Ficha deExercicios Resolvidos (Controlo de Sistemas)

8/18/2019 Ficha deExercicios Resolvidos (Controlo de Sistemas)

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Controlo de Sistemas

Controlo de SistemasADESPA-Secção de Energia e Sistemas

Ficha Nº1

Elaborado por :

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Turma: -------

Turno: -------

Grupo: -------


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Índice1. -Sistemas de 1ª ordem ...................................................................................................................... 1

1.1. Ganhos estáticos e as constantes do tempo. ............................................................................... 1

1.2. Sistema de 1ª ordem com resposta indicial. ................................................................................. 2

1.2.1. Função de transferência (

4). ............................................................................................ 2

1.2.2. Número de constantes de tempo ( ) ao fim de qual o sistema estabiliza. .......................... 3

2. -Sistemas de 2ª ordem ...................................................................................................................... 4

2.1. Ganho normal, ganho estático, coeficiente de amortecimento ( ), frequência própria dosistema ( ). ............................................................................................................................................ 4

2.2. Respostas temporais para vários tipos de entradas. ............................................................ 7

Escalão de posição, = 1 ....................................................................................................... 7 Rampa,

= ........................................................................................................................... 8

Parábola,

= 2/2 ................................................................................................................. 9

Sinusoide, = cos 2 ........................................................................................................ 103. -Matlab ............................................................................................................................................... 124. – Características da resposta oscilatória ....................................................................................... 13

4.1. Cálculo das características da resposta oscilatória , , ,. ................................. 135. – Funções de transferência de sistemas elétricos ....................................................................... 16

5.1. Sistema RLC paralelo. .................................................................................................................. 16

5.1.1. Função de transferência em cadeia fechada do circuito RLC paralelo. .............................. 16

5.1.2. Frequência própria ou natural do sistema 0 e o coeficiente de amortecimento . . 175.2. Sistema RLC serie. ....................................................................................................................... 185.2.1. Função de transferência em cadeia fechada do circuito RLC-série. ................................... 18

5.2.2. Frequência própria ou natural do sistema 0 e o coeficiente de amortecimento emfunção dos parâmetros do sistema..................................................................................................... 195.2.4. Nova função de transferência 11 = . ........................................................ 195.2.5. Frequência própria ou natural do sistema

0 e o coeficiente de amortecimento . 19

5.2.6. Ganho estático de

10 e

11 . ...................................................................................... 20


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1

1. -Sistemas de 1ª ordem1.1. Ganhos estáticos e as constantes do tempo.

= 404 4

= 10 100 = 20120 60 :

= lim→ 404 4 = 404 =

= 404 4 =

404 1 =

10 1 → =

: = lim→ 10 100 = 10100 = , = 10 100 = 10100·0,01 1 = 110· 10,01 1 → = :

= lim→ 20120 60 = 2060 = ≅ ,

= 20120 60 = 2060·2 1 = 13· 12 1 → =


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2

1.2. Sistema de 1ª ordem com resposta indicial.

1.2.1. Função de transferência ( ).

= 1 Pelo gráfico:

= 2 2·0,632 = 1,264 A constante de tempo que corresponde a 1,264 [V] é = 10 Logo, a função de transferência é :

= 210· 1

G=2

1,264

= 10


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3

1.2.2. Número de constantes de tempo ( ) ao fim de qual o sistema estabiliza.

Consideramos que o sistema estabiliza a -2% do valor final da resposta do sistema, ou seja:

2·0,98 = 1,96

A curva da resposta atinge este valor em = 40 .Logo o número de constantes de tempo é: = 4010 = 4

2 %1,96[V]

= 40


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4

2. -Sistemas de 2ª ordem

= 2 2 4

= 2 8 1

= 100 10 = 8 2 2.1. Ganho normal, ganho estático, coeficiente de amortecimento ( ), frequência própria do

sistema ( ).

As sistemas de 2ª ordem têm seu comportamento dinâmico, no domínio ,descrito por:

= í = = 2 · ou

= í = = 2 · em que

→ ℎ á ; → → ; → ê ó = ;


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: Ganho estático: = lim→ 2

2 4 = 24 = ,

Ganho normal:

=

Constante de tempo:

= 2 · 1 → = 24· 114 12 1 → = 14 = 12 = ,

Coeficiente de amortecimento:

2 · = 12 → 2· ·0,5· =

12 = ,

Frequência própria do sistema:

= 2 · → = 12· 4 2 4 → = 4 → = / ou

= 1 = 10,5 = /

:

Ganho estático:

= lim→ 2 8 1 = 21 = Ganho normal: = Constante de tempo:

= 2 · 1 → = 2 8 1 → = Coeficiente de amortecimento:

2 · = 8· → 2· 82 = Frequência própria do sistema:

= 2 · → = 2· 1 8 1 → = 1 → =


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6

: Ganho estático: = lim→ 100

10 = 10010 =

Ganho normal:

=

Constante de tempo:

= 2 · 1 → = 100100· 11100 15 1 → 1100 = 110 = ,


2 · = 15· → 0,2· = 0,


= 2 · → = 100 20 100 → = 100 → = ou

= 1 = 10,1 = / : Ganho estático:

= lim→ 8 2 = 82 = Ganho normal: = Constante de tempo:

= 2 · 1 → = 82· 112 1 → = 12 = ,


2 · = 0 →


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= 2 · → = 4· 2 2 → = 2 → = √ 2 = , ou

= 1 = 10,707 = , 2.2. Respostas temporais para vários tipos de entradas.

Escalão de posição, = 1

= ℒ = ℒ1 = 1

= × = 1 × 2 2 4 2 4 = 0 , = 2±√ 4 4·42 = 2±√ 122 = 1±√ 3 = 1 1 3

Cálculo do A:

2 = 1 3 1 Substituindo = 0, temos que: 2 = 0 1 3 → = 24 = 12

Cálculo do B e C:

Para determinar B e C, substitui-se

= 1√ 3

2 = ( 1√ 3 1) 3 [ ( 1√ 3 1) ]√ 3 → 2 = 0[( 1√ 3 1) ] 1√ 3 → 21√ 3 = ( √ 3) →


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8

2× 1√ 34 = ( √ 3) → 1212√ 3· = (√ 3·)

12√ 3 = √ 3·12 = → = 12 = 12

= 12· 12 112 1 3 = 12· 12× 2 1 3 = ℒ− = ℒ− 12· 22· 1 3} →

= 1216−[√ 3sin(√ 3) 3cos√ 3]

Rampa, = = ℒ = ℒ = 1

= × = 1 × 2 8 1

8 1 = 0

, = 8±√ 64 42 = 4±√15 = 4√ 15 4√ 15 Cálculo do A:

= →0 22 8 1

= 2 Cálculo do B:

= → 2 8 1 = → 4 4 8 1 = 16 Cálculo do C:


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9

= → − −√ 2 ( 4√ 15)= 31√ 1515 8 Cálculo do D:

= → − +√ 2 ( 4√ 15)=31√ 1515 8 = = 2 16831√ 1515 ·(−√ −) 831√ 1515 ·(√ −) Parábola, = /2

= ℒ2 = ℒ = 1

= × = 1 × 100 10 10 = 0 , = 10

= 10 10 Cálculo do A: = → 100 10 = 1

Cálculo do B:

= → 100 10

= → 200 10 = 15

Cálculo do C:

= → 12 !· 100 10 = → 12 · 600 10 = 3100 Cálculo do D:


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10

= → − 100 = 110 Cálculo do E:

= → − 100 = →− 300 = 3100 = 1 15 3100 110 10 3100 10 = − = − 1 15 3100 110 10 3100 10

=2 5 3100 · −

10 3100 · −

100=2 5 310010 3100−

Sinusoide, = cos 2 = ℒ2 = ℒ = 4 = × = 4× 8 2 2 = 0 , = ±√ 2

4 = 0 , = ± 2 = 2 4

Cálculo do A e B:

Para determinar B e C, substitui-se

= √ 2

=8 4→ √ 2 = 8 √ 2( √ 2) 4= 8 √ 22= 4 √ 2 → = 4 = 0 Cálculo do C e D:


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11

Para determinar B e C, substitui-se = 2 =8 2→ 2 = 8 2 2 2= 16 2= 8 →

= 4 = 0

= 4 2 4 4 = − = − 4 2 4 4} = 4(√ 2 ) 42


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3. -MatlabNeste exercício usamos a versão do 2014. As respostas encontram-se no ANEXO A .


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4. – Características da resposta oscilatória

4.1. Cálculo das características da resposta oscilatória

(,,, , %).

1,45 0,58,85 = 8,85×0,51,45 = 3,05

A 8,85 3,05 E 0,45 1,125

B 6,09 2,10 F 0,70 1,750

C 5,80 2,00 G 1,25 3,125

D 5,51 1,90 h 5,45 13,625

Tempo de Atraso

O tempo de atraso é o intervalo de tempo necessário para que a resposta atinja pela 1ª vez 50% doseu valor final.


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14

= = 1,125 Tempo de Crescimento

O tempo de crescimento é o intervalo de tempo necessário para a resposta atinja pela 1ª vez 100% doseu valor final.

= = 1,750 Tempo de Sobrelevação

O tempo de sobrelevação é o intervalo de tempo necessário para que a resposta atinja o seu máximo

em regime transitório.

= = 3,125

Sobrelevação Máxima

A sobrelevação máxima é a máxima diferença entre os valores de resposta em regime transitório e em

regime forçado

= = 3,05 2, Tempo de Estabelecimento %

O tempo de estabelecimento é o intervalo de tempo necessário para que a resposta alcance e se

mantenha dentro da zona de estabelecimento da resposta.

∞ = ±5%×2 = % = = 13,625 4.2. FTCF do sistema com base nos valores calculados.

= ×−

=

= 1

{ − = = → − = → − = → −= 3,125 1,750 → − = 1,375 →


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= √1 → = ×√1 → = 3,125× 1 0,195 → = 1,02 =

2 = 1,025

2×0,195×1,02 ≅ 1

0,4

4.3. Características da resposta oscilatória amortecida (,,, , %). = 2 = 22 0,4 2 = 2 ↔ = √ 2 /

2 = 0,4 ↔ = 0,42× ↔ =

0,42×√ 2 ↔ = 0,1

= 1 → = √ 2× 1 0,14 ↔ = 1,40 = ×− =

= 1 ↔ 0,5 = 1 −√1 − → 0,5 1 = − −↔ 0,5 10,14 = − , 1,40 1,43 ↔ = 0,867

= ×− ↔ = ×−0,141,40 ↔ = 3,20 = ↔ = 1,40 ⇔ = 2,24

= − √ − =

− ,√ − , = 0,25

↔ 0,95 = 1 −√1 − ↔ 0,05 1 = − −↔ 0,05 10,14 = − , 1,40 1,43 → = 1,35


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5. – Funções de transferência de sistemas elétricos

5.1. Sistema RLC paralelo.

Figura 1-Circuito RLC paralelo.

5.1.1. Função de transferência em cadeia fechada do circuito RLC paralelo. Aplicando a lei dos nós, temos que:

∑ = 0 → = = = 1∫ =

=

= 1∫ ↔ = 1 1∫ = 1 1

Aplicando a Transformada de Laplace:


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ℒ → = 1 1 ↔ = 1 1 1 5.1.2. Frequência própria ou natural do sistema e o coeficiente de amortecimento .

= 1 1 1 = 1 1 1 = 1 1 1 = · 1 1 1 = 1 ↔ = 1

2 = 1 ↔ = 4

5.1.3.

Em relação a a resistência não tem qualquer tipo de influencia.

Em relação a a resistência tem uma influencia inversamente proporcional, isto é quando mais for aresistência menos vai ser o ser amortecimento.


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5.2. Sistema RLC serie.

Figura 2-Circuito RLC -série.

5.2.1. Função de transferência em cadeia fechada do circuito RLC-série. Aplicando a lei das malhas, temos que:

∑ = 0

{ · · 1 ·∫ =

= ∫

Aplicando a Transformada de Laplace para o sistema de equações:

ℒ → · · 1 · · = = 1 ·↔ 1 ·· =

= ·↔ = 1 ·· · ↔ = 1 · 1 · 1 · ↔ = =


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5.2.2. Frequência própria ou natural do sistema e o coeficiente de amortecimento emfunção dos parâmetros do sistema.

= 2 · →

1 1 →

1 1 →

1 1

= 1 2 = → = √ 2

5.2.3.

Então quanto maior for L, menor será o amortecimento assim como a frequência natural do sistema, ou

seja, o sistema terá um amortecimento e uma frequência natural menor quanto maior for o valor de L.

5.2.4. Nova função de transferência = . = = 1 ·∫ → = · = 1 ·∫

ℒ → = · · · = 1 · → = · · · · · · = · · →

= 1 → = = 1 5.2.5. Frequência própria ou natural do sistema e o coeficiente de amortecimento .

= 2 ·

→ 1 1

= 1 → = 1 2 = → 4 1 = → = 4 → = √ 2


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5.2.6. Ganho estático de e .

:

lim→ 1 1 = :

lim→ 1 1 = 1

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