FACULDADE ANHANGUERA DE RONDONÓPOLIS - MT

CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS 3º SÉRIE A

DISCIPLINA – MATEMÁTICA APLICADA

JAQUELINE GOMES DE JESUS - RA - 1592903137

JEAN CARLOS CAMPOS DE SOUSA - RA - 1299270545

PATRÍCIA LOPES DA COSTA - RA - 8064817037

ROSEMARY DIAS DE OLIVEIRA - RA - 8075877293

ATPS – ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA.

ETAPAS 3/ 4

PROFESSOR: MÁRCIA FERREIRA MORENO

RONDONOPOLIS/MT

JUNHO 2015

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FUNÇÃO DO 2º GRAU; APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NAS ÁREAS

ECONÔMICAS E ADMINISTRATIVA.

As funções, do 2º Grau, possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente

em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado,

lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na

Administração e Contabilidade relacionando as funções Custo, receita e lucro; e na

Engenharia Civil presente nas diversas construções. A representação geométrica de uma

função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode

ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo

x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx +

c = 0, dependendo do valor do discriminante? (delta), podemos ter as seguintes situações

gráficas:

? > 0, a equação possui duas

raízes reais e diferentes. A parábola

intercepta o eixo x em dois pontos

distintos.

? = 0, a equação possui apenas

uma raiz real. A parábola intercepta o eixo

x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes

reais. A parábola não intercepta o eixo x.

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Nas Áreas Econômicas e Administrativas

Em Administração e Economia, dada uma função , costuma-se utilizar o

conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em por uma pequena variação

de . Chama-se função marginal de à função derivada de . Assim, a função custo

marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função

receita, e assim por diante. Nesta seção veremos algumas funções marginais.

Função Custo Marginal

Suponha que seja o custo total de produção de unidades de certo produto,

com e . A função é chamada de função custo total e temos a seguinte

definição. Se é o custo total de produção de unidades de um produto, então o custo

marginal quando , é dado por , caso exista. A função é chamada função

custo marginal.

Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual à variação do custo, decorrente

da produção de uma unidade adicional, a partir de unidades.

Na definição acima, pode ser interpretada como a taxa de variação do custo

total quando unidades são produzidas.

Suponhamos que seja o custo total de fabricação de pares de calçados da

marca WW dado pela equação . Determinar o custo marginal

quando .

Resolução: Vamos calcular a derivada da função, ou seja, e

. Assim sendo, a taxa de variação do custo total, quando 50 pares de

calçados da marca WW são fabricados, é R$6,00 por par fabricado. O custo de fabricação do

qüinquagésimo primeiro par de calçado é:

e

3

Assim,

= 6,02.

Logo,   é o custo aproximado da produção do qüinquagésimo primeiro par de

calçado da marca WW.

 Portanto, o custo marginal quando   é  .

Centro de Custos

Centro de custos é uma subdivisão técnica utilizada contabilmente para que se

consiga uma racional divisão dos custos indiretos do exercício, observando-se as unidades de

gestão e controle. Podem ser definidos como aquelas unidades (departamentos, serviços,

seções) que se caracterizam por realizar atividades homogêneas dentro do processo produtivo

da organização.

Esse sistema de custo auxilia no controle dos custos por responsabilidade, além de

propiciar a comparação, anteriormente, com os custos com receitas, custos unitários, tabelas

de preços e volume de produção.

Classificação de Centro de Custos

Para se definir um centro de custo é necessário ter custos claramente identificáveis e

atividades quantificáveis, por meio de uma unidade de mensuração.

Centros de custo produtivos ou finais: correspondem aos centros geradores de

serviços finais ao paciente. São: ambulatórios, enfermarias, pronto-socorro, laboratórios,

centro cirúrgico e serviços de diagnósticos.

Centro de custos auxiliares: corresponde aos serviços de suporte aos centros

produtivos e/ou prestar serviços para todo o estabelecimento, são geradores de custos.

Exemplos: serviço de nutrição e dietética, lavanderia, limpeza, manutenção, serviço de

vigilância, etc.

Centro de custos administrativos: correspondem às unidades de natureza

administrativa, os custos gerados por este centro de custos envolvem a administração

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(normalmente burocrática) das atividades do hospital. São: administração geral, finanças,

recursos humanos, arquivo.

FAZER USO DA TÉCNICA UTILIZADA NO EXEMPLO ACIMA (E A

PROSA CONTINUA...). PARA RESPONDER:

1. Determinar a função Lucro do Sr. Otávio.

R(q) = 40q

L(q) = 40q - (q² - 40q + 700)

L’(q) = 40q - q² + 40q + 700

L(q) = -q² + 80q

2. Derivar a função Lucro.

L(q) = - q² + 80q

L’(q) = - 2q + 80

3. Fazer L(q) = 0.

L(q) = 0

-2q + 80 = 0

-2q = - 80

x = 80 / 2

x = 40

40 é o número de pares de sapato do tipo B que a empresa do Sr. Otávio deverá

produzir e vender diariamente para que se obtenha o lucro máximo procurado.

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RELATÓRIO 3 CONTENDO AS SEGUINTES INFORMAÇÕES

1. O Texto Criado a Partir da Pesquisa Realizada no Passo 1

O conceito de função é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada

na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônios utilizaram tabelas de

quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a

altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta

época o conceito de função não estava claramente definido: as relações entre as variáveis

surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico. Só no séc. XVII,

quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível

transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente

funções.

A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade

a outras ciências - os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a

procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui

todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a

introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a

"criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre

variáveis. Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu

conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que

encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e

encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade

ficou conhecida na História da Matemática como o "Problema da Tangente".

Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar

uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a

reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direção a P,

obtendo deste modo às retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta

tangente à curva no ponto P. Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva

assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao

comparar o valor assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no

outro ponto Q(x+h), f(x+h)) próximo de P, a diferença entre f(x+h) e f(x) era muito pequena,

quase nula, quando comparada com o valor de E, diferença das abscissas de Q e P.

Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas

passam a estar intimamente relacionados. Estas ideias constituíram o embrião do conceito de

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DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo

Diferencial". Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não

estava ainda claramente definido. No séc. XVII Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal,

introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy

para designar "a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do

ramo da Matemática conhecido hoje como " Cálculo Diferencial ". 7 Assim, embora só no

século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a

partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento

cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.

2. Os cálculos realizados no passo 2

a) Determinando a função lucro

L(x) = 10x – (x²-60x)

L(x) = -x² + 10x + 60x

L(x) = -x² + 70x

b) Determinando a função lucro

L(x) = -x² + 70x

L’(x) = -2x + 70

c) Fazer o L’(x) = 0

-2x + 70 = 0

-2x = - 70

x = -70/ - 2

x = 35

d) 35 é exatamente o número de queijos que devo produzir e vender diariamente

para minha empresa obter o lucro máximo.

7

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO; APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS

Integrais Indefinidas

Da mesma forma que a adição e a  subtração, a multiplicação e a divisão, a operação

inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral

indefinida ou antiderivação de f(x). Exemplos:

1. Se  f(x) =  , então   é a derivada de f(x). Uma das

antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é  .   

2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais

indefinidas de g(x) = 3x2é f(x) = x3.   

3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais

indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.

   Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais

indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções

primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é  x3+C, onde C é

uma constante real.

 

 Propriedades das Integrais Indefinidas

    São imediatas as seguintes propriedades:

1ª.     , ou seja, a integral da soma ou diferença

é a soma ou diferença das integrais.

2ª.    , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do

integrando.

3ª.     , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria

função.

 

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 Integração Por Substituição

Seja expressão  . Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x)

ou  , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

, admitindo que se

conheça  .O método da substituição de variável exige a identificação

de u e u' ou u e du na integral dada.

Integrais definidas

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral

definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

a é o limite inferior de integração;

b é o limite superior de integração;

f(x) é o integrando.

 

Se    

representa a área entre o eixo x e a curva

f(x), para 

 

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Se   

representa a área entre as curvas,

para 

1. Esboçar em um Mesmo Sistema de Eixos Cartesianos os Gráficos das

Funções Y1(X) = 8X E Y2(X) =2X².

Criado pelo grupo ATPS: PowerPoint 2010

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2. Encontrar os Pontos de Intersecção dos Gráficos, Fazendo Y1(X)= Y2(X).

Y1(X) = 8x {(0,0); (1,8); (2,16); (3,24); (4,32)}

Y2(X) = 2x² {(0,0); (1,2); (2,8); (3,18); (4,32)}

Y1(X)= Y2(X)

8x = 2x²

2x² - 8x = 0

x ( 2x – 8 ) = 0

x = 0

2x – 8 = 0 2x = 8 x = 8/2 x = 4

Pontos de interseção entre 8x e 2x² são 0 e 4.

3. Escrever a Integral Definida que Representa a Área da Região Limitada

Pelo Gráfico das Duas Funções.

Área = 21,333

11

ʃ

2

x2+18 x1+1

ʃ1+

1

(8x - 2x²) dx

2 x³

- 2

43

8 x2

2+

1

-

-

0

2

03

2

4

3-

28 4²

3 ] 2 3-

2 643

-3

= 21,333=- 6464 1283

=02

8 16 ][

=8 0² ][-[

==

0

40

4

(Y1 (x) - Y2 (x)) dx 0

4

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-segundo-grau.htm

http://www.magiadamatematica.com/uss/administracao/09-derivadas.pdf

http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php

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