F128 - Exercícios Resolvidos - Cap. 2 · A velocidade de uma partícula que se move ao longo do...

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F128 - Exercícios Resolvidos - Cap. 2

Exercício 1A figura representa o gráfico (v × t) do movimento de uma partícula.

a) de quanto variou a posição da partícula nos intervalos (0−2, 0)s, (2, 0−4, 0)s, (4, 0−6, 0)s,(5, 0− 8, 0)s?

Atenção, calcular a "área abaixo do gráfico" na verdade significa calcular a área entre o gráficoe o eixo que passa por v = 0m/s. Vamos colorir a região cujo valor numérico da área (que é aintegral definida) corresponde ao deslocamento realizado no dado intervalo:

• 0 ≤ t ≤ 2Área do triângulo: ∆x = b·h

2 = 2s·2m/s2 = 2m

• 2 ≤ t ≤ 4Área do retângulo: ∆x = b · h = (4− 2) · 2 = 4m

• 4 ≤ t ≤ 6Área de dois triângulos, um em v > 0 e outro em v < 0: ∆x = 1·2

2 −1·22 = 0m

• 5 ≤ t ≤ 8Área do trapézio (onde v < 0): ∆x = − (B+b)·h

2 = − (3+1)·22 = −4m

c©2015 Resolvido por Douglas D. Souza.Para aulas particulares na UNICAMP: [email protected]

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b) supondo-se que x = 0 em t = 0, em que instante a partícula passará de novo pela origem?Inicialmente a partícula se move no sentido positivo de x (velocidade positiva) iniciando um

movimento acelerado, depois uniforme e a seguir retardado (ela freia). Apenas em t = 5s apartícula muda de direção e começa a retornar no eixo x. Neste instante (t = 5s) a partícula teráse deslocado:

Área do trapézio = ∆x = (B + b) · h2 = (5 + 2) · 2

2 = 7m

Após este instante a partícula retrocede em x, inicialmente com um movimento acelerado,depois uniforme e finalmente retardado (ela freia novamente) e para no instante t = 8s. Odeslocamento realizado neste intervalo de tempo será:

Área do trapézio abaixo do eixo = ∆x = −(B + b) · h2 = −(3 + 1) · 2

2 = −4m

A partícula avança 7m e retrocede 4m, chegando em x (8) = 3m. Concluímos que no períodode tempo representado a partícula não passará novamente pela origem.

c) qual é a velocidade média da partícula nos intervalos (0− 2, 0)s; (2, 0− 4, 0)s; (2, 0− 6, 0)s;(3, 0− 7, 0)s; (5, 0− 8, 0)s?

Para calcularmos a velocidade média em um intervalo de tempo onde a velocidade varia pre-cisamos calcular o deslocamento total e dividir pelo tempo1:

• 0 ≤ t ≤ 2v = ∆x

∆t= 2m

2s= 1m/s

• 2 ≤ t ≤ 4Neste intervalo a velocidade é constante, ou seja, a velocidade média no intervalo é igual avelocidade instantânea em cada instante dentro do intervalo de tempo, v = 2m/s.

• 4 ≤ t ≤ 6v = ∆x

∆t= 4m+1m−1m

(6−2)s = 1m/s

• 3 ≤ t ≤ 7Pela simetria do gráfico notamos que a partícula se desloca no sentido positivo e negativo amesma quantidade, v = ∆x

∆t= 0m

(7−3)s = 0m/s

• 5 ≤ t ≤ 8v = ∆x

∆t= −4m

3s= −4

3m/s

d) qual é a aceleração média da partícula nos intervalos(0 − 2, 0)s; (2, 0 − 4, 0)s; (2, 0 − 6, 0)s;(5, 0− 8, 0)s?

Aqui nos importa apenas a velocidade instantânea da partícula no início e no final do intervalopedido:

1Atenção: velocidade média NÃO é média de velocidades. Por exemplo: considere uma partícula que parte dorepouso e volta ao repouso, vi = 0m/s e vf = 0m/s. A média dessas duas velocidades é 0m/s, mas com certeza avelocidade média neste intervalo de tempo não é nula!


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• 0 ≤ t ≤ 2a = ∆v

∆t= v(2)−v(0)

2s= 2m/s

2s= 1m/s2

• 2 ≤ t ≤ 4Neste intervalo a velocidade não sofre variação, ou seja, a aceleração é nula:a = ∆v

∆t= v(4)−v(2)

2s= (2m/s)−(2m/s)

2s= 0m/s2

• 2 ≤ t ≤ 6a = ∆v

∆t= v(6)−v(2)

4s= (−2m/s)−(2m/s)

4s= −1m/s2

• 5 ≤ t ≤ 8a = ∆v

∆t= v(8)−v(5)

3s= (0m/s)−(0m/s)

3s= 0m/s2

e) qual é a aceleração da partícula nos instantes t = 1, 0s; t = 3, 0s; t = 5, 0s; t = 6, 5s?A aceleração instantânea é a inclinação da curva da velocidade em função do tempo, em um

dado ponto2. Como o gráfico da velocidade é todo formado por retas sabemos que a aceleração éconstante em cada intervalo onde o comportamento da velocidade se mantém (ela só cresce, ou sófica constante, ou só decresce).

• t = 1sEntre 0s e 2s a aceleração é constante, assim a aceleração instantânea é igual à aceleraçãomédia neste intervalo:a = (2−0)m/s

(2−0)s = 1m/s2

• t = 3sNesse instante a velocidade é constante, portanto a = 0m/s2

• t = 5sNesse instante a inclinação da reta é dada por:a = (−2)−(2)

6−4 = −2m/s2

• t = 6, 5sNesse instante novamente a velocidade é constante e a aceleração é nula, a = 0m/s2

Exercício 2A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x varia com o tempo segundo aexpressão v = (40− 5t2)m/s, onde t é dado em segundos.

a) ache a aceleração média no intervalo de t = 0 a t = 2, 0s;Calculamos a aceleração média quando não estamos preocupados com o comportamento

detalhado da velocidade3. Neste item, não importa o que aconteceu com a velocidade no intervalo0 ≤ t ≤ 2, o que importa é com qual valor ela começou e com qual ela terminou. Essa variaçãode velocidade dividida pelo intervalo de tempo é o que chamamos aceleração média:

2Esta é a interpretação geométrica da derivada. Se o gráfico é uma reta então a inclinação é o coeficiente angularda reta, a = dv

dt= m = tan θ, onde θ é o ângulo que esta reta faz com a horizontal.

3Também calculamos velocidade média quando não nos importa o comportamento detalhado da posição. Nestecaso o que interessa é apenas o deslocamento realizado e o tempo que passou.


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a = ∆v

∆t= v (2)− v (0)

2− 0 = 20− 402 = −10m/s2

b) determine a aceleração em t = 2, 0s;A aceleração instantânea em t = 2s é a taxa com que a velocidade varia naquele instante.

Esta taxa de variação é o que chamamos de derivada. Queremos portanto saber quanto é aderivada de v (t) no instante t = 2s:

a (2) = dv

dt

∣∣∣∣∣t=2

= (−10t)|t=2 = −20m/s2

c) determine a expressão da posição da partícula em função do tempo, admitindo que ela partede x = 0 em t = 0?

Devemos ter em mente que a velocidade não varia uniformemente (a aceleração não éconstante, ou seja, o movimento não é uniformemente acelerado!). Por essa razão não podemosusar nenhuma daquelas fórmulas conhecidas do cursinho.

Se dividirmos o eixo t em pequenos intervalos, podemos calcular a posição da partícula so-mando cada pequeno deslocamento ∆xi que é realizado em cada pequeno intervalo ∆ti. Paraum ∆ti muito pequeno a velocidade não chega a variar muito e podemos dizer que a velocidadeé aproximadamente constante nesse pequeno intervalo. Considerando intervalos iguais de tempo∆t, o deslocamento neste intervalo é portanto ∆xi = v (ti) ∆t, e o deslocamento total entre t = 0se um certo t = t′ seria dado por:

x (t′)− x (0) =t′∆t∑

i=1∆x =

t′∆t∑

i=1v (ti) ∆t

Quando fazemos ∆t infinitamente pequeno (limite ∆t → 0) a aproximação de v constantetorna-se exata e o número de intervalos somados torna-se infinito. Na confrontação destes doisinfinitos caímos na definição de integral dada por Riemann:

lim∆t→0

t′∆t∑

i=1v (ti) ∆t =

ˆ t′

0v (t) dt

Temos portanto:

x (t′) = x0 +ˆ t′

0v (t) dt

= 0 +ˆ t′

0

[40− 5t2

]dt

=[40t− 5t3

3

]t=t′

x (t) = 40t− 5t3

3

onde renomeamos a variável t′ → t por conveniência.


http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann

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Exercício 3Chegando atrasado a uma estação ferroviária, um passageiro corre com velocidade constante aolongo da plataforma onde o trem está parado. Quando ele se encontra a 25m do último vagão, otrem arranca com aceleração constante de 0, 5m/s2.

a) qual deve ser a velocidade mínima do passageiro para que ele consiga alcançar o trem?Vamos escrever uma função para a posição do trem, xT e uma função para a posição do

passageiro, xP . Adotando como origem a posição inicial do passageiro ao ver o trem arrancandotemos:

xP (t) = vt

vT (t) = 25 + 0, 52 t2

onde v é a velocidade do passageiro que precisamos calcular.O trem acelera, ou seja, move-se de vagar no início e depois cada vez mais rápido. Se o

passageiro corre com grande velocidade ele irá ultrapassar o trem, mas algum tempo a seguir otrem irá ultrapassá-lo de volta (uma reta cruzando uma parábola em dois pontos). Por outrolado se o passageiro correr com pouca velocidade ele nunca irá ultrapassar o trem (uma reta nãocruzando a parábola). O caso em que queremos é intermediário, o passageiro possui velocidadeapenas para alcançar o trem e ficar para trás. Os três casos estão representados nas figuras abaixo:

Podemos escrever a distância entre eles como sendo:

D (t) = xT (t)− xP (t)

D (t) = 0, 25t2 − vt + 25

Pela equação notamos que o gráfico de D (t) é uma parábola virada para cima e v é umparâmetro ajustável que determina a posição vertical dessa parábola.

Para o primeiro gráfico esta distância torna-se negativa quando o passageiro ultrapassa o trem.Isso implica que ∆ > 0 na fórmula de Bhaskara, ou seja, D (t) possui duas raízes reais e diferentes,cruzando o eixo t em dois pontos distintos.

Para o segundo gráfico D (t) nunca se torna negativo, ou seja, a parábola nunca cruza o eixot.


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No caso em que queremos, v é tal que a parábola D (t) apenas toca o eixo t em um únicoponto. Isso implica que ∆ = 0 na fórmula de Bhaskara:

∆ = v2 − 4× 0, 25× 25 = 0v2 = 25v = 5m/s

O passageiro precisa correr com no mínimo v = 5m/s para poder alcançar o trem.b) na realidade, o passageiro, carregando bagagem, tem uma velocidade de 4, 0m/s, de modo

que ele não consegue alcançar o trem. Qual é a distância mínima a que ele chega?Neste item temos a situação do segundo gráfico. Podemos resolver este problema de duas

formas distintas:

Sem usar o cálculo (forma mais esperta)

Notemos que enquanto a velocidade do passageiro for maior que a velocidade do trem o passageiroestá se aproximando do trem. No momento em que o trem atinge a velocidade do passageiro é queocorre a distância mínima entre eles. A partir daí o trem apenas se afasta, por ter uma velocidademaior. Queremos achar portanto o instante t′ em que trem e passageiro têm a mesma velocidade:

vT (t′) = vP (t′)

A velocidade do passageiro é constante vP = 4m/s e a velocidade do trem é simplesmentevT (t) = 0, 5t. Logo:

0, 5t′ = 4t′ = 8s

Usando o cálculo (forma mais técnica)

A função distância é dada por:

D (t) = 0, 25t2 − 4t + 25

Para encontrar o mínimo dessa função (o vértice da parábola) nós procuramos o ponto t = t′

em que a reta tangente é horizontal, ou seja, o ponto onde a derivada é nula:

dD (t)dt

∣∣∣∣∣t=t′

= 0

0, 25× 2t′ − 4 = 0t′ = 8s

A distância mínima que o passageiro atinge é D (8) = 9m.


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Exercício 4Dois automóveis partem simultaneamente de dois marcos A e B, distando 5× 102m, indo um aoencontro do outro. O automóvel A mantém uma aceleração constante de 2, 0m/s2 até atingir avelocidade de 20m/s, continuando em movimento uniforme (velocidade constante). O automóvelB mantém sempre uma aceleração constante de 1, 0m/s2.

a) quanto tempo depois da partida os automóveis se encontrarão?Podemos dividir o problema em duas partes e resolver pelas equações de movimento ou resolvê-

lo totalmente através da construção de gráficos da velocidade:

Carro A

Carro B

5 10 15 20t HsL

-20

-10

10

20v Hm�sL

A área entre os dois gráficos corresponde à redução na distancia entre os dois automóveis.Quado esta área for A = ∆x = 500m os dois carros terão se cruzado. Calculamos:

Área do trapézio: (b + B) · h2 = (t− 10 + t) · 20

2 = 20t− 100

Área do triângulo inferior: b · h2 = t · (at)

2 = t2

2

A soma destas duas áreas deve ser:

20t− 100 + t2

2 = 500

t2

2 + 20t− 600 = 0

Os dois carros se cruzarão no instante t = 20s (o resultado negativo não possui significadofísico).

b) a que distância do marco A se dará o encontro?Calculando graficamente o deslocamento do carro A temos:

d = (B + b) · h2 = (20 + 10) · 20

2 = 300m

A distância do marco A ao ponto de cruzamento é d = 300m.


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Exercício 5Um barco está viajando rio acima no sentido positivo de um eixo x a 14km/h em relação à águado rio. A água flui a uma velocidade de 9, 0km/h em relação às margens.

a) quais são o módulo e o sentido da velocidade do barco em relação às margens?Primeiro devemos dar um símbolo para cada quantidade (vetor) que usaremos:• ~vBR = velocidade do barco em relação ao rio;

• ~vRM = velocidade do rio em relação às margens;

• ~vBM = velocidade do barco em relação às margens.O barco move-se sobre a água e a água move-se em relação às margens, carregando o barco:

Tomando o eixo orientado na direção "rio acima", a composição das velocidades é dada por:

Quando escolhemos um eixo para representar os vetores podemos reescrever a equação dosvetores usando apenas os seus módulos:

vBM = vBR − vRM

= 14km/h− 9km/h

vBM = 5km/h

Isso significa que o barco se desloca a 5km/h, rio acima (sentido positivo do eixo).

b) Uma criança caminha no barco da popa (traseira) para a proa (frontal) a 6, 0km/h emrelação ao barco. Quais são o módulo e o sentido da velocidade da criança em relação às margens?

Temos dois novos vetores para nomear:


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• ~vCB = velocidade da criança em relação ao barco;

• ~vCM = velocidade da criança em relação às margens.

Fazendo novamente a composição das velocidades temos:

Como escolhemos o eixo no sentido rio acima podemos trabalhar apenas com os módulos dosvetores:

vCM = vCB + vBM − vRM

= 6km/h + 14km/h− 9km/h

vCM = 11km/h

Isto é, a criança se move a 11km/h em relação à margem do rio.

Exercício 6A figura representa o gráfico (a× t) do movimento de uma partícula.

a) de quanto variou a velocidade da partícula nos intervalos (0, 0− 3, 0)s; (0, 0− 4, 0)s; (0, 0−5, 0)s; (0, 0− 6, 0)s; (1, 0− 7, 0)s?

A variação da velocidade em cada intervalo é dada pela área entre a curva da aceleração e oeixo t:

• De 0s a 3s∆v = b · h = 3 · 2 = 6m/s

• De 0s a 4s∆v = 3 · 2− 3 · (4− 3) = 3m/s


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• De 0s a 5s∆v = 3 · 2− 3 · (5− 3) = 0m/s

• De 0s a 6s∆v = 3 · 2− 3 · (5− 3) + 1 · (6− 5) = 1m/s

• De 1s a 7s∆v = 2 · (3− 1)− 3 · (5− 3) + 1 · (7− 5) = 0m/s

b) supondo-se que v = 0 em t = 0, qual é a velocidade da partícula nos instantes t = 4, 0s et = 5, 0s?

A velocidade em um dado instante é a velocidade inicial mais a variação que a velocidade sofredesde o momento inicial até o dado instante (item anterior):• Em t = 4s

v (4) = 0 + 3 · 2− 3 = 3m/s

• Em t = 5sv (5) = 0 + 3 · 2− 3 · 2 = 0m/s

c) supondo-se que x = 0 e v = 0 em t = 0, qual é a posição da partícula nos instantes t = 3, 0s et = 5, 0s?• Em t = 3s

Perceba que a função a (t′) é contínua no intervalo dado, o que permite escrever e resolver aintegral de uma vez só:

x (3) =ˆ 3

0

ˆ t

0a (t′) dt′ =

ˆ 3

0

ˆ t

02dt′ =

ˆ 3

02tdt = 2t2

2

∣∣∣∣∣3

0= 9m

Ainda assim, é mais simples a construção de um gráfico da velocidade e a seguir calcular aárea do gráfico para obter o deslocamento:

0 1 2 3 4 5 6 7t HsL

1

2

3

4

5

6

7v Hm�sL

x (3) = x0 + b·h2 = 0 + 3·6

2 = 9m

• Em t = 5sUtilizando o gráfico acima calculamos facilmente (área do triângulo maior):x (5) = x0 + b·h

2 = 0 + 5·62 = 15m

d) supondo-se que v = −3, 0m/s em t = 0, qual é velocidade média da partícula nos intervalos(0, 0− 3, 0)s; (0, 0− 5, 0)s; (3, 0− 7, 0)s?

Neste caso, o gráfico da velocidade plotado anteriormente é apenas deslocado para baixo:


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2 4 6 8t HsL

-3

-2

-1

1

2

3

v Hm�sL

Para calcularmos a velocidade média precisamos conhecer o deslocamento da partícula nosintervalos dados:

t = 0s a t = 3s t = 0s a t = 5s t = 3s a t = 7s

2 4 6 8

-3

-2

-1

1

2

3

2 4 6 8

-3

-2

-1

1

2

3

2 4 6 8

-3

-2

-1

1

2

3

v = ∆x∆t

= 03 = 0m/s v = ∆x

∆t= 0

5 = 0m/s v = ∆x∆t

= −44 = −1m/s

Exercício 7Duas partículas movem-se ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x = 6t2 +4t+2,onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a = −8t, onde aestá em metros por segundo ao quadrado. Em t0 = 0, a velocidade da partícula 2 é 20m/s.

a) em que instante as duas partículas têm mesma velocidade?Neste problema a aceleração da partícula não é constante, isto nos obriga a realizar uma

integração4.Velocidade da partícula 2:

v2 (t)− v2 (0) =ˆ t

0a2 (t′) dt′

v2 (t)− 20 =ˆ t

0(−8t′) dt′

v2 (t) = 20 +(−8t′2

2

)t

0

= 20− 4t2

4A integral definida é a integral calculada dentro de um intervalo bem especificado e corresponde à variação dafunção primitiva neste intervalo. Uma função primitiva v (t) é a que derivamos para obter outra função a (t). Avariação da função primitiva num intervalo [a, b] é a integral definida da função que foi derivada: v (b) − v (a) =´ b

aa (t′)dt′. No exercício, perceba que t′ é a variável de integração e percorre o intervalo que vai de 0 até t.


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Velocidade da partícula 15:

v1 (t) = dx1 (t)dt

= 12t + 4

Plotando estas duas velocidades como funções do tempo temos:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t HsL

5

10

15

20

25

30v Hm�sL

O que queremos saber agora é em qual instante particular t′ temos v1 (t′) = v2 (t′)6, ou seja,onde os gráficos se cruzam:

12t′ + 4 = 20− 4t′2

4t′2 + 12t′ − 16 = 0

E resolvendo obtemos t′ = 1s, pois a outra raiz, negativa, não é válida neste problema.

b) que velocidade é essa?Podemos calcular v1 (1) ou v2 (1). Calcularemos v1 (1) que é mais simples:

v1 (1) = 12 · 1 + 4 = 16m/s

v1 (1) = v2 (1) = 16m/s

5A derivada é calculada em um tempo específico t, a ser decidido posteriormente (variável). A notação mais

completa seria v (t) = dx(t′)dt′

∣∣∣∣t′=t

, representando que a derivada da função x (t′) está sendo calculada no ponto t.

Como há pouca chance de confusão, encurtamos a notação para facilitar o entendimento.6Note que v1 (t) = v2 (t) não é válido para qualquer t. Por esta razão deixamos claro que queremos encontrar

um valor único t′ que satisfaz esta igualdade. Aqui t′ é uma incógnita e t é uma variável que representa todo oeixo dos tempos.


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Exercício 8 (extra)Uma partícula move-se ao longo do deixo x. No instante t = 0, sua posição é x = 0. A figuramostra como varia a velocidade v da partícula em função do tempo.

a) qual é o valor de x em t = 1, 0s?Em um gráfico da velocidade×tempo, o deslocamento é numericamente igual à área entre a

curva e o eixo dos tempos (integral da velocidade no tempo). Esta área está pintada de azul nográfico abaixo:

Portanto, em t = 1s a partícula está localizada em:

x (2) = x0 + ∆x = 0 + 6m = 6m

b) qual é a aceleração emt = 2, 0s?Como ao redor de t = 2s o gráfico da velocidade é uma reta, a aceleração é constante e é

a inclinação dessa reta (derivada = coeficiente angular):

a (2) = ∆v

∆t= v (3)− v (1)

(3)− (1) = (−6)− (6)3− 1 = −6m/s2

c) qual é o valor de x em t = 4, 0s?O deslocamento total entre t = 0s e t = 4s é nulo, pois a partícula avança e retrocede ao

mesmo ponto. Notamos isso pelo gráfico da velocidade: O trapézio acima do eixo t tem a mesmaárea que o trapézio abaixo do eixo t. A posição da partícula neste instante é x (4) = 0m.

d) qual é a velocidade escalar média entre t = 0 e t = 3, 0s?


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Para calcular a velocidade escalar média precisamos considerar cada centímetro percorridopela partícula. Entre t = 0s e t = 2s a partícula avança 9m e entre t = 2s e t = 3s a partícularetrocede 3m. O deslocamento total foi apenas 6m mas o espaço total percorrido foi 12m. Parao cálculo da velocidade escalar média usamos o espaço total percorrido:

vescalar = 12m

3s= 4m/s

e) qual é a velocidade média entre t = 0 e t = 3, 0s?Para o cálculo da velocidade média usamos apenas o deslocamento total:

v = 6m

3s= 2m/s

Exercício 9 (extra)A velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 8t − 7, onde v está em metros por segundo e tem segundos.

a) calcule a aceleração média no intervalo 3 ≤ t ≤ 4s;A aceleração média é obtida a partir da velocidade calculada nos dois extremos do intervalo,

não importando o que ocorre no meio tempo:

a = v (4)− v (3)4− 3 = 25− 17

1 = 8m/s2

b) determine a expressão para a(t) e faça os gráficos de v(t) e a(t);A aceleração instantânea a (t) é a taxa de variação de v no instante t, ou seja, é a derivada de

v calculada em t:

a (t) = dv (t)dt

= 8m/s2

Gráfico da aceleração Gráfico da velocidade

0 1 2 3 4 5 6t HsL

2

4

6

8

10a Hm�s2L

7�81 2 3 4 5 6

t HsL

10

20

30

40

v Hm�sL


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c) calcule x(t) (posição da partícula em função do tempo) por integração e use este resultadopara determinar seu deslocamento durante o intervalo t = 2s até t = 6s. Qual a velocidade médianeste intervalo de tempo? Esboce o gráfico de x(t).

Somando cada pequeno deslocamento v (t′) dt′ dado em cada minúsculo intervalo de tempo dt′

obtemos o deslocamento total no intervalo dado. Esta soma de infinitos termos infinitesimais é oque chamamos de integral definida em um intervalo:

x (t)− x (0) =ˆ t

0v (t′) dt′

=ˆ t

0(8t′ − 7) dt′

= 8t2

2 − 7t

x (t) = x0 − 7t + 4t2

Como a posição inicial x0 não é informada no problema vamos adotar x0 = 0 para plotarmosum gráfico da posição da partícula7:

Des

loca

men

toD

x=10

0m

1 2 3 4 5 6t HsL

20

40

60

80

100

x HmL

x (t) = −7t + 4t2

Cálculo do DeslocamentoEntre t = 2s e t = 6s temos:

7Perceba que não é necessário adotar um valor para x0. Quando calculamos o deslocamento, automaticamentex0 se cancela e desaparece das contas.


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∆x = x (6)− x (2)= −7 · (6) + 4 · (6)2 −

[−7 · (2) + 4 (2)2

]= 100m

Velocidade Média no intervaloValores médios são calculados usando apenas os extremos do intervalo:

v = ∆x

∆t= x (6)− x (2)

6− 2 = 1004 = 25m/s

d) qual a distância d percorrida no intervalo 0 ≤ t ≤ 2s?A distância percorrida no intervalo deve ser calculada com cuidado pois a partícula vai e volta.Quando v = 0 a partícula inverte o seu movimento, isto ocorre no instante:

v (t′) = 08t′ − 7 = 0

t′ = 78s

Somando o espaço percorrido pela partícula tanto na hora em que ela retrocede quanto nahora em que ela avança (SOMA das duas áreas) temos:

d = b1 · h1

2 + b2 · h2

2 = 12

(98 · 9

)+ 1

2

(78 · 7

)= 65

16 = 8, 125m

Exercício 10 (extra)Um trem de 350m de comprimento começa a mover-se em linha reta com aceleração constantea = 3 × 10−2m/s2. Trinta segundos (t1 = 30s) após a partida, a luz dianteira do trem é acesa(evento 1) e 60s (t2 = 60s) após o evento 1 a luz traseira do trem é ligada (evento 2).

a) encontre a distância entre estes dois eventos vistos por um observador:i) dentro do trem;Para um observador que se move junto com o trem a distancia entre os eventos é o próprio

comprimento do trem, d = 350m.

ii) parado do lado de fora, junto aos trilhos.O gráfico da velocidade do trem como função do tempo seria:

20 40 60 80 100t HsL

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0v Hm�sL


17

E o valor numérico da área pintada corresponde à distância percorrida pelo trem entre osinstantes 30s e 90s. O valor desta área é a área do trapézio:

D = A = (B + b) h

2 = (2, 7 + 0, 9) (90− 30)2 = 108m

b) qual deve ser a velocidade (constante), em relação ao solo, de um carro viajando paralela-mente ao trem, para que o motorista veja as duas lâmpadas acenderem exatamente ao seu lado(numa linha perpendicular ao trem)?

Para que o motorista veja as duas lâmpadas se acenderem ao seu lado, o carro precisa sair doponto onde a luz dianteira acendeu e percorrer a distância marcada por um ponto de interrogaçãoaté onde a luz traseira do trem se acende, isto em exatamente 60s. A distância a ser percorrida éx = 350m− 108m = 242m e o deslocamento deve ser no sentido negativo do eixo, ou seja:

vcarro = −24260 = −4, 03m/s


F128 - Exercícios Resolvidos - Cap. 2 · A velocidade de uma partícula que se move ao longo do...

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