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0 FACULDADES INTEGRADAS DE ITARARÉ- FAFIT DIEGO GABRIEL LIRYA DERIVADA: O PROCESSO DE DERIVAÇÃO ITARARÉ 2011
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FACULDADES INTEGRADAS DE ITARARÉ- FAFIT DIEGO GABRIEL LIRYA
DERIVADA: O PROCESSO DE DERIVAÇÃO
ITARARÉ 2011
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DIEGO GABRIEL LIRYA
DERIVADA: O PROCESSO DE DERIVAÇÃO Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito final à obtenção do grau de Licenciatura em Matemática das Faculdades Integradas de Itararé - FAFIT. Orientador: Prof. Paulo Henrique
ITARARÉ 2011
DIEGO GABRIEL LIRYA
DERIVADA: O PROCESSO DE DERIVAÇÃO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito final para obtenção do grau de Licenciatura em Matemática das Faculdades Integradas de Itararé - FAFIT, pela seguinte banca examinadora:
BANCA EXAMINADORA
_____________________________________ Prof. Paulo Henrique C. A. da Cruz
_____________________________________
Prof. João Carlos Tavares
_____________________________________ Profª. Cristina Margareth Weiss Ferreira
Itararé, 21 de maio de 2011.
AGRADECIMENTOS Professores que colaboraram com a elaboração deste trabalho de forma direta e
indireta.
Prof. Paulo Henrique Correia Araújo da Cruz (orientador)
Profª. Renata Corrêa (orientadora de normas)
Prof. Sebastião Pivo (revisão)
Profª. Roseli Campina (revisão)
Prof. Anderson Araújo (professor de cálculo)
A esses professores meus sinceros agradecimentos.
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RESUMO
A pesquisa traz uma abordagem histórica da derivada, desde seu inicio na Grécia antiga quando ainda não se tinha o estudo analítico das curvas (reta secante e reta tangente) e conta sua reaparição no século XVlI, agora sim de forma analítica com os estudos de Fermat, baseado em sua geometria analítica. Entretanto, somente com os estudos de Newton e Leibniz no século seguinte que se teve a criação dos teoremas fundamentais do então conhecido Novo Cálculo. Após Newton e Leibniz o novo cálculo foi se modelando com seus seguidores no decorrer dos séculos, através dos estudos de vários matemáticos, dentre eles George Berkeley, D’ Alembert, Marquês de L’Hospital, Leonhard Euller e Cauchy. Sabe-se que a derivada teve seu nascimento nos problemas geométricos: reta secante e reta tangente, nesse sentido, a pesquisa teve seus esforços voltados para a busca de tais explicações, de conhecer o processo de derivação, fazendo ligações de estudos de funções e suas representações gráficas, tendo reta secante como taxa de variação e reta tangente como taxa de variação instantânea. A pesquisa encerra-se com uma aplicação de derivada em física, para o espaço em função do tempo, permitindo uma compreensão ótima do processo de derivação e do entendimento de derivada como o processo para encontrar a taxa de variação instantânea de uma função. PALAVRAS-CHAVES: História. Derivação. Variação. Instantânea. Aplicação.
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LISTA DE FIGURAS FIGURA 1: Triângulo Característico de Leibniz. ....................................................... 10 FIGURA 2: Árvore genealógica da família Bernoullis. .............................................. 12 FIGURA 3: Soma dos instantes de Aquiles e da Tartaruga. ..................................... 14 FIGURA 4: Valores da função . .......................................................................... 15
FIGURA 5: Limite no plano cartesiano. ..................................................................... 17 FIGURA 6: Taxa de Variação ................................................................................... 19 FIGURA 7: Reta Tangente e Reta Secante .............................................................. 20 FIGURA 8: Função . .................................................................................... 25
FIGURA 9: Taxa de Variação instantânea ................................................................ 32
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................ 7 2 HISTÓRIA DA DERIVADA ............................................................................. 8 2.1 O CÁLCULO DE DERIVADA SEGUNDO NEWTON E SUA NOTAÇÃO ..... 9 2.1.1 O cálculo de derivada segundo Leibniz e sua notação ..................... 10 2.1.1.1 Cálculo de Derivada atual ................................................................... 11 3 CONCEITO DE LIMITE ................................................................................. 14 3.1 PARADOXO DE ZENÃO ............................................................................ 14 3.2 INTUIÇÃO DE LIMITE ................................................................................ 15 4 CONCEITO DE DERIVADA .......................................................................... 18 4.1 TAXA DE VARIAÇÃO E TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA ............... 19 4.1.1Definição de Derivada ............................................................................ 21 4.2 TAXA DE VARIAÇÃO E TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA ............... 21 5 REGRAS DE DERIVAÇÃO .......................................................................... 24 6 DEMONSTRANDO O PROCESSO DE DERIVAÇÃO .................................. 26 7 APLICAÇÕES DE DERIVADA ..................................................................... 32 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................... 37 REFERÊNCIAS ................................................................................................ 38
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1 INTRODUÇÃO
Este trabalho apresentará como objetivo principal a abordagem do processo
de derivação com todo o rigor matemático, não apenas com uso de regras, mas
trazendo a compreensão do que acontece com a função no momento em que está
sendo derivada e logo após o processo de derivação.
A pesquisa a se realizar, remete o leitor a uma análise de como funciona o
processo de derivação, sendo uma pesquisa voltada para as dúvidas dos alunos que
iniciam o curso de cálculo diferencial. Certamente que essa pesquisa os ajudará a
compreender o processo de derivação e assim poder dar continuidade aos estudos
de regras de derivação e suas aplicações.
Na segunda seção a pesquisa trará um apanhado histórico da derivada,
desde os primeiros estudos sobre problemas geométricos na Grécia antiga, até o
século XVII com o nascimento do cálculo de derivada e seu desenvolvimento nos
séculos seguintes chegando ao cálculo de derivada atual.
A terceira seção trará o conceito de limite, conhecimento essencial para a
compreensão e desenvolvimento do processo de derivação. Para a sua
contextualização serão usados exemplos práticos, seguidos da definição e
representação gráfica de limite.
As seções quatro, cinco e seis trarão o processo de derivação, que se
desenvolverá em três pilares conceito, definição e demonstração. A sétima seção
desenvolverá uma versão aplicada do processo de derivação, que trará ao leitor
uma melhor compreensão sobre taxa de variação e taxa de variação instantânea,
descritas na seção quatro.
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2 HISTÓRIA DO CÁLCULO DE DERIVADA
O cálculo de derivada teve seus primeiros passos na Grécia antiga, com a
finalidade de resolver problemas geométricos ligados a estudos de traçados de retas
secantes e retas tangentes a uma dada curva, como exemplo desse estudo pode-se
citar o teorema de Euclides (300 a.C) que diz que a reta tangente a uma
circunferência em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P. Outros gregos da
época também fizeram estudos semelhantes ao de Euclides, como por exemplo, o
problema da reta tangente ao espiral de Arquimedes (287-212 a.C) para Boyer
(1996) “Parece ser esse o primeiro caso em que foi achada a tangente a uma curva
que não era círculo”.
Porém, na época ainda não havia o estudo analítico das funções e os
problemas resolvidos pelos gregos eram apenas de interesse particular, portanto,
sem saber, os gregos ao determinarem os traçados de retas tangentes e retas
secantes às curvas, estavam aplicando de maneira apenas geométrica o que hoje é
conhecido como processo de derivação (DINIZ, 2006).
O estudo do traçado de retas tangentes e retas secantes às curvas volta ao
século XVII nos estudos de Pierre de Fermat (1601-1665) com o objetivo de
encontrar os pontos máximos e mínimos de funções. Segundo Eves (2004) a
primeira manifestação clara do método de diferenciação (processo de derivação) se
encontra em algumas idéias de Fermat expostas no ano de 1629, que veio a ser
publicada depois de sua morte com o titulo de Métodos para achar máximos e
mínimos.
Os estudos de Fermat foram alavancados com os estudos de sua geometria
analítica, que segundo Boyer (1996) “É possível que Fermat desde 1629 já estivesse
de posse de sua geometria Analítica”, que fora publicada depois de sua morte com o
titulo de A introdução aos lugares, essa nova ferramenta foi essencial para o
nascimento do cálculo da derivada, pois a mesma tornou possível o estudo analítico
das funções. Porém, Fermat não sistematizou os fundamentos e as teorias do novo
cálculo, que somente a partir da metade do século XVll com os estudos de Isaac
Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), realizados
separadamente um do outro, que se deu a sistematização das idéias e métodos,
então chamados de teoremas fundamentais do cálculo, que engloba os fundamentos
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mais importantes do cálculo das Derivadas (EVES, 2004). No entanto, segundo
Boyer (1968), Laplace considerava Fermat como o inventor do cálculo de derivada,
sendo seu método de achar máximos e mínimos equivalentes ao processo hoje
chamado de diferenciação (processo de derivação).
Um dos grandes propulsores do novo cálculo citado acima foi Isaac Newton,
matemático e físico inglês, conhecido por sua contribuição para com a física
estabelecendo o que hoje se conhece como as três leis de Newton, mas como visto,
também deixou grande contribuição para o cálculo. Newton, com base nos estudos
de matemáticos anteriores, como por exemplo, John Willis (1616-1703) e Isaac
Barrow (1630-1677), começou a desenvolver sua própria matemática, criando o
chamado Método dos Fluxos, atual cálculo diferencial. Conforme Eves (2004) o
primeiro documento de Newton que fala a respeito de cálculo é um manuscrito de
1666.
Outro grande propulsor do novo cálculo citado acima foi Gottfried Wilhelm
Leibniz, alemão nascido em ambiente acadêmico, desde cedo manifestou grande
interesse pelos estudos, inicialmente estudou direito e humanidades. No ano de
1672 Leibniz conheceu Christiaan Huygens (1629-1695) cientista europeu, que o
estimulou a se dedicar ao estudo da matemática, o então amigo Huygens o
aconselhou a ler uma publicação de Blaise Pascal (1623-1662) que falava a respeito
de problemas geométricos, fonte da inspiração de Leibniz para uma de suas idéias
fundamentais do cálculo, o triângulo característico. Leibniz sempre procurou um
padrão de linguagem ou lógica simbólica para descrever os cálculos numéricos e os
processos de raciocínio. Devido a sua notação simbólica mais apropriada, o seu
cálculo teve mais sucesso do que o cálculo de Newton, sendo que suas notações
são usadas até hoje (ÁVILA, 2006).
2.1 O CÁLCULO DE DERIVADA SEGUNDO NEWTON E SUA NOTAÇÃO
O método dos fluxos criado por Newton consiste em que uma curva é
formada pelo movimento contínuo de um ponto (P), chamado de ponto gerador com
coordenadas no eixo das abscissas ( ) e ordenadas ( ), em que as abscissas e
ordenadas passa a serem quantidades variáveis, ao qual ele deu o nome de fluente
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(quantidade que flui), e respectivamente, à sua taxa de variação ele deu o nome de
fluxo (do fluente). Newton considerou que esse momento (tempo) do fluxo (Taxa de
Variação) fosse infinitamente pequeno, ou seja, uma variação infinitamente pequena
de tempo, chamada por Newton de momento de um fluente, quando o fluente sofre
um incremento (variação) infinitamente pequeno denotada por “ ” (ÁVILA, 2006).
A notação usada por Newton foi:
Ponto(P)
Fluente no eixo das abscissas, denotado por ( )
Fluente no eixo das ordenadas, denotado por ( )
Fluxo do fluente no eixo das abscissas, denotado por ( )
Fluxo do fluente no eixo das ordenadas, denotado por ( )
Momento de um fluente , denotado por ( )
Momento de um fluente , denotado por ( )
Observa-se, em tempo, que o momento referido por Newton também é
conhecido por incremento infinitesimal, ou seja, a variação do fluente tende a zero.
2.1.1 O cálculo de derivada segundo Leibniz e sua notação
Leibniz teve seus estudos de cálculo de derivada a partir do que ele chamou
de “triângulo característico” (Figura 1), que consiste na representação gráfica da
Taxa de variação, como é conhecida hoje. Com o seu uso, Leibniz também fez
estudos sobre a semelhança de triângulos para obter resultados importantes de
quadratura (Integral), objetivando o cálculo de área (BOYER, 1996).
FIGURA 1: Triângulo Característico de Leibniz. FONTE: ÁVILA, 2006, p.189.
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Nos elementos infinitesimais ou o que podemos chamar , e , observe
que Leibniz utilizou o símbolo “d” para indicar derivadas, essas notações criadas
pelo próprio Leibniz em 1675 sugerem os seus próprios resultados por isso são
usadas até hoje. O cálculo desenvolvido por Leibniz é mais complexo na sua origem
do que o cálculo de Newton, porém seu formalismo é a sua grande virtude (ÁVILA,
2006).
Notação usada por Leibniz:
(P) letra consoante maiúscula para representar pontos.
( ) para representar a coordenada no eixo das abscissas de certo ponto P.
( ) para representar a coordenada no eixo das ordenadas de certo ponto P.
( , , para seus respectivos elementos infinitésimas (derivada).
( ) vocal minúscula para representar retas.
2.1.1.1 Cálculo de Derivada atual
Ambos os estudos, tanto de Newton quanto de Leibniz, fornecem as Teorias
Fundamentais do Cálculo de Derivada, porém ambas apresentam falhas. No
raciocínio descrito por Newton envolve passagens em que os dois membros da
equação são divididos pelo infinitesimal “o” supondo que o mesmo fosse diferente de
zero e em outra situação Newton despreza os termos com o fator “o” supondo que o
mesmo fosse igual a zero. O mesmo erro ocorre com Leibniz quando eram
cancelados os fatores diferentes de zero e outras vezes desprezados como iguais a
zero (ÁVILA, 2006).
Nos estudos de Newton e Leibniz havia erros e falta de coerência, mas as
relações numéricas eram válidas. Esses erros se mantiveram por muitos anos e
foram alvos de muitas críticas, tendo como um dos seus principais críticos George
Berkeley (1685-1753), que sabia do sucesso do novo cálculo e o mesmo reuniu
esforços para explicar os problemas dos fundamentos, outro critico Jean Le Rond D’
Alembert (1717-1783) tentou explicar as dificuldades encontradas por George
Berkeley com a idéia de limite e obteve sucesso, sendo que até hoje os cursos de
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cálculo têm como primeiro estudo as noções de limites antes de partir para o estudo
de derivada. (ÁVILA, 2006).
O cálculo de derivada atual também deve muito a uma geração de
matemáticos, a família Bernoulli, que transmitiu os conhecimentos matemáticos por
gerações. Observe a árvore genealógica da família Bernoullis.
FIGURA 2: Árvore genealógica da família Bernoullis. FONTE: BOYER, 1996, p. 286.
O primeiro a obter mais sucesso na matemática foi Jacques Bernoulli, que em
1680 sugeriu a Leibniz o terno “integral”, para a soma de quadraturas, Jacques
Bernoulli também contribui com o cálculo diferencial com os estudos das conhecidas
hoje como as “equações de Bernoulli”, feitas por ele em pareceria com seu irmão
Jean Bernoulli e Leibniz. Jean Bernoulli assim como o irmão mais velho tinha muito
interesse por cálculo e em 1692 quanto estava em Paris ensinou o então jovem
marquês de L’Hospital (1661-1704) o novo cálculo, e com a contribuição de Jean
Bernoulli o marques de L’Hospital escreveu a conhecida hoje como regra de
L’Hospital (BOYER, 1996).
Leonard Euller (1707-1783) outro grande matemático que contribuiu com o
cálculo atual e sua notação, também teve contato com a família Bernoulli, pois Euller
fora amigo de Nicolaus Bernoulli e Daniel Bernoulli, com quem descobriu sua
verdadeira vocação(BOYER, 1996).
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A matemática das variações seguiu sendo o interesse de estudos de muitos
matemáticos e no século XIX foi estudado por Cauchy (1789-1857), que
desenvolveu a definição de derivada, a notação de derivadas parciais e o teorema
do valor médio, segundo (BOYER, 1996) a definição de Cauchy sobre a derivada
tornou claro que não existirá derivada num ponto em que a função seja descontínua,
mas que existirá sua integral, ou seja, que a área sobre aquela função descontínua
poderá ser calculada.
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3 CONCEITO DE LIMITE
Antes de definir limite tem-se que o cálculo é a matemática das variações,
variações que seguem uma lei de formação que é determinada pela função que a
rege, mas torna o cálculo um instrumento mais eficiente em relação à álgebra é a
idéia de limite. Neste momento o mais importante é a intuição do conceito de limite,
para isso será feito uma introdução intuitiva do conceito de limite e de maneira
informal nos exemplos a abaixo.
3.1 PARADOXO DE ZENÃO
Um exemplo adaptado do Paradoxo de Zenão, (Caderno do aluno,
matemática 1ª série, 2011) diz que Zenão conta a história de Aquiles, grande atleta
grego, que disputará uma corrida com uma tartaruga, símbolo de lentidão. Aquiles é
10 vezes mais rápido do que a tartaruga, a mesma por sua vez tem uma vantagem
na largada de 10m com relação a Aquiles. Só que sobre eles são regidos pela
seguinte situação, o intervalo de tempo é sempre 10 vezes menor, gerando a tabela
abaixo:
FIGURA 3: Soma dos instantes de Aquiles e da Tartaruga. FONTE: Pesquisa Própria, 2011.
Observe que no transcorrer dos momentos ou tempos a redução de tempo
em 10 vezes compensa a tartaruga ser 10 vezes mais lenta do que Aquiles, gerando
assim a seguinte situação de limite, como a variação de tempo sempre será 10
vezes menor, pode se efetuar infinitos cálculos que nunca chegará ao instante em
que Aquiles alcança e ultrapassa a tartaruga. E sempre no momento a tartaruga
terá percorrido 1/10 do espaço percorrido por Aquiles no referido momento.
Momento 1º 2º 3º 4º 5º
Aquiles O 10m 11m 11m +10cm 11m+10cm +1cm
Tartaruga 10m 11m 11m +10cm 11m+10cm+1 cm 11m+10cm+1cm+0,1cm
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Com base nos dados podemos assegurar que Aquiles nunca alcançará a
tartaruga, desde que o tempo tende a fica 10 vezes menor e a soma dos momentos
nunca chegará ao instante que Aquiles alcança e ultrapassa a tartaruga.
3.2 Intuição de limite
Baseado na Abordagem Intuitiva de Limite (HOFFMANN; BRADLEY, 2008,
p.48) Considere a seguinte situação, um gerente de uma companhia determina o
índice ( %) da capacidade de uma fábrica que estão sendo usada e o custo de tal
operação C em centenas de milhões de reais, onde:
(3.1)
A companhia tem uma política de manutenção preventiva que procura
assegurar que a fábrica esteja sempre funcionando com 80% da capacidade
máxima. Que custo o gerente deve esperar quando a fábrica está funcionando em
nível de produção ideal?
A princípio temos a intuição que o gerente pode responder a essa pergunta
apenas efetuando os cálculos com , mas ao se efetuar os cálculos
chegaremos à fração , que não tem nenhum valor. No entanto é possível calcular
os valores que se aproximam de pela direita e pela esquerda. A tabela mostra
alguns desses valores:
79,8 79,99 79,999 80 80,0001 80,001 80,04
6,99782 6,99989 6,99999 0 7,000001 7,00001 7,00043
FIGURA 4: Valores da função .
FONTE: Pesquisa própria, 2011.
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Os valores de mostrados na linha inferior da tabela sugerem que se
aproxima do número 7 quando se aproxima de 80. Logo assim o gerente pode
esperar um custo de R$ 700.000,00 quando a fabrica funciona com 80% da
capacidade de produção. O comportamento dessa função nos leva a seguinte
conclusão, que o limite de quando tende a 80 é igual a 7.
Tem-se nos exemplos acima duas situações distintas de limite que nos leva
intuitivamente a noção de limite. No primeiro exemplo o intervalo de tempo de cada
momento tende a ficar cada vez 10 vezes menor, de tal maneira que a soma do
tempo transcorrido desde a largada nunca chegue ao instante que Aquiles alcança a
tartaruga, esse instante podemos chamar de que indica o limite da função. O
segundo exemplo é uma situação diferente do primeiro exemplo, que quando
efetuados os cálculos diretamente na função tem-se uma indeterminação
matemática, mas para resolver o problema calculam-se os valores que se
aproximam de tanto pela direita quanto pela esquerda, efetuados os cálculos nota-
se que quanto mais próximos de os cálculos eram efetuados, a função tendia a
700.000 que pode-se chamar de limite da função. A matemática por sua vez,
ciência que estuda esse tipo de relação, usa de notações e definições especificam
para expressar o limite de uma determinada função (HOFFMANN; BRADLEY, 2008).
Assim, defini-se limite quando se aproxima de um número quando se
aproxima de um número tanto pela esquerda quanto pela direita, é o limite de
quando se tende a , (HOFFMANN; BRADLEY, 2008) o que, em notação
matemática, é escrito como:
(3.2)
Observe que a forma escrita de limite indica precisamente a noção intuitiva de
limite, que diz: dada uma função de , calcule o valor que função converge,
para tendendo a .
Foi citada acima a palavra converge que indica o limite da função, porém há
casos de funções divergentes, que quando tende a os valores de não implicam
uma tendência. Mas esses casos mais raros não serão abordados nesse trabalho
porque fogem do foco principal do trabalho: o estudo do processo de derivação.
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Dado o conceito intuitivo de limite e a notação matemática para se efetuar
esse tipo de cálculo, agora far-se-á a relação desse conhecimento a uma importante
ferramenta matemática, o plano cartesiano. Observe a Figura 05:
FIGURA 5: Limite no plano cartesiano. FONTE: HOFFMANN; BRADLEY, 2008, p. 49.
A relação geométrica de limite indicada por é dada pela
ordenada do gráfico de que se aproxima de quando tende a . Nota- se
na Figura 5 que tende a tanto pela esquerda quanto pela direita, assim como no
na seção 3.2. Mas há casos em que tende a somente pela esquerda ou pela
direita como na seção 3.1.
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4 CONCEITO DE DERIVADA
O mundo é repleto de variações, como por exemplo: velocidade, aceleração,
crescimento populacional, capital, aquecimento, dilatação, entre outras que relaciona
duas grandezas ou mais, sendo que a variação de uma grandeza depende da
variação de outra grandeza, que expressa por uma Taxa de Variação que se pode
relacionar através de uma função, pois há uma relação numérica entre as
grandezas.
Desde sempre a matemática, por meio de seus matemáticos, desperta
olhares sobre a matemática das variações, buscando meios de estudar, tratar,
definir, identificar e associar as taxas de variações, sendo hoje o cálculo conhecido
como ramo da matemática que estuda as variações e seu principal instrumento para
estudar as taxas de variação é o método conhecido como derivação (HOFFMANN;
BRADLEY, 2008).
Alguns matemáticos como Fermat já usavam o conceito de cálculo de
maneira imprecisa, nesse tempo não havia sistematização, a maneira que se
conhece até hoje foi baseada nos estudos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm
Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo de
Derivadas e Integrais (EVES, 2004).
O aparecimento e desenvolvimento do Cálculo Diferencial estão ambos
ligados a problemas geométricos, o problema da Reta Secante, como determina a
inclinação da Reta Secante determinada por dois pontos distintos pertencente à
curva do gráfico de uma função qualquer , e o problema da reta tangente, como
determinar a inclinação da reta tangente em certo ponto da curva do gráfico de uma
função qualquer . A inclinação da reta secante é dada pela Taxa de Variação,
porém, a inclinação da Reta Tangente é determinada pela Taxa de Variação
Instantânea, ou seja, quando a variação admitida no eixo das abscissas tende a
(HOFFMANN; BRADLEY, 2008).
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4.1 TAXA DE VARIAÇÃO E TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
Como foi citado acima Taxa de variação é a inclinação da Reta Secante do
gráfico de uma função qualquer . Os dois pontos que determinam a Reta
Secante no gráfico abaixo são dados pelas coordenadas e
. A reta PQ abaixo é chamada de Reta Secante do Gráfico de .
FIGURA 6: Taxa de Variação FONTE: SMOLE; DINIZ, 2005, p.279.
Com base na análise do gráfico pode-se concluir que a taxa de variação, que
pode ser chamada de inclinação da Reta Secante é dada pela razão entre a
variação de e pela variação de (HOFFMANN; BRADLEY, 2008).
Tem-se então:
(4.1)
Usando Termos Gerais:
20
(4.2)
Fazendo a operação de subtração:
(4.3)
Sabe-se que a taxa de variação é dada pela razão entre a variação de
pela variação de determinada por , usando o conceito de limite, admita que a
tende a . Observe o gráfico abaixo:
FIGURA 7: Reta Tangente e Reta Secante. FONTE: HOFFMANN; BRADLEY, 2008, p.81.
Observa-se que de acordo com o primeiro momento da figura a razão foi
geometricamente representada como a inclinação da Reta Secante que liga o ponto
ao ponto , no segundo momento, quando tende a , a
Reta Secante tende para a Reta Tangente.
Portanto pode- se determinar a Taxa de Variação Instantânea de no
ponto ou instante , calculando o limite da Taxa Variação quando tende a
( ) (HOFFMANN; BRADLEY, 2008).
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(4.4)
(4.5)
Este limite também corresponde à inclinação da reta tangente à curva
no ponto como mostra a Figura 7.
4.1.1 Definição de derivada
A expressão da Equação (4.5) é chamada de quociente diferença da função
também conhecida como Taxa de Variação. Como foi visto a Taxa de Variação
Instantânea é a inclinação da Reta Tangente ao Gráfico de que pode ser
determinada calculando o limite quando tende a da Taxa de Variação (quociente
diferença). Para facilitar as aplicações que envolvem o limite de um quociente
diferença, introduz-se a terminologia e notação apresentadas a seguir (HOFFMANN;
BRADLEY, 2008).
A derivada de uma função em relação à é a função (que lê como
“ linha de ”) dada por:
(4.6)
4.2 EXEMPLO
Baseado do exemplo 2.1.3. (HOFFMANN; BRADLEY, 9 ed, p.83), com base
na Equação (4.6) derivar-se-á a função abaixo.
(4.7)
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Resolução:
(4.8)
Substituindo pela função:
(4.9)
Resolvendo a potência:
(4.10)
Resolvendo a operação de subtração:
(4.11)
Colocando o termo comum em evidência:
(4.12)
Cancelando a operação inversa:
(4.13)
Aplicando o conceito de limite quando h tende a zero:
(4.14)
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5 REGRAS DE DERIVAÇÃO
A matemática sempre procurou ao longo da história simplificar e associar os
métodos de seus cálculos para as mais diversas aplicações e casos, buscando
sempre uma modelagem matemática, ou seja, uma forma de generalizar o método
de derivação. Sendo assim, se várias funções têm leis de formação semelhantes,
segue que essas leis têm por sua vez um termo geral, como, por exemplo, a função:
, , (5.1)
Cujo o Termo Geral é:
(5.2)
Com base nessa idéia é que se começou a criar as regras de derivação. Tem-
se abaixo o desenvolvimento de duas regras de derivação, usando como ferramenta
o processo de derivação da Equação (4.7).
1º Caso:
Dada a função , n Є N*( conjunto dos naturais, exceto o zero),
encontrar a sua regra geral de derivação.
(5.3)
(5.4)
Fazendo a operação de subtração e colocando o termo comum em evidência:
(5.5)
24
(5.6)
A função derivada de , Є N* é dada por (SMOLE;
DINIZ, 2005).
Tem-se acima a regra de derivação para todas as funções que seguem a lei
de formação .
2º Caso: Dado a função (constante), com base na Equação (4.7)
encontrar a sua derivada.
(5.7)
(5.8)
Tem-se acima a regra de derivação que diz que a derivada de toda constante
é igual a zero (SMOLE; DINIZ, 2005).
Existem mais regras de derivação além das duas acima, desenvolvidas ao
longo da história da derivada, que não serão abordadas nesse trabalho, pois fogem
do foco principal, que é como funciona o processo de derivação. Esta seção visa
apenas uma compreensão das regras de derivação estudadas no curso de cálculo.
25
6 DEMONSTRANDO O PROCESSO DE DERIVAÇÃO
Observe o gráfico da função tomando como valores para
(0,1,2,3,4).
FIGURA 8: Função .
FONTE: Adaptado do Geogebra, 2011.
Para essa função se tem a seguinte regra de derivação, denominada nesse
trabalho por Equação (5.6).
(6.1)
(6.2)
Dessa maneira a derivada da função acima com base na Equação (5.1) fica:
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
26
(6.3)
(6.4)
O objetivo principal desse trabalho é o estudo do processo de derivação,
sendo assim segue a demonstração do processo de derivação da função ,
usando a equação (4.1):
(6.5)
Calcular a Taxa de Variação da função .
(6.6)
Resolvendo os quadrados:
(6.7)
Fazendo a operação de subtração e colocando os termos comuns em
evidência:
(6.8)
Cancelando a operação inversa:
(6.9)
Dada a Equação (4.6):
27
(6.10)
Calcular a Derivada da função .
(6.11)
Tem se que a derivada da função é dada por:
(6.12)
Comprova-se a veracidade da regra de derivação, mas fica uma pergunta
“Qual a real relação da derivada da função com seus respectivos valores
(0, 1, 4, 9,16)?”
Para responder sabe-se que derivada é a Taxa de Variação Instantânea de
uma função, logo se deve fazer uma análise da variação dos valores da função nos
instantes , , , , .
0 (6.13)
Verificando-se a variação da função nos intervalos dos instantes:
∆ 1ª variação
∆ 2ª variação
∆ 3ª variação
∆ 4ª variação
Como a Taxa de variação instantânea é a variação da função nos intervalos
dos instantes de , se tem a igualdade abaixo:
(6.14)
28
Sendo um dado instante ou valor. Aplicando a igualdade acima, a 1ª
variação é igual a 1, igualando com a Taxa de Variação Instantânea:
(6.15)
(6.16)
Repetindo o processo acima para as seguintes variações temos:
2ª variação:
(6.17)
(6.18)
3ª variação:
(6.19)
(6.20)
4ª variação:
(6.21)
(6.22)
Portanto os valores de que satisfazem a igualdade é a média aritmética
entre os instantes das variações consideradas, o que leva a afirmar que a reta
Tangente intercepta o gráfico da função no ponto de coordenadas (( ), ( )).
29
Observa- se que a variação entre as variações dos instantes é de 2:
3 – 1 = 2 (6.23)
5 – 3 = 2 (6.24)
7 – 5 = 2 (6.25)
Então se pode afirmar que a Taxa de Variação sempre sofre um acréscimo de
2, em outras palavras, que a variação seguinte sempre sofre um acréscimo de 2 em
relação a variação anterior.
Na função acima a Taxa de Variação é dada por:
(6.26)
Veja agora como se aplica a Taxa de Variação para se encontrar a variação
entre os instantes 0 e 1. Dados:
(6.27)
= 1 para variação dos instantes 0 e 1 e = 0 no instante inicial.
Repetindo o processo acima para os instantes seguintes:
(6.28)
= 1 para variação dos instantes 1 e 2 e = 1 no instante inicial.
(6.29)
= 1 para variação dos instantes 2 e 3 e = 2 no instante inicial.
(6.30)
30
= 1 para variação dos instantes 3 e 4 e = 3 no instante inicial.
Portanto, se substituir o valor correspondente a um determinado instante na
taxa de variação se tem como resposta a variação entre os instantes e .
31
7 APLICAÇÃO DE DERIVADA
A derivada é a matemática das variações, o processo de derivação consiste
em encontrar a Taxa de variação instantânea de qualquer fenômeno que seja
expresso por uma lei de formação, ou seja, uma função. Em outras palavras Taxa de
Variação instantânea é a derivada da função, o que leva a afirmar que derivada
(processo de derivação) se aplicada nas diversas ciências: como ciências sociais,
ciências humanas e ciências exatas. O estudo escolhido para se dar um exemplo
desenvolvido da aplicação de derivada é um conteúdo de física, a posição de um
corpo em função do tempo, que relaciona perfeitamente a derivada como Taxa de
Variação Instantânea (SMOLE; DINIZ, 2005).
Abaixo a Equação (7.1) é a função que determina à variação de espaço em
função da variação de tempo, conhecida por dada no MUV (movimento
uniformemente variado), que admite uma aceleração = constante e diferente de
zero. Observa-se que nesse exemplo não será feito o uso de regras de derivação.
S (7.1)
Dados:
s₀ = posição do corpo no instante t = 0 (posição inicial);
v₀ = velocidade do corpo no instante t = 0;
a = aceleração;
t = tempo;
s = posição do corpo no instante t;
e a função denominada como Equação (7.1) se tem a seguinte conclusão, em física
sobre a Velocidade Média:
(7.2)
∆s = variação de espaço e ∆t = variação de tempo.
32
A velocidade Média é dada pela razão entre a variação de espaço pela
variação de tempo, que seria a própria Taxa de Variação, então se pode usar a
Equação (4.6) para determinar a sua Taxa de Variação Instantânea, que nada mais
é do que a função que determina a velocidade num determinado instante (SMOLE;
DINIZ, 2005).
Observe o gráfico da função do espaço na Figura 9 e verifique a relação
citada acima:
FIGURA 9: Taxa de Variação instantânea FONTE: Adaptado do Paint, 2011.
Como velocidade Média é dada pela Equação (7.2):
(7.3)
Então para encontrar a função da velocidade instantânea, basta derivar a
Equação (7.1) em relação ao tempo , e para isso vai ser utilizada a Equação (4.6).
(7.4)
33
Substituindo devidamente as variáveis:
(7.5)
Substituindo pela função s(t) da Equação (6.1):
₀ ₀
(7.6)
Fazendo a operação de subtração:
(7.7)
Aplicando a distributiva e fazendo a operação de subtração:
(7.8)
Colocando o termo comum em evidência:
(7.9)
Cancelando a operação inversa:
34
(7.10)
Aplicando o conceito de Limite, quando tende a zero:
V (t) = v₀ + at (7.11)
Ou seja, tem-se na Equação (7.11) a função da velocidade em função do
tempo . Portanto, de maneira intuitiva se tem que a taxa de variação da
velocidade é a aceleração ( ), mas pode se usar dos conhecimentos matemáticos
para verificar a veridicidade de tais afirmações.
Usa-se para esse processo a Equação (4.1) e como Taxa de Variação da
velocidade a Equação (7.2), assim:
(7.12)
Fazendo a operação de multiplicação:
(7.13)
Fazendo a operação de subtração:
(7.14)
Cancelando as operações Inversas:
(7.15)
35
Dessa forma se comprova que a Taxa de Variação é dada pela aceleração,
sendo verificado que se chega à fórmula da aceleração ( ) como a razão entre a
variação de velocidade pela variação de tempo:
(7.16)
Ao final se chega à conclusão que a derivada da função do espaço é a
função da velocidade e que a derivada segunda da função do espaço ou
se preferir a derivada primeira da função da velocidade é a aceleração que está
presente no sistema MUV.
36
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Chegando ao final da pesquisa é certo que não se esgotou todas as
possibilidades que poderiam ser levantadas, entretanto os objetivos a que se propôs
este trabalho foram alcançados, delimitando tanto o conceito de Limite quanto de
Derivada, assim como aplicações simples e diretas de tal conhecimento matemático.
Para isso a pesquisa histórica foi de fundamental importância, uma vez que
norteou como o Calculo Diferencial chegou até os dias atuais com toda sua gama de
teoremas.
Portanto ao buscar a compreensão do processo de derivação para poder dar
continuidade ao estudo do cálculo de derivadas, o problema de muitos alunos de
matemática em fazer de forma correta o processo de derivação através das regras,
mas não compreendo o que o se está fazendo, ou o que se esta querendo encontrar
derivando uma função, é sanado quando se tem a compreensão plena dos conceitos
e fundamentos teóricos e históricos de Limite e Derivada.
Isso permite associar o estudo da matemática com sua aplicação nas
ciências. Fazendo a matemática ser estudada não só como ciência, mas também
como ferramenta de linguagem de outras ciências, como consta na proposta
curricular do estado de São Paulo.
37
REFERÊNCIAS ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para licenciatura. 3 ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2006. BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. DINIZ, Geraldo L. História da Derivada. 2006. Disponível em: <http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histderivada.htm>. Acesso em: 05/03/2011. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Higino H. Domingues. Campinas: Unicamp, 2004. HOFFMANN, Laurence. D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: Um curso moderno e Suas Aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. SÃO PAULO (estado). Caderno do Aluno: matemática 1ª série. São Paulo: SEE, 2011. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática: Ensino Médio 3ª serie. São Paulo: Saraiva, 2005.
