Filtragem de Imagens no Domínio da Freqüência

35M34 – Sala 3D5Bruno Motta de CarvalhoDIMAp – Sala 15 – Ramal 227

DIM00972

Introdução Fourier formulou no início do século XVIII a 

teoria de que qualquer função que se repete periodicamente pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos  de frequências diferentes, cada um multiplicado por um coeficiente próprio (Séries de Fourier)

Idéia foi recebida com ceticismo pelo meio científico da época

Mesmo funções não­periódicas podem ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos, desde que a área sob a curva da função seja finita (Transformadas de Fourier)

DIM00973

Exemplo

Sinais com complexidade arbitrária (desde que sua integral seja finita) podem ser representados com precisão arbitrária através da soma de senoides

DIM00974

Transformada de Fourier

A transformada de Fourier, F(u), de uma função contínua de uma variável f(x) é 

Dada F(u), f(x) pode ser obtida usando­se

Juntas, essas funções formam o par de transformadas de Fourier, que em 2D são

F u =∫ f x e− j2 uxπ dx

f x =∫F u e j2 uxπ du

F u,v =∫∫ f x,y e− j2π ux+vy dxdy  e f x,y =∫∫F u,v e j2π ux+vydudv

DIM00975

Transformada Discreta de Fourier Como estamos interessados em funções 

discretas, iremos usar as DFTs, que são

Ao contrário do caso contínuo, as transformadas direta e inversa de Fourier sempre existem, desde que f(x) não possua valores infinitos

Usando a fórmula de Euler                     nós temos que

F u = 1M ∑x=0

M−1

f x e− j2 uxπ /M  para  u= 0,1 ,⋯,M−1 e 

f x =∑u=0

M−1

F u e j2 uxπ /M  para  x= 0,1 ,⋯,M−1

e jθ=cos +jθ sinθ

F u = 1M ∑x= 0

M−1

f x [ cos2 uxπ /M− j sin2 uxπ /M ]

DIM00976

Transformada Discreta de Fourier O domínio (valores de u) de F(u) é chamado de 

domínio da freqüência, porque u determina a freqüência dos componentes da transformada

Cada um dos termos de F(u) é chamado de componente de freqüência da transformada

Transformada geralmente é expressa em coordenadas polares usando­se

F u =∣F u ∣e j u ,  onde ∣F u ∣=R2 u +I2 u  e  u =[ I u R u ]

DIM00977

Exemplo

DIM00978

Transformada Discreta de Fourier 2D No caso bidimensional as DFTs são

Deste modo, o especto de fourier, o ângulo de fase e o espectro de potência são, respectivamente 

F u,v = 1MN ∑x=0

M−1

∑y=0

N−1

f x,y e− j2π ux /M+vy /N  para  u= 0,1 ,⋯,M−1,v= 0,1 ,⋯,N−1, e 

f x =∑u=0

M−1

∑v=0

N−1

F u,v e j2π ux /M+vy /N  para  x= 0,1 ,⋯,M−1, y= 0,1 ,⋯,N−1

∣F u,v ∣=R2 u,v +I2 u,v

u,v =tan−1 [ I u,v R u,v ]

P u,v =∣F u,v ∣2=R2 u,v +I2 u,v

DIM00979

Transformada Discreta de Fourier É comum que se multiplique a função de entrada 

f(x,y) por (­1)x+y antes do cálculo da transformada de Fourier. Isso faz com que o origem da transformada de fourier seja movida para as coordenadas de freqüência (M/2,N/2), ou seja, o centro do retângulo de freqüência

 O valor da transformada no ponto (u,v)=(0,0) é                                 , ou seja, o valor da 

transformada de Fourier de uma imagem no ponto (0,0) é a intensidade média da imagem

F 0,0 = 1MN ∑x=0

M−1

∑y=0

N−1f x,y

DIM009710

Transformada Discreta de Fourier O coeficiente de F(0,0) é geralmente chamado de 

dc (direct current, corrente de freqüência zero)  Se f(x,y) é real, nós temos que 

Isto é, o espectro da transformada de Fourier é simétrico

Como no caso 1D, os relacionamentos entre as variáveis de amostragem nos domínios espacial e da freqüência são 

F u,v =F¿ −u,−v  e ∣F u,v ∣=∣F −u,−v ∣

u=Δ1

M xΔ  e  v=Δ1

N yΔ

DIM009711

Exemplo

DIM009712

Propriedades das DFTs Cada termo de F(u,v) contém todos os valores de 

f(x,y), modificados pelos valores dos exponenciais, logo não é possível fazer associações um­a­um dos coeficientes com pixels

Entertanto pode­se falar em termos de carcterísticas da imagem. Por exemplo, o coeficiente de F(0,0) denota a intensidade média da imagem, coeficientes de baixos índices (freqüências) correspondem a componentes da imagem que variam pouco, enquanto que coeficientes de alta frequência são associados com variações brusacas de intensidade

DIM009713

Exemplo Note como as bordas 

diagonais da imagem geram linhas diagonais na transformada de Fourier

DIM009714

Filtragem no Domínio da Freqüência A estrutura de uma aplicação que implementa 

filtragem de imagens no domínio da freqüência é a seguinte

DIM009715

Filtros básicos Filtro notch remove 

uma ou mais freqüências especificadas 

Neste caso foi removida a freqüência F(0,0)

DIM009716

Exemplo

Exemplos de filtros passa­baixa e passa­alta

DIM009717

Exemplo

Aplicação de um filtro passa­alta 

DIM009718

Exemplos de Filtros

Exemplos de filtros passa­baixa e passa­alta nos dois domínios 

Máscaras usadas na filtragem nos dois domínios são aproximações discretas das funções mostradas aqui

DIM009719

Filtros de Suavização Filtro passa­baixa “ideal” elimina completamente 

coeficientes de freqüências acima de um limiar (threshold) escolhido

H u,v ={1 if Du,v ≤D0

0 if Du,v >D0 }

DIM009720

Exemplo Vários filtros passa­

baixa ideais e percentuais da energia da transformada de Fourier retidas

DIM009721

Exemplo Aplicações dos filtros do slide 

anterior Note os defeitos que aparecem 

como ondas nas imagens processadas com os filtros com limiar menor (ringing artifacts)

DIM009722

Filtros Ideais Filtro espacial 

correspondente a um filtro passa­baixa ideal e sua aplicação a uma imagem

DIM009723

Filtro Butterworth O Filtro Butterworth 

(BLPF) de ordem n e freqüência de corte D0 a partir da origem é definido por

H u , v= 1

1[D u ,v/D0 ]2n

Define­se D0 como o ponto no qual a função H(u,v) está abaixo de uma certa fração de seu valor máximo (geralmente 0.5 ou 50%)

DIM009724

Filtro Butterworth Aplicações de filtros 

Butterworth de ordem 2 com as freqüências de corte de 5, 15, 30, 80 e 230

Note que os defeitos que aparecem como ondas nas imagens processadas não aparecem mais

DIM009725

Filtro Butterworth

Representações espacias de filtros Butterworth de ordens 1, 2, 5 e 20

DIM009726

Filtros Gaussianos São definidos por Troca­se σ2 por D0. Quando D(u,v)=D0, o filtro tem 

0.607 do seu valor máximo A transformada inversa de Fourier de um filtro 

Gaussiano é também uma Gaussiana, logo eles não produzirão ringing  

H u,v =e−D2 u,v /2 2

DIM009727

Filtros Gaussianos Garantem a não 

existência de artefatos de ringing

Menos controle na sua especificação que os Butterworth

DIM009728

Filtros Gaussianos Aplicações reais: • suavização de 

documentos para posterior reconhecimento de padrões 

• Retoque de imagens para publicações

• Remoção de ruídos ou eliminação de características não desejadas de imagens

DIM009729

Filtros Gaussianos

DIM009730

Filtros Gaussianos

Valores de D0 diferentes podem ser usados na mesma imagem para diferentes fins

DIM009731

Filtros Passa­Alta O objetivo dos filtros 

passa­alta é exatamente o inverso dos filtro passa­baixa, logo temos a relação

Agora nós vamos ver os filtros passa­alta referentes aos filtros passa­baixa vistos na aula passada (ideal, Butterworth e Gaussiano)

DIM009732

Filtros Passa­Alta Representação 

espacial dos filtros podem ser obtidas multiplicando­se H(u,v) por (­1)u+v, calculando­se a IDFT, e multiplicando­se a parte real do resultado por (­1)x+y

DIM009733

Filtros Passa­Alta De modo similar aos filtros passa­baixa, os filtros 

passa­alta ideal, Butterworth e Gaussiano são representados respectivamente por 

H u,v ={0 if Du,v ≤D0

1 if Du,v >D0 }H u,v =1

1[D0 /D u,v ]2n

H u,v =1−e−D2u,v /2D0

2

DIM009734

Filtros Passa­Alta Devido ao relacionamento com o filtro ideal 

passa­baixa, é esperado que o filtro ideal passa­alta exiba o mesmo artefato de ringing

Mais uma vez os filtros Butterworth podem ser vistos como um meio termo entre os filtros ideias e os Gaussianos

Isto pode ser visto nos exemplos do próximo slide, onde as transições nas bordas de pequenos objetos são detectadas de forma mais clara quando os filtros Gaussianos são usados

DIM009735

 

DIM009736

O Laplaciano no Domínio da Freqüência Usando­se as propriedades da Transformada de 

Fourier, nós temos que

Em 2D nós temos que

Ou seja, o resultado é o Laplaciano no domínio da freqüência, e o mesmo pode ser implementado usando o filtro

ℑ[ dn f x dx n ]= ju n F u

ℑ[∂2 f x,y ∂ x2

∂2 f x,y ∂ y2 ]= ju 2 F u,v jv 2 F u,v =−u2+v2 F u,v

H u,v =−u2+v2

DIM009737

O Laplaciano no Domínio da Freqüência Como estamos multiplicando f(x,y) por (­1)x+y 

antes de aplicar a Transformada de Fourier, o Laplaciano em uma janela de freqüência MxN é

Assim temos a relação

Geralmente combina­se o Laplaciano com a adição a imagem original em um único filtro, gerando

H u,v =[−u−M /2 2v−N /2 2 ]

∇2 f x,y ⇔ [−u−M /2 2v−N /2 2 ]F u,v

g x,y ⇔ [1u−M /2 2v−N /2 2 ]F u,v

DIM009738

O Laplaciano no Domínio da Freqüência

Ao lado temos o filtro Laplaciano no domínio da freqüência mostrado em um plot 3D e em uma imagem, e sua representação espacial, após usar a transformada inversa

Note a semelhança com o filtro espacial definido anteriormente

DIM009739

Exemplo Exemplo usando 

mesma imagem que no caso do Laplaciano no domínio espacial

Efeitos de realce  obtidos pelos dois filtros são praticamente iguais

DIM009740

Filtros High­Boosting Como no caso do domínio espacial, pode­se 

atenuar e não eliminar as baixas freqüências, usando filtros high­boosting

Como filtros passa­baixa e passa­alta são complementares, podemos reescrever f como

Logo, podemos obter um filtro high­boost usandof hp x,y =f x,y − f lp x,y

f hb x,y =Af x,y − f lp x,y f hb x,y = A−1 f x,y +f x,y − f lp x,y = A−1 f x,y +f hp x,y

DIM009741

Exemplo Se A=1, o filtro de 

high­boosting se reduz a um filtro passa­alta

A medida que A>1 aumenta, aumentam as contribuições da imagem original na imagem filtrada

DIM009742

Ênfase de Altas Freqüências

Em alguns casos, é interessante que se aumente a contribuição dos componentes de alta freqüência de uma imagem para melhorar o contraste

Neste caso, o filtro é definido por uma constante (b) que multiplica um filtro passa­alta somado a uma outra constante (a), que faz com que as baixas freqüências são sejam totalmente eliminadas

Quando a=(A­1) e b=1, este filtro se reduz ao high­boosting

Hhfeu,v =a+bHhpu,v , onde a≥0 e b>a

DIM009743

Exemplo

Filtro de ênfase de altas freqüências mantém características de baixa freqüência da imagem original

Imagem filtrada foi equalizada para melhoria do contraste

DIM009744

Aspectos de Implementação Algumas propriedades da Transformada de 

Fourier 2D sãoTranslação:

logo temos

Distributividade e redimensionamento:

f x,y ej2π u0 x /M+v0 y /N

⇔F u−u0 ,v−v0 e

f x−x 0 ,y−y0⇔F u,v e− j2π u0 x /M+v0 y /N

f x,y −1 x+y ⇔F u−M /2,v−N /2 ef x−M /2, y−N /2 ⇔F u,v −1 u+v

ℑ [ f 1 x,y +f 2 x,y ]=ℑ [ f 1 x,y ]ℑ [ f 2 x,y ] , e geralmenteℑ [ f 1 x,y ⋅f 2 x,y ]≠ℑ [ f 1 x,y ]⋅ℑ [ f 2 x,y ]af x,y ⇔aF u,v e f ax,by ⇔1

ab F u/a,v /b

DIM009745

Propriedades da FT 2DRotação: Se usarmos coordenadas polares, 

temos                                                              e                                                              logo

Periodicidade:

Simetria conjugada:

F u,v =F u+M,v =F u,v+N =F u+M,v+N ,f x,y =f x+M,y =f x,y+N =f x+M,y+N

F u,v =F −u,−v ,∣F u,v ∣=∣F −u,−v ∣

x=r cos , y=r sin , u=cos , v= sin ,f x , y f r , e  F u , vF , ,f r ,0⇔F ,0

DIM009746

Propriedades da FT 2D

DIM009747

Propriedades da FT 2DSeparabilidade: a Transformada discreta de 

Fourier 2D pode ser expressa na forma separada do seguinte modo

F u,v =1M ∑

x=0

M−1

e− j2 uxπ /M 1N ∑y=0

N−1

f x,y e− j2 vyπ /N

=1M ∑

x=0

M−1

F x,v e− j2 uxπ /M

onde F x,v =1N ∑y=0

N−1

f x,y e− j2 vyπ /N

DIM009748

Padding Transformada de 

Fourier assume periodicidade das funções

Funções devem ser preenchidas com zeros (padded) para que seu tamanho seja P≥ A+B­1, onde A e B são os suportes das funções

DIM009749

Padding

Após padding, resultado esperado é obtido quando convolução é implementada no domínio da freqüência

DIM009750

Padding Funciona do mesmo 

modo no caso 2D, onde imagens devem ter dimensões de            P≥ A+C­1 e Q≥ B+D­1

Resultado é uma imagem quatro vezes maior que as originais

Imagens resultado são extraídas destas imagens PxQ

DIM009751

Exemplo

DIM009752

Correlação A correlação entre duas 

funções é definida por

Como nós lidamos com funções reais (não­complexas), f*=f, e a correlação é bastante parecida com a convolução (note a troca de sinais)

f x,y °h x,y = 1MN ∑m=0

M−1

∑n=0

N−1

f m,nh x+m,y+n

f x , y°h x , y⇔F∗ u ,vH u , vf ∗ x , y°h x , y⇔F u ,v°H u ,v

DIM009753

Propriedades da FT 2D

DIM009754

Propriedades da FT 2D

DIM009755

Propriedades da FT 2D

DIM009756

Propriedades da FT 2D

DIM009757

Rotação

DIM009758

Translação

Translação da imagem no domínio espacial muda somente a fase da Transformada de Fourier, logo não há alterações nas imagens que mostram a magnitude da FT  

DIM009759

FFT

F u =1M ∑

x=0

M−1

f x W Mux onde W M =e− j2π /M

e M= 2n , logo M= 2K

F u =12K ∑

x= 0

2K−1

f x W 2Kux

=12 [1K ∑x=0

K−1

f 2x W 2Ku 2x

1K ∑x=0

K−1

f 2x1W 2Ku2x1]

DIM009760

FFTComo W 2K

2ux =W 2Kux

F u =12 [1K ∑x=0

K−1

f 2x W Kux

1K ∑x=0

K−1

f 2x1 W Kux W 2K

u ]Definindo F paru =

1K ∑x=0

K−1f 2x W K

ux e

F imparu =1K ∑x= 0

K−1f 2x1WK

ux

temos F u =12 [F paru +F imparu W 2K

u ]

DIM009761

FFT

Assim podemos calcular F(u+K) a partir dos valores que calculamos para F(u)

Como W Mu+M =W M

u e W 2Mu+M=−W 2M

u

temos F u+K =12 [F paru −F imparu W 2K

u ]

DIM009762

FFT ­ Exemplo                                                                             F( 0,1,2,...,15 )                                                                              = F( xxxx_2 )                                                                              |                   |                                        ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­                    ­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­                                        |                                                                                                   |                                   F( par )                                                                                      F( impar  )                              = F( 0,2,4,...,14)                                                                         = F( 1,3,5,...,15 )                              = F( xxx0_2 )                                                                              = F( xxx1_2 )                                    |       |                                                                                            |      |                     ­­­­­­­­­­­­­       ­­­­­­­­­­­­­­                                                         ­­­­­­­­­­­­­­­          ­­ ­­­­­­­­­­­­­­­                    |                                       |                                                        |                                                 |             F( 0,4,8,12 )                F( 2,6,10,14 )                                      F( 1,5,9,13 )                             F( 3,7,11,15 )           = F( xx00_2 )                 = F( xx10_2 )                                      = F( xx01_2 )                            = F( xx11_2 )                 |        |                                         |   |                                            |   |                                             |   |      ­­­­­­­­­         ­­­­­­­­­                      ­­­­­­­­   ­­­­­­­­                         ­­­­­­­­­    ­­­­­­­­­­                       ­­ ­­­­­­­   ­­­­­­­­­     |                              |                      |                     |                        |                          |                       |                        |F( 0,8 )                 F( 4,12 )          F( 2,10 )        F( 6,14 )             F( 1,9 )              F( 5,13 )           F( 3,11 )            F( 7,15 )= F( x000_2 )  = F( x100_2 )  = F( x010_2 )  = F( x110_2 )   = F( x001_2 )     = F( x101_2 )   = F( x011_2 )     = F( x111_2 ) |              |            |           |           |            |         |             |          |             |          |              |         |             |             |            | |              |            |           |           |            |         |             |          |             |          |              |         |             |             |            |F(0)       F(8)       F(4)    F(12)    F(2)      F(10)   F(6)      F(14)   F(1)       F(9)     F(5)      F(13)   F(3)       F(11)     F(7)      F(15)0000     1000     0100    1100    0010     1010    0110    1110    0001      1001   0101     1101    0011     1011      0111     1111

DIM009763

FFT

Apesar de ter uma estrutura recursiva, a FFT geralmente é implementada iterativamente, por questões de eficiência

Ordem dos coeficientes não é a desejada e deve ser reorganizada

DIM009764

Ordenação da FFT

SaídadaFFT OrdemDesejadah0+h1=F0 000 F 0 000 h0−h1=F 4 100 F1 001 h2+h3 =F2 010 F2 010 h2−h3=F6 110 F3 011 h4+h5=F1 001 F4 100 h4−h5=F 5 101 F5 101 h6+h7 =F3 011 F6 120 h6−h7=F7 111 F 7 111

DIM009765

FFT x DFT Tabela mostra fatores 

de aceleração da execução do cálculo da FT usando o método tradicional (DFT) e o FFT

DFT – O(M2) FFT – O(M logM)

DIM009766

Exemplo (Filtro Notch)  Nos filtros notch, 

frequências eliminadas não aparecem na imagem final

Adequado para remover ruídos periódicos que as vezes afetam sensores de aquisição de imagens

DIM009767

Exemplo (Filtro Notch) 

DIM009768

Trabalhos Acessem a página da disciplina e acessem os links 

no item Trabalhos Vocês devem baixar o programa PDI, e os arquivos 

para desenvolver programas em Qt, caso necessário

As operações definidas nos trabalhos devem ser incorporadas ao programa PDI, inserindo novas janelas de interface quando preciso

Implementações devem ser testadas nas imagens que estarão disponíveis na página

DIM009769

Trabalhos

As operações a serem implementadas são:Equalização de histogramas (deve mostrar 

janelas com o histograma antes e depois de equalizado)

Filtros de suavização Butterworth e da mediana (3x3, 5x5, 7x7 e 9x9)

Deteção de bordas (Sobel e laplaciano)Realce de imagens interativa no domínio da 

frequência (filtros notch)