Filtros_01

5/17/2018 Filtros_01 - slidepdf.com

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Introdução à Filtros

DigitaisFiltros básicos, parâmetros no

domínio do tempo efrequência, classificação defiltros



Filtros são usados basicamente para dois propósitos:

• Separação de sinais combinados;

• Restauração de sinal que foi distorcido.

A princípio, a separação e/ou restauração de sinais pode ser realizada com ambosos tipos de filtros, analógicos e digitais. As diferenças básicas são:

Analógicos

• Barato• Rápidos• Grande faixa dinâmica (amplitude e frequência)

Digitais

• Muito melhor desempenho. Ex.: Será visto um filtro passa-baixa que possuiganho 1±0,0002 entre frequência zero e 1000Hz e um ganho de menos que0,0002 para frequências acima de 1001Hz. Excelente não?



Filtros lineares comumente apresentam as curvas abaixo:

-3dB : amplitude dosinal cai à 0,707 ea potência é reduzidaà 0,5.



DOMÍNIO DO TEMPO

Resposta ao degrau

Tempo de subida: entre 10% e90%. Deseja-se o menor possível.

Overshoot: distorção da informa-ção.

Fase linear: simetria entre as me-tades superior e inferior res-→

posta em frequência com fase li-

near.



DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

Resposta em frequência

Banda passante: frequênciaspermitidas (ganho 1 geralmente)

Frequência de corte: 99%, 90%,70,7% e 50% da amplitude parafiltros digitais.

Banda de transição: deseja-sea menor possível.

Banda de rejeição: frequênciasbloqueadas.



DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA




A figura abaixo mostra o processo de conversão filtro passa-baixa →

filtro passa-alta.

1. mudar o sinal dasamostras no kernel2. adicionar 1 naamostra do centro dasimetria.

Assim …

Passa-alta Passa-baixa→

Passa-banda Rejeita-banda→

Rejeita-banda Passa-banda→



Por que as modificações no domínio do tempo indicadas, resultamem inversão no espectro de frequência ?

δ[n]-h[n]: inverter sinal da respostaimpulsiva e adicionar 1 no centro.

Condição: as componentes de baixafrequência das saídas parciais (antesdo somador) precisam estar em fase.Para isso deve-se:

1.filtro kernel original com fase linear2.impulso adicionado no centro dasimetria.



Outro método: spectral reversal !!

1. mudar o sinal dasamostras no kernel →

multiplicar o filtro porsin(0,5t) shift em fre_ →

quência de 0,5.

A frequência 0 se torna0,5.



Ex.: Filtros passa-banda e rejeita-banda.

Cascata: 2 estágiosConvolução: 1 estágio

Paralelo: 2 estágiosSoma: 1 estágio



Classificação de filtros

FiltrosDigitais

FIR IIR

Convolução Recursão

Melhor desempenho Mais rápido



Filtros Média Móvel

Implementação por

convolução, redução de ruído,implementação recursiva,passagens múltiplas.



plementação por Convolução 1

É feito uma média de um número de pontos do sinal da entrada x[],para produzir cada ponto do sinal de saída y[]:

Ex.: O ponto 80 da saída, para um filtro média móvel com M=5é dado por:

filtro média móvel é uma convolução da entrada com um pulso retangular de área 1.



Ex.: Filtro média móvel com M=4

Note que,

• adição• subtração• multiplicação



ução de ruído versus Resposta ao degrau

O filtro média móvel apresenta bom desempenho em muitasaplicações e ótimo desempenho na redução de ruído branco, ao mesmotempo que preserva a resposta ao degrau.

A quantidade de ruído reduzida é igual a raiz quadrada do número

de pontos no filtro !!




O filtro média móvel possui bom desempenho no domínio dotempo e mal desempenho no domínio da frequência.

1

Obtida pela transformada de Fourier do pulso retangular.



sagens múltiplas no filtro média móvel

Consiste em passar o sinal de entrada pelo filtro duas ou maisezes.



mplementação recursiva

É possível implementar um filtro média móvel com um algoritmopido. Lembre que a implementação por convolução é lenta !!

x.: Seja um filtro média móvel com M=7. Dois pontos de saída adjacenteso calculados da seguinte forma:

Uma vez que os pontos x[48]....x[53] aparecem em y[50] e y[51],

melhor maneira para calcular y[51] é

e assim sucessivamente.

7

]54[]53[]52[]51[]50[]49[]48[]51[

7]53[]52[]51[]50[]49[]48[]47[]50[

x x x x x x x y

x x x x x x x y

++++++=

++++++=

[ ]]47[]54[7

1y[50]y[51] x x −+=



Depois que o primeiro ponto de y[] é calculado, todos os outros sãodeterminados através de 1 soma e 1 subtração, por ponto:

[ ]

1

2/)1(

,

][][

1

]1[][

+=

−=

−−++−=

pq

M p

onde

qi x pi x M i yi y



Simulação

Implementar um filtro média móvel (recursivo ou não) para filtrar o seguinte sinal:

Gerada através do Matlab/Simulink ...



Resultados

Optou-se pelo recursivo. Abaixo algumas formas de onda:

M=7 M=21

Note os picos do ruído filtrado e a tendênciade se tornar onda triangular com o aumento dM !



Filtros Windowed-Sinc

(Sinc Janelado)

Estratégia do filtro, projeto,

exemplos.



tratégia do filtro Sinc Janelado

Características:• Bons para separar uma banda de frequência de outra• Pobre resposta no tempo (overshoot)• Pode ser programado por convolução (lento) ou por FFT (rápido) 1

1. Assunto que será visto.

(Função Sinc)

Problema: comprimento infinito enunca cai à zero.

Solução: Truncar em M+1 pontos (M par)e shiftar de M/2 (índices positivos).



Para suavizar o efeito do truncamento utiliza-se janelas:

x =

FFT

(Janela)



Janelas

BlackmanHamming

M i ...0=

M=50

Qual janela deve-se usar ?

Blackman apresenta ainda ripple na banda de passagem de ~0,02%, enquanto

a Hamming de ~0,2%.



Projeto do filtro

Parâmetros de projeto:

• Frequência de corte f C. Expressa como uma fração da frequência de amostragem, l0 ≤ f C ≤ 0,5 (teorema da amostragem)

• Número de amostras M. Essa quantidade determina a largura da banda de transiçãM ≈ 4 / bw , onde 0 ≤ bw ≤ 0,5

bw = 0.2, 0.1 e 0.02

A f c não incluencia na forma da resposta



Após selecionado f c e M, o filtro pode ser calculado usando:

de K é selecionado de modo a garantir ganho unitário na frequência zero. Para evitarisão por zero, fazer h[M/2]=2πf cK.

te que a equação acima possui: a função sinc, o shift M/2 e a janela Blackman

Algumas respostas



• A frequência da oscilação senoidal vale aproximadamente f C ;• Resposta no tempo ruim.



ExemplosExemplos

Um eletroencefalograma (EEG) é o resultado combinado de um númeroenorme de pulsos elétricos das células nervosas do cérebro. Em relaxamento, oEEG apresentará um padrão de oscilação entre 7 e 12Hz (estado alpha). Um poucomais ativo, o padrão fica entre 17 e 20Hz (estado beta).

COMO PODEMOS SEPARAR O SINAL ALPHA DO SINAL BETA ? SUPONHAUMA FREQUÊNCIA DE AMOSTRAGEM DE 100Hz.

Solução: filtro passa-baixa com f c=14Hz (f c=0.14), bw=0.04 (logo M=100)e janelaHamming.



ExemplosExemplos

rojeto de um filtro passa-banda, onde o sinal que será filtrado será amostrado a0kHz. O filtro terá na sua resposta em frequência uma banda de 80Hz deassagem do sinal centrada na frequência 2kHz. Assim, o filtro deverá bloquearrequência abaixo de 1960Hz e acima de 2040Hz. O filtro terá 50Hz de largurae banda de transição, e portanto, M=801.

tapas do projeto:

1. Dois filtros passa-baixa com f c1=0.196 e f c2=0.204 ;2. O segundo filtro tem seu espectro invertido, tornando-se um passa-alta ;3. Soma-se ambos os filtros, resultando um rejeita-banda ;4. Outra inversão de espectro resulta em um passa-banda.



Algoritmo para filtropassa-banda.



ExemplosExemplos

Deseja-se separar um sinal de 1mV que viaja numa linha de transmissão de 120V.Um filtro passa-baixa com banda de atenuação de -120dB no mínimo é necessário.Mas como foi visto, uma janela Blackman oferece somente -74dB.

Solução

Kernelh1

Kernelh2

- 7 4 d B

- 1 4

8 d B

Kernelh=h1*h2



Simulação

Para implementar um sinal amostrado no simulink , pode-se utilizar o bloco zero-o

hold. Na simulação abaixo, amostrou-se uma senóide de 60Hz com período de amostragede 1ms. Adicionalmente, inserimos o bloco to worspace para trabalharmos futuramente noespaço de trabalho (workspace). Experimente o comando:plot(simout.time,simout.signals.values,'o') no worspace.



Convolução

Função delta, resposta ao

impulso,algoritmo input side e output side.



unção Delta e Resposta ao Impulso

Convolução é uma operação matemática que combina dois sinais para formar um

erceiro. É importante pois relaciona três sinais de grande interesse, a saber: o sinal de entsinal de saída e a resposta ao impulso.

Conhecendo-se a resposta ao impulso h,é possível determinar a saída y para qualquentrada x !!



lgoritmo Input Side

Esse método procura explicar a convolução do ponto de vista do sinal da entrada,

eja, explica como cada amostra da entrada contribui para formar as muitas amostras na s

N=9 M=4 N+M-1=12 pontos

Fundamento básico em DSP: 1. decompor a entrada2. passá-la pelo sistema3. sintetizar

Ex.: Análise da amostra x[4]=1.4

Passo 1: 1.4δ[n-4] (impulso deslocado)

Passo 2: 1.4h[n-4] (se a entrada é δ , então a saída é h)



Passo 3:

+

+

Note os símbolos em diamantes setados para zero !!

É possível mostrar que a convolução é comutativa x[n]*h[n] h[n]*x[n]



É possível mostrar que a convolução é comutativa: x[n]*h[n] = h[n]*x[n]

Programa em BASIC para o cálculo da convolução usando o algoritmo



Programa em BASIC para o cálculo da convolução usando o algoritmoInput Side.



Algoritmo Output Side

Esse método procura explicar a convolução do ponto de vista do sinal da saída. Esta

os olhando as amostras da saída e verificando a contribuição dos pontos da entrada.

Lembre que y[n] = combinação de muitos valores entre entrada e resposta ao impul

No presente método, veremos como calcular cada amostra da saída independentems outras amostras da saída.

.: Análise de y[6]

y[6]

y[6] = soma de todos os sextos pontos nas nove componentacima, ou seja, y[6]=x[3]h[3]+x[4]h[2]+x[5]h[1]+x[6]h



Máquina de Convolução: um diagrama de fluxo de como ocorre a convolução.

X[n] e y[n] são fixos, enquah[n] é móvel para os lados !



Ex.: cálculo de y[0] e y[3]

As amostras da saída bem da direitae as bem da esquerda estão baseadasem informações incompletas.

Onde não existem amostras (note x[-3],x[-2] e x[-1]), colocar valor zero. Nessecaso diz-se que a resposta ao impulso h,não está totalmente imergida no sinalde entrada x .

A definição formal da convolução enfim é dada por:



A Transformada Discreta

de Fourier - DFT



an Baptiste Joseph Fourier afirmou que : todo sinal contínuo periódico poderiar representado como uma soma apropriada de sinais senoidais.

r que usar senóides e não ondas triangulares ou quadradas? As senóides possueminteressante característica de manter a sua forma após passarem por algum sistema. Apenas as suamplitudes e fases são alteradas !

istem 4 categorias associadas ao termo Transformada de Fourier , a saber:

Contínuo aperiódico: Ex.: Decaimento exponencial. A transformada é simplesmenteamada transformada de Fourier .

Contínuo periódico: Ex.: Senóides e onda quadrada. A transformada é chamadarie de Fourier .

Discreto aperiódico: A transformada é chamada transformada de Fourier a temposcreto.

Discreto periódico: É as vezes chamada de série de Fourier discreta, mas em geralconhecida como transformada de Fourier discreta.

Ex : Decomposição de um sinal discreto aperiódico



Ex.: Decomposição de um sinal discreto aperiódico

Cada sinal possui 16 pontos

16 pontos



DFT real

A entrada são amostras de um sinal qualquer (igualmente espaçadas), enquanto asdas contém as amplitudes das componentes senoidais escaladas de uma forma que verem

: amplitudes cossenóide;: amplitudes senóide.

mente N é escolhido de tal forma que seja potência de 2 (128, 256, 512, etc). Osos são:

dereçamento binário da informação, logo a potência de 2 é o tamanho natural do sinal;algoritmo mais usado para calcular a DFT, a FFT, opera sobre N.



Variável independente no domínio da frequência

Ex.: DFT com N=128.

Eixo horizontal como uma fração dafrequência de amostragem.

Ainda é possível usar ω (frequência natural),multiplicando por 2π o eixo do f. O range seráportanto, de 0 a π.

Eixo horizontal corresponde às amostras k.

N

k f =

mbrar: SINAIS DISCRETOS APENAS CONTÉM FREQUÊNCIA ENTRE 0 E 0,5 DA FREQUÊNCIA

DE AMOSTRAGEM !



Funções base da DFT

As função base da DFT (de amplitudes unitárias)são geradas a partir de:

sinal).do pontosemciclosde(número

frequência adetermina e 1- N...0i onde

X[k]Im emsarmazenada )/2sin(][

X[k]Re emsarmazenada )/2cos(][

N

k

N ik i s

N ik ic

k

k

=

→=

→=

π

π

x.: Seja uma DFT com N=32. A seguir 8 componentes das 17 senóides e 17 cossenóides

sadas na DFT.



.

.

.



A DFT inversa

De acordo com o que foi dito, podemos sintetizar a entrada como:

onde,

exceto

Conclusão: Qualquer sinal x[i] com N pontos pode ser sintetizado,adicionando N/2+1 cossenóides e N/2+1 senóides.

Eqs. 2

Eqs. 1

Programa em BASIC para o cálculo da transformada DFT inversa:



g p



Ex.: DFT inversa.

função impulso função constante

A parte imaginária, não mostrada, é composta de zeros !



Cálculo da DFT

s métodos são:

. Equações simultâneas (pouco eficiente);

. Correlação (consiste em detectar uma forma de onda conhecida em outro sinal);

. FFT (decompõe uma DFT de N pontos em N DFTs, cada uma com um único ponto).

Correlação

Ex.: calcular ImX[3] de um sinal com N=64, ou seja, a amplitude da onda senoidalque completa 3 ciclos entre os pontos 0 e 63.

Lembre que o resultado da DFT gera dois sinais, cada um com N/2+1 pontos, oueja, 33 pontos na parte real e 33 pontos na parte imaginária, no exemplo dado !

Por correlação descobrimos que uma senóide que completa 3 ciclos entre as



Por correlação descobrimos que uma senóide que completa 3 ciclos entre asamostras 0 a 63 (note que é uma função base), está presente no exemplo 1apenas, pois a soma das amostras em e) resulta em 32. Já em f) o resultado é zero.

x

=

x

=



Equação de análise

Assim, o cálculo da DFT consiste em correlacionar o sinal de entrada no tempo comcada função base.

Ex.: Algoritmo em BASIC



Forma Polar

Tendo em vista que: , podemos escrever

onde MagX[k] e PhaseX[k] armazenam a amplitude e a fase da cossenóide.

Por que se utilizou a função cos ?

Porque a função sin não podem representar a componente DC, pois o senode frequência zero é composto todo de zeros.



Ex.: Filtro passa-baixa.



Ex.: Algoritmo para conversão.

Incômodos do algoritmo:

1. Divisão por zero ;2. Incorreto arctan ;3. Fase de magnitudes muitopequenas (tendência de ficarrandômica entre -π e π) ;



Bibliografia

• S. W. Smith, Digital Signal Processing – a practical guide for engineers and

scientists, 2003. USA.

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