Escola Secundária de Nelas

Ficha de revisão sobre probabilidades e Inferência

1.Numa bolsa há 5 moedas de 1€ e 10 moedas de 0,50€.

1.1Qual a probabilidade de ao retirarmos 2 moedas obtermos 1,50 €?

1.2 Seja X a v.a “quantia saída nas duas tiragens”. Costrua a tabela de distribuição de probabilidades.

1.3 Determine a média e o desvio padrão.

2.Um saco contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Três bolas são retiradas.

Qual a probabilidade de se retirar 2 pretas e 1 vermelha?

a) sem reposição.

b) com reposição.

3.A Localiza, empresa de locação de automóveis, verificou que: 45,8% de seus clientes alugaram

automóveis por motivo de negócios, 54% por razões pessoais e 30% por ambos.

a) Qual a probabilidade de um cliente ter alugado por razões de negócios pessoais?

b) Qual a probabilidade de que um cliente não tenha alugado carro por motivos de negócios ou

pessoais?

4. Suponha que existe um teste para diagnosticar uma certa doença, mas que esse teste é falível.

Assim sabe-se que, para um indivíduo portador da doença (D), a probabilidade de o teste dar positivo

(T) é de 0.98 e que, para um indivíduo são (D), a probabilidade de o teste dar negativo é 0.99. Sabe-

se ainda que na população 10% são portadores da doença.

P(T|D) = 0.98 P(T|N) = 0.99 P(D) = 0.10

4.1 Determine a probabilidade de um indivíduo não ter a doença sabendo que o teste deu

positivo .

4.2 Determine a probabilidade de um indivíduo ter a doença se o teste deu negativo

5. Para avaliar o peso médio das maçãs produzidas por um determinado agricultor analisaram-se 20

maçãs seleccionadas ao acaso da produção. Estas resultaram num peso médio de ¯x = 320g.

Assuma que os pesos das maçãs têm distribuição Normal com desvio padrão σ = 20g.

(a) Construa um intervalo de confiança a 90% para a média do peso.

(b) Qual deve ser o tamanho da amostra de forma a que a amplitude do correspondente intervalo de

confiança a 90% para a média seja de 1g? E 5g? Comente.

6. Num estudo de mercado quantas pessoas devem ser inquiridas para, com 95% de

confiança, se cometer um erro de estimativa da verdadeira proporção de potenciais

clientes de um novo produto inferior a 3%? E para se cometer um erro de estimativa

inferior a 1%?

7. Considere uma amostra aleatória obtida no mercado de trabalho de uma grande cidade,

constituída por 2000 indivíduos. Das entrevistas efectuadas constatou-se que 165 pessoas

responderam não ter emprego.

a) Construa um intervalo de confiança a 95% para a proporção média de indivíduos

desempregados na referida cidade.

b) Caso pretenda reduzir para metade a amplitude do intervalo relativo à alínea anterior,

mantendo o mesmo grau de confiança, qual a dimensão da amostra adequada?

Justifique a resposta.

8.Suponha que determinado canal de televisão deseja saber qual tinha sido a percentagem de

pessoas que viram determinado programa. Para tal, realizou uma sondagem tendo sido inquiridas

220 pessoas, das quais 132 disseram ter visto o referido programa.

a) Determine um intervalo de confiança de nível 95% para percentagem de pessoas em

toda a população que viu esse programa.

b) Qual deveria ser o número de pessoas inquiridas para se obter um intervalo de

confiança de nível 95% com metade da amplitude do anterior? (Admita que a

proporção das pessoas que viram o programa se mantém.

9. Admita que uma amostra aleatória de 400 domicílios de uma determinada cidade revelou que 8%

destes são casas de aluguer, enquanto que, numa outra cidade, uma amostra de 270 domicílios

revelou que 37 eram casas de aluguer.

a) Construa um intervalo de confiança de nível 99% para a percentagem de casas de

aluguer em cada cidade.

b) Suponha que os intervalos de confiança, obtidos na alínea anterior, sejam considerados pouco

precisos. Qual deverá ser o tamanho das amostras para que o erro de estimativa não exceda 2%?

10. Diga porque é que as seguintes situações representam más amostras:

a) Para saber qual o candidato mais votado, para a Câmara de determinada cidade, auscultou-

se a opinião dos clientes de determinado supermercado.

b) Para conhecer a situação financeira das empresas têxteis portuguesas, verificou-se a

situação das empresas que tiveram maior volume de exportações, no último ano.

11. Uma cidade de 200000 habitantes tem à sua disposição dois jornais diários: ”O Aurora” e o ”O

Conhecedor”. Um inquérito revelou os seguintes dados:

− 50000 pessoas lêem diariamente ”O Aurora”;

− 40000 pessoas lêem diariamente ”O Conhecedor”;

− 5000 pessoas lêem diariamente os dois jornais.

Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este seja leitor:

1. De pelo menos um dos jornais;

2. De nenhum desses jornais;

3. Exclusivamente do jornal ”O Aurora”.

12. Considere dois acontecimentos A e B tais que:

P (A U B) = P (A) + P (B) − 0.1

P (A/B) = 0.2.

Determine P (B) e P (Ã /B).

13. A população de um determinado país, no inicio de 2002, era de 1034 milhões e a sua taxa de

crescimento anual era de 1,4% ao ano. Considere os dados fornecidos e suponha que a taxa de

crescimento se mantém constante desde 2002 até 2025.

13.1Determine a população em 2003, em 2004 e em 2005

13.2 Preencha a tabela seguinte

Ano 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2010 2012 2020 2025

Tempo (t)

em anos

decorridos

desde 2002

0 1 2

P2opulação

(P) ( em

milhões)

1034

13.3 Represente por t o número de anos decorridos desde o inicio de 2002 e defina o modelo

matemático que a representa.

13.4 Qual será a população no início de 2006? Calcule o valor de P (10,4) explique o valor

encontrado.

14. O número de pinheiros de um certo pinhal, t anos após o inicio da contagem, é dado por

0,2

31600)(

ttp

t

14.1 Quantos pinheiros havia no inicio da contagem? E 35 anos depois?

14.2 Ao fim de quantos anos existirão 8100 árvores?

14.3 Ao fim de quantos anos existirão mais de 12150 pinheiros?

Soluções:1.1 10/21 1.2

1.3 =1,33; 2. 1 1/4 2.2 9/40 3.1 30% 3.2 30,2%

4.1 0.084 4.2 0.002 5. IC90%(μ) = (312.67; 327.33). (b) 4304; 173. 6. Para 3% vem n ≥ 1068;

para 1% vem n ≥ 9604 7. a) (0,07; 0,09) b) Para reduzir a amplitude para 0,01: Se for conhecido e

igual a 0,0825, n ≥ 11632

Se não for conhecido toma-se =0,5, vindo n ≥ 38416 8. a) (0,535: 0,665) b) n ≥ 873 9. a)

]0,045;0,115 [; ] 083;0,191[ b) 1221 ; 1962 10. As situações apresentadas não são

representativas das populações de onde foram retiradas, pois são amostras enviesadas.

a) Diferentes tipos de pessoas frequentam diferentes tipos de supermercados. A amostra daria

unicamente indicações sobre a população constituída pelos clientes desse supermercado. Podemos,

ainda, concluir que os preços e o tipo de produtos que estão à venda não são iguais em todos os

supermercados, pelo que a amostra não é representativa.

X=Xi 1 1,5 2

P(X=Xi) 3/7 10/21 2/21

54

30 24

45,8

15,8

30,2

b) Verificou-se, certamente, que a situação financeira das empresas têxteis portuguesas é melhor do

que é na realidade.11. 1: 17/40 . 2: 23/40 ..3: 9/40 . 13. P(n) = 1034 ×1,014n

P(6)= 1034 ×1,0146 14.1 1600¸ 2329775370 pinheiros 14.2 Ao fim de 4 anos existirão 8100 árvores.

14.3 Ao fim de 5 anos