F1-26Mar2012-resolucao - Resumos, apontamentos e exames ... · Sabendo que a série de termos...
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Matemática II 2011-‐2012 � 2.º Semestre � 1.ª Frequência
26 de Março de 2012
1/8
Pedro Raposo; Carla Cardoso; Pedro Henriques; Vasco Simões
O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas.
Grupo I
1. Calcule se possível, a soma da série 7 3n!1
! n + 42n +1
! 42n !5
"#$
%&'2
(
) . (2 valores)
2. Sabendo que a série de termos positivos 1
nU∞
∑ é convergente e tem por soma S, diga qual a
natureza da série 1 1
3 3 3 3( ) ...1 5 3 7 5 9 7 11n nV U
∞ ∞
= + + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑ e, no caso de ser convergente, qual
a sua soma (o ponto entre os números nos denominadores indica uma multiplicação).
(2 valores)
Grupo II
3. Considere a seguinte função de produção Cobb-Douglas, 1 12 25( , )
6f x y x y= . Nesta função x
representa o trabalho e y representa o capital. Num momento inicial o país utiliza 2 unidades de trabalho e 2 unidades de capital. Se x variar positivamente 0,1 unidades, utilize o conceito de diferencial para calcular quanto tem de variar o y para a função ( , )f x y não variar. (2 valores)
(Não vai ser avaliado por saber ou não mas, se tiver tempo indique o conceito económico que acabou de utilizar para responder a esta questão)
4. Calcule f fx yx y
∂ ∂+∂ ∂
no ponto ( , ) (1,2)x y = , sendo
( ) 2 2, com arcsen( 1)uf x y x uv u x y e v x= + = − = − . (2 valores)
5. Calcule derivada da função, no ponto ( , ) (2,2)P x y = segundo a direção da reta 3y x= no 1º
quadrante.
( ) 2, com ; ; ; ( )rf u v u v u r s v r x y s xys
ϕ= + = = = + =
Considere ainda que ( ) ( )4 5 e 4 1ϕ ϕ′= = . (2 valores)
2/8
Grupo III
6. Seja 1 2( , ) ( , ) ( , )g x y f x y f x y= + onde 4
2 ( , ) arcsenx xf x yx y y
=+
e 1( , )f x y é homogénea de grau 2.
a) Verifique o grau de homogeneidade da função 2f . (0.5 valores)
b) Calcule o valor de (1,2) (1,2)
3 6g gx y
⎛ ⎞⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠
∂ ∂∂
sabendo que 1( 2, 4) 2f − − = (2 valores)
7. Seja ( , )f x y homogénea de grau 2 . Seja λ a designação genérica da direção do vetor (1,1)v→=
Mostre que, em qualquer ponto ( , )P a b da bissetriz dos quadrantes impares (exceto na origem) se
tem ( , )
P
f a ba
fλ
=∂⎛ ⎞
⎜ ⎟∂⎝ ⎠. (2 valores)
Grupo IV
8. Calcule os pontos de estacionaridade (se existirem) da seguinte função (1.5 valores):
3 2 2 25( , ) 2f x y x xy x y+ + +=
9. Considerando 1z ≠ − , calcule os máximos e mínimos livres (se existirem) da seguinte função (2 valores):
2 2 2 3 2( , , , ) 6 3yf x y z u xy x x z u z− + − + + −=
10. Considere a função 2 2( , )f x y x y= + sujeita a ( )2 2
2 2 1, 0x y a ba b
+ = > > . Utilize o método dos
multiplicadores de Lagrange para calcular os extremos da função. (2 valores)
Boa sorte.
3/8
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
Grupo I
1. Calcule se possível, a soma da série 1
2
3 4 472 1 2 5
n
n n nπ
−∞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
∑ .
73n!1
! n + 42n +1
! 42n !5
"#$
%&'2
(
) = 73
3n
! n
"#$
%&'2
(
) ! 4 12n !5
! 12n +1
"#$
%&'2
(
) = 21! (! ! 3)
! 43
Cálculo da série de Mengoli:
( ) ( )1 1 logo 3 32 5 2 1
f n f n kn n
= + = → =− +
( ) ( ) ( ) 1 1 11 2 3 3lim 1 12 5 3 3MS f f fn
⎛ ⎞= + + − = − + + =⎜ ⎟−⎝ ⎠
Cálculo da série geométrica:
3 3 1 , logo a série é convergenter rππ
= → = <
( )2 293 9
3 3 ( 3)1GSπ π
π π ππ π= = =− −−
então 73n!1
! n + 42n +1
! 42n !5
"#$
%&'2
(
) = 73
9! (! ! 3)
! 413= 21! (! ! 3)
! 43
.
2. Sabendo a soma de nU só temos de calcular a soma da 2a parte da série:
1 1 1
3 3 3 3 13 11 5 3 7 5 9 7 11 (2 1)(2 3)n nV U S S
n n
∞ ∞ ∞
= + + + + = + = +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +∑ ∑ ∑
1
1 1
1(2 1)(2 3) (2 1) (2 3)
A Bn n n n
∞ ∞
= +− + − +∑ ∑
Cálculo auxiliar:
( )( )
1 1/ 4 1/ 42 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
A Bn n n n n n
= + = −− + − + − +
31/22
1 1 2 1 2 3 4 2 1 4n n
A Bn n= =−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ∧ = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Mengoli 2k =
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1lim(2 1)(2 3) 4 (2 1) (2 3) 4 1 3 (2 1) 3n n n n n
∞ ∞ ⎛ ⎞= − = + − =⎜ ⎟− + − + −⎝ ⎠
∑ ∑
1 Ver cálculo auxiliar a seguir.
4/8
Grupo II
3. Considere a seguinte função de produção Cobb-Douglas, 1 12 25( , )
6f x y x y= .
Temos (2,2) 5 / 3f = e se não há variação da finção é
0 0f
f f f f dy xdf dx dy dx dy fx y x y dxy
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = ⇔ + = ⇔ = − ∂∂ ∂ ∂ ∂
∂
No nosso caso, 1/2 1/2
1/
(2,2)
2 1/2
5 16 2 15 10,16 2
x ydy ydx x y
−
−
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟Δ≈ = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
e 110
yΔ = − .
Utilizou-se o conceito de tx marginal e substituição entre 2 recursos df=0:f
dy xfdxy
∂∂= − ∂∂
4. ( )( )1
2
1log .21 (
.)
11
u uf f u f v ux x x v x ux u x v x x
fx
−∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + + +∂
∂∂ ∂ ∂ − −∂ ∂
( )( ) ( )l1 og 2 0uf u f v x x v yu y v y
fy
∂ ∂ ∂ ∂= + = + ⋅ − +∂ ∂∂ ∂
∂∂
No ponto ( , )P x y : 3 ; 0 ; 6 ; 0fu v fx y
= −∂
= ∂= ∂∂
− = logo: 6fx fx yy∂ ∂∂
+ = −∂
5. Cálculo das derivadas:
22
12df f u r u s f v r v s rrs r y ydx u r x s x v r x s x s s
ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ′ ′= + + + = + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
22
12df f u r u s f v r v s rrs r x xdy u r y s y v r y s y s s
ϕ ϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′= + + + = + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
No ponto ( , )P x y : 1797 17978 ; ; 4 ; 5 ; ;2
4025 55
u f fx
sy
v r ∂ ∂∂ ∂
= = = = = =
Cálculo dos cosenos diretores:
Alternativa 1: a direção da reta 3y x= , é a direção do vetor 1, 3( ) logo , norma do vetor é
32 +12 = 2 e podemos substituir diretamente da definição de derivada dirigida.
Alternativa 2: ( ) ( ) 3tg 3 arctg 3 cos3 3 2π πθ θ θ ⎛ ⎞= ⇔ = ⇔ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Se !=" /3 e !+#=" /2,então #=" /6 ! cos(# )=cos(" /6)=1/2
logo: ( )1797 3 1797 1797 325 2 25 2
1 150P
fλ
⎛ ⎞ = + =⎝∂∂⎜ ⎠
+⎟
5/8
Grupo III
6.
(1,2) (1,2)(1,2) (1,2) (1,2)
3 6 3 1 2 3g g g g g gx yx y x y x y
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
(1,2) (
1
1,
2
)
1 2
2
3 3f f f fx y x yx y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
como 1( , )f x y é homogénea de grau 2 e 4
32 ( , ) arcsenx xf x y
x y yλ λ λ=
+, isto é, 2f é homogénea de
grau 3, fica
1 2(1,2) (1,2)
3 6 3 2 (1,2) 3 3 (1,2)g g f fx y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ + = × + × =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 6 f1(1,2) + 9!13arcsen 1
2= 6 f1(1,2) + 3
!6= 6 f1(1,2) +
!2
e resta obter o valor de 1(1,2)f .
( ) ( )2
1 1 11 1 1(1,2) 2 , 4 ( 2, 4)2 2 2
f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − × − − × − = − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 124 2
= × =
Então: 1(1,2) (1,2)
3 6 6 (1,2) 32 2
g g fx y
π π⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. cos cosP P P
f f fx y
α βλ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12 P P
f fx y
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
como P é ponto da bissetriz dos quadrantes impares (excluindo a origem), 0a b= ≠ , então
( , ) ( , )
12 2P P a a aP a
f a f f f fa a ax y x yλ
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
e como f é homogénea de grau 2 , ( , ) ( , )
2 ( , ) 2 ( )a a a a
f fa a f a a f Px y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ + = =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ logo:
( )
( ) , 0
P
P
fa f P
f f P aa
λ
λ
∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∂⎛ ⎞ = ≠⎜ ⎟∂⎝ ⎠
c. q. d.
6/8
Grupo IV
8.
2 26
2 2 0
10 0y xf xxf xy yy
+ + =∂ =∂∂ = + =∂
2 22 2
10 010 0
0( 1) 0
6
21
62 0
xx
y xy x
yy xy
xx y
+ + =+ + =
=+ = →
=
⎧⎧ ⎪⎨ ⎨
+ =⎩ −⎪⎩
I) II)
2 10 060y
x x+ ==
⎧⎨⎩
2 2 10 01
6 y xxx
+ == −
⎧ +⎨⎩
0(3 5) 0
5 / 30
xx x
xy
⎧ =+ = →⎪ = −⎨
⎪ =⎩
2 2
1
42
yy
y
x
⎧ == →⎪ = −−
⎨=⎪
⎩
5(0,0) ; , 03
A B ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ( 1, 2) ; ( 1, 2)C D− − −
9.
2
2
2 6 0
3
2 2 0
032 0
x
y
z
u
f yxy y
zu
xf
ff
+ − =′ == − =
′ ==
′
=′ =
−
2
2
( 1) 02 6
11
01
y x
zy x
z
uz
⎧ + =⎪⎪⎪
=⎨ = →
−
= −
=
=
⎪⎪⎪⎩
I) II)
2
0( 1
0
6
1
) 0
2
1
yy
y xx
u
x
z
=− = →
=
=
⎧ + =⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩
2 2 60
(1
1
1) 0
0
yy
y xx
x
zu
=− = →
=
=
⎧ + =⎪⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎪⎩
IA) IB) IIA) IIB)
2
0
2 6
10
yy
x
zu
⎧ + =⎪⎪⎨
==
=⎪⎪⎩
2
0
2 6
11
yx
x
zu
⎧ + =⎪⎪⎨
==
=⎪⎪⎩
2
02 6
01
yyzu
x⎧ + =⎪⎪⎨
= −=
=⎪⎪⎩
2
12 6
01
yxzu
x⎧ + =⎪⎪⎨
= −=
=⎪⎪⎩
3
1
(3,0,1,
0
00)
x
zuA
y=⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩ =
==
1
(1, 2, 1,0)(1, 2,1
1
0
,
2
0)B
yxzu
C
= ±=
=
⎧⎪⎪⎨ =⎪⎪⎩
−
3
1
(3,0, 1,0 )
0
0
yzu
x
D
=⎧⎪⎪⎨ = −⎪⎪⎩
−
=
=
2
1
( 1,
1
02, 1, 0 )
(1, 2, 1,0 )
x
F
z
y
Eu
= ±⎧⎪⎪⎨ = −⎪⎪ =⎩
−− −
=
7/8
2 2 0 02 2 2 0 00 0 6 00 0 0 2
f
yy x
Hz
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A B C D E F 1 2Δ = 2 2 2 2 2 2
22 4( 1)x yΔ = − − 8 -16 -16 8 -16 -16
3 26zΔ = Δ 48 ----- ----- -48 ----- -----
4 212zΔ = Δ 96 ----- ----- ----- ----- ----- Mínimo PS PS PS PS PS
( ) 11Minf f A= = − Nota: com a condição z ! "1 só era preciso calcular os pontos A, B e C.
10.
2 22 2
2 2 1x yL x ya b
λ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
22 22
2 22 2
2 2 2 22 22 2
2 22 2
2 2 1 02 000
22 0 2 1 0 0 00 1 . _____
11 0
L x xx ax a x ax aL yy y y b y by b b
imp y b x ax yL x ya ba b
λλ
λλλλ λ λ
λ
⎧ ⎧ ⎛ ⎞∂ − =⎪ = − = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ ∂ ⎧⎪ = =⎧ ⎧= =⎧⎪ ⎪⎪∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛ ⎞= − = ⇔ − = ⇔ = ∨ = ∨ = ∨ = ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎩ ⎩ ⎩ ⎩⎪ ⎪⎛ ⎞∂ + =⎪ ⎪= − + − =⎜ ⎟∂ ⎩⎪ ⎝ ⎠⎩
22 2
2 2 2 2
0 00 0 . 0
_____
x x aa ab b y y a b imp a b
y b y b x a x a
λλ λλ λ
⎧= = =⎧ ⎧ ⎧ ⎧= =⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ = ∨ = ∨ = ∨ = ∨ = > >⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = − = = −⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ Os pontos de estacionaridade são:
2 2
(0, )( ,0) B bA aa bλ λ
±±= =
2 2
2 2
2 2 4 2 4 2
2 2
2 20
2 2 1 0 8 1 1
2 0 2 1
x ya b
x y xa a b a a byb b
λ λ λ
λ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = − − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠