologia daconvergencia compacta, e que elas coincidem quando X e compacto.

(3) Seja RN o conjunto das sucessoes em R com as topologias produto euniforme.(a) Dada uma sucessao x pxnq P RN, mostre que

Bpx, εq sx1 ε, x1 εr sxn ε, xn εr

66

(b) Quais das seguintes funcoes R Ñ RN sao contınuas em cada umadestas topologias?

fptq pt, 2t, 3t, . . .q gptq pt, t, t, . . .q hptq pt, 12 t,

13 t, . . .q

(c) Quais das seguintes sucessoes sao convergentes em cada uma destastopologias?

w1 p1, 1, 1, 1, . . .q w2 p0, 2, 2, 2, . . .q w3 p0, 0, 3, 3, . . .q x1 p1, 1, 1, 1, . . .q x2 p0, 1

2 ,12 ,

12 , . . .q x3 p0, 0, 1

3 ,13 , . . .q

y1 p1, 1, 0, 0, . . .q y2 p12 ,

12 , 0, 0, . . .q y3 p1

3 ,13 , 0, 0, . . .q

(d) Seja R8 RN o conjunto das sucessoes que sao zero a partir de certaordem. Determine o fecho de R8 em ambas as topologias.

(4) Averigue, directamente a partir da definicao, se as seguintes famılias defuncoes fn : RÑ R sao ou nao equicontınuas:(a) fnpxq x n(b) fnpxq nx(c) fnpxq xn

(5) Sejam X um espaco topologico, Y um espaco metrico e F uma famıliade funcoes contınuas f : X Ñ Y .(a) Mostre que se F e finito entao e equicontınua.(b) Mostre que se F e totalmente limitado na metrica uniforme entao e

equicontınua.(c) Mostre que se F tfnunPN e a sucessao pfnq converge uniforme-

mente entao F e equicontınua.(6) Para cada n P N seja fn : r0, 1s Ñ R a funcao definida por fnpxq

epxnq2.

(a) Calcule f lim fn na topologia produto(b) Mostre que fn nao converge para f na topologia uniforme, apesar

de f ser contınua. Sugestao: x n.(c) Verifique que a famılia tfnu satisfaz as condicoes do Teorema de

Ascoli-Arzela.(d) Mostre que fn Ñ f na topologia da convergencia compacta. Su-

gestao: comece por resolver a equacao |fnpxq| ε em ordem a x.(7) Considere a sucessao de funcoes fn : R Ñ R definida por fnpxq pn

1qxn.(a) Mostre que a famılia tfnu e equicontınua e, para cada x P R, o

conjunto fnpxq

(e limitado.

(b) Mostre que a sucessao pfnq converge para fpxq x uniformementeem compactos.

(c) Mostre que pfnq nao converge uniformemente para x.(8) Repita o exercıcio anterior para a sucessao de funcoes fn : RÑ R definidas

por fnpxq xn e fpxq 0.(9) Para cada n P N seja fn : r0, 1s Ñ R a funcao fnpxq n.

(a) Mostre que a famılia tfnu e equicontınua.

67

(b) Mostre que a sucessao pfnq nao tem nenhuma subsucessao conver-gente em nenhuma das topologias consideradas nesta seccao. Su-gestao: basta considerar a topologia produto.

(c) Prove que a famılia tfnu nao e totalmente limitada.(10) Para cada n P N seja fn : RÑ r1, 1s a funcao definida por:

fnpxq

$'&'%1 se x ¤ n 1

x n se n 1 ¤ x ¤ n 1

1 se x ¥ n 1

(a) Mostre que fn converge pontualmente para uma funcao f contınua.(b) Mostre que nenhuma subsucessao de pfnq converge para f uniforme-

mente.(c) Usando a alınea anterior conclua que tfnu nao e totalmente limitada

na metrica uniforme.(d) Mostre que, para cada x P R, tfnpxqu e limitada.(e) Mostre que tfnu e equicontınua.(f) Mostre que fn converge para f uniformemente em compactos.

(11) Considere a sucessao de funcoes fn : r0, 1s Ñ R definidas por fnpxq xn.(a) Mostre que pfnq e pontualmente limitada.(b) Calcule o limite f de pfnq na topologia da convergencia pontual.(c) Mostre que nenhuma subsucessao de fn converge para f uniforme-

mente.(d) Use o Teorema de Ascoli-Arzela para concluir que tfnu nao e equi-

contınua.(e) Verifique directamente que pfnq nao e equicontınua em a 1, resol-

vendo explicitamente a equacao |fnpxq fnp1q| ε.(f) Seja b 1. Mostre que existe uma constante M (que depende de

b) tal que f 1npxq ¤ M para qualquer n P N e qualquer x P r0, br.Conclua que tfnu e equicontınua em qualquer ponto a P r0, 1r.

(12) Quais das seguintes sucessoes de funcoes em CpR,Rq sao pontualmentelimitadas? Quais sao equicontınuas?(a) gnpxq n sinx.

(b) hnpxq |x|1n. Sugestao: calcule o limite pontual de hn.(c) knpxq n sinpxnq. Sugestao: derive kn e aplique o Teorema de

Lagrange.(13) Demonstre o Lemma 17.1.(14) Seja X um espaco topologico compacto e Y um espaco metrico compacto.

Mostre que, na metrica uniforme, uma famılia F CpX,Y q e totalmentelimitada sse for equicontınua.

(15) Considere a sucessao de funcoes fn : R Ñ R definida por fnpxq x sinpnxq.(a) Decida se tfnu e pontualmente limitada.

68

(b) Mostre que tfnu nao e equicontınua em a 0. Sugestao: se fosse,existiria um δ ¡ 0 tal que |fnpxq| 1 para qualquer n P N e qualquerx P sδ, δr; tome um n P N tal que x πp2nq δ.

(16) Dada uma coleccao de espacos metricos pXα, dαq

(, seja dαpx, yq mintdαpx, yq, 1u,

e dados x,y P±Xα, seja ρpx,yq supα dαpxα, yαq,(a) Mostre que cada dα e uma distancia em Xα.(b) Mostre que ρ e uma distancia.(c) Mostre que a topologia induzida pela distancia ρ e a topologia uni-

forme.(17) Seja X um espaco topologico e Y , Z espacos metricos. Mostre que, se

uma sucessao de funcoes fn : X Ñ Y convergir uniformemente para umafuncao f e g : Y Ñ Z for uniformemente contınua entao pg fnq convergeuniformemente para g f .

(18) Seja X um espaco topologico separavel, Y um espaco metrico, e considereCpX,Y q com a topologia da convergencia uniforme em compactos. Sejapfnq uma sucessao equicontınua em CpX,Y q tal que as sucessoes pfnpxqqtem fecho compacto.(a) Mostre que, se A X e um conjunto contavel, pfnq tem uma subsu-

cessao fnk que converge pontualmente nos pontos x P A. Sugestao:imite a demonstracao do Teorema de Ascoli-Arzela e recorde que Y A

e metrizavel na topologia produto.(b) Mostre que, se A for denso, fnk converge pontualmente em todos os

pontos x P X para uma funcao f(c) Mostre que a subsucessao fnk converge uniformemente em qualquer

compacto K X. Sugestao: a coleccao tfnkukPN Y tfu e equi-contınua.

(19) Seja Cr0, 1s,R o espaco das funcoes contınuas com a metrica uniforme

ρ. Seja F o subconjunto das funcoes f tais ρpf, 0q 1 e

@x,yPX

|fpxq fpyq| |x y|

Mostre que o fecho de F e compacto.(20) Seja X um espaco de Hausdorff tal que existem compactos K1,K2,K3, . . .

com X intKn. Seja tfnunPN uma famılia equicont’inua e pontual-

mente limitada de funcoes fn : X Ñ Rk. Mostre que a sucessao pfnq temuma subsucessao que converge uniformemente em compactos. Sugestao:mostre que CpX,Rkq satisfaz o primeiro axioma de numerabilidade.

(21) Seja F : R2 Ñ R2 uma funcao contınua tal que F px, yq ¤ C para quais-quer x, y P R. Dado ε ¡ 0, definimos uma sucessao pxkq em R2 por re-correncia pondo x0 p0, 0q e xk1 xkεF pxkq εF px0q εF pxkq.Definimos tambem uma funcao γε : r0,8r Ñ R2 tal que, para t Prεk, εpk 1qs temos γεptq xkptεkqF pxkq εF px0q εF pxk1qpt εkqF pxkq.(a) Mostre que, para quaisquer t1, t2 ¡ 0, temos γεpt2q γεpt1q ¤

C|t2 t1|.

69

(b) Mostre que a sucessao de funcoes pγ1nqnPN tem uma subsucessao queconverge uniformemente em compactos para uma funcao γ : r0,8r ÑR2.

(c) Mostre que γ e diferenciavel com derivada γ1ptq Fγptq. Sugestao:

Seja Fεptq Fγεptq

e dados a b seja M maxt,sPra,bs Fεptq

Fεpsq. Mostre que γεpbq γεpaq pb aqFεpaq ¤M |b a|. Podeser util observar que

γεptqFεptq εF px0qFεptq

εF pxk1qFεptqptεkqF pxkqFεptq .

(22) Pag. 280, exercıcio 5.(23) Pag. 288, exercıcio 3.

18. A topologia compacta abertaDefinicao 18.1. Sejam X, Y espacos topologicos. Dado um compactoK X e um aberto U Y seja SpK,Uq tf P Y X : fpKq Uu. Cha-mamos topologia compacta aberta em Y X a topologia gerada pela coleccaotSpK,Uqu.Teorema 18.1. Seja X um espaco localmente compacto e seja Y um espacometrico. Entao as topologias da convergencia compacta e compacta abertacoincidem em CpX,Y q.Demonstracao. Dado um compacto K X, um aberto U Y , e umafuncao f P SpK,Uq, seja ε dpfpKq, X Uq. Entao BKpf, εq SpK,Uqlogo SpK,Uq e aberto na topologia da convergencia compacta. Seja agoraV CpX,Y q um aberto na topologia da convergencia compacta, e sejaf P U . Entao existe um compacto K X e um ε ¡ 0 tal que BKpf, εq U .Como f e contınua e X e localmente compacto, para cada a P K existe umaberto Va P Va tal que V a e compacto e x P V a ñ dpfpxq, fpaqq ε3. Acobertura tVau de K tem uma subcobertura finita Va1 , . . . , Van . Seja

W SpV 1, Bpfpa1q, ε3qq X X SpV n, Bpfpanq, ε3qq.Entao f PW BKpf, εq, o que termina a demonstracao.

Teorema 18.2. Sejam X, Y , Z espacos topologicos e seja f : X Ñ Y umafuncao contınua. Entao, na topologia compacta aberta, composicao com finduz funcoes contınuas f : CpZ,Xq Ñ CpZ, Y q e f : CpY,Zq Ñ CpX,Zq.

Em particular, restricao e uma funcao contınua.

Teorema 18.3. A funcao ev : X CpX,Y q Ñ Y definida por evpx, fq fpxq e contınua.

Dada uma funcao f : X Y Ñ Z, para cada y P X temos uma funcaofy : X Ñ Z definida por fypxq fpx, yq. Obtemos assim uma funcaoF : Y Ñ ZX com F pyq fy que define uma correspondencia bijectiva en-tre ZXY e pZXqY . No caso em que X, Y , Z sao espacos topologicos, se

70

f : X Y Ñ Z for contınua, cada fy e tambem contınua pelo que F temimagem em CpX,Zq.

Teorema 18.4. Consideremos a topologia compacta aberta em CpX,Y q. Sef : XY Ñ Z for contınua entao F : Y Ñ CpX,Zq e contınua. O recıprocoe verdadeiro se X for localmente compacto de Hausdorff.

Exercıcios

(1) Sejam X, Y espacos topologicos. Mostre que a topologia compacta abertaem Y X e mais fina que a topologia produto.

(2) Sejam X e Y espacos topologicos, B uma base de Y . Mostre que acoleccao tSpK,Uqu, em que K X e compacto e U P B, e uma subbaseda topologia compacta aberta em CpX,Y q.

(3) Seja Y um espaco de Hausdorff. Mostre que Y X e um espaco de Hausdorffna topologia compacta aberta e na topologia produto.

(4) Demonstre o Teorema 18.2:(a) Mostre que, dado um compacto K Z e um aberto U Y , temos

pfq1SpK,Uq SpK, f1pUqq.(b) Mostre que, dado um compacto K X e um aberto U Z, temos

pfq1SpK,Uq SpfpKq, Uq.(c) Conclua que f e f sao contınuas.

(5) Mostre que se X1 e homeomorfo a X2 entao CpX1, Y q e homeomorfo aCpX2, Y q. Analogamente, se Y1 e homeomorfo a Y2, entao CpX,Y1q ehomeomorfo a CpX,Y2q.

(6) Mostre que se Y e regular entao CpX,Y q e regular com a topologia com-

pacta aberta. Sugestao: se U V entao SpC,Uq SpC, V q.(7) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff, Y um espaco

metrico, e considere CpX,Y q com a topologia da convergencia compacta.Seja F CpX,Y q com fecho F compacto.(a) Mostre que, para cada x P X, F pxq Y tem fecho compacto.(b) Mostre que para qualquer compacto K X, tf |K : f P F u

CpK,Y q e totalmente limitado na metrica uniforme.(c) Mostre que F e equicontınua em qualquer ponto x P X.

(8) Considere a funcao cte : Y Ñ CpX,Y q que leva cada ponto y P Y para afuncao constante igual a y.(a) Mostre que cte e um mergulho, tanto na topologia produto como na

topologia compacta aberta.(b) Mostre que, se Y e Hausdorff, a imagem de cte e fechada, tanto na

topologia produto como na topologia compacta aberta.(c) Mostre que se CpX,Y q com a topologia compacta aberta e Hausdorff,

regular ou normal, entao Y e Hausdorff, regular ou normal.(9) Seja HpXq CpX,Xq o subespaco dos homeomorfismos. Mostre que a

funcao HpXq Ñ HpXq que leva f para f1 e contınua.

71

(10) Sejam X, Y espacos topologicos, Z Y . Mostre que, na topologiacompacta aberta, CpX,Zq e homeomorfo ao subespaco de CpX,Y q dasfuncoes com contradomınio contido em Z.

(11) Seja Y localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, com a topologiacompacta aberta, composicao de funcoes induz uma funcao contınua

CpX,Y q CpY,Zq Ñ CpX,ZqSugestao: se g f P SpC,Uq, tome V Y tal que fpCq V e V U .

19. Espacos conexosDefinicao 19.1. Uma separacao dum espaco topologico X e um par deabertos disjuntos nao vazios pA,Bq cuja uniao e X. O espaco X diz-seconexo se nao tiver nenhuma separacao.

Teorema 19.1. Um espaco topologico X e conexo sse os unicos subconjun-tos de X simultaneamente abertos e fechados forem o proprio X e o conjuntovazio.

Demonstracao. Se pA,Bq for uma separacao de X, A e tambem fechado poisA X B. Reciprocamente, se A X for aberto e fechado, pA,X Aq euma separacao de X.

Teorema 19.2. Um espaco topologico X e conexo sse todas as funcoescontınuas f : X Ñ t0, 1u forem constantes.

Demonstracao. Dada uma separacao pA,Bq deX podemos construir a funcaosobrejectiva e contınua:

fpxq #

0 , se x P A;

1 , se x P B,

Reciprocamente, dada uma funcao f : X Ñ t0, 1u sobrejectiva podemos de-finir a separacao A f1p0q e B f1p1q.

Podemos agora caracterizar os subespacos conexos de R:

Teorema 19.3. Um espaco Y R e conexo sse for um intervalo.

Demonstracao. Se Y nao for um intervalo, existem pontos a c b tais quea, b P Y mas c R Y . Entao os abertos A s8, cr X Y e B sc,8r X Yformam uma separacao de Y . Reciprocamente, se Y for um intervalo, oTeorema de Bolzano diz-nos que qualquer funcao f : Y Ñ t0, 1u R tempor contradomınio um intervalo, logo e constante, portanto Y e conexo.

Os proximos quatro teoremas dizem-nos como construir novos espacosconexos:

Teorema 19.4. Dada uma coleccao tXαu de subespacos conexos de X, seXα H entao

Xα e conexo.

72

Demonstracao. Assumimos por absurdo que existe uma funcao f :Xα Ñ

t0, 1u que nao e constante. Entao existem pontos a, b P Xα tais que

fpaq 0 e fpbq 1. Temos a P Xα e b P Xβ para alguns α, β, e comoXα e Xβ sao conexos, f |Xα 0 e f |Xβ 1. Mas isto e impossıvel poisXα XXβ H.

Teorema 19.5. Seja A X conexo. Entao qualquer espaco B tal queA B A e tambem conexo.

Demonstracao. Dada uma funcao contınua f : B Ñ t0, 1u, a restricao f |A econstante pelo que podemos assumir que f |A 0. Assumimos por absurdoque existia um x P B com fpxq 1. Entao U f1pt1uq e um aberto ex P U pelo que AX U H, o que e uma contradicao pois f |U 1.

Teorema 19.6. Se X e conexo e f : X Ñ Y e contınua, entao fpXq econexo.

Demonstracao. Dada uma funcao g : fpXq Ñ t0, 1u, a composicao gf : X Ñt0, 1u e constante, logo g e constante.

Teorema 19.7. Se X, Y sao espacos conexos entao XY e tambem conexo.

Demonstracao. Para qualquer px, yq P Y , a “cruz” Tx,y txuY Y

Xtyu e conexa. Entao, fixando um ponto x P X, temos X Y

yPY Tx,ylogo X Y e conexo.

O Teorema de Bolzano pode ser generalizado a funcoes com domınio co-nexo:

Teorema 19.8. Seja X um espaco conexo, f : X Ñ R uma funcao contınua.Entao, dados quaisquer a, b P X, a funcao f toma todos os valores entre fpaqe fpbq.Demonstracao. O conjunto fpXq e conexo, logo e um intervalo.

19.1. Componentes

Definicao 19.2. Para cada x P X chamamos componente conexa de x, erepresentamos por Cx, a uniao de todos os conjuntos conexos que contem x.

Teorema 19.9. Os conjuntos Cx sao conexos e formam uma particao deX, isto e, para quaisquer x, y P X ou Cx Cy ou Cx X Cy H.

Demonstracao. Os conjuntos Cx sao conexos pois sao a uniao de conexoscom um ponto em comum. Se Cx X Cy H entao Cx Y Cy e conexo econtem x e y logo Cx Y Cy Cx e Cx Y Cy Cy donde se conclui queCx Cy.

Teorema 19.10. Para qualquer x P X, a componente conexa Cx e fechadaem X.

Demonstracao. Como Cx e conexo, Cx tambem e conexo, logo Cx Cx,pelo que Cx e fechado.

73

Mas em geral as componentes conexas nao sao abertas. E o caso de Q,cujas componentes sao conjuntos com um so ponto.

Exercıcios

(1) Encontre uma separacao de cada um dos seguintes espacos:(a) X s1, 0r Y s0, 1r R.(b) Y r0, 1s Y r2, 3s Y r4, 5s R.(c) A uniao das bolas fechadas de raio um em R2 centradas nos pontos

p1, 0q, p0,1q e p1, 1q.(d) Z px, yq P R2 : xy 0

(.

(2) Quais as componentes conexas de cada um dos espacos do exercıcio 1?(3) Mostre que os seguintes espacos sao conexos:

(a) A circunferencia S1. Sugestao: construa uma funcao com contra-domınio S1.

(b) O toro S1 S1.(c) A circunferencia S1 menos um ponto.(d) Rn.(e) Uma bola Bpx, εq Rn.(f) O conjunto tpx, yq P R2 : x2 y2 ¤ 1u.

(4) Decida, justificando, se os seguintes subconjuntos de R2 sao ou nao co-nexos. Em caso negativo, determine as componentes conexas.(a) A uniao das circunferencias de raio um centradas nos pontos p2n, 0q P

R2, com n P Z.(b) O complementar do conjunto da alınea (a).(c) A uniao das circunferencias de raio um centradas nos pontos p3n, 0q P

R2, com n P Z.(d) A uniao em n P N das circunferencias de raio 1n centradas em

p1n, 0q P R2.(e) A uniao em n P N das circunferencias de raio 1n centradas na

origem.(f) O conjunto dos pontos px, yq P R2 com x, y P Q.(g) O conjunto dos pontos px, yq P R2 com x P Q ou y P Q.(h) O conjunto dos pontos px, yq P R2 com x P Q.(i) A uniao em m P Q das rectas y mx b (com b P R fixo).(j) A uniao em b P Q das rectas y mx b (com m P R fixo).(k) A uniao em m, b P Q das rectas y mx b.(l) O conjunto tpx, yq P R2 : xy ¡ 0u.

(m) O fecho do conjunto da alınea anterior.(5) Representamos por R` o conjunto R com a topologia gerada pelos interva-

los ra, br com a, b P R. Determine as componentes conexas de R`. Quaissao as funcoes contınuas f : RÑ R`, em que R tem a topologia usual?

(6) Dado um espaco topologico X, dizemos que um ponto a P X e um pontode corte de X se X tau nao for conexo.

74

(a) Seja f : X Ñ Y um homeomorfismo. Mostre que um ponto a P X eum ponto de corte de X sse fpaq for um ponto de corte de Y .

(b) Mostre que nenhum dos seguintes espacos e homeomorfo a nenhumoutro: S1, r0, 1s, r0, 1r, s0, 1r, r0, 1sY r2, 3s, S1_S1 (a uniao de duascırcunferencias com um ponto em comum).

(7) Seja tXαu uma coleccao de espacos conexos disjuntos dois a dois e sejaX

αXα. Dizemos que um conjunto U X e aberto sse para qualquerα o conjunto U X Xα for aberto em Xα. Mostre que as componentesconexas de X sao os conjuntos Xα.

(8) Mostre que nao existe qualquer relacao entre a conexidade dum conjuntoA R2, a conexidade do seu interior e a conexidade da sua fronteira,dando exemplos de conjuntos A cobrindo as 23 8 possibilidades. O queacontece se substituirmos R2 por R?

(9) Seja A, B uma separacao de X. Mostre que qualquer subespaco conexoY X tem que estar contido ou em A ou em B.

(10) Sejam X, Y espacos conexos disjuntos e fixemos pontos x P X e y P Y .Definimos X_Y como o quociente de XYY pela relacao de equivalenciaque identifica x com y. Mostre que X _ Y e conexo.

(11) Seja tUαu uma cobertura dum espaco Y por abertos disjuntos dois adois e seja X um espaco conexo. Mostre que qualquer funcao contınuaf : X Ñ Y tem imagem contida num dos abertos Uα.

(12) Mostre que a soma conexa de duas variedades conexas de dimensao maiorque um e conexa. O que acontece em dimensao um?

(13) Seja X um espaco conexo, f : X Ñ Y uma funcao localmente cons-tante, isto e, qualquer ponto x P X tem uma vizinhanca U tal quef |U e constante. Mostre que f e constante. Sera o mesmo verdade seX nao for conexo? Sugestao: tomando y P Y mostre que o conjuntotx P X : fpxq yu e aberto e fechado.

(14) Dado um espaco topologico X, o cone em X, CX, e o quociente deX r0, 1s obtido identificando todos os pontos da forma px, 0q, x P X.Mostre que CX e conexo.

(15) Seja X um espaco topologico. Mostre que um subespaco Y e conexo sseexistirem conjuntos nao vazios A,B X tais que Y A Y B e cujosfechos em X verificam AXB AXB H.

(16) Mostre que um espaco normal e conexo com mais que um ponto nao econtavel. Sugestao: Lema de Urysohn.

(17) Pag. 152, exercıcios 1 a 3, 5, 7, 9 a 11.

20. Caminhos. Espacos conexos por arcosDefinicao 20.1. Dado um espaco topologico X e pontos a, b P X, umcaminho de a para b e uma funcao contınua α : r0, 1s Ñ X tal que fp0q ae fp1q b.

(1) Dado um ponto a P X, representamos por ea o caminho constante:eaptq a para qualquer t P r0, 1s.

75

(2) Dado um caminho α em X de a para b, representamos por α ocaminho de b para a definido por αptq αp1 tq.

(3) Dados pontos a, b, c P X, um caminho α de a para c e um caminho βde c para b, chamamos concatenacao dos caminhos α e β ao caminhoα β definido pela equacao

α βptq #αp2tq se t P r0, 1

2 sβp2t 1q se t P r1

2 , 1sPara provar que α β e contınua basta observar que r0, 1

2 s e r12 , 1s sao

subconjuntos fechados de r0, 1s e que na interseccao os dois ramos coincidempois αp1q βp0q c.

Definicao 20.2. Dizemos que um espaco X e conexo por arcos se paraquaisquer a, b P X existir um caminho em X de a para b.

Teorema 20.1. Se X e conexo por arcos entao X e conexo.

Demonstracao. Assumimos por absurdo que X e conexo por arcos mas naoconexo. Entao existe uma funcao contınua e sobrejectiva f : X Ñ t0, 1u.Entao existem pontos a, b P X com fpaq 0 e fpbq 1. Seja α : r0, 1s Ñ Xum caminho de a para b. Entao f α e sobrejectiva, o que e impossıvel poisr0, 1s e conexo.

Exemplo 20.1. Seja f : s0,8r a funcao definida por fpxq cosp2πxqx eseja X px, yq P R2 : x ¡ 0, y fpxq( o grafico de f . O espaco X e conexopois e a imagem de s0,8r pela funcao contınua gpxq px, fpxqq. Comop0, 0q P X, X Y tp0, 0qu e tambem conexo. Mas X Y tp0, 0qu nao e conexopor arcos: vamos supor por absurdo que existe um caminho α pα1, α2q emXYtp0, 0qu unindo os pontos p0, 0q e p1, 1q. Pelo Teorema de Weierstrass α2 elimitada logo existe um n P N tal que n ¡ α2ptq para qualquer t P r0, 1s. Peloteorema de Bolzano existe um t P r0, 1s tal que α1ptq 1n. Como αptq P X,α2ptq fpα1ptqq fp1nq n o que e uma contradicao. Concluımos queX Y tp0, 0qu nao e conexo por arcos.

Teorema 20.2. Seja X um espaco conexo por arcos, f : X Ñ Y uma funcaocontınua. Entao fpXq e tambem conexo por arcos.

Demonstracao. Sejam a, b P fpXq. Entao a fpxq e b fpyq para algunsx, y P X. Como X e conexo por arcos, existe um caminho α : r0, 1s Ñ X dex para y. Entao o caminho f α : r0, 1s Ñ Y e um caminho de a para b.

Dada uma funcao contınua f : X Ñ Y e um caminho α em X, e costumerepresentar o caminho f α em Y por fα.

20.1. Componentes

Comecamos por introduzir uma relacao de equivalencia em X: dados a, b PX, dizemos que a b se existir um caminho em X de a para b.

Teorema 20.3. A relacao e uma relacao de equivalencia.

76

Demonstracao.

(1) Para mostrar que a a basta considerar o caminho constante eaptq a.

(2) Para ver que pa bq ô pb aq basta observar que se α e umcaminho em X de a para b entao o caminho αptq αp1 tq e umcaminho em X de b para a.

(3) Vamos supor que a b e que b c. Entao existe um caminho α dea para b e um caminho β de b para c. A concatenacao α β e umcaminho de a para c logo a c.

Definicao 20.3. Chamamos componentes conexas por arcos de X as classesde equivalencia Px rxs da relacao de equivalencia .

Como sempre acontece com relacoes de equivalencia, dados x, y P X, ouPx Py ou PxXPy H. Assim, as componentes conexas por arcos formamuma particao de X.

Teorema 20.4. A componente Px e o maior conjunto conexo por arcos quecontem x. Ou seja, Px e conexo por arcos, e dado qualquer conjunto Aconexo por arcos tal que x P A, temos A Px.

Demonstracao. Se A e conexo por arcos e x P A entao para qualquer y P Aexiste um caminho em A de x para y, logo x y, logo y P Px. Assim,A Px. Falta mostrar que Px e conexo por arcos. Sejam a, b P Px. Entaoa b logo existe um caminho α em X de a para b. Seja A a imagem deα. Entao A e conexo por arcos e a P A logo A Pa Px. Assim, α e umcaminho em Px de a para b pelo que Px e conexo por arcos.

Em geral, as componentes conexas por arcos nao sao abertas. Para talprecisamos duma condicao extra:

Definicao 20.4. Dizemos que um espaco X e localmente conexo se paraqualquer x P X e qualquer U P Vx, existir uma vizinhanca V P Vx conexacontida em U . Analogamente, dizemos que X e localmente conexo por arcosse para qualquer x P X e qualquer U P Vx, existir uma vizinhanca V P Vx

conexa por arcos contida em U .

Teorema 20.5. Se X e localmente conexo entao as componentes conexasde X sao abertas. Se X e localmente conexo por arcos entao as componentesconexas por arcos e as componentes conexas de X sao abertas.

Demonstracao. Seja P uma componente conexa por arcos de X e seja x P P .Entao, tomando uma vizinhanca U de x conexa por arcos temos U Px P . Concluimos que P e um aberto.

Teorema 20.6. Num espaco localmente conexo por arcos as componentesconexas e as componentes conexas por arcos coincidem.

Demonstracao. Seja Cx uma componente conexa dum ponto x P X. Entao,para qualquer y P Cx temos Py Cx. Seja U Px e seja V a uniao das

77

componentes Py com y P Cx e Py Px. Entao U e V sao abertos disjuntose U Y V Cx e, como Cx e conexo, necessariamente V H, ou seja,Cx Px.

Exercıcios

(1) Considere os caminhos α, β, γ : r0, 1s Ñ R em R definidos por αptq tp1 tq, βptq t e γptq 1. Calcule e esboce os graficos das funcoesα β, β γ, pα βq γ e α pβ γq.

(2) Considere o caminho α : r0, 1s Ñ S1 definido por αptq cosp2πtq, sinp2πtq.

Calcule α α e verifique que pα αq α α pα αq.(3) Dizemos que um conjunto X Rn e um conjunto em estrela se existir

um ponto a P X tal que, para qualquer x P X, o segmento de recta entrea e x:

L tx p1 tqa : 0 ¤ t ¤ 1

(estiver contido em X.(a) Mostre que qualquer conjunto em estrela e conexo por arcos.(b) De um exemplo dum conjunto conexo por arcos que nao seja um

conjunto em estrela.(4) Sejam X, Y espacos topologicos, f : X Ñ Y uma funcao contınua, a, b, c P

X, α um caminho entre a e b e β um caminho entre b e c. Mostre que:(a) ea ea e α α.(b) α β β α.(c) fpeaq efpaq e fα fα.(d) fpα βq pfαq pfβq.

(5) Mostre que, se existir um a P X tal que, para qualquer b P X existe umcaminho em X de a para b entao X e conexo por arcos.

(6) Mostre que um subespaco de R e conexo sse for conexo por arcos.(7) Para cada n P N seja Fn t1nurn, ns R2 e seja X R2

Fn.

(a) Seja Y tpx, yq P X : x ¡ 0u. Mostre que Y e conexo por arcos.(b) Mostre que X e conexo. Sugestao: escreva X como uma uniao AYY

para um espaco A apropriado.(c) Mostre que X nao e conexo por arcos.

(8) Mostre que o produto de uma coleccao tXαu de espacos conexos por arcose conexo por arcos.

(9) Seja tCαu uma coleccao de espacos conexos por arcos tal queαCα H.

Mostre queαCα e conexo por arcos.

(10) Se A X e conexo por arcos, sera que A e necessariamente conexo porarcos?

(11) Pag. 157, exercıcios 1, 9, 10(12) De um exemplo dum espaco conexo que nao seja localmente conexo.(13) Mostre que RQ nao e localmente conexo em nenhum ponto.(14) Seja X R2 a uniao das rectas y mx com m P Q. Mostre que X so e

localmente conexo em 0 P X.

78

(15) Dado um espaco topologico X, representamos por π0pXq o conjunto dascomponentes conexas por arcos de X.(a) Dada uma funcao contınua f : X Ñ Y , e uma componente conexa

por arcos C X, mostre que existe uma unica componente C 1 Ytal que fpCq C 1. Definimos a funcao f : π0pXq Ñ π0pY q porfC C 1.

(b) Dadas funcoes contınuas f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z, mostre que pg fq g f.

(c) Mostre que se f : X Ñ Y e um homeomorfismo, entao f e umabijeccao.

(d) Sejam p1 : X Y Ñ X e p2 : X Y Ñ Y as projeccoes. Mostre quep1 p2 : π0pX Y q Ñ π0pXq π0pY q e uma bijeccao.

(16) Seja A R um aberto.(a) Mostre que as componentes conexas de A sao intervalos abertos.(b) Conclua que qualquer aberto em R e uma uniao de intervalos abertos

disjuntos.(17) Mostre que, se X e localmente conexo (ou localmente conexo por arcos)

e A X e aberto entao A e tambem localmente conexo (ou localmenteconexo por arcos).

(18) Pag. 162, exercıcios 2, 10.

21. Homotopia de caminhosDefinicao 21.1. Dizemos que duas funcoes contınuas f, g : X Ñ Y saohomotopicas, e escrevemos f g, se existir uma funcao contınua H : X r0, 1s Ñ Y tal que Hpx, 0q fpxq e Hpx, 1q gpxq.

Podemos pensar numa homotopiaH como uma coleccao de funcoes ht : X ÑY (com 0 ¤ t ¤ 1) tal que h0 f e h1 g, nomeadamente: htpxq Hpx, tq.Teorema 21.1. Dadas funcoes f0, f1 : X Ñ Y e g0, g1 : Y Ñ Z, se f0 f1

e g0 g1 entao g0 f0 g1 f1.

Demonstracao. Se ftpxq H1px, tq e uma homotopia entre f0 e f1 e gtpxq H2px, tq e uma homotopia entre f0 e f1 entao gt ftpxq H2pH1px, tq, tq euma homotopia entre g0 f0 e g1 f1.

De modo semelhante definimos homotopia de caminhos:

Definicao 21.2. Dado um espaco topologico X e pontos a, b P X, dizemosque dois caminhos em X de a para b: α, β : r0, 1s Ñ X sao homotopicos, eescrevemos α β, se existir uma funcao contınua H : r0, 1s r0, 1s Ñ X talque Hps, 0q αpsq, Hps, 1q βpsq, Hp0, tq a e Hp1, tq b.

Se para cada t P r0, 1s definirmos γtpsq Hps, tq, entao tγtu e uma famıliade caminhos entre a e b tal que γ0 α e γ1 β.

Teorema 21.2. As relacoes sao relacoes de equivalencia.

79

Demonstracao. Dadas homotopias H1 entre f e g e H2 entre g e h a conca-tenacao:

pH1 H2qpx, tq #H1px, 2tq t ¤ 1

2

H2px, 2t 1q t ¥ 12

e uma homotopia entre f e h. A demonstracao para homotopia de caminhose completamente analoga.

Dados pontos a, b P Rn temos o caminho γptq p1 tqa tb de a para b.Chamamos segmento de recta entre a e b a imagem de γ.

Definicao 21.3. Dizemos que um conjunto A Rn e convexo se paraquaisquer a, b P A e qualquer t P r0, 1s tivermos p1 tqa tb P A.

Portanto um conjunto convexo e um conjunto que contem todos os seg-mentos unindo pontos do conjunto. Se A Rn e convexo, quaisquerduas funcoes f, g : X Ñ A sao homotopicas: a homotopia e dada porHpx, tq p1 tqfpxq tgpxq. Analogamente, dados a, b P A, quaisquerdois caminhos α, β de a para b sao homotopicos.

Teorema 21.3. Sejam a, b, c P X e sejam α0, α1 caminhos de a para b eβ0, β1 caminhos de b para c. Se α0 α1 e β0 β1 entao α0 β0 α1 β1.

Demonstracao. Se αt e uma homotopia entre α0 e α1 e βt e uma homotopiaentre β0 e β1 entao αt βt e uma homotopia entre α0 β0 e α1 β1.

Representamos por rαs a classe de equivalencia do caminho α e definimosrαs rβs rα βs.Teorema 21.4. Sejam a, b, c, d P X, α, β, γ caminhos de a para b, de bpara c e de c para d respectivamente. Entao:

(1) rαs rebs reas rαs rαs.(2) rαs rαs reas e rαs rαs rebs.(3)

rαs rβs rγs rαs rβs rγs.

Demonstracao. Chamamos reparametrizacao dum caminho α a um caminhoda forma α f em que f : r0, 1s Ñ r0, 1s e uma funcao satisfazendo fp0q 0e fp1q 1. Qualquer reparametrizacao dum caminho α e homotopica a α:podemos tomar Hps, tq α

tfpsq p1 tqs. Agora, os caminhos α eb

e ea α sao reparametrizacoes de α, o que prova (1), e pα βq γ e umareparametrizacao de α pβ γq, o que prova (3). Para provar (2) usamos ahomotopia Hps, tq pα αqpstq.

21.1. O grupoide fundamental

Um grupoide G e uma generalizacao da nocao de grupo em que o produtopg, hq ÞÑ gh so esta definido para alguns pares pg, hq.Definicao 21.4. Um grupoide G sobre um conjunto X e:

Para cada x, y P X, um conjunto Gxy tal que G ²x,y Gxy;

80

Para cada x, y, z P X, um produto Gxy Gyz Ñ Gxz que represen-tamos por pg, hq ÞÑ gh,

satisfazendo as seguintes propriedades:

(1) Associatividade: pg1g2qg3 g1pg2g3q.(2) Elemento neutro: para cada x P X existe um ex P Gxx tal que, para

qualquer g P Gxy temos exg gey g.(3) Inverso: Para qualquer g P Gxy existe um g1 P Gyx tal que gg1

ex e g1g ey.

Se apenas as propriedades (1) e (2) se verificarem chamamos a G uma cate-goria pequena.

Exemplo 21.1. G XX ² px, yq( e um grupoide sobre X com produtopx, yq py, zq px, zq.Exemplo 21.2. Um grupo G e um grupoide em que X tem apenas um ponto.

Exemplo 21.3. Uma relacao de equivalencia num conjunto X e um grupoide:o conjunto Gxy tem um elemento se x y e e vazio caso contrario.

Exemplo 21.4. Dado um espaco X, chamamos grupoide fundamental de Xao grupoide em que Gxy sao as classes de equivalencia de caminhos em Xde x para y e αβ α β e a concatenacao de caminhos.

Exemplo 21.5. Uma relacao de ordem ¤ num conjunto X e uma categoriapequena mas nao e um grupoide pois a propriedade (3) nao se verifica.

Exercıcios

(1) Quais das seguintes funcoes H : I I Ñ R2 tp0, 0qu sao homotopias decaminhos?(a) Hps, tq

cospπsq, p1 tq sinpπsq.(b) Hps, tq p1 tq cospπsq, sinpπsq.(c) Hps, tq

cospπsq, p1 2tq sinpπsq.(2) Construa explicitamente homotopias entre os seguintes caminhos:

(a) α, β : I Ñ R2 dados por αptq pt, t2q e βptq pt2, tq.(b) α, β : I Ñ S1 dados por αptq

cosp2πtq, sinp2πtq e βptq cosp2πt2q, sinp2πt2q.

(3) Sejam α, β caminhos em X de a para b. Mostre que α β sse αβ ea.(4) Mostre a lei do corte: se α γ β γ entao α β.(5) Sejam X e Y subespacos de Rn.

(a) Mostre que, se Y for convexo, quaisquer duas funcoes f, g : X Ñ Ysao homotopicas.

(b) Mostre que, se X for convexo, qualquer funcao f : X Ñ Y e ho-motopica a uma funcao constante.

(c) Mostre que, se X for convexo e Y for conexo por arcos, quaisquerduas funcoes f, g : X Ñ Y sao homotopicas.

(6) Um conjunto X Rn diz-se um conjunto em estrela se existir um pontoa P X tal que, para qualquer x P X, o segmento de recta unindo a a xesta contido em X.

81

(a) Mostre que um conjunto convexo e em estrela, e de um exemplo dumconjunto em estrela que nao seja convexo.

(b) Repita o exercıcio 5 substituindo “convexo” por “conjunto em es-trela”.

(7) Um espaco X diz-se contractil se a funcao identidade 1 : X Ñ X forhomotopica a uma funcao constante.(a) Mostre que um espaco convexo e contractil.(b) Mostre que um conjunto em estrela e contractil.(c) Mostre que ser contractil e uma propriedade topologica.(d) De um exemplo dum espaco contractil que nao seja um conjunto em

estrela.(e) Mostre que um espaco contractil e conexo por arcos.(f) Repita o exercıcio 5, substituindo “convexo” por “contractil”.

(8) Mostre que o caminho γ : r0, 1s Ñ S1 definido por γptq cosp2πtq, sinp2πtq

e homotopico a um caminho constante.(9) Dado um conjunto convexo X Rn, descreva o grupoide fundamental de

X.(10) Mostre que uma funcao f : S1 Ñ X e homotopica a uma funcao constante

sse existir um prolongamento de f a bola B2.(11) Dada uma funcao H : r0, 1s r0, 1s Ñ X, restringindo H as arestas do

quadrado temos os quatro caminhos em X:

ah0ptq Ht, 0

, ah1ptq H

t, 1

, av0ptq H

0, t

, av1ptq H

1, t

.

Mostre que os caminhos ah0 av1 e av0 ah1 sao homotopicos.(12) Dado um intervalo ra, bs R, um caminho α num espaco X induz uma

funcao contınua β : ra, bs Ñ X, nomeadamente βptq αpt aqpt bq.

Seja P t0 t0 t1 tk1 tk 1u uma particao do intervalor0, 1s. Dados pontos x0, . . . , xn P X e caminhos αi de xi1 para xi (emque i 1, . . . , n), seja pα1 αnqP : r0, 1s Ñ X o caminho cuja restricaoa cada intervalo rti1, tis e a funcao induzida por αi. Mostre que a classede homotopia deste caminho nao depende da particao P .

(13) Seja f : X Ñ X uma funcao homotopica a identidade. Mostre que, seA X e uma componente conexa por arcos de X, entao fpAq A.

22. O grupo fundamentalDefinicao 22.1. Dado um espaco X e um ponto a P X, chamamos laco ema a um caminho que comeca e acaba em a. Chamamos grupo fundamental deX am a, e representamos por π1pX, aq, o conjunto das classes de equivalenciade lacos em a, com a operacao de concatenacao.

Exemplo 22.1. Qualquer espaco convexo tem grupo fundamental trivial emqualquer ponto.

Definicao 22.2. Dados a, b P X e um caminho α de a para b, definimosα : π1pX, aq Ñ π1pX, bq por α

rγs rαs rγs rαs.

82

Teorema 22.1. A funcao α e um isomorfismo de grupos.

Definicao 22.3. Dizemos que um espaco X e simplesmente conexo se Xfor conexo por arcos e π1pX,x0q for trivial para algum x0 P X.

Nota: como X e conexo por arcos, π1pX,xq e trivial para todo o x P X.

Teorema 22.2. Seja X um espaco simplesmente conexo, a, b P X. Entaoquaisquer dois caminhos em X de a para b sao homotopicos.

Demonstracao. Sejam α, β caminhos de a para b. Entao rα βs P π1pX, aqque e trivial logo α β ea e assim α β.

Definicao 22.4. Seja h : X Ñ Y uma funcao contınua. Dado x0 P X,definimos h : π1pX,x0q Ñ π1

Y, hpx0q

por h

rγs rh γs.Teorema 22.3. h e um homomorfismo de grupos, ph kq h k e seh for a identidade, h e tambem a identidade.

Teorema 22.4. Dados espacos X1 e X2, sejam pi : X1 X2 (com i 1, 2)as projeccoes. Entao, para quaisquer xi P Xi o homomorfismo

p1 p2 : π1pX1 X2, px1, x2qq Ñ π1pX1, x1q π2pX2, x2qe um isomorfismo.

Exercıcios

(1) Sejam f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z funcoes contınuas e seja h g f . O quepode dizer sobre os homomorfismos f, g e h sabendo que:(a) Y e simplesmente conexo.(b) π1pXq Z2 e π1pY q Z.(c) π1pY q Z2 e π1pXq Z.(d) h e um isomorfismo.(e) h e sobrejectiva.(f) h e injectiva.

(2) Dado um espaco X, seja Pa a componente conexa por arcos dum pontoa P X. Mostre que o homomorfismo π1pPa, aq Ñ π1pX, aq induzido pelainclusao e um isomorfismo.

(3) Mostre que o grupo π1

R2S1, p0, 0q e trivial. Sera R2S1 simplesmente

conexo?(4) Dados pontos x, y, z P X, sejam α um caminho de x para y e β um

caminho de y para z. Mostre que zα β pβ pα.(5) Seja A Rn, e seja f : A Ñ X uma funcao contınua. Mostre que, se

existir um prolongamento de f a Rn entao f e trivial.(6) Dados A B C, se a inclusao A C induzir um homomorfismo sobre-

jectivo de grupos fundamentais, o que pode dizer sobre o homomorfismoπ1pB, xq Ñ π1pC, xq induzido pela inclusao?

(7) Seja X um espaco topologico, a P X. Mostre que o grupo π1pX, aq eabeliano sse dados quaisquer caminhos α e β com αp0q βp0q a e

αp1q βp1q se tiver pα pβ.

83

(8) Dados espacos topologicos X, E e B e funcoes contınuas p : E Ñ B e

f : X Ñ B, chamamos levantamento de f a uma funcao rf : X Ñ E

tal que f p rf . Mostre que, se existir um levantamento de f , entaoim f im p, em que f : π1pX,xq Ñ π1pB, bq e p : π1pE, eq Ñ π1pB, bqsao os homomorfismos induzidos.

(9) Dado A X, uma retraccao e uma funcao contınua r : X Ñ A tal querpxq x para qualquer x P A, Mostre que r e sobrejectiva.

(10) Dada uma funcao contınua h : X Ñ Y , para cada x P X seja phxq : π1pX,xq Ñπ1

Y, hpxq o homomorfismo induzido. Mostre que, para qualquer cami-

nho α em X temos: zh α phαp0qq phαp1qq pα.(11) Seja X um espaco topologico e seja tXku uma coleccao de subespacos

tais que

a P X1 X2 Xk X ¤Xk

e com a propriedade que, dado qualquer compacto K X existe umk P N tal que K Xk. Considere os homomorfismos

ik : π1pXk, aq Ñ π1pX, aq e jkn : π1pXk, aq Ñ π1pXn, aq pk nqinduzidos pela inclusao.(a) Mostre que, para qualquer rγs P π1pX, aq, existe um k tal que rγs

esta na imagem do homomorfismo ik.(b) Mostre que, se rγs P ker ik, entao existe um n ¡ k tal que rγs P

ker jkn.(12) Seja α : I Ñ S1 o caminho definido por αptq

cosp2πtq, sinp2πtq. Mos-

tre que uma funcao f : S1 Ñ X e homotopica a uma funcao constantesse fα for a identidade do grupo fundamental de X. Sugestao: use oexercıcio 10 na pagina 81; note que α e um quociente.

23. RevestimentosSeja x0 p1, 0q P S1 e seja φ : ZÑ π1pS1, x0q a funcao definida por φpnq rγns em que γnptq

cosp2πntq, sinp2πntq. Nesta seccao vamos mostrar que

φ e um isomorfismo de grupos. Para tal vamos recorrer a funcao p : RÑ S1

definida por pptq cosp2πtq, sinp2πtq.

Definicao 23.1. Dada uma funcao p : E Ñ B sobrejectiva, dizemos que umaberto U B e uniformemente revestido por p se p1pUq

Vα em quetVαu e uma coleccao de abertos disjuntos tais que, para cada α, a restricaop|Vα : Vα Ñ U e um homeomorfismo. Dizemos que p e um revestimento seexistir uma cobertura de B por abertos uniformemente revestidos.

Teorema 23.1. A funcao p : RÑ S1 definida por pptq cosp2πtq, sinp2πtq

e um revestimento.

Demonstracao. Seja U px, yq P S1 : x ¡ 0(. Entao p1pUq

n

n 1

4 , n 14

.

A restricao de p a cada intervalon 1

4 , n 14

e um homeomorfismo para

U , com inversa q : U Ñ n 1

4 , n 14

dada por qpx, yq arccospxqp2πqn,

84

pelo que U e uniformemente revestido. De modo semelhante mostramos queos abertos

px, yq P S1 : x 0(, px, yq P S1 : y ¡ 0

(e px, yq P S1 : y 0

(sao tambem uniformemente revestidos, o que completa a demonstracao.

A partir dum revestimento podemos construir outros:

Teorema 23.2. Seja p : E Ñ B um revestimento, B0 B e E0 p1pB0q.Entao p|E0 : E0 Ñ B0 e tambem um revestimento.

Teorema 23.3. Dados dois revestimentos pi : Ei Ñ Bi (com i 1, 2),p1 p2 : E1 E2 Ñ B1 B2 e tambem um revestimento.

Exemplo 23.1. pp : RRÑ S1S1 e um revestimento do toro pelo plano.

Definicao 23.2. Dado um revestimento p : E Ñ B e um caminho α : I Ñ B,chamamos levantamento de α a um caminho rα : I Ñ E tal que p rα α.

Exemplo 23.2. Para qualquer k P Z, o caminho γn em R definido por γnptq nt k e um levantamento de γn.

Teorema 23.4. Seja p : E Ñ B um revestimento, b0 P B, e seja α umcaminho em B com inıcio em b0. Entao:

(1) Para cada e0 P p1pb0q, existe um unico levantamento α de α cominıcio em e0.

(2) Levantamentos de caminhos homotopicos sao homotopicos.(3) Se E for simplesmente conexo, dois caminhos em B sao homotopicos

sse os seus levantamentos com inıcio no mesmo ponto terminaremtambem no mesmo ponto.

Demonstracao. Comecamos por provar (1). Dividimos a demonstracao emdois casos:

Caso 1: Assumimos primeiro que a imagem de α esta contida numaberto U uniformemente revestido. Comecamos por provar unici-dade. Temos p1pUq

Vi e assumimos e0 P V0. Entao, como Ie conexo, qualquer levantamento rα de α tem que ter imagem con-tida em V0. Como p|V0 : V0 Ñ U e um homeomorfismo, a condicaoα p rα implica que rα p1 α o que prova unicidade, e tambemexistencia, pois p1 α e um levantamento de α.

Caso 2: Consideramos agora o caso geral. Seja α um caminho emB e seja U uma cobertura de B por abertos uniformemente re-vestidos. Entao a coleccao

α1pUq(

UPUe uma cobertura de I

e pelo Lema do numero de Lebesgue, se tomarmos uma particao0 t0 t1 tn 1 do intervalo I em intervalos sufici-entemente pequenos, cada intervalo rti1, tis vai estar contido numaberto α1pUq e assim αpsq P U para ti1 ¤ s ¤ ti. Definimos rα re-cursivamente. Tomamos naturalmente rαp0q e0 e assumindo que rαja esta definida em r0, ti1s, como a imagem de rti1, tis esta contidanum aberto U P U , estamos no Caso 1, o que nos permite definir rαem r0, tis.

85

Provamos agora (2). Sejam rα, rβ os levantamentos de caminhos α, β cominıcio num ponto e0 P E. Dada uma homotopia H entre α e β em B,

repetindo o argumento em (1) vemos que existe uma homotopia rH : II ÑE tal que p rH H e rHp0, 0q e0. Vamos ver que rH e uma homotopia

entre rα e rβ.

(a) Como Hps, 0q αpsq, a unicidade de levantamento de caminhos

mostra que rHps, 0q rαpsq(b) Como o levantamento dum caminho constante e constante, e como

Hp0, tq b0, temos rHp0, tq e0 rαp0q. De igual modo vemos querHp1, tq e constante igual a rαp1q.(c) Finalmente, como rHp0, 1q e0 e Hps, 1q βpsq, temos rHps, 1q rβpsq. Note que em particular provamos que rβp1q rHp1, 1q rαp1q.

Falta apenas provar (3). Ja vimos que se α β entao rαp1q rβp1q. Reci-

procamente, se rαp1q rβp1q entao, como E e simplesmente conexo, existe

uma homotopia rH entre rα e rβ. Entao H p rH e uma homotopia entre αe β.

Podemos agora mostrar que:

Teorema 23.5. O grupo fundamental do cırculo e isomorfo a Z.

Demonstracao. Seja p : R Ñ S1 o revestimento pptq cosp2πtq, sinp2πtq,

seja b0 p1, 0q e seja e0 0 P p1pb0q. Para cada n P Z seja γn : I Ñ Ro caminho γnptq nt e seja γn p γn. Vamos ver que a correspondenciaφ : ZÑ π1pS1, b0q dada por φpnq rγns e um isomorfismo de grupos.

(1) φ e injectiva: se rγks rγns entao γk γn logo k γkp1q γnp1q n.

(2) φ e sobrejectiva: dado rγs P π1pS1, b0q, seja γ o levantamento deγ com inıcio em e0 0 e seja n γp1q; entao γp1q γnp1q logoγ γn, logo rγs φpnq.

(3) Falta verificar que φpknq φpkqφpnq, ou seja, que γkn γkγn.Para tal basta verificar que os levantamentos dos caminhos terminamno mesmo ponto. Seja γptq k nt; entao γk γ e o levantamentode γk γn com inıcio em e0 0, e γk γp1q n k.

Como aplicacao temos:

Teorema 23.6. Qualquer funcao f : B2 Ñ B2 tem um ponto fixo.

Demonstracao. Se f nao tiver nenhum ponto fixo podemos definir umafuncao r : B2 Ñ S1 do seguinte modo: para cada x P B2, a imagem rpxq ea interseccao com S1 da semirecta com inıcio em fpxq e na direccao de x.Se i : S1 Ñ B2 for a inclusao temos r i 1 logo r i 1. Mas entaor : π1pB2, aq Ñ π1pS1, aq e sobrejectivo, o que e impossıvel.

86

Exercıcios

(1) Dado um espaco topologico X mostre que a projeccao X NÑ X e umrevestimento.

(2) Construa tres revestimentos conexos com duas folhas da figura oito. Existemais algum?

(3) Construa tres revestimentos conexos com tres folhas da figura oito. Existemais algum?

(4) Mostre que se rα e um levantamento de α, rβ e um levantamento de β erαp1q rβp0q entao rα rβ e um levantamento de α β.(5) Seja p : E Ñ B um revestimento. Mostre que se p e injectiva entao p e

um homeomorfismo.(6) Seja p : R Ñ S1 o revestimento pptq pcosp2πtq, senp2πtqq. Seja γ um

laco em x0 p1, 0q P S1. Sabendo que o caminho γ : r0, 1s Ñ R dado por

γptq t4 3t3 4t2 7t

e um levantamento de γ, identifique o elemento rγs P π1pS1, x0q Z.(7) Considere o revestimento p : RÑ S1 definido por ppxq

cosp2πxq, sinp2πxqe considere os caminhos α, β em S1 definidos por:

αptq cosp2πt2q, sinp2πt2q e βptq

cosp4πtq, sinp4πtq .(a) Calcule os levantamentos de β com inıcio em x 0 e em x 1.(b) Calcule o levantamento de α β com inıcio em x 0.(c) Seja x0 p1, 0q. Qual o elemento de π1pS1, x0q Z representado

por α β?(8) Seja p : RÑ S1 o revestimento pptq

cosp2πtq, sinp2πtq e considere os

caminhos α, β : r0, 1s Ñ S1 definidos por

αptq cospπt2q, sinpπt2q βptq

cospπt πq, sinpπt πq(a) Calcule o levantamento de α com inıcio em t 0.(b) Calcule o levantamento de β com inıcio em t 1

2 .(c) Calcule o levantamento de α β com inıcio em t 0.

(9) Seja p : R Ñ S1 o revestimento dado por pptq pcosp2πtq, senp2πtqq.Sejam α, β : r0, 1s Ñ S1 dois caminhos e seja β : r0, 1s Ñ R um levanta-mento de β. Sabendo que

αptq pcosp4πtq, senp4πtqq βptq tindique um levantamento de α e um levantamento de α β.

(10) Seja p : R Ñ S1 a funcao pptq cosp2πtq, sinp2πtq e considere os

caminhos α, β : r0, 1s Ñ S1 S1 definidos por

αptq pcosπt, sinπtq, p0, 1q βptq p1, 0q, psinπt, cosπtq(a) Justifique que a funcao p1 : RS1 Ñ S1S1 e um revestimento.(b) Calcule o levantamento de α com inıcio em

0, p0, 1q.

(c) Calcule o levantamento de β com inıcio em12, p0, 1q.

(d) Calcule o levantamento de α β com inıcio em0, p0, 1q.

87

(11) Seja X p1, yq : y P R( t1u R R2. Considere o revestimento p :

pZRqYpRt0uq Ñ XYS1 definido por ppx, yq cos 2πx, ysin 2πx

e o caminho α : r0, 1s Ñ X Y S1 definido por αptq

cos 2πt, sin 2πt.

(a) Calcule o levantamento de α com inıcio na origem.(b) Dado o caminho β : r0, 1s Ñ XYS1 definido por βptq p1, tq, calcule

o levantamento de α β com inıcio na origem.(12) Considere a funcao p : C Ñ C definida por ppzq z2. Identificando C

com R2 temos, em coordenadas cartesianas e coordenadas polares:

ppx, yq x2 y2, 2xy

, p

r cos θ, r sin θ

pr2 cos 2θ, r2 sin 2θ.

Seja B S1Yr1,8rt0u R2 e seja E BYs8,1st0u R2.(a) Mostre que a restricao de p a E define um revestimento p : E Ñ B.(b) Considere o caminho α : r0, 1s Ñ B definido por αptq p2 tq2 P C.

Determine o levantamento de α com inıcio em 2 P C.(c) Considere o caminho β : r0, 1s Ñ B definido por βptq ei2πt (ou

βptq cosp2πtq, sinp2πtq P R2). Calcule o levantamento de α β

com inıcio em 2 P C.(13) Seja p : S2 Ñ P2 a projeccao e considere o caminho α : r0, 1s Ñ S2 definido

porαptq

cospπtq, sinpπtq, 0(a) Mostre que o levantamento de pα p α com inıcio em p1, 0, 0q

e igual a αptq.(b) Mostre que pα representa um elemento nao trivial no grupo funda-

mental de P2 no ponto x0 rp1, 0, 0qs.(c) Calcule o levantamento de ppαq ppαq com inıcio em p1, 0, 0q.(d) Mostre que o elemento rpαs rpαs P π1pP2, x0q e a identidade do

grupo.(14) Seja p : Sn Ñ Pn o quociente.

(a) Mostre que p e um revestimento.(b) Sabendo que, para n ¡ 1, a esfera Sn e simplesmente conexa o que

pode concluir sobre o grupo fundamental de Pn?(c) Para 1 k n, a inclusao Rk Ñ Rn induz uma funcao f : Pk Ñ Pm.

Mostre que f induz um isomorfismo de grupos fundamentais.(15) Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e um homeomorfismo local se qual-

quer ponto x P X tiver uma vizinhanca U tal que f |U e um homeomor-fismo.(a) Mostre que um revestimento e um homeomorfismo local.(b) Seja p : R Ñ S1 o revestimento do Teorema 23.1. Mostre que a

restricao de p a s0,8r e um homeomorfismo local.(c) Mostre que a restricao de p a s0,8r nao e um revestimento.

(16) Mostre que as funcoes f, g : S1 Ñ S1 definidas por fpzq zn e por gpzq 1zn (com z P S1 C sao revestimentos e calcule os homomorfismosinduzidos f e g.

(17) Use o revestimento p p : R R Ñ S1 S1 para mostrar que o grupofundamental do toro e isomorfo a Z Z.

88

(18) Seja p : E Ñ B um revestimento. Mostre que se E for conexo por arcose B for simplesmente conexo entao p e um homeomorfismo.

(19) Munkres, pag. 347, exercıcios 4,5; pag. 375, exercıcio 5.

24. Equivalencia homotopicaDefinicao 24.1. Dado um espaco X e um subespaco A X, uma retraccaoe uma funcao contınua r : X Ñ A tal que rpxq x para qualquer x P A.Dizemos que r e uma retraccao por deformacao se existir uma homotopiaH : X r0, 1s Ñ X tal que Hpx, 0q rpxq, Hpx, 1q x e, para qualquery P A, Hpy, tq y.

Seja i : AÑ X a inclusao. Entao r e uma retraccao sse r i 1.

Teorema 24.1. Seja A X, e seja x0 P A. Se r e uma retraccao pordeformacao entao r : π1pX,x0q Ñ π1pA, x0q e um isomorfismo com inversai.

Definicao 24.2. Dois espacos X e Y dizem-se homotopicamente equivalen-tes se existirem funcoes f : X Ñ Y e g : Y Ñ X tais que f g e homotopicoa identidade em Y e g f e homotopico a identidade em X. Dizemos entaoque f e g sao equivalencias homotopicas.

Se A for um retracto por deformacao de X entao A e X sao homotopi-camente equivalentes. Queremos provar agora que se f e uma equivalenciahomotopica, entao f e um isomorfismo.

Lema 24.1. Sejam x0, x1, y0, y1 P R. Dada uma funcao H : rx0, x1s ry0, y1s Ñ X, restringindo H as arestas do rectangulo temos os quatro ca-minhos em X:

h0ptq Hp1 tqx0 tx1, y0

, h1ptq H

p1 tqx0 tx1, y1

,

v0ptq Hx0, p1 tqy0 ty1

, v1ptq H

x1, p1 tqy0 ty1

.

Entao os caminhos h0 v1 e v0 h1 sao homotopicos.

Demonstracao. Consideremos os seguintes caminhos no rectangulo rx0, x1sry0, y1s:

h0ptq p1 tqx0 tx1, y0

, h1ptq

p1 tqx0 tx1, y1

,

v0ptq x0, p1 tqy0 ty1

, v1ptq

x1, p1 tqy0 ty1

,

Entao hi H hi e vi H vi (com i 1, 2). Como rx0, x1s ry0, y1s e

convexo, h0 v1 v0 h1, donde segue que h0 v1 v0 h1.

Sejam f, g : X Ñ Y funcoes homotopicas. Dado rγs P π1pX,x0q, queremoscomparar frγs P π1

Y, fpx0q

com grγs P π1

Y, gpx0q

.

Lema 24.2. Seja H : XI Ñ Y uma homotopia entre funcoes f, g : X Ñ Ye dado x0 P X seja α o caminho em Y de fpx0q para gpx0q definido porαptq Hpx0, tq. Entao g pα f.

89

Demonstracao. Seja γ um laco em x0 P X e consideremos a funcao F : I I Ñ Y definida por F ps, tq H

γpsq, t. Restringindo F as quatro arestas

do quadrado obtemos os caminhos:

h0ptq F pt, 0q fγptq, h1ptq F pt, 1q gγptq,v0ptq F p0, tq αptq, v1ptq F p1, tq αptq.

Pelo Lema 24.1 temos fγ α α gγ de onde se conlui imediatamenteque g pα f.

Teorema 24.2. Seja f : X Ñ Y uma equivalencia homotopica. Entao,para qualquer x0 P X, o homomorfismo f : π1pX,x0q Ñ π1

X, fpx0q

e um

isomorfismo.

Demonstracao. Dividimos a demonstracao em dois passos.

(1) Primeiro mostramos que, se f e uma equivalencia homotopica, entaof : π1pX,x0q Ñ π1

X, fpx0q

e injectiva. Tomando g : Y Ñ X tal

que g f 1, pelo Lema 24.2 a composicao

(1) π1pX,x0q fÝÑ π1

X, fpx0q

gÝÑ π1

X, g fpx0q

e um isomorfismo, logo f e injectiva e g e sobrejectiva.

(2) Para terminar a demonstracao basta observar que g : Y Ñ X etambem uma equivalencia homotopica logo o homomorfismo g em (1)e injectivo, sendo portanto um isomorfismo. Como g f e tambemum isomorfismo, segue que f e um isomorfismo.

Exercıcios

(1) Mostre que os seguintes espacos sao homotopicamente equivalentes a umespaco conhecido e aproveite para calcular o grupo fundamental:(a) B2 S1.(b) S1 I.(c) S1 R.(d)

x P R2 : x ¥ 1

(.

(e) x P R2 : x 1

(.

(f) x P R2 : x ¡ 1

(.

(g) S1 Y R t0u.

(h) S1 Y pR R.(i) R2

R t0u.(j) S1 p1, 0q(.(k) A uniao dos cırculos de raio um centrados em p1, 0q e em p1, 0q

menos o ponto p2, 0q.(l) A uniao dos cırculos de raio um centrados em p1, 0q e em p1, 0q

menos os pontos p2, 0q.(m) tpx, yq P R2 : xy 0u.(n) R3 menos o eixo dos zz.(o) S2 menos um ponto.

90

(p) S2 menos dois pontos.(q) R3 menos os semieixos nao negativos dos xx e dos yy.(r) R2

I t0u.(2) Mostre que existem retraccoes S1 S1 Ñ S1 mas nao existe nenhuma

retraccao por deformacao entre estes espacos.(3) A banda de Moebius M e o quociente do quadrado I2 pela relacao de

equivalencia que identifica, para cada x P I, os pontos p0, xq e p1, 1 xq.Calcule o grupo fundamental de M .

(4) Seja P pzq znan1zn1 a1za0 um polinomio com coeficientes

ai P C. Vamos ver por absurdo que P tem pelo menos um zero. Paratal assumimos que P pzq 0 e pensamos no polinomio como uma funcaoP : C t0u Ñ C t0u.(a) Mostre que H1 : pC t0uq I Ñ C t0u dada por H1pz, tq P ptzq

e uma homotopia entre P e uma constante.(b) Mostre que H2 : pC t0uq I Ñ C t0u dada por

H2pz, tq tnP pztq zn tan1zn1 tn1a1z tna0

e uma homotopia entre P e zn.(c) Mostre que zn nao e homotopico a uma constante.

(5) Construa um retracto por deformacao de R2 para I t0u. Sugestao:comece com um retracto para a bola.

(6) Seja x P R2 tal que x ¡ 1. Mostre que S1 nao e um retracto de R2txu.(7) Um espaco X diz-se contractil se a identidade X Ñ X for homotopica

a uma constante. Mostre que X e contractil sse for homotopicamenteequivalente a um ponto.

(8) Mostre que um retracto dum espaco contractil e tambem contractil.(9) Seja X a figura oito e seja Y o espaco theta. Descreva funcoes f : X Ñ Y

e g : Y Ñ X que sejam homotopicamente inversas.(10) Mostre que qualquer homeomorfismo h : B2 Ñ B2 satisfaz hpS1q S1.

Sugestao: o que acontece se retirarmos um ponto a B2?(11) Seja a p1, 0q P S1. Mostre que

S1 tau Y tau S1

e um retracto

por deformacao de S1 S1 pa, aq(.(12) Seja G um espaco topologico, a P G, e suponha que existe uma funcao

contınua µ : GGÑ G tal que µpa, xq µpx, aq a para todo o x P G.Mostre que π1pG, aq e abeliano. Sugestao: dados lacos α, β em G use µe o Lemma 24.1 para mostrar que α β β α.

(13) Seja f : X Ñ Y uma funcao contınua. Considere a relacao de equivalenciaem pX r0, 1sq Y Y definida por px, 0q fpxq para todo o x P X. SejaM o quociente e seja p : pX r0, 1sq Y Y Ñ M a projeccao. Mostre queppY q e um retracto por deformacao de M .

(14) Sejam X, Y espacos homotopicamente equivalentes. Mostre que se X econexo por arcos, entao Y e tambem conexo por arcos.

(15) Munkres, pag. 366, exercıcio 9.

91

25. Produto livre de gruposDefinicao 25.1. Seja tGαuαPJ uma famılia parametrizada de grupos. Oproduto livre dos grupos Gα, que representamos por αGα, e o conjuntodas ”palavras”g1g2 gk em que, para cada i temos gi P Gαi t1u comαi P J e αi1 αi. O produto em αGα e definido recursivamente nonumero de letras:

(1) Se H e a palavra vazia, wH Hw w.(2) Se gk e h1 pertencem a grupos diferentes, pg1 gkq ph1 hnq

g1 gkh1 hn.(3) Se gk e h1 pertencem ao mesmo grupo e g gkh1 1 entao

pg1 gkq ph1 hnq g1 gk1gh2 hn.(4) Se gk e h1 pertencem ao mesmo grupo e g gkh1 1 entao o

produto e definido recursivamente por pg1 gk1gkqph1h2 hnq pg1 gk1q ph2 hnq

Teorema 25.1. αGα e um grupo.

Demonstracao. A palavra vazia H e a identidade e o inverso de g1 gke g1

k g11 . Falta mostrar que a multiplicacao e associativa. Seja G

αGα. Dada um g P G com uma so letra seja Lg : G Ñ G a funcaoLgph1 hnq g ph1 hnq. Dada uma palavra com k letras g1 gk P G,definimos Lg1gk Lg1 Lgk . Entao:

(1) Para qualquer palavra w P G temos LwpHq w.(2) Dadas palavras g, h P G com uma so letra verificamos directamente

estudando os varios casos que Lg Lh Lgh.(3) De (2) segue facilmente, por definicao de produto em G, que dadas

duas palavras w1, w2 P G temos Lw1w2 Lw1 Lw2 .(4) Finalmente, temos

Lpw1w2qw3 pLw1 Lw2q Lw3

e usando a associatividade da composicao:

Lw1 pLw2 Lw3q Lw1pw2w3q

Aplicando a palavra vazia H obtemos pw1w2qw3 w1pw2w3q.

Note que um grupo Gα pode ser visto como um subgrupo do produtolivre Gα, nomeadamente o subgrupo das palavras de comprimento menorou igual a um com letras em Gα.

Teorema 25.2. Dado um grupo G, uma coleccao de grupos tGαuαPJ e, paracada α P J , homomorfismos φα : Gα Ñ G, existe um unico homomorfismoφ : Gα Ñ G cuja restricao a cada Gα e igual a φα.

Demonstracao. Dada uma palavra g1 gk, com gi P Gαi , definimos φpg1 gmq φα1pg1q φαkpgkq.

Definicao 25.2. Chamamos abelianizacao dum grupo G ao quociente de Gpelo subgrupo normal gerado pelas relacoes gh hg, com g, h P G.

92

25.1. Grupos livres, geradores e relacoes

Definicao 25.3. Chamamos grupo livre em n geradores ao produto livrede n copias de Z.

Podemos pensar no grupo Z como um grupo com um gerador g: identifi-camos os elementos n P Z com gn; deste modo a soma em Z corresponde aoproduto: gngk gnk. Dadas n copias de Z, com geradores g1, . . . , gn, oselementos do produto livre Z Z sao as palavras na forma gk1i1 g

k2i2 gkmim

com 1 ¤ i1, . . . , im ¤ n, ij1 ij e k1, . . . , km P Z.

Definicao 25.4. Dizemos que um grupoG e gerado por elementos h1, . . . , hn PG se qualquer elemento de G puder ser escrito na forma hk1i1 h

k2i2 hkmim .

Teorema 25.3. Um grupo G e gerado por elementos h1, . . . , hn P G sseexistir um homomorfismo sobrejectivo φ : Z ZÑ G com φpgiq hi.

Definicao 25.5. Dado um homomorfismo sobrejectivo φ : Z Z Ñ Ge palavras u, v P Z Z, dizemos que existe uma relacao u v emG se φpuq φpvq. Dizemos que G e gerado por g1, . . . , gn com relacoesu1 v1, . . . , uk vk se os elementos u1v

11 , . . . , ukv

1k gerarem kerφ.

Exemplo 25.1. O grupo Zn tem um gerador g e uma relacao gn 1. Ogrupo Z Z tem dois geradores g1, g2 e uma relacao g1g2 g2g1.

Exercıcios

(1) Escreva uma representacao do grupo Z2 Z2 em termos de geradorese relacoes.

(2) Escreva uma representacao do grupo de permutacoes de tres elementosem termos de geradores e relacoes.

(3) Considere o grupo G com geradores a, b e relacao a bab.(a) Mostre que o subgrupo gerado por b e normal e que o quociente e

isomorfo a Z.(b) Calcule a abelianizacao de G.(c) Mostre que G e isomorfo ao grupo tx, y : x2 y2u.

(4) Mostre que o grupo ta, b : a3 b2u e isomorfo ao grupo tx, y : xyx yxyu. Sugestao: a xy e b xyx.

(5) Mostre que pZ2qpZ2q e isomorfo ao grupo com geradores a, b e relacoesa2 1 e aba b1.

(6) Sejam G1, G2 grupos com mais que um elemento e seja G G1 G2.Chamamos comprimento dum elemento x P G ao numero de letras dapalavra que representa x.(a) Mostre que, para qualquer g P G1 G2, existe um h P G1 G2 tal

que gh hg (em particular G1 G2 nao e abeliano).(b) Mostre que se x P G tiver comprimento par entao gn 1 para

qualquer n P N (e portanto G1 G2 tem subgrupos isomorfos a Z).(c) Mostre que se x P G tiver comprimento ımpar maior que um entao

x e conjugado a um elemento de comprimento inferior.

93

(d) Seja x P G tal que xn 1 para algum n P N. Mostre que x econjugado a um elemento de G1 ou a um elemento de G2.

(7) Seja G G1 G2 e dado c P G seja cGc1 tcxc1 : x P Gu. Mostreque cGc1 XG2 t1u.

(8) Munkres, pag. 454 exercıcios 6, 7.

26. O Teorema de Seifert-van KampenSeja X um espaco topologico. Seja tUαuαPJ uma cobertura aberta de X talque

Uα H e seja a P

Uα. Entao as inclusoes iα : Uα Ñ X induzemum homomorfismo de grupos

φ : jPJ

π1pUα, aq ÝÑ π1pX, aq

cuja restricao a cada grupo π1pUα, aq e igual a piαq. Dados j, k P J , sejaγ : r0, 1s Ñ Uα X Uβ um laco em a. Entao γ pode ser visto como umcaminho em Uα ou como um caminho em Uβ, ou ainda como um caminho emX. Representamos por rγsα e por rγsβ respectivamente o caminho γ vistocomo um elemento de π1pUα, aq ou de π1pUβ, aq. Entao, como elementos doproduto livre temos rγsα rγsβ, mas φ

rγsα φrγsβ.

Teorema 26.1. Seja tUαu uma cobertura aberta de X tal que a interseccaode quaisquer tres abertos Uα1XUα2XUα3 e conexa por arcos. Seja x P Uα.Entao o homomorfismo

φ : α π1pUα, xq ÝÑ π1pX,xqe sobrejectivo, e o seu nucleo e igual ao subgrupo normal N gerado pelasrelacoes rγsα rγsβ, com j, k P J e γ um caminho em Uα X Uβ. Assim, φinduz um isomorfismo απ1pUα, xq

LN π1pX,xq.

Antes de passarmos a demonstracao observemos o seguinte:

(1) Dado um intervalo ra, bs R chamamos homeomorfismo linear afuncao ψ : r0, 1s Ñ ra, bs definida por ψptq p1tqatb com inversaψ1ptq pt aqpb aq. Qualquer funcao β : ra, bs Ñ X induz umcaminho α em X, nomeadamente: α β ψ. Reciprocamente,qualquer caminho α em X da origem a uma funcao β : ra, bs Ñ X,nomeadamente: β α ψ1.

(2) Seja 0 t0 t1 tk1 tk 1 a particao do intervalo r0, 1sem n intervalos iguais (ou seja, ti in). Dados pontos x0, . . . , xn PX e caminhos αi de xi1 para xi (em que i 1, . . . , n), definimosα1 αn : r0, 1s Ñ X como o caminho cuja restricao a cadaintervalo rti1, tis e a funcao induzida por αi.

(3) Dada uma qualquer particao 0 t0 t1 tk1 tk 1 dointervalo r0, 1s e um caminho α : r0, 1s Ñ X, a restricao de α a cadaintervalo rti1, tis da origem a um caminho αi : r0, 1s Ñ X, e temosα α1 αk.

Passemos a demonstracao do Teorema de Seifert-van Kampen:

94

Demonstracao. Vamos assumir que a interseccao de quaisquer 4 abertos dacobertura e conexa por arcos. Deixamos o caso geral como exercıcio.

Como φprγsαq φprγsβq, o homomorfismo φ induz um homomorfismorφ : π1pUα, xqLN Ñ π1pX,xq. Vamos provar que rφ e um isomorfismo.

Primeiro provamos que φ (e portanto tambem rφ) e sobrejectivo. Sejaγ : r0, 1s Ñ X um caminho fechado em X e seja δ um numero de Lebesgueda cobertura γ1pUαq do intervalo r0, 1s. Entao, tomando uma particao0 t0 t1 tn1 tn 1 do intervalo r0, 1s com ti ti1 δ, aimagem de cada intervalo rti1, tis vai estar contida num aberto Uαi . Sejaγi o caminho induzido pela restricao de γ a rti1, tis. Entao γ γ1 γkmas os caminhos γi podem nao ser lacos. Para cada i 1, . . . , k 1 sejaαi um caminho em Uαi1 X Uαi ligando o ponto γptiq a x0. Sejam tambemα0 αk ex0 e seja rγi αi1 γi αi. Entao rγi e um laco em Uαi eγ rγ1 γk logo rγs φ

rrγ1sα1 rrγnsαn o que termina a demonstracaoda sobrejectividade.

Falta mostrar que rφ e injectivo. Seja g P π1pUα, xqLN e vamos supor

que rφpgq 1. Queremos mostrar que g 1. O elemento g e representado por

um elemento rγ1sα1 rγksαk P απ1pUα, xq. A imagem rφpgq e representadapelo caminho γ1 γk em X (recorde que este caminho e obtido dividindoI em k intervalos iguais), e existe uma homotopia de caminhos H : II Ñ Xentre γ1 γk e o caminho constante ea. Dividindo cada subintervalocorrespondente a cada γi em n intervalos iguais, obtemos uma particao deI em kn intervalos iguais: 0 t0 t1 tkn 1. Esta particaodivide o quadrado I I em pknq2 quadrados Qi,j (em que i, j 1, . . . , kn),e para n suficientemente grande, a imagem por H de cada quadrado Qi,jvai estar contida num aberto Uαi,j . Restringindo H a cada aresta horizontalrti1, tisttju e a cada aresta vertical ttiurtj1, tjs dos quadrados obtemosos caminhos:

hi,jpsq Hp1 sqti1 sti, tj

e vi,jpsq H

ti, p1 sqtj1 stj

.

Entao:

(1) Para quaisquer i, j 1, . . . , kn temos hi,kn v0,j vkn,j ea.(2) Para cada caminho γ1, . . . , γk temos:

γ1 h1,0 h2,0 hn,0 como caminhos em Uα1 ;

γ2 hn1,0 h2n,0 como caminhos em Uα2 ;

...

γk hknn1,0 hkn,0 como caminhos em Uαkn .

(3) Pelo Lema 24.1 na pagina 88, os caminhos hi,j1 vi,j e vi1,j hi,jsao homotopicos em Uαi,j .

A cada vertice pti, tjq associamos um caminho fij unindo o ponto Hpti, tjqao ponto a do seguinte modo:

Se Hpti, tjq a tomamos fij ea.

95

Para i, j 0, tomamos o caminho fij no aberto Uαij X Uαi,j1 XUαi1,j X Uαi1,j1 que, por hipotese, e conexo por arcos (a demons-tracao ainda funciona se tomarmos fij em apenas 3 dos abertos;quais?).

Para j 0 e ti P spm 1qk,mkr tomamos o caminho fij emUαi,j1 X Uαi1,j1 X Uαm .

Seja rhi,j f i1,j hi,j fi,j e rvi,j f i,j1 vi,j fi,j . Cada caminho rhi,j e

um laco nalgum aberto Uα definindo um elemento rrhijsα P βπ1pUβ, xq. Se

a imagem de rhi,j estiver tambem contida tambem noutro aberto Uα1 , entao

rrhijsα e rrhijsα1 sao iguais no quociente, pelo que escrevemos simplesmente

rrhijs P βπ1pUβ, xqLN . A mesma observacao e valida para os caminhos

vij . Entao:

(1) Para quaisquer i, j temos rrhi,kns rrv0,js rrvkn,js 1.(2) Para cada caminho γ1, . . . , γk temos:

γ1 rh1,0 rhn,0 como lacos em Uα1 ;

γ2 rhn1,0 rh2n,0 como lacos em Uα2 ;

...

γk rhknn1,0 rhkn,0 como lacos em Uαkn ,

logo rγ1s rγks rrh1,0s rrhkn,0s em βπ1pUβ, xqLN .

(3) Para quaisquer i, j temos rhi,j1 rvi,j rvi1,j rhi,j como lacos em

Uαi,j , logo rrhi,j1srrvi,js rrvi1,jsrrhi,js em βπ1pUβ, xqLN .

Para cada j 0, . . . , kn seja gj rrh1,jsrrh2,js rrhkn,js. Entao g0 g egkn 1 pelo que, para terminar a demonstracao, basta mostrar que gj gj1 para todo o j. Temos:

gj1 rrh1,j1srrh2,j1s rrhkn,j1s rrv0,jsrrh1,j1srrh2,j1s rrhkn,j1s rrh1,jsrrv1,jsrrh2,j1s rrhkn,j1s rrh1,jsrrh2,jsrrv2,js rrhkn,j1s...

rrh1,js rrhkn,jsrrvkn,js gj

o que termina a demonstracao.

Exemplo 26.1. Para n ¡ 1 podemos escrever Sn UYV com U e V abertoscontracteis e U X V conexo por arcos logo Sn e simplesmente conexa.

Teorema 26.2. Seja X a uniao de subespacos fechados S1, . . . , Sk homeo-morfos a S1 e intersectando-se em exactamente um ponto, isto e: existe um

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a P X tal que Si X Sj tau para quaisquer i j. Entao π1pX, aq e o grupolivre com k geradores representados por caminhos γ1, . . . , γk, em que cadacaminho γi e um gerador de π1pSi, aq.Demonstracao. Seja xi P Si um ponto diferente de a. Entao Si txiu ehomeomorfo a R logo existe um retracto por deformacao ri : Sitxiu Ñ tau.Seja Ui Si Y

ji Sj txju. Entao, como os Si sao fechados, existem

retractos por deformacao Ui Ñ Si e Ui XUj Ñ tau, para i j. O resultadosegue agora directamente do Teorema de Seifert-van Kampen.

Teorema 26.3. Seja p : B2 Ñ X o quociente da bola B2 tx2 y2 ¤ 1u R2 por uma relacao de equivalencia que identifica apenas pontos na fronteiraS1 B2 e seja A ppS1q. Seja a P S1. Entao a inclusao i : A Ñ X induzum homomorfismo i : π1pA, rasq Ñ π1pX, rasq sobrejectivo cujo nucleo eigual a imagem do homomorfismo p : π1pS1, aq Ñ π1pA, rasq.Demonstracao. Seja U p

B2 t0u e seja V ppB2 S1q. Entao

U X V ppintB2 t0uq. Seja b a2 P intB2 t0u. Como V econtractil, o Teorema de Seifert-van Kampen diz-nos que o homomorfismoj : π1pU, rbsq Ñ π1pX, rbsq e sobrejectivo com nucleo igual a imagem do ho-momorfismo π1

U X V, rbs Ñ π1

U, rbs. Seja γ um laco em b que da uma

volta a origem. Entao pγ representa um elemento em π1pUXV, bq Z quee um gerador, e que portanto gera o nucleo de j. A funcao rpxq xxinduz uma retraccao por deformacao rr : U Ñ A o que mostra que i e so-brejectivo, com nucleo gerado por rr prγs p rrγs. Mas rrγs e umgerador de π1pS1, aq, o que termina a demonstracao.

Exemplo 26.2. O toro e um quociente do quadrado II obtido identificandopontos na fronteira. Como I I e homeomorfo a B2, o grupo fundamentaldo toro pode ser calculado usando o Teorema 26.3.

Exercıcios

(1) Seja x p1, 0, . . . , 0q P Rn1 e seja U Sn txu.(a) Justifique que U, U sao abertos em Sn.(b) Mostre que U X U e conexo por arcos para n ¡ 1. Sugestao:

recorde que temos homeomorfismos U, U Rn.(c) Mostre que a esfera Sn e simplesmente conexa para n ¡ 1.

(2) Seja X a uniao de dois abertos U , V tais que U XV e nao vazia e conexapor arcos. Seja a P U X V e sejam i : U X V Ñ U e j : U X V Ñ V asinclusoes. Calcule π1pX, aq sabendo que:(a) π1pU, aq π1pV, aq π1pU X V, aq Z, i e trivial e j e multi-

plicacao por n.(b) π1pU, aq π1pV, aq π1pU X V, aq Z, i e j sao isomorfismos(c) π1pU, aq π1pU X V, aq Z, π1pV, aq Z Z com geradores a, b, i

e um isomorfismo e j leva um gerador de Z para a.(d) U e simplesmente conexo, π1pU X V, aq Z, π1pV, aq Z Z com

geradores a e b, e j leva um gerador de Z para a.

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(e) π1pU, aq π1pU X V, aq Z, π1pV, aq Z2 e i e multiplicacao porn.

(3) Complete a demonstracao do Teorema 26.2: mostre que se X Ui e

a P Ui, com Ui abertos tais que π1pUi, aq Z e Ui X Uj simplesmente

conexos para quaisquer i j, entao π1pX, aq e o grupo livre gerado pelasimagens dos geradores de π1pUi, aq.

(4) O plano projectivo complexo CP2 e uma variedade de dimensao quatrotal que, dado x P CP2, CP2 txu e homotopicamente equivalente a S2.Mostre que CP2 e simplesmente conexo.

(5) Sejam B e B as bolas fechadas de raio um em R2 centradas em p1, 0qe p1, 0q, respectivamente.(a) Mostre que X e simplesmente conexo.(b) Sejam U X p1, 0q( e V X p1, 0q(. Use o Teorema de

Seifert–van Kampen com os abertos U e V para calcular o grupofundamental de X.

(6) Calcule o grupo fundamental da uniao da esfera S2 com o disco B2 noplano xy.

(7) Seja M uma variedade de dimensao n ¡ 2 e seja x P M . Mostre que ainclusao M txu ÑM induz um isomorfismo de grupos fundamentais.

(8) Seja p : Bn Ñ X o quociente de Bn por uma relacao de equivalencia queidentifica apenas pontos na fronteira Sn1 Bn. Mostre que para n ¡ 2a inclusao ppSn1q Ñ X induz um isomorfismo de grupos fundamentais.

(9) Seja K R3 um compacto e seja S3 a compactificacao de Alexandrof deR3. Mostre que a inclusao R3 K Ñ S3 K induz um isomorfismo degrupos fundamentais.

(10) Seja f : S1 Ñ S1 a funcao definida por fpzq zn, com z P C. A funcaof induz uma relacao de equivalencia em S1: x y sse fpxq fpyq. Sejap : B2 Ñ X o quociente obtido identificando os pontos de S1 por estarelacao.(a) Mostre que o grupo fundamental de X e isomorfo a Zn.(b) Mostre que, para n 2, o espaco X e homeomorfo a P2.

(11) Seja X a uniao de subespacos fechados X1, . . . , Xn com um ponto emcomum, isto e, existe um p P X tal que Xi X Xj tpu para quaisqueri j. Assumindo que para cada i existe em Xi uma vizinhanca Ui de ptal que a inclusao tpu Ñ Ui e uma equicalencia homotopica, mostre que ogrupo fundamental de X e o produto livre dos grupos fundamentais dosespacos Xi.

(12) Calcule o grupo fundamental da uniao da esfera S2 com um segmentounindo o polo norte ao polo sul. Sugestao: Exercıcio 20 na pagina 25.

(13) Seja X U1 Y U2 em que U1 e U2 sao abertos em X e U1 X U2 e naovazio e conexo por arcos, e seja a P U1XU2. Considere os homomorfismosφi : π1pU1 X U2, aq Ñ π1pUi, aq, ψi : π1pUi, aq Ñ π1pX, aq e ψ12 : π1pU1 XU2, aq Ñ π1pX, aq induzidos pelas inclusoes. Mostre que:(a) Se φ2 for um isomorfismo entao ψ1 e um isomorfismo.

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(b) Se φ1 e φ2 forem sobrejectivos entao ψ12 e sobrejectivo e kerψ12 egerado por kerφ1 e kerφ2.

(c) Se φ2 for sobrejectivo entao ψ1 e sobrejectivo. O que pode dizersobre kerψ1?

(14) Sejam M1, M2 variedades conexas de dimensao n ¡ 2. Calcule o grupofundamental da soma conexa M1#M2 em termos dos grupos fundamen-tais de M1 e de M2.

(15) Munkres, pag. 370, exercıcios 1, 3, 4(16) Seja tUiu uma cobertura aberta dum espaco X tal que cada Ui e simples-

mente conexo, cada interseccao Ui XUj e conexa por arcos ei Ui H.

Mostre que X e simplesmente conexo.(17) Seja T S1 S1 o toro, p : R2 Ñ T o revestimento usual. Seja A uma

matriz 2 2 de entradas inteiras.(a) Mostre que A : R2 Ñ R2 induz uma funcao contınua A : T Ñ T tal

que p A A p.(b) Mostre que se detA 1 entao A e um homeomorfismo.(c) Seja B2 tx2 y2 ¤ 1u R2. Sejam C1 B2 S1, C2 S1 B2

toros solidos, Ti Ci as “fronteiras”. Seja A como acima, detA 1. Construimos um espaco topologico M colando C1 e C2 ao longode T1,T2 usando A : T1 Ñ T2. Isto e,

M C1

²C2

e o quociente pela relacao de equivalencia que identifica x Axpara x P T1. Calcule π1pM,x0q, x0 P T1, em funcao das entradas damatriz A.

27. Classificacao de superfıciesNesta seccao vamos ver que qualquer variedade de dimensao 2 compacta econexa e homeomorfa ou a S2, ou a uma soma conexa de toros ou a umasoma conexa de planos projectivos. Comecamos com algumas definicoespreliminares.

27.1. Quocientes de Polıgonos

(1) Dados pontos p,q P Rn (com p q), o segmento entre p e q e oconjunto dos pontos p1 tqp tq p tpq pq com 0 ¤ t ¤ 1.Uma orientacao do segmento e uma ordenacao dos seus extremos pe q.

(2) Dado um segmento orientado de p1 para q1 e um segmento orientadode p2 para q2 chamamos homeomorfismo linear ao homeomorfismoque leva o ponto p1 tqp1 tq1 para o ponto p1 tqp2 tq2.

(3) Dados angulos 0 θ0 θ1 θn 2π, seja pk pcos θk, sin θkq PS1. O polıgono com vertices p1, . . . ,pn e o menor subconjunto con-vexo de R2 que contem os pontos p1, . . . ,pn. Chamamos arestas dopolıgono aos segmentos unindo os pontos pi1 e pi, com i 1, . . . , n.

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(4) Um esquema de etiquetas para as arestas dum polıgono P e:(a) uma escolha de orientacao para cada aresta de P ;(b) uma funcao do conjunto das arestas de P para um conjunto de

etiquetas taiuiPJ .(5) Dado um conjunto de polıgonos P1, . . . , Pk disjuntos dois a dois,

cada um com um esquema de etiquetas, definimos uma relacao deequivalencia em

Pi identificando as arestas com a mesma etiqueta

atraves do homeomorfismo linear que preserva as orientacoes.

E conveniente representar um esquema de etiquetas num polıgono de nlados por uma palavra da forma aε1i1a

ε2i2 aεnin em que aij e a etiqueta da

aresta pj1pj e εi 1 indica a orientacao da aresta: positiva de pj1 parapj e negativa de pj para pj1.

Exemplo 27.1. O toro e homeomorfo ao quociente dum quadrado com es-quema de etiquetas aba1b1. O plano projectivo e homeomorfo ao quoci-ente dum quadrado com esquema de etiquetas abab. A esfera e homeomorfaao quociente dum quadrado com esquema de etiquetas aa1bb1.

Definicao 27.1. Chamamos soma conexa de n toros, e representamos porTn T# #T, o quociente dum polıgono com 4n lados com esquema deetiquetas

pa1b1a11 b1

1 qpa2b2a12 b1

2 q panbna1n b1

n q .Chamamos soma conexa de n planos projectivos, e representamos por Pn P# #P, o quociente dum polıgono com 2n lados com esquema de etique-tas

pc1c1qpc2c2q pcncnq .Representamos as etiquetas por letras a, b, c, d, um conjunto de etiquetas

por rys e um esquema de etiquetas num polıgono por w.

Teorema 27.1. Sejam P1, . . . , Pk polıgonos disjuntos 2 a 2, com esque-mas de etiquetas w1, . . . , wk. As seguintes operacoes produzem quocienteshomeomorfos:

(1) (Cortar) Substituir um dos polıgonos Pi com esquema wi ry0sry1spor dois polıgonos com esquemas ry0sc1, cry1s, desde que a etiquetac nao apareca em mais nenhum lado.

(2) (Colar) Substituir ry0sc1, cry1s por ry0sry1s, desde que a etiqueta cnao apareca em mais nenhum lado.

(3) Substituir todas as ocurrencias duma etiqueta a por uma nova eti-queta c (que nao pode aparecer em mais nenhum lado).

(4) Mudar o sinal do expoente em todas as ocurrencias duma etiquetaa.

(5) (Rodar) Substituir um esquema wi ry0sry1s por ry1sry0s.(6) (Imagem no espelho) Substituir um esquema wi aε1i1 . . . a

εnin

pelo seu

inverso formal: w1i aεnin

. . . aε1i1.

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(7) (Pacman) Substituir um esquema da forma ry0saa1ry1s por ry0sry1s,desde que a etiqueta a nao apareca em mais nenhum lado.

Exemplo 27.2. A garrafa de Klein K dada pelo esquema de etiquetas abab1

e homeomorfa a P2.

Exemplo 27.3. O esquema acabcb e equivalente a aabcbc1 e tambem accaba1b1 logo P2#K e homeomorfo a P2#T.

27.2. Triangulacoes

Definicao 27.2. Uma triangulacao duma superfıcie S e:

(1) uma coleccao de triangulos tT1, . . . , Tku em Rn tais que a interseccaode quaisquer dois triangulos ou e vazia ou e um vertice de ambos ouuma aresta de ambos;

(2) um homeomorfismo f :Ti Ñ S.

Qualquer superfıcie compacta possui triangulacoes.

Teorema 27.2. Se f :Ti Ñ S e uma triangulacao duma superfı cie S,

cada aresta pertence a exactamente dois triangulos Ti.

Demonstracao. Se um aresta pertencer a apenas um triangulo, tomamos umponto x no interior da aresta. Entao:

(1) existe uma vizinhanca U de x homeomorfa a R2;(2) a vizinhanca U contem uma vizinhanca V de x tal que V txu e

contractil;(3) A vizinhanca V contem uma vizinhanca W de x tal que a inclusao

W txu Ñ U txu e uma equivalencia homotopica.

Estas 3 afirmacoes conduzem a uma contradicao pois a composicao W txu Ñ V txu Ñ U txu e necessariamente homotopica a uma constante.Se uma aresta pertencer a mais que um triangulo, procedemos de modosemelhante:

(1) Existe uma vizinhanca U de x tal que o grupo fundamental de Utxue nao abeliano.

(2) A vizinhanca U contem uma vizinhanca V de x homeomorfa a R2.(3) A vizinhanca V contem uma vizinhanca W de x tal que a inclusao

W txu Ñ U txu e uma equivalencia homotopica.

Estas 3 afirmacoes conduzem a uma contradicao.

Teorema 27.3. Qualquer superfıcie compacta e homeomorfa a um quoci-ente de triangulos P1, . . . , Pk com esquemas de etiquetas que identificam asarestas duas a duas.

Demonstracao. Dada uma triangulacao tT1, . . . , Tku de S tomamos triangulosdisjuntos P1, . . . , Pk R2 e homeomorfismos lineares fi : Pi Ñ Ti. Comecamospor definir uma relacao de equivalencia em

Pi: dadas arestas Ai Pi e

Aj Pj tais que fipAiq fjpAjq, identificamos os pontos de Ai com os de

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Aj pelo homomorfismo linear f1j fi : Ai Ñ Aj . As funcoes fi induzem

uma funcao no quociente f :Pi

LÑ

Ti que e contınua e sobrejectiva.

ComoPi

L e compacto e

Ti e Hausdorff, para mostra que f e um

homeomorfismo e apenas necessario mostrar que f e injectiva.

(1) Sejam xi P Pi e xj P Pj tais que fipxiq fjpxjq P Ti X Tj . SeTiXTj A for uma aresta, entao existem arestas Ai Pi e Aj Pjtais que fipAiq fjpAjq A. Estas arestas sao identificadas por logo rxis rxjs em

Pi

L. Assim, podemos assumir que TiXTj

tvu e um vertice e que fipxiq fjpxjq v.(2) Seja v P

Ti um vertice e seja C a coleccao dos triangulos quetem v como vertice. Dizemos que dois triangulos Ti, Tj P C sao

equivalentes se f1i pvq f1

j pvq. Note que, pelo que vimos em (1), seTiXTj for uma aresta entao Ti e Tj sao equivalentes. Agora fixaamosum triangulo T P C . Seja B1 a uniao dos triangulos equivalentes aT e seja B2 a uniao dos restantes triangulos em C . Vamos mostrarque B1 X B2 tvu: se x P B1 X B2 entao x P Ti X Tj com Ti B1

e Tj B2; entao Ti e Tj nao sao equivalentes logo Ti X Tj tvulogo x v. Mas isto e uma contradicao pois se tomarmos umapequena vizinhanca U de v entao U pU XB1qY pU XB2q pelo queU tvu e desconexo o que e absurdo. Provamos assim que B2 H.Portanto todos os triangulos sao equivalentes a T , pelo que f1pvqtem um so elemento. Assim, a funcao f e injectiva, o que termina ademonstracao.