Fichas de trabalho FICHa De traBaLHO 1 Resolução de triângulos - Fichas de... · 227 2 Parte...

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DIMENSÕES • Matemática A • 11.o ano • © Santillana

Soluções das Fichas de trabalho

FICHa De traBaLHO 1 Resolução de triângulos

1 A

A

círculo

retângulo =

522910 568 . 0,5

2 2.1 a = 22,5°

2.2 tan a = 2 - 1

3 . 783 m

4 a) AV . 45,7° ; BU . 14,3° e a . 28,9 cm

b) BU . 99,4° ; CV . 45,6° e b . 25,8 cm ou BU = 10,6° ; CV . 134,4° e b . 4,8 cm

c) Não existe nenhum triângulo nas condições indicadas.

5 a) BU . 27,8° ; CV . 32,2° e a . 13 m

b) AV . 39,4° ; CV . 52,6° e c . 7,3 m

c) AV = 37,8° ; BU . 43,8° e CV . 98,4°

6 a) NB . 19,8 km

b) A[ANB] . 120 km2

7 a) P[ABCD] . 29 m

b) A[ABCD] . 50 m2

8 8.1 a . 24,5°

8.2 . 622 m

9 a) 34

2 1+

b) 3

10 a) 430

b) 1030

FICHa De traBaLHO 2 Ângulos orientados, ângulos generalizados e rotações

1 a) (280°, 1)

b) (-140°, -3)

c) (275°, 3)

d) (-175°, -7)

e) (0°, 17)

f) (-90°, -5)

g) (55°, 1)

h) (-45°, -2)

2 a1 e a2

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3 a) 2.º quadrante.

b) 4.º quadrante.

c) 3.º quadrante.

d) 4.º quadrante.

4 4.1 sin 225° = - 22

; cos (-45°) = 22

4.2 AB = 2 2- u. c.

4.3 R(O, 180°)(H) = D

4.4 D ,22

22

-e o

5 5.1 aV = °

16360

= 22,5°

5.2 4135r

m

5.3 . 53,2 m

6 a) 54

-

b) 43

c) 53

d) 5

12

7 a) A ,21

23

- -e o

b) C(1, 3 )

c) A[ABC ] = 23 3

u. a.

d) P[ABC ] =3 + 3 3 u. c.

8 a) 23

-

b) 23

-

9 9.1 a) 2r cm

b) 49r

cm

c) 11r cm

10 a) 32° 43' 30''

b) 71° 26' 00''

c) 171° 53' 24''

11 a) a . 26° 56' 11''

b) b . 276° 32' 45''

12 a) 57° 17' 45''

b) 51° 25' 43''

c) 22° 55' 06''

d) -(498° 28' 24'')

e) -(220° 00' 00'')

9.2 a) 6r cm2

b) 15r cm2

c) 263r

cm2

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13 a) 0,3 rad

b) 1,7 rad

c) -0,7 rad

d) -1,7 rad

e) 6,1 rad

f) -3,0 rad

14 a) a . -0,14 rad

b) c . 4,89 rad

FICHa De traBaLHO 3 Funções e equações trigonométricas

1 a) 21

b) 22

-

c) 0

d) 33

e) 3

2

f) 21

2 a) 22

b) 0

c) - 33

3 0

4 4.1 12 horas.

4.2 Maré baixa às 9 h e às 21 h ; maré alta às 3 h e às 15 h .

4.3 t ! ]1, 5[ , ]13, 17[

5 a) D'f = [-1, 1]

b) D'g = [1, 3]

c) D'i = [0, 6]

d) D'j = [0,5; 1]

6 6.1 A = 3 e B = 0,5

6.2 a) f 2rc m = 2

3 2

b) f 35rc m = 2

3

c) f 83r

c m = - 23 3

7 a) Zeros de f : x = - 4r

+ 2kr, k ! Z 0 x = 43r

+ 2kr, k ! Z

b) Zeros de g : x = (2k + 1)r, k ! Z 0 x = (2k - 1)r, k ! Z

c) Zeros de h : x = -k2 r, k ! Z 0 x =

k2 r, k ! Z

8 8.1 A[OAB] = AB OC

2#

= sin cos

22 #a a

= sin a cos a, a ! ,0 2r ;E

8.2 A 3rc m = 4

3 u. a.

8.3 O triângulo [AOB] tem área máxima em a = 4r

.

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Fichas de trabalho


9 a) Df = Ir ; f(-x) = sin(-2x) = -sin(2x) = -f(x) , pelo que f é ímpar.

b) Dg = Ir ; g(-x) = 1 + cos(-x) = 1 + cos x = g(x) , pelo que g é par.

c) Dh = Ir\{x: x = kr, k ! Z} ; h(-x) = tan x2-c m = -tan

x2 = -h(x) , pelo que h é ímpar.

10 10.1 Dilatação vertical de coeficiente 3 e translação vertical segundo o vetor de coordenadas (0, -2) .

10.2 D'f = [-5, 1]

10.3 f 6rc m =

32

3 4-

10.4 x = r ! 2kr, k ! Z

11 a) cos2 x - sin2 x = (1 - sin2 x) - sin2 x = 1 - 2 sin2 x

b) (4 cos x - 3 sin x )2 + (3 cos x + 4 sin x )2 = = 16 cos2 x - 24 cos x sin x + 9 sin2 x + 9 cos2 x + 24 cos x sin x + 16 sin2 x = = 25 cos2 x + 25 sin2 x = 25

c) x xcos tan1 2

-c m = x xx

cos cossin1 2

-c m = x

x( )cos

sin12

2- =

x

x( )sinsin

11

2

2

-

- =

= x x

x

( )( )( )sin sin

sin1 1

1 2

- +

- =

xx

sinsin

11

+-

12 a) -3 sin x

b) 2 tan x

c) 2 sin x

13 307 91

14 a) 2524

-

b) 257

-

c) 175502

-

15 15.1 f 313r

-c m = 22 2-

15.2 f(a) = 37

16 a) 3r

b) 22

-

c) - 21

17 a) 133 13

b) 43

-

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18 x = 1

19 a) C. S. = x x Z: ,k

k123 2 24!

!r r r

=+

( 2 ; C. S. = ,12 125r r

' 1

b) C. S. = x x Z: ,k k28! !r

r= +' 1 ; C. S. = , , ,7

8 8 887r r r r

- -' 1

c) C. S. = x x xZ Z: , ,k kk k40 !! !rr

r= = +' 1 ; C. S. = , ,,0 4 43r r

r' 1

d) C. S. = x x Z: ,k k6 !r

r= +' 1 ; C. S. = 56r

-' 1

e) C. S. = x x xZ Z: , ,k kk k2 3 20 !! !rr

r r= = ++' 1; C. S. = , ,3 35r

rr

' 1

f) C. S. = x x Z: ,k k3 2! !r

r= +' 1 ; C. S. = ,3 3r r

-' 1

g) C. S. = 132 13) 3

20 C.S. = ,0 67r ;E

FICHa De traBaLHO 4 Declive e inclinação de retas. Produto escalar1 a) 45°

b) 30°

c) 135°

d) 120°

2 a) . 108,4°

b) 120°

3 a) y = 3x - 32

b) y = -x + 4

4 4.1 . 98,2°

4.2 A ,79

710

-c m

4.3 CB - CA = CB + AC = AC + CB = AB ; AB ,730

710

-c m

5 a) y = 33

x

b) A ,23 3

23

e o

c) A[OABC ] = 3 3 u. a.

d) y = - 3x + 6

e) 120°

f) P[OABC ] = 6 + 32 u. c.

6 a) 8

b) -3

c) 0

7 a) 0

b) 4

c) 8

d) 0

e) 4

f) -4

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Fichas de trabalho


8 a) 3 3

b) -200 3

9 30 000 joules

10 O produto escalar de v e t , v $ t , é um número real, então, tvu $ $_ i representa o produto escalar entre um vetor e um número real, o que não faz sentido.

11 a) 30

b) -80

c) 0

12 a) a = 71

b) a = 43

-

c) a = 34

13 1,51 rad

14 14.1 AC $ BD = (-4, 0, 0) $ (0, 4, 0) = 0

14.2 a) 4

b) 8

c) 9

14.3 . 2,2 rad

14.4 a) Como MN(-1, 1, 0) e DC(-2, -2, 0) , então, DC = 2MN , pelo que os dois vetores são colineares.

b) 2MN $ BC = (-1, 1, 0) $ (-2, 2, 0) = 0

FICHa De traBaLHO 5 Equações de planos no espaço1 1.1 tem-se que AB(1, -2, 2) e AC(-2, 3, 4) . Como AB ! kAC, k ! Ir , então, A , B e C não são

colineares e, por isso, definem um único plano.

1.2 tem-se que r (2, 0, -1) . as retas AB e AC são retas não paralelas do plano ABC que se intersetam no ponto A , com vetores diretores (1, -2, 2) e (-2, 3, 4) , respetivamente. Como AB $ r = 0 e AC $ r = 0 , pelo critério de perpendicularidade de reta e plano, conclui-se que a reta r é perpendicular ao plano ABC .

1.3 Por exemplo, 2x - z = 0 .

1.4 Por exemplo, D(0, 1, 0) e E(3, 0, 6) .

1.5 Por exemplo, a , ,56 5

0 53 5

-e o .

2 a) Por exemplo, x - y + 4z = 9 .

b) Por exemplo, 2x + z = -1 .

c) Por exemplo, y + 2z = 7 .

3 Por exemplo, -14x + 11y + z = 21 .

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4

sf5p1h1

y

x

z

O

8

2

4

5 5.1 K(2, 2, 3)

5.2 KE KFc_ i . 58°

5.3 Por exemplo, 3x + 2z = 12 .

5.4 a) Por exemplo, (2, 2, 3) + k(3, 0, 2), k ! Ir .

b) Face EFB : , ,4 2 313

c m ; face GCD : , ,2 305

c m

5.5 a) Por exemplo, 3x + 2z = 24 .

b) (0, 0, 12)

6 6.1 Os pontos A , B e C são não colineares e definem um único plano ABC . as retas AC e BC pertencem ao plano ABC , logo, são complanares.

6.2 tem-se que AC(-4, 2, 4) e CB (2, -2, 4) . Seja n(a, b, c) um vetor normal ao plano ABC , então:

n $ AC = 0 / n $ CB = 0 + (a, b, c) $ (-4, 2, 4) = 0 / (a, b, c) $ (2, -2, 4) = 0 +

+ -4a + 2b + 4c = 0 / 2a - 2b + 4c = 0

Fazendo c = 1 , vem a = 4 e b = 6 , logo, a equação cartesiana do plano ABC é da forma 4x + 6y + z = d . Substituindo as coordenadas de um dos pontos A , B ou C na equação, obtém-se 4x + 6y + z = 24 como uma equação cartesiana do plano ABC .

6.3 V[OABC ] = 16 u. v.

7 7.1 2 + 2

7.2 Por exemplo, x + y - 2 z = -1 - 2 .

8 8.1 Por exemplo, 2x - 2y - z = -10 .

8.2 (0, 5, 0)

8.3 Por exemplo, (x, y, z) = (-1, 3, 0) + k(2, -2, -1), k ! Ir .

8.4 Por exemplo, x - y + 4z = 16 .

8.5 Pela condição de paralelismo de reta e plano, tem-se que r $ n = 0 . Como (2, -2, -1) $ (1, -1, 4) = 2 + 2 - 4 = 0 , então, a reta r é paralela ao plano CDF .

8.6 K(0, 0, 4)

8.7 I , ,31

31

37

-c m

8.8 V

Vpirâmide

prisma = 6

1

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9 9.1 Rx

, ,s t

y t s t Iz s t

2

3 2!

= +

=

= - -

*

9.2 Por exemplo, x + z = 7 .

9.3 Vcone = 32 2r

u. v.

FICHa De traBaLHO 6 Sucessões: generalidades, monotonia e recorrência. Princípio de indução matemática

1 a) 2n + 3

b) 2n - 2

c) -3n + 15

d) 25 - n

e) n2 - 3n + 9

2 2.1 u1 = 23

; u2 = 21

; u3 = 61

e u4 = 0

2.2 31

- é o 12.º termo; 178

- é o 68.º termo e 7528

- não é termo de (un) .

2.3 Como u1 = 23

e un + 1 - un < 0 , a sucessão é monótona decrescente e un G 23

, 6n ! IN .

3 a) u3 = 98

e u10 = 25256

b) v3 = -1 e v10 = 1

c) w3 = 43

e w10 = 1117

4 a) 32

b) 50

c) an =

nn

nn

2

21

se par

se ímpar

2

2 -*

d) bn =

nn

nn

2

21

se par

se ímpar

2

2 +*

5 a) Monótona crescente.

b) Monótona decrescente.

c) Não monótona.

d) Monótona decrescente.

e) Monótona decrescente.

f) Monótona crescente.

g) Monótona crescente.

h) Monótona crescente.

i) Monótona decrescente.

j) Monótona crescente.

k) Não monótona.

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6 I. a) Sim.

b) Sim.

c) Sim.

d) Sim (máximo: 5 ) .

e) Sim (mínimo: -3 ) .

f) [5, +3[

g) ]-3, -3]

II. a) Sim. b) Sim.

c) Sim.


e) Não.

f) [2, +3[

g) ]-3, -1]

III. a) Não.

b) Sim.

c) Não.

d) Não.

e) Não.

f) 0

g) ]-3, 2]

IV. a) Sim.

b) Não.

c) Não.


e) Não.

f) [4, +3[

g) 0

V. a) Sim.

b) Sim.

c) Sim.


e) Sim (mínimo: 2 ) .

f) [9, +3[

g) ]-3, 2]

VI. a) Sim.

b) Sim.

c) Sim.

d) Sim 109

máximo:c m .

e) Sim 41

mínimo:c m .

f) ,109

3+; ;g) , 4

13-E E

7 a) Minorante: 0 ; majorante: 1 .

b) Minorante: 21

; majorante: 3 .

c) Minorante: -2 ; majorante: -2 .

d) Minorante: -2 ; majorante: 2 .

8 Como (un) é uma sucessão de termos negativos, tem-se que un < 0, 6n ! IN .

Por outro lado, tem-se que -3un < 2, 6n ! IN , ou seja, un > 32

- , 6n ! IN .

Portanto, 32

- < un < 0 , concluindo-se que (un) é limitada.

9 9.1 ao cuidado do aluno.

9.2 3

10 a) Para n = 1 , tem-se 1 + 2 = 3 , que é divisível por 3 . Hipótese: n3 + 2n é divisível por 3 . tese: (n + 1)3 + 2(n + 1) é divisível por 3 .

Demonstração: (n + 1)3 + 2(n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 + 2n + 2 = = n3 + 2n + 3n2 + 3n + 3 = n3 + 2n + 3(n2 + n + 1) 123 14243

divisível por 3 divisível por 3 por hipótese

c.q.d.

b) Para n = 1 , tem-se 1 + 2 = 22 - 1 , que é verdade. Hipótese: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n = 2n + 1 - 1 tese: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n + 2n + 1 = 2n + 2 - 1

Demonstração: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n + 2n + 1 = 2n + 1 - 1 + 2n + 1 = 2 # 2n + 1 - 1 = 2n + 2 - 1

c.q.d.

c) Para n = 1 , tem-se 12 = 1 , que é verdade. Hipótese: 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n - 1 n2 = (-1)n - 1

( )n n2

1+

tese: 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n - 1 n2 + (-1)n (n + 1)2 = (-1)n ( ) ( )n n

21 2+ +

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Fichas de trabalho


Demonstração: 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n - 1 n2 + (-1)n (n + 1)2 =

= (-1)n - 1 ( )n n

21+

+ (-1)n (n + 1)2 = (-1)n ( )n n

n21

12

-+

+ +_ i< F = = (-1)n

n n n n22 4 22 2- - + + +< F = (-1)n

n n23 22 + +

= (-1)n ( ) ( )n n

21 2+ +

c.q.d.

d) Para n = 1 , tem-se 32

= 1 - 31

, que é verdade.

Hipótese: 32

+ 92

+ 2

27 + … + 32

n = 1 - 31

n

tese: 32

+ 29 +

227 + … +

32

n + 3

2n 1+

= 1 - 3

1n 1+

Demonstração:

32

+ 92

+ 2

27 + … + 32

n + 3

2n 1+

= 1 - 31

n + 3

2n 1+

= 1 - 3

3n 1+

+ 3

2n 1+

= 1 - 3

1n 1+

c.q.d.

e) Para n = 6 , tem-se 6 # 4 < 62 - 7 + 24 < 29 , que é verdade. Hipótese: 4n < n2 - 7 para um certo n H 6 . tese: 4(n + 1) < (n + 1)2 - 7

Demonstração: 4n < n2 - 7 + 4n + 4 < n2 - 7 + 4 Como para n H 6 , 2n + 1 > 4 , então:

4n + 4 < n2 - 7 + 2n + 1 + 4(n + 1) < (n + 1)2 - 7 c.q.d.

f) Para n = 1 , tem-se 1 21#

= 1 1

1+

.

Hipótese: 1 21$

+ 21

3$ +

13 4$

+ … + ( )n n 1

1+

= n

n1+

tese: 1 21$

+ 21

3$ +

13 4$

+ … + ( )n n 1

1+

+ ( ) ( )n n1

12+ +

= nn

21

++

Demonstração:

1 21$

+ 21

3$ +

13 4$

+ … + ( )n n 1

1+

+ ( ) ( )n n1

12+ +

= n

n1+

+ ( ) ( )n n1

12+ +

=

= ( ) ( )n n

n n1 2

2 12

+ ++ +

= ( )

( ) ( )n

n n1

1 2

2+

+ + =

nn

21

++

c.q.d.

11 11.1 a1 = 1 ; a2 = 4 ; a3 = 13 ; a4 = 40 ; a5 = 121 e a6 = 364 ; b1 = 1 ; b2 = 4 ; b3 = 12 ; b4 = 32 ; b5 = 80 e b6 = 192

11.2 an = 23 1n -

e bn = 2n - 1 n ; ao cuidado do aluno.

12 a) a

a a

2

2n n

1

1

=

= ++

*

b) a

a a

2

2n n

1

1

=

=+

*

c) a

a a

1

1n n

1

1

2

=

= ++ ` j*

d) a

aa

a

1

1nn

n

1

1

=

=++

*

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236

2Parte

Fich

as d

e tr

abal

ho


FICHa De traBaLHO 7 Progressões aritméticas e progressões geométricas

1 1.1 a1 = 5 ; a2 = 12 ; a3 = 19 e a4 = 26

1.2 (an) é uma progressão aritmética porque cada termo se obtém, a partir do anterior, somando sempre a mesma constante, neste caso, 7 , ou seja , para todo n natural, tem-se an + 1 - an = 7 .

1.3 Para n = 1 , tem-se a1 = 7 # 1 - 2 = 5 , que é verdade. Hipótese: an = 7n - 2 tese: an + 1 = 7(n + 1) - 2

Demonstração:an + 1 = an + 7 = 7n - 2 + 7 = 7(n + 1) - 2

c.q.d.

1.4 a50 = 348

2 Como m , n e p são três termos consecutivos de uma progressão aritmética, então, existe k real, tal que n = m + k e p = m + 2k .

Logo, m + p = m + (m + 2k) = 2m + 2k = 2(m + k) = 2n .

3 a) Sim, r = 1 .

b) Sim, r = 32

- .

c) Não.

d) Sim, r = 4 .

4 7 , 10 e 13

5 5.1 a

a a

1

3n n

1

1

=

=

-

-+

*

5.2 an = -3n + 8

6 a) an = -3n + 8 ; decrescente. c) an = 2n ; crescente.

b) an = 21

n - 25

; crescente. d) an = -8n + 41 ; decrescente.

7 a) -1, -5, -9, -13

b) 62

- , 22

- , 625

- , 627

-

c) 42

, 22

- , 45 2

- , -2 2

8 119, 131, 143, 155, 167, 179

9 9.1 3 km

9.2 36 dias.

10 a) Não é uma progressão geométrica.

b) Não é uma progressão geométrica.

c) É uma progressão geométrica de razão 51

; cn = 500 51 n 1-

c m

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237

2Parte

Fichas de trabalho


11 a) v1 = 1000 ; v2 = 100 ; v3 = 10 e v4 = 1

v

vv

1000

10nn

1

1

=

=+

*

b) v1 = 256 ; v2 = -64 ; v3 = 16 e v4 = -4

v

vv

256

4nn

1

1

=

=-+

*

12 12.1 cn = 926 # 1,03n - 1

12.2 aproximadamente, 1244 alunos.

13 -18

14 a) Decrescente.

b) Decrescente.

c) Crescente.

15 un = 4

1

8

1 n

5 5

1-

f p

16 a) un = 5 # 4n-1

b) S8 = 109 225

17 a) S14 = 3279(3 + 3 )

b) S14 - S8 = 3159(3 + 3 )

18 18.1 16 folhas.

18.2 1280 folhas.

18.3 102 400 folhas.

18.4 11,264 m

19 . 50,049

FICHa De traBaLHO 8 Limites de sucessões1 1.1 p = 1000

1.2 ao cuidado do aluno.


2.2 46 termos.

2.3 Majorante: 83

; minorante: 51

- .

3 a) Não monótona e não convergente.

b) Não monótona e convergente para 0 .

c) Monótona crescente e não convergente.

d) Monótona decrescente e não convergente.

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238

2Parte

Fich

as d

e tr

abal

ho



4.2 43G vn < 1

4.3 lim (unvn) = 0

5 5.1 a) n H 11

b) n H 47

c) n H 9 654 894

5.2 ao cuidado do aluno.

6 a) +3

b) -3

c) +3

d) -3

e) +3

7 7.1 a) ao cuidado do aluno.

b) ao cuidado do aluno.

7.2 apenas os primeiros 999 termos são comuns a ambas as sucessões e (un ) é convergente para 3 e (vn) é divergente.

8 a) -5

b) +3

c) 0

d) -1

e) 34

f) -1

9 a) 316

-

b) 4

c) 455

10 a) 2764

b) 74 7

c) 2

11 a) +3

b) +3

12 a) vn = 3n2 - 5

b) Por exemplo, vn = n3 .

c) Por exemplo, vn = n + 1 .

d) vn = 3n2 - 10

13 a) +3

b) Não é possível saber.

c) -3

d) -3

e) +3

f) +3

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239

2Parte

Fichas de trabalho


14 a) 6

b) -9

c) -3

d) 0

e) 32

-

f) 0

15 a) -3

b) -3

c) 0

d) -3

e) 0

f) 23

-

g) 2

16 16.1 uu

n

n 1+ = 2

1 ; un = 16 2

1 n

c m

16.2 lim (Sn) = 16 , o que significa que a soma das áreas a cinzento tende para o valor da área do quadrado inicial.

FICHa De traBaLHO 9 Limites de funções reais de variável real. Indeterminações

1 a) {-2} , [3, 5]

b) [-3, 5] , {6}

c) {-2} , [3, 5]

d) [-3, 5] , {6}

e) ]-3, 3] , [5, +3[

f) {5}

2 limx 1" +

f(x) = limx 1" -

f(x) = f(1) = limx 1"

f(x) = 1

Logo, existe limite de f(x) em x = 1 .

limx 3" +

f(x) = -8 e limx 3" -

f(x) = -3 , pelo que não existe limite de f(x) em x = 3 .


3.2 Não existe limx 4"

f(x) .

3.3 limx 4" +

g(x) = limx 4" -

g(x) = limx 4"

g(x) = +3

4 a = -13 ; limx 1"-

f(x) = 6


5.2 lim f(an ) = 52

; lim f(bn) = 32

-

5.3 lim f(xn) = 52

6 a) +3

b) +3

c) -3

d) -3

e) -1

f) +3

7 a) 4

b) 1

c) 0

d) 4

e) 1

f) 1

g) 4

h) 3

i) Não existe.

j) 4

k) 4

l) Não existe.

m) Não existe.

n) 0

o) 1

p) Não existe.

q) 4

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240

2Parte

Fich

as d

e tr

abal

ho


8 a) 1

b) -4

c) 5

d) 23

-

e) 4

f) 13-

g) Não existe.

h) +3

i) Não existe.

j) 0

9 a) +3 d) -3

b) +3 e) -8

c) Não existe.

10 a) 3

b) 32

c) 21 3-

d) +3

e) +3

f) -4

g) 0

h) 1

i) 43

-

j) 41

k) 1

l) 3

m) 42

n) 23

o) 41

-

p) 21

q) 57

r) -3

s) -2

t) 32

11 a) a(0) = 9 m

b) t . 1 h 42 min

c) limt 400"

a(t) = 0 ; este valor significa que, à medida que o tempo após a abertura da torneira

se aproxima dos 400 minutos, o tanque tende a ficar vazio.

12 12.1 Concentração máxima de 2 mg/L ocorre após 1 h de administração do medicamento.

12.2 Com o passar do tempo, a concentração do medicamento no sangue diminui, até se tornar praticamente inexistente.

12.3 após 7 h 52 min .

FICHa De traBaLHO 10 Funções contínuas. Assíntotas. Funções racionais

1 a) f é contínua em x = 2 e descontínua em x = -3 .

b) f é contínua em x = -5 e em x = -2 .

c) f é contínua em x = 1 .

d) f é contínua em x = 0 e em x = 1 .

2 a) -k 2

b) -3

c) k = 34 3

3 a) f é contínua em Ir\{-1} .

b) f é contínua em Ir\{7} .

c) f é contínua em Ir .

d) f é contínua em ]0, 1] .

4 a = 4 e b = 1

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241

2Parte

Fichas de trabalho


5 a = 417

- e b = 43

6 a) x = 1

b) x = 25

c) x = -1 e x = 1

d) Não existem.

e) x = 0

f) Não existem.

7 a) y = 3

b) y = 34

c) Não existem.

d) y = 0

e) y = 1 e y = -1

f) y = - 2 e y = 2

g) y = 2

h) y = 723

8 a) y = 2x - 7

b) y = x

c) y = 21

x - 45

d) y = 2x - 1

e) Não existem.

9 a) assíntotas verticais: x = -2 e x = 2

b) assíntota vertical: x = 1 ; assíntota horizontal: y = 2

c) assíntota vertical: x = 3 ; assíntota oblíqua: y = x

d) assíntotas verticais: x = 0 e x = 3 ; assíntota oblíqua: y = -x - 3

e) assíntotas verticais: x = -2 e x = 2 ; assíntota horizontal: y = 0

f) assíntotas verticais: x = -2 e x = 0 ; assíntotas horizontais: y = -2 e y = 1

10 a) Zeros: não tem; f é negativa 6x ! Df .

b) Zeros: ,41 17

41 17- +

) 3 ; f é negativa quando x ! ,41 17

41 17- + =G ;

f é positiva quando x ! ]-3, -1[ , ,1 41 17

-- =G , ,4

1 173

++ =G .

c) Zeros: não tem; f é positiva 6x ! Df .

d) Zeros: ,22

22

-) 3 ; f é negativa quando x ! ,22

22

- =G ;

f é positiva quando x ! ]-3, -2[ , ,2 22

- - =G , ,22

3+ =G .

e) Zeros: {-2, 2 } ; f é negativa quando x ! ,2 21

- - ;E , ,21

2- ;E ;

f é positiva quando x ! ]-3, -2[ , ]-2, +3[ .

f) Zeros: {2 } ; f é negativa quando x ! ]-3, -1[ , ]-1, 2[ ; f é positiva quando x ! ]2, +3[ .

g) Zeros: não tem; f é negativa quando x ! ]-3, -2[ , ]2, +3[ ; f é positiva quando x ! ]-2, 2[ .

h) Zeros: {-3, 3} ; f é negativa quando x ! ]-3, -2[ , ]2, 3[ ; f é positiva quando x ! ]-3, -3[ , ]-2, 2 [ , ]3, +3[ .

i) Zero: {9} ; f é negativa quando x ! ]5, 9[ ; f é positiva quando x ! ]-3, 3[ , ]3, 5[ , ]9, +3[ .

j) Zero: {-2} ; f é negativa quando x ! ]-2, -1[ , ]-1, 0[ ; f é positiva quando x ! ]-3, -2[ , ]0, +3[ .

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242

2Parte

Fich

as d

e tr

abal

ho


11 a) C. S. = ]3, 4]

b) C. S. = ,4 35

- -E E , ,35

4; ;c) C. S. = ]-5, -2[ , ]1, 2[

d) C. S. = ]-3, -4] , ]-1, 2] , ]3, +3[

12 a) a(x) = 2 - x 4

9-

; assíntota vertical: x = 4 ; assíntota horizontal: y = 2

b) b(x) = 23

- x2 1

21

- ; assíntota vertical: x = 2

1 ; assíntota horizontal: y = 2

3

c) c(x) = 25

- - x2

213

3- ; assíntota vertical: x = 2

3 ; assíntota horizontal: y = 2

5-

d) d(x) = 4 - x1

2-

; assíntota vertical: x = 1 ; assíntota horizontal: y = 4

FICHa De traBaLHO 11 Derivadas. Estudo de funções. Otimização 1 1.1

sf11p1h1

x

y6

O

2

322

23

1.2 a) [-2, 1] , por exemplo.

b) [1, 2] , por exemplo.

c) [-1, 1] , por exemplo.

d) [-2, 0] , por exemplo.

e) [-1, 2] , por exemplo.

2 a = -2

3 a) y = 10x - 29

b) y = 101

- x + 243

c) (-5,1; 22,01)

4 a) -400 m3/min b) -1000 m3/min c) -3000 m3/min

5 a) -9 cm/s b) 0 cm/s c) 36 cm/s

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243

2Parte

Fichas de trabalho


6 a) f '(x) = 0 ; Df ' = Ir

b) f '(x) = 4 ; Df ' = Ir

c) f '(x) = -4x ; Df ' = Ir

d) f '(x) = x2 1

1

+ ; Df ' = ]-1, +3[

e) f '(x) = x( )2

32-

; Df ' = Ir\{2}


7.2 f '(1) = 4 , logo, f não pode ser decrescente em [1, 6] , caso contrário, f '(x) G 0, 6x ! [1, 6] e, em particular, f '(1) seria um valor não positivo.

8 a) f '(x) = 5 ; Df ' = Ir

b) g'(x) = 8x - 6 ; Dg' = Ir

c) h'(x) = 64x3 - 4x ; Dh' = Ir

d) i'(x) = -12x2 + 12x + 2 ; Di' = Ir

e) j'(x) = 12 - x

42 ; Dj' = Ir\{0}

f) k'(x) = x( )3

52-

; Dk' = Ir\{3}

g) l'(x) = x4 2

2

- ; Dl' = ,2

13+ ;E

h) m'(x) = x23

; Dm' = Ir0+

i) n'(x) = x x

x

( )

2 15

2 4 2 1 2-

+

+ + ; Dn' = ,4 2

1- - ;E , ,2

13- + ;E

j) p'(x) = x x x2

12

-+

; Dp' = Ir+

k) q'(x) = -3x

x

( )1

1 2 2

2-

-= G ; Dq' = Ir\ 2

1' 1

l) r'(x) = x3

123 -

x3

4

23 ; Dr' = Ir\{0}

9 b = -2 e c = 4

10 a) (f + g)'(x) = 8x + x2 1

1

+ ; D(f + g)' = ]-1, +3[

b) (fg)'(x) = 8x2 + x x8 12 + + x

x

1

2 2

+ ; D(fg)' = ]-1, +3[

c) (f % g)'(x) = x

41

4+

+ ; D(f % g)' = ]-1, +3[

d) (g % f )'(x) = x4 1

42 +

; D(g % f )' = Ir

11 a) (4, -2)

b) ,25

45

-c m

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244

2Parte

Fich

as d

e tr

abal

ho


12 12.2 a) f é uma função polinomial, logo, é contínua em Ir . Portanto, f é contínua em qualquer subconjunto de Ir e, por isso, é contínua em [-2, 2] .

b) f é uma função polinomial, logo, é diferenciável em Ir . Portanto, f é diferenciável em qualquer subconjunto de Ir e, por isso, é diferenciável em ]-2, 2[ .

c) Como f é contínua e diferenciável em ]-2, 2[ , então, pelo teorema de Lagrange, existe um

c ! ]-2, 2[ , tal que f '(c) = ( )

( ) ( )f f2 22 2

- -

- - =

2 20 0

+-

= 0 , pelo que se confirma que f ' tem,

pelo menos, um zero no intervalo ]-2, 2[ .

13 a) x ! {2}

b) x ! ]-3, 2[

c) x ! ]2, +3[

d) x ! 23' 1

e) x ! {3}

14 a) f é crescente em ,41

3+; ; e é decrescente em , 41

3-E E ; mínimo relativo 43

para x = 41

.

b) g é crescente em ,233-E E e em ,3

23+; ; e é decrescente em ,3

232

-; E ; mínimo relativo 9

7- quando x = 3

2 e máximo relativo 9

25 quando x = 3

2- .

c) h é crescente em ]-3, 0] e em ,34

3+; ; e é decrescente em ,0 34; E ;

mínimo relativo 2732

- quando x = 34

e máximo relativo 0 quando x = 0 .

d) i é crescente em , 32 2 7

3--G G e em ,3

2 2 73+

+= = e é decrescente em

,32 2 7

32 2 7- += G ; mínimo relativo 27

160 112 7-

+ quando x = 3

2 2 7+

e máximo relativo 27160 112 7

--

quando x = 32 2 7+

.

e) j é decrescente em ]-3, 4[ e em ]4, +3[ ; não tem extremos relativos.

f) k é crescente em [0, 1] e é decrescente em [1, +3[ ; máximo relativo 21

para x = 1 .

15 Deve alugar a casa a cerca de 5,3 km do seu local de trabalho.

16 O volume máximo do cilindro ocorre quando x = r 32

e h r 32 3

= .

17 a = 4 cm ; l = 3 cm ; Amáxima = 12 cm2

000716 226-246 FT_Sol.indd 244 16/03/16 20:03

245

2Parte

Fichas de trabalho


FICHa De traBaLHO 12 Amostras bivariadas. Reta de mínimos quadrados e coeficiente de correlação linear

1 1.1 I e III

1.2 II e III

1.3 I " (D); II " (B); III " (a); IV " (C)

2 2.1

sf12p1h1

x

y

AB

CD

E250

200

150

100

50

40 8 12 16 20Investimento (milhares de euros)

Ven

das

(milh

ares

de

euro

s)

2.2 Variável explicativa: investimento; variável resposta: vendas.

2.3 associação linear positiva forte.

2.4 I = 12,6 milhares de euros ; V = 142,6 milhares de euros ; SI.4,6 milhares de euros ; SV.54,3 milhares de euros.

3 3.1 ea = 5 ; eB = 3 ; eC = 3

3.2 11 ; 43

3.3 y = 49

- x + 6151

4 a) n = 7

b) y = -1,75x + 24,5

c) r = -0,966 ; associação linear negativa forte.

5 r = -0,878

6 6.1

sf12p2h1

x

y

A

BC

D

E

200

150

100

50

20 4 6 8 10 12Número de faltas

Cla

ssi�

caçã

o

F

000716 226-246 FT_Sol.indd 245 16/03/16 20:03

246

2Parte

Fich

as d

e tr

abal

ho


6.2 y = -7,53x + 178,47

6.3 103

7 7.1

sf12p2h2

x

y

A

B

C

DE

6

4

2

20 4 6 8Teor de fósforo à entrada (mg/L)

Teor

de

fósf

oro

à sa

ída

(mg/

L)

7.2 associação linear positiva forte.

7.3 y = 0,77x - 0,29

7.4 3,6 mg/L

7.5 r = 0,996

7.6 Dado que o coeficiente de correlação linear tem um valor muito próximo de 1 , a associação linear entre as duas variáveis é muito forte, pelo que devemos considerar muito boa a previsão obtida na alínea 7.4.

7.7 a afirmação é falsa, pois a reta obtida em 7.2 toma x como variável explicativa e y como variável resposta. Logo, apenas pode ser usada para, dado o teor de fósforo à entrada, prever o fósforo à saída.

7.8 O teor de fósforo à entrada da etar não deve ultrapassar os 6,9 mg/L .

000716 226-246 FT_Sol.indd 246 16/03/16 20:04

Fichas de trabalho FICHa De traBaLHO 1 Resolução de triângulos - Fichas de... · 227 2 Parte...

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