Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo

1

Capacitor É um dispositivo eletrônico que tem como principal finalidade armazenar carga elétrica e, conseqüentemente, energia. Ele é basicamente formado por duas placas de metal separadas por uma pequena distância. Num capacitor comercial, dependendo do tipo (eletrolítico) as placas metálicas enrolam-se uma na outra e são separadas por algum material isolante. A figura ao lado mostra muito bem um capacitor por dentro. Considere um capacitor inicialmente descarregado. Quando os terminais são conectados, por exemplo, a uma bateria, dar-se início a uma corrente elétrica que só terminará quando a ddp entre as placas do capacitor for igual à ddp entre os terminais da bateria. Para um capacitor ser caracterizado, precisamos informar dois parâmetros, são eles: capacitância (C) e diferença de potencial (máxima). A relação entre eles é: Q = C V. (1)

A unidade de capacitância no Sistema International (SI) é o farad (F). De acordo com a equação (1), 1 farad = 1 coulomb/volt. Quanto maior o potencial e a capacitância, maior é a quantidade de cargas que podemos acumular num capacitor. Quando um capacitor está totalmente carregado, uma das placas está carregada com carga positiva (dizer que uma placa está carregada positivamente significa que existe ausência de elétrons) e a outra com carga negativa. Este vídeo mostra um capacitor sendo carregado e descarregado em seguida: http://www.youtube.com/watch?v=ciMxaPvEPUs. Este outro filme mostra o que um capacitor pode fazer num circuito: http://www.youtube.com/watch?v=EoWMF3VkI6U 1 - Cálculo da Capacitância – Placas Paralelas Exemplo 1: Capacitor de placas paralelas (não considere efeito de bordas).

Conector Negativo

Conector Positivo

Dielétrico

Alumínio

Placa de Metal

Plástico

Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo

2

Um capacitor desse tipo é formado por duas placas plano paralelas. Quando carregadas, estas placas criam um campo elétrico (facilmente calculado por Lei de Gauss – reveja esta aula) entre elas cujo valor é:

0εσ=E . (2)

σ é a densidade de carga superficial e ε0 é a permissividade do vácuo. A permissividade é uma medida da facilidade com que o dielétrico permite o estabelecimento de linhas de campo em seu interior. Quanto maior a permissividade, maior a quantidade de cargas depositadas nas placas. Por isso, como veremos mais adiante, se desejarrmos aumentar a carga num capacitor, com o campo elétrico constante, poderemos substituir o “vácuo” por um material isolante. Veja que esse campo é dobro do campo de uma placa carregada, ou seja, ele é o resultado da soma do campo da placa negativa com a placa positiva entre elas. A densidade de carga numa placa é dada pela seguinte equação:

A

Q=σ .

Q é a quantidade de carga numa área A. Levando este resultado na equação anterior (2), obtemos:

A

QE

0ε= .

A capacitância é função do potencial entre as placas que, nesse caso, é igual a:

dEV = . Onde d é a distância entre as placas. Levando esse resultado na equação (1), obtemos:

d

A

A

dQQ

dE

Q

V

QC 0

0

ε

ε

==== . (3)

Como podemos ver, quanto menor a distância entre as placas, maior a capacitância e esta é diretamente proporcional a área da placa. Além disso, tem um detalhe muito importante: se o espaço entre as placas for preenchido com outro material, como veremos mais a frente, a capacitância aumenta.

+ -

O campo elétrico se anula fora das placas e se adionam entre elas.

Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo

3

Exemplo 2: Um capacitor de 1x10-6F está carregado com uma ddp de 1V. Quantas cargas elementares têm neste capacitor?

.1011101 66 CCVQ −− ×=××== Cada carga elementar tem 1,6x10-19C, logo, o número total de cargas no capacitor, é:

1219

6

1025,6106,1

101 ×=××= −

−

N elétrons.

Link muito bom: http://phet.colorado.edu/en/simulation/capacitor-lab 2 - Dielétrico Basicamente dielétricos são isolantes elétricos e, quando estes são colocados entre placas de um capacitor, a capacitância aumenta por um determinado valor. Além disto, um dielétrico é uma forma mecânica de manter as placas do capacitor separadas. A explicação para isso é simples: quando um dielétrico é colocado entre as placas de um capacitor, ver figura ao lado, as moléculas deste dielétrico se orientam (temperatura e intensidade do campo são importantes para esta orientação) de forma que cria um campo elétrico (seta vermelha fina) que diminui o campo elétrico original (seta grossa azul). O resultado disso é a diminuição do potencial entre as placas. Detalhe importante: as placas estão ligadas à bateria que tem que manter o potencial original (por que?) e isto só pode ser feito, com a adição de mais cargas, logo, pela Equação (1), se V é constante, se a carga aumenta, a capacitância tem que aumentar. Veja também, que o dielétrico cria uma carga superficial (carga ligada) próximo às placas do capacitor e, como já vimos, isso da origem a um campo elétrico (seta vermelha). Se a capacitância original (sem dielétrico) do capacitor é C0, então, com a introdução do dielétrico preenchendo totalmente o espaço entre as placas, esta nova capacitância passa a ser C = KC0 (4) onde K é denominado de constante dielétrica. Supondo que o capacitor fique ligado à bateria enquanto o dielétrico é introduzido entre as placas, teremos então, que a nova carga é: Q = C . V0 = K C0 . V0 = K Q0. (5) Outra situação é quando um capacitor, sem dielétrico, está totalmente carregado e não conectado a uma bateria, neste caso, ao introduzir um dielétrico preenchendo todo espaço entre as placas, o potencial original diminui para o seguinte valor: V = V0 / K

+ - + - + -

+ - + - + -

+ - + - + -

++++++

- - - - -

V

Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo

4

O campo elétrico também diminui e fica: E = E0 / K pois E = V/d. (6) A tabela abaixo mostra os valores da constante dielétrica para alguns materiais.

Exemplo 3: Um dielétrico, ao ser é inserido entre as placas de um capacitor carregado, diminui o campo original (aquele sem dielétrico e representado na figura acima por setas azuis) porque as cargas na superfície produzem um campo contrário ao original (setas vermelhas). Estas cargas, pelo fato de estarem ligadas ao dielétrico, são denominadas de cargas ligadas e são representadas por σ b. O campo devido a estas cargas é dado por (ver capítulo 1):

0εσ bE =′ . (7)

O campo resultante entre as placas do capacitor e’:

−=′⇔=′−=K

EEK

EEEE

110

00 ,

ou

−=Kb

110σσ . (8)

O gráfico ao lado mostra a razão entre cargas ligadas e cargas livres. Lembre-se que o ar também é um dielétrico. Pergunta: Suponha que você carregue ao máximo um capacitor com um determinado dielétrico eles as placas. O que poderia acontecer, se você, de alguma forma, retirasse esse dielétrico?

0 20 40 60 80constante dieletrica (K)

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

carg

a lig

ada

/ car

ga li

vre

Agua = 80Porcelana = 7Papel = 3.7Ar = 1,00059

Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo

5

Exemplo 4: Um dielétrico com constante K e com a mesma área das placas do capacitor é inserido entre as placas carregadas. A espessura do dielétrico é 4/3 da distância entre as placas d. Calcule a nova capacitância. Na figura ao lado, o campo dentro do dielétrico é menor do que fora, pois o campo das cargas ligadas é contrario ao original. Este problema pode ser resolvido considerando-se 2 capacitores em série e assim calcular a capacitância de cada capacitor e em seguida aplicando a equação (2). Ou calcula-se a diferença de potencial entre as placas. O potencial entre duas placas é V = E d. No caso do capacitor, temos:

+=

+=+=+=+=K

KV

K

KdE

d

K

EdEdEdEVVV

4

3

4

3

4

3

44

3

4 00000

21 .

Mas C = Q0/V, ou seja,

00

0

34

34

CK

K

K

K

V

QC

+=

+=

3 – Armazenamento de Energia Elétrica Para carregar um capacitor, precisamos, e.g., de uma bateria, mas, à medida que carregamos outros capacitores, podemos descarregar completamente esta bateria. Podemos então dizer que energia foi “transferida” da pilha para o capacitor. Logo, um capacitor com carga tem uma determinada energia e para carregar um capacitor, trabalho tem que ser realizado. Carregar um capacitor significa transferir carga elétrica de um potencial menor para um maior (placa positiva). Veremos depois que a energia armazenada é exatamente igual a metade do trabalho realizado (pela bateria) para transferir carga para um determinado potencial. Se a quantidade de carga transferida é dq, então a variação energia potencial que a carga sofre é: dU =V. dq , (9) onde V é a diferença de potencial no capacitor quando este tem uma dterminada quantidade de carga. Este potencial é aumentado à medida que carga é adicionada ao capacitor. Mas, o potencial num capacitor é dado pela equação 1, ou seja,

++++++

- - - - -

V = q/C dq sendo transferida de um potencial V

++++++

- - - - -

vácuo

K

V1 V2

Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo

6

V = q / C. Levando a equação acima na Equação (9) obtemos:

C

QUdq

C

qUdq

C

qdU

Q 2

0 2

1=⇒=⇒= ∫ . (10)

Podemos reescrever a equação (10) da seguinte forma:

2

2

1

2

1VCVQU == . (11)

No caso de placas planas paralela, temos:

dAEEdAEdEAQV

U 020

2

1

222εεσ ==== . (12)

As Equações (10) e (11) estabelecem que a energia num capacitor é diretamente proporcional ao quadrado da carga ou ao potencial num capacitor. Vimos no curso de Física I que o trabalho é igual à integral do produto escalar da forca F com a distância infinitesimal que um corpo percorre. No nosso caso, a forca sobre uma carga dq é dq.E. O trabalho necessário para transferir essa carga por uma distancia d (distância entre as placas) é: dW = d dq E, mas,

00 εεσ

A

qE == ou

0εA

dqdE = .

Assim, levando a última equação na expressão para trabalho, obtemos:

0 20 0 0 00

1

2

EdW d dE A E W Ad E dE E Adε ε ε= ⇒ = =∫ . (13)

Ou seja, o trabalho necessário para carregar um capacitor até um campo E0 é exatamente a energia eletrostática de um capacitor U já calculada antes (veja as equações 12 e 13). O produto da área pela distância entre as placas é exatamente o volume do capacitor (supondo que o campo é constante nas bordas) e assim podemos definir outro parâmetro, ou seja, a densidade de energia de um campo eletrostático, como sendo:

202

1E

V

U εη == . (14)

Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo

7

Exemplo 7 Um capacitor de 60x10-6F está carregado a 12V. O capacitor é então removido da bateria e a separação entre as placas aumenta de 2 para 3,5mm.

a) qual a carga do capacitor? b) qual a energia inicialmente armazenada no capacitor? c) de quanto aumenta a energia armazenada se mudamos a distância entre as placas?

Resposta

a) Q = CV = 60 x 10-6.12 = 720 x10-6 C b) U = QV/2 = 720 x10-6 . 12/2 = 4320 x 10-6 J. c) Neste caso, o potencial não será mais 12V (O campo elétrico permanece constante).

Sabemos que V = E.d, como o valor do campo elétrico não muda quando as placas se afastam (veja que E só depende da densidade de carga e esta permanece constante) então podemos dizer que o novo potencial elétrico é:

VVd

dV

d

V

d

VE i

i

ff

f

f

i

i 212

12.5,3 ===⇔==

Logo, a energia armazenada agora é de 720 x10-6 x 21/2 = 7560 x 10-6 J. O que dá um aumento de 7560-4320 = 3240x10-6J.

Fato interessante: Este mesmo resultado poderia ser obtido se imaginássemos a seguinte situação: suponha que vamos calcular o trabalho para afastar uma placa de carga Q de uma outra placa carregada. Vamos prender a placa positiva e afastar a negativa. Neste caso, o trabalho para afastar a placa superior da inferior é: W = F.s = E´Q s = = 3000. 720 x10-6.0,0015 = 3240 x10-6 J. Ou seja, o trabalho realizado para afastar a carga é igual ao aumento da energia armazenada. Aqui consideramos o campo elétrico como sendo apenas devido uma única placa.

s

E´=E/2=12/(0,002.2) = 3000V/m

Placa fixa

Placa carregada Q

Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo

8

Exemplo 8 (Facultativo): Calcule a energia de um condutor esférico isolado com carga Q e raio R (veja exemplo 8 do capítulo de Potencial Elétrico) O uso da equação (14) e do potencial calculado anteriormente, nos dá:

R

kQ

R

kQQVQU

22

1

2

1 2

=== .

Este resultado também pode ser obtido via densidade de energia, ou seja, a densidade de energia de uma casca esférica de raio r (r > R) e espessura dr, é:

2

4202

0 22

1

r

QkE

εεη == ,

mas

R

kQUdr

r

kQUdrr

r

QkdVdU

R 224

2

2

2

22

2

420 =⇒=⇒== ∫

∞πεη .

Esta expressão é igual à primeira obtida acima. 4 – Combinação de Capacitores (Facultativo) A disposição de dois ou mais capacitores ligados entre si, forma o que denominamos de associação de capacitores. Podemos associá-los de três formas distintas: paralelo, serie ou serie e paralelo. Porem, esta associação pode ser substituida por um unico capacitor que chamamos de equivalente. Representação para capacitores em paralelo.

Neste caso, os terminais dos capacitores estão sob um mesmo potencial elétrico, então as cargas serão acumuladas de acordo com a capacitância de cada capacitor, ou seja, Q1 + Q2 + .... + Qn = Q ou

nn CCCCCVVCVCVC ...... 2121 ++=⇔=++ (17)

Representação para capacitores em serie.

Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo

9

A diferença de potencial total entre o primeiro e último capacitor, é igual a soma de cada potencial sobre cada capacitor; alem disto, a cada em cada capacitor é a mesma pois ao colocarmos carga + Q na placa do primeiro capacitor, induzimos carga negativa na placa oposta, que vem do segundo capacitor, e assim por diante. V = V1 + V2 + ....+ Vn ou

nn CCCCC

Q

C

Q

C

Q

C

Q 1...

111...

2121

+++=⇔+++= (18)

Se tivermos uma serie de capacitores associados em serie e paralelo, o capacitor equivalente é determinado a partir da resolução de cada tipo de associação separadamente. Outra forma: o capacitor do exemplo é uma associação de dois capacitores, um com dielétrico e outro sem.

Capacitor sem dielétrico: .4

01 d

AC

ε=

Capacitor com dielétrico: 4

30

2 dAK

Cε= .

Capacitor em série: 021 3

4111C

K

KC

CCC +=⇒+= .

Exercício: 1) Calcule a capacitância do capacitor da figura ao lado. 2) Calcule a capacitância do capacitor da figura ao lado.

A

K1 d K