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FICHA

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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E

OS NÚMEROS NATURAIS

Você já parou para pensar como surgiram os números? Será que os

números surgiram da invenção de um matemático?

O número surgiu a partir do momento em que

existiu a necessidade de contar objetos e coisas, e

isso aconteceu há mais de 30.000 anos. Os homens

nessa época viviam em cavernas e grutas e não

existia a ideia de números, mas eles tinham a

necessidade de contar. Assim, quando os homens

iam pescar ou caçar, levavam consigo pedaços de

ossos ou de madeira. Para cada animal ou fruto

capturado, o homem fazia no osso ou no pedaço de

madeira um risco.

Com a evolução do homem, que deixando de ser nômade fixou-se

em um só lugar, esse passou a praticar não somente a caça e a coleta de

frutos, mas também o cultivo de plantas e a criação de animais. A partir

daí surgiu a necessidade de uma nova forma de contagem, pois o

homem precisava controlar o seu rebanho.

Passou-se, então, a utilizar pedras: cada animal representava uma.

Mas como isso era feito? Para cada animal que ia pastar, uma pedra era

colocada dentro de um saco. Ao final do dia,

para cada animal que entrava no cercado, uma

pedra era retirada. Assim, era possível manter o

controle e saber se algum animal havia sido

comido por outro animal selvagem ou apenas se

perdido.

Com a evolução do homem e da matemática, surgiu a palavra

cálculo, em latim “calculus ”, que significa “contas com pedras”.

Com o tempo, símbolos passaram a ser utilizados para representar

essas quantidades, esses símbolos eram os números e dessa forma, foi

surgindo o primeiro conjunto numérico: o Conjunto dos Números Naturais

(ℕ), cujos elementos eram 1, 2, 3, 4, 5 e assim por diante. Tempos mais

tarde, foi necessária a utilização de um símbolo que representasse a

ausência de objetos na contagem, dessa forma, surgiu o zero (0), que foi

incorporado ao Conjunto dos Números Naturais (ℕ).

Portanto, podemos escrever assim: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.

É comum encontrarmos ao lado do símbolo do conjunto um asterístico

(*), para representar a ausência do zero (0) naquele conjunto.

Exemplo: ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}.

Sistemas de Numeração

Durante toda a história, assim como a palavra, o número também

passou por diversas mudanças na sua representação. Os símbolos “9”,

“nove”, “IX”, são numerais diferentes que representam o mesmo número,

apenas escrito em idiomas e épocas distintas.

Sistema de Numeração é um sistema que representa números de uma

forma consistente, representando uma grande quantidade de números

úteis, dando a cada número uma única representação, reflete as

estruturas algébricas e aritméticas dos números. Foram criados então

símbolos e regras originando assim os diferentes Sistemas de Numeração.

Por Exemplo, o nosso sistema de numeração é chamado DECIMAL,

pois os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades, utilizando os

algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utilizados para contar unidades,

dezenas e centenas.

Outro Exemplo, o sistema romano de numeração é o mais usado na

designação de séculos, indicação de capítulos e volumes de livros,

mostradores de alguns relógios, etc, depois do sistema de numeração

decimal. Nesse Sistema é utilizado sete letras (símbolos) que representam

os seguintes números: I ⤇ 1 | V ⤇ 5 | X ⤇ 10 | L ⤇ 50 | C ⤇ 100 | D ⤇ 500 | M ⤇ 1000.

Na numeração romana, as letras são escritas uma ao lado da outra.

Quando temos uma letra maior seguida de uma menor somamos os valores,

observe: VI = 5 + 1 = 6 | XII = 10 + 2 = 12 | LV = 50 + 5 = 55. Quando temos uma

letra menor seguida de uma maior, subtraímos o valor da maior pelo valor da

menor, veja: IV = 5 – 1 = 4 | IX = 10 – 1 = 9 | XL = 50 – 10 = 40.

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Obs.: A letra I somente aparecerá antes do V e do X. A letra X

somente aparecerá antes do L e do C. A letra C somente

aparecerá antes do D e do M.

As letras I, X, C e M somente podem ser escritas

seguidamente por três vezes. Observe: XIII = 10 + 1 + 1 +1 = 13 LXX

= 50 + 10 + 10 = 70.

Algumas letras do algarismo romano são escritas com o sinal de um traço,

eles representam que os valores devem ser multiplicados por 1.000, 1.000.000 e

assim respectivamente. Observe: 600010006 VI e 72000100072 LXXII .

Números Pares e Ímpares: Você sabe a diferença?

Um número é PAR, se ao dividir por 2, não restar nada (resto 0). De

outra forma, ele será ÍMPAR, se restar 1. Nós podemos representar esses

números em dois conjuntos: o conjunto dos números pares [P = {2n | n ∈ ℤ}]

e o conjunto dos números ímpares [ I = { 2n + 1 | n ∈ ℤ }].

Números Primos e Números Compostos

Um número primo é um número natural que tem exatamente dois

divisores positivos (distintos): o número “1” e ele mesmo. Por exemplo, o

número 2 é primo, porque só divide por 1 e por 2 (ele mesmo). Portanto,

exatamente dois divisores positivos.

Já o 9 não é primo, pois divide por 1, por 3 e por 9, ou seja, tem 3

divisores positivos. OBS: 2 é o único par que é primo.

Você se recorda quais são os 15 primeiros números primos?

Primos = { _, _, _, _, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, ...}

Um número que não é primo é chamado de composto. Por exemplo,

o número 9 é composto, como vimos acima.

LEMBRETE: Quando multiplicamos dois números, por exemplo, 2 ∙ 3 = 6,

dizemos que 2 e 3 são fatores e 6, que é o resultado da

multiplicação, é chamado de produto.

Teorema Fundamental da Aritmética

O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números

naturais positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de

números primos, sendo esta decomposição única a menos de

permutações dos fatores.

Se escolhermos um número natural qualquer, por exemplo, 12, ele

pode ser escrito como uma multiplicação de números primos: 2 ∙ 2 ∙ 3 (ou

2² ∙ 3). O número 90 pode ser decomposto em fatores primos: 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 (ou

2 ∙ 3² ∙ 5).

Para decompor um número em fatores primos é fácil e precisa que

você se lembre de fatoração (transformar em fatores), mas nós vamos

conhecer outro método.

Exemplo: Decompor 308 → 308 pode ser escrito como 2∙154 → o 154,

por sua vez, pode ser escrito como 2 ∙ 77 → o 77, por sua vez, pode ser

escrito como 7 ∙ 11 (como 7 e 11 são primos, nós paramos.). Portanto, a

decomposição de 308 em fatores primos é 2 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 11 (ou 2² ∙ 7 ∙ 11)

Agora é sua vez de tentar: decomponha os números 120, 550, 49 e

1024 em fatores primos.

120 = 550 = 49 = 1024 =

Divisores de um Número Natural

Dizemos que um número é divisível por outro, se o resto da divisão for

zero. Por exemplo, 15 é divisível por 3, porque o resto da divisão é zero. Já

o mesmo 15 não é divisível por 4, porque deixa resto 3.

Os DIVISORES de um número natural X são todos os números que

divide X, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6 (a

divisão de 6 por esses números não deixam restos). Representamos o

conjunto dos divisores de 6 por D(6) = {1, 2, 3, 6}.

Você já aprendeu em algum momento da sua vida escolar um

método de encontrar os divisores de um número, mas iremos aprender

outro mais fácil. Para isso, precisamos decompor os números em dois

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fatores (não precisam ser NECESSARIAMENTE primos). Vejamos um

exemplo: Divisores de 30 → 30 pode ser escrito como 1 ∙ 30 → 30 também

pode ser escrito como 2 ∙ 15 → 30 também pode ser escrito como 3 ∙ 10 →

30 também pode ser escrito como 5 ∙ 6 (NÓS PARAMOS QUANDO OS DOIS

FATORES SE ENCONTRAM OU ESTÃO PRÓXIMOS). Portanto, os divisores de

30 [D(30)] são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. ⇒ D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

Outro exemplo: Divisores de 100 → 1 ∙ 100 = 2 ∙ 50 = 4 ∙ 25 = 5 ∙ 20 = 10 ∙ 10

(Paramos, pois se encontraram.)

Portanto, os divisores de 100 são 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

⇒ D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

Máximo Divisor Comum (MDC)

Vamos achar os divisores de dois números, por exemplo, 60 e 144.

Usando o método anterior, você obterá os seguintes divisores:

Se observarmos os divisores comuns de 60 e 144, teremos 1, 2, 3, 4, 6 e

12. O máximo divisor comum (MDC) é o maior de todos os divisores

comuns dos números dados. Portanto, o máximo divisor comum de 60 e

144 é 12. Representamos da seguinte maneira: MDC(60, 144) = 12.

Portanto, o Máximo Divisor Comum (MDC) de um conjunto de números

é o maior número que divide todos eles.

Vamos calcular o MDC de 28, 70 e 98 de outra forma:

Será que você já consegue achar o MDC de um conjunto de

números? Ache o MDC de 35, 60 e 150.

Múltiplos de um Número Natural

Os múltiplos de um número X são os resultados das multiplicações

desse X por 0, por 1, por 2, por 3 e assim sucessivamente. Representamos

por M(X) o conjunto dos múltiplos de X.

Vejamos um exemplo: os múltiplos de 3 são 0 (0∙3), 3 (1∙3), 6 (2∙3), 9 (3∙3),

12 (4∙3), 15 (5∙3) e assim por diante. Isto é, M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...}.

Ex: Ache os múltiplos de 5 ⇒ M(5) = { , , , , , , ....}

Você percebeu algo particular nos múltiplos de 5? Eles terminam em

que? Conclusão: Todo múltiplo de 5 termina em ___ ou em ___. E os

múltiplos de 2? O que eles tem em particular? São __________. E os múltiplos

de 3? O que acontece com a soma dos dígitos? Conclusão: Um número é

múltiplo de 3 se a soma dos dígitos ____________________________. Quando

um número é múltiplo de 10? Quando termina em ____.

Você lembra como decompor o número 6 em fatores primos? 6 = __ ∙ __.

Portanto, pra ser múltiplo de 6 tem que ser múltiplo de __ (ou seja, ser

_____) e ser múltiplo de ___ (ou seja, a soma do dígitos __________________).

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Esses detalhes que conhecemos acima nos permite descobrir de

quem um número é múltiplo ou por quem ele é divisível, chamamos isso de

CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Vamos achar os múltiplos de dois números, por exemplo, 12 e 15.

Usando a ideia anterior, os múltiplos de 12 e de 15 são:

M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132...}

M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, ...}

Os múltiplos comuns de 12 e 15 são 0, 60, 120, e assim por diante (de

60 em 60). O mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor múltiplo (maior

que zero) comum aos números. Nesse caso, o menor múltiplo comum de

12 e 15, maior que 0, é 60. Portanto, o MMC (12, 15) = 60. Mas esse é o

único jeito de descobrir o MMC? A resposta é NÃO. Vamos lembrar da

primeira forma como você aprendeu a achar o MMC.

Uma terceira forma de obter o MMC é decompondo os números em

fatores primos e multiplicando as maiores potências de primos que

aparecem (para cada primo, multiplicar as maiores quantidades). Vamos

entender isso melhor calculando o MMC de 12 e 18:

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 2² ∙ 3 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2 ∙ 3²

A maior potência de 2 é 2² (porque aparece 2 vezes: 2 ∙ 2) e a maior

potência de 3 é 3² (porque aparece 2 vezes: 3 ∙ 3). Portanto, o MMC de 12

e 18 é 2² ∙ 3² = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 36.

Será que você já consegue achar o MMC de um conjunto de

números? Ache o MMC de 10, 15 e 18.

1. (FUVEST–SP|G:A) No alto da torre de uma

emissora de televisão, duas luzes “piscam” com

frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes

por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por

minuto. Se num certo instante, as luzes piscam

simultaneamente, após quantos segundos elas

voltarão a “piscar simultaneamente”?

a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30

2. (PUC|G:D) “A Dengue é uma doença causada

por um vírus, transmitida de uma pessoa doente

para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o

Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita –

com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas

costas – e, como não existem vacinas específicas

para o seu tratamento, a forma de prevenção é a

única arma para combater a doença.” Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html

Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575

homens inscreveram-se como voluntários para

percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de

orientar a população sobre os procedimentos a

serem usados no combate à Dengue. Para tal,

todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em

grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos

deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em

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cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo.

Nessas condições, se grupos distintos deverão

visitar bairros distintos, o menor número de bairros a

serem visitados é:

a) 25 b) 29 c) 37 d) 41 e) 45

3. (COVEST-G:C) Qual o maior inteiro n para que 3n

divida o produto 20∙19∙18∙17∙16∙15∙14∙13∙12∙11∙10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1?

a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

4. (ENEM-G:E) Os números de identificação

utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de

CPF, de Carteira de Identidade etc) usualmente

possuem um dígito de verificação, normalmente

representado após o hífen, como em 17326-9. Esse

dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no

preenchimento ou digitação de documentos. Um

dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os

seguintes passos:

▪ multiplica-se o último algarismo do número por

1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e

assim por diante, sempre alternando

multiplicações por 1 e por 2.

▪ soma-se 1 a cada um dos resultados dessas

multiplicações que for maior do que ou igual a

10.

▪ somam-se os resultados obtidos.

▪ calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10,

obtendo-se assim o dígito verificador.

O dígito de verificação fornecido pelo processo

acima para o número 24685 é

a) 1. b) 2. c) 4. d) 6. e) 8.

5. (ENEM|G:C) João decidiu contratar os serviços

de uma empresa por telefone através do SAC

(Serviço de Atendimento ao Consumidor).

O atendente ditou para João o número de

protocolo de atendimento da ligação e pediu que

ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um

dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o

numero 1 3 _ 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é

o do algarismo que João não entendeu.

De acordo com essas informações, a posição

ocupada pelo algarismo que falta no número de

protocolo é a de

a) centena. d) milhão.

b) dezena de milhar. e) centena de milhão.

c) centena de milhar.

(COVEST) Indique a alternativa falsa. Um número

natural é divisível por:

a) 2 se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

b) 3 se a soma dos dígitos é divisível por 3.

c) 5 se a soma dos seus dígitos é divisível por 5.

d) 6 se é divisível por 2 e por 3.

e) 9 se a soma dos seus dígitos é divisível por 9.

(Mackenzie–SP) Nas últimas eleições, três partidos

políticos tiveram direito, por dia, a 90s, 108s e 144s

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de tempo gratuito de propaganda na televisão,

com diferentes números de aparições. O tempo

de cada aparição, para todos os partidos, foi

sempre o mesmo e o maior possível. A soma do

número das aparições diárias dos partidos na TV

foi de:

a) 15 b) 16 c) 17 d) 19 e) 21

José possui um supermercado e pretende

organizar de 100 a 150 detergentes, de três

marcas distintas, na prateleira de produtos de

limpeza, agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15

ou de 20 em 20, mas sempre restando um.

Quantos detergentes José tem em seu

supermercado?

a) 61 b) 81 c) 101 d) 121 e) 141

(UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo

todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com

o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40

s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com

base nessas informações, depois de quanto

tempo os três ciclistas se reencontrarão

novamente no ponto de partida, pela primeira

vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o

segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?

a) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.

b) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.

c) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

d) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.

e) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

Considere que o esquema represente uma trilha

poligonal que Carlos deve percorrer, partindo do

ponto A até chegar ao ponto M.

Sabendo que o segmento AB possui 11 m de

comprimento e, a partir desse, o comprimento de

cada segmento seguinte possui um metro a

menos que o comprimento do segmento anterior,

quantos metros Carlos terá caminhado ao

percorrer toda a trilha?

a) 176 b) 121 c) 111 d) 66 e) 65

Uma professora propôs aos seus alunos que

escrevessem a seguinte expressão numérica que

oralmente ela citou: “Ao número 6 adicionamos o

número 3. Depois, multiplicamos o resultado por 2

e, por fim, adicionamos 1.”

A expressão corretamente escrita está

representada em:

a) (6 + 3 · 2) + 1 d) (6 + 3) · (2 + 1)

b) 6 + 3 · 2 + 1 e) 6 + 3 · (2 + 1)

c) (6 + 3) · (2 + 1)

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Cinco times de futebol (A, B, C, D e E) ocuparam

as primeiras colocações em um campeonato

realizado em seu país. A classificação final desses

clubes apresentou as seguintes características:

O time A superou o time C na classificação;

O time C ficou imediatamente à frente do

time E;

O time B não ficou entre os 3 últimos

colocados;

O time D ficou em uma classificação melhor

que a do time A.

Assim, os dois times mais bem classificados foram:

a) A e B b) A e C c) B e D d) B e E e) C e D

Em uma floresta, existem 4 espécies de

insetos, A, B, C e P, que têm um ciclo de vida

semelhante. Essas espécies passam por um

período, em anos, de desenvolvimento dentro de

seus casulos.

Durante uma primavera, elas saem, põem

seus ovos para o desenvolvimento da próxima

geração e morrem. Sabe-se que as espécies A, B

e C se alimentam de vegetais e a espécie P é

predadora das outras 3.

Além disso, a espécie P passa 4 anos em

desenvolvimento dentro dos casulos, já a espécie

A passa 8 anos, a espécie B passa 7 anos e a

espécie C passa 6 anos. As espécies A, B e C só

serão ameaçadas de extinção durante uma

primavera pela espécie P, se apenas uma delas

surgirem na primavera junto com a espécie P.

Nessa primavera atual, todas as 4 espécies saíram

dos casulos juntas.

Qual será a primeira e a segunda espécie a

serem ameaçadas de extinção por surgirem

sozinhas com a espécie predadora numa próxima

primavera?

a) A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a

segunda é a espécie B.

b) A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a

segunda é a espécie B.

c) A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a

segunda é a espécie A.

d) A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a

segunda é a espécie C.

e) A primeira a ser ameaçada é a espécie B e a

segunda é a espécie C.

(COVEST) O produto das idades de três amigos

adolescentes (entre 12 e 19 anos) corresponde a

4080 anos. Qual a soma de suas idades em anos?

a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52

(COVEST) Renato estará de folga na próxima terça

e após cada seis dias. Roberto estará de folga na

próxima quarta e após cada sete dias. A partir de

hoje, que é segunda, em quantos dias, pela

primeira vez, estarão os dois de folga

simultaneamente?

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(UPE) Três ciclistas A, B e C treinam em uma pista.

Eles partem de um ponto P da pista e completam

uma volta na pista ao passarem novamente pelo

mesmo ponto P. O ciclista A gasta 30 seg, o

ciclista B, 45 seg, e o ciclista C, 40 seg, para dar

uma volta completa na pista. Após quanto tempo,

os três ciclistas passam juntos, no ponto P, pela

terceira vez consecutiva?

a) 18 min. b) 25 min. c) 30 min.

d) 15 min. e) 20 min.

Médicos alertam sobre a importância de educar

as crianças para terem hábitos alimentares

saudáveis. Por exemplo, analisando-se uma

bolacha com recheio de chocolate (25 g) e um

pé de alface (25 g), observam-se as seguintes

quantidades de nutrientes, respectivamente:

carboidratos: 15 g e 0,5 g;

proteínas: 1,9 g e 0,5 g.

Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Considerando as informações apresentadas, qual

deve ser o número de pés de alface consumidos

para se obter a mesma quantidade de

carboidratos de uma bolacha?

a) 8 b) 7 c) 30 d) 50 e) 14

O matemático americano Eduardo Kasner pediu

ao filho que desse um nome a um número muito

grande, que consistia do algarismo 1 seguido de

100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol.

Mais tarde, o mesmo matemático criou um

número que apelidou de gugolplex, que consistia

em 10 elevado a um gugol.

Quantos algarismos tem um gugolplex?

a) 100 b) 101 c) 10100 d) 10100 + 1 e) 101000 +1

Em uma de suas salas, o professor Robério pensou

em uma expressão numérica e a propôs para seus

alunos.

Após alguns minutos, Talita e Felipe fizeram as

seguintes colocações.

A partir do diálogo travado em sala de aula e do

valor correto da expressão

a) a resposta dada por Felipe está correta.

b) a resposta dada por Talita está correta.

c) ambos erraram, pois a expressão proposta pelo

professor não tem solução.

d) ambos erraram, pois a resposta correta é 36.

e) ambos erraram, pois a resposta correta é 1.

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(EPCAR) Uma abelha-rainha dividiu as abelhas de

sua colmeia nos seguintes grupos para explora-

ção ambiental: um composto de 288 batedoras e

outro grupo de 360 engenheiras. Sendo você a

abelha-rainha e sabendo que cada grupo deve

ser dividido em equipes constituídas de um

mesmo e maior número de abelhas possível,

então você redistribuiria suas abelhas em:

a) 8 grupos de 81 abelhas

b) 9 grupos de 72 abelhas

c) 24 grupos de 27 abelhas

d) 2 grupos de 324 abelhas

e) 12 grupos de 54 abelhas

(UPE) Três colegas caminhoneiros, Santos, Yuri e

Belmiro, encontraram-se numa sexta-feira, 12 de

agosto, em um restaurante de uma BR, durante o

almoço. Santos disse que costuma almoçar nesse

restaurante de 8 em 8 dias, Yuri disse que almoça

no restaurante de 12 em 12 dias, e Belmiro, de 15

em 15 dias.

Com base nessas informações, analise as

afirmativas seguintes:

I. Os três caminhoneiros voltarão a se encontrar

novamente no dia 13 de dezembro.

II. O dia da semana em que ocorrerá esse novo

encontro é uma sexta-feira.

III. Santos e Yuri se encontrarão 4 vezes antes do

novo encontro dos três colegas.

Está CORRETO o que se afirma, apenas, em

a) I b) II c) III d)I e II e) II e III

Na “Quadradolândia” são utilizados os seguintes

símbolos

O professor Robério pediu que Ruth resolvesse

a expressão

[ 2 ( 21065 ) 3 ( 510103 ) 210 ] e depois desenhasse o resultado como se escreve

na Quadradolândia. Sabendo que ela acertou o

cálculo proposto, qual figura ela desenhou?

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(ENEM) Os incas desenvolveram uma maneira de

registrar quantidades e representar números

utilizando um sistema de numeração decimal

posicionai: um conjunto de cordas com nós

denominado quipus.

O quipus era feito de uma corda matriz, ou

principal (mais grossa que as demais), na qual

eram penduradas outras cordas, mais finas, de

diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes).

De acordo com a sua posição, os nós

significavam unidades, dezenas, centenas e

milhares.

Na Figura 1, o quipus

representa o número decimal

2453. Para representar o “zero"

em qualquer posição, não se

coloca nenhum nó.

O número da representação do

quipus da Figura 2, em base

decimal, é

a) 364. b) 463. c) 3.064.

d) 3.640. e) 4.603.

(ENEM) Os maias desenvolveram um sistema de

numeração vigesimal que podia representar

qualquer número inteiro, não negativo, com

apenas três símbolos. Uma concha representava o

zero, um ponto representava o número 1 e uma

barrinha horizontal, o número 5. Até o número 19,

os maias representa-

vam os números como

mostra a Figura 1:

Números superiores

a 19 são escritos na

vertical, seguindo

potências de 20 em

notação posicional,

como mostra a Figura 2.

Ou seja, o número que se encontra na

primeira posição é multiplicado por 200 = 1, o

número que se encontra na segunda posição é

multiplicado por 201 = 20 e assim por diante. Os

resultados obtidos em cada posição são somados

para obter o número no sistema decimal.

Um arqueólogo achou o hieróglifo da Figura 3

em um sítio arqueológico:

O número, no sistema decimal, que o

hieróglifo da Figura 3 representa é igual a

a) 279. b) 539. c) 2619. d) 5219. e) 7613.

GABARITO

1 – C 2 – D 3 – D 4 – B 5 – D

6 – D 7 – C 8 – D 9 – A 10 – 37

11 – A 12 – B 13 – D 14 – B 15 – B

16 – C 17 – E 18 – C 19 – D