FGV Novembro / 99 -...

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FGV Novembro / 992a Fase

FGV991e2OUT

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO

01. O gráfico abaixo fornece o número de unidades vendidasde um produto em função do tempo (dados trimestrais).

a) Qual o aumento porcentual de unidades vendidas doquarto trimestre de 98 (IV/98) em relação às do mesmoperíodo do ano anterior (IV/97)?

b) Qual o aumento porcentual de unidades vendidas doano de 98 em relação às do ano de 97?

Resolução:

a) vendas no (IV/98) = 400 unidadesvendas no (IV/97) = 300 unidades

aumento relativo = 100 unidades

% aumento = 100

300 = 0,33...

Resposta: O aumento foi de aproximadamente 33,33%

b) vendas em 98 = 1300 unidadesvendas em 97 = 1000 unidades

aumento relativo = 300 unidades

% aumento = 300

1000 = 0,3

Resposta: O aumento foi de 30%

I/97 II/97 III/97 IV/97 I/98 II/98 III/98 IV/98

Trimestre

600500400300200100

0

Ven

da

s

02. a) Numa progressão aritmética, (a1, a2, a3 ...........an...........)sabe-se que:

a17 = 4m + 1 a18 = 15 − m/2 a19 = m2 + 5

Obtenha a razão desta progressão.

b) Numa outra progressão aritmética, sabe-se que a14 = 3e, a16 = 11. Calcule a soma dos seus 30 primeiros termos.

Resolução:

a) r = a19 – a18 = a18 – a17

(m2 + 5) – 152

–mF

HGIKJ

= 152

–mF

HGIKJ

– (4m + 1)

m2 + 5 – 15 + m

2 = 15 –

m

2 – 4m – 1

m2 + 5m – 24 = 0 ⇒ m = 3 ou m = – 8

Resposta: se m = 3 ⇒⇒⇒⇒⇒ r = 1/2

se m = – 8 ⇒⇒⇒⇒⇒ r = 50

b) a14 = a1 + 13r = 3 (I)

a16 = a1 + 15r = 11 (II)

(II) – (I) ⇒ 2r = 8 ⇒ r = 4

Substituindo em (I): a1 + 13(4) = 3 ⇒ a1 = – 49

a30 = a14 + 29r ⇒ a30 = – 49 + 29(4) ⇒ a30 = 67

S30 = a a1 30 30

2

+b g =

– 49 67 30

2

+b g ⇒ S30 = 270

Resposta: A soma dos 30 primeiros termos é 270.

03. Suponha que hoje, no Brasil, 1 dólar tenha o valor deR$ 1,80. Um investidor tem a oportunidade de investir50 000 dólares nos Estados Unidos ou no Brasil por umano; a taxa de juros nos Estados Unidos é 5% ao ano e noBrasil é 20% ao ano.

a) Se a expectativa for que, daqui a 1 ano o valor de 1 dólarseja R$ 2,00, qual a melhor opção para o investidor ?

b) Qual deverá ser a expectativa do valor de 1 dólar daquia 1 ano, para que o investidor fique indiferente entre asduas opções?

Resolução:

Hoje US$ 1,00 = R$ 1,80Investimento: US$ 50.000 iB = 20% a.a.

iU = 5% a.a.

a) Investimento no Brasil:

IB = 50000 . 1,20 . 1,80 = 108 000,00

Investimento no EUA:

IU = 50000 . 1,05 . 2,00 = 105 000,00

Resposta: a melhor opção é investir no Brasil por 1 ano.

b) Rendimento igual: IB = IU

50000 . 1,20 . 1,80 = 50000 . 1,05 . x

x = 1 80 1 20

1 05

, . ,

, ⇒ x ≅ 2,057

Resposta: daqui a 1 ano teremos US$ 1,00 ≅≅≅≅≅ R$ 2,057

04. Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é oponto (3, – 4). Sabe-se que 2 é uma raiz da função.

a) Obtenha a expressão da função f.b) Para que valores de x, tem-se f (x) > 0?

Resolução:

a) O ponto A de coordenadas (4; 0) é obtido por simetria.Portanto, as raízes da função dada são: x1 = 2 e x2 = 4.

Usando a forma fatorada: f (x) = a . (x – x1) . (x – x2)f (x) = a . (x – 2) . (x – 4)

Como o ponto de coordenadas (3, –4) pertence aográfico da função, temos:

f (3) = – 4 ⇒ a . (3 – 2) . (3 – 4) = – 4 ∴ a = 4

Portanto: f (x) = 4 . (x – 2) (x – 4)

Resposta: a expressão de f é f (x) = 4x2 – 24 x + 32

b) Observando o gráfico: f (x) > 0 ↔ x < 2 ou x > 4

Resposta: S = {x ∈∈∈∈∈ IR | x < 2 ou x > 4}

05. Em uma instituição financeira, um investidor pode aplicarparte de seu capital numa aplicação A, cuja taxa de ganhoesperado é 15% ao ano; a outra parte ele pode aplicar numaaplicação B cuja taxa de ganho esperado é 30% ao ano.Todavia, quanto maior o ganho esperado, maior o risco.Alocando parte de seus recursos em A e parte em B, seuganho esperado ficará entre 15% e 30% ao ano.

a) Se um investidor tiver um perfil de risco tal que seuganho esperado seja 18% ao ano e seu capital for iguala R$ 40 000,00, quanto deverá aplicar em A e em B?

b) Seja C o capital do investidor, R sua taxa de ganhoanual esperado, x e y os valores aplicados em A e em B,respectivamente. Escreva as relações que devem sersatisfeitas por x e y, usando a forma de equação matricial.

Resolução:

a)CA iA CB iBCA CB CA CB

( ) ( ) , .1 1 118 40000

40000 40000

+ + + =

+ = ⇒ = −RST

(40 000 – CB) . 1,15 + CB . 1,3 = 47 200

0,15 CB = 1200 ⇒ CB = 8000

CA + CB = 40 000 ⇒ CA = 32000

Resposta: deverá aplicar 32 000 em A e 8 000 em B.

b)x y C

x y R C

+ =

+ = +RST . , . , ( ) .115 1 3 1

⇒

Resposta: 1 1

1,15 1,3.

x

y

C

(1 R) . C

L

NM

O

QPL

NMO

QPL

NM

O

QP=

+

RST

y

–4

Ax

2 3 4

32 FGV - novembro/99 CPV - O MELHOR CURSINHO ESPECIALIZADO EM GV

06. Considere, no plano cartesiano, uma reta (r) de equação2x + 3y – 1 = 0 e um ponto P de coordenadas (2, 5).

a) Obtenha o ponto de intersecção com o eixo y, da retaque passa por P e é paralela a (r).

b) Obtenha o ponto de intersecção da reta (r) com a retaque passa por P e é perpendicular a (r).

Resolução:

a) (r) 2x + 3y – 1 = 0 e (s) 2x + 3y + c = 0

Como P (2,5) pertence a s:2 . 2 + 3 . 5 + c = 0 ⇒ c = – 19∴ reta (s): 2x + 3y – 19 = 0

Fazendo x = 0: 2 . 0 + 3 . y – 19 = 0 ⇒ y = 19/3

Resposta: o ponto de intersecção é P1 0;19

3FHG

IKJ

b) (r) 2x + 3y – 1 = 0 e (t) 3x – 2y + c = 0

Como P (2, 5) pertence a t:3 . 2 – 2 . 5 + c = 0 ⇒ c = 4

Assim, calculamos P2 pela intersecção das retas:

(r): 2x + 3y – 1 = 0(s): 3x – 2y + 4 = 0___________________

0x – 13y + 11 = 0 ⇒ y = 11/13 ⇒ x = – 10

13

Resposta: o ponto de intersecção é P2 –10

13;

11

13FHG

IKJ

07. Numa grande cidade, a probabilidade de que um carro decerto modelo seja roubado, no período de um ano, é 1/20.Se considerarmos uma amostra aleatória de 10 destes carros:

a) Qual a probabilidade de que nenhum seja roubado noperíodo de um ano?

b) Qual a probabilidade de que exatamente um carro sejaroubado no período de um ano?

Resolução: A: ser roubado

A: não ser roubado

P (A) = 1

20 e P ( A ) = 1 −

1

20 =

19

20

a) Resposta: A probabilidade é P = 19

20

10FHGIKJ

b) P = 1

20

1FHGIKJ .

19

20

9FHGIKJ . C10,1 =

1

2 .

19

20

9FHGIKJ

Resposta: A probabilidade é 1

2 .

19

20

9FHGIKJ

08. Considere o sistema de equações lineares nas incógnitas

x e y: x y

x y

x y k

+ ===

R

S|

T|

2 5

3 7

2

–

–

a) Discuta o sistema em função do parâmetro k.

b) Resolva o sistema para k = 12.

Resolução:

Seja

x y

x y

x y k

+ ===

R

S|

T|

2 5 1

3 7 2

2 3

( )

– ( )

– ( )

a) Resolvendo o sistema: x + 2y = 5 (1)x − 3y = 7 (2)

(1) − (2): 5y = − 2 ⇒ y = – 2

5 e x =

29

5

Substituindo em (3): 2 . 29

5 − −FHGIKJ

2

5 = k

Resposta: Para k ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 12 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ SIk = 12 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ SPD

b) para k = 12 (item a), temos SPD

Resposta: S = 29

5; –

2

5FHG

IKJ

RST

UVW

y

x

t r

P

s//r

P2

2

(r) 2x + 3y – 1 = 0

5

(2E2–3E1)RST

RST

33 CPV - O MELHOR CURSINHO ESPECIALIZADO EM GV FGV - novembro/99

09. Um automóvel vale hoje R$ 20 000,00. Estima-se que seuvalor (y) daqui a x anos seja dado pela função exponencialy = a . bx. Sabendo-se que o valor estimado para daqui a3 anos é R$ 15 000,00:

a) Qual o valor estimado para daqui a 6 anos?b) Um outro automóvel tem um valor estimado (y) daqui a

x anos, dado por y = c . (0,8)x. Daqui a quantos anoso valor deste veículo se reduzirá à metade? (log 2 = 0,3)

Resolução:

x = 0 ⇒ y = 20 000x = 3 ⇒ y = 15 000

20 000 = a . b0 ⇒ a = 20 000 ⇒ 15 000 = a . b3

15 000

20 000 = b3 ⇒ b3 =

3

4

a) y = 20.000 . (b3)2

para x = 6 ⇒ y = 20.000 . (3/4)2 = R$ 11 250,00

Resposta: Daqui a 6 anos, o valor estimado é R$ 11 250,00

b)c

2 = c . (0,8)x ⇒

8

10FHGIKJ

x

= 1/2 ⇒

x(log 8 – log 10) = – log 2 ⇒ 3x log 2 – x = – log 2

– 0,1 x = – 0,3 ⇒ x = 3 anos

Resposta: O valor do veículo se reduzirá à metadedaqui a 3 anos

10. Represente graficamente os pontos do plano cartesianoque satisfazem cada uma das relações abaixo:

a) (x − 2)2 + y2 = 4

b)x

4 +

y

9 ≤ 1

c) y = | x − 2 |

d) x2 − 3x + 2 = 0

x

y

2 4

–2

0

2

Resolução:

a) (x − 2)2 + y2 = 4circunferência com centro = (2; 0) e raio 2

b)x

4 +

y

9 ≤ 1

Inequação da reta (na forma segmentária)

c) y = | x − 2 | função modular

d) x2 − 3x + 2 = 0 ⇒ (x − 2) (x − 1) = 0 ⇒equação de 2 retas.

y

x

y = | x −−−−− 2 |

y = x

y = x – 2

2

–2

2

y

x4

9

y

1 2x

x

x

==

RST

2

1


LÍNGUA PORTUGUESA

Leia atentamente o texto abaixo.

“Em Roma, na Igreja de S. Antônio dos Portugueses. Ano de 1670.

Memento homo, quia pulvis es, et in pulveren reverteris.(Lembra-te homem, que és pó, e em pó te hás de converter.)

(L. 1) Duas coisas prega hoje a Igreja a todos os mortais, ambas grandes, ambas(L. 2) tristes, ambas temerosas, ambas certas. Mas uma de tal maneira certa e(L. 3) evidente, que não é necessário entendimento para crer: outra de tal maneira(L. 4) certa e dificultosa, que nenhum entendimento basta para alcançar. Uma é(L. 5) presente, outra futura, mas a futura vêem-na os olhos, a presente não a(L. 6) alcança o entendimento. E que duas coisas enigmáticas são estas? Pulvis(L. 7) es, tu in pulverem reverteris: Sois pó, e em pó vos haveis de converter.(L. 8) — Sois pó, é a presente; em pó vos haveis de converter, é a futura. O pó(L. 9) futuro, o pó em que nos havemos de converter, vêem-no os olhos; o pó(L. 10) presente, o pó que somos, nem os olhos o vêem, nem o entendimento o(L. 11) alcança. Que me diga a Igreja que hei de ser pó: In pulverem reverteris,(L. 12) não é necessário fé nem entendimento para o crer. Naquelas sepulturas, ou(L. 13) abertas, ou cerradas, o estão vendo os olhos. Que dizem aquelas letras?(L. 14) Que cobrem aquelas pedras? As letras dizem pó, as pedras cobrem pó, e(L. 15) tudo o que ali há é o nada que havemos de ser: tudo pó.(L. 16) (...)(L. 17) Mas que me diga e me pregue hoje a mesma Igreja, regra da fé e da(L. 18) verdade, que não só hei de ser pó de futuro, senão que já sou pó de(L. 19) presente: Pulvis es? Como o pode alcançar o entendimento, se os olhos(L. 20) estão vendo o contrário? É possível que estes olhos que vêem, estes(L. 21) ouvidos que ouvem, esta língua que fala, estas mãos e estes braços que(L. 22) se movem, estes pés que andam e pisam, tudo isto, já hoje é pó: Pulvis(L. 23) es? Argumento à Igreja com a mesma Igreja: Memento homo. A Igreja diz-(L. 24) me, e supõe que sou homem: logo não sou pó. O homem é uma(L. 25) substância vivente, sensitiva, racional. O pó vive? Não. Pois como é pó o(L. 26) vivente? O pó sente? Não. Pois como é pó o sensitivo? O pó entende e(L. 27) discorre? Não. Pois como é pó o racional? Enfim, se me concedem que(L. 28) sou homem: Memento homo, como me pregam que sou pó: Quia(L. 29) pulvis es? Nenhuma coisa nos podia estar melhor que não ter resposta(L. 30) nem solução esta dúvida. Mas a resposta e a solução dela será a matéria(L. 31) do nosso discurso. Para que eu acerte a declarar esta dificultosa verdade,(L. 32) e todos nós saibamos aproveitar deste tão importante desengano,(L. 33) peçamos àquela Senhora, que só foi exceção deste pó, se digne de nos(L. 34) alcançar a graça. Ave Maria.”

Adaptado do Padre Antônio Vieira. http//www.cac.ufpe.br/libvirt/v1serm03.htm, 01/09/99.

01. Qual é, em português, o significado de cada uma das expressões latinas abaixo?

a) Pulvis es: Resposta: És pób) Memento homo: Resposta: Lembra-te, homemc) Tu pulverem reverteris: Resposta: Em pó te hás de converter.


Questão 02 - Peso: 7,5%Na linha 19 (após Pulvis es), o que justifica a presença do ponto de interrogação?Resposta: A interrogação expressa a perplexidade do autor quando percebe que não é pó, ao contrário do que afirma a citação latina.

Questão 03 - Peso: 7,5%De acordo com o texto, a Igreja prega hoje duas coisas. Quais são elas?Resposta: A Igreja prega que o homem é pó e que em pó há de se converter.

Questão 04 - Peso: 7,5%De acordo com o texto, uma das verdades pregadas pela Igreja é difícil crer. Qual é ela? Por que se torna difícil crer?Resposta: Segundo o texto, custa ao homem crer que é pó, porque não vê nem percebe isso.

Questão 05 - Peso: 7,5%“Duas coisas prega hoje a Igreja a todos os mortais...” (L. 1)No trecho destacado, não é direta a ordem dos termos da oração. Omita o advérbio hoje e coloque na ordem direta os demais termos.Resposta: A Igreja prega duas coisas a todos os mortais.

Questão 06 - Peso: 7,5%Observe o seguinte trecho: “... uma (é) de tal maneira certa e evidente, / que não é necessário entendimento para crer...” (L.2-3).Existe uma correlação entre as orações sublinhadas. Dois termos estabelecem, marcadamente, essa correlação. Quais são eles? Quetipo de relação estabelecem?Resposta: Os termos que estabelecem a correlação de conseqüência entre as orações são tal e que.

Questão 07 - Peso: 7,5%O texto apresenta um aparente paradoxo.Qual é ele? Por que se pode dizer que ele é aparente?Resposta: O paradoxo aparente reside no fato de o homem ser pó e tornar-se pó. Ele é aparente porque o homem já é pó.

Questão 08 - Peso: 7,5%Leia atentamente: “Nenhuma coisa nos podia estar melhor que não ter resposta nem solução esta dúvida.” (L. 29-30)Que razões, no texto, justificam essa afirmação?Resposta: O objetivo do sermonista é ligar as duas pontas do tema central do discurso. Ele provará com argumentos convincentesesses pontos aparentemente contraditórios: Tu és pó e ao pó retornarás.

Questão 09 - Peso: 7,5%Que diferença se estabelece entre as seguintes ocorrências da palavra o? “Como o pode alcançar o entendimento...”(L. 19)Resposta: O primeiro “o” é pronome demonstrativo, pois pode ser substituído por “isso”. O segundo é artigo definido masculinosingular, referindo-se a “entendimento”, nome conhecido.

Questão 10 - Peso: 7,5%Explique por que as formas verbais abaixo estão, respectivamente, no plural e no singular.“... estes ouvidos que ouvem, esta língua que fala...” (L. 20-21)Resposta: O pronome relativo “que”, sujeito, faz com que o verbo da oração subordinada adjetiva concorde com seu antecedente,no caso “ouvidos” e “língua”, respectivamente.


Questão 11 - Peso: 7,5%Em cada um dos retângulos abaixo, você poderá colocar ou não um sinal de pontuação. Sua decisão não deverá contrariar as regrasde pontuação vigentes. Quando decidir utilizar ponto, não é necessário corrigir, com letra maiúscula, a palavra seguinte.Não reescreva o texto. (Observação: o texto abaixo já se encontra pontuado)

Em janeiro deste ano , logo após a desvalorização do Real, as expectativas em relação ao desempenho da economia

brasileira eram , para dizer o mínimo , muito ruins para a maior parte do mercado . O ano seria extremamente

difícil , com o PIB cedendo algo como 4% , 5% ou 6% . Uma recessão sem precedentes na história recente do

País . Eram duas as razões para tanto pessimismo : a primeira residia na percepção de que a inflação fugiria

ao controle , restabelecendo a dinâmica da indexão da economia , inibindo a queda dos juros e afetando negativamente

o consumo e os investimentos produtivos .Odair Abate. Revista Tecnologia de Crédito. S. Paulo: Ano III, nº 13.

Questão 12 - Peso: 7,5%Os períodos abaixo estão alinhados sem ordem alguma. Organize-os em uma seqüência coerente. Na resposta, indique, por meio dosnúmeros, a ordem lógica em que eles devem dispor-se.

1. Ela afetaria aqueles que acreditam que isso seria sinônimo de reduzir o status adquirido e a influência política.

2. Reconhecer a mistura racial pode significar abrir as portas a uma forma mais flexível de ver as raças.

3. Estados como a Califórnia, onde a imigração asiática e latina é forte, são o palco ideal para esta reinterpretação.

4. Essa nova classificação deverá englobar as mudanças ocorridas na população, que hoje é integrada, acreditam os analistas, por1 a 2 milhões de descendentes de raças misturadas.

5. A classificação na categoria multirracial, entretanto, carrega contradições, pois pode trazer problemas a muitos negros.

6. Há quase duas décadas os Estados Unidos estão usando as mesmas quatro categorias raciais: índios americanos ou nativos doAlasca, asiáticos ou vindos de ilhas do Pacífico, brancos e negros.

7. Agora, as autoridades federais perceberam que esse espectro não define a complexidade racial e étnica do país e decidiram queé necessária uma nova categoria multirracial, a ser incluída no censo do ano 2000.

Resposta: 6 / 7 / 4 / 2 / 5 / 1 / 3

Questão 13 - Peso: 10% Leia atentamente:“Ao circular pelo almoxarifado, o guarda constatou a existência de ferramentas sobre as mesas cujo proprietário desconhecia.”Essa frase apresenta ambigüidade. Pede-se:A. Explique os dois sentidos possíveis.B. Transcreva a frase, eliminando a ambigüidade e fazendo as adaptações necessárias.

Resposta:A. Em uma primeira interpretação, é possível afirmar que o guarda desconhecia o proprietário das ferramentas.Em uma outra, é

possível afirmar que o guarda desconhecia o proprietário das mesas.B. Ao circular pelo almoxarifado, o guarda constatou, sobre as mesas, a existência de ferramentas cujo proprietário desconhecia.


REDAÇÃO

Instruções:

Esta prova é constituída de apenas um texto. Com base nele:

• Dê um título sugestivo à sua redação.• Redija um texto a partir das idéias apresentadas. Defenda os seus pontos de vista utilizando-se de argumentação lógica.

Na avaliação da sua redação, serão ponderados:

• A correta expressão em língua portuguesa;• A clareza, a concisão e a coerência na exposição do pensamento;• Sua capacidade de argumentar logicamente em defesa de seus pontos de vista;• Seu nível de atualização e informação;• A originalidade na abordagem do tema.

A Banca aceitará qualquer posicionamento ideológico do examinando.

Evite “fazer rascunho” e “passar a limpo” para não perder tempo. A redação pode ser escrita a lápis. Atenção para escrever comcaligrafia bem legível.

Tema

“Eu não queria estar na sua pele.” Com essa frase, dirigida ao vice-presidente das Organizações Globo, João Roberto Marinho, opresidente da TV Cultura, Jorge da Cunha Lima assinalou a imensa responsabilidade social que as emissoras de televisão têm, dadasua influência sobre o modo de pensar do brasileiro. Lima considerou a TV “o grande formador da alma brasileira”, afirmando quea TV Cultura e a Rede Globo representam os dois paradigmas da comunicação audio-visual do país: “Eu não tenho medo de dizerque o futuro da TV brasileira vai se o que nós dois vamos ser.” A seu ver a TV Cultura, por ser uma emissora pública (e portanto nãoter compromisso com lucros), deve ser “palco de experiências para melhorar a programação”, as quais podem ser aproveitadas maistarde na TV comercial. Cunha Lima, que foi aplaudido de pé pelos participantes, completou sua apresentação reafirmado o papelformador da TV no Brasil: “Somos a única forma de entretenimento para milhões de pessoas, porque somos gratuitos.” Masressaltou que a TV não pode substituir a escola: “A TV deve ser um instrumento de formação complementar do homem, informando-o e despertando seu gosto.”

Natasha Madov, uol / aprendizCOMENTÁRIO

O texto proposto pela FGV sugeria abordagens fundamentadas na comparação entre as organizações Globo e a TV Cultura e suasrespectivas programações e funções. Era possível afirmar que, enquanto as Organizações Globo, atadas ao compromisso com osanunciantes, veiculam programas informativos e de entretenimento cujo objetivo é a divulgação da cultura de massas, maisvantajosa comercialmente, a TV Cultura dedica-se largamente à divulgação da cultura erudita e popular, livre que está dos índicesde audiência por não se tratar de uma emissora que tem o lucro por objetivo. Assim, como garante a Banca Examinadora, o candidatoera livre para posicionar-se ideologicamente contra qualquer uma dessas posturas. Não se excluía a possibilidade de observar queé permitido ao telespectador optar pela programação que mais lhe agrade, de acordo com o que se afirma no texto proposto: asfunções das duas emissoras, aparentemente diversas, podem ser, na verdade, complementares se se considerar que a TV Cultura é“palco de experiências — que as Organizações Globo teriam por referência — para melhorar a programação”. Era necessário apontar,no entanto, que os índices de audiência deixam evidente que a opção feita pela maioria dos telespectadores brasileiros é favorávelaos programas de divulgação da cultura de massas, dando aos de outra natureza o caráter de “alternativos” ou menos importantes.Note-se, ainda, que o texto utilizado na proposta era uma notícia divulgada pela internet, fazendo valer como critério de avaliação— além da correta expressão em língua portuguesa, a clareza, a concisão e a coerência na exposição do pensamento — o nível deatualização e informação do aluno.


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