Ficha de Trabalho n.º 2 - Conjuntos e Condições.pdf

7/26/2019 Ficha de Trabalho n. 2 - Conjuntos e Condies.pdf

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Conjuntos e CondiesProposta de Resoluo

Ficha de Trabalho n. 2Matemtica A10. AnoProposta de Resoluo 1

FICHA DE TRABALHO N. 2MATEMTICAA-10.ANO

CONJUNTOS E CONDIES

PROPOSTA DE RESOLUO

Conhece a Matemtica e dominars o Mundo.

Galileu Galilei

GRUPO IITENS DE ESCOLHAMLTIPLA

1.Tem-se que:

2 , 3 , 5 e so nmero irracionais. Logo, as proposies 2p , 3p , 5p e p so verdadeiras.

2, 2

3 3 e 4 2 so nmeros racionais. Logo, as proposies 2p , 23p e 4p so falsas.

Sabe-se que: a equivalnciaentre duas proposies verdadeirase e somente se as duas tiverem o mesmo valor lgico; a implicaoentreduas proposies falsase e somente se o antecedente for uma proposio verdadeira e o consequente for uma proposio falsa; a conjunoentre duas condies verdadeira se e somente se ambas forem verdadeiras; a disjuno entre duas proposies falsase e somente seambas forem falsas.

Portanto, as proposies 2 2F

V

p p , 22 3V F

p p e ~ 3VF

p p so falsas e a proposio 4 5VF

p p

verdadeira.Resposta:D

2. Tem-se que:

2 1

1 6 2 3 32 2

x xp x q x x x x

2

2

x

21

2 2

x 6 12 3 3x x x

16 3 3 12

2x x x

1 13 15 5

2 2x x x x

Logo, o valores dexque que transformam a condio p x q x numa proposio verdadeira so todos os nmeros reais maiores ou iguais a

1

2 e todos os nmeros reais inferiores a 5. Ou seja, so todos os nmeros reais pertencentes ao intervalo

1,5

2

.

Resposta:B

3. A proposiop: No existem nmeros reais cujo seu cubo seja 1 pode ser interpretada como p: Qualquer que seja o nmero real, o seu

cubo no igual a 1 . Portanto, simbolicamente, a proposioppode ser escrita da seguinte forma, : ,p x 3 1x .

Resposta:C


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4. Tem-se que:

2 2~ : : ~ 2 2 : ~ ~ 2 2p x x x x x x x x

2: ~ ~ 2 ~ 2x x x x

2: 2 2x x x x

Resposta:A

5. Tem-se que:

4 1 3

3 8 1 18 9 3 8 8 3 27 5 35 73 2

x xx x x x x x

. Logo, 7,A .

10 10 10x x x . Logo, , 10 10,B e consequentemente, 10,10B .

Portanto, 7,10A B .

Por outro lado, 2 2 2 2 2 2100 108 0 100 0 108 0 100 108 100 108x x x x x x x x

10 108x x

Logo, as solues da equao 2 2100 108 0x x so 108 , 10 , 10e 108 . No entanto, ao conjunto Cpertencem apenas as

solues inteiras desta equao, ou seja, 10 e 10. Portanto, 10,10C .

7,10 10,10 7,10 10A B C .

Resposta:B

6. U o conjunto de todos os nmeros naturais inferiores a 36, isto :

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35U

Assim:

A conjunto de todos os elementos de Ucuja raiz quadrada um nmero natural. Esses elementos so 1, 4, 9, 16e 25.

Logo, 1,4,9,16,25A

B conjunto de todos os elementos de Uque so mltiplos de 4. Esses elementos so 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28e 32.

Logo, 4,8,12,16,20,24,28,32B

Portanto:

1,4,9,16,25 4,8,12,16,20,24,28,32 4,16A B

\ 4,8,12,16,20,24,28,32 \ 1,4,9,16,25 8,12,20,24,28,32B A

Resposta:D


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7. Tem-se que:

3 4 3 2 2416 0 16 1 0 2 0 1 0 2x x x x x x x x x x x x

20 1 2 0 1 2 0 1 2x x x x x x x x x

Logo, as solues da condio 3 4 16x x x so 2 , 1 , 0, 1e 2. No entanto, ao conjuntoApertencem apenas as solues racionais

no positivas, ou seja, 2 , 1 e 0. Portanto, 2, 1,0A .

Resposta:D

8. Tem-se que:

2

3 2 0 3 23

x x x

2

2 2

0

5 5 4 6 66 2 36 5 6 6 5 6 5 6 02 6 3 2x

x

x x x x x x x xx

Portanto, a proposio2

3a

verdadeira e a proposio a k falsa para todo o

2\ ,0

3k

; as proposies

2

3b

e

3

2b

so

verdadeiras e a proposio b k s falsa para todo2 3

\ ,0,3 2

k

.

Uma condio p x universal num universo Uquando se transforma numa proposio verdadeira, sempre que se substitui a varivel xpor

elementos de U, isto , a condio p x universal num universo Use e somente se a proposio x U , p x for verdadeira.

Assim:

A A condio a x b x no universal, pois para3

2x a proposio

3 3

2 2VF

a b

falsa.

B A condio b x a x no universal, pois para3

2x a proposio

3 3

2 2FV

b a

falsa.

C A condio ~ ~b x a x universal, pois:

se2

3x , a proposio

2 2~ ~

3 3

F F

b a

verdadeira.

se3

2x , a proposio

3 3~ ~

2 2

VF

b a

verdadeira.

se x k , com2 3

\ ,0,3 2

k

, as proposies ~a k e ~b k so verdadeiras e portanto a proposio ~ ~b k a k

verdadeira.


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Logo, a proposio \ 0x , ~ ~b x a x verdadeira e portanto a condio ~ ~b x a x universal.

D A condio ~a x b x no universal, pois, por exemplo, para 1x a proposio ~ 1 1FV

a b falsa.

Resposta:C

9. A proposio falsa a da opoC.De facto:

3 2 2 216 0 16 0 0 16 0 0 16 0 16 0 4x x x x x x x x x x x x

Portanto, o conjunto soluo desta equao 4,0,4 . Nenhuma das solues da equao pertente ao conjunto S, pelo que a proposio

3: 16 0x S x x , ou seja, no verdade que exista pelo menos um x S tal que 3 16 0x x .

Resposta:C

GRUPO IIITENS DE RESPOSTAABERTA

10.

10.1.

A proposiop falsa, pois, por exemplo, se 0,5x ( 0,5 ) tem-se que 0,5 0,5 , mas 0,5 . Portanto no verdade que para todo

o x se tenha x x x .

A proposio q verdadeira. verdade que existe pelo menos um x tal que x x x . Por exemplo, se 1x (1 ) tem-se que

1 1 e que 1 .

10.2. Tem-se que:

x x x x x x , isto ,x diferente dexse e somente sex inferior axou sex superior ax.

se x e x , ento, \x

Assim, a proposio ~ p fica:

~ , : ~ : : \x x x x x x x x x x x x x x x x x x

10.3.

A condio :a x x x x universal em , pois a proposio ,x x x x verdadeira. Ou seja, verdade que

todos os nmeros inteiros so iguais a si prprios e so nmeros inteiros. Como , ento a proposio a x tambm universal em .

A condio :a x x x x possvel no universal em e em . De facto, por um lado 0,5 e 0,5 e a proposio

0,5 :0,5 0,5 0,5V F

a falsa. Por outro lado 1 e 1 e a proposio 1 :1 1 1V V

a verdadeira. Ou seja, substituindo

a varivel por 0,5obtm-se uma proposio falsa e substituindo a varivel por 1obtm-se uma proposio verdadeira.

A condio :a x x x x impossvel em \ , pois a proposio \ :x x x x falsa. Ou seja, no existe

nenhum nmero irracional que seja igual a si prprio e que seja inteiro.


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11.

11.1.Tem-se que ~ :q 2 2 2~ : mpar , no mpar , par n n n n n n n n n .

Em linguagem corrente, fica, por exemplo: A soma de todo o nmero natural com o seu quadrado um nmero par.

11.2. Seja num nmero natural. Tem-se que, 2 1n n n n . Assim:

se n par, ento, 1n impar e portanto 2 1n n n n par, pois o produto de um nmero par por um nmero mpar um nmero par.

se n mpar, ento, 1n par e portanto 2 1n n n n par.

Logo, para todo o n natural, 2n n par. Portanto, a proposio 2: mpar n n n falsa, pois no existe pelo menos um nmeronatural ntal que 2n n seja mpar.

11.3.J vimos na alnea anterior que a proposio q falsa. Tem-se que:

a proposiop falsa, pois se 1n , ento, 4 21 1 2 1 3 3 e 3 um nmero mpar. Portanto falso que para todo o nmero natural n,

4 2 2n n seja um nmero par.

a proposio r verdadeira, pois se 2n , ento,22 2 2 8

12 6 8

e 1 . Portanto verdadeiro que existe pelo menos um nmero

natural ntal que2

2

6

n n

n

.

a proposiop falsa, a proposio q falsa e a proposio r falsa.

a) As proposiespe qso falsas. Logo, a proposio p q tambm falsa. Assim, a proposio p q r verdadeira, pois a implicao

entre duas proposies falsa se e somente se a proposio antecedente for verdadeira e a proposio consequente for falsa.

b) As proposies p e q so falsas. Logo, a proposio p q verdadeira. Como a proposio r verdadeira, ento, a proposio

p q r verdadeira (a implicao entre duas proposies falsa se e somente se a proposio antecedente for verdadeira e a proposio

consequente for falsa).

c) A proposio p falsa, consequentemente, a proposio ~ p . Logo, a proposio ~ p q verdadeira, pois a disjuno entre duas

proposies falsa se e somente se ambas forem falsas.

Como a proposio r verdadeira e a proposio q falsa, a proposio r q falsa, pois a implicao entre duas proposies falsa se e

somente se a proposio antecedente for verdadeira e a proposio consequente for falsa.

Assim, como a proposio ~ p q verdadeira e a proposio r q falsa, a proposio ~ p q r q falsa, pois a conjuno

entre duas proposio verdadeira se e somente se ambas forem verdadeiras.

d)A equivalncia entre duas proposies verdadeira se e somente se as duas tiverem o mesmo valor lgico. Assim, como a proposio pfalsa e a proposio r verdadeira, a proposio p r falsa.


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12.

12.1. Tem-se que:

0 0x x x x x (a distncia origem de um nmero real igual a si prprio se e somente se esse nmero no for negativo).

Logo, 0,A .

2 1 3 2 4 2x x x . Logo 0,2B , pois se x A ento 0x .

~ 3 1 2 3 1 2 3 3 1x x x x . Assim:

~ 3 1 2 8 2 1 0 1 8 2 2 0 1 2 6 1 3x x x x x x x x

Logo, 1,3C .

a) 0,2 1,3 1,2B C

b) Tem-se que \ 1,3 \ 0,2 2,3C B e que ,0A . Assim, \ 2,3 ,0 ,0 2,3C B A .

c) Tem-se que 0,2 1,3 0,3B C . Logo, ,0 3,B C .

Assim, ,0 3, 0, 3,B C A .

12.2.

a)Existe pelo menos um elemento de Ccujo seu quadrado igual a si prprio.

b)

Tem-se que A . Logo, se x x A , ou seja, todos os nmeros naturais so elementos deA. Portanto, a proposiop verdadeira.

Tem-se que 2 2 0 1 0 0 1 0 0 1x x x x x x x x x x , ou seja, os nicos nmeros reais cujo seu

quadrado igual a si prprios so o 0e o 1. Mas 0 C e 1 C e portanto, no existe pelo menos x C tal que 2x x . Assim, a proposio

q falsa.

A proposio p q falsa, visto que a proposiop verdadeira e a proposio q falsa. A proposio ~p q verdadeira, visto que asproposiesp e ~q tm o mesmo valor lgico, neste caso, so ambas verdadeiras. Assim, ~p q p q verdadeira, pois a

disjuno de duas proposies falsa se e somente se ambas forem falsas.

c) Tem-se que se x e x A , ento, \x A .

Assim, a proposio ~ p fica ~ , : ~ : : \x x A x x A x x A x x A .

12.3. Tem-se,2 3 2

2 4 63 2

x xx x

3 6x 2 2 0 2 2x x x .Logo, o conjunto soluo da condio

a x

0, 2,2 0,2 . A condio

a x possvel no universal emB, pois

0,2 B , mas

0,2 B . Neste caso tem-

se 0,2 B .


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Outra maneira de verificar que a condio a x possvel no universal:

Por um lado 1 B e a proposio 1 :1 0 2 1 2V V

a verdadeira. Por outro lado 2 B e a proposio 2 : 2 0 2 2 2V F

a

Falsa. Ou seja, substituindo a varivel por 1obtm-se uma proposio verdadeira e substituindo a varivel por 2obtm-se uma proposio falsa,

pelo que a condio a x possvel no universal emB.

13.

13.1. Seja num nmero natural.Tem-se que 2 3 3 3 3n n n n . Assim:

se n par, ento, 3n impar e portanto 3n n par, pois o produto de um nmero par por um nmero mpar um nmero par. Logo,

2 3 3 3 3n n n n mpar, pois a soma de um nmero par por um nmero mpar um nmero mpar.

se n mpar, ento, 3n par e portanto 3n n par. Logo, 2 3 3 3 3n n n n mpar.

Logo, para todo o nnatural, 2 3 3n n um nmero mpar.

13.2.

a) Pretende-se mostra por contra-recproca que se 2 6n n um nmero mpar, ento n um nmero mpar.

A contra-recproca se nno um nmero mpar, ento, 2 6n n no um nmero mpar, ou seja, se n um nmero par, ento, 2 6n n

um nmero par.

Seja num nmero par. Ento, npode ser escrito na forma 2n k , com k . Assim:

22 2 26 2 6 2 4 12 2 2 6n n k k k k k k

Tem-se que 22 6k k um nmero natural, pois k um nmero natural. Portanto, 22 2 6k k um nmero par e consequentemente,2 6n n um nmero par.

Logo, por contra-recproca, est provado que se 2 6n n um nmero mpar, ento n um nmero mpar.

b) Seja n . Suponhamos, com vista a um absurdo, que 2 6n n um nmero mpar e que nno um nmero mpar, isto , que n um

nmero par.

Ento, npode ser escrito na forma 2n k , com k . Assim:

22 2 26 2 6 2 4 12 2 2 6n n k k k k k k

Tem-se que 22 6k k um nmero natural, pois k um nmero natural. Portanto, 22 2 6k k um nmero par e consequentemente,2 6n n um nmero par, o que absurdo, pois, por hiptese, 2 6n n um nmero mpar.

13.2.

a) Pretende-se mostra por contra-recproca que se nno um mltiplo de 9, ento, nno um mltiplo de 63.

A contra-recproca se n um mltiplo de 63, ento, n um mltiplo de 9.


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Seja num mltiplo de 63. Ento, npode ser escrito na forma 63n k , com k . Assim, 63 9 7 9 7n k k k .

Tem-se que 7k um nmero natural, pois k um nmero natural. Portanto, 9 7k um mltiplo de 9e consequentemente, n um mltiplo

de 9.

Logo, por contra-recproca, est provado que se nno um mltiplo de 9, ento, nno um mltiplo de 63.

b) Seja n . Suponhamos, com vista a um absurdo, quenno um mltiplo de 9e que n um mltiplo de 63.

Ento, npode ser escrito na forma 63n k , com k . Assim, 63 9 7 9 7n k k k .

Tem-se que 7k um nmero natural, pois k um nmero natural. Portanto, 9 7k um mltiplo de 9e consequentemente, n um mltiplo

de 9, o que absurdo, pois, por hiptese, nno um mltiplo de 9.

14.

14.1. Tem-se que:

~ , ~ , ~ , ~ ~ , ~ ~ ~ , ~x p x q x x p x q x x p x q x x p x q x x p x q x

14.2. Tem-se que:

, , ~ , ~ , ~ ~ ~ , ~ ~x p x q x x p x q x x q x p x x q x p x x q x p x

15.

15.1. Tem-se que:

4 2 4 2 4 2, 270 4 , ~ 4 ~ 270 , 4 270n n n n n n n n n n n n n n n

15.2. Vamos usar a contra-recproca da proposioppara provar a sua veracidade. A contra-recproca da proposio p:

4 2, 4 270n n n n n

Seja n e 4n , isto , 1,2,3,4n . Assim:

se 1n , ento, 4 2 4 21 1 1 1 270n n n

se 2n , ento, 4 2 4 22 2 2 18 270n n n

se 3n , ento, 4 2 4 23 3 3 87 270n n n

se 4n , ento, 4 2 4 24 4 4 268 270n n n

Logo, verdade que para todo o natural nmenor ou igual a 4se tem 4 2 270n n n .

A proposio 4 2 4 2: , 270 4 , 4 270p n n n n n n n n n n verdadeira.


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15.3. Tem-se que, 4 2 4 2~ : ~ , 270 4 : ~ ~ 270 4p n n n n n n n n n n

4 2: ~ ~ 270 ~ 4n n n n n

4 2

: 270 4n n n n n

16.

16.1. A proposio q falsa. Por exemplo, 2 um nmero irracional e 2

2 2 um nmero racional. Assim, a proposio q q

verdadeira, pois o consequente e o antecedente so o mesmo. Consequentemente, a proposio ~ q q falsa. Como a proposio q

falsa, a proposio ~ q q q falsa, pois a disjuno entre duas proposies falsa se e somente se ambas as proposies forem falsas.

16.2.A proposio q: No existem nmeros irracionais cujo quadrado seja um nmero racional pode ser interpretada como q: Qualquer que sejao nmero irracional, o seu quadrando no um nmero racional. Portanto, simbolicamente, a proposio qpode ser escrita da seguinte forma,

: \ ,q x 2x Q .

17.

17.1.Tem-se que:

22 2 1 1 4 1 66 6 0 3 2

2 1x x x x x x x

. Logo, o conjunto soluo da condio p x 3,2 .

Portanto as proposies 3p e 2p so verdadeiras e a proposio p k falsa, para qualquer \ 3, 2k .

o conjunto soluo da condio

q x 2 . Portanto a proposio

2q verdadeira e a proposio

q k falsa, para qualquer

\ 2k .

a)Tem-se que:

se 3x , a proposio 3 ~ 3V V

p q verdadeira.

se 2x , a proposio 2 ~ 2V F

p q verdadeira.

se x k , com \ 3, 2k , a proposio ~VF

p k q k verdadeira.

Logo, a proposio ,x ~p x q x verdadeira e portanto a condio ~p x q x universal em .

Outra resoluo: o conjunto soluo da condio p x 3,2 .O conjunto soluo da condio q x 2 , pelo que o conjunto soluo

da condio ~q x \ 2 . Logo, o conjunto soluo da condio ~p x q x 3,2 \ 2 . Portanto, a condio

~p x q x universal em .


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b)Tem-se que:

se 3x , a proposio 3 3FV

p q falsa.

se 2x , a proposio 2 2

V V

p q verdadeira.

Logo, proposio p x q x possvel no universal em .

c)Tem-se que:

se 3x , a proposio ~ 3 3FF

p q falsa.

se 2x , a proposio ~ 2 2VF

p q falsa.

se x k , com \ 3, 2k , a proposio ~V F

p k q k falsa.

Logo, a proposio : ~x p x q x falsa e portanto a condio ~ p x q x impossvel em .

Outra resoluo: o conjunto soluo da condio p x 3,2 , pelo que o conjunto soluo da condio ~ p x \ 3, 2 . O

conjunto soluo da condio q x 2 . Logo, o conjunto soluo da condio ~ p x q x \ 3,2 2 . Portanto, a

condio ~ p x q x impossvel em .

d)Tem-se que:

se 3x , a proposio 3 3FV

p q falsa.

se 2x , a proposio 2 2V V

p q verdadeira.

Logo, proposio p x q x possvel no universal em .

e)Tem-se que:

se 3x , a proposio 3 ~ 3F F

q p verdadeira.

se 2x , a proposio 2 ~ 2V F

q p falsa.

Logo, proposio ~q x p x possvel no universal em .


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f)Tem-se que:

se 3x , a proposio ~ 3 3V V

q p verdadeira.

se 1x , a proposio

~ 1 1

FV

q p falsa.

Logo, proposio ~q x p x possvel no universal em .

g)Tem-se que, , ~ ~ , ~ ~ ~ , ~x p x q x x p x q x x p x q x . J vimos na alnea a) que

esta proposio verdadeira. Portanto, a condio ~ ~p x q x universal em .

h)Tem-se que:

se 3x , a proposio 3 3 3 ~ 3F F

F

V

V V

p q q q

falsa.

se 2x , a proposio 2 2 2 ~ 2V

V

V

FV V

p q q q

falsa.

se x k , com \ 3, 2k , a proposio ~F

F F VF

F

p k q k q k q k

falsa.

Logo, a proposio : ~x p x q x q x q x falsa e portanto a condio ~p x q x q x q x impossvel

em .

Outra maneira: seja i x uma condio impossvel em . Assim, vem:

p x q x q x p x q x i x q x q x p x i x q x i x q x

Portanto, a condio p x q x q x equivalente condio ~q x q x . Esta condio impossvel em , visto que uma

condio no pode ser equivalente sua negao.

17.2. Para x , tem-se:

2

2 2 1 1 4 1 6

6 6 0 3 2 22 1 x q xp x

x x x x x x x x

Logo, para todo o x , tem-se p x q x . Portanto, a proposio ,x p x q x verdadeira.


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17.3.

a) A proposio 2: : 6x p x x x x verdadeira, pois 3 e 2

3 3 9 3 6 .

b) A proposio 2, ~ , 6x p x x x x falsa, pois 3 e 2

3 3 9 3 6 .

c) Tem-se que:

se 2x , a proposio 2 2V V

p q verdadeira.

se x k , com \ 2k , a proposio F F

p k q k verdadeira.

Logo, para todo o x , tem-se p x q x . Portanto, a proposio ,x p x q x verdadeira.

d)As duas solues da condio p x so racionais e a soluo da condio q x racional.

Logo, se x k , com \k , as proposies p k e q k so falsas e portanto a proposio p k q k verdadeira.

Logo, para todo o \x , tem-se p x q x . Portanto, a proposio \ ,x p x q x verdadeira.

17.4. A condio r x impossvel em . Portanto, se x n , com n , a proposio r n falsa e consequentemente, a proposio

~r n verdadeira. Assim:

a condio

~r x q x no universal em , pois, por exemplo, se 3x , a proposio

~ 3 3

FV

r q falsa;

a condio r x q x no universal em , pois, por exemplo, se 3x , a proposio 3 3F F

r q falsa.

a condio r x p x no universal em , pois, por exemplo, se 3x , a proposio 3 3F F

r p falsa.

A resposta correcta a B.

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