Guia do Professor

Decisões PermanentesSérie Mundo da Matemática

Conteúdos Digitais

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DISTRIBUIÇÃO GRATUITAIMPRESSO NO BRASIL

Coordenação Geral

Elizabete dos Santos

Autores

Bárbara Nivalda Palharini Alvim SouzaKarina Alessandra Pessôa da SilvaLourdes Maria Werle de AlmeidaLuciana Gastaldi Sardinha SouzaMárcia Cristina de Costa Trindade CyrinoRodolfo Eduardo Vertuan

Revisão Textual

Elizabeth Sanfelice

Coordenação de Produção

Eziquiel Menta

Projeto Gráfico

Juliana Gomes de Souza Dias

Diagramação e Capa

Aline SentoneJuliana Gomes de Souza Dias

Realização

Secretaria de Estadoda Educação do Paraná

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Audiovisual “O mundo da matemática”

Episódio 13 – “Decisões Permanentes”

1 Introdução

No audiovisual “Decisões Permamentes”, episódio 13 do programa “O Mundo da Ma-temática”, Júlia, que está prestes a comemorar seu aniversário, fica encantanda com as obras de Escher e decide fazer uma tatuagem no ombro, com motivo de peixes e aves, baseada em uma das obras do artista. Enquanto Rafael elabora um plano para convencê-la a não fazer a tatuagem, ele explora os conceitos de simetria aplicada às artes e à pla-nificação. O vídeo oferece oportunidade para discuitr os conceitos de padrão, pavimenta-ção, simetria, tipos de simetria, e planificações de representações de figuras geométricas espaciais.

A busca de regularidades geométricas em padrões e pavimentações é um campo fértil no qual os alunos podem exprimir livremente seu espírito criativo para estudar transfor-mações geométricas, tais como as simetrias. O estudo das simetrias das figuras constitui uma aplicação muito interessante das isometrias que permite desenvolver o conhecimen-to matemático destas transformações geométricas e fornecer, consequentemente, ferra-mentas que podem ser muito úteis na resolução de problemas geométricos.

Nesse episódio, é proposto o estudo da simetria aplicada às artes, considerando as obras de Escher.

1.1 Um pouco sobre Escher

Mauritus Cornelis Escher nasceu em Leenwarden (cidade do norte da Holanda), em 17 de junho de 1898, e faleceu em 27 de março 1972 em Laren, na Holanda do Norte. Ele produziu gravuras intrigantes e matematicamente sofisticadas.

Na juventude não demonstrou muito interesse pelos estudos, embora gostasse de de-senhar. Incentivado pelo pai, estudou Arquitetura na Escola de Belas-Artes de Haarlem onde conheceu Jesserum de Mesquita, professor de Artes Gráficas. Este professor ensi-nou-lhe as técnicas de desenho e despertou-lhe o interesse pela gravura. Orientado por este mesmo professor, Escher abandonou o curso de Arquitetura para seguir o curso de desenho e artes gráficas na mesma escola. Sua formação ocorreu de 1919 a 1922.

Ao teminar os estudos, passou férias na Espanha e na Itália, onde conheceu sua futura mulher e fixou residência. Viveu em Roma de 1923 a 1935 e fez longas viagens a partir desta cidade, na maioria das vezes a pé, para a região Sul da Itália, pouco conhecida e de difícil acesso. Durante estas viagens, ele desenhava tudo o que lhe interessava, e no inverno escolhia o melhor destes desenhos para fazer estampas. Em julho de 1935, face à situação política na Itália, partiu para Château d’Oex, na Suiça, onde ficou pouco tempo. Em 1936 ele fez uma longa viagem de estudos pela costa da Itália em direção à Espanha, e copiou os mais belos mosaicos de Alhambra em Córdoba.

Esta é a fonte mais rica de inspiração, de onde eu alguma vezes bebi e ela não está ainda seca. Os desenhos simétricos aqui representados, mostram como uma superfície pode ser dividida regularmente em figuras iguais, respectivamente, pre-enchida com elas. As figuras devem confinar umas com as outras sem que resul-tem «áreas livres». Os Árabes eram mestres nesta arte. Eles decoraram, em especial em Alhambra, na Espanha, paredes e pavimentos com peças de majólica colori-das e congruentes, que foram ajustadas umas às outras, de forma contínua. Que

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pena que a religião islâmica lhes proibisse a representação de imagens! Nos seus ornamentos com azulejos, limitaram-se sempre a figuras de formas abstracto-ge-ométricas. Tanto quanto é do meu conhecimento, nenhum artista árabe arriscou alguma vez (ou nunca lhe teria vindo à ideia?), usar como elemento para preenchi-mento de superfícies, figuras concretas, perceptíveis e existentes na natureza, como peixes, aves, répteis e pessoas. Esta limitação é para mim tanto mais incompreen-sível, quanto o reconhecimento das componentes dos meus padrões é a razão do interesse que mantenho vivo neste campo. (ESCHER, 1994, p.7)

Seus trabalhos foram influenciados pelos lugares e culturas que conheceu, expressan-do uma preocupação com a estrutura especial e demonstrando talento no uso de pers-pectiva.

As obras de Escher foram marcadas por duas fases. A primeira, até 1937, está associada ao mundo físico, à realidade visível, orientada

inteiramente pela beleza das paisagens e da arquitetura italianas. Nesta fase, Escher re-aliza também obras imaginativas, e dedica-se empenhadamente ao domínio das técnicas de gravura. Ele próprio considera a maioria dos seus trabalhos como exercícios gráficos.

Após 1937, o pitoresco e o real deixam de lhe interessar. Fica fascinado com a regu-laridade e as estruturas matemáticas, a continuidade e o infinito inerente a todas as imagens, a reprodução de três dimensões sobre uma superfície bidimensional. Usando sua imaginação e visão detalhista, utilizou-se de várias Geometrias para produzir com-posições geométricas que se afastavam do mundo físico. Inicialmente, repetia as mesmas formas intuitivamente, em seguida constatou que seus desenhos estavam baseados em regras que poderiam ser comprovadas matematicamente. Podemos citar, como exemplo, os grupos de simetria cuja representação dava imagem de movimento de figuras e que preenchiam toda uma superfície pela repetição de um modelo abstrato ou geométrico simples.

1.2 Padrões e pavimentações1

Um padrão consiste da existência de um “motivo” (Figura 1) e as suas cópias, a uma ou mais cores, sobre fundo uniforme (Figura 2)

Figura 1: Um motivo Figura 2: Um padrão

A partir de um padrão podemos construir uma pavimentação (Figura 3).

1 Algumas imagens apresentadas nesse guia foram retiradas e adaptadas de Escher (1994), e de http://images.google.com.br/images.

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A intenção nas pavimentações é cobrir o plano completamente, sem área livres e so-breposições.

Um padrão pode ser constituído por translações do motivo (Figura 4), ou rotações e/ou reflexões do motivo (Figura 5).

Figura 4: Peixes e Aves Figura 5: Anjos e Demônios

Translação, rotação e reflexão são tipos de simetria no plano.

1.3 O que é simetria?

Em termos geométricos, considera-se simetria a semelhança exata de uma forma em torno de uma determinada linha reta (eixo), ponto ou plano. Por exemplo: se, ao rodar-mos uma figura, invertendo-a, ela puder ser sobreposta, ponto por ponto, (segundo os princípios da geometria euclidiana), ela é simétrica.

Figura 3: Uma pavimentação

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A simetria ocorre quando é possível encontrar, para qualquer figura, pelo menos uma transformação geométrica diferente da transformação idêntica, que a deixe invariante, isto é, alguns ou todos os pontos da figura podem mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica a mesma.

Quando ouvimos a frase: “Esta figura é simétrica”, logo vem à nossa mente uma figura “espelhada” (Figuras 6 e 7).

Figura 6: Vaso (desconsiderando o desenho) Figura 7: Borboleta

Entretanto, as simetrias não dizem respeito unicamente a figuras “espelhadas”, elas podem estar presentes em um motivo que translada, rotaciona, amplia, inverte, etc.

São também figuras simétricas:Na figura anterior, nota-se que existe um elemento que se repete, simplesmente trans-

ladando-se, mudando a sua posição, sem alterar o seu tamanho e a sua forma.

Figura 8: Ornamento isométrico

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Nesta outra figura, um elemento é rotacionado.Apresentamos, a seguir, as simetrias de: reflexão, translação e rotação, associadas a

diferentes tipos de representações.

1.3.1 Simetria de Reflexão

Uma figura bidimensional possui este tipo de simetria se pode ser refletida em relação a um eixo linear (dito eixo de simetria), de modo a ser possível fazer-se corresponder pon-to a ponto com a imagem original. A Figura 10 é a representação gráfica de uma simetria de reflexão.

Figura 9: elemento rotacionado

Podemos nos referir a esta mesma simetria de reflexão por meio de uma representação escrita, qual seja

Figura 10: gráfico em que os pontos são simétricos em relação ao eixo y

1 00 1−

O ponto P1 é projetado em P2, em relação ao eixo dos y. Do mesmo modo, qualquer ponto da figura que estiver à direita do eixo dos y, pode ser projetado em relação a este eixo, trocando-se sua abscissa pela sua oposta.

Esta mesma simetria pode ser traduzida por meio da seguinte função:

t: RxR → RxR(x,y) → (-x,y)Esta função pode ser escrita também na seguinte forma: t(x,y)=(-x,y)

É possível ainda utilizar uma representação matricial:

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Podemos observar que o eixo y é o único eixo de simetria neste caso. Qualquer outra tentativa resultará num fracasso:

1.3.2 Simetria de Rotação

Outra operação possível de simetria é a rotação ao redor de um ponto.

Figura 11: gráfico em que os pontos não são simétricos em relação ao eixo vertical

Figura 12: Representação gráfica de uma rotação

A figura 12 tem simetrias de rotação, isto é, se fizermos uma rotação do plano com centro no ponto O e ângulo de 72º (ou 144º, ou 216º, ou 288º, ou ainda 360º), a figura transformada é exatamente a mesma que a original. Dizemos, por isso, que as rotações de centro O e ângulos 72º, 144º, 216º, 288º e 360º são simetrias da figura, ou que a figura tem 5 simetrias de rotação com centro em O, ou, ainda, que O é um centro de simetria de ordem 5.

A letra Z é um outro exemplo. Ao rodar-se metade desta letra de 180 graus ao redor do ponto central (neste caso a origem O), cria-se a metade inferior desta.

Figura 13: Figura e sua rotação de 180°

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Este tipo de simetria faz duas reflexões: uma em relação ao eixo horizontal e outra em relação ao eixo vertical:

a) b)

Figura 14: Gráfico simétrico em relação ao eixo horizontal e vertical, figuras (a) e (b) respectiva-mente.

Esta operação é definida, matematicamente, como a seguinte função:T(x,y)=(-x,-y)

1.3.3 Simetria de Translação

Na figura 15, temos uma representação semelhante à que aparece no vídeo. Vamos supor que essas pegadas sejam prolongadas indefinidamente para os dois lados e que continuem sempre na mesma direção. Nesse caso, não temos simetrias de reflexão nem de rotação, mas temos simetria de translação, isto é, se fizermos uma translação no plano, segundo o vector AB, a figura, no seu conjunto, será transformada nela própria, embora nenhum ponto da figura seja invariante para essa transformação.

1.4 Simetria e as obras de Escher

As figuras a seguir são exemplos de desenhos de Escher que envolvem simetria e pavi-mentação. Há, no entanto, que se ter alguns cuidados, se não quisermos entrar por cami-nhos perigosos: um deles tem a ver com o uso da cor. A nossa geometria é monocromática enquanto a maior parte dos objetos artísticos que mais nos atraem usam muitas cores. Normalmente usamos apenas uma cor para distinguir os pontos que pertencem a uma figura dos que não pertencem. Apesar da análise de figuras monocromáticas quanto às suas simetrias já ser suficientemente rica, do ponto de vista matemático, apresentamos a seguir alguns estudos de repetições periódicas no plano feitos por Escher.

Figura 15: Representação de uma trans-lação

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Figura 15: Estudo de uma repetição periódica no plano com aves escher-symmetry-watercolor.jpg - 775 x 768 - 476k - jpg Disponível em: <http:// images.google.com.br/images?ndsp=18&um=1&hl=pt-BR&rlz=1T4SKPB_pt-BRBR260BR261&q=Escher&start=54&sa=N> Acesso em: 03 mar. 2009

Figura 15:Estudo de uma repetição peri-ódica no plano com cavaleirosDisponível em: <http://images.google.com.br/images?ndsp=18&um=1&hl=pt-BR&rlz=1T4SKPB_pt-BRBR260BR261&q=Escher&start=180&sa=N> Acesso em: 03 mar. 2009

Figura 17: Estudo de uma repetição periódica no plano com aves e peixes. Disponível em: <http://www. mcescher.com/Gallery/symmetry-bmp/E22.jpg> Acesso em: 03 mar. 2009

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A simetria presente nas representações anteriores dão a impressão de movimento das figuras, e estas preenchem toda uma superfície pela repetição de um modelo.

Objetivos

• Identificar regularidades geométricas em padrões e pavimentações.• Estudar padrões e pavimentações do ponto de vista das simetrias.• Conhecer reepresentações matemáticas de uma simetria.• Identificar simetrias nas obras de Escher. • Conhecer diferentes planificações de um cubo.• Confeccionar uma caixa com formato de um cubo.

Sugestão de atividade

Após assistir ao vídeo, o professor pode propor atividades que permitam aos alunos refletir, questionar e aprofundar conhecimentos sobre os conteúdos abordados. A seguir apresentamos algumas sugestões.

Atividade 1: Padrão e simetria

Identifique o tipo de simetria, o motivo, e o padrão utilizados na Figura 18 (peixe – ave).

Figura 18: Recorte 1 de uma repetição periódica no plano com aves e peixes Disponível em: <http://www.mcescher.com/Gallery/symmetry-bmp/E22.jpg> Aces-so em: 03 mar. 2009

Comentários para o professor:

O movimento representado na imagem peixe – ave é o de translação. Pode-se obser-var nessa figura a divisão regular no plano, com os peixes deslocando-se na mesma dire-ção (do mesmo modo que as aves). É possível observar a aplicação de uma pavimentação utilizando paralelogramos.

Figura 19: Paralelogramo utilizado na pavimentação

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A conservação da mesma direção e pavimentação utilizando paralelogramos são atri-butos para a construção do conceito de translação.

Atividade 2: Representações matemáticas de uma simetria

A figura a seguir, além da simetria de reflexão em relação ao eixo dos y, também apre-senta simetria em relação ao eixo dos x.

Figura 20: Gráfico em que os pontos são simétricos em relação ao eixo x.

Com relação ao eixo dos x, traduza essa simetria por meio de uma função e por uma representação matricial.

Comentários para o professor:

O professor deve chamar a atenção dos alunos para os diferentes tipos de representa-ção de um mesmo objeto matemático.

Com relação ao eixo x, esta operação é definida, matematicamente, como a seguinte função:

t: RxR → RxR(x,y) → (x,-y)Esta função pode ser escrita ainda na seguinte forma:t(x,y)=(x,-y)

É possível ainda utilizar uma representação matricial:

1 0

0 1x xy y

= − −

Atividade 3: Simetrias nas obras de Escher

Investigar e selecionar trabalhos de Escher que tenham simetria(s). Identificar o(s) tipo(s) de simetria e o padrão utilizado.

Atividade 4: Caixa para guardar CDs

No final do episódio, Rafa entregou para Júlia um livro e uma caixa com formato de um cubo, decorada com motivo de uma das obras de Escher, como presente de aniversário. O que é preciso para construir uma caixa como aquela? Responda as questões a seguir.

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a) Identifique quais das figuras a seguir podem representar a planificação da superfície.

b) Desenhe outras representações possíveis da superfície de um cubo.

I) II)

III) IV)

Figura 21: Recorte da obra de Escher “Anjos e Demônios”

c) Identifique, na figura a seguir, eixos de simetria. Que tipo(s) de simetria podemos identificar nessa figura?

d) Construir uma caixa com formato de um cubo para armazenar CDs, com recortes de “Anjos e Demônios”. Onde devemos colocar as arestas de modo que todas as faces tenham a mesma imagem?

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Comentários para o professor:

A figura I) não representa a planificação de um cubo. O professor pode aproveitar a oportunidade para discutir que o cubo é um prisma, e nos prismas o número de arestas que se encontram em cada vértice (ângulo poliédrico) é de apenas três.

Um prisma é um poliedro convexo que tem duas faces paralelas e congruentes (chama-das bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (chamadas faces laterais).

Para formar um vértice (ângulo poliédrico) é preciso 3 polígonos. No caso do cubo, só é possível formar a sua superfície com 3 quadrados, pois se colocarmos quatro quadrados, estes ladrilham o plano (os ângulos somam 360º ), tornando impossível formar um vértice (ângulo poliédrico).

Figura 10: Recorte de “Anjos e Demô-nios” com eixos de reflexão destacados em vermelho

No recorte de “Anjos e Demônios” podemos identificar simetria de reflexão e simetria de rotação. Para que as faces fiquem com a mesma imagem, as arestas devem ficar nos eixos de simetria.

Atividade 4: Contruindo outras caixas com desenhos de Escher.

Pesquise outros tipos de caixas que podem ser construídas com desenhos de Escher.

Comentários para o professor:

O professor pode levar para sala de aula moldes com exemplos de planificação de cai-xas com desenhos de Escher.

Cubo – peixes

Parte 1 Parte 2

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Dodecaedro – conchas e estrelas do mar

Parte 1 Parte 2

Parte 1 Parte 2

Icosaedro – borboletas

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4 Avaliação

A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por meio de questionamentos. O professor pode aproveitar as respostas dos alunos para fa-zer as intervenções que julgar necessárias.

5 Sugestões de sítios

Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:• http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/escher/vida.html• http://www.mcescher.com• http://www.brixpace.com.br/brix_pace/brix_pace/imagens/Nv%20015.jpg,• http://www.educared.net/concurso2003/1095/webconcurso/webconcurso/hablamos_si-

metria.htm• http://nomundodamatematica.blogspot.com/2007/10/chegando-na-simetria.html

Octaedro – 3 mundos Tetraedro – Répteis

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6 Indicações de leituras

BARBOSA, J.L.M. - Geometria Euclidiana Plana. Coleção Fundamentos da Matemática Ele-mentar. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.

BARBOSA, R. M. Descobrindo Padrões em Mosaicos. São Paulo: Atual, 1993.

KALEFF, A. M. Construindo o conceito de simetria axial.Boletim GEPEM. n°35, p.42-56, 2004.

LEDERGERBER-RUOFF, E.B. Isometriaeornamentosnoplanoeuclidiano. São Paulo: Atual Editora, 1982.

LOCHER, J.L.; BROOS, C.H.A.; ESCHER, M.C.; LOCHER, G.W.; COXETER, S.M. Le Monde de M.C. Escher. Paris: Chêne, 1972.

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