Algebra Linear 2013/2014

Ficha 1 : Matrizes (classificacao, operacoes algebricas)

1. Identifique o tipo (m× n) das seguintes matrizes:

(a) A =

2 −10 21 0

(b) B =

[1 4 3 2

](c) C =

000

(d) D =

[0 −11 1

](e) E =

[2 1 0 −21 0 1

21

]

2. De acordo com a lista de matrizes “especiais” apresentada na aulateorica, identifique quais das seguintes matrizes sao especiais e classifique-as:

(a) A =

1 2 30 −1 00 0 5

(b) B =

0 0 10 −1 01 0 0

(c) C =

2 0 00 2 00 0 2

(d) D =

[1 0 10 2 0

]

(e) E =

1 0 0−1 2 01 −1 1

(f) F =

[0 00 0

]

1

3. Determine a transposta das seguintes matrizes e diga, justificando, sealguma se trata de uma matriz simetrica:

(a) A =

1 20 4−1 2

(b) B =

[−1 11 −1

](c) C =

[0 −1 32 1 −2

]

4. Determine as matrizes dadas por:

(a) aij = i + j, com 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 3;

(b) bij = (i− j)2, com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3;

(c) cij =

{1, se i=j

0, caso contrario, com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3;

5. Considere a seguinte matriz

A =

0 −1 −11 0 −11 1 0

.

Diga, justificando, se sao verdadeiras ou falsas as seguintes afirmacoes:

(a) A matriz A e simetrica;

(b) A matriz A e anti-simetrica;

(c) A matriz A e diagonal.

6. Nos casos em que e possivel, determine A + B em que:

(a) A =

0 1−1 11 1

, B =

2 −12 23 2

(b) A =

[2 12 1

], B =

[1 0 00 0 1

](c) A =

[−1 01 1

], B =

[3 33 3

]2

7. Sejam An×m, Bm×n e C uma matriz quadrada de ordem n. Indiquequais das seguintes operacoes sao permitidas e, nesse caso, o tipo da matrizfinal:

(a) A + BC

(b) AC + B

(c) (AB)T − 3C

(d) BC2 − AT

(e) ABC

(f) 2A + B

(g) CTA + B

(h) A2

8. Seja A uma matriz de dimensao 2×4. De que tipo podem ser as matrizesB e C de modo a poder ser definida a matriz AT + (BTC)T ?

9. Considere as seguintes matrizes

A =

[−1 −11 1

], B =

[0 1 22 0 1

], C =

−2 31 01 2

Determine:

(a) BC − A

(b) BTA

(c) CA + BT

(d) 2B − CT

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