Filtro Óptimo
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA. SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN Espinoza Bautista José Rodrigo Filtro Óptimo y Desigualdad de Schwartz Teoría Estadística de las Comunicaciones I
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y
ELÉCTRICA.
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
Espinoza Bautista José Rodrigo
Filtro Óptimo y Desigualdad de Schwartz
Teor
ía E
stad
ística
de
las
Com
unica
cione
s I
AGENDA
Introducción.
Filtro Optimo.
Desigualdad de Schwarz.
Propiedades.
INTRODUCCIÓNEl Filtro Optimo o Adaptado es un Filtro lineal,
invariante en el tiempo, cuya respuesta al impulso está adaptada a la señal que se debe transmitir.
Sea un sistema de comunicación como se muestra en la siguiente figura:
Donde:x(t) = Señal de entrada al filtro x(t) = g(t) + w(t)h(t) = respuesta al impulso de un filtro lineal e invariante en el tiempo.g(t) = Señal de pulsosw(t) = ruido blanco aditivo
INTRODUCCIÓNSeñal de entrada al filtro
Donde:T = intervalo de observación arbitrariog(t) = Representación de símbolos 0 y 1w(t) = Ruido blanco, media cero y densidad espectral de potencia N0/2
Se supone que el receptor tiene conocimiento de la forma del pulso g(t).
INTRODUCCIÓNSiendo la salida de este sistema y(t).
Donde:g0(t) y n(t) son generadas a partir de la
señal y el ruido de entradas al filtro.Se desea que la componente de señal g0(t)
sea considerablemente mayor que la componente de ruido n(t) :
LA POTENCIA INSTANTÁNEA DE LA SEÑAL g0 (T) MEDIDA EN t = T sea mayor en comparación con la POTENCIA PROMEDIO DE RUIDO DE SALIDA n(t)
FILTRO OPTIMOSe busca maximizar:
Ig0(T)I2 = potencia instantánea de la señal de salidaE[n2(t)] : potencia promedio de ruido de salida
Requerimiento: Especificar la respuesta al impulso del filtro h(t) de manera que la relación señal a ruido definida sea máxima.
FILTRO OPTIMOSea G(f) la transformada de Fourier de g(t)Sea H(f) la transformada de Fourier de h(t)
La señal de salida del filtro g0(t) queda definida por la transformada inversa de Fourier (sin ruido)
En t=T
FILTRO OPTIMOLa densidad espectral de potencia
SN(f) del ruido n(t) a la salida del filtro viene dada por
La potencia promedio o varianza de ruido a la salida del filtro estaría dada por:
FILTRO OPTIMOCon lo cual tendremos la siguiente expresión:
Para resolver la maximización de la expresión utilizaremos la desigualdad de Schwartz
DESIGUALDAD DE SCHWARTZ.
Se le conoce como la Desigualdad de Schwarz cuando se tiene dos funciones complejas F1 y F2 de variable real x
Y es posible escribir
Entonces la igualdad de cumple si y sólo si
k: constante arbitraria y * indica conjugación compleja
DESIGUALDAD DE SCHWARTZ.
Si reescribimos el numerador de la ecuación:
Tenemos que:
NO depende de la respuesta en frecuencia del filtro H(f) sino de la energía de la señal y de N0/2
DESIGUALDAD DE SCHWARTZ.
En resumen, la relación señal a ruido, será máxima cuando se elija H(f) de manera que se cumpla la igualdad:
En consecuencia el filtro H(f) toma su valor óptimo:
Para una señal real g(t) resulta G*(f) = G(-f)
DESIGUALDAD DE SCHWARTZ.Finalmente tenemos:
La respuesta al impulso del filtro óptimo es una versión invertida y retardada en el tiempo de la señal de entrada al filtro g(t), salvo por un factor de escala k.
DESIGUALDAD DE SCHWARTZ.
La respuesta al impulso del filtro óptimo es una versión invertida y retardada en el tiempo de la señal de entrada al filtro g(t), salvo por un factor de escala k.
PROPIEDADES La respuesta al impulso de un filtro óptimo a
una señal pulsante g(t) con duración del pulso t=T
En el dominio de la frecuencia
La relación señal a ruido de un filtro óptimo, depende de la proporción de la energía de la señal y la densidad espectral de potencia de ruido a la entrada del mismo
