FICHA PARA CATÁLOGOPRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Título: Modelagem matemática aplicada ao ensino dos conceitos de área e perímetro numa visão integradora.

Autor Marisa Belinski

Escola de Atuação Escola Estadual Érico Veríssimo

Município da escola Laranjeiras do Sul – PR

Núcleo Regional de Educação Laranjeiras do Sul

Orientador Sandro Aparecido dos Santos

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Centro Oeste do Paraná – UNICENTRO

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Público Alvo 8ª série/9º ano.

Localização Escola Estadual Érico Veríssimo, localizada na Rua Marechal Cândido Rondon, n°1731, Laranjeiras do Sul – PR.

Apresentação

Esta unidade didática tem como base o Ensino da Matemática através de abordagens voltadas para a modelagem/modelação matemática, incluindo algumas situações reais que facilitam o ensino dos conceitos de área e perímetro, pois para alguns alunos o Ensino da Matemática se torna difícil porque o que está sendo ensinado não é significativo para sua vida fora da escola. Dessa forma, o objetivo geral é proporcionar ao aluno uma aprendizagem significativa sobre os conceitos de área e perímetro, utilizando uma abordagem integradora a partir do uso da modelagem matemática. O mesmo propõe a análise do modelo da planta baixa da Escola, os conceitos serão trabalhados em 02 turmas da 8ª série/9°ano de formas distintas, neste caso, aplica-se a modelagem de forma significativa em uma das turmas, enquanto que a outra os conceitos serão trabalhados de maneira tradicional para obter um comparativo e uma análise qualitativa sobre a metodologia utilizada. Espera-se que o trabalho proposto contribua para a superação das dificuldades e defasagem no aprendizado através do desenvolvimento de atividades que sejam significativas e interessantes, no conteúdo de área e perímetro e dessa forma, articular aos demais conteúdos estruturantes por meio de situações problemas para fixar e melhorar o aprendizado dos alunos.

Palavras-chave Modelagem; Aprendizagem; Área e Perímetro.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE DO PARANÁPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

FORMAÇÃO CONTINUADA EM REDE

MARISA BELINSKI

MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA AO ENSINO DOS CONCEITOS DE ÁREA E PERÍMETRO NUMA VISÃO INTEGRADORA

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICAUNIDADE DIDÁTICA

GUARAPUAVA2011

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I. INTRODUÇÃO

O estudo tem como base o Ensino da Matemática por meio de

abordagens voltadas para a modelagem matemática, incluindo algumas situações

reais que facilitam o ensino da Geometria, principalmente nos conceitos de área e

perímetro. Para efetivar a aprendizagem é necessário que a mesma seja

significativa, o que exige a compreensão de conceitos, relacionando as

experiências anteriores e vivências pessoais do educando, permitindo a

formulação de problemas interessantes que incentivem o aprender contribuindo

para a formação do cidadão, promovendo modificações de comportamento bem

como a utilização do que foi aprendido em diferentes situações.

Pretende-se proporcionar aos alunos uma aprendizagem significativa

sobre os conceitos de área e perímetro, utilizando uma abordagem integradora a

partir do uso da modelagem matemática, pois de acordo com a proposta

metodológica da modelagem segundo Paraná (2008), a matemática tem como

pressuposto a problematização de situações do cotidiano, onde se propõe ao

mesmo tempo a valorização do aluno no contexto social. E através dos

questionamentos sobre situações vivenciadas, procurar efetuar o levantamento de

problemas e sugestões.

Os autores Biembengut e Hein (2000) apresentam a modelagem

matemática como estratégia de ensino aprendizagem, focalizando o uso de

modelos matemáticos como forma de concretização da matemática, produzida

nos diversos contextos problemáticos da sociedade.

De acordo com Bassanezi:

“No caso da matemática, é necessário buscar as estratégias alternativas de ensino aprendizagem que facilitem sua compreensão e utilização. A modelagem matemática, em seus vários aspectos é um processo que alia teoria e prática, motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transforma-la. Nesse sentido, é também um método cientifico que ajuda a preparar o indivíduo para assumir seu papel de cidadão” (Bassanezi, 2006, p.17).

“A modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são

convidados a problematizar e investigar por meio da matemática, situações com

referência na realidade”, enfatizado por Barbosa (2004, p.75). Usando essa

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interação matemática com o cotidiano do educando, propõe-se por meio da planta

da Escola Estadual Érico Veríssimo desenvolver atividades na aplicação do

cálculo de área e perímetro.

Ao trabalhar modelagem matemática dá-se importância a dois itens

essenciais:

• Unir o tema a ser escolhido com a realidade dos alunos;

• Aproveitar o conhecimento e experiências vivenciadas pelos

mesmos.

Partindo desses pressupostos teóricos acima citados, espera-se que o

trabalho a ser desenvolvido na própria escola, utilize o espaço físico a ser

analisado e problematizado, trazendo uma aprendizagem significativa, pois é o

ambiente que os educandos estão inseridos grande parte do tempo.

Nesta perspectiva o trabalho facilitará o aprofundamento dos conteúdos

previamente conhecidos pelos alunos e reconstruirá esses conhecimentos por

meio de interações e vivências cotidianas pois dará sentido ao conteúdo,

proporcionando uma aprendizagem mais significativa, oferecendo aos alunos

oportunidades de participação ativa nas aulas com a realização de atividades

diferentes dos exercícios utilizados comumente nos livros didáticos, incentivando-

os assim a uma prática que favorece uma melhor compreensão e fixação dos

conteúdos.

Essa interação que permite representar uma situação ”real” com modelo

matemático, envolve uma série de procedimentos, de acordo com Biembengut e

Hein (2005, p.13) a saber:

• A Interação: - Reconhecimento da situação-problema; e,

familiarização com o assunto a ser modelado – o referencial teórico, ou seja,

ocorre o envolvimento com o tema a ser estudado;

• Matematização: - Consiste na formulação do problema – ou hipótese;

- resolução do problema em termos do modelo. É aqui que se formula um

problema e escreve-o segundo um modelo matemático que leva à solução;

• Modelo matemático: Onde ocorre a interpretação da solução, teste;

validação do modelo obtido, através de avaliação.

Com relação ao conteúdo de geometria, pode-se dizer que a exploração

por meio de experiências práticas contribui para a compreensão de fatos e

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relações, que nos levam a questionar o modo como os objetos estão organizados

na realidade diária da comunidade e seus desdobramentos, na aplicação desses

conhecimentos na solução de determinados problemas, conforme descrito no site

Scribd (2011).

O tema escolhido pelo professor deve-se ser abordado e explorado pelos

educandos, sendo necessário a definição de seus objetivos e os caminhos a

serem percorridos durante a busca das informações, que serão organizadas e

analisadas posteriormente.

Os autores Biembengut e Hein (2005) ainda identificam que o professor

pode escolher o tema ou propor que os alunos o escolham com algumas

vantagens e desvantagens, porém, seja qual for a forma adotada cabe ao

professor inteirar-se do tema escolhido, que deve estar em sintonia com o

conhecimento e a expectativa dos alunos, e preparar previamente, a condução do

processo. Nesse sentido elabora-se um pequeno roteiro de estudos seguindo as

etapas sugeridas pelos autores Biembengut e Hein (2005), investigando de

maneira atrativa, interessante e significativa para os alunos, buscando as

informações no cotidiano escolar para explorar os aspectos da geometria

principalmente com maior enfoque nos conceitos de área e perímetro.

II. DESENVOLVIMENTO

2.1 PROPOSTA INICIAL – ESBOÇO DA PLANTA BAIXA DA CASA

ATIVIDADE - 01Com o objetivo de instigar os alunos na interação e na proximidade com o

conteúdo, deve-se propor a eles que desenhem a planta baixa da própria casa.

Esta é uma forma de motivar os alunos para o início dos trabalhos, onde será

organizado com as seguintes diretrizes:

• A atividade será livre sem qualquer orientação ou modelo;

• O objetivo é estimular a criatividade;

• Possibilitará a avaliação prévia sobre os conhecimentos do

conteúdo;

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• Os alunos terão que apresentar em sala seus trabalhos e

comentar suas experiências;

Com isso, será possível identificar algumas dificuldades que possam ser

superadas com o desenvolvimento das demais atividades.

2.2 INTERAÇÃO – RECONHECIMENTO DA SITUAÇÃO-PROBLEMA E FAMILIARIZAÇÃO

ATIVIDADE - 02Inicialmente, sugere-se que seja feita uma breve exposição sobre o tema

por meio de uma discussão informal sobre a construção de casas e prédios para

verificar o que os alunos sabem a respeito, fazendo um levantamento das

questões, instigando os alunos a participarem com sugestões:

• O que é preciso para construir uma casa? Um prédio? Uma escola?

• Quais são as pessoas envolvidas numa construção?

• Quais são os materiais necessários?

• Como saber o tamanho e o modelo da construção?

• Qual a forma do terreno?

• Entre outras.

Na segunda etapa os alunos serão levados para percorrer o espaço físico

da escola observando as formas geométricas que nela se encontram, após a

observação, propõe-se aos alunos que façam um desenho com a representação

da planta da escola em papel milimetrado sem qualquer orientação ou modelo,

em grupos de 5 alunos.

Com esta atividade, pretende-se estimular a criatividade e avaliar os

conhecimentos prévios dos alunos sobre os conceitos geométricos e de medidas.

Neste momento, após o desenho da planta baixa da escola pode-se apresentar

os primeiros elementos de geometria: segmentos de retas, retas perpendiculares,

paralelas e ângulo reto. Esses conceitos podem ser introduzidos a partir de

questionamentos aos alunos sobre suas dificuldades na elaboração dos

desenhos, e obter um comparativo entre o desenho dos alunos e a planta oficial

da escola. Na Figura 1, pode-se visualizar a planta da escola:

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Figura 01: Planta baixa da Escola Estadual Érico Veríssimo.Fonte: E. E. Érico Veríssimo.

Nesta atividade poderá ser realizado um estudo por meio de livros e

laboratório de pesquisa das principais formas de figuras geométricas e saber

como as partes das figuras se relacionam entre si, tais como: triângulos,

retângulo, quadrado, paralelogramo, trapézio e círculo.

2.3 MATEMATIZAÇÃO – EXPLORANDO O CONCEITO DE PERÍMETRO

ATIVIDADE - 03A questão que norteará essa atividade será traduzida na seguinte

situação problema: Qual é o comprimento e a largura de algumas salas que

compõem a escola?

Necessitamos da resposta a esta pergunta quando se calcula, por

exemplo, quantos metros de rodapé são necessários utilizar na sala de aula?

Com esta atividade pretende-se retomar os conceitos de medidas, os

processos de medição e a necessidade de adoção de medida padrão. O desafio

dos alunos será fazer estimativa recorrendo a cálculos aproximados e a noção de

comprimento que eles possuem, entre os objetivos desta atividade estão as

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habilidades de mensurar, interpretar e expressar informações relativas a

comprimento. Para isso, os alunos devem estar familiarizados com a manipulação

de instrumentos de medida convencionais tais como régua, fita métrica e não-

convencionais como palmos, polegadas, passos e aprender a selecionar uma

unidade pertinente. A seguir, teremos o registro das medidas estimadas e o

registro das medidas aferidas por meio de instrumentos de medidas (metro, trena)

expressos num quadro com espaço para anotar os dados obtidos de algumas

instalações da escola. Cada grupo deverá preencher um quadro de acordo com

as suas estimativas, cujo modelo está apresentado no Quadro 01.

ESPAÇO FÍSICO DA ESCOLA ESTIMATIVA MEDIDAS REAISCOMPRIMENTO LARGURA COMPRIMENTO LARGURA

SALA DOS PROFESSORESSALA DE RECURSOSSALA DE AULASAGUÃOSALA DE INFORMÁTICAQUADRA DE VOLEIQuadro 01: Modelo para preenchimento.Fonte: Marisa Belinski.

Deste modo, a figura 02 será utilizada como capa para a confecção do

caderno individual de anotações dos alunos e ilustra a concepção histórica do

conteúdo, a forma como era efetuada as medições de terra.

Figura 02: As nossas medições.Fonte: http://pequenosaventureiros.blogspot.com

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Após todos os alunos concluírem a etapa com as anotações das

estimativas no Quadro 01, faz-se um comparativo entre o valor estimado e o valor

real, observando a reação dos alunos e levantando alguns questionamentos

referente a questão proposta na situação problema. Cabe ao professor aproveitar

os dados analisados e explorar a construção/reconstrução dos conceitos de

perímetro. Assim, o objetivo é verificar os conceitos prévios dos alunos e depois

efetivar a análise das definições, trabalhando de forma construtiva e

estabelecendo um elo entre definição e conceito.

ESPAÇO FÍSICO DA ESCOLACOMPRIMENTO TOTAL EM VOLTA DA FIGURA GEOMETRICA

SALA DOS PROFESSORESSALA DE RECURSOSSALA DE AULASAGUÃOSALA DE INFORMÁTICAQUADRA DE VOLEI

Quadro 02: Medidas.Fonte: Marisa Belinski.

No Quadro 02, os alunos irão preencher conforme os dados do Quadro

01, para obter a soma total dos lados, e buscar o entendimento sobre a definição

de perímetro.

A seguir, encontra-se a definição de perímetro:

Pode-se pensar no perímetro como a distância percorrida se

caminharmos em volta da borda da figura. Para achar o perímetro, somamos os

comprimentos dos lados da figura (formada por segmentos de reta).

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Figura 03: Exemplo para o cálculo do perímetro.Fonte: http://lauragamesteens.blogspot.com/2010/04/perimetro.html

P = 30 m + 50 m + 50 m + 30 m P = 160 m

O perímetro da Figura 03 é a soma dos comprimentos dos lados,

incluindo a unidade de medida na resposta. A partir da figura 04 apresentada a

seguir, propor aos alunos a seguinte questão:

• É possível calcular o perímetro da Figura 04? Se for possível

calcular, como você faria?

Figura 04: Exemplo – cálculo perímetro.Fonte: Marisa Belinski.

Com esta atividade pretende-se investigar e desafiar os alunos de como

se determina o perímetro de uma figura não poligonal. Dessa forma, o desafio tem

como objetivo efetivar a aprendizagem significativa para que o conceito seja

aprimorado e intensificado.

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2.4 MATEMATIZAÇÃO – EXPLORANDO O CONCEITO DE ÁREA

ATIVIDADE - 04Essa atividade será traduzida na seguinte situação problema: Quanto

material (cerâmica ou forração) serão necessários para cobrir o piso do saguão

da nossa escola?

Por meio de questionamentos e atividades o professor procurará saber

de seus alunos se estes têm compreensão sobre o cálculo de área, por exemplo,

quando uma figura possui 12 metros quadrados de área, o aluno compreenda que

temos 12 quadrados de 1 metro na superfície dessa figura e também sobre a

aplicabilidade desse cálculo no cotidiano. Por exemplo:

Pode-se citar como exemplo o IPTU – Imposto Predial e Territorial –

que entre outros fatores, é cobrado em função da área do terreno e da área

construída. Outros profissionais como os da construção civil, também lidam com

muita frequência com os cálculos de área e perímetro. Como sugestão pedir aos

alunos para trazerem o carne do imposto de suas residências para verificarem e

analisarem os dados nele contido.

Deve-se reduzir o cálculo de área usando só a aplicação de fórmulas,

como área do quadrado, do retângulo, do paralelogramo e do triângulo, mas

chegar a elas a partir da observação das atividades com papel quadriculado, com

recortes e o uso do geoplano.

Será construído com os alunos, o centímetro quadrado (um quadrado

de 1 cm de lado) e o metro quadrado (um quadrado com 1m de lado), usando

papel bobina .Esse quadrado pode ser comparado ao chão da sala, verificando

quantas unidades “daquele” metro quadrado construído por eles cabem na sala,

ou quantas unidades daquele centímetro quadrado cabem nas figuras

desenhados sobre uma malha quadriculada, representada na figura 05:

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Figura 05: Malha Quadriculada.Fonte: http://conversamatematica.blogspot.com/2010/03/geoplano.html

Com a utilização do metro quadrado (um quadrado com 1m de lado)

confeccionado, será proposto aos alunos a verificação de quantas unidades

“daquele” metro quadrado construído por eles cabem em alguns espaços físicos

da escola. Primeiramente, os alunos farão uma estimativa de área registrando no

Quadro 03, e logo em seguida farão a verificação usando o metro quadrado

construído, registrando no quadro e no caderno de anotações os procedimentos

utilizados.

ESPAÇO FÍSICO DA ESCOLA ESTIMATIVA VALORES ENCONTRADOS USANDO O METRO QUADRADO

SALA DOS PROFESSORESSALA DE AULASAGUÃOSALA DE INFORMÁTICAQUADRA DE VOLEIQuadro 03: Medidas.Fonte: Marisa Belinski.

Ao sobrepor o metro quadrado, espera-se que os alunos verifiquem que

nem tudo tem uma “medida inteira”, neste momento haverá a intervenção do

professor desenvolvendo o conteúdo matemático em questão: como representar o

pedacinho? A resposta à questão justifica a apresentação do conceito com

números racionais na forma decimal. O tempo de abrangência desse conteúdo

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será estendido ou não de acordo com a motivação, interesse dos alunos e

manipulação do ambiente de aprendizagem do professor.

O geoplano será um dos recursos que utilizaremos para explorar a

construção dos conceitos de área e perímetro, pois nos auxiliará no trabalho

desenvolvendo atividades com figuras e formas geométricas, suas características

e propriedades.

Figura 06: Geoplano.Fonte:http://brincandocomamatematica-osveteranos.blogspot.com

O geoplano é um material criado pelo matemático inglês Calleb

Gattegno. Constitui-se por uma placa de madeira, marcada com uma malha

quadriculada ou pontilhada. Em cada vértice dos quadrados formados fixa-se um

prego, onde se prenderão os elásticos usados para "desenhar" sobre o geoplano,

conforme citado na UFRN – Universidade Federal do Rio Grande do Norte (2011).

Pretende-se desenvolver algumas atividades no geoplano, que serão registradas

no caderno de anotações (UFRN, 2011), como:

• Vamos reproduzir as figuras abaixo no Geoplano e calcular a área e o perímetro.

Figura 07: Geoplano.Fonte: http://www.ccet.ufrn.br/matematica/lemufrn/Acervo03.html

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• Construa uma sequência de quadrados, onde cada um tenha como

perímetro o dobro do anterior.

• Vamos construir a primeira letra do seu nome no geoplano e calcular a

área que a letra ocupou.

• Você consegue construir uma figura com área igual a 16 unidades e que

não seja um retângulo?

Em relação a estas atividades utilizaremos como avaliação qualitativa

para o professor, a participação dos alunos na construção das figuras, suas

argumentações e observações, principalmente sua habilidade em expor suas

hipóteses e os processos de resolução para resolver as atividades propostas.

Outra sugestão de atividade é a seguinte:

Com o auxilio do Geoplano, propor aos alunos que encontrem um modelo

matemático para expressar como se calcula a área das principais figuras

geométricas como quadrado, retângulo, triangulo, circulo, trapézio e

paralelogramo.

Com as atividades realizadas, pretende-se obter a definição dos

conteúdos e proporcionar o aluno a compreensão de que a área de uma região

plana indica a superfície dentro dos limites da figura. E que esta é medida em

unidades quadradas (ou unidades ao quadrado) tais como centímetros quadrados

ou metros quadrados.

Fórmulas para cálculo de área:

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2.5 MODELO – VALIDAÇÃO

Com a implantação do projeto será verificado com os alunos sobre a

validação do modelo e sobre os resultados obtidos com o trabalho.

Também é relevante citar que a importância do trabalho se revela no

momento em que os educandos aprendem de forma significativa.

ATIVIDADE - 05Construção de uma maquete a partir dos estudos da planta baixa da

Escola Estadual Érico Veríssimo.

Para isso é necessário ter cuidado com alguns itens conforme explicam

Biembengut e Hein (2005), que para fazer a maquete deve-se identificar a escala

que será utilizada no material, por exemplo, supondo que o material a ser usado

sejam placas de isopor de 8 mm de espessura.

- A espessura da parede: 15 cm – na planta.

- A espessura da parede da maquete: 8mm = 0,8 cm.

- Um metro é igual a 100 cm.

Tamanho real Cartolina100 cm X15 cm

(parede)

0,8 cm

Quadro 04: Exemplo para obtenção da escala.Fonte: Biembengut e Hein (2005)

Determinando a escala para a maquete:

X = 100 X 0,8 = 5,33.. (escala) 15

A estratégia de ação terá como base a adoção do método da

modelagem, com controle e experimentação para efetivação dos objetivos

propostos. Intercalando os conteúdos com outras disciplinas, por exemplo,

Geografia (escalas/localização), História (quem construiu a escola? - o motivo

pelo nome da escola), ressaltando os fatos históricos e trabalhando em parceria

com os demais professores, e toda a comunidade escolar.

Na construção da maquete pode-se utilizar papelão ou madeira,

construindo com uma base firme para que não ter problemas durante sua

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elaboração. Também é importante verificar durante o trabalho, que sua interação

com o conteúdo dever ser constante para que os alunos tenham a efetiva

compreensão sobre sua importância.

Enfim, para conclusão da maquete os alunos deverão expor na escola de

forma que não seja apenas uma divulgação, mas sim sobre o que aprenderam a

respeito.

III. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao final do trabalho tem-se a perspectiva de que os resultados sejam

claros, facilitando a aprendizagem dos alunos, a percepção da importância para o

desenvolvimento e o aprimoramento das aplicações da modelagem em suas

diversas formas, para que os conceitos sobre o conteúdo sejam desenvolvidos e

não apenas repassados aos alunos.

Assim, é possível compreender que a utilização da modelagem

proporcionará a motivação dos alunos e do próprio professor, bem como a

facilitação da aprendizagem de forma significativa e concreta. Além disso,

proporciona o entendimento do papel sociocultural da matemática através da

transformação e compreensão da realidade. Por isso, as atividades estão

relacionadas de forma sistemática, para que os educandos possam desenvolver

sua concepção e aprender sobre os diversos assuntos que o trabalho engloba.

Com isso o melhor resultado é a realização de estudos voltados para que o aluno

não apenas receba o conteúdo pronto, mas sim construa sua própria concepção e

que esta seja realmente significativa.

Dessa forma, o educando torna-se agente do seu próprio conhecimento e

o professor o orientador desse processo, criando condições favoráveis para a

relação da teoria com a prática no Ensino da Matemática, e assim efetivar a

redução das dificuldades e defasagem de conteúdo relacionando-o com o

cotidiano.

Espera-se também, que a aplicação da modelagem seja integradora com

os demais conteúdos estruturantes proporcionando maior abrangência e

possibilitando maiores aprofundamentos em estudos futuros.

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IV REFERÊNCIAS

BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por quê? Como? Veriatati, 2004.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: prefácio de Ubiratan D’Ambrosio. 3 ed. 2° reimpressão, São Paulo: Contexto, 2010.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2006.

BIEMBENGUT, M. S; HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino Médio. São Paulo: Contexto, 2000.

BIEMBENGUT, M. S; HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. 4. ed. São Paulo: Contexto, 2005.

Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Matemática. Secretaria de Estado da Educação do Paraná, 2008.

ENDEREÇOS ELETRÔNICOS:

SCRIBD – GEOMETRIA, disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/4427673/Geometria-Plana-e-Espacial-Aula-11-524> acesso em 04 de junho de 2011.

UFRN – UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – disponível em: < http://www.ccet.ufrn.br/matematica/lemufrn/Acervo03.html> acesso em 05 de junho de 2011.

GEOPLANO – FIGURA ILUSTRATIVA – disponível em:<http://brincandocomamatematica-osveteranos.blogspot.com/> acesso em 19 de junho de2011.

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